Theorem climcn1 15669

Description: Image of a limit under a continuous map. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
climcn1.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
climcn1.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
climcn1.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
climcn1.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑧) ∈ ℂ)
climcn1.5	⊢ (𝜑 → 𝐺 ⇝ 𝐴)
climcn1.6	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝑊)
climcn1.7	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐴))) < 𝑥))
climcn1.8	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) ∈ 𝐵)
climcn1.9	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐻‘𝑘) = (𝐹‘(𝐺‘𝑘)))

Assertion

Ref	Expression
climcn1	⊢ (𝜑 → 𝐻 ⇝ (𝐹‘𝐴))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝑦,𝑧,𝐴   𝐵,𝑘,𝑧   𝑘,𝐺,𝑦,𝑧   𝑘,𝐻,𝑥   𝑘,𝐹,𝑥,𝑦,𝑧   𝜑,𝑘,𝑥,𝑦,𝑧   𝑘,𝑍,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥, 𝑦)   𝐺(𝑥)   𝐻(𝑦, 𝑧)   𝑀(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑘)   𝑊(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑘)   𝑍(𝑥, 𝑧)

Proof of Theorem climcn1

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climcn1.7	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐴))) < 𝑥))
2		climcn1.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
3		climcn1.2	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
4	3	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝑀 ∈ ℤ)
5		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝑦 ∈ ℝ+)
6		eqidd 2766	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) = (𝐺‘𝑘))
7		climcn1.5	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ⇝ 𝐴)
8	7	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝐺 ⇝ 𝐴)
9	2, 4, 5, 6, 8	climi2 15588	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐺‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑦)
10	2	uztrn2 12899	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑘 ∈ 𝑍)
11		climcn1.8	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) ∈ 𝐵)
12	11	adantlr 728	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) ∈ 𝐵)
13		fvoveq1 7442	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑧 = (𝐺‘𝑘) → (abs‘(𝑧 − 𝐴)) = (abs‘((𝐺‘𝑘) − 𝐴)))
14	13	breq1d 5121	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑧 = (𝐺‘𝑘) → ((abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑦 ↔ (abs‘((𝐺‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑦))
15	14	imbrov2fvoveq 7444	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 = (𝐺‘𝑘) → (((abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐴))) < 𝑥) ↔ ((abs‘((𝐺‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((𝐹‘(𝐺‘𝑘)) − (𝐹‘𝐴))) < 𝑥)))
16	15	rspcva 3581	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐺‘𝑘) ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐴))) < 𝑥)) → ((abs‘((𝐺‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((𝐹‘(𝐺‘𝑘)) − (𝐹‘𝐴))) < 𝑥))
17	12, 16	sylan 592	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐴))) < 𝑥)) → ((abs‘((𝐺‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((𝐹‘(𝐺‘𝑘)) − (𝐹‘𝐴))) < 𝑥))
18	17	an32s 665	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐴))) < 𝑥)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((abs‘((𝐺‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((𝐹‘(𝐺‘𝑘)) − (𝐹‘𝐴))) < 𝑥))
19	10, 18	sylan2 605	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐴))) < 𝑥)) ∧ (𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗))) → ((abs‘((𝐺‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((𝐹‘(𝐺‘𝑘)) − (𝐹‘𝐴))) < 𝑥))
20	19	anassrs 473	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐴))) < 𝑥)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → ((abs‘((𝐺‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((𝐹‘(𝐺‘𝑘)) − (𝐹‘𝐴))) < 𝑥))
21	20	ralimdva 3179	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐴))) < 𝑥)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐺‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑦 → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘(𝐺‘𝑘)) − (𝐹‘𝐴))) < 𝑥))
22	21	reximdva 3180	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐴))) < 𝑥)) → (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐺‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑦 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘(𝐺‘𝑘)) − (𝐹‘𝐴))) < 𝑥))
23	22	ex 418	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (∀𝑧 ∈ 𝐵 ((abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐴))) < 𝑥) → (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐺‘𝑘) − 𝐴)) < 𝑦 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘(𝐺‘𝑘)) − (𝐹‘𝐴))) < 𝑥)))
24	9, 23	mpid 45	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (∀𝑧 ∈ 𝐵 ((abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐴))) < 𝑥) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘(𝐺‘𝑘)) − (𝐹‘𝐴))) < 𝑥))
25	24	rexlimdva 3168	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐴))) < 𝑥) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘(𝐺‘𝑘)) − (𝐹‘𝐴))) < 𝑥))
26	25	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐴))) < 𝑥) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘(𝐺‘𝑘)) − (𝐹‘𝐴))) < 𝑥))
27	1, 26	mpd 16	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘(𝐺‘𝑘)) − (𝐹‘𝐴))) < 𝑥)
28	27	ralrimiva 3159	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘(𝐺‘𝑘)) − (𝐹‘𝐴))) < 𝑥)
29		climcn1.6	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝑊)
30		climcn1.9	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐻‘𝑘) = (𝐹‘(𝐺‘𝑘)))
31		fveq2 6885	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → (𝐹‘𝑧) = (𝐹‘𝐴))
32	31	eleq1d 2850	. . . 4 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → ((𝐹‘𝑧) ∈ ℂ ↔ (𝐹‘𝐴) ∈ ℂ))
33		climcn1.4	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑧) ∈ ℂ)
34	33	ralrimiva 3159	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝐹‘𝑧) ∈ ℂ)
35		climcn1.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
36	32, 34, 35	rspcdva 3584	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) ∈ ℂ)
37		fveq2 6885	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = (𝐺‘𝑘) → (𝐹‘𝑧) = (𝐹‘(𝐺‘𝑘)))
38	37	eleq1d 2850	. . . 4 ⊢ (𝑧 = (𝐺‘𝑘) → ((𝐹‘𝑧) ∈ ℂ ↔ (𝐹‘(𝐺‘𝑘)) ∈ ℂ))
39	34	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝐹‘𝑧) ∈ ℂ)
40	38, 39, 11	rspcdva 3584	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘(𝐺‘𝑘)) ∈ ℂ)
41	2, 3, 29, 30, 36, 40	clim2c 15582	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ⇝ (𝐹‘𝐴) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(abs‘((𝐹‘(𝐺‘𝑘)) − (𝐹‘𝐴))) < 𝑥))
42	28, 41	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ⇝ (𝐹‘𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∀wral 3081  ∃wrex 3091   class class class wbr 5111  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  ℂcc 11115   < clt 11260   − cmin 11458  ℤcz 12608  ℤ_≥cuz 12880  ℝ⁺crp 13034  abscabs 15311   ⇝ cli 15561

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11173  ax-resscn 11174  ax-pre-lttri 11191  ax-pre-lttrn 11192

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-po 5571  df-so 5572  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7422  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-pnf 11262  df-mnf 11263  df-xr 11264  df-ltxr 11265  df-le 11266  df-neg 11461  df-z 12609  df-uz 12881  df-clim 15565

This theorem is used by:  climcn1lem  15680  climcncf  25112  climrec  46379