MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvfsumrlim Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvfsumrlim 26072
Description: Compare a finite sum to an integral (the integral here is given as a function with a known derivative). The statement here says that if 𝑥𝑆𝐵 is a decreasing function with antiderivative 𝐴 converging to zero, then the difference between Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐵(𝑘) and 𝐴(𝑥) = ∫𝑢 ∈ (𝑀[,]𝑥)𝐵(𝑢) d𝑢 converges to a constant limit value, with the remainder term bounded by 𝐵(𝑥). (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dvfsum.s 𝑆 = (𝑇(,)+∞)
dvfsum.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
dvfsum.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
dvfsum.d (𝜑𝐷 ∈ ℝ)
dvfsum.md (𝜑𝑀 ≤ (𝐷 + 1))
dvfsum.t (𝜑𝑇 ∈ ℝ)
dvfsum.a ((𝜑𝑥𝑆) → 𝐴 ∈ ℝ)
dvfsum.b1 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝐵𝑉)
dvfsum.b2 ((𝜑𝑥𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
dvfsum.b3 (𝜑 → (ℝ D (𝑥𝑆𝐴)) = (𝑥𝑆𝐵))
dvfsum.c (𝑥 = 𝑘𝐵 = 𝐶)
dvfsumrlim.l ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑘𝑆) ∧ (𝐷𝑥𝑥𝑘)) → 𝐶𝐵)
dvfsumrlim.g 𝐺 = (𝑥𝑆 ↦ (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐶𝐴))
dvfsumrlim.k (𝜑 → (𝑥𝑆𝐵) ⇝𝑟 0)
Assertion
Ref Expression
dvfsumrlim (𝜑𝐺 ∈ dom ⇝𝑟 )
Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝑥,𝐶   𝑥,𝑘,𝐷   𝜑,𝑘,𝑥   𝑆,𝑘,𝑥   𝑘,𝑀,𝑥   𝑥,𝑇   𝑥,𝑍
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑘)   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑘)   𝑇(𝑘)   𝐺(𝑥,𝑘)   𝑉(𝑥,𝑘)   𝑍(𝑘)

Proof of Theorem dvfsumrlim
Dummy variables 𝑦 𝑒 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvfsum.s . . . 4 𝑆 = (𝑇(,)+∞)
2 ioossre 13448 . . . 4 (𝑇(,)+∞) ⊆ ℝ
31, 2eqsstri 4030 . . 3 𝑆 ⊆ ℝ
43a1i 11 . 2 (𝜑𝑆 ⊆ ℝ)
5 dvfsum.z . . . 4 𝑍 = (ℤ𝑀)
6 dvfsum.m . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
7 dvfsum.d . . . 4 (𝜑𝐷 ∈ ℝ)
8 dvfsum.md . . . 4 (𝜑𝑀 ≤ (𝐷 + 1))
9 dvfsum.t . . . 4 (𝜑𝑇 ∈ ℝ)
10 dvfsum.a . . . 4 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝐴 ∈ ℝ)
11 dvfsum.b1 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝐵𝑉)
12 dvfsum.b2 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
13 dvfsum.b3 . . . 4 (𝜑 → (ℝ D (𝑥𝑆𝐴)) = (𝑥𝑆𝐵))
14 dvfsum.c . . . 4 (𝑥 = 𝑘𝐵 = 𝐶)
15 dvfsumrlim.g . . . 4 𝐺 = (𝑥𝑆 ↦ (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐶𝐴))
161, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15dvfsumrlimf 26065 . . 3 (𝜑𝐺:𝑆⟶ℝ)
17 ax-resscn 11212 . . 3 ℝ ⊆ ℂ
18 fss 6752 . . 3 ((𝐺:𝑆⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → 𝐺:𝑆⟶ℂ)
1916, 17, 18sylancl 586 . 2 (𝜑𝐺:𝑆⟶ℂ)
201supeq1i 9487 . . 3 sup(𝑆, ℝ*, < ) = sup((𝑇(,)+∞), ℝ*, < )
21 ressxr 11305 . . . . 5 ℝ ⊆ ℝ*
2221, 9sselid 3981 . . . 4 (𝜑𝑇 ∈ ℝ*)
239renepnfd 11312 . . . 4 (𝜑𝑇 ≠ +∞)
24 ioopnfsup 13904 . . . 4 ((𝑇 ∈ ℝ*𝑇 ≠ +∞) → sup((𝑇(,)+∞), ℝ*, < ) = +∞)
2522, 23, 24syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → sup((𝑇(,)+∞), ℝ*, < ) = +∞)
2620, 25eqtrid 2789 . 2 (𝜑 → sup(𝑆, ℝ*, < ) = +∞)
27 dvfsumrlim.k . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝑆𝐵) ⇝𝑟 0)
2811, 27rlimmptrcl 15644 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝐵 ∈ ℂ)
2928ralrimiva 3146 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑥𝑆 𝐵 ∈ ℂ)
3029, 4rlim0 15544 . . . 4 (𝜑 → ((𝑥𝑆𝐵) ⇝𝑟 0 ↔ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝑆 (𝑐𝑥 → (abs‘𝐵) < 𝑒)))
3127, 30mpbid 232 . . 3 (𝜑 → ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝑆 (𝑐𝑥 → (abs‘𝐵) < 𝑒))
323a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → 𝑆 ⊆ ℝ)
33 peano2re 11434 . . . . . . . . 9 (𝑇 ∈ ℝ → (𝑇 + 1) ∈ ℝ)
349, 33syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑇 + 1) ∈ ℝ)
3534, 7ifcld 4572 . . . . . . 7 (𝜑 → if(𝐷 ≤ (𝑇 + 1), (𝑇 + 1), 𝐷) ∈ ℝ)
3635adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → if(𝐷 ≤ (𝑇 + 1), (𝑇 + 1), 𝐷) ∈ ℝ)
37 rexico 15392 . . . . . 6 ((𝑆 ⊆ ℝ ∧ if(𝐷 ≤ (𝑇 + 1), (𝑇 + 1), 𝐷) ∈ ℝ) → (∃𝑐 ∈ (if(𝐷 ≤ (𝑇 + 1), (𝑇 + 1), 𝐷)[,)+∞)∀𝑥𝑆 (𝑐𝑥 → (abs‘𝐵) < 𝑒) ↔ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝑆 (𝑐𝑥 → (abs‘𝐵) < 𝑒)))
3832, 36, 37syl2anc 584 . . . . 5 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → (∃𝑐 ∈ (if(𝐷 ≤ (𝑇 + 1), (𝑇 + 1), 𝐷)[,)+∞)∀𝑥𝑆 (𝑐𝑥 → (abs‘𝐵) < 𝑒) ↔ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝑆 (𝑐𝑥 → (abs‘𝐵) < 𝑒)))
39 elicopnf 13485 . . . . . . . . . . . . . 14 (if(𝐷 ≤ (𝑇 + 1), (𝑇 + 1), 𝐷) ∈ ℝ → (𝑐 ∈ (if(𝐷 ≤ (𝑇 + 1), (𝑇 + 1), 𝐷)[,)+∞) ↔ (𝑐 ∈ ℝ ∧ if(𝐷 ≤ (𝑇 + 1), (𝑇 + 1), 𝐷) ≤ 𝑐)))
4035, 39syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑐 ∈ (if(𝐷 ≤ (𝑇 + 1), (𝑇 + 1), 𝐷)[,)+∞) ↔ (𝑐 ∈ ℝ ∧ if(𝐷 ≤ (𝑇 + 1), (𝑇 + 1), 𝐷) ≤ 𝑐)))
4140simprbda 498 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑐 ∈ (if(𝐷 ≤ (𝑇 + 1), (𝑇 + 1), 𝐷)[,)+∞)) → 𝑐 ∈ ℝ)
429adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑐 ∈ (if(𝐷 ≤ (𝑇 + 1), (𝑇 + 1), 𝐷)[,)+∞)) → 𝑇 ∈ ℝ)
