MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rlimsub Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rlimsub 15335
Description: Limit of the difference of two converging functions. Proposition 12-2.1(b) of [Gleason] p. 168. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
rlimadd.3 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑉)
rlimadd.4 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶𝑉)
rlimadd.5 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ⇝𝑟 𝐷)
rlimadd.6 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐶) ⇝𝑟 𝐸)
Assertion
Ref Expression
rlimsub (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐵𝐶)) ⇝𝑟 (𝐷𝐸))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐷   𝜑,𝑥   𝑥,𝐸
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem rlimsub
Dummy variables 𝑤 𝑣 𝑦 𝑧 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rlimadd.3 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑉)
2 rlimadd.5 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ⇝𝑟 𝐷)
31, 2rlimmptrcl 15298 . 2 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
4 rlimadd.4 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶𝑉)
5 rlimadd.6 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐶) ⇝𝑟 𝐸)
64, 5rlimmptrcl 15298 . 2 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
7 rlimcl 15193 . . 3 ((𝑥𝐴𝐵) ⇝𝑟 𝐷𝐷 ∈ ℂ)
82, 7syl 17 . 2 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
9 rlimcl 15193 . . 3 ((𝑥𝐴𝐶) ⇝𝑟 𝐸𝐸 ∈ ℂ)
105, 9syl 17 . 2 (𝜑𝐸 ∈ ℂ)
11 subf 11206 . . 3 − :(ℂ × ℂ)⟶ℂ
1211a1i 11 . 2 (𝜑 → − :(ℂ × ℂ)⟶ℂ)
13 simpr 484 . . 3 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → 𝑦 ∈ ℝ+)
148adantr 480 . . 3 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → 𝐷 ∈ ℂ)
1510adantr 480 . . 3 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → 𝐸 ∈ ℂ)
16 subcn2 15285 . . 3 ((𝑦 ∈ ℝ+𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ) → ∃𝑧 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℝ+𝑢 ∈ ℂ ∀𝑣 ∈ ℂ (((abs‘(𝑢𝐷)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑣𝐸)) < 𝑤) → (abs‘((𝑢𝑣) − (𝐷𝐸))) < 𝑦))
1713, 14, 15, 16syl3anc 1369 . 2 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑧 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℝ+𝑢 ∈ ℂ ∀𝑣 ∈ ℂ (((abs‘(𝑢𝐷)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑣𝐸)) < 𝑤) → (abs‘((𝑢𝑣) − (𝐷𝐸))) < 𝑦))
183, 6, 8, 10, 2, 5, 12, 17rlimcn2 15281 1 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐵𝐶)) ⇝𝑟 (𝐷𝐸))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  wcel 2109  wral 3065  wrex 3066   class class class wbr 5078  cmpt 5161   × cxp 5586  wf 6426  cfv 6430  (class class class)co 7268  cc 10853   < clt 10993  cmin 11188  +crp 12712  abscabs 14926  𝑟 crli 15175
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1801  ax-4 1815  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2014  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2140  ax-11 2157  ax-12 2174  ax-ext 2710  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7579  ax-cnex 10911  ax-resscn 10912  ax-1cn 10913  ax-icn 10914  ax-addcl 10915  ax-addrcl 10916  ax-mulcl 10917  ax-mulrcl 10918  ax-mulcom 10919  ax-addass 10920  ax-mulass 10921  ax-distr 10922  ax-i2m1 10923  ax-1ne0 10924  ax-1rid 10925  ax-rnegex 10926  ax-rrecex 10927  ax-cnre 10928  ax-pre-lttri 10929  ax-pre-lttrn 10930  ax-pre-ltadd 10931  ax-pre-mulgt0 10932  ax-pre-sup 10933
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1786  df-nf 1790  df-sb 2071  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3072  df-rmo 3073  df-rab 3074  df-v 3432  df-sbc 3720  df-csb 3837  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-pss 3910  df-nul 4262  df-if 4465  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4845  df-iun 4931  df-br 5079  df-opab 5141  df-mpt 5162  df-tr 5196  df-id 5488  df-eprel 5494  df-po 5502  df-so 5503  df-fr 5543  df-we 5545  df-xp 5594  df-rel 5595  df-cnv 5596  df-co 5597  df-dm 5598  df-rn 5599  df-res 5600  df-ima 5601  df-pred 6199  df-ord 6266  df-on 6267  df-lim 6268  df-suc 6269  df-iota 6388  df-fun 6432  df-fn 6433  df-f 6434  df-f1 6435  df-fo 6436  df-f1o 6437  df-fv 6438  df-riota 7225  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-om 7701  df-1st 7817  df-2nd 7818  df-frecs 8081  df-wrecs 8112  df-recs 8186  df-rdg 8225  df-er 8472  df-pm 8592  df-en 8708  df-dom 8709  df-sdom 8710  df-sup 9162  df-pnf 10995  df-mnf 10996  df-xr 10997  df-ltxr 10998  df-le 10999  df-sub 11190  df-neg 11191  df-div 11616  df-nn 11957  df-2 12019  df-3 12020  df-n0 12217  df-z 12303  df-uz 12565  df-rp 12713  df-seq 13703  df-exp 13764  df-cj 14791  df-re 14792  df-im 14793  df-sqrt 14927  df-abs 14928  df-rlim 15179
This theorem is referenced by:  rlimneg  15339  rlimle  15340  dvfsumrlim2  25177  logexprlim  26354
  Copyright terms: Public domain W3C validator