Theorem dvfsumrlim 26171

Description: Compare a finite sum to an integral (the integral here is given as a function with a known derivative). The statement here says that if 𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵 is a decreasing function with antiderivative 𝐴 converging to zero, then the difference between Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐵(𝑘) and 𝐴(𝑥) = ∫𝑢 ∈ (𝑀[,]𝑥)𝐵(𝑢) d𝑢 converges to a constant limit value, with the remainder term bounded by 𝐵(𝑥). (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvfsum.s	⊢ 𝑆 = (𝑇(,)+∞)
dvfsum.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
dvfsum.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
dvfsum.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
dvfsum.md	⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ (𝐷 + 1))
dvfsum.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ)
dvfsum.a	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐴 ∈ ℝ)
dvfsum.b1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐵 ∈ 𝑉)
dvfsum.b2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
dvfsum.b3	⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵))
dvfsum.c	⊢ (𝑥 = 𝑘 → 𝐵 = 𝐶)
dvfsumrlim.l	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ (𝐷 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑘)) → 𝐶 ≤ 𝐵)
dvfsumrlim.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐶 − 𝐴))
dvfsumrlim.k	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 0)

Assertion

Ref	Expression
dvfsumrlim	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ dom ⇝𝑟 )

Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝑥,𝐶   𝑥,𝑘,𝐷   𝜑,𝑘,𝑥   𝑆,𝑘,𝑥   𝑘,𝑀,𝑥   𝑥,𝑇   𝑥,𝑍

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑘)   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑘)   𝑇(𝑘)   𝐺(𝑥,𝑘)   𝑉(𝑥,𝑘)   𝑍(𝑘)

Proof of Theorem dvfsumrlim

Dummy variables 𝑦 𝑒 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvfsum.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (𝑇(,)+∞)
2		ioossre 13435	. . . 4 ⊢ (𝑇(,)+∞) ⊆ ℝ
3	1, 2	eqsstri 3984	. . 3 ⊢ 𝑆 ⊆ ℝ
4	3	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℝ)
5		dvfsum.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
6		dvfsum.m	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
7		dvfsum.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
8		dvfsum.md	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ (𝐷 + 1))
9		dvfsum.t	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ)
10		dvfsum.a	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐴 ∈ ℝ)
11		dvfsum.b1	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐵 ∈ 𝑉)
12		dvfsum.b2	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
13		dvfsum.b3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵))
14		dvfsum.c	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → 𝐵 = 𝐶)
15		dvfsumrlim.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐶 − 𝐴))
16	1, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15	dvfsumrlimf 26165	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑆⟶ℝ)
17		ax-resscn 11158	. . 3 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
18		fss 6724	. . 3 ⊢ ((𝐺:𝑆⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → 𝐺:𝑆⟶ℂ)
19	16, 17, 18	sylancl 597	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑆⟶ℂ)
20	1	supeq1i 9408	. . 3 ⊢ sup(𝑆, ℝ*, < ) = sup((𝑇(,)+∞), ℝ*, < )
21		ressxr 11254	. . . . 5 ⊢ ℝ ⊆ ℝ*
22	21, 9	sselid 3936	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ*)
23	9	renepnfd 11261	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ≠ +∞)
24		ioopnfsup 13899	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ ℝ* ∧ 𝑇 ≠ +∞) → sup((𝑇(,)+∞), ℝ*, < ) = +∞)
25	22, 23, 24	syl2anc 595	. . 3 ⊢ (𝜑 → sup((𝑇(,)+∞), ℝ*, < ) = +∞)
26	20, 25	eqtrid 2810	. 2 ⊢ (𝜑 → sup(𝑆, ℝ*, < ) = +∞)
27		dvfsumrlim.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 0)
28	11, 27	rlimmptrcl 15661	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐵 ∈ ℂ)
29	28	ralrimiva 3157	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝐵 ∈ ℂ)
30	29, 4	rlim0 15561	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 0 ↔ ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝑐 ≤ 𝑥 → (abs‘𝐵) < 𝑒)))
31	27, 30	mpbid 235	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝑐 ≤ 𝑥 → (abs‘𝐵) < 𝑒))
32	3	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → 𝑆 ⊆ ℝ)
33		peano2re 11384	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑇 ∈ ℝ → (𝑇 + 1) ∈ ℝ)
34	9, 33	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑇 + 1) ∈ ℝ)
35	34, 7	ifcld 4535	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → if(𝐷 ≤ (𝑇 + 1), (𝑇 + 1), 𝐷) ∈ ℝ)
36	35	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → if(𝐷 ≤ (𝑇 + 1), (𝑇 + 1), 𝐷) ∈ ℝ)
37		rexico 15407	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℝ ∧ if(𝐷 ≤ (𝑇 + 1), (𝑇 + 1), 𝐷) ∈ ℝ) → (∃𝑐 ∈ (if(𝐷 ≤ (𝑇 + 1), (𝑇 + 1), 𝐷)[,)+∞)∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝑐 ≤ 𝑥 → (abs‘𝐵) < 𝑒) ↔ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝑐 ≤ 𝑥 → (abs‘𝐵) < 𝑒)))
38	32, 36, 37	syl2anc 595	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → (∃𝑐 ∈ (if(𝐷 ≤ (𝑇 + 1), (𝑇 + 1), 𝐷)[,)+∞)∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝑐 ≤ 𝑥 → (abs‘𝐵) < 𝑒) ↔ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝑐 ≤ 𝑥 → (abs‘𝐵) < 𝑒)))
39		elicopnf 13473	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (if(𝐷 ≤ (𝑇 + 1), (𝑇 + 1), 𝐷) ∈ ℝ → (𝑐 ∈ (if(𝐷 ≤ (𝑇 + 1), (𝑇 + 1), 𝐷)[,)+∞) ↔ (𝑐 ∈ ℝ ∧ if(𝐷 ≤ (𝑇 + 1), (𝑇 + 1), 𝐷) ≤ 𝑐)))
40	35, 39	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑐 ∈ (if(𝐷 ≤ (𝑇 + 1), (𝑇 + 1), 𝐷)[,)+∞) ↔ (𝑐 ∈ ℝ ∧ if(𝐷 ≤ (𝑇 + 1), (𝑇 + 1), 𝐷) ≤ 𝑐)))
41	40	simprbda 503	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (if(𝐷 ≤ (𝑇 + 1), (𝑇 + 1), 𝐷)[,)+∞)) → 𝑐 ∈ ℝ)
42	9	adantr 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (if(𝐷 ≤ (𝑇 + 1), (𝑇 + 1), 𝐷)[,)+∞)) → 𝑇 ∈ ℝ)
43	42, 33	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (if(𝐷 ≤ (𝑇 + 1), (𝑇 + 1), 𝐷)[,)+∞)) → (𝑇 + 1) ∈ ℝ)
44	42	ltp1d 12146	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (if(𝐷 ≤ (𝑇 + 1), (𝑇 + 1), 𝐷)[,)+∞)) → 𝑇 < (𝑇 + 1))
45	40	simplbda 504	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (if(𝐷 ≤ (𝑇 + 1), (𝑇 + 1), 𝐷)[,)+∞)) → if(𝐷 ≤ (𝑇 + 1), (𝑇 + 1), 𝐷) ≤ 𝑐)
46	7	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (if(𝐷 ≤ (𝑇 + 1), (𝑇 + 1), 𝐷)[,)+∞)) → 𝐷 ∈ ℝ)
47		maxle 13218	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐷 ∈ ℝ ∧ (𝑇 + 1) ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ℝ) → (if(𝐷 ≤ (𝑇 + 1), (𝑇 + 1), 𝐷) ≤ 𝑐 ↔ (𝐷 ≤ 𝑐 ∧ (𝑇 + 1) ≤ 𝑐)))
48	46, 43, 41, 47	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (if(𝐷 ≤ (𝑇 + 1), (𝑇 + 1), 𝐷)[,)+∞)) → (if(𝐷 ≤ (𝑇 + 1), (𝑇 + 1), 𝐷) ≤ 𝑐 ↔ (𝐷 ≤ 𝑐 ∧ (𝑇 + 1) ≤ 𝑐)))
49	45, 48	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (if(𝐷 ≤ (𝑇 + 1), (𝑇 + 1), 𝐷)[,)+∞)) → (𝐷 ≤ 𝑐 ∧ (𝑇 + 1) ≤ 𝑐))
50	49	simprd 500	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (if(𝐷 ≤ (𝑇 + 1), (𝑇 + 1), 𝐷)[,)+∞)) → (𝑇 + 1) ≤ 𝑐)
51	42, 43, 41, 44, 50	ltletrd 11371	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (if(𝐷 ≤ (𝑇 + 1), (𝑇 + 1), 𝐷)[,)+∞)) → 𝑇 < 𝑐)
52	22	adantr 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (if(𝐷 ≤ (𝑇 + 1), (𝑇 + 1), 𝐷)[,)+∞)) → 𝑇 ∈ ℝ*)
53		elioopnf 13471	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑇 ∈ ℝ* → (𝑐 ∈ (𝑇(,)+∞) ↔ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑇 < 𝑐)))
54	52, 53	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (if(𝐷 ≤ (𝑇 + 1), (𝑇 + 1), 𝐷)[,)+∞)) → (𝑐 ∈ (𝑇(,)+∞) ↔ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑇 < 𝑐)))
55	41, 51, 54	mpbir2and 725	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (if(𝐷 ≤ (𝑇 + 1), (𝑇 + 1), 𝐷)[,)+∞)) → 𝑐 ∈ (𝑇(,)+∞))
56	55, 1	eleqtrrdi 2874	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (if(𝐷 ≤ (𝑇 + 1), (𝑇 + 1), 𝐷)[,)+∞)) → 𝑐 ∈ 𝑆)
57	49	simpld 499	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (if(𝐷 ≤ (𝑇 + 1), (𝑇 + 1), 𝐷)[,)+∞)) → 𝐷 ≤ 𝑐)
58	56, 57	jca 520	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (if(𝐷 ≤ (𝑇 + 1), (𝑇 + 1), 𝐷)[,)+∞)) → (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≤ 𝑐))
59	58	adantlr 727	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑐 ∈ (if(𝐷 ≤ (𝑇 + 1), (𝑇 + 1), 𝐷)[,)+∞)) → (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≤ 𝑐))
60		simprrl 792	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≤ 𝑐))) → 𝑐 ∈ 𝑆)
61	60	adantrr 729	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≤ 𝑐)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑐 ≤ 𝑦))) → 𝑐 ∈ 𝑆)
62	3, 61	sselid 3936	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≤ 𝑐)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑐 ≤ 𝑦))) → 𝑐 ∈ ℝ)
63	62	leidd 11781	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≤ 𝑐)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑐 ≤ 𝑦))) → 𝑐 ≤ 𝑐)
64		nfv 1944	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑐 ≤ 𝑐
65		nfcv 2925	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ Ⅎ𝑥abs
66		nfcsb1v 3878	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑐 / 𝑥⦌𝐵
67	65, 66	nffv 6893	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ Ⅎ𝑥(abs‘⦋𝑐 / 𝑥⦌𝐵)
68		nfcv 2925	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ Ⅎ𝑥 <
69		nfcv 2925	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ Ⅎ𝑥𝑒
70	67, 68, 69	nfbr 5159	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Ⅎ𝑥(abs‘⦋𝑐 / 𝑥⦌𝐵) < 𝑒
71	64, 70	nfim 1926	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑐 ≤ 𝑐 → (abs‘⦋𝑐 / 𝑥⦌𝐵) < 𝑒)
72		breq2 5114	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 = 𝑐 → (𝑐 ≤ 𝑥 ↔ 𝑐 ≤ 𝑐))
73		csbeq1a 3868	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑥 = 𝑐 → 𝐵 = ⦋𝑐 / 𝑥⦌𝐵)
74	73	fveq2d 6887	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 = 𝑐 → (abs‘𝐵) = (abs‘⦋𝑐 / 𝑥⦌𝐵))
75	74	breq1d 5120	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 = 𝑐 → ((abs‘𝐵) < 𝑒 ↔ (abs‘⦋𝑐 / 𝑥⦌𝐵) < 𝑒))
76	72, 75	imbi12d 347	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 = 𝑐 → ((𝑐 ≤ 𝑥 → (abs‘𝐵) < 𝑒) ↔ (𝑐 ≤ 𝑐 → (abs‘⦋𝑐 / 𝑥⦌𝐵) < 𝑒)))
77	71, 76	rspc 3570	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑐 ∈ 𝑆 → (∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝑐 ≤ 𝑥 → (abs‘𝐵) < 𝑒) → (𝑐 ≤ 𝑐 → (abs‘⦋𝑐 / 𝑥⦌𝐵) < 𝑒)))
78	61, 77	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≤ 𝑐)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑐 ≤ 𝑦))) → (∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝑐 ≤ 𝑥 → (abs‘𝐵) < 𝑒) → (𝑐 ≤ 𝑐 → (abs‘⦋𝑐 / 𝑥⦌𝐵) < 𝑒)))
79	63, 78	mpid 45	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≤ 𝑐)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑐 ≤ 𝑦))) → (∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝑐 ≤ 𝑥 → (abs‘𝐵) < 𝑒) → (abs‘⦋𝑐 / 𝑥⦌𝐵) < 𝑒))
80	4, 10, 11, 13	dvmptrecl 26164	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐵 ∈ ℝ)
81	80	adantrr 729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≤ 𝑥)) → 𝐵 ∈ ℝ)
82		dvfsumrlim.l	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ (𝐷 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑘)) → 𝐶 ≤ 𝐵)
83	1, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 82, 15, 27	dvfsumrlimge0 26170	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≤ 𝑥)) → 0 ≤ 𝐵)
84		elrege0 13482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝐵 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵))
85	81, 83, 84	sylanbrc 594	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≤ 𝑥)) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
86	85	expr 461	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝐷 ≤ 𝑥 → 𝐵 ∈ (0[,)+∞)))
87	86	ralrimiva 3157	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝐷 ≤ 𝑥 → 𝐵 ∈ (0[,)+∞)))
88	87	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≤ 𝑐)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑐 ≤ 𝑦))) → ∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝐷 ≤ 𝑥 → 𝐵 ∈ (0[,)+∞)))
89		simprrr 793	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≤ 𝑐))) → 𝐷 ≤ 𝑐)
90	89	adantrr 729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≤ 𝑐)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑐 ≤ 𝑦))) → 𝐷 ≤ 𝑐)
91		nfv 1944	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ Ⅎ𝑥 𝐷 ≤ 𝑐
92	66	nfel1 2941	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑐 / 𝑥⦌𝐵 ∈ (0[,)+∞)
93	91, 92	nfim 1926	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐷 ≤ 𝑐 → ⦋𝑐 / 𝑥⦌𝐵 ∈ (0[,)+∞))
94		breq2 5114	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑥 = 𝑐 → (𝐷 ≤ 𝑥 ↔ 𝐷 ≤ 𝑐))
95	73	eleq1d 2848	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑥 = 𝑐 → (𝐵 ∈ (0[,)+∞) ↔ ⦋𝑐 / 𝑥⦌𝐵 ∈ (0[,)+∞)))
96	94, 95	imbi12d 347	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑥 = 𝑐 → ((𝐷 ≤ 𝑥 → 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ↔ (𝐷 ≤ 𝑐 → ⦋𝑐 / 𝑥⦌𝐵 ∈ (0[,)+∞))))
97	93, 96	rspc 3570	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑐 ∈ 𝑆 → (∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝐷 ≤ 𝑥 → 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → (𝐷 ≤ 𝑐 → ⦋𝑐 / 𝑥⦌𝐵 ∈ (0[,)+∞))))
98	61, 88, 90, 97	syl3c 67	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≤ 𝑐)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑐 ≤ 𝑦))) → ⦋𝑐 / 𝑥⦌𝐵 ∈ (0[,)+∞))
99		elrege0 13482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (⦋𝑐 / 𝑥⦌𝐵 ∈ (0[,)+∞) ↔ (⦋𝑐 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ⦋𝑐 / 𝑥⦌𝐵))
100	98, 99	sylib 221	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≤ 𝑐)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑐 ≤ 𝑦))) → (⦋𝑐 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ⦋𝑐 / 𝑥⦌𝐵))
101		absid 15349	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((⦋𝑐 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ⦋𝑐 / 𝑥⦌𝐵) → (abs‘⦋𝑐 / 𝑥⦌𝐵) = ⦋𝑐 / 𝑥⦌𝐵)
102	100, 101	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≤ 𝑐)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑐 ≤ 𝑦))) → (abs‘⦋𝑐 / 𝑥⦌𝐵) = ⦋𝑐 / 𝑥⦌𝐵)
103	102	breq1d 5120	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≤ 𝑐)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑐 ≤ 𝑦))) → ((abs‘⦋𝑐 / 𝑥⦌𝐵) < 𝑒 ↔ ⦋𝑐 / 𝑥⦌𝐵 < 𝑒))
104	6	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≤ 𝑐)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑐 ≤ 𝑦))) → 𝑀 ∈ ℤ)
105	7	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≤ 𝑐)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑐 ≤ 𝑦))) → 𝐷 ∈ ℝ)
106	8	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≤ 𝑐)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑐 ≤ 𝑦))) → 𝑀 ≤ (𝐷 + 1))
107	9	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≤ 𝑐)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑐 ≤ 𝑦))) → 𝑇 ∈ ℝ)
108	10	adantlr 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≤ 𝑐)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑐 ≤ 𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐴 ∈ ℝ)
