Theorem dvfsumrlim 25555

Description: Compare a finite sum to an integral (the integral here is given as a function with a known derivative). The statement here says that if 𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵 is a decreasing function with antiderivative 𝐴 converging to zero, then the difference between Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐵(𝑘) and 𝐴(𝑥) = ∫𝑢 ∈ (𝑀[,]𝑥)𝐵(𝑢) d𝑢 converges to a constant limit value, with the remainder term bounded by 𝐵(𝑥). (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvfsum.s	⊢ 𝑆 = (𝑇(,)+∞)
dvfsum.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
dvfsum.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
dvfsum.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
dvfsum.md	⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ (𝐷 + 1))
dvfsum.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ)
dvfsum.a	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐴 ∈ ℝ)
dvfsum.b1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐵 ∈ 𝑉)
dvfsum.b2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
dvfsum.b3	⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵))
dvfsum.c	⊢ (𝑥 = 𝑘 → 𝐵 = 𝐶)
dvfsumrlim.l	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ (𝐷 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑘)) → 𝐶 ≤ 𝐵)
dvfsumrlim.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐶 − 𝐴))
dvfsumrlim.k	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 0)

Assertion

Ref	Expression
dvfsumrlim	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ dom ⇝𝑟 )

Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝑥,𝐶   𝑥,𝑘,𝐷   𝜑,𝑘,𝑥   𝑆,𝑘,𝑥   𝑘,𝑀,𝑥   𝑥,𝑇   𝑥,𝑍

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑘)   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑘)   𝑇(𝑘)   𝐺(𝑥,𝑘)   𝑉(𝑥,𝑘)   𝑍(𝑘)

Proof of Theorem dvfsumrlim

Dummy variables 𝑦 𝑒 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvfsum.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (𝑇(,)+∞)
2		ioossre 13387	. . . 4 ⊢ (𝑇(,)+∞) ⊆ ℝ
3	1, 2	eqsstri 4016	. . 3 ⊢ 𝑆 ⊆ ℝ
4	3	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℝ)
5		dvfsum.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
6		dvfsum.m	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
7		dvfsum.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
8		dvfsum.md	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ (𝐷 + 1))
9		dvfsum.t	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ)
10		dvfsum.a	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐴 ∈ ℝ)
11		dvfsum.b1	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐵 ∈ 𝑉)
12		dvfsum.b2	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
13		dvfsum.b3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵))
14		dvfsum.c	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → 𝐵 = 𝐶)
15		dvfsumrlim.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐶 − 𝐴))
16	1, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15	dvfsumrlimf 25549	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑆⟶ℝ)
17		ax-resscn 11169	. . 3 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
18		fss 6734	. . 3 ⊢ ((𝐺:𝑆⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → 𝐺:𝑆⟶ℂ)
19	16, 17, 18	sylancl 586	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑆⟶ℂ)
20	1	supeq1i 9444	. . 3 ⊢ sup(𝑆, ℝ*, < ) = sup((𝑇(,)+∞), ℝ*, < )
21		ressxr 11260	. . . . 5 ⊢ ℝ ⊆ ℝ*
22	21, 9	sselid 3980	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ*)
23	9	renepnfd 11267	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ≠ +∞)
24		ioopnfsup 13831	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ ℝ* ∧ 𝑇 ≠ +∞) → sup((𝑇(,)+∞), ℝ*, < ) = +∞)
25	22, 23, 24	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → sup((𝑇(,)+∞), ℝ*, < ) = +∞)
26	20, 25	eqtrid 2784	. 2 ⊢ (𝜑 → sup(𝑆, ℝ*, < ) = +∞)
27		dvfsumrlim.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 0)
28	11, 27	rlimmptrcl 15554	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐵 ∈ ℂ)
29	28	ralrimiva 3146	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝐵 ∈ ℂ)
30	29, 4	rlim0 15454	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 0 ↔ ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝑐 ≤ 𝑥 → (abs‘𝐵) < 𝑒)))
31	27, 30	mpbid 231	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝑐 ≤ 𝑥 → (abs‘𝐵) < 𝑒))
32	3	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → 𝑆 ⊆ ℝ)
33		peano2re 11389	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑇 ∈ ℝ → (𝑇 + 1) ∈ ℝ)
34	9, 33	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑇 + 1) ∈ ℝ)
35	34, 7	ifcld 4574	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → if(𝐷 ≤ (𝑇 + 1), (𝑇 + 1), 𝐷) ∈ ℝ)
36	35	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → if(𝐷 ≤ (𝑇 + 1), (𝑇 + 1), 𝐷) ∈ ℝ)
37		rexico 15302	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℝ ∧ if(𝐷 ≤ (𝑇 + 1), (𝑇 + 1), 𝐷) ∈ ℝ) → (∃𝑐 ∈ (if(𝐷 ≤ (𝑇 + 1), (𝑇 + 1), 𝐷)[,)+∞)∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝑐 ≤ 𝑥 → (abs‘𝐵) < 𝑒) ↔ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝑐 ≤ 𝑥 → (abs‘𝐵) < 𝑒)))
38	32, 36, 37	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → (∃𝑐 ∈ (if(𝐷 ≤ (𝑇 + 1), (𝑇 + 1), 𝐷)[,)+∞)∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝑐 ≤ 𝑥 → (abs‘𝐵) < 𝑒) ↔ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝑐 ≤ 𝑥 → (abs‘𝐵) < 𝑒)))
39		elicopnf 13424	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (if(𝐷 ≤ (𝑇 + 1), (𝑇 + 1), 𝐷) ∈ ℝ → (𝑐 ∈ (if(𝐷 ≤ (𝑇 + 1), (𝑇 + 1), 𝐷)[,)+∞) ↔ (𝑐 ∈ ℝ ∧ if(𝐷 ≤ (𝑇 + 1), (𝑇 + 1), 𝐷) ≤ 𝑐)))
40	35, 39	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑐 ∈ (if(𝐷 ≤ (𝑇 + 1), (𝑇 + 1), 𝐷)[,)+∞) ↔ (𝑐 ∈ ℝ ∧ if(𝐷 ≤ (𝑇 + 1), (𝑇 + 1), 𝐷) ≤ 𝑐)))
41	40	simprbda 499	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (if(𝐷 ≤ (𝑇 + 1), (𝑇 + 1), 𝐷)[,)+∞)) → 𝑐 ∈ ℝ)
42	9	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (if(𝐷 ≤ (𝑇 + 1), (𝑇 + 1), 𝐷)[,)+∞)) → 𝑇 ∈ ℝ)
43	42, 33	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (if(𝐷 ≤ (𝑇 + 1), (𝑇 + 1), 𝐷)[,)+∞)) → (𝑇 + 1) ∈ ℝ)
44	42	ltp1d 12146	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (if(𝐷 ≤ (𝑇 + 1), (𝑇 + 1), 𝐷)[,)+∞)) → 𝑇 < (𝑇 + 1))
45	40	simplbda 500	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (if(𝐷 ≤ (𝑇 + 1), (𝑇 + 1), 𝐷)[,)+∞)) → if(𝐷 ≤ (𝑇 + 1), (𝑇 + 1), 𝐷) ≤ 𝑐)
46	7	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (if(𝐷 ≤ (𝑇 + 1), (𝑇 + 1), 𝐷)[,)+∞)) → 𝐷 ∈ ℝ)
47		maxle 13172	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐷 ∈ ℝ ∧ (𝑇 + 1) ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ℝ) → (if(𝐷 ≤ (𝑇 + 1), (𝑇 + 1), 𝐷) ≤ 𝑐 ↔ (𝐷 ≤ 𝑐 ∧ (𝑇 + 1) ≤ 𝑐)))
48	46, 43, 41, 47	syl3anc 1371	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (if(𝐷 ≤ (𝑇 + 1), (𝑇 + 1), 𝐷)[,)+∞)) → (if(𝐷 ≤ (𝑇 + 1), (𝑇 + 1), 𝐷) ≤ 𝑐 ↔ (𝐷 ≤ 𝑐 ∧ (𝑇 + 1) ≤ 𝑐)))
49	45, 48	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (if(𝐷 ≤ (𝑇 + 1), (𝑇 + 1), 𝐷)[,)+∞)) → (𝐷 ≤ 𝑐 ∧ (𝑇 + 1) ≤ 𝑐))
50	49	simprd 496	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (if(𝐷 ≤ (𝑇 + 1), (𝑇 + 1), 𝐷)[,)+∞)) → (𝑇 + 1) ≤ 𝑐)
51	42, 43, 41, 44, 50	ltletrd 11376	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (if(𝐷 ≤ (𝑇 + 1), (𝑇 + 1), 𝐷)[,)+∞)) → 𝑇 < 𝑐)
52	22	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (if(𝐷 ≤ (𝑇 + 1), (𝑇 + 1), 𝐷)[,)+∞)) → 𝑇 ∈ ℝ*)
53		elioopnf 13422	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑇 ∈ ℝ* → (𝑐 ∈ (𝑇(,)+∞) ↔ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑇 < 𝑐)))
54	52, 53	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (if(𝐷 ≤ (𝑇 + 1), (𝑇 + 1), 𝐷)[,)+∞)) → (𝑐 ∈ (𝑇(,)+∞) ↔ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑇 < 𝑐)))
55	41, 51, 54	mpbir2and 711	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (if(𝐷 ≤ (𝑇 + 1), (𝑇 + 1), 𝐷)[,)+∞)) → 𝑐 ∈ (𝑇(,)+∞))
56	55, 1	eleqtrrdi 2844	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (if(𝐷 ≤ (𝑇 + 1), (𝑇 + 1), 𝐷)[,)+∞)) → 𝑐 ∈ 𝑆)
57	49	simpld 495	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (if(𝐷 ≤ (𝑇 + 1), (𝑇 + 1), 𝐷)[,)+∞)) → 𝐷 ≤ 𝑐)
58	56, 57	jca 512	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (if(𝐷 ≤ (𝑇 + 1), (𝑇 + 1), 𝐷)[,)+∞)) → (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≤ 𝑐))
59	58	adantlr 713	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑐 ∈ (if(𝐷 ≤ (𝑇 + 1), (𝑇 + 1), 𝐷)[,)+∞)) → (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≤ 𝑐))
60		simprrl 779	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≤ 𝑐))) → 𝑐 ∈ 𝑆)
61	60	adantrr 715	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≤ 𝑐)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑐 ≤ 𝑦))) → 𝑐 ∈ 𝑆)
62	3, 61	sselid 3980	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≤ 𝑐)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑐 ≤ 𝑦))) → 𝑐 ∈ ℝ)
63	62	leidd 11782	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≤ 𝑐)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑐 ≤ 𝑦))) → 𝑐 ≤ 𝑐)
64		nfv 1917	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑐 ≤ 𝑐
65		nfcv 2903	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ Ⅎ𝑥abs
66		nfcsb1v 3918	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑐 / 𝑥⦌𝐵
67	65, 66	nffv 6901	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ Ⅎ𝑥(abs‘⦋𝑐 / 𝑥⦌𝐵)
68		nfcv 2903	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ Ⅎ𝑥 <
69		nfcv 2903	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ Ⅎ𝑥𝑒
70	67, 68, 69	nfbr 5195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Ⅎ𝑥(abs‘⦋𝑐 / 𝑥⦌𝐵) < 𝑒
71	64, 70	nfim 1899	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑐 ≤ 𝑐 → (abs‘⦋𝑐 / 𝑥⦌𝐵) < 𝑒)
72		breq2 5152	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 = 𝑐 → (𝑐 ≤ 𝑥 ↔ 𝑐 ≤ 𝑐))
73		csbeq1a 3907	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑥 = 𝑐 → 𝐵 = ⦋𝑐 / 𝑥⦌𝐵)
74	73	fveq2d 6895	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 = 𝑐 → (abs‘𝐵) = (abs‘⦋𝑐 / 𝑥⦌𝐵))
75	74	breq1d 5158	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 = 𝑐 → ((abs‘𝐵) < 𝑒 ↔ (abs‘⦋𝑐 / 𝑥⦌𝐵) < 𝑒))
76	72, 75	imbi12d 344	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 = 𝑐 → ((𝑐 ≤ 𝑥 → (abs‘𝐵) < 𝑒) ↔ (𝑐 ≤ 𝑐 → (abs‘⦋𝑐 / 𝑥⦌𝐵) < 𝑒)))
77	71, 76	rspc 3600	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑐 ∈ 𝑆 → (∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝑐 ≤ 𝑥 → (abs‘𝐵) < 𝑒) → (𝑐 ≤ 𝑐 → (abs‘⦋𝑐 / 𝑥⦌𝐵) < 𝑒)))
78	61, 77	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≤ 𝑐)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑐 ≤ 𝑦))) → (∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝑐 ≤ 𝑥 → (abs‘𝐵) < 𝑒) → (𝑐 ≤ 𝑐 → (abs‘⦋𝑐 / 𝑥⦌𝐵) < 𝑒)))
79	63, 78	mpid 44	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≤ 𝑐)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑐 ≤ 𝑦))) → (∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝑐 ≤ 𝑥 → (abs‘𝐵) < 𝑒) → (abs‘⦋𝑐 / 𝑥⦌𝐵) < 𝑒))
80	4, 10, 11, 13	dvmptrecl 25548	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐵 ∈ ℝ)
81	80	adantrr 715	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≤ 𝑥)) → 𝐵 ∈ ℝ)
82		dvfsumrlim.l	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ (𝐷 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑘)) → 𝐶 ≤ 𝐵)
83	1, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 82, 15, 27	dvfsumrlimge0 25554	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≤ 𝑥)) → 0 ≤ 𝐵)
84		elrege0 13433	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝐵 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵))
85	81, 83, 84	sylanbrc 583	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≤ 𝑥)) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
86	85	expr 457	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝐷 ≤ 𝑥 → 𝐵 ∈ (0[,)+∞)))
87	86	ralrimiva 3146	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝐷 ≤ 𝑥 → 𝐵 ∈ (0[,)+∞)))
88	87	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≤ 𝑐)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑐 ≤ 𝑦))) → ∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝐷 ≤ 𝑥 → 𝐵 ∈ (0[,)+∞)))
89		simprrr 780	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≤ 𝑐))) → 𝐷 ≤ 𝑐)
90	89	adantrr 715	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≤ 𝑐)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑐 ≤ 𝑦))) → 𝐷 ≤ 𝑐)
91		nfv 1917	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ Ⅎ𝑥 𝐷 ≤ 𝑐
92	66	nfel1 2919	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑐 / 𝑥⦌𝐵 ∈ (0[,)+∞)
93	91, 92	nfim 1899	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐷 ≤ 𝑐 → ⦋𝑐 / 𝑥⦌𝐵 ∈ (0[,)+∞))
94		breq2 5152	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑥 = 𝑐 → (𝐷 ≤ 𝑥 ↔ 𝐷 ≤ 𝑐))
95	73	eleq1d 2818	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑥 = 𝑐 → (𝐵 ∈ (0[,)+∞) ↔ ⦋𝑐 / 𝑥⦌𝐵 ∈ (0[,)+∞)))
96	94, 95	imbi12d 344	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑥 = 𝑐 → ((𝐷 ≤ 𝑥 → 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ↔ (𝐷 ≤ 𝑐 → ⦋𝑐 / 𝑥⦌𝐵 ∈ (0[,)+∞))))
97	93, 96	rspc 3600	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑐 ∈ 𝑆 → (∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝐷 ≤ 𝑥 → 𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → (𝐷 ≤ 𝑐 → ⦋𝑐 / 𝑥⦌𝐵 ∈ (0[,)+∞))))
98	61, 88, 90, 97	syl3c 66	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≤ 𝑐)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑐 ≤ 𝑦))) → ⦋𝑐 / 𝑥⦌𝐵 ∈ (0[,)+∞))
99		elrege0 13433	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (⦋𝑐 / 𝑥⦌𝐵 ∈ (0[,)+∞) ↔ (⦋𝑐 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ⦋𝑐 / 𝑥⦌𝐵))
100	98, 99	sylib 217	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≤ 𝑐)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑐 ≤ 𝑦))) → (⦋𝑐 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ⦋𝑐 / 𝑥⦌𝐵))
101		absid 15245	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((⦋𝑐 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ⦋𝑐 / 𝑥⦌𝐵) → (abs‘⦋𝑐 / 𝑥⦌𝐵) = ⦋𝑐 / 𝑥⦌𝐵)
102	100, 101	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≤ 𝑐)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑐 ≤ 𝑦))) → (abs‘⦋𝑐 / 𝑥⦌𝐵) = ⦋𝑐 / 𝑥⦌𝐵)
103	102	breq1d 5158	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≤ 𝑐)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑐 ≤ 𝑦))) → ((abs‘⦋𝑐 / 𝑥⦌𝐵) < 𝑒 ↔ ⦋𝑐 / 𝑥⦌𝐵 < 𝑒))
104	6	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≤ 𝑐)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑐 ≤ 𝑦))) → 𝑀 ∈ ℤ)
105	7	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≤ 𝑐)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑐 ≤ 𝑦))) → 𝐷 ∈ ℝ)
106	8	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≤ 𝑐)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑐 ≤ 𝑦))) → 𝑀 ≤ (𝐷 + 1))
107	9	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≤ 𝑐)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑐 ≤ 𝑦))) → 𝑇 ∈ ℝ)
108	10	adantlr 713	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≤ 𝑐)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑐 ≤ 𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐴 ∈ ℝ)
109	11	adantlr 713	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≤ 𝑐)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑐 ≤ 𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐵 ∈ 𝑉)
110	12	adantlr 713	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≤ 𝑐)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑐 ≤ 𝑦))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
111	13	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≤ 𝑐)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑐 ≤ 𝑦))) → (ℝ D (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵))
112		pnfxr 11270	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
113	112	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≤ 𝑐)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑐 ≤ 𝑦))) → +∞ ∈ ℝ*)
114		3simpa 1148	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐷 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ +∞) → (𝐷 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑘))
115	114, 82	syl3an3 1165	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ (𝐷 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ +∞)) → 𝐶 ≤ 𝐵)
116	115	3adant1r 1177	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≤ 𝑐)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑐 ≤ 𝑦))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ (𝐷 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ +∞)) → 𝐶 ≤ 𝐵)
117	83	3adantr3 1171	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ +∞)) → 0 ≤ 𝐵)
118	117	adantlr 713	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≤ 𝑐)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑐 ≤ 𝑦))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ +∞)) → 0 ≤ 𝐵)
119		simprrl 779	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≤ 𝑐)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑐 ≤ 𝑦))) → 𝑦 ∈ 𝑆)
120		simprrr 780	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≤ 𝑐)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑐 ≤ 𝑦))) → 𝑐 ≤ 𝑦)
121	3, 21	sstri 3991	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 𝑆 ⊆ ℝ*
122	121, 119	sselid 3980	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≤ 𝑐)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑐 ≤ 𝑦))) → 𝑦 ∈ ℝ*)
123		pnfge 13112	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ* → 𝑦 ≤ +∞)
124	122, 123	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≤ 𝑐)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑐 ≤ 𝑦))) → 𝑦 ≤ +∞)
125	1, 5, 104, 105, 106, 107, 108, 109, 110, 111, 14, 113, 116, 15, 118, 61, 119, 90, 120, 124	dvfsumlem4 25553	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≤ 𝑐)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑐 ≤ 𝑦))) → (abs‘((𝐺‘𝑦) − (𝐺‘𝑐))) ≤ ⦋𝑐 / 𝑥⦌𝐵)
126	19	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≤ 𝑐)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑐 ≤ 𝑦))) → 𝐺:𝑆⟶ℂ)
127	126, 119	ffvelcdmd 7087	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≤ 𝑐)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑐 ≤ 𝑦))) → (𝐺‘𝑦) ∈ ℂ)
128	126, 61	ffvelcdmd 7087	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≤ 𝑐)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑐 ≤ 𝑦))) → (𝐺‘𝑐) ∈ ℂ)
