Theorem dvfsumrlim 26258

Description: Compare a finite sum to an integral (the integral here is given as a function with a known derivative). The statement here says that if 𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵 is a decreasing function with antiderivative 𝐴 converging to zero, then the difference between Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐵(𝑘) and 𝐴(𝑥) = ∫𝑢 ∈ (𝑀[,]𝑥)𝐵(𝑢) d𝑢 converges to a constant limit value, with the remainder term bounded by 𝐵(𝑥). (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvfsum.s	⊢ 𝑆 = (𝑇(,)+∞)
dvfsum.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
dvfsum.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
dvfsum.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
dvfsum.md	⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ (𝐷 + 1))
dvfsum.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ)
dvfsum.a	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐴 ∈ ℝ)
dvfsum.b1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐵 ∈ 𝑉)
dvfsum.b2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
dvfsum.b3	⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵))
dvfsum.c	⊢ (𝑥 = 𝑘 → 𝐵 = 𝐶)
dvfsumrlim.l	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ (𝐷 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑘)) → 𝐶 ≤ 𝐵)
dvfsumrlim.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐶 − 𝐴))
dvfsumrlim.k	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 0)

Assertion

Ref	Expression
dvfsumrlim	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ dom ⇝𝑟 )

Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝑥,𝐶   𝑥,𝑘,𝐷   𝜑,𝑘,𝑥   𝑆,𝑘,𝑥   𝑘,𝑀,𝑥   𝑥,𝑇   𝑥,𝑍

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥, 𝑘)   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑘)   𝑇(𝑘)   𝐺(𝑥, 𝑘)   𝑉(𝑥, 𝑘)   𝑍(𝑘)

Proof of Theorem dvfsumrlim

Dummy variables 𝑦 𝑒 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvfsum.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (𝑇(,)+∞)
2		ioossre 13460	. . . 4 ⊢ (𝑇(,)+∞) ⊆ ℝ
3	1, 2	eqsstri 3977	. . 3 ⊢ 𝑆 ⊆ ℝ
4	3	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℝ)
5		dvfsum.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
6		dvfsum.m	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
7		dvfsum.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
8		dvfsum.md	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ (𝐷 + 1))
9		dvfsum.t	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ)
10		dvfsum.a	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐴 ∈ ℝ)
11		dvfsum.b1	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐵 ∈ 𝑉)
12		dvfsum.b2	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
13		dvfsum.b3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵))
14		dvfsum.c	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → 𝐵 = 𝐶)
15		dvfsumrlim.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐶 − 𝐴))
16	1, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15	dvfsumrlimf 26252	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑆⟶ℝ)
17		ax-resscn 11181	. . 3 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
18		fss 6719	. . 3 ⊢ ((𝐺:𝑆⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → 𝐺:𝑆⟶ℂ)
19	16, 17, 18	sylancl 598	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑆⟶ℂ)
20	1	supeq1i 9417	. . 3 ⊢ sup(𝑆, ℝ*, < ) = sup((𝑇(,)+∞), ℝ*, < )
21		ressxr 11277	. . . . 5 ⊢ ℝ ⊆ ℝ*
22	21, 9	sselid 3929	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ*)
23	9	renepnfd 11284	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ≠ +∞)
24		ioopnfsup 13925	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ ℝ* ∧ 𝑇 ≠ +∞) → sup((𝑇(,)+∞), ℝ*, < ) = +∞)
