MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rlimmulOLD Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rlimmulOLD 15535
Description: Obsolete version of rlimmul 15534 as of 27-Sep-2024. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2014.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
rlimadd.3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ 𝑉)
rlimadd.4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐢 ∈ 𝑉)
rlimadd.5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β‡π‘Ÿ 𝐷)
rlimadd.6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) β‡π‘Ÿ 𝐸)
Assertion
Ref Expression
rlimmulOLD (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 Β· 𝐢)) β‡π‘Ÿ (𝐷 Β· 𝐸))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝐷   πœ‘,π‘₯   π‘₯,𝐸
Allowed substitution hints:   𝐡(π‘₯)   𝐢(π‘₯)   𝑉(π‘₯)

Proof of Theorem rlimmulOLD
Dummy variables 𝑀 𝑣 𝑦 𝑧 𝑒 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rlimadd.3 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ 𝑉)
2 rlimadd.5 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β‡π‘Ÿ 𝐷)
31, 2rlimmptrcl 15496 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
4 rlimadd.4 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐢 ∈ 𝑉)
5 rlimadd.6 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) β‡π‘Ÿ 𝐸)
64, 5rlimmptrcl 15496 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
7 rlimcl 15391 . . 3 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β‡π‘Ÿ 𝐷 β†’ 𝐷 ∈ β„‚)
82, 7syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ β„‚)
9 rlimcl 15391 . . 3 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) β‡π‘Ÿ 𝐸 β†’ 𝐸 ∈ β„‚)
105, 9syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ β„‚)
11 ax-mulf 11136 . . 3 Β· :(β„‚ Γ— β„‚)βŸΆβ„‚
1211a1i 11 . 2 (πœ‘ β†’ Β· :(β„‚ Γ— β„‚)βŸΆβ„‚)
13 simpr 486 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ 𝑦 ∈ ℝ+)
148adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ 𝐷 ∈ β„‚)
1510adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ 𝐸 ∈ β„‚)
16 mulcn2 15484 . . 3 ((𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝐷 ∈ β„‚ ∧ 𝐸 ∈ β„‚) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘€ ∈ ℝ+ βˆ€π‘’ ∈ β„‚ βˆ€π‘£ ∈ β„‚ (((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝐷)) < 𝑧 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐸)) < 𝑀) β†’ (absβ€˜((𝑒 Β· 𝑣) βˆ’ (𝐷 Β· 𝐸))) < 𝑦))
1713, 14, 15, 16syl3anc 1372 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘€ ∈ ℝ+ βˆ€π‘’ ∈ β„‚ βˆ€π‘£ ∈ β„‚ (((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝐷)) < 𝑧 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐸)) < 𝑀) β†’ (absβ€˜((𝑒 Β· 𝑣) βˆ’ (𝐷 Β· 𝐸))) < 𝑦))
183, 6, 8, 10, 2, 5, 12, 17rlimcn2 15479 1 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 Β· 𝐢)) β‡π‘Ÿ (𝐷 Β· 𝐸))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070   class class class wbr 5106   ↦ cmpt 5189   Γ— cxp 5632  βŸΆwf 6493  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  β„‚cc 11054   Β· cmul 11061   < clt 11194   βˆ’ cmin 11390  β„+crp 12920  abscabs 15125   β‡π‘Ÿ crli 15373
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134  ax-mulf 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8651  df-pm 8771  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-sup 9383  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-rp 12921  df-seq 13913  df-exp 13974  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992  df-sqrt 15126  df-abs 15127  df-rlim 15377
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator