Theorem rlimsub 15811

Description: Limit of the difference of two converging functions. Proposition 12-2.1(b) of [Gleason] p. 168. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
rlimadd.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑉)
rlimadd.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ 𝑉)
rlimadd.5	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 𝐷)
rlimadd.6	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ⇝𝑟 𝐸)

Assertion

Ref	Expression
rlimsub	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 − 𝐶)) ⇝𝑟 (𝐷 − 𝐸))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐷   𝜑,𝑥   𝑥,𝐸

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem rlimsub

Dummy variables 𝑤 𝑣 𝑦 𝑧 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rlimadd.3	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑉)
2		rlimadd.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 𝐷)
3	1, 2	rlimmptrcl 15775	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
4		rlimadd.4	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ 𝑉)
5		rlimadd.6	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ⇝𝑟 𝐸)
6	4, 5	rlimmptrcl 15775	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
7		rlimcl 15670	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 𝐷 → 𝐷 ∈ ℂ)
8	2, 7	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
9		rlimcl 15670	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ⇝𝑟 𝐸 → 𝐸 ∈ ℂ)
10	5, 9	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℂ)
11		subf 11559	. . 3 ⊢ − :(ℂ × ℂ)⟶ℂ
12	11	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → − :(ℂ × ℂ)⟶ℂ)
13		simpr 490	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝑦 ∈ ℝ+)
14	8	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝐷 ∈ ℂ)
15	10	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝐸 ∈ ℂ)
16		subcn2 15762	. . 3 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ ℂ ∀𝑣 ∈ ℂ (((abs‘(𝑢 − 𝐷)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐸)) < 𝑤) → (abs‘((𝑢 − 𝑣) − (𝐷 − 𝐸))) < 𝑦))
17	13, 14, 15, 16	syl3anc 1398	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ ℂ ∀𝑣 ∈ ℂ (((abs‘(𝑢 − 𝐷)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐸)) < 𝑤) → (abs‘((𝑢 − 𝑣) − (𝐷 − 𝐸))) < 𝑦))
18	3, 6, 8, 10, 2, 5, 12, 17	rlimcn2 15758	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 − 𝐶)) ⇝𝑟 (𝐷 − 𝐸))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2144  ∀wral 3076  ∃wrex 3086   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5185   × cxp 5648  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  ℂcc 11198   < clt 11343   − cmin 11541  ℝ⁺crp 13120  abscabs 15401   ⇝_𝑟 crli 15652

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-pre-sup 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-er 8717  df-pm 8850  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-sup 9434  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-n0 12607  df-z 12694  df-uz 12966  df-rp 13121  df-seq 14145  df-exp 14205  df-cj 15266  df-re 15267  df-im 15268  df-sqrt 15402  df-abs 15403  df-rlim 15656

This theorem is used by:  rlimneg  15814  rlimle  15815  dvfsumrlim2  26352  logexprlim  27552