25	22, 23, 24	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → sup((𝑇(,)+∞), ℝ*, < ) = +∞)
26	20, 25	eqtrid 2807	. 2 ⊢ (𝜑 → sup(𝑆, ℝ*, < ) = +∞)
27		dvfsumrlim.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 0)
28	11, 27	rlimmptrcl 15695	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐵 ∈ ℂ)
29	28	ralrimiva 3154	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝐵 ∈ ℂ)
30	29, 4	rlim0 15595	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 0 ↔ ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝑐 ≤ 𝑥 → (abs‘𝐵) < 𝑒)))
31	27, 30	mpbid 235	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝑐 ≤ 𝑥 → (abs‘𝐵) < 𝑒))
32	3	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → 𝑆 ⊆ ℝ)
33		peano2re 11407	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑇 ∈ ℝ → (𝑇 + 1) ∈ ℝ)
34	9, 33	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑇 + 1) ∈ ℝ)
35	34, 7	ifcld 4529	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → if(𝐷 ≤ (𝑇 + 1), (𝑇 + 1), 𝐷) ∈ ℝ)
36	35	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → if(𝐷 ≤ (𝑇 + 1), (𝑇 + 1), 𝐷) ∈ ℝ)
37		rexico 15441	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℝ ∧ if(𝐷 ≤ (𝑇 + 1), (𝑇 + 1), 𝐷) ∈ ℝ) → (∃𝑐 ∈ (if(𝐷 ≤ (𝑇 + 1), (𝑇 + 1), 𝐷)[,)+∞)∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝑐 ≤ 𝑥 → (abs‘𝐵) < 𝑒) ↔ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝑐 ≤ 𝑥 → (abs‘𝐵) < 𝑒)))
38	32, 36, 37	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → (∃𝑐 ∈ (if(𝐷 ≤ (𝑇 + 1), (𝑇 + 1), 𝐷)[,)+∞)∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝑐 ≤ 𝑥 → (abs‘𝐵) < 𝑒) ↔ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝑐 ≤ 𝑥 → (abs‘𝐵) < 𝑒)))
39		elicopnf 13498	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (if(𝐷 ≤ (𝑇 + 1), (𝑇 + 1), 𝐷) ∈ ℝ → (𝑐 ∈ (if(𝐷 ≤ (𝑇 + 1), (𝑇 + 1), 𝐷)[,)+∞) ↔ (𝑐 ∈ ℝ ∧ if(𝐷 ≤ (𝑇 + 1), (𝑇 + 1), 𝐷) ≤ 𝑐)))
40	35, 39	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑐 ∈ (if(𝐷 ≤ (𝑇 + 1), (𝑇 + 1), 𝐷)[,)+∞) ↔ (𝑐 ∈ ℝ ∧ if(𝐷 ≤ (𝑇 + 1), (𝑇 + 1), 𝐷) ≤ 𝑐)))
41	40	simprbda 504	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (if(𝐷 ≤ (𝑇 + 1), (𝑇 + 1), 𝐷)[,)+∞)) → 𝑐 ∈ ℝ)
42	9	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (if(𝐷 ≤ (𝑇 + 1), (𝑇 + 1), 𝐷)[,)+∞)) → 𝑇 ∈ ℝ)
43	42, 33	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (if(𝐷 ≤ (𝑇 + 1), (𝑇 + 1), 𝐷)[,)+∞)) → (𝑇 + 1) ∈ ℝ)
44	42	ltp1d 12169	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (if(𝐷 ≤ (𝑇 + 1), (𝑇 + 1), 𝐷)[,)+∞)) → 𝑇 < (𝑇 + 1))
45	40	simplbda 505	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (if(𝐷 ≤ (𝑇 + 1), (𝑇 + 1), 𝐷)[,)+∞)) → if(𝐷 ≤ (𝑇 + 1), (𝑇 + 1), 𝐷) ≤ 𝑐)
46	7	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (if(𝐷 ≤ (𝑇 + 1), (𝑇 + 1), 𝐷)[,)+∞)) → 𝐷 ∈ ℝ)
47		maxle 13243	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐷 ∈ ℝ ∧ (𝑇 + 1) ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ℝ) → (if(𝐷 ≤ (𝑇 + 1), (𝑇 + 1), 𝐷) ≤ 𝑐 ↔ (𝐷 ≤ 𝑐 ∧ (𝑇 + 1) ≤ 𝑐)))
48	46, 43, 41, 47	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (if(𝐷 ≤ (𝑇 + 1), (𝑇 + 1), 𝐷)[,)+∞)) → (if(𝐷 ≤ (𝑇 + 1), (𝑇 + 1), 𝐷) ≤ 𝑐 ↔ (𝐷 ≤ 𝑐 ∧ (𝑇 + 1) ≤ 𝑐)))
49	45, 48	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (if(𝐷 ≤ (𝑇 + 1), (𝑇 + 1), 𝐷)[,)+∞)) → (𝐷 ≤ 𝑐 ∧ (𝑇 + 1) ≤ 𝑐))
50	49	simprd 501	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (if(𝐷 ≤ (𝑇 + 1), (𝑇 + 1), 𝐷)[,)+∞)) → (𝑇 + 1) ≤ 𝑐)
51	42, 43, 41, 44, 50	ltletrd 11394	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (if(𝐷 ≤ (𝑇 + 1), (𝑇 + 1), 𝐷)[,)+∞)) → 𝑇 < 𝑐)
52	22	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (if(𝐷 ≤ (𝑇 + 1), (𝑇 + 1), 𝐷)[,)+∞)) → 𝑇 ∈ ℝ*)
53		elioopnf 13496	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑇 ∈ ℝ* → (𝑐 ∈ (𝑇(,)+∞) ↔ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑇 < 𝑐)))
54	52, 53	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (if(𝐷 ≤ (𝑇 + 1), (𝑇 + 1), 𝐷)[,)+∞)) → (𝑐 ∈ (𝑇(,)+∞) ↔ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑇 < 𝑐)))
55	41, 51, 54	mpbir2and 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (if(𝐷 ≤ (𝑇 + 1), (𝑇 + 1), 𝐷)[,)+∞)) → 𝑐 ∈ (𝑇(,)+∞))
56	55, 1	eleqtrrdi 2871	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (if(𝐷 ≤ (𝑇 + 1), (𝑇 + 1), 𝐷)[,)+∞)) → 𝑐 ∈ 𝑆)
57	49	simpld 500	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (if(𝐷 ≤ (𝑇 + 1), (𝑇 + 1), 𝐷)[,)+∞)) → 𝐷 ≤ 𝑐)
58	56, 57	jca 521	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (if(𝐷 ≤ (𝑇 + 1), (𝑇 + 1), 𝐷)[,)+∞)) → (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≤ 𝑐))
59	58	adantlr 728	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑐 ∈ (if(𝐷 ≤ (𝑇 + 1), (𝑇 + 1), 𝐷)[,)+∞)) → (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≤ 𝑐))
60		simprrl 793	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≤ 𝑐))) → 𝑐 ∈ 𝑆)
61	60	adantrr 730	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≤ 𝑐)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑐 ≤ 𝑦))) → 𝑐 ∈ 𝑆)
62	3, 61	sselid 3929	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≤ 𝑐)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑐 ≤ 𝑦))) → 𝑐 ∈ ℝ)
63	62	leidd 11804	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≤ 𝑐)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑐 ≤ 𝑦))) → 𝑐 ≤ 𝑐)
64		nfv 1947	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑐 ≤ 𝑐
65		nfcv 2922	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ Ⅎ𝑥abs
66		nfcsb1v 3871	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑐 / 𝑥⦌𝐵
67	65, 66	nffv 6888	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ Ⅎ𝑥(abs‘⦋𝑐 / 𝑥⦌𝐵)
68		nfcv 2922	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ Ⅎ𝑥 <
69		nfcv 2922	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ Ⅎ𝑥𝑒
70	67, 68, 69	nfbr 5152	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Ⅎ𝑥(abs‘⦋𝑐 / 𝑥⦌𝐵) < 𝑒
71	64, 70	nfim 1929	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑐 ≤ 𝑐 → (abs‘⦋𝑐 / 𝑥⦌𝐵) < 𝑒)
72		breq2 5107	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 = 𝑐 → (𝑐 ≤ 𝑥 ↔ 𝑐 ≤ 𝑐))
73		csbeq1a 3861	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑥 = 𝑐 → 𝐵 = ⦋𝑐 / 𝑥⦌𝐵)
74	73	fveq2d 6882	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 = 𝑐 → (abs‘𝐵) = (abs‘⦋𝑐 / 𝑥⦌𝐵))
75	74	breq1d 5113	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 = 𝑐 → ((abs‘𝐵) < 𝑒 ↔ (abs‘⦋𝑐 / 𝑥⦌𝐵) < 𝑒))
76	72, 75	imbi12d 347	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 = 𝑐 → ((𝑐 ≤ 𝑥 → (abs‘𝐵) < 𝑒) ↔ (𝑐 ≤ 𝑐 → (abs‘⦋𝑐 / 𝑥⦌𝐵) < 𝑒)))
77	71, 76	rspc 3564	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑐 ∈ 𝑆 → (∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝑐 ≤ 𝑥 → (abs‘𝐵) < 𝑒) → (𝑐 ≤ 𝑐 → (abs‘⦋𝑐 / 𝑥⦌𝐵) < 𝑒)))
78	61, 77	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≤ 𝑐)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑐 ≤ 𝑦))) → (∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝑐 ≤ 𝑥 → (abs‘𝐵) < 𝑒) → (𝑐 ≤ 𝑐 → (abs‘⦋𝑐 / 𝑥⦌𝐵) < 𝑒)))
79	63, 78	mpid 45	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≤ 𝑐)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑐 ≤ 𝑦))) → (∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝑐 ≤ 𝑥 → (abs‘𝐵) < 𝑒) → (abs‘⦋𝑐 / 𝑥⦌𝐵) < 𝑒))
80	4, 10, 11, 13	dvmptrecl 26251	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐵 ∈ ℝ)
81	80	adantrr 730	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≤ 𝑥)) → 𝐵 ∈ ℝ)
82		dvfsumrlim.l	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ (𝐷 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑘)) → 𝐶 ≤ 𝐵)
