Theorem climcn1 15518

Description: Image of a limit under a continuous map. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
climcn1.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
climcn1.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
climcn1.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
climcn1.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑧) ∈ ℂ)
climcn1.5	⊢ (𝜑 → 𝐺 ⇝ 𝐴)
climcn1.6	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝑊)
climcn1.7	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐴))) < 𝑥))
climcn1.8	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) ∈ 𝐵)
climcn1.9	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐻‘𝑘) = (𝐹‘(𝐺‘𝑘)))

Assertion

Ref	Expression
climcn1	⊢ (𝜑 → 𝐻 ⇝ (𝐹‘𝐴))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝑦,𝑧,𝐴   𝐵,𝑘,𝑧   𝑘,𝐺,𝑦,𝑧   𝑘,𝐻,𝑥   𝑘,𝐹,𝑥,𝑦,𝑧   𝜑,𝑘,𝑥,𝑦,𝑧   𝑘,𝑍,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥,𝑦)   𝐺(𝑥)   𝐻(𝑦,𝑧)   𝑀(𝑥,𝑦,𝑧,𝑘)   𝑊(𝑥,𝑦,𝑧,𝑘)   𝑍(𝑥,𝑧)

Proof of Theorem climcn1

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climcn1.7	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐴))) < 𝑥))
2		climcn1.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
3		climcn1.2	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
4	3	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝑀 ∈ ℤ)
5		simpr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝑦 ∈ ℝ+)
6		eqidd 2732	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) = (𝐺‘𝑘))
7		climcn1.5	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ⇝ 𝐴)
8	7	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝐺 ⇝ 𝐴)
9	2, 4, 5, 6, 8	climi2 15437	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐺‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑦)
10	2	uztrn2 12823	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑘 ∈ 𝑍)
11		climcn1.8	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) ∈ 𝐵)
12	11	adantlr 713	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) ∈ 𝐵)
13		fvoveq1 7416	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑧 = (𝐺‘𝑘) → (abs‘(𝑧 − 𝐴)) = (abs‘((𝐺‘𝑘) − 𝐴)))
14	13	breq1d 5151	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑧 = (𝐺‘𝑘) → ((abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑦 ↔ (abs‘((𝐺‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑦))
15	14	imbrov2fvoveq 7418	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 = (𝐺‘𝑘) → (((abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐴))) < 𝑥) ↔ ((abs‘((𝐺‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((𝐹‘(𝐺‘𝑘)) − (𝐹‘𝐴))) < 𝑥)))
16	15	rspcva 3607	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐺‘𝑘) ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐴))) < 𝑥)) → ((abs‘((𝐺‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((𝐹‘(𝐺‘𝑘)) − (𝐹‘𝐴))) < 𝑥))
17	12, 16	sylan 580	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐴))) < 𝑥)) → ((abs‘((𝐺‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((𝐹‘(𝐺‘𝑘)) − (𝐹‘𝐴))) < 𝑥))
18	17	an32s 650	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐴))) < 𝑥)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((abs‘((𝐺‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((𝐹‘(𝐺‘𝑘)) − (𝐹‘𝐴))) < 𝑥))
19	10, 18	sylan2 593	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐴))) < 𝑥)) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → ((abs‘((𝐺‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((𝐹‘(𝐺‘𝑘)) − (𝐹‘𝐴))) < 𝑥))
20	19	anassrs 468	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐴))) < 𝑥)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → ((abs‘((𝐺‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((𝐹‘(𝐺‘𝑘)) − (𝐹‘𝐴))) < 𝑥))
21	20	ralimdva 3166	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐴))) < 𝑥)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐺‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑦 → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘(𝐺‘𝑘)) − (𝐹‘𝐴))) < 𝑥))
22	21	reximdva 3167	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐴))) < 𝑥)) → (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐺‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑦 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘(𝐺‘𝑘)) − (𝐹‘𝐴))) < 𝑥))
23	22	ex 413	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (∀𝑧 ∈ 𝐵 ((abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐴))) < 𝑥) → (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐺‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑦 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘(𝐺‘𝑘)) − (𝐹‘𝐴))) < 𝑥)))
24	9, 23	mpid 44	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (∀𝑧 ∈ 𝐵 ((abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐴))) < 𝑥) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘(𝐺‘𝑘)) − (𝐹‘𝐴))) < 𝑥))
25	24	rexlimdva 3154	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐴))) < 𝑥) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘(𝐺‘𝑘)) − (𝐹‘𝐴))) < 𝑥))
26	25	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐴))) < 𝑥) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘(𝐺‘𝑘)) − (𝐹‘𝐴))) < 𝑥))
27	1, 26	mpd 15	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘(𝐺‘𝑘)) − (𝐹‘𝐴))) < 𝑥)
28	27	ralrimiva 3145	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘(𝐺‘𝑘)) − (𝐹‘𝐴))) < 𝑥)
29		climcn1.6	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝑊)
30		climcn1.9	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐻‘𝑘) = (𝐹‘(𝐺‘𝑘)))
31		fveq2 6878	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → (𝐹‘𝑧) = (𝐹‘𝐴))
32	31	eleq1d 2817	. . . 4 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → ((𝐹‘𝑧) ∈ ℂ ↔ (𝐹‘𝐴) ∈ ℂ))
33		climcn1.4	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑧) ∈ ℂ)
34	33	ralrimiva 3145	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝐹‘𝑧) ∈ ℂ)
35		climcn1.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
36	32, 34, 35	rspcdva 3610	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) ∈ ℂ)
37		fveq2 6878	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = (𝐺‘𝑘) → (𝐹‘𝑧) = (𝐹‘(𝐺‘𝑘)))
38	37	eleq1d 2817	. . . 4 ⊢ (𝑧 = (𝐺‘𝑘) → ((𝐹‘𝑧) ∈ ℂ ↔ (𝐹‘(𝐺‘𝑘)) ∈ ℂ))
39	34	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝐹‘𝑧) ∈ ℂ)
40	38, 39, 11	rspcdva 3610	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘(𝐺‘𝑘)) ∈ ℂ)
41	2, 3, 29, 30, 36, 40	clim2c 15431	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ⇝ (𝐹‘𝐴) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘(𝐺‘𝑘)) − (𝐹‘𝐴))) < 𝑥))
42	28, 41	mpbird 256	1 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ⇝ (𝐹‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∀wral 3060  ∃wrex 3069   class class class wbr 5141  ‘cfv 6532  (class class class)co 7393  ℂcc 11090   < clt 11230   − cmin 11426  ℤcz 12540  ℤ_≥cuz 12804  ℝ⁺crp 12956  abscabs 15163   ⇝ cli 15410

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7708  ax-cnex 11148  ax-resscn 11149  ax-pre-lttri 11166  ax-pre-lttrn 11167

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4319  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-uni 4902  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-po 5581  df-so 5582  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fn 6535  df-f 6536  df-f1 6537  df-fo 6538  df-f1o 6539  df-fv 6540  df-ov 7396  df-er 8686  df-en 8923  df-dom 8924  df-sdom 8925  df-pnf 11232  df-mnf 11233  df-xr 11234  df-ltxr 11235  df-le 11236  df-neg 11429  df-z 12541  df-uz 12805  df-clim 15414

This theorem is referenced by:  climcn1lem  15529  climcncf  24345  climrec  44092