Theorem climcn1 15499

Description: Image of a limit under a continuous map. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
climcn1.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
climcn1.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
climcn1.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
climcn1.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑧) ∈ ℂ)
climcn1.5	⊢ (𝜑 → 𝐺 ⇝ 𝐴)
climcn1.6	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝑊)
climcn1.7	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐴))) < 𝑥))
climcn1.8	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) ∈ 𝐵)
climcn1.9	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐻‘𝑘) = (𝐹‘(𝐺‘𝑘)))

Assertion

Ref	Expression
climcn1	⊢ (𝜑 → 𝐻 ⇝ (𝐹‘𝐴))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝑦,𝑧,𝐴   𝐵,𝑘,𝑧   𝑘,𝐺,𝑦,𝑧   𝑘,𝐻,𝑥   𝑘,𝐹,𝑥,𝑦,𝑧   𝜑,𝑘,𝑥,𝑦,𝑧   𝑘,𝑍,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥,𝑦)   𝐺(𝑥)   𝐻(𝑦,𝑧)   𝑀(𝑥,𝑦,𝑧,𝑘)   𝑊(𝑥,𝑦,𝑧,𝑘)   𝑍(𝑥,𝑧)

Proof of Theorem climcn1

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climcn1.7	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐴))) < 𝑥))
2		climcn1.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
3		climcn1.2	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
4	3	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝑀 ∈ ℤ)
5		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝑦 ∈ ℝ+)
6		eqidd 2730	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) = (𝐺‘𝑘))
7		climcn1.5	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ⇝ 𝐴)
8	7	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝐺 ⇝ 𝐴)
9	2, 4, 5, 6, 8	climi2 15418	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐺‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑦)
10	2	uztrn2 12754	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑘 ∈ 𝑍)
11		climcn1.8	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) ∈ 𝐵)
12	11	adantlr 715	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) ∈ 𝐵)
13		fvoveq1 7372	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑧 = (𝐺‘𝑘) → (abs‘(𝑧 − 𝐴)) = (abs‘((𝐺‘𝑘) − 𝐴)))
14	13	breq1d 5102	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑧 = (𝐺‘𝑘) → ((abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑦 ↔ (abs‘((𝐺‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑦))
15	14	imbrov2fvoveq 7374	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 = (𝐺‘𝑘) → (((abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐴))) < 𝑥) ↔ ((abs‘((𝐺‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((𝐹‘(𝐺‘𝑘)) − (𝐹‘𝐴))) < 𝑥)))
16	15	rspcva 3575	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐺‘𝑘) ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐴))) < 𝑥)) → ((abs‘((𝐺‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((𝐹‘(𝐺‘𝑘)) − (𝐹‘𝐴))) < 𝑥))
17	12, 16	sylan 580	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐴))) < 𝑥)) → ((abs‘((𝐺‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((𝐹‘(𝐺‘𝑘)) − (𝐹‘𝐴))) < 𝑥))
18	17	an32s 652	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐴))) < 𝑥)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((abs‘((𝐺‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((𝐹‘(𝐺‘𝑘)) − (𝐹‘𝐴))) < 𝑥))
19	10, 18	sylan2 593	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐴))) < 𝑥)) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → ((abs‘((𝐺‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((𝐹‘(𝐺‘𝑘)) − (𝐹‘𝐴))) < 𝑥))
20	19	anassrs 467	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐴))) < 𝑥)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → ((abs‘((𝐺‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((𝐹‘(𝐺‘𝑘)) − (𝐹‘𝐴))) < 𝑥))
21	20	ralimdva 3141	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐴))) < 𝑥)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐺‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑦 → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘(𝐺‘𝑘)) − (𝐹‘𝐴))) < 𝑥))
22	21	reximdva 3142	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐴))) < 𝑥)) → (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐺‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑦 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘(𝐺‘𝑘)) − (𝐹‘𝐴))) < 𝑥))
23	22	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (∀𝑧 ∈ 𝐵 ((abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐴))) < 𝑥) → (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐺‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑦 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘(𝐺‘𝑘)) − (𝐹‘𝐴))) < 𝑥)))
24	9, 23	mpid 44	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (∀𝑧 ∈ 𝐵 ((abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐴))) < 𝑥) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘(𝐺‘𝑘)) − (𝐹‘𝐴))) < 𝑥))
25	24	rexlimdva 3130	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐴))) < 𝑥) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘(𝐺‘𝑘)) − (𝐹‘𝐴))) < 𝑥))
26	25	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐴))) < 𝑥) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘(𝐺‘𝑘)) − (𝐹‘𝐴))) < 𝑥))
27	1, 26	mpd 15	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘(𝐺‘𝑘)) − (𝐹‘𝐴))) < 𝑥)
28	27	ralrimiva 3121	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘(𝐺‘𝑘)) − (𝐹‘𝐴))) < 𝑥)
29		climcn1.6	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝑊)
30		climcn1.9	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐻‘𝑘) = (𝐹‘(𝐺‘𝑘)))
31		fveq2 6822	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → (𝐹‘𝑧) = (𝐹‘𝐴))
32	31	eleq1d 2813	. . . 4 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → ((𝐹‘𝑧) ∈ ℂ ↔ (𝐹‘𝐴) ∈ ℂ))
33		climcn1.4	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑧) ∈ ℂ)
34	33	ralrimiva 3121	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝐹‘𝑧) ∈ ℂ)
35		climcn1.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
36	32, 34, 35	rspcdva 3578	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) ∈ ℂ)
37		fveq2 6822	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = (𝐺‘𝑘) → (𝐹‘𝑧) = (𝐹‘(𝐺‘𝑘)))
38	37	eleq1d 2813	. . . 4 ⊢ (𝑧 = (𝐺‘𝑘) → ((𝐹‘𝑧) ∈ ℂ ↔ (𝐹‘(𝐺‘𝑘)) ∈ ℂ))
39	34	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝐹‘𝑧) ∈ ℂ)
40	38, 39, 11	rspcdva 3578	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘(𝐺‘𝑘)) ∈ ℂ)
41	2, 3, 29, 30, 36, 40	clim2c 15412	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ⇝ (𝐹‘𝐴) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘(𝐺‘𝑘)) − (𝐹‘𝐴))) < 𝑥))
42	28, 41	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ⇝ (𝐹‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  ∃wrex 3053   class class class wbr 5092  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349  ℂcc 11007   < clt 11149   − cmin 11347  ℤcz 12471  ℤ_≥cuz 12735  ℝ⁺crp 12893  abscabs 15141   ⇝ cli 15391

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-id 5514  df-po 5527  df-so 5528  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-ov 7352  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-neg 11350  df-z 12472  df-uz 12736  df-clim 15395

This theorem is referenced by:  climcn1lem  15510  climcncf  24791  climrec  45584