MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvfsumrlim Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvfsumrlim 25781
Description: Compare a finite sum to an integral (the integral here is given as a function with a known derivative). The statement here says that if π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐡 is a decreasing function with antiderivative 𝐴 converging to zero, then the difference between Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...(βŒŠβ€˜π‘₯))𝐡(π‘˜) and 𝐴(π‘₯) = βˆ«π‘’ ∈ (𝑀[,]π‘₯)𝐡(𝑒) d𝑒 converges to a constant limit value, with the remainder term bounded by 𝐡(π‘₯). (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dvfsum.s 𝑆 = (𝑇(,)+∞)
dvfsum.z 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
dvfsum.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
dvfsum.d (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ ℝ)
dvfsum.md (πœ‘ β†’ 𝑀 ≀ (𝐷 + 1))
dvfsum.t (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ ℝ)
dvfsum.a ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
dvfsum.b1 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ 𝐡 ∈ 𝑉)
dvfsum.b2 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑍) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
dvfsum.b3 (πœ‘ β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)) = (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐡))
dvfsum.c (π‘₯ = π‘˜ β†’ 𝐡 = 𝐢)
dvfsumrlim.l ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ π‘˜ ∈ 𝑆) ∧ (𝐷 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ π‘˜)) β†’ 𝐢 ≀ 𝐡)
dvfsumrlim.g 𝐺 = (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ (Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...(βŒŠβ€˜π‘₯))𝐢 βˆ’ 𝐴))
dvfsumrlim.k (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐡) β‡π‘Ÿ 0)
Assertion
Ref Expression
dvfsumrlim (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ dom β‡π‘Ÿ )
Distinct variable groups:   𝐡,π‘˜   π‘₯,𝐢   π‘₯,π‘˜,𝐷   πœ‘,π‘˜,π‘₯   𝑆,π‘˜,π‘₯   π‘˜,𝑀,π‘₯   π‘₯,𝑇   π‘₯,𝑍
Allowed substitution hints:   𝐴(π‘₯,π‘˜)   𝐡(π‘₯)   𝐢(π‘˜)   𝑇(π‘˜)   𝐺(π‘₯,π‘˜)   𝑉(π‘₯,π‘˜)   𝑍(π‘˜)

Proof of Theorem dvfsumrlim
Dummy variables 𝑦 𝑒 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvfsum.s . . . 4 𝑆 = (𝑇(,)+∞)
2 ioossre 13390 . . . 4 (𝑇(,)+∞) βŠ† ℝ
31, 2eqsstri 4017 . . 3 𝑆 βŠ† ℝ
43a1i 11 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† ℝ)
5 dvfsum.z . . . 4 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
6 dvfsum.m . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
7 dvfsum.d . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ ℝ)
8 dvfsum.md . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑀 ≀ (𝐷 + 1))
9 dvfsum.t . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ ℝ)
10 dvfsum.a . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
11 dvfsum.b1 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ 𝐡 ∈ 𝑉)
12 dvfsum.b2 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑍) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
13 dvfsum.b3 . . . 4 (πœ‘ β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)) = (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐡))
14 dvfsum.c . . . 4 (π‘₯ = π‘˜ β†’ 𝐡 = 𝐢)
15 dvfsumrlim.g . . . 4 𝐺 = (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ (Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...(βŒŠβ€˜π‘₯))𝐢 βˆ’ 𝐴))
161, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15dvfsumrlimf 25775 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐺:π‘†βŸΆβ„)