129	127, 128	subcld 11573	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≤ 𝑐)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑐 ≤ 𝑦))) → ((𝐺‘𝑦) − (𝐺‘𝑐)) ∈ ℂ)
130	129	abscld 15385	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≤ 𝑐)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑐 ≤ 𝑦))) → (abs‘((𝐺‘𝑦) − (𝐺‘𝑐))) ∈ ℝ)
131	100	simpld 495	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≤ 𝑐)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑐 ≤ 𝑦))) → ⦋𝑐 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℝ)
132		simprll 777	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≤ 𝑐)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑐 ≤ 𝑦))) → 𝑒 ∈ ℝ+)
133	132	rpred 13018	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≤ 𝑐)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑐 ≤ 𝑦))) → 𝑒 ∈ ℝ)
134		lelttr 11306	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((abs‘((𝐺‘𝑦) − (𝐺‘𝑐))) ∈ ℝ ∧ ⦋𝑐 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑒 ∈ ℝ) → (((abs‘((𝐺‘𝑦) − (𝐺‘𝑐))) ≤ ⦋𝑐 / 𝑥⦌𝐵 ∧ ⦋𝑐 / 𝑥⦌𝐵 < 𝑒) → (abs‘((𝐺‘𝑦) − (𝐺‘𝑐))) < 𝑒))
135	130, 131, 133, 134	syl3anc 1371	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≤ 𝑐)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑐 ≤ 𝑦))) → (((abs‘((𝐺‘𝑦) − (𝐺‘𝑐))) ≤ ⦋𝑐 / 𝑥⦌𝐵 ∧ ⦋𝑐 / 𝑥⦌𝐵 < 𝑒) → (abs‘((𝐺‘𝑦) − (𝐺‘𝑐))) < 𝑒))
136	125, 135	mpand 693	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≤ 𝑐)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑐 ≤ 𝑦))) → (⦋𝑐 / 𝑥⦌𝐵 < 𝑒 → (abs‘((𝐺‘𝑦) − (𝐺‘𝑐))) < 𝑒))
137	103, 136	sylbid 239	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≤ 𝑐)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑐 ≤ 𝑦))) → ((abs‘⦋𝑐 / 𝑥⦌𝐵) < 𝑒 → (abs‘((𝐺‘𝑦) − (𝐺‘𝑐))) < 𝑒))
138	79, 137	syld 47	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≤ 𝑐)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑐 ≤ 𝑦))) → (∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝑐 ≤ 𝑥 → (abs‘𝐵) < 𝑒) → (abs‘((𝐺‘𝑦) − (𝐺‘𝑐))) < 𝑒))
139	138	anassrs 468	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≤ 𝑐))) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑐 ≤ 𝑦)) → (∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝑐 ≤ 𝑥 → (abs‘𝐵) < 𝑒) → (abs‘((𝐺‘𝑦) − (𝐺‘𝑐))) < 𝑒))
140	139	expr 457	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≤ 𝑐))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝑐 ≤ 𝑦 → (∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝑐 ≤ 𝑥 → (abs‘𝐵) < 𝑒) → (abs‘((𝐺‘𝑦) − (𝐺‘𝑐))) < 𝑒)))
141	140	com23 86	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≤ 𝑐))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝑐 ≤ 𝑥 → (abs‘𝐵) < 𝑒) → (𝑐 ≤ 𝑦 → (abs‘((𝐺‘𝑦) − (𝐺‘𝑐))) < 𝑒)))
142	141	ralrimdva 3154	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≤ 𝑐))) → (∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝑐 ≤ 𝑥 → (abs‘𝐵) < 𝑒) → ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑐 ≤ 𝑦 → (abs‘((𝐺‘𝑦) − (𝐺‘𝑐))) < 𝑒)))
143	142, 60	jctild 526	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≤ 𝑐))) → (∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝑐 ≤ 𝑥 → (abs‘𝐵) < 𝑒) → (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑐 ≤ 𝑦 → (abs‘((𝐺‘𝑦) − (𝐺‘𝑐))) < 𝑒))))
144	143	anassrs 468	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≤ 𝑐)) → (∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝑐 ≤ 𝑥 → (abs‘𝐵) < 𝑒) → (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑐 ≤ 𝑦 → (abs‘((𝐺‘𝑦) − (𝐺‘𝑐))) < 𝑒))))
145	59, 144	syldan 591	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑐 ∈ (if(𝐷 ≤ (𝑇 + 1), (𝑇 + 1), 𝐷)[,)+∞)) → (∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝑐 ≤ 𝑥 → (abs‘𝐵) < 𝑒) → (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑐 ≤ 𝑦 → (abs‘((𝐺‘𝑦) − (𝐺‘𝑐))) < 𝑒))))