83	1, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 82, 15, 27	dvfsumrlimge0 26257	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≤ 𝑥)) → 0 ≤ 𝐵)
84		elrege0 13507	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝐵 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵))
85	81, 83, 84	sylanbrc 595	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≤ 𝑥)) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
86	85	expr 462	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝐷 ≤ 𝑥 → 𝐵 ∈ (0[,)+∞)))
87	86	ralrimiva 3154	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝐷 ≤ 𝑥 → 𝐵 ∈ (0[,)+∞)))
88	87	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≤ 𝑐)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑐 ≤ 𝑦))) → ∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝐷 ≤ 𝑥 → 𝐵 ∈ (0[,)+∞)))
89		simprrr 794	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≤ 𝑐))) → 𝐷 ≤ 𝑐)
90	89	adantrr 730	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≤ 𝑐)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑐 ≤ 𝑦))) → 𝐷 ≤ 𝑐)
91		nfv 1947	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ Ⅎ𝑥 𝐷 ≤ 𝑐
92	66	nfel1 2938	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑐 / 𝑥⦌𝐵 ∈ (0[,)+∞)
93	91, 92	nfim 1929	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐷 ≤ 𝑐 → ⦋𝑐 / 𝑥⦌𝐵 ∈ (0[,)+∞))
94		breq2 5107	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑥 = 𝑐 → (𝐷 ≤ 𝑥 ↔ 𝐷 ≤ 𝑐))
95	73	eleq1d 2845	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑥 = 𝑐 → (𝐵 ∈ (0[,)+∞) ↔ ⦋𝑐 / 𝑥⦌𝐵 ∈ (0[,)+∞)))
96	94, 95	imbi12d 347	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑥 = 𝑐 → ((𝐷 ≤ 𝑥 → 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ↔ (𝐷 ≤ 𝑐 → ⦋𝑐 / 𝑥⦌𝐵 ∈ (0[,)+∞))))
97	93, 96	rspc 3564	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑐 ∈ 𝑆 → (∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝐷 ≤ 𝑥 → 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → (𝐷 ≤ 𝑐 → ⦋𝑐 / 𝑥⦌𝐵 ∈ (0[,)+∞))))
98	61, 88, 90, 97	syl3c 67	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≤ 𝑐)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑐 ≤ 𝑦))) → ⦋𝑐 / 𝑥⦌𝐵 ∈ (0[,)+∞))
99		elrege0 13507	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (⦋𝑐 / 𝑥⦌𝐵 ∈ (0[,)+∞) ↔ (⦋𝑐 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ⦋𝑐 / 𝑥⦌𝐵))
100	98, 99	sylib 221	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≤ 𝑐)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑐 ≤ 𝑦))) → (⦋𝑐 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ⦋𝑐 / 𝑥⦌𝐵))
101		absid 15383	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((⦋𝑐 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ⦋𝑐 / 𝑥⦌𝐵) → (abs‘⦋𝑐 / 𝑥⦌𝐵) = ⦋𝑐 / 𝑥⦌𝐵)
102	100, 101	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≤ 𝑐)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑐 ≤ 𝑦))) → (abs‘⦋𝑐 / 𝑥⦌𝐵) = ⦋𝑐 / 𝑥⦌𝐵)
103	102	breq1d 5113	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≤ 𝑐)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑐 ≤ 𝑦))) → ((abs‘⦋𝑐 / 𝑥⦌𝐵) < 𝑒 ↔ ⦋𝑐 / 𝑥⦌𝐵 < 𝑒))
104	6	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≤ 𝑐)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑐 ≤ 𝑦))) → 𝑀 ∈ ℤ)
105	7	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≤ 𝑐)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑐 ≤ 𝑦))) → 𝐷 ∈ ℝ)
106	8	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≤ 𝑐)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑐 ≤ 𝑦))) → 𝑀 ≤ (𝐷 + 1))
107	9	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≤ 𝑐)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑐 ≤ 𝑦))) → 𝑇 ∈ ℝ)