17 ax-resscn 11170 . . 3 ℝ βŠ† β„‚
18 fss 6735 . . 3 ((𝐺:π‘†βŸΆβ„ ∧ ℝ βŠ† β„‚) β†’ 𝐺:π‘†βŸΆβ„‚)
1916, 17, 18sylancl 585 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐺:π‘†βŸΆβ„‚)
201supeq1i 9445 . . 3 sup(𝑆, ℝ*, < ) = sup((𝑇(,)+∞), ℝ*, < )
21 ressxr 11263 . . . . 5 ℝ βŠ† ℝ*
2221, 9sselid 3981 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ ℝ*)
239renepnfd 11270 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑇 β‰  +∞)
24 ioopnfsup 13834 . . . 4 ((𝑇 ∈ ℝ* ∧ 𝑇 β‰  +∞) β†’ sup((𝑇(,)+∞), ℝ*, < ) = +∞)
2522, 23, 24syl2anc 583 . . 3 (πœ‘ β†’ sup((𝑇(,)+∞), ℝ*, < ) = +∞)
2620, 25eqtrid 2783 . 2 (πœ‘ β†’ sup(𝑆, ℝ*, < ) = +∞)
27 dvfsumrlim.k . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐡) β‡π‘Ÿ 0)
2811, 27rlimmptrcl 15557 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
2928ralrimiva 3145 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 𝐡 ∈ β„‚)
3029, 4rlim0 15457 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐡) β‡π‘Ÿ 0 ↔ βˆ€π‘’ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘ ∈ ℝ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (𝑐 ≀ π‘₯ β†’ (absβ€˜π΅) < 𝑒)))
3127, 30mpbid 231 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘’ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘ ∈ ℝ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (𝑐 ≀ π‘₯ β†’ (absβ€˜π΅) < 𝑒))
323a1i 11 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) β†’ 𝑆 βŠ† ℝ)
33 peano2re 11392 . . . . . . . . 9 (𝑇 ∈ ℝ β†’ (𝑇 + 1) ∈ ℝ)
349, 33syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑇 + 1) ∈ ℝ)
3534, 7ifcld 4575 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ if(𝐷 ≀ (𝑇 + 1), (𝑇 + 1), 𝐷) ∈ ℝ)
3635adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) β†’ if(𝐷 ≀ (𝑇 + 1), (𝑇 + 1), 𝐷) ∈ ℝ)
37 rexico 15305 . . . . . 6 ((𝑆 βŠ† ℝ ∧ if(𝐷 ≀ (𝑇 + 1), (𝑇 + 1), 𝐷) ∈ ℝ) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ (if(𝐷 ≀ (𝑇 + 1), (𝑇 + 1), 𝐷)[,)+∞)βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (𝑐 ≀ π‘₯ β†’ (absβ€˜π΅) < 𝑒) ↔ βˆƒπ‘ ∈ ℝ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (𝑐 ≀ π‘₯ β†’ (absβ€˜π΅) < 𝑒)))
3832, 36, 37syl2anc 583 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ (if(𝐷 ≀ (𝑇 + 1), (𝑇 + 1), 𝐷)[,)+∞)βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (𝑐 ≀ π‘₯ β†’ (absβ€˜π΅) < 𝑒) ↔ βˆƒπ‘ ∈ ℝ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (𝑐 ≀ π‘₯ β†’ (absβ€˜π΅) < 𝑒)))
39 elicopnf 13427 . . . . . . . . . . . . . 14 (if(𝐷 ≀ (𝑇 + 1), (𝑇 + 1), 𝐷) ∈ ℝ β†’ (𝑐 ∈ (if(𝐷 ≀ (𝑇 + 1), (𝑇 + 1), 𝐷)[,)+∞) ↔ (𝑐 ∈ ℝ ∧ if(𝐷 ≀ (𝑇 + 1), (𝑇 + 1), 𝐷) ≀ 𝑐)))
4035, 39syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (𝑐 ∈ (if(𝐷 ≀ (𝑇 + 1), (𝑇 + 1), 𝐷)[,)+∞) ↔ (𝑐 ∈ ℝ ∧ if(𝐷 ≀ (𝑇 + 1), (𝑇 + 1), 𝐷) ≀ 𝑐)))
4140simprbda 498 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (if(𝐷 ≀ (𝑇 + 1), (𝑇 + 1), 𝐷)[,)+∞)) β†’ 𝑐 ∈ ℝ)
429adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (if(𝐷 ≀ (𝑇 + 1), (𝑇 + 1), 𝐷)[,)+∞)) β†’ 𝑇 ∈ ℝ)
4342, 33syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (if(𝐷 ≀ (𝑇 + 1), (𝑇 + 1), 𝐷)[,)+∞)) β†’ (𝑇 + 1) ∈ ℝ)
4442ltp1d 12149 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (if(𝐷 ≀ (𝑇 + 1), (𝑇 + 1), 𝐷)[,)+∞)) β†’ 𝑇 < (𝑇 + 1))
4540simplbda 499 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (if(𝐷 ≀ (𝑇 + 1), (𝑇 + 1), 𝐷)[,)+∞)) β†’ if(𝐷 ≀ (𝑇 + 1), (𝑇 + 1), 𝐷) ≀ 𝑐)
467adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (if(𝐷 ≀ (𝑇 + 1), (𝑇 + 1), 𝐷)[,)+∞)) β†’ 𝐷 ∈ ℝ)
47 maxle 13175 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐷 ∈ ℝ ∧ (𝑇 + 1) ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ℝ) β†’ (if(𝐷 ≀ (𝑇 + 1), (𝑇 + 1), 𝐷) ≀ 𝑐 ↔ (𝐷 ≀ 𝑐 ∧ (𝑇 + 1) ≀ 𝑐)))
4846, 43, 41, 47syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (if(𝐷 ≀ (𝑇 + 1), (𝑇 + 1), 𝐷)[,)+∞)) β†’ (if(𝐷 ≀ (𝑇 + 1), (𝑇 + 1), 𝐷) ≀ 𝑐 ↔ (𝐷 ≀ 𝑐 ∧ (𝑇 + 1) ≀ 𝑐)))
4945, 48mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (if(𝐷 ≀ (𝑇 + 1), (𝑇 + 1), 𝐷)[,)+∞)) β†’ (𝐷 ≀ 𝑐 ∧ (𝑇 + 1) ≀ 𝑐))
5049simprd 495 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (if(𝐷 ≀ (𝑇 + 1), (𝑇 + 1), 𝐷)[,)+∞)) β†’ (𝑇 + 1) ≀ 𝑐)
5142, 43, 41, 44, 50ltletrd 11379 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (if(𝐷 ≀ (𝑇 + 1), (𝑇 + 1), 𝐷)[,)+∞)) β†’ 𝑇 < 𝑐)
5222adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (if(𝐷 ≀ (𝑇 + 1), (𝑇 + 1), 𝐷)[,)+∞)) β†’ 𝑇 ∈ ℝ*)
53 elioopnf 13425 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑇 ∈ ℝ* β†’ (𝑐 ∈ (𝑇(,)+∞) ↔ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑇 < 𝑐)))
5452, 53syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (if(𝐷 ≀ (𝑇 + 1), (𝑇 + 1), 𝐷)[,)+∞)) β†’ (𝑐 ∈ (𝑇(,)+∞) ↔ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑇 < 𝑐)))
5541, 51, 54mpbir2and 710 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (if(𝐷 ≀ (𝑇 + 1), (𝑇 + 1), 𝐷)[,)+∞)) β†’ 𝑐 ∈ (𝑇(,)+∞))
5655, 1eleqtrrdi 2843 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (if(𝐷 ≀ (𝑇 + 1), (𝑇 + 1), 𝐷)[,)+∞)) β†’ 𝑐 ∈ 𝑆)
5749simpld 494 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (if(𝐷 ≀ (𝑇 + 1), (𝑇 + 1), 𝐷)[,)+∞)) β†’ 𝐷 ≀ 𝑐)
5856, 57jca 511 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (if(𝐷 ≀ (𝑇 + 1), (𝑇 + 1), 𝐷)[,)+∞)) β†’ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≀ 𝑐))
5958adantlr 712 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑐 ∈ (if(𝐷 ≀ (𝑇 + 1), (𝑇 + 1), 𝐷)[,)+∞)) β†’ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≀ 𝑐))
60 simprrl 778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≀ 𝑐))) β†’ 𝑐 ∈ 𝑆)
6160adantrr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≀ 𝑐)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑐 ≀ 𝑦))) β†’ 𝑐 ∈ 𝑆)
623, 61sselid 3981 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≀ 𝑐)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑐 ≀ 𝑦))) β†’ 𝑐 ∈ ℝ)
6362leidd 11785 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≀ 𝑐)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑐 ≀ 𝑦))) β†’ 𝑐 ≀ 𝑐)
64 nfv 1916 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 β„²π‘₯ 𝑐 ≀ 𝑐
65 nfcv 2902 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 β„²π‘₯abs
66 nfcsb1v 3919 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 β„²π‘₯⦋𝑐 / π‘₯⦌𝐡
6765, 66nffv 6902 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 β„²π‘₯(absβ€˜β¦‹π‘ / π‘₯⦌𝐡)
68 nfcv 2902 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 β„²π‘₯ <
69 nfcv 2902 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 β„²π‘₯𝑒
7067, 68, 69nfbr 5196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 β„²π‘₯(absβ€˜β¦‹π‘ / π‘₯⦌𝐡) < 𝑒
7164, 70nfim 1898 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 β„²π‘₯(𝑐 ≀ 𝑐 β†’ (absβ€˜β¦‹π‘ / π‘₯⦌𝐡) < 𝑒)
72 breq2 5153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘₯ = 𝑐 β†’ (𝑐 ≀ π‘₯ ↔ 𝑐 ≀ 𝑐))
73 csbeq1a 3908 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (π‘₯ = 𝑐 β†’ 𝐡 = ⦋𝑐 / π‘₯⦌𝐡)
7473fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘₯ = 𝑐 β†’ (absβ€˜π΅) = (absβ€˜β¦‹π‘ / π‘₯⦌𝐡))
7574breq1d 5159 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘₯ = 𝑐 β†’ ((absβ€˜π΅) < 𝑒 ↔ (absβ€˜β¦‹π‘ / π‘₯⦌𝐡) < 𝑒))
7672, 75imbi12d 343 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘₯ = 𝑐 β†’ ((𝑐 ≀ π‘₯ β†’ (absβ€˜π΅) < 𝑒) ↔ (𝑐 ≀ 𝑐 β†’ (absβ€˜β¦‹π‘ / π‘₯⦌𝐡) < 𝑒)))
7771, 76rspc 3601 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑐 ∈ 𝑆 β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (𝑐 ≀ π‘₯ β†’ (absβ€˜π΅) < 𝑒) β†’ (𝑐 ≀ 𝑐 β†’ (absβ€˜β¦‹π‘ / π‘₯⦌𝐡) < 𝑒)))
7861, 77syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≀ 𝑐)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑐 ≀ 𝑦))) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (𝑐 ≀ π‘₯ β†’ (absβ€˜π΅) < 𝑒) β†’ (𝑐 ≀ 𝑐 β†’ (absβ€˜β¦‹π‘ / π‘₯⦌𝐡) < 𝑒)))
7963, 78mpid 44 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≀ 𝑐)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑐 ≀ 𝑦))) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (𝑐 ≀ π‘₯ β†’ (absβ€˜π΅) < 𝑒) β†’ (absβ€˜β¦‹π‘ / π‘₯⦌𝐡) < 𝑒))
804, 10, 11, 13dvmptrecl 25774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
8180adantrr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≀ π‘₯)) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
82 dvfsumrlim.l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ π‘˜ ∈ 𝑆) ∧ (𝐷 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ π‘˜)) β†’ 𝐢 ≀ 𝐡)
831, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 82, 15, 27dvfsumrlimge0 25780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≀ π‘₯)) β†’ 0 ≀ 𝐡)
84 elrege0 13436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝐡 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝐡 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐡))
8581, 83, 84sylanbrc 582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≀ π‘₯)) β†’ 𝐡 ∈ (0[,)+∞))
8685expr 456 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ (𝐷 ≀ π‘₯ β†’ 𝐡 ∈ (0[,)+∞)))
8786ralrimiva 3145 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (𝐷 ≀ π‘₯ β†’ 𝐡 ∈ (0[,)+∞)))
8887adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≀ 𝑐)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑐 ≀ 𝑦))) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (𝐷 ≀ π‘₯ β†’ 𝐡 ∈ (0[,)+∞)))
89 simprrr 779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≀ 𝑐))) β†’ 𝐷 ≀ 𝑐)
9089adantrr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≀ 𝑐)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑐 ≀ 𝑦))) β†’ 𝐷 ≀ 𝑐)
91 nfv 1916 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 β„²π‘₯ 𝐷 ≀ 𝑐
9266nfel1 2918 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 β„²π‘₯⦋𝑐 / π‘₯⦌𝐡 ∈ (0[,)+∞)
9391, 92nfim 1898 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 β„²π‘₯(𝐷 ≀ 𝑐 β†’ ⦋𝑐 / π‘₯⦌𝐡 ∈ (0[,)+∞))
94 breq2 5153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (π‘₯ = 𝑐 β†’ (𝐷 ≀ π‘₯ ↔ 𝐷 ≀ 𝑐))
9573eleq1d 2817 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (π‘₯ = 𝑐 β†’ (𝐡 ∈ (0[,)+∞) ↔ ⦋𝑐 / π‘₯⦌𝐡 ∈ (0[,)+∞)))
9694, 95imbi12d 343 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (π‘₯ = 𝑐 β†’ ((𝐷 ≀ π‘₯ β†’ 𝐡 ∈ (0[,)+∞)) ↔ (𝐷 ≀ 𝑐 β†’ ⦋𝑐 / π‘₯⦌𝐡 ∈ (0[,)+∞))))
9793, 96rspc 3601 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑐 ∈ 𝑆 β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (𝐷 ≀ π‘₯ β†’ 𝐡 ∈ (0[,)+∞)) β†’ (𝐷 ≀ 𝑐 β†’ ⦋𝑐 / π‘₯⦌𝐡 ∈ (0[,)+∞))))
9861, 88, 90, 97syl3c 66 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≀ 𝑐)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑐 ≀ 𝑦))) β†’ ⦋𝑐 / π‘₯⦌𝐡 ∈ (0[,)+∞))
99 elrege0 13436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (⦋𝑐 / π‘₯⦌𝐡 ∈ (0[,)+∞) ↔ (⦋𝑐 / π‘₯⦌𝐡 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ ⦋𝑐 / π‘₯⦌𝐡))
10098, 99sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≀ 𝑐)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑐 ≀ 𝑦))) β†’ (⦋𝑐 / π‘₯⦌𝐡 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ ⦋𝑐 / π‘₯⦌𝐡))
101 absid 15248 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((⦋𝑐 / π‘₯⦌𝐡 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ ⦋𝑐 / π‘₯⦌𝐡) β†’ (absβ€˜β¦‹π‘ / π‘₯⦌𝐡) = ⦋𝑐 / π‘₯⦌𝐡)
102100, 101syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≀ 𝑐)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑐 ≀ 𝑦))) β†’ (absβ€˜β¦‹π‘ / π‘₯⦌𝐡) = ⦋𝑐 / π‘₯⦌𝐡)
103102breq1d 5159 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≀ 𝑐)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑐 ≀ 𝑦))) β†’ ((absβ€˜β¦‹π‘ / π‘₯⦌𝐡) < 𝑒 ↔ ⦋𝑐 / π‘₯⦌𝐡 < 𝑒))
1046adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≀ 𝑐)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑐 ≀ 𝑦))) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
1057adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≀ 𝑐)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑐 ≀ 𝑦))) β†’ 𝐷 ∈ ℝ)
1068adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≀ 𝑐)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑐 ≀ 𝑦))) β†’ 𝑀 ≀ (𝐷 + 1))
1079adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≀ 𝑐)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑐 ≀ 𝑦))) β†’ 𝑇 ∈ ℝ)
10810adantlr 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≀ 𝑐)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑐 ≀ 𝑦))) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
10911adantlr 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≀ 𝑐)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑐 ≀ 𝑦))) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ 𝐡 ∈ 𝑉)
11012adantlr 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≀ 𝑐)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑐 ≀ 𝑦))) ∧ π‘₯ ∈ 𝑍) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
11113adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≀ 𝑐)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑐 ≀ 𝑦))) β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)) = (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐡))
112 pnfxr 11273 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 +∞ ∈ ℝ*
113112a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≀ 𝑐)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑐 ≀ 𝑦))) β†’ +∞ ∈ ℝ*)
114 3simpa 1147 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐷 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ π‘˜ ∧ π‘˜ ≀ +∞) β†’ (𝐷 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ π‘˜))
115114, 82syl3an3 1164 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ π‘˜ ∈ 𝑆) ∧ (𝐷 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ π‘˜ ∧ π‘˜ ≀ +∞)) β†’ 𝐢 ≀ 𝐡)
1161153adant1r 1176 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≀ 𝑐)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑐 ≀ 𝑦))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ π‘˜ ∈ 𝑆) ∧ (𝐷 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ π‘˜ ∧ π‘˜ ≀ +∞)) β†’ 𝐢 ≀ 𝐡)
117833adantr3 1170 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ +∞)) β†’ 0 ≀ 𝐡)
118117adantlr 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≀ 𝑐)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑐 ≀ 𝑦))) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ +∞)) β†’ 0 ≀ 𝐡)