109	11	adantlr 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≤ 𝑐)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑐 ≤ 𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐵 ∈ 𝑉)
110	12	adantlr 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≤ 𝑐)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑐 ≤ 𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
111	13	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≤ 𝑐)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑐 ≤ 𝑦))) → (ℝ D (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵))
112		pnfxr 11264	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
113	112	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≤ 𝑐)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑐 ≤ 𝑦))) → +∞ ∈ ℝ*)
114		3simpa 1166	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐷 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ +∞) → (𝐷 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑘))
115	114, 82	syl3an3 1183	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ (𝐷 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ +∞)) → 𝐶 ≤ 𝐵)
116	115	3adant1r 1196	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≤ 𝑐)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑐 ≤ 𝑦))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ (𝐷 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ +∞)) → 𝐶 ≤ 𝐵)
117	83	3adantr3 1190	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ +∞)) → 0 ≤ 𝐵)
118	117	adantlr 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≤ 𝑐)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑐 ≤ 𝑦))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ +∞)) → 0 ≤ 𝐵)
119		simprrl 792	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≤ 𝑐)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑐 ≤ 𝑦))) → 𝑦 ∈ 𝑆)
120		simprrr 793	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≤ 𝑐)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑐 ≤ 𝑦))) → 𝑐 ≤ 𝑦)
121	3, 21	sstri 3947	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 𝑆 ⊆ ℝ*
122	121, 119	sselid 3936	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≤ 𝑐)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑐 ≤ 𝑦))) → 𝑦 ∈ ℝ*)
123		pnfge 13156	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ* → 𝑦 ≤ +∞)
124	122, 123	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≤ 𝑐)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑐 ≤ 𝑦))) → 𝑦 ≤ +∞)
125	1, 5, 104, 105, 106, 107, 108, 109, 110, 111, 14, 113, 116, 15, 118, 61, 119, 90, 120, 124	dvfsumlem4 26169	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≤ 𝑐)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑐 ≤ 𝑦))) → (abs‘((𝐺‘𝑦) − (𝐺‘𝑐))) ≤ ⦋𝑐 / 𝑥⦌𝐵)
126	19	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≤ 𝑐)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑐 ≤ 𝑦))) → 𝐺:𝑆⟶ℂ)
127	126, 119	ffvelcdmd 7082	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≤ 𝑐)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑐 ≤ 𝑦))) → (𝐺‘𝑦) ∈ ℂ)
128	126, 61	ffvelcdmd 7082	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≤ 𝑐)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑐 ≤ 𝑦))) → (𝐺‘𝑐) ∈ ℂ)
129	127, 128	subcld 11570	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≤ 𝑐)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑐 ≤ 𝑦))) → ((𝐺‘𝑦) − (𝐺‘𝑐)) ∈ ℂ)
130	129	abscld 15492	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≤ 𝑐)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑐 ≤ 𝑦))) → (abs‘((𝐺‘𝑦) − (𝐺‘𝑐))) ∈ ℝ)
131	100	simpld 499	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≤ 𝑐)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑐 ≤ 𝑦))) → ⦋𝑐 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℝ)