4342, 33syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑐 ∈ (if(𝐷 ≤ (𝑇 + 1), (𝑇 + 1), 𝐷)[,)+∞)) → (𝑇 + 1) ∈ ℝ)
4442ltp1d 12198 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑐 ∈ (if(𝐷 ≤ (𝑇 + 1), (𝑇 + 1), 𝐷)[,)+∞)) → 𝑇 < (𝑇 + 1))
4540simplbda 499 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑐 ∈ (if(𝐷 ≤ (𝑇 + 1), (𝑇 + 1), 𝐷)[,)+∞)) → if(𝐷 ≤ (𝑇 + 1), (𝑇 + 1), 𝐷) ≤ 𝑐)
467adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑐 ∈ (if(𝐷 ≤ (𝑇 + 1), (𝑇 + 1), 𝐷)[,)+∞)) → 𝐷 ∈ ℝ)
47 maxle 13233 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐷 ∈ ℝ ∧ (𝑇 + 1) ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ℝ) → (if(𝐷 ≤ (𝑇 + 1), (𝑇 + 1), 𝐷) ≤ 𝑐 ↔ (𝐷𝑐 ∧ (𝑇 + 1) ≤ 𝑐)))
4846, 43, 41, 47syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑐 ∈ (if(𝐷 ≤ (𝑇 + 1), (𝑇 + 1), 𝐷)[,)+∞)) → (if(𝐷 ≤ (𝑇 + 1), (𝑇 + 1), 𝐷) ≤ 𝑐 ↔ (𝐷𝑐 ∧ (𝑇 + 1) ≤ 𝑐)))
4945, 48mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑐 ∈ (if(𝐷 ≤ (𝑇 + 1), (𝑇 + 1), 𝐷)[,)+∞)) → (𝐷𝑐 ∧ (𝑇 + 1) ≤ 𝑐))
5049simprd 495 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑐 ∈ (if(𝐷 ≤ (𝑇 + 1), (𝑇 + 1), 𝐷)[,)+∞)) → (𝑇 + 1) ≤ 𝑐)
5142, 43, 41, 44, 50ltletrd 11421 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑐 ∈ (if(𝐷 ≤ (𝑇 + 1), (𝑇 + 1), 𝐷)[,)+∞)) → 𝑇 < 𝑐)
5222adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑐 ∈ (if(𝐷 ≤ (𝑇 + 1), (𝑇 + 1), 𝐷)[,)+∞)) → 𝑇 ∈ ℝ*)
53 elioopnf 13483 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑇 ∈ ℝ* → (𝑐 ∈ (𝑇(,)+∞) ↔ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑇 < 𝑐)))
5452, 53syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑐 ∈ (if(𝐷 ≤ (𝑇 + 1), (𝑇 + 1), 𝐷)[,)+∞)) → (𝑐 ∈ (𝑇(,)+∞) ↔ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑇 < 𝑐)))
5541, 51, 54mpbir2and 713 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑐 ∈ (if(𝐷 ≤ (𝑇 + 1), (𝑇 + 1), 𝐷)[,)+∞)) → 𝑐 ∈ (𝑇(,)+∞))
5655, 1eleqtrrdi 2852 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑐 ∈ (if(𝐷 ≤ (𝑇 + 1), (𝑇 + 1), 𝐷)[,)+∞)) → 𝑐𝑆)
5749simpld 494 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑐 ∈ (if(𝐷 ≤ (𝑇 + 1), (𝑇 + 1), 𝐷)[,)+∞)) → 𝐷𝑐)
5856, 57jca 511 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑐 ∈ (if(𝐷 ≤ (𝑇 + 1), (𝑇 + 1), 𝐷)[,)+∞)) → (𝑐𝑆𝐷𝑐))
5958adantlr 715 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑐 ∈ (if(𝐷 ≤ (𝑇 + 1), (𝑇 + 1), 𝐷)[,)+∞)) → (𝑐𝑆𝐷𝑐))
60 simprrl 781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐𝑆𝐷𝑐))) → 𝑐𝑆)