146	145	expimpd 454	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → ((𝑐 ∈ (if(𝐷 ≤ (𝑇 + 1), (𝑇 + 1), 𝐷)[,)+∞) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝑐 ≤ 𝑥 → (abs‘𝐵) < 𝑒)) → (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑐 ≤ 𝑦 → (abs‘((𝐺‘𝑦) − (𝐺‘𝑐))) < 𝑒))))
147	146	reximdv2 3164	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → (∃𝑐 ∈ (if(𝐷 ≤ (𝑇 + 1), (𝑇 + 1), 𝐷)[,)+∞)∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝑐 ≤ 𝑥 → (abs‘𝐵) < 𝑒) → ∃𝑐 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑐 ≤ 𝑦 → (abs‘((𝐺‘𝑦) − (𝐺‘𝑐))) < 𝑒)))
148	38, 147	sylbird 259	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → (∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝑐 ≤ 𝑥 → (abs‘𝐵) < 𝑒) → ∃𝑐 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑐 ≤ 𝑦 → (abs‘((𝐺‘𝑦) − (𝐺‘𝑐))) < 𝑒)))
149	148	ralimdva 3167	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝑐 ≤ 𝑥 → (abs‘𝐵) < 𝑒) → ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑐 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑐 ≤ 𝑦 → (abs‘((𝐺‘𝑦) − (𝐺‘𝑐))) < 𝑒)))
150	31, 149	mpd 15	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑐 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑐 ≤ 𝑦 → (abs‘((𝐺‘𝑦) − (𝐺‘𝑐))) < 𝑒))
151	4, 19, 26, 150	caucvgr 15624	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ dom ⇝𝑟 )

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2940  ∀wral 3061  ∃wrex 3070  ⦋csb 3893   ⊆ wss 3948  ifcif 4528   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  dom cdm 5676  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  (class class class)co 7411  supcsup 9437  ℂcc 11110  ℝcr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115  +∞cpnf 11247  ℝ^*cxr 11249   < clt 11250   ≤ cle 11251   − cmin 11446  ℤcz 12560  ℤ_≥cuz 12824  ℝ⁺crp 12976  (,)cioo 13326  [,)cico 13328  ...cfz 13486  ⌊cfl 13757  abscabs 15183   ⇝_𝑟 crli 15431  Σcsu 15634   D cdv 25387

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-7 12282  df-8 12283  df-9 12284  df-n0 12475  df-z 12561  df-dec 12680  df-uz 12825  df-q 12935  df-rp 12977  df-xneg 13094  df-xadd 13095  df-xmul 13096  df-ioo 13330  df-ico 13332  df-icc 13333  df-fz 13487  df-fzo 13630  df-fl 13759  df-seq 13969  df-exp 14030  df-hash 14293  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-limsup 15417  df-clim 15434  df-rlim 15435  df-sum 15635  df-struct 17082  df-sets 17099  df-slot 17117  df-ndx 17129  df-base 17147  df-ress 17176  df-plusg 17212  df-mulr 17213  df-starv 17214  df-sca 17215  df-vsca 17216  df-ip 17217  df-tset 17218  df-ple 17219  df-ds 17221  df-unif 17222  df-hom 17223  df-cco 17224  df-rest 17370  df-topn 17371  df-0g 17389  df-gsum 17390  df-topgen 17391  df-pt 17392  df-prds 17395  df-xrs 17450  df-qtop 17455  df-imas 17456  df-xps 17458  df-mre 17532  df-mrc 17533  df-acs 17535  df-mgm 18563  df-sgrp 18612  df-mnd 18628  df-submnd 18674  df-mulg 18953  df-cntz 19183  df-cmn 19652  df-psmet 20942  df-xmet 20943  df-met 20944  df-bl 20945  df-mopn 20946  df-fbas 20947  df-fg 20948  df-cnfld 20951  df-top 22403  df-topon 22420  df-topsp 22442  df-bases 22456  df-cld 22530  df-ntr 22531  df-cls 22532  df-nei 22609  df-lp 22647  df-perf 22648  df-cn 22738  df-cnp 22739  df-haus 22826  df-cmp 22898  df-tx 23073  df-hmeo 23266  df-fil 23357  df-fm 23449  df-flim 23450  df-flf 23451  df-xms 23833  df-ms 23834  df-tms 23835  df-cncf 24401  df-limc 25390  df-dv 25391

This theorem is referenced by:  dvfsumrlim3  25557