132		simprll 790	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≤ 𝑐)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑐 ≤ 𝑦))) → 𝑒 ∈ ℝ+)
133	132	rpred 13061	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≤ 𝑐)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑐 ≤ 𝑦))) → 𝑒 ∈ ℝ)
134		lelttr 11301	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((abs‘((𝐺‘𝑦) − (𝐺‘𝑐))) ∈ ℝ ∧ ⦋𝑐 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑒 ∈ ℝ) → (((abs‘((𝐺‘𝑦) − (𝐺‘𝑐))) ≤ ⦋𝑐 / 𝑥⦌𝐵 ∧ ⦋𝑐 / 𝑥⦌𝐵 < 𝑒) → (abs‘((𝐺‘𝑦) − (𝐺‘𝑐))) < 𝑒))
135	130, 131, 133, 134	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≤ 𝑐)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑐 ≤ 𝑦))) → (((abs‘((𝐺‘𝑦) − (𝐺‘𝑐))) ≤ ⦋𝑐 / 𝑥⦌𝐵 ∧ ⦋𝑐 / 𝑥⦌𝐵 < 𝑒) → (abs‘((𝐺‘𝑦) − (𝐺‘𝑐))) < 𝑒))
136	125, 135	mpand 707	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≤ 𝑐)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑐 ≤ 𝑦))) → (⦋𝑐 / 𝑥⦌𝐵 < 𝑒 → (abs‘((𝐺‘𝑦) − (𝐺‘𝑐))) < 𝑒))
137	103, 136	sylbid 243	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≤ 𝑐)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑐 ≤ 𝑦))) → ((abs‘⦋𝑐 / 𝑥⦌𝐵) < 𝑒 → (abs‘((𝐺‘𝑦) − (𝐺‘𝑐))) < 𝑒))
138	79, 137	syld 48	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≤ 𝑐)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑐 ≤ 𝑦))) → (∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝑐 ≤ 𝑥 → (abs‘𝐵) < 𝑒) → (abs‘((𝐺‘𝑦) − (𝐺‘𝑐))) < 𝑒))
139	138	anassrs 472	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≤ 𝑐))) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑐 ≤ 𝑦)) → (∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝑐 ≤ 𝑥 → (abs‘𝐵) < 𝑒) → (abs‘((𝐺‘𝑦) − (𝐺‘𝑐))) < 𝑒))
140	139	expr 461	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≤ 𝑐))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝑐 ≤ 𝑦 → (∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝑐 ≤ 𝑥 → (abs‘𝐵) < 𝑒) → (abs‘((𝐺‘𝑦) − (𝐺‘𝑐))) < 𝑒)))
141	140	com23 87	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≤ 𝑐))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝑐 ≤ 𝑥 → (abs‘𝐵) < 𝑒) → (𝑐 ≤ 𝑦 → (abs‘((𝐺‘𝑦) − (𝐺‘𝑐))) < 𝑒)))
142	141	ralrimdva 3165	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≤ 𝑐))) → (∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝑐 ≤ 𝑥 → (abs‘𝐵) < 𝑒) → ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑐 ≤ 𝑦 → (abs‘((𝐺‘𝑦) − (𝐺‘𝑐))) < 𝑒)))
143	142, 60	jctild 534	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≤ 𝑐))) → (∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝑐 ≤ 𝑥 → (abs‘𝐵) < 𝑒) → (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑐 ≤ 𝑦 → (abs‘((𝐺‘𝑦) − (𝐺‘𝑐))) < 𝑒))))
144	143	anassrs 472	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≤ 𝑐)) → (∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝑐 ≤ 𝑥 → (abs‘𝐵) < 𝑒) → (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑐 ≤ 𝑦 → (abs‘((𝐺‘𝑦) − (𝐺‘𝑐))) < 𝑒))))
145	59, 144	syldan 602	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑐 ∈ (if(𝐷 ≤ (𝑇 + 1), (𝑇 + 1), 𝐷)[,)+∞)) → (∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝑐 ≤ 𝑥 → (abs‘𝐵) < 𝑒) → (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑐 ≤ 𝑦 → (abs‘((𝐺‘𝑦) − (𝐺‘𝑐))) < 𝑒))))
146	145	expimpd 458	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → ((𝑐 ∈ (if(𝐷 ≤ (𝑇 + 1), (𝑇 + 1), 𝐷)[,)+∞) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝑐 ≤ 𝑥 → (abs‘𝐵) < 𝑒)) → (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑐 ≤ 𝑦 → (abs‘((𝐺‘𝑦) − (𝐺‘𝑐))) < 𝑒))))
147	146	reximdv2 3175	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → (∃𝑐 ∈ (if(𝐷 ≤ (𝑇 + 1), (𝑇 + 1), 𝐷)[,)+∞)∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝑐 ≤ 𝑥 → (abs‘𝐵) < 𝑒) → ∃𝑐 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑐 ≤ 𝑦 → (abs‘((𝐺‘𝑦) − (𝐺‘𝑐))) < 𝑒)))
