Theorem climcn1 15536

Description: Image of a limit under a continuous map. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
climcn1.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
climcn1.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
climcn1.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
climcn1.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑧) ∈ ℂ)
climcn1.5	⊢ (𝜑 → 𝐺 ⇝ 𝐴)
climcn1.6	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝑊)
climcn1.7	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐴))) < 𝑥))
climcn1.8	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) ∈ 𝐵)
climcn1.9	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐻‘𝑘) = (𝐹‘(𝐺‘𝑘)))

Assertion

Ref	Expression
climcn1	⊢ (𝜑 → 𝐻 ⇝ (𝐹‘𝐴))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝑦,𝑧,𝐴   𝐵,𝑘,𝑧   𝑘,𝐺,𝑦,𝑧   𝑘,𝐻,𝑥   𝑘,𝐹,𝑥,𝑦,𝑧   𝜑,𝑘,𝑥,𝑦,𝑧   𝑘,𝑍,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥,𝑦)   𝐺(𝑥)   𝐻(𝑦,𝑧)   𝑀(𝑥,𝑦,𝑧,𝑘)   𝑊(𝑥,𝑦,𝑧,𝑘)   𝑍(𝑥,𝑧)

Proof of Theorem climcn1

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climcn1.7	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐴))) < 𝑥))
2		climcn1.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
3		climcn1.2	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
4	3	adantr 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝑀 ∈ ℤ)
5		simpr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝑦 ∈ ℝ+)
6		eqidd 2734	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) = (𝐺‘𝑘))
7		climcn1.5	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ⇝ 𝐴)
8	7	adantr 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝐺 ⇝ 𝐴)
9	2, 4, 5, 6, 8	climi2 15455	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐺‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑦)
10	2	uztrn2 12841	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑘 ∈ 𝑍)
11		climcn1.8	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) ∈ 𝐵)
12	11	adantlr 714	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) ∈ 𝐵)
13		fvoveq1 7432	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑧 = (𝐺‘𝑘) → (abs‘(𝑧 − 𝐴)) = (abs‘((𝐺‘𝑘) − 𝐴)))
14	13	breq1d 5159	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑧 = (𝐺‘𝑘) → ((abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑦 ↔ (abs‘((𝐺‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑦))
15	14	imbrov2fvoveq 7434	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 = (𝐺‘𝑘) → (((abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐴))) < 𝑥) ↔ ((abs‘((𝐺‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((𝐹‘(𝐺‘𝑘)) − (𝐹‘𝐴))) < 𝑥)))
16	15	rspcva 3611	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐺‘𝑘) ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐴))) < 𝑥)) → ((abs‘((𝐺‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((𝐹‘(𝐺‘𝑘)) − (𝐹‘𝐴))) < 𝑥))
17	12, 16	sylan 581	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐴))) < 𝑥)) → ((abs‘((𝐺‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((𝐹‘(𝐺‘𝑘)) − (𝐹‘𝐴))) < 𝑥))
18	17	an32s 651	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐴))) < 𝑥)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((abs‘((𝐺‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((𝐹‘(𝐺‘𝑘)) − (𝐹‘𝐴))) < 𝑥))
19	10, 18	sylan2 594	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐴))) < 𝑥)) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → ((abs‘((𝐺‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((𝐹‘(𝐺‘𝑘)) − (𝐹‘𝐴))) < 𝑥))
20	19	anassrs 469	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐴))) < 𝑥)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → ((abs‘((𝐺‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((𝐹‘(𝐺‘𝑘)) − (𝐹‘𝐴))) < 𝑥))
21	20	ralimdva 3168	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐴))) < 𝑥)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐺‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑦 → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘(𝐺‘𝑘)) − (𝐹‘𝐴))) < 𝑥))
22	21	reximdva 3169	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐴))) < 𝑥)) → (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐺‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑦 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘(𝐺‘𝑘)) − (𝐹‘𝐴))) < 𝑥))
23	22	ex 414	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (∀𝑧 ∈ 𝐵 ((abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐴))) < 𝑥) → (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐺‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑦 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘(𝐺‘𝑘)) − (𝐹‘𝐴))) < 𝑥)))
24	9, 23	mpid 44	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (∀𝑧 ∈ 𝐵 ((abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐴))) < 𝑥) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘(𝐺‘𝑘)) − (𝐹‘𝐴))) < 𝑥))
25	24	rexlimdva 3156	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐴))) < 𝑥) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘(𝐺‘𝑘)) − (𝐹‘𝐴))) < 𝑥))
26	25	adantr 482	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐴))) < 𝑥) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘(𝐺‘𝑘)) − (𝐹‘𝐴))) < 𝑥))
27	1, 26	mpd 15	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘(𝐺‘𝑘)) − (𝐹‘𝐴))) < 𝑥)
28	27	ralrimiva 3147	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘(𝐺‘𝑘)) − (𝐹‘𝐴))) < 𝑥)
29		climcn1.6	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝑊)
30		climcn1.9	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐻‘𝑘) = (𝐹‘(𝐺‘𝑘)))
31		fveq2 6892	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → (𝐹‘𝑧) = (𝐹‘𝐴))
32	31	eleq1d 2819	. . . 4 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → ((𝐹‘𝑧) ∈ ℂ ↔ (𝐹‘𝐴) ∈ ℂ))
33		climcn1.4	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑧) ∈ ℂ)
34	33	ralrimiva 3147	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝐹‘𝑧) ∈ ℂ)
35		climcn1.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
36	32, 34, 35	rspcdva 3614	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) ∈ ℂ)
37		fveq2 6892	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = (𝐺‘𝑘) → (𝐹‘𝑧) = (𝐹‘(𝐺‘𝑘)))
38	37	eleq1d 2819	. . . 4 ⊢ (𝑧 = (𝐺‘𝑘) → ((𝐹‘𝑧) ∈ ℂ ↔ (𝐹‘(𝐺‘𝑘)) ∈ ℂ))
39	34	adantr 482	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝐹‘𝑧) ∈ ℂ)
40	38, 39, 11	rspcdva 3614	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘(𝐺‘𝑘)) ∈ ℂ)
41	2, 3, 29, 30, 36, 40	clim2c 15449	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ⇝ (𝐹‘𝐴) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘(𝐺‘𝑘)) − (𝐹‘𝐴))) < 𝑥))
42	28, 41	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ⇝ (𝐹‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  ∀wral 3062  ∃wrex 3071   class class class wbr 5149  ‘cfv 6544  (class class class)co 7409  ℂcc 11108   < clt 11248   − cmin 11444  ℤcz 12558  ℤ_≥cuz 12822  ℝ⁺crp 12974  abscabs 15181   ⇝ cli 15428

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7412  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-neg 11447  df-z 12559  df-uz 12823  df-clim 15432

This theorem is referenced by:  climcn1lem  15547  climcncf  24416  climrec  44319