108	10	adantlr 728	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≤ 𝑐)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑐 ≤ 𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐴 ∈ ℝ)
109	11	adantlr 728	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≤ 𝑐)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑐 ≤ 𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐵 ∈ 𝑉)
110	12	adantlr 728	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≤ 𝑐)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑐 ≤ 𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
111	13	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≤ 𝑐)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑐 ≤ 𝑦))) → (ℝ D (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵))
112		pnfxr 11287	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
113	112	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≤ 𝑐)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑐 ≤ 𝑦))) → +∞ ∈ ℝ*)
114		3simpa 1166	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐷 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ +∞) → (𝐷 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑘))
115	114, 82	syl3an3 1183	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ (𝐷 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ +∞)) → 𝐶 ≤ 𝐵)
116	115	3adant1r 1196	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≤ 𝑐)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑐 ≤ 𝑦))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ (𝐷 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ +∞)) → 𝐶 ≤ 𝐵)
117	83	3adantr3 1190	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ +∞)) → 0 ≤ 𝐵)
118	117	adantlr 728	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≤ 𝑐)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑐 ≤ 𝑦))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ +∞)) → 0 ≤ 𝐵)
119		simprrl 793	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≤ 𝑐)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑐 ≤ 𝑦))) → 𝑦 ∈ 𝑆)
120		simprrr 794	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≤ 𝑐)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑐 ≤ 𝑦))) → 𝑐 ≤ 𝑦)
121	3, 21	sstri 3940	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 𝑆 ⊆ ℝ*
122	121, 119	sselid 3929	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≤ 𝑐)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑐 ≤ 𝑦))) → 𝑦 ∈ ℝ*)
123		pnfge 13181	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ* → 𝑦 ≤ +∞)
124	122, 123	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≤ 𝑐)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑐 ≤ 𝑦))) → 𝑦 ≤ +∞)
125	1, 5, 104, 105, 106, 107, 108, 109, 110, 111, 14, 113, 116, 15, 118, 61, 119, 90, 120, 124	dvfsumlem4 26256	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≤ 𝑐)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑐 ≤ 𝑦))) → (abs‘((𝐺‘𝑦) − (𝐺‘𝑐))) ≤ ⦋𝑐 / 𝑥⦌𝐵)
126	19	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≤ 𝑐)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑐 ≤ 𝑦))) → 𝐺:𝑆⟶ℂ)
127	126, 119	ffvelcdmd 7078	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≤ 𝑐)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑐 ≤ 𝑦))) → (𝐺‘𝑦) ∈ ℂ)
128	126, 61	ffvelcdmd 7078	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≤ 𝑐)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑐 ≤ 𝑦))) → (𝐺‘𝑐) ∈ ℂ)
129	127, 128	subcld 11593	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≤ 𝑐)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑐 ≤ 𝑦))) → ((𝐺‘𝑦) − (𝐺‘𝑐)) ∈ ℂ)
130	129	abscld 15526	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≤ 𝑐)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑐 ≤ 𝑦))) → (abs‘((𝐺‘𝑦) − (𝐺‘𝑐))) ∈ ℝ)