6160adantrr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐𝑆𝐷𝑐)) ∧ (𝑦𝑆𝑐𝑦))) → 𝑐𝑆)
623, 61sselid 3981 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐𝑆𝐷𝑐)) ∧ (𝑦𝑆𝑐𝑦))) → 𝑐 ∈ ℝ)
6362leidd 11829 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐𝑆𝐷𝑐)) ∧ (𝑦𝑆𝑐𝑦))) → 𝑐𝑐)
64 nfv 1914 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑥 𝑐𝑐
65 nfcv 2905 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑥abs
66 nfcsb1v 3923 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑥𝑐 / 𝑥𝐵
6765, 66nffv 6916 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑥(abs‘𝑐 / 𝑥𝐵)
68 nfcv 2905 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑥 <
69 nfcv 2905 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑥𝑒
7067, 68, 69nfbr 5190 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑥(abs‘𝑐 / 𝑥𝐵) < 𝑒
7164, 70nfim 1896 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑥(𝑐𝑐 → (abs‘𝑐 / 𝑥𝐵) < 𝑒)
72 breq2 5147 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = 𝑐 → (𝑐𝑥𝑐𝑐))
73 csbeq1a 3913 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 = 𝑐𝐵 = 𝑐 / 𝑥𝐵)
7473fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = 𝑐 → (abs‘𝐵) = (abs‘𝑐 / 𝑥𝐵))
7574breq1d 5153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = 𝑐 → ((abs‘𝐵) < 𝑒 ↔ (abs‘𝑐 / 𝑥𝐵) < 𝑒))
7672, 75imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = 𝑐 → ((𝑐𝑥 → (abs‘𝐵) < 𝑒) ↔ (𝑐𝑐 → (abs‘𝑐 / 𝑥𝐵) < 𝑒)))
7771, 76rspc 3610 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑐𝑆 → (∀𝑥𝑆 (𝑐𝑥 → (abs‘𝐵) < 𝑒) → (𝑐𝑐 → (abs‘𝑐 / 𝑥𝐵) < 𝑒)))
7861, 77syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐𝑆𝐷𝑐)) ∧ (𝑦𝑆𝑐𝑦))) → (∀𝑥𝑆 (𝑐𝑥 → (abs‘𝐵) < 𝑒) → (𝑐𝑐 → (abs‘𝑐 / 𝑥𝐵) < 𝑒)))
7963, 78mpid 44 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐𝑆𝐷𝑐)) ∧ (𝑦𝑆𝑐𝑦))) → (∀𝑥𝑆 (𝑐𝑥 → (abs‘𝐵) < 𝑒) → (abs‘𝑐 / 𝑥𝐵) < 𝑒))
804, 10, 11, 13dvmptrecl 26064 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝐵 ∈ ℝ)
8180adantrr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝐷𝑥)) → 𝐵 ∈ ℝ)
82 dvfsumrlim.l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑘𝑆) ∧ (𝐷𝑥𝑥𝑘)) → 𝐶𝐵)
831, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 82, 15, 27dvfsumrlimge0 26071 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝐷𝑥)) → 0 ≤ 𝐵)
84 elrege0 13494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝐵 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵))
8581, 83, 84sylanbrc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝐷𝑥)) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
8685expr 456 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑥𝑆) → (𝐷𝑥𝐵 ∈ (0[,)+∞)))
8786ralrimiva 3146 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → ∀𝑥𝑆 (𝐷𝑥𝐵 ∈ (0[,)+∞)))
8887adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐𝑆𝐷𝑐)) ∧ (𝑦𝑆𝑐𝑦))) → ∀𝑥𝑆 (𝐷𝑥𝐵 ∈ (0[,)+∞)))
89 simprrr 782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐𝑆𝐷𝑐))) → 𝐷𝑐)
9089adantrr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐𝑆𝐷𝑐)) ∧ (𝑦𝑆𝑐𝑦))) → 𝐷𝑐)
91 nfv 1914 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑥 𝐷𝑐
9266nfel1 2922 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑥𝑐 / 𝑥𝐵 ∈ (0[,)+∞)
9391, 92nfim 1896 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑥(𝐷𝑐𝑐 / 𝑥𝐵 ∈ (0[,)+∞))
94 breq2 5147 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 = 𝑐 → (𝐷𝑥𝐷𝑐))
9573eleq1d 2826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 = 𝑐 → (𝐵 ∈ (0[,)+∞) ↔ 𝑐 / 𝑥𝐵 ∈ (0[,)+∞)))
9694, 95imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 = 𝑐 → ((𝐷𝑥𝐵 ∈ (0[,)+∞)) ↔ (𝐷𝑐𝑐 / 𝑥𝐵 ∈ (0[,)+∞))))
9793, 96rspc 3610 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑐𝑆 → (∀𝑥𝑆 (𝐷𝑥𝐵 ∈ (0[,)+∞)) → (𝐷𝑐𝑐 / 𝑥𝐵 ∈ (0[,)+∞))))
9861, 88, 90, 97syl3c 66 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐𝑆𝐷𝑐)) ∧ (𝑦𝑆𝑐𝑦))) → 𝑐 / 𝑥𝐵 ∈ (0[,)+∞))
99 elrege0 13494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑐 / 𝑥𝐵 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝑐 / 𝑥𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑐 / 𝑥𝐵))
10098, 99sylib 218 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐𝑆𝐷𝑐)) ∧ (𝑦𝑆𝑐𝑦))) → (𝑐 / 𝑥𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑐 / 𝑥𝐵))
101 absid 15335 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑐 / 𝑥𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑐 / 𝑥𝐵) → (abs‘𝑐 / 𝑥𝐵) = 𝑐 / 𝑥𝐵)
102100, 101syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐𝑆𝐷𝑐)) ∧ (𝑦𝑆𝑐𝑦))) → (abs‘𝑐 / 𝑥𝐵) = 𝑐 / 𝑥𝐵)
103102breq1d 5153 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐𝑆𝐷𝑐)) ∧ (𝑦𝑆𝑐𝑦))) → ((abs‘𝑐 / 𝑥𝐵) < 𝑒𝑐 / 𝑥𝐵 < 𝑒))
1046adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐𝑆𝐷𝑐)) ∧ (𝑦𝑆𝑐𝑦))) → 𝑀 ∈ ℤ)
1057adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐𝑆𝐷𝑐)) ∧ (𝑦𝑆𝑐𝑦))) → 𝐷 ∈ ℝ)
1068adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐𝑆𝐷𝑐)) ∧ (𝑦𝑆𝑐𝑦))) → 𝑀 ≤ (𝐷 + 1))
1079adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐𝑆𝐷𝑐)) ∧ (𝑦𝑆𝑐𝑦))) → 𝑇 ∈ ℝ)
10810adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐𝑆𝐷𝑐)) ∧ (𝑦𝑆𝑐𝑦))) ∧ 𝑥𝑆) → 𝐴 ∈ ℝ)
10911adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐𝑆𝐷𝑐)) ∧ (𝑦𝑆𝑐𝑦))) ∧ 𝑥𝑆) → 𝐵𝑉)
11012adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐𝑆𝐷𝑐)) ∧ (𝑦𝑆𝑐𝑦))) ∧ 𝑥𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
11113adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐𝑆𝐷𝑐)) ∧ (𝑦𝑆𝑐𝑦))) → (ℝ D (𝑥𝑆𝐴)) = (𝑥𝑆𝐵))
112 pnfxr 11315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 +∞ ∈ ℝ*
113112a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐𝑆𝐷𝑐)) ∧ (𝑦𝑆𝑐𝑦))) → +∞ ∈ ℝ*)
114 3simpa 1149 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐷𝑥𝑥𝑘𝑘 ≤ +∞) → (𝐷𝑥𝑥𝑘))
115114, 82syl3an3 1166 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑘𝑆) ∧ (𝐷𝑥𝑥𝑘𝑘 ≤ +∞)) → 𝐶𝐵)
1161153adant1r 1178 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐𝑆𝐷𝑐)) ∧ (𝑦𝑆𝑐𝑦))) ∧ (𝑥𝑆𝑘𝑆) ∧ (𝐷𝑥𝑥𝑘𝑘 ≤ +∞)) → 𝐶𝐵)
117833adantr3 1172 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝐷𝑥𝑥 ≤ +∞)) → 0 ≤ 𝐵)
118117adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐𝑆𝐷𝑐)) ∧ (𝑦𝑆𝑐𝑦))) ∧ (𝑥𝑆𝐷𝑥𝑥 ≤ +∞)) → 0 ≤ 𝐵)
119 simprrl 781 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐𝑆𝐷𝑐)) ∧ (𝑦𝑆𝑐𝑦))) → 𝑦𝑆)
120 simprrr 782 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐𝑆𝐷𝑐)) ∧ (𝑦𝑆𝑐𝑦))) → 𝑐𝑦)
1213, 21sstri 3993 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑆 ⊆ ℝ*
122121, 119sselid 3981 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐𝑆𝐷𝑐)) ∧ (𝑦𝑆𝑐𝑦))) → 𝑦 ∈ ℝ*)
123 pnfge 13172 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 ∈ ℝ*𝑦 ≤ +∞)
124122, 123syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐𝑆𝐷𝑐)) ∧ (𝑦𝑆𝑐𝑦))) → 𝑦 ≤ +∞)
1251, 5, 104, 105, 106, 107, 108, 109, 110, 111, 14, 113, 116, 15, 118, 61, 119, 90, 120, 124dvfsumlem4 26070 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐𝑆𝐷𝑐)) ∧ (𝑦𝑆𝑐𝑦))) → (abs‘((𝐺𝑦) − (𝐺𝑐))) ≤ 𝑐 / 𝑥𝐵)
12619adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐𝑆𝐷𝑐)) ∧ (𝑦𝑆𝑐𝑦))) → 𝐺:𝑆⟶ℂ)
127126, 119ffvelcdmd 7105 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐𝑆𝐷𝑐)) ∧ (𝑦𝑆𝑐𝑦))) → (𝐺𝑦) ∈ ℂ)
128126, 61ffvelcdmd 7105 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐𝑆𝐷𝑐)) ∧ (𝑦𝑆𝑐𝑦))) → (𝐺𝑐) ∈ ℂ)
129127, 128subcld 11620 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐𝑆𝐷𝑐)) ∧ (𝑦𝑆𝑐𝑦))) → ((𝐺𝑦) − (𝐺𝑐)) ∈ ℂ)
130129abscld 15475 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐𝑆𝐷𝑐)) ∧ (𝑦𝑆𝑐𝑦))) → (abs‘((𝐺𝑦) − (𝐺𝑐))) ∈ ℝ)
131100simpld 494 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐𝑆𝐷𝑐)) ∧ (𝑦𝑆𝑐𝑦))) → 𝑐 / 𝑥𝐵 ∈ ℝ)
132 simprll 779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐𝑆𝐷𝑐)) ∧ (𝑦𝑆𝑐𝑦))) → 𝑒 ∈ ℝ+)
133132rpred 13077 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐𝑆𝐷𝑐)) ∧ (𝑦𝑆𝑐𝑦))) → 𝑒 ∈ ℝ)
134 lelttr 11351 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((abs‘((𝐺𝑦) − (𝐺𝑐))) ∈ ℝ ∧ 𝑐 / 𝑥𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑒 ∈ ℝ) → (((abs‘((𝐺𝑦) − (𝐺𝑐))) ≤ 𝑐 / 𝑥𝐵𝑐 / 𝑥𝐵 < 𝑒) → (abs‘((𝐺𝑦) − (𝐺𝑐))) < 𝑒))
135130, 131, 133, 134syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐𝑆𝐷𝑐)) ∧ (𝑦𝑆𝑐𝑦))) → (((abs‘((𝐺𝑦) − (𝐺𝑐))) ≤ 𝑐 / 𝑥𝐵𝑐 / 𝑥𝐵 < 𝑒) → (abs‘((𝐺𝑦) − (𝐺𝑐))) < 𝑒))
136125, 135mpand 695 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐𝑆𝐷𝑐)) ∧ (𝑦𝑆𝑐𝑦))) → (𝑐 / 𝑥𝐵 < 𝑒 → (abs‘((𝐺𝑦) − (𝐺𝑐))) < 𝑒))
137103, 136sylbid 240 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐𝑆𝐷𝑐)) ∧ (𝑦𝑆𝑐𝑦))) → ((abs‘𝑐 / 𝑥𝐵) < 𝑒 → (abs‘((𝐺𝑦) − (𝐺𝑐))) < 𝑒))
13879, 137syld 47 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐𝑆𝐷𝑐)) ∧ (𝑦𝑆𝑐𝑦))) → (∀𝑥𝑆 (𝑐𝑥 → (abs‘𝐵) < 𝑒) → (abs‘((𝐺𝑦) − (𝐺𝑐))) < 𝑒))
139138anassrs 467 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐𝑆𝐷𝑐))) ∧ (𝑦𝑆𝑐𝑦)) → (∀𝑥𝑆 (𝑐𝑥 → (abs‘𝐵) < 𝑒) → (abs‘((𝐺𝑦) − (𝐺𝑐))) < 𝑒))
140139expr 456 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐𝑆𝐷𝑐))) ∧ 𝑦𝑆) → (𝑐𝑦 → (∀𝑥𝑆 (𝑐𝑥 → (abs‘𝐵) < 𝑒) → (abs‘((𝐺𝑦) − (𝐺𝑐))) < 𝑒)))
141140com23 86 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐𝑆𝐷𝑐))) ∧ 𝑦𝑆) → (∀𝑥𝑆 (𝑐𝑥 → (abs‘𝐵) < 𝑒) → (𝑐𝑦 → (abs‘((𝐺𝑦) − (𝐺𝑐))) < 𝑒)))
142141ralrimdva 3154 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐𝑆𝐷𝑐))) → (∀𝑥𝑆 (𝑐𝑥 → (abs‘𝐵) < 𝑒) → ∀𝑦𝑆 (𝑐𝑦 → (abs‘((𝐺𝑦) − (𝐺𝑐))) < 𝑒)))
143142, 60jctild 525 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑒 ∈ ℝ+ ∧ (𝑐𝑆𝐷𝑐))) → (∀𝑥𝑆 (𝑐𝑥 → (abs‘𝐵) < 𝑒) → (𝑐𝑆 ∧ ∀𝑦𝑆 (𝑐𝑦 → (abs‘((𝐺𝑦) − (𝐺𝑐))) < 𝑒))))
144143anassrs 467 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑐𝑆𝐷𝑐)) → (∀𝑥𝑆 (𝑐𝑥 → (abs‘𝐵) < 𝑒) → (𝑐𝑆 ∧ ∀𝑦𝑆 (𝑐𝑦 → (abs‘((𝐺𝑦) − (𝐺𝑐))) < 𝑒))))
14559, 144syldan 591 . . . . . . 7 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑐 ∈ (if(𝐷 ≤ (𝑇 + 1), (𝑇 + 1), 𝐷)[,)+∞)) → (∀𝑥𝑆 (𝑐𝑥 → (abs‘𝐵) < 𝑒) → (𝑐𝑆 ∧ ∀𝑦𝑆 (𝑐𝑦 → (abs‘((𝐺𝑦) − (𝐺𝑐))) < 𝑒))))