119 simprrl 778 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≀ 𝑐)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑐 ≀ 𝑦))) β†’ 𝑦 ∈ 𝑆)
120 simprrr 779 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≀ 𝑐)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑐 ≀ 𝑦))) β†’ 𝑐 ≀ 𝑦)
1213, 21sstri 3992 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑆 βŠ† ℝ*
122121, 119sselid 3981 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≀ 𝑐)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑐 ≀ 𝑦))) β†’ 𝑦 ∈ ℝ*)
123 pnfge 13115 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 ∈ ℝ* β†’ 𝑦 ≀ +∞)
124122, 123syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≀ 𝑐)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑐 ≀ 𝑦))) β†’ 𝑦 ≀ +∞)
1251, 5, 104, 105, 106, 107, 108, 109, 110, 111, 14, 113, 116, 15, 118, 61, 119, 90, 120, 124dvfsumlem4 25779 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≀ 𝑐)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑐 ≀ 𝑦))) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΊβ€˜π‘))) ≀ ⦋𝑐 / π‘₯⦌𝐡)
12619adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((πœ‘ ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≀ 𝑐)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑐 ≀ 𝑦))) β†’ 𝐺:π‘†βŸΆβ„‚)
127126, 119ffvelcdmd 7088 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≀ 𝑐)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑐 ≀ 𝑦))) β†’ (πΊβ€˜π‘¦) ∈ β„‚)
128126, 61ffvelcdmd 7088 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≀ 𝑐)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑐 ≀ 𝑦))) β†’ (πΊβ€˜π‘) ∈ β„‚)
129127, 128subcld 11576 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≀ 𝑐)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑐 ≀ 𝑦))) β†’ ((πΊβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΊβ€˜π‘)) ∈ β„‚)
130129abscld 15388 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≀ 𝑐)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑐 ≀ 𝑦))) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΊβ€˜π‘))) ∈ ℝ)
131100simpld 494 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≀ 𝑐)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑐 ≀ 𝑦))) β†’ ⦋𝑐 / π‘₯⦌𝐡 ∈ ℝ)
132 simprll 776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≀ 𝑐)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑐 ≀ 𝑦))) β†’ 𝑒 ∈ ℝ+)
133132rpred 13021 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≀ 𝑐)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑐 ≀ 𝑦))) β†’ 𝑒 ∈ ℝ)
134 lelttr 11309 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((absβ€˜((πΊβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΊβ€˜π‘))) ∈ ℝ ∧ ⦋𝑐 / π‘₯⦌𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝑒 ∈ ℝ) β†’ (((absβ€˜((πΊβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΊβ€˜π‘))) ≀ ⦋𝑐 / π‘₯⦌𝐡 ∧ ⦋𝑐 / π‘₯⦌𝐡 < 𝑒) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΊβ€˜π‘))) < 𝑒))
135130, 131, 133, 134syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≀ 𝑐)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑐 ≀ 𝑦))) β†’ (((absβ€˜((πΊβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΊβ€˜π‘))) ≀ ⦋𝑐 / π‘₯⦌𝐡 ∧ ⦋𝑐 / π‘₯⦌𝐡 < 𝑒) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΊβ€˜π‘))) < 𝑒))
136125, 135mpand 692 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≀ 𝑐)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑐 ≀ 𝑦))) β†’ (⦋𝑐 / π‘₯⦌𝐡 < 𝑒 β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΊβ€˜π‘))) < 𝑒))