131	100	simpld 500	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≤ 𝑐)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑐 ≤ 𝑦))) → ⦋𝑐 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℝ)
132		simprll 791	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≤ 𝑐)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑐 ≤ 𝑦))) → 𝑒 ∈ ℝ+)
133	132	rpred 13086	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≤ 𝑐)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑐 ≤ 𝑦))) → 𝑒 ∈ ℝ)
134		lelttr 11324	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((abs‘((𝐺‘𝑦) − (𝐺‘𝑐))) ∈ ℝ ∧ ⦋𝑐 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑒 ∈ ℝ) → (((abs‘((𝐺‘𝑦) − (𝐺‘𝑐))) ≤ ⦋𝑐 / 𝑥⦌𝐵 ∧ ⦋𝑐 / 𝑥⦌𝐵 < 𝑒) → (abs‘((𝐺‘𝑦) − (𝐺‘𝑐))) < 𝑒))
135	130, 131, 133, 134	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≤ 𝑐)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑐 ≤ 𝑦))) → (((abs‘((𝐺‘𝑦) − (𝐺‘𝑐))) ≤ ⦋𝑐 / 𝑥⦌𝐵 ∧ ⦋𝑐 / 𝑥⦌𝐵 < 𝑒) → (abs‘((𝐺‘𝑦) − (𝐺‘𝑐))) < 𝑒))
136	125, 135	mpand 708	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≤ 𝑐)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑐 ≤ 𝑦))) → (⦋𝑐 / 𝑥⦌𝐵 < 𝑒 → (abs‘((𝐺‘𝑦) − (𝐺‘𝑐))) < 𝑒))
137	103, 136	sylbid 243	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≤ 𝑐)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑐 ≤ 𝑦))) → ((abs‘⦋𝑐 / 𝑥⦌𝐵) < 𝑒 → (abs‘((𝐺‘𝑦) − (𝐺‘𝑐))) < 𝑒))
138	79, 137	syld 48	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≤ 𝑐)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑐 ≤ 𝑦))) → (∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝑐 ≤ 𝑥 → (abs‘𝐵) < 𝑒) → (abs‘((𝐺‘𝑦) − (𝐺‘𝑐))) < 𝑒))
139	138	anassrs 473	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≤ 𝑐))) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑐 ≤ 𝑦)) → (∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝑐 ≤ 𝑥 → (abs‘𝐵) < 𝑒) → (abs‘((𝐺‘𝑦) − (𝐺‘𝑐))) < 𝑒))
140	139	expr 462	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≤ 𝑐))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝑐 ≤ 𝑦 → (∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝑐 ≤ 𝑥 → (abs‘𝐵) < 𝑒) → (abs‘((𝐺‘𝑦) − (𝐺‘𝑐))) < 𝑒)))
141	140	com23 87	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≤ 𝑐))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝑐 ≤ 𝑥 → (abs‘𝐵) < 𝑒) → (𝑐 ≤ 𝑦 → (abs‘((𝐺‘𝑦) − (𝐺‘𝑐))) < 𝑒)))
142	141	ralrimdva 3162	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≤ 𝑐))) → (∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝑐 ≤ 𝑥 → (abs‘𝐵) < 𝑒) → ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑐 ≤ 𝑦 → (abs‘((𝐺‘𝑦) − (𝐺‘𝑐))) < 𝑒)))
143	142, 60	jctild 535	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≤ 𝑐))) → (∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝑐 ≤ 𝑥 → (abs‘𝐵) < 𝑒) → (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑐 ≤ 𝑦 → (abs‘((𝐺‘𝑦) − (𝐺‘𝑐))) < 𝑒))))
144	143	anassrs 473	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≤ 𝑐)) → (∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝑐 ≤ 𝑥 → (abs‘𝐵) < 𝑒) → (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑐 ≤ 𝑦 → (abs‘((𝐺‘𝑦) − (𝐺‘𝑐))) < 𝑒))))
145	59, 144	syldan 603	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑐 ∈ (if(𝐷 ≤ (𝑇 + 1), (𝑇 + 1), 𝐷)[,)+∞)) → (∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝑐 ≤ 𝑥 → (abs‘𝐵) < 𝑒) → (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑐 ≤ 𝑦 → (abs‘((𝐺‘𝑦) − (𝐺‘𝑐))) < 𝑒))))
146	145	expimpd 459	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → ((𝑐 ∈ (if(𝐷 ≤ (𝑇 + 1), (𝑇 + 1), 𝐷)[,)+∞) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝑐 ≤ 𝑥 → (abs‘𝐵) < 𝑒)) → (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑐 ≤ 𝑦 → (abs‘((𝐺‘𝑦) − (𝐺‘𝑐))) < 𝑒))))
147	146	reximdv2 3172	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → (∃𝑐 ∈ (if(𝐷 ≤ (𝑇 + 1), (𝑇 + 1), 𝐷)[,)+∞)∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝑐 ≤ 𝑥 → (abs‘𝐵) < 𝑒) → ∃𝑐 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑐 ≤ 𝑦 → (abs‘((𝐺‘𝑦) − (𝐺‘𝑐))) < 𝑒)))
148	38, 147	sylbird 263	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → (∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝑐 ≤ 𝑥 → (abs‘𝐵) < 𝑒) → ∃𝑐 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑐 ≤ 𝑦 → (abs‘((𝐺‘𝑦) − (𝐺‘𝑐))) < 𝑒)))
149	148	ralimdva 3174	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝑐 ≤ 𝑥 → (abs‘𝐵) < 𝑒) → ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑐 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑐 ≤ 𝑦 → (abs‘((𝐺‘𝑦) − (𝐺‘𝑐))) < 𝑒)))
150	31, 149	mpd 16	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑐 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑐 ≤ 𝑦 → (abs‘((𝐺‘𝑦) − (𝐺‘𝑐))) < 𝑒))
151	4, 19, 26, 150	caucvgr 15763	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ dom ⇝𝑟 )

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  ∀wral 3076  ∃wrex 3086  ⦋csb 3847   ⊆ wss 3899  ifcif 4482   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186  dom cdm 5655  ⟶wf 6529  ‘cfv 6533  (class class class)co 7413  supcsup 9410  ℂcc 11122  ℝcr 11123  0cc0 11124  1c1 11125   + caddc 11127  +∞cpnf 11264  ℝ^*cxr 11266   < clt 11267   ≤ cle 11268   − cmin 11465  ℤcz 12615  ℤ_≥cuz 12887  ℝ⁺crp 13042  (,)cioo 13398  [,)cico 13400  ...cfz 13561  ⌊cfl 13851  abscabs 15321   ⇝_𝑟 crli 15572  Σcsu 15773   D cdv 26090

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-inf2 9620  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-pre-sup 11202  ax-addf 11203

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-of 7678  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-supp 8159  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-2o 8456  df-er 8696  df-map 8828  df-pm 8829  df-ixp 8905  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-fsupp 9332  df-fi 9381  df-sup 9412  df-inf 9413  df-oi 9482  df-card 9944  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-div 11896  df-nn 12258  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12529  df-z 12616  df-dec 12737  df-uz 12888  df-q 12998  df-rp 13043  df-xneg 13163  df-xadd 13164  df-xmul 13165  df-ioo 13402  df-ico 13404  df-icc 13405  df-fz 13562  df-fzo 13710  df-fl 13853  df-seq 14066  df-exp 14126  df-hash 14395  df-cj 15186  df-re 15187  df-im 15188  df-sqrt 15322  df-abs 15323  df-limsup 15558  df-clim 15575  df-rlim 15576  df-sum 15774  df-struct 17239  df-sets 17256  df-slot 17274  df-ndx 17286  df-base 17302  df-ress 17323  df-plusg 17355  df-mulr 17356  df-starv 17357  df-sca 17358  df-vsca 17359  df-ip 17360  df-tset 17361  df-ple 17362  df-ds 17364  df-unif 17365  df-hom 17366  df-cco 17367  df-rest 17507  df-topn 17508  df-0g 17526  df-gsum 17527  df-topgen 17528  df-pt 17529  df-prds 17532  df-xrs 17588  df-qtop 17593  df-imas 17594  df-xps 17596  df-mre 17670  df-mrc 17671  df-acs 17673  df-mgm 18730  df-sgrp 18821  df-mnd 18837  df-submnd 18892  df-mulg 19191  df-cntz 19444  df-cmn 19909  df-psmet 21577  df-xmet 21578  df-met 21579  df-bl 21580  df-mopn 21581  df-fbas 21582  df-fg 21583  df-cnfld 21586  df-top 23119  df-topon 23136  df-topsp 23158  df-bases 23171  df-cld 23244  df-ntr 23245  df-cls 23246  df-nei 23323  df-lp 23361  df-perf 23362  df-cn 23452  df-cnp 23453  df-haus 23540  df-cmp 23612  df-tx 23788  df-hmeo 23981  df-fil 24072  df-fm 24164  df-flim 24165  df-flf 24166  df-xms 24546  df-ms 24547  df-tms 24548  df-cncf 25106  df-limc 26093  df-dv 26094

This theorem is used by:  dvfsumrlim3  26260