148	38, 147	sylbird 263	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → (∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝑐 ≤ 𝑥 → (abs‘𝐵) < 𝑒) → ∃𝑐 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑐 ≤ 𝑦 → (abs‘((𝐺‘𝑦) − (𝐺‘𝑐))) < 𝑒)))
149	148	ralimdva 3177	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝑐 ≤ 𝑥 → (abs‘𝐵) < 𝑒) → ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑐 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑐 ≤ 𝑦 → (abs‘((𝐺‘𝑦) − (𝐺‘𝑐))) < 𝑒)))
150	31, 149	mpd 16	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑐 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑐 ≤ 𝑦 → (abs‘((𝐺‘𝑦) − (𝐺‘𝑐))) < 𝑒))
151	4, 19, 26, 150	caucvgr 15729	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ dom ⇝𝑟 )

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  ∀wral 3079  ∃wrex 3089  ⦋csb 3854   ⊆ wss 3906  ifcif 4488   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5193  dom cdm 5663  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412  supcsup 9401  ℂcc 11099  ℝcr 11100  0cc0 11101  1c1 11102   + caddc 11104  +∞cpnf 11241  ℝ^*cxr 11243   < clt 11244   ≤ cle 11245   − cmin 11442  ℤcz 12592  ℤ_≥cuz 12863  ℝ⁺crp 13017  (,)cioo 13373  [,)cico 13375  ...cfz 13536  ⌊cfl 13825  abscabs 15287   ⇝_𝑟 crli 15538  Σcsu 15739   D cdv 26003

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-inf2 9611  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178  ax-pre-sup 11179  ax-addf 11180

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-iin 4960  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7676  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8158  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-1o 8454  df-2o 8455  df-er 8695  df-map 8827  df-pm 8828  df-ixp 8897  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-fin 8948  df-fsupp 9323  df-fi 9372  df-sup 9403  df-inf 9404  df-oi 9473  df-card 9926  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-div 11873  df-nn 12235  df-2 12304  df-3 12305  df-4 12306  df-5 12307  df-6 12308  df-7 12309  df-8 12310  df-9 12311  df-n0 12506  df-z 12593  df-dec 12713  df-uz 12864  df-q 12974  df-rp 13018  df-xneg 13138  df-xadd 13139  df-xmul 13140  df-ioo 13377  df-ico 13379  df-icc 13380  df-fz 13537  df-fzo 13685  df-fl 13827  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14369  df-cj 15152  df-re 15153  df-im 15154  df-sqrt 15288  df-abs 15289  df-limsup 15524  df-clim 15541  df-rlim 15542  df-sum 15740  df-struct 17208  df-sets 17225  df-slot 17243  df-ndx 17255  df-base 17271  df-ress 17292  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-starv 17326  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-ip 17329  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ds 17333  df-unif 17334  df-hom 17335  df-cco 17336  df-rest 17476  df-topn 17477  df-0g 17495  df-gsum 17496  df-topgen 17497  df-pt 17498  df-prds 17501  df-xrs 17557  df-qtop 17562  df-imas 17563  df-xps 17565  df-mre 17639  df-mrc 17640  df-acs 17642  df-mgm 18699  df-sgrp 18778  df-mnd 18794  df-submnd 18843  df-mulg 19135  df-cntz 19388  df-cmn 19853  df-psmet 21495  df-xmet 21496  df-met 21497  df-bl 21498  df-mopn 21499  df-fbas 21500  df-fg 21501  df-cnfld 21504  df-top 23032  df-topon 23049  df-topsp 23071  df-bases 23084  df-cld 23157  df-ntr 23158  df-cls 23159  df-nei 23236  df-lp 23274  df-perf 23275  df-cn 23365  df-cnp 23366  df-haus 23453  df-cmp 23525  df-tx 23700  df-hmeo 23893  df-fil 23984  df-fm 24076  df-flim 24077  df-flf 24078  df-xms 24458  df-ms 24459  df-tms 24460  df-cncf 25018  df-limc 26006  df-dv 26007

This theorem is referenced by:  dvfsumrlim3  26173