137103, 136sylbid 239 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≀ 𝑐)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑐 ≀ 𝑦))) β†’ ((absβ€˜β¦‹π‘ / π‘₯⦌𝐡) < 𝑒 β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΊβ€˜π‘))) < 𝑒))
13879, 137syld 47 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≀ 𝑐)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑐 ≀ 𝑦))) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (𝑐 ≀ π‘₯ β†’ (absβ€˜π΅) < 𝑒) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΊβ€˜π‘))) < 𝑒))
139138anassrs 467 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≀ 𝑐))) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑐 ≀ 𝑦)) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (𝑐 ≀ π‘₯ β†’ (absβ€˜π΅) < 𝑒) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΊβ€˜π‘))) < 𝑒))
140139expr 456 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≀ 𝑐))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (𝑐 ≀ 𝑦 β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (𝑐 ≀ π‘₯ β†’ (absβ€˜π΅) < 𝑒) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΊβ€˜π‘))) < 𝑒)))
141140com23 86 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≀ 𝑐))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (𝑐 ≀ π‘₯ β†’ (absβ€˜π΅) < 𝑒) β†’ (𝑐 ≀ 𝑦 β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΊβ€˜π‘))) < 𝑒)))
142141ralrimdva 3153 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≀ 𝑐))) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (𝑐 ≀ π‘₯ β†’ (absβ€˜π΅) < 𝑒) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 (𝑐 ≀ 𝑦 β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΊβ€˜π‘))) < 𝑒)))
143142, 60jctild 525 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≀ 𝑐))) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (𝑐 ≀ π‘₯ β†’ (absβ€˜π΅) < 𝑒) β†’ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 (𝑐 ≀ 𝑦 β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΊβ€˜π‘))) < 𝑒))))
144143anassrs 467 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≀ 𝑐)) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (𝑐 ≀ π‘₯ β†’ (absβ€˜π΅) < 𝑒) β†’ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 (𝑐 ≀ 𝑦 β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΊβ€˜π‘))) < 𝑒))))
14559, 144syldan 590 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑐 ∈ (if(𝐷 ≀ (𝑇 + 1), (𝑇 + 1), 𝐷)[,)+∞)) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (𝑐 ≀ π‘₯ β†’ (absβ€˜π΅) < 𝑒) β†’ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 (𝑐 ≀ 𝑦 β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΊβ€˜π‘))) < 𝑒))))
146145expimpd 453 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) β†’ ((𝑐 ∈ (if(𝐷 ≀ (𝑇 + 1), (𝑇 + 1), 𝐷)[,)+∞) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (𝑐 ≀ π‘₯ β†’ (absβ€˜π΅) < 𝑒)) β†’ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 (𝑐 ≀ 𝑦 β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΊβ€˜π‘))) < 𝑒))))
147146reximdv2 3163 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ (if(𝐷 ≀ (𝑇 + 1), (𝑇 + 1), 𝐷)[,)+∞)βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (𝑐 ≀ π‘₯ β†’ (absβ€˜π΅) < 𝑒) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝑆 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 (𝑐 ≀ 𝑦 β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΊβ€˜π‘))) < 𝑒)))
14838, 147sylbird 259 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ ℝ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (𝑐 ≀ π‘₯ β†’ (absβ€˜π΅) < 𝑒) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝑆 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 (𝑐 ≀ 𝑦 β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΊβ€˜π‘))) < 𝑒)))
