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Theorem climcn1 15480
Description: Image of a limit under a continuous map. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
climcn1.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
climcn1.2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
climcn1.3 (𝜑𝐴𝐵)
climcn1.4 ((𝜑𝑧𝐵) → (𝐹𝑧) ∈ ℂ)
climcn1.5 (𝜑𝐺𝐴)
climcn1.6 (𝜑𝐻𝑊)
climcn1.7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧𝐵 ((abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝐴))) < 𝑥))
climcn1.8 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) ∈ 𝐵)
climcn1.9 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐻𝑘) = (𝐹‘(𝐺𝑘)))
Assertion
Ref Expression
climcn1 (𝜑𝐻 ⇝ (𝐹𝐴))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝑦,𝑧,𝐴   𝐵,𝑘,𝑧   𝑘,𝐺,𝑦,𝑧   𝑘,𝐻,𝑥   𝑘,𝐹,𝑥,𝑦,𝑧   𝜑,𝑘,𝑥,𝑦,𝑧   𝑘,𝑍,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥,𝑦)   𝐺(𝑥)   𝐻(𝑦,𝑧)   𝑀(𝑥,𝑦,𝑧,𝑘)   𝑊(𝑥,𝑦,𝑧,𝑘)   𝑍(𝑥,𝑧)

Proof of Theorem climcn1
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 climcn1.7 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧𝐵 ((abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝐴))) < 𝑥))
2 climcn1.1 . . . . . . . 8 𝑍 = (ℤ𝑀)
3 climcn1.2 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
43adantr 482 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → 𝑀 ∈ ℤ)
5 simpr 486 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → 𝑦 ∈ ℝ+)
6 eqidd 2734 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) = (𝐺𝑘))
7 climcn1.5 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐺𝐴)
87adantr 482 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → 𝐺𝐴)
92, 4, 5, 6, 8climi2 15399 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)) < 𝑦)
102uztrn2 12787 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘𝑍)
11 climcn1.8 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) ∈ 𝐵)
1211adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) ∈ 𝐵)
13 fvoveq1 7381 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 = (𝐺𝑘) → (abs‘(𝑧𝐴)) = (abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)))
1413breq1d 5116 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 = (𝐺𝑘) → ((abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑦 ↔ (abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)) < 𝑦))
1514imbrov2fvoveq 7383 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = (𝐺𝑘) → (((abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝐴))) < 𝑥) ↔ ((abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((𝐹‘(𝐺𝑘)) − (𝐹𝐴))) < 𝑥)))
1615rspcva 3578 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐺𝑘) ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑧𝐵 ((abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝐴))) < 𝑥)) → ((abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((𝐹‘(𝐺𝑘)) − (𝐹𝐴))) < 𝑥))
1712, 16sylan 581 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘𝑍) ∧ ∀𝑧𝐵 ((abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝐴))) < 𝑥)) → ((abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((𝐹‘(𝐺𝑘)) − (𝐹𝐴))) < 𝑥))
1817an32s 651 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧𝐵 ((abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝐴))) < 𝑥)) ∧ 𝑘𝑍) → ((abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((𝐹‘(𝐺𝑘)) − (𝐹𝐴))) < 𝑥))
1910, 18sylan2 594 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧𝐵 ((abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝐴))) < 𝑥)) ∧ (𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗))) → ((abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((𝐹‘(𝐺𝑘)) − (𝐹𝐴))) < 𝑥))
2019anassrs 469 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧𝐵 ((abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝐴))) < 𝑥)) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ((abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((𝐹‘(𝐺𝑘)) − (𝐹𝐴))) < 𝑥))
2120ralimdva 3161 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧𝐵 ((abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝐴))) < 𝑥)) ∧ 𝑗𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)) < 𝑦 → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹‘(𝐺𝑘)) − (𝐹𝐴))) < 𝑥))
2221reximdva 3162 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧𝐵 ((abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝐴))) < 𝑥)) → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)) < 𝑦 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹‘(𝐺𝑘)) − (𝐹𝐴))) < 𝑥))
2322ex 414 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → (∀𝑧𝐵 ((abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝐴))) < 𝑥) → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐺𝑘) − 𝐴)) < 𝑦 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹‘(𝐺𝑘)) − (𝐹𝐴))) < 𝑥)))
249, 23mpid 44 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → (∀𝑧𝐵 ((abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝐴))) < 𝑥) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹‘(𝐺𝑘)) − (𝐹𝐴))) < 𝑥))
2524rexlimdva 3149 . . . . 5 (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧𝐵 ((abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝐴))) < 𝑥) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹‘(𝐺𝑘)) − (𝐹𝐴))) < 𝑥))
2625adantr 482 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧𝐵 ((abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝐴))) < 𝑥) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹‘(𝐺𝑘)) − (𝐹𝐴))) < 𝑥))
271, 26mpd 15 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹‘(𝐺𝑘)) − (𝐹𝐴))) < 𝑥)
2827ralrimiva 3140 . 2 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹‘(𝐺𝑘)) − (𝐹𝐴))) < 𝑥)
29 climcn1.6 . . 3 (𝜑𝐻𝑊)
30 climcn1.9 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐻𝑘) = (𝐹‘(𝐺𝑘)))
31 fveq2 6843 . . . . 5 (𝑧 = 𝐴 → (𝐹𝑧) = (𝐹𝐴))
3231eleq1d 2819 . . . 4 (𝑧 = 𝐴 → ((𝐹𝑧) ∈ ℂ ↔ (𝐹𝐴) ∈ ℂ))
33 climcn1.4 . . . . 5 ((𝜑𝑧𝐵) → (𝐹𝑧) ∈ ℂ)
3433ralrimiva 3140 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑧𝐵 (𝐹𝑧) ∈ ℂ)
35 climcn1.3 . . . 4 (𝜑𝐴𝐵)
3632, 34, 35rspcdva 3581 . . 3 (𝜑 → (𝐹𝐴) ∈ ℂ)
37 fveq2 6843 . . . . 5 (𝑧 = (𝐺𝑘) → (𝐹𝑧) = (𝐹‘(𝐺𝑘)))
3837eleq1d 2819 . . . 4 (𝑧 = (𝐺𝑘) → ((𝐹𝑧) ∈ ℂ ↔ (𝐹‘(𝐺𝑘)) ∈ ℂ))
3934adantr 482 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → ∀𝑧𝐵 (𝐹𝑧) ∈ ℂ)
4038, 39, 11rspcdva 3581 . . 3 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹‘(𝐺𝑘)) ∈ ℂ)
412, 3, 29, 30, 36, 40clim2c 15393 . 2 (𝜑 → (𝐻 ⇝ (𝐹𝐴) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹‘(𝐺𝑘)) − (𝐹𝐴))) < 𝑥))
4228, 41mpbird 257 1 (𝜑𝐻 ⇝ (𝐹𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  wral 3061  wrex 3070   class class class wbr 5106  cfv 6497  (class class class)co 7358  cc 11054   < clt 11194  cmin 11390  cz 12504  cuz 12768  +crp 12920  abscabs 15125  cli 15372
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-ov 7361  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-neg 11393  df-z 12505  df-uz 12769  df-clim 15376
This theorem is referenced by:  climcn1lem  15491  climcncf  24279  climrec  43930
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