Theorem cxploglim2 25861

Description: Every power of the logarithm grows slower than any positive power. (Contributed by Mario Carneiro, 20-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
cxploglim2	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝑛 ∈ ℝ+ ↦ (((log‘𝑛)↑𝑐𝐴) / (𝑛↑𝑐𝐵))) ⇝𝑟 0)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝐵,𝑛

Proof of Theorem cxploglim2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3re 11910	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℝ
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 3 ∈ ℝ)
3		0red 10836	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 0 ∈ ℝ)
4	3	recnd 10861	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 0 ∈ ℂ)
5		ovexd 7248	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → ((log‘𝑛) / (𝑛↑𝑐(𝐵 / if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1)))) ∈ V)
6		simpr 488	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ+)
7		recl 14673	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
8	7	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
9		1re 10833	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℝ
10		ifcl 4484	. . . . . . 7 ⊢ (((ℜ‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1) ∈ ℝ)
11	8, 9, 10	sylancl 589	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1) ∈ ℝ)
12	9	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 1 ∈ ℝ)
13		0lt1 11354	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 1
14	13	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 0 < 1)
15		max1 12775	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ) → 1 ≤ if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1))
16	9, 8, 15	sylancr 590	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 1 ≤ if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1))
17	3, 12, 11, 14, 16	ltletrd 10992	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 0 < if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1))
18	11, 17	elrpd 12625	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1) ∈ ℝ+)
19	6, 18	rpdivcld 12645	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐵 / if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1)) ∈ ℝ+)
20		cxploglim 25860	. . . 4 ⊢ ((𝐵 / if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1)) ∈ ℝ+ → (𝑛 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝑛) / (𝑛↑𝑐(𝐵 / if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1))))) ⇝𝑟 0)
21	19, 20	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝑛 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝑛) / (𝑛↑𝑐(𝐵 / if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1))))) ⇝𝑟 0)
22	5, 21, 18	rlimcxp 25856	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝑛 ∈ ℝ+ ↦ (((log‘𝑛) / (𝑛↑𝑐(𝐵 / if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1))))↑𝑐if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1))) ⇝𝑟 0)
23	5, 21	rlimmptrcl 15169	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → ((log‘𝑛) / (𝑛↑𝑐(𝐵 / if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1)))) ∈ ℂ)
24	11	adantr 484	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1) ∈ ℝ)
25	24	recnd 10861	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1) ∈ ℂ)
26	23, 25	cxpcld 25596	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (((log‘𝑛) / (𝑛↑𝑐(𝐵 / if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1))))↑𝑐if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1)) ∈ ℂ)
27		relogcl 25464	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℝ+ → (log‘𝑛) ∈ ℝ)
28	27	adantl 485	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (log‘𝑛) ∈ ℝ)
29	28	recnd 10861	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (log‘𝑛) ∈ ℂ)
30		simpll 767	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℂ)
31	29, 30	cxpcld 25596	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → ((log‘𝑛)↑𝑐𝐴) ∈ ℂ)
32		simpr 488	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → 𝑛 ∈ ℝ+)
33		rpre 12594	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ+ → 𝐵 ∈ ℝ)
34	33	ad2antlr 727	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ)
35	32, 34	rpcxpcld 25620	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (𝑛↑𝑐𝐵) ∈ ℝ+)
36	35	rpcnd 12630	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (𝑛↑𝑐𝐵) ∈ ℂ)
37	35	rpne0d 12633	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (𝑛↑𝑐𝐵) ≠ 0)
38	31, 36, 37	divcld 11608	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (((log‘𝑛)↑𝑐𝐴) / (𝑛↑𝑐𝐵)) ∈ ℂ)
39	38	adantrr 717	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → (((log‘𝑛)↑𝑐𝐴) / (𝑛↑𝑐𝐵)) ∈ ℂ)
40	39	abscld 15000	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → (abs‘(((log‘𝑛)↑𝑐𝐴) / (𝑛↑𝑐𝐵))) ∈ ℝ)
41		rpre 12594	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℝ+ → 𝑛 ∈ ℝ)
42	41	ad2antrl 728	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → 𝑛 ∈ ℝ)
43	9	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → 1 ∈ ℝ)
44	1	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → 3 ∈ ℝ)
45		1lt3 12003	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 < 3
46	45	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → 1 < 3)
47		simprr 773	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → 3 ≤ 𝑛)
48	43, 44, 42, 46, 47	ltletrd 10992	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → 1 < 𝑛)
49	42, 48	rplogcld 25517	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → (log‘𝑛) ∈ ℝ+)
50	32	adantrr 717	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → 𝑛 ∈ ℝ+)
51	33	ad2antlr 727	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → 𝐵 ∈ ℝ)
52	18	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1) ∈ ℝ+)
53	51, 52	rerpdivcld 12659	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → (𝐵 / if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1)) ∈ ℝ)
54	50, 53	rpcxpcld 25620	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → (𝑛↑𝑐(𝐵 / if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1))) ∈ ℝ+)
55	49, 54	rpdivcld 12645	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → ((log‘𝑛) / (𝑛↑𝑐(𝐵 / if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1)))) ∈ ℝ+)
56	11	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1) ∈ ℝ)
57	55, 56	rpcxpcld 25620	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → (((log‘𝑛) / (𝑛↑𝑐(𝐵 / if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1))))↑𝑐if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1)) ∈ ℝ+)
58	57	rpred 12628	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → (((log‘𝑛) / (𝑛↑𝑐(𝐵 / if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1))))↑𝑐if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1)) ∈ ℝ)
59	26	adantrr 717	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → (((log‘𝑛) / (𝑛↑𝑐(𝐵 / if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1))))↑𝑐if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1)) ∈ ℂ)
60	59	abscld 15000	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → (abs‘(((log‘𝑛) / (𝑛↑𝑐(𝐵 / if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1))))↑𝑐if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1))) ∈ ℝ)
61	31	adantrr 717	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → ((log‘𝑛)↑𝑐𝐴) ∈ ℂ)
62	61	abscld 15000	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → (abs‘((log‘𝑛)↑𝑐𝐴)) ∈ ℝ)
63	49, 56	rpcxpcld 25620	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → ((log‘𝑛)↑𝑐if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1)) ∈ ℝ+)
64	63	rpred 12628	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → ((log‘𝑛)↑𝑐if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1)) ∈ ℝ)
65	35	adantrr 717	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → (𝑛↑𝑐𝐵) ∈ ℝ+)
66		simpll 767	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → 𝐴 ∈ ℂ)
67		abscxp 25580	. . . . . . . 8 ⊢ (((log‘𝑛) ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (abs‘((log‘𝑛)↑𝑐𝐴)) = ((log‘𝑛)↑𝑐(ℜ‘𝐴)))
68	49, 66, 67	syl2anc 587	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → (abs‘((log‘𝑛)↑𝑐𝐴)) = ((log‘𝑛)↑𝑐(ℜ‘𝐴)))
69	66	recld 14757	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
70		max2 12777	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ) → (ℜ‘𝐴) ≤ if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1))
71	9, 69, 70	sylancr 590	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → (ℜ‘𝐴) ≤ if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1))
72	27	ad2antrl 728	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → (log‘𝑛) ∈ ℝ)
73		loge 25475	. . . . . . . . . 10 ⊢ (log‘e) = 1
74		ere 15650	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ e ∈ ℝ
75	74	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → e ∈ ℝ)
76		egt2lt3 15767	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (2 < e ∧ e < 3)
77	76	simpri 489	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ e < 3
78	77	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → e < 3)
79	75, 44, 42, 78, 47	ltletrd 10992	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → e < 𝑛)
80		epr 15769	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ e ∈ ℝ+
81		logltb 25488	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((e ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (e < 𝑛 ↔ (log‘e) < (log‘𝑛)))
82	80, 50, 81	sylancr 590	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → (e < 𝑛 ↔ (log‘e) < (log‘𝑛)))
83	79, 82	mpbid 235	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → (log‘e) < (log‘𝑛))
84	73, 83	eqbrtrrid 5089	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → 1 < (log‘𝑛))
85	72, 84, 69, 56	cxpled 25608	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → ((ℜ‘𝐴) ≤ if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1) ↔ ((log‘𝑛)↑𝑐(ℜ‘𝐴)) ≤ ((log‘𝑛)↑𝑐if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1))))
86	71, 85	mpbid 235	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → ((log‘𝑛)↑𝑐(ℜ‘𝐴)) ≤ ((log‘𝑛)↑𝑐if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1)))
87	68, 86	eqbrtrd 5075	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → (abs‘((log‘𝑛)↑𝑐𝐴)) ≤ ((log‘𝑛)↑𝑐if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1)))
88	62, 64, 65, 87	lediv1dd 12686	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → ((abs‘((log‘𝑛)↑𝑐𝐴)) / (𝑛↑𝑐𝐵)) ≤ (((log‘𝑛)↑𝑐if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1)) / (𝑛↑𝑐𝐵)))
89	31, 36, 37	absdivd 15019	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (abs‘(((log‘𝑛)↑𝑐𝐴) / (𝑛↑𝑐𝐵))) = ((abs‘((log‘𝑛)↑𝑐𝐴)) / (abs‘(𝑛↑𝑐𝐵))))
90	89	adantrr 717	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → (abs‘(((log‘𝑛)↑𝑐𝐴) / (𝑛↑𝑐𝐵))) = ((abs‘((log‘𝑛)↑𝑐𝐴)) / (abs‘(𝑛↑𝑐𝐵))))
91	65	rprege0d 12635	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → ((𝑛↑𝑐𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑛↑𝑐𝐵)))
92		absid 14860	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑛↑𝑐𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑛↑𝑐𝐵)) → (abs‘(𝑛↑𝑐𝐵)) = (𝑛↑𝑐𝐵))
93	91, 92	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → (abs‘(𝑛↑𝑐𝐵)) = (𝑛↑𝑐𝐵))
94	93	oveq2d 7229	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → ((abs‘((log‘𝑛)↑𝑐𝐴)) / (abs‘(𝑛↑𝑐𝐵))) = ((abs‘((log‘𝑛)↑𝑐𝐴)) / (𝑛↑𝑐𝐵)))
95	90, 94	eqtrd 2777	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → (abs‘(((log‘𝑛)↑𝑐𝐴) / (𝑛↑𝑐𝐵))) = ((abs‘((log‘𝑛)↑𝑐𝐴)) / (𝑛↑𝑐𝐵)))
96	49	rprege0d 12635	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → ((log‘𝑛) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (log‘𝑛)))
97	11	recnd 10861	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1) ∈ ℂ)
98	97	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1) ∈ ℂ)
99		divcxp 25575	. . . . . . 7 ⊢ ((((log‘𝑛) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (log‘𝑛)) ∧ (𝑛↑𝑐(𝐵 / if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1))) ∈ ℝ+ ∧ if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1) ∈ ℂ) → (((log‘𝑛) / (𝑛↑𝑐(𝐵 / if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1))