146145expimpd 453 . . . . . 6 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → ((𝑐 ∈ (if(𝐷 ≤ (𝑇 + 1), (𝑇 + 1), 𝐷)[,)+∞) ∧ ∀𝑥𝑆 (𝑐𝑥 → (abs‘𝐵) < 𝑒)) → (𝑐𝑆 ∧ ∀𝑦𝑆 (𝑐𝑦 → (abs‘((𝐺𝑦) − (𝐺𝑐))) < 𝑒))))
147146reximdv2 3164 . . . . 5 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → (∃𝑐 ∈ (if(𝐷 ≤ (𝑇 + 1), (𝑇 + 1), 𝐷)[,)+∞)∀𝑥𝑆 (𝑐𝑥 → (abs‘𝐵) < 𝑒) → ∃𝑐𝑆𝑦𝑆 (𝑐𝑦 → (abs‘((𝐺𝑦) − (𝐺𝑐))) < 𝑒)))
14838, 147sylbird 260 . . . 4 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → (∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝑆 (𝑐𝑥 → (abs‘𝐵) < 𝑒) → ∃𝑐𝑆𝑦𝑆 (𝑐𝑦 → (abs‘((𝐺𝑦) − (𝐺𝑐))) < 𝑒)))
149148ralimdva 3167 . . 3 (𝜑 → (∀𝑒 ∈ ℝ+𝑐 ∈ ℝ ∀𝑥𝑆 (𝑐𝑥 → (abs‘𝐵) < 𝑒) → ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑐𝑆𝑦𝑆 (𝑐𝑦 → (abs‘((𝐺𝑦) − (𝐺𝑐))) < 𝑒)))
15031, 149mpd 15 . 2 (𝜑 → ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑐𝑆𝑦𝑆 (𝑐𝑦 → (abs‘((𝐺𝑦) − (𝐺𝑐))) < 𝑒))
1514, 19, 26, 150caucvgr 15712 1 (𝜑𝐺 ∈ dom ⇝𝑟 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  wral 3061  wrex 3070  csb 3899  wss 3951  ifcif 4525   class class class wbr 5143  cmpt 5225  dom cdm 5685  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  supcsup 9480  cc 11153  cr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158  +∞cpnf 11292  *cxr 11294   < clt 11295  cle 11296  cmin 11492  cz 12613  cuz 12878  +crp 13034  (,)cioo 13387  [,)cico 13389  ...cfz 13547  cfl 13830  abscabs 15273  𝑟 crli 15521  Σcsu 15722   D cdv 25898
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ioo 13391  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-limsup 15507  df-clim 15524  df-rlim 15525  df-sum 15723  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17467  df-topn 17468  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-topgen 17488  df-pt 17489  df-prds 17492  df-xrs 17547  df-qtop 17552  df-imas 17553  df-xps 17555  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-mulg 19086  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-fbas 21361  df-fg 21362  df-cnfld 21365  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-cld 23027  df-ntr 23028  df-cls 23029  df-nei 23106  df-lp 23144  df-perf 23145  df-cn 23235  df-cnp 23236  df-haus 23323  df-cmp 23395  df-tx 23570  df-hmeo 23763  df-fil 23854  df-fm 23946  df-flim 23947  df-flf 23948  df-xms 24330  df-ms 24331  df-tms 24332  df-cncf 24904  df-limc 25901  df-dv 25902
This theorem is referenced by:  dvfsumrlim3  26074
  Copyright terms: Public domain W3C validator