Theorem cxploglim2 25558

Description: Every power of the logarithm grows slower than any positive power. (Contributed by Mario Carneiro, 20-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
cxploglim2	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝑛 ∈ ℝ+ ↦ (((log‘𝑛)↑𝑐𝐴) / (𝑛↑𝑐𝐵))) ⇝𝑟 0)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝐵,𝑛

Proof of Theorem cxploglim2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3re 11720	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℝ
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 3 ∈ ℝ)
3		0red 10646	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 0 ∈ ℝ)
4	3	recnd 10671	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 0 ∈ ℂ)
5		ovexd 7193	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → ((log‘𝑛) / (𝑛↑𝑐(𝐵 / if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1)))) ∈ V)
6		simpr 487	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ+)
7		recl 14471	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
8	7	adantr 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
9		1re 10643	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℝ
10		ifcl 4513	. . . . . . 7 ⊢ (((ℜ‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1) ∈ ℝ)
11	8, 9, 10	sylancl 588	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1) ∈ ℝ)
12	9	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 1 ∈ ℝ)
13		0lt1 11164	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 1
14	13	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 0 < 1)
15		max1 12581	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ) → 1 ≤ if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1))
16	9, 8, 15	sylancr 589	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 1 ≤ if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1))
17	3, 12, 11, 14, 16	ltletrd 10802	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 0 < if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1))
18	11, 17	elrpd 12431	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1) ∈ ℝ+)
19	6, 18	rpdivcld 12451	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐵 / if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1)) ∈ ℝ+)
20		cxploglim 25557	. . . 4 ⊢ ((𝐵 / if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1)) ∈ ℝ+ → (𝑛 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝑛) / (𝑛↑𝑐(𝐵 / if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1))))) ⇝𝑟 0)
21	19, 20	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝑛 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝑛) / (𝑛↑𝑐(𝐵 / if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1))))) ⇝𝑟 0)
22	5, 21, 18	rlimcxp 25553	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝑛 ∈ ℝ+ ↦ (((log‘𝑛) / (𝑛↑𝑐(𝐵 / if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1))))↑𝑐if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1))) ⇝𝑟 0)
23	5, 21	rlimmptrcl 14966	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → ((log‘𝑛) / (𝑛↑𝑐(𝐵 / if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1)))) ∈ ℂ)
24	11	adantr 483	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1) ∈ ℝ)
25	24	recnd 10671	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1) ∈ ℂ)
26	23, 25	cxpcld 25293	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (((log‘𝑛) / (𝑛↑𝑐(𝐵 / if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1))))↑𝑐if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1)) ∈ ℂ)
27		relogcl 25161	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℝ+ → (log‘𝑛) ∈ ℝ)
28	27	adantl 484	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (log‘𝑛) ∈ ℝ)
29	28	recnd 10671	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (log‘𝑛) ∈ ℂ)
30		simpll 765	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℂ)
31	29, 30	cxpcld 25293	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → ((log‘𝑛)↑𝑐𝐴) ∈ ℂ)
32		simpr 487	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → 𝑛 ∈ ℝ+)
33		rpre 12400	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ+ → 𝐵 ∈ ℝ)
34	33	ad2antlr 725	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ)
35	32, 34	rpcxpcld 25317	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (𝑛↑𝑐𝐵) ∈ ℝ+)
36	35	rpcnd 12436	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (𝑛↑𝑐𝐵) ∈ ℂ)
37	35	rpne0d 12439	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (𝑛↑𝑐𝐵) ≠ 0)
38	31, 36, 37	divcld 11418	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (((log‘𝑛)↑𝑐𝐴) / (𝑛↑𝑐𝐵)) ∈ ℂ)
39	38	adantrr 715	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → (((log‘𝑛)↑𝑐𝐴) / (𝑛↑𝑐𝐵)) ∈ ℂ)
40	39	abscld 14798	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → (abs‘(((log‘𝑛)↑𝑐𝐴) / (𝑛↑𝑐𝐵))) ∈ ℝ)
41		rpre 12400	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℝ+ → 𝑛 ∈ ℝ)
42	41	ad2antrl 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → 𝑛 ∈ ℝ)
43	9	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → 1 ∈ ℝ)
44	1	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → 3 ∈ ℝ)
45		1lt3 11813	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 < 3
46	45	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → 1 < 3)
47		simprr 771	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → 3 ≤ 𝑛)
48	43, 44, 42, 46, 47	ltletrd 10802	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → 1 < 𝑛)
49	42, 48	rplogcld 25214	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → (log‘𝑛) ∈ ℝ+)
50	32	adantrr 715	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → 𝑛 ∈ ℝ+)
51	33	ad2antlr 725	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → 𝐵 ∈ ℝ)
52	18	adantr 483	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1) ∈ ℝ+)
53	51, 52	rerpdivcld 12465	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → (𝐵 / if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1)) ∈ ℝ)
54	50, 53	rpcxpcld 25317	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → (𝑛↑𝑐(𝐵 / if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1))) ∈ ℝ+)
55	49, 54	rpdivcld 12451	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → ((log‘𝑛) / (𝑛↑𝑐(𝐵 / if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1)))) ∈ ℝ+)
56	11	adantr 483	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1) ∈ ℝ)
57	55, 56	rpcxpcld 25317	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → (((log‘𝑛) / (𝑛↑𝑐(𝐵 / if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1))))↑𝑐if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1)) ∈ ℝ+)
58	57	rpred 12434	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → (((log‘𝑛) / (𝑛↑𝑐(𝐵 / if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1))))↑𝑐if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1)) ∈ ℝ)
59	26	adantrr 715	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → (((log‘𝑛) / (𝑛↑𝑐(𝐵 / if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1))))↑𝑐if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1)) ∈ ℂ)
60	59	abscld 14798	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → (abs‘(((log‘𝑛) / (𝑛↑𝑐(𝐵 / if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1))))↑𝑐if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1))) ∈ ℝ)
61	31	adantrr 715	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → ((log‘𝑛)↑𝑐𝐴) ∈ ℂ)
62	61	abscld 14798	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → (abs‘((log‘𝑛)↑𝑐𝐴)) ∈ ℝ)
63	49, 56	rpcxpcld 25317	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → ((log‘𝑛)↑𝑐if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1)) ∈ ℝ+)
64	63	rpred 12434	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → ((log‘𝑛)↑𝑐if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1)) ∈ ℝ)
65	35	adantrr 715	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → (𝑛↑𝑐𝐵) ∈ ℝ+)
66		simpll 765	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → 𝐴 ∈ ℂ)
67		abscxp 25277	. . . . . . . 8 ⊢ (((log‘𝑛) ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (abs‘((log‘𝑛)↑𝑐𝐴)) = ((log‘𝑛)↑𝑐(ℜ‘𝐴)))
68	49, 66, 67	syl2anc 586	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → (abs‘((log‘𝑛)↑𝑐𝐴)) = ((log‘𝑛)↑𝑐(ℜ‘𝐴)))
69	66	recld 14555	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
70		max2 12583	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ) → (ℜ‘𝐴) ≤ if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1))
71	9, 69, 70	sylancr 589	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → (ℜ‘𝐴) ≤ if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1))
72	27	ad2antrl 726	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → (log‘𝑛) ∈ ℝ)
73		loge 25172	. . . . . . . . . 10 ⊢ (log‘e) = 1
74		ere 15444	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ e ∈ ℝ
75	74	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → e ∈ ℝ)
76		egt2lt3 15561	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (2 < e ∧ e < 3)
77	76	simpri 488	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ e < 3
78	77	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → e < 3)
79	75, 44, 42, 78, 47	ltletrd 10802	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → e < 𝑛)
80		epr 15563	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ e ∈ ℝ+
81		logltb 25185	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((e ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (e < 𝑛 ↔ (log‘e) < (log‘𝑛)))
82	80, 50, 81	sylancr 589	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → (e < 𝑛 ↔ (log‘e) < (log‘𝑛)))
83	79, 82	mpbid 234	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → (log‘e) < (log‘𝑛))
84	73, 83	eqbrtrrid 5104	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → 1 < (log‘𝑛))
85	72, 84, 69, 56	cxpled 25305	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → ((ℜ‘𝐴) ≤ if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1) ↔ ((log‘𝑛)↑𝑐(ℜ‘𝐴)) ≤ ((log‘𝑛)↑𝑐if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1))))
86	71, 85	mpbid 234	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → ((log‘𝑛)↑𝑐(ℜ‘𝐴)) ≤ ((log‘𝑛)↑𝑐if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1)))
87	68, 86	eqbrtrd 5090	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → (abs‘((log‘𝑛)↑𝑐𝐴)) ≤ ((log‘𝑛)↑𝑐if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1)))
88	62, 64, 65, 87	lediv1dd 12492	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → ((abs‘((log‘𝑛)↑𝑐𝐴)) / (𝑛↑𝑐𝐵)) ≤ (((log‘𝑛)↑𝑐if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1)) / (𝑛↑𝑐𝐵)))
89	31, 36, 37	absdivd 14817	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (abs‘(((log‘𝑛)↑𝑐𝐴) / (𝑛↑𝑐𝐵))) = ((abs‘((log‘𝑛)↑𝑐𝐴)) / (abs‘(𝑛↑𝑐𝐵))))
90	89	adantrr 715	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → (abs‘(((log‘𝑛)↑𝑐𝐴) / (𝑛↑𝑐𝐵))) = ((abs‘((log‘𝑛)↑𝑐𝐴)) / (abs‘(𝑛↑𝑐𝐵))))
91	65	rprege0d 12441	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → ((𝑛↑𝑐𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑛↑𝑐𝐵)))
92		absid 14658	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑛↑𝑐𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑛↑𝑐𝐵)) → (abs‘(𝑛↑𝑐𝐵)) = (𝑛↑𝑐𝐵))
93	91, 92	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → (abs‘(𝑛↑𝑐𝐵)) = (𝑛↑𝑐𝐵))
94	93	oveq2d 7174	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → ((abs‘((log‘𝑛)↑𝑐𝐴)) / (abs‘(𝑛↑𝑐𝐵))) = ((abs‘((log‘𝑛)↑𝑐𝐴)) / (𝑛↑𝑐𝐵)))
95	90, 94	eqtrd 2858	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → (abs‘(((log‘𝑛)↑𝑐𝐴) / (𝑛↑𝑐𝐵))) = ((abs‘((log‘𝑛)↑𝑐𝐴)) / (𝑛↑𝑐𝐵)))
96	49	rprege0d 12441	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → ((log‘𝑛) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (log‘𝑛)))
97	11	recnd 10671	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1) ∈ ℂ)
98	97	adantr 483	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1) ∈ ℂ)
99		divcxp 25272	. . . . . . 7 ⊢ ((((log‘𝑛) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (log‘𝑛)) ∧ (𝑛↑𝑐(𝐵 / if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1))) ∈ ℝ+ ∧ if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1) ∈ ℂ) → (((log‘𝑛) / (𝑛↑𝑐(𝐵 / if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1))))↑𝑐if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1)) = (((log‘𝑛)↑𝑐if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1)) / ((𝑛↑𝑐(𝐵 / if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1)))↑𝑐if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1))))
100	96, 54, 98, 99	syl3anc 1367	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → (((log‘𝑛) / (𝑛↑𝑐(𝐵 / if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1))))↑𝑐if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1)) = (((log‘𝑛)↑𝑐if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1)) / ((𝑛↑𝑐(𝐵 / if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1)))↑𝑐if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1))))
101	50, 53, 98	cxpmuld 25321	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → (𝑛↑𝑐((𝐵 / if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1)) · if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1))) = ((𝑛↑𝑐(𝐵 / if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1)))↑𝑐if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1)))
102	51	recnd 10671	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → 𝐵 ∈ ℂ)
103	52	rpne0d 12439	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1) ≠ 0)
104	102, 98, 103	divcan1d 11419	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → ((𝐵 / if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1)) · if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1)) = 𝐵)
105	104	oveq2d 7174	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → (𝑛↑𝑐((𝐵 / if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1)) · if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1))) = (𝑛↑𝑐𝐵))
106	101, 105	eqtr3d 2860	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → ((𝑛↑𝑐(𝐵 / if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1)))↑𝑐if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1)) = (𝑛↑𝑐𝐵))
107	106	oveq2d 7174	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → (((log‘𝑛)↑𝑐if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1)) / ((𝑛↑𝑐(𝐵 / if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1)))↑𝑐if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1))) = (((log‘𝑛)↑𝑐if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1)) / (𝑛↑𝑐𝐵)))
108	100, 107	eqtrd 2858	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → (((log‘𝑛) / (𝑛↑𝑐(𝐵 / if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1))))↑𝑐if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1)) = (((log‘𝑛)↑𝑐if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1)) / (𝑛↑𝑐𝐵)))
109	88, 95, 108	3brtr4d 5100	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → (abs‘(((log‘𝑛)↑𝑐𝐴) / (𝑛↑𝑐𝐵))) ≤ (((log‘𝑛) / (𝑛↑𝑐(𝐵 / if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1))))↑𝑐if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1)))
110	58	leabsd 14776	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → (((log‘𝑛) / (𝑛↑𝑐(𝐵 / if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1))))↑𝑐if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1)) ≤ (abs‘(((log‘𝑛) / (𝑛↑𝑐(𝐵 / if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1))))↑𝑐if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1))))
111	40, 58, 60, 109, 110	letrd 10799	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → (abs‘(((log‘𝑛)↑𝑐𝐴) / (𝑛↑𝑐𝐵))) ≤ (abs‘(((log‘𝑛) / (𝑛↑𝑐(𝐵 / if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1))))↑𝑐if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1))))
112	39	subid1d 10988	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → ((((log‘𝑛)↑𝑐𝐴) / (𝑛↑𝑐𝐵)) − 0) = (((log‘𝑛)↑𝑐𝐴) / (𝑛↑𝑐𝐵)))
113	112	fveq2d 6676	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → (abs‘((((log‘𝑛)↑𝑐𝐴) / (𝑛↑𝑐𝐵)) − 0)) = (abs‘(((log‘𝑛)↑𝑐𝐴) / (𝑛↑𝑐𝐵))))
114	59	subid1d 10988	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → ((((log‘𝑛) / (𝑛↑𝑐(𝐵 / if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1))))↑𝑐if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1)) − 0) = (((log‘𝑛) / (𝑛↑𝑐(𝐵 / if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1))))↑𝑐if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1)))
115	114	fveq2d 6676	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → (abs‘((((log‘𝑛) / (𝑛↑𝑐(𝐵 / if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1))))↑𝑐if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1)) − 0)) = (abs‘(((log‘𝑛) / (𝑛↑𝑐(𝐵 / if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1))))↑𝑐if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1))))
116	111, 113, 115	3brtr4d 5100	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → (abs‘((((log‘𝑛)↑𝑐𝐴) / (𝑛↑𝑐𝐵)) − 0)) ≤ (abs‘((((log‘𝑛) / (𝑛↑𝑐(𝐵 / if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1))))↑𝑐if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1)) − 0)))
117	2, 4, 22, 26, 38, 116	rlimsqzlem 15007	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝑛 ∈ ℝ+ ↦ (((log‘𝑛)↑𝑐𝐴) / (𝑛↑𝑐𝐵))) ⇝𝑟 0)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  Vcvv 3496  ifcif 4469   class class class wbr 5068   ↦ cmpt 5148  ‘cfv 6357  (class class class)co 7158  ℂcc 10537  ℝcr 10538  0cc0 10539  1c1 10540   · cmul 10544   < clt 10677   ≤ cle 10678   − cmin 10872   / cdiv 11299  2c2 11695  3c3 11696  ℝ⁺crp 12392  ℜcre 14458  abscabs 14595   ⇝_𝑟 crli 14844  eceu 15418  logclog 25140  ↑_𝑐ccxp 25141

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-rep 5192  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-inf2 9106  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616  ax-pre-sup 10617  ax-addf 10618  ax-mulf 10619

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-int 4879  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-se 5517  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-isom 6366  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-of 7411  df-om 7583  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-supp 7833  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-1o 8104  df-2o 8105  df-oadd 8108  df-er 8291  df-map 8410  df-pm 8411  df-ixp 8464  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-fin 8515  df-fsupp 8836  df-fi 8877  df-sup 8908  df-inf 8909  df-oi 8976  df-card 9370  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-div 11300  df-nn 11641  df-2 11703  df-3 11704  df-4 11705  df-5 11706  df-6 11707  df-7 11708  df-8 11709  df-9 11710  df-n0 11901  df-z 11985  df-dec 12102  df-uz 12247  df-q 12352  df-rp 12393  df-xneg 12510  df-xadd 12511  df-xmul 12512  df-ioo 12745  df-ioc 12746  df-ico 12747  df-icc 12748  df-fz 12896  df-fzo 13037  df-fl 13165  df-mod 13241  df-seq 13373  df-exp 13433  df-fac 13637  df-bc 13666  df-hash 13694  df-shft 14428  df-cj 14460  df-re 14461  df-im 14462  df-sqrt 14596  df-abs 14597  df-limsup 14830  df-clim 14847  df-rlim 14848  df-sum 15045  df-ef 15423  df-e 15424  df-sin 15425  df-cos 15426  df-pi 15428  df-struct 16487  df-ndx 16488  df-slot 16489  df-base 16491  df-sets 16492  df-ress 16493  df-plusg 16580  df-mulr 16581  df-starv 16582  df-sca 16583  df-vsca 16584  df-ip 16585  df-tset 16586  df-ple 16587  df-ds 16589  df-unif 16590  df-hom 16591  df-cco 16592  df-rest 16698  df-topn 16699  df-0g 16717  df-gsum 16718  df-topgen 16719  df-pt 16720  df-prds 16723  df-xrs 16777  df-qtop 16782  df-imas 16783  df-xps 16785  df-mre 16859  df-mrc 16860  df-acs 16862  df-mgm 17854  df-sgrp 17903  df-mnd 17914  df-submnd 17959  df-mulg 18227  df-cntz 18449  df-cmn 18910  df-psmet 20539  df-xmet 20540  df-met 20541  df-bl 20542  df-mopn 20543  df-fbas 20544  df-fg 20545  df-cnfld 20548  df-top 21504  df-topon 21521  df-topsp 21543  df-bases 21556  df-cld 21629  df-ntr 21630  df-cls 21631  df-nei 21708  df-lp 21746  df-perf 21747  df-cn 21837  df-cnp 21838  df-haus 21925  df-tx 22172  df-hmeo 22365  df-fil 22456  df-fm 22548  df-flim 22549  df-flf 22550  df-xms 22932  df-ms 22933  df-tms 22934  df-cncf 23488  df-limc 24466  df-dv 24467  df-log 25142  df-cxp 25143

This theorem is referenced by:  logexprlim  25803