149148ralimdva 3166 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘’ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘ ∈ ℝ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (𝑐 ≀ π‘₯ β†’ (absβ€˜π΅) < 𝑒) β†’ βˆ€π‘’ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘ ∈ 𝑆 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 (𝑐 ≀ 𝑦 β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΊβ€˜π‘))) < 𝑒)))
15031, 149mpd 15 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘’ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘ ∈ 𝑆 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 (𝑐 ≀ 𝑦 β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΊβ€˜π‘))) < 𝑒))
1514, 19, 26, 150caucvgr 15627 1 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ dom β‡π‘Ÿ )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   β‰  wne 2939  βˆ€wral 3060  βˆƒwrex 3069  β¦‹csb 3894   βŠ† wss 3949  ifcif 4529   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232  dom cdm 5677  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7412  supcsup 9438  β„‚cc 11111  β„cr 11112  0cc0 11113  1c1 11114   + caddc 11116  +∞cpnf 11250  β„*cxr 11252   < clt 11253   ≀ cle 11254   βˆ’ cmin 11449  β„€cz 12563  β„€β‰₯cuz 12827  β„+crp 12979  (,)cioo 13329  [,)cico 13331  ...cfz 13489  βŒŠcfl 13760  abscabs 15186   β‡π‘Ÿ crli 15434  Ξ£csu 15637   D cdv 25613
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-inf2 9639  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190  ax-pre-sup 11191  ax-addf 11192  ax-mulf 11193
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7673  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-supp 8150  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-1o 8469  df-2o 8470  df-er 8706  df-map 8825  df-pm 8826  df-ixp 8895  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-fsupp 9365  df-fi 9409  df-sup 9440  df-inf 9441  df-oi 9508  df-card 9937  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12478  df-z 12564  df-dec 12683  df-uz 12828  df-q 12938  df-rp 12980  df-xneg 13097  df-xadd 13098  df-xmul 13099  df-ioo 13333  df-ico 13335  df-icc 13336  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-fl 13762  df-seq 13972  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-sqrt 15187  df-abs 15188  df-limsup 15420  df-clim 15437  df-rlim 15438  df-sum 15638  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-starv 17217  df-sca 17218  df-vsca 17219  df-ip 17220  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ds 17224  df-unif 17225  df-hom 17226  df-cco 17227  df-rest 17373  df-topn 17374  df-0g 17392  df-gsum 17393  df-topgen 17394  df-pt 17395  df-prds 17398  df-xrs 17453  df-qtop 17458  df-imas 17459  df-xps 17461  df-mre 17535  df-mrc 17536  df-acs 17538  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-submnd 18707  df-mulg 18988  df-cntz 19223  df-cmn 19692  df-psmet 21137  df-xmet 21138  df-met 21139  df-bl 21140  df-mopn 21141  df-fbas 21142  df-fg 21143  df-cnfld 21146  df-top 22617  df-topon 22634  df-topsp 22656  df-bases 22670  df-cld 22744  df-ntr 22745  df-cls 22746  df-nei 22823  df-lp 22861  df-perf 22862  df-cn 22952  df-cnp 22953  df-haus 23040  df-cmp 23112  df-tx 23287  df-hmeo 23480  df-fil 23571  df-fm 23663  df-flim 23664  df-flf 23665  df-xms 24047  df-ms 24048  df-tms 24049  df-cncf 24619  df-limc 25616  df-dv 25617
This theorem is referenced by:  dvfsumrlim3  25783
  Copyright terms: Public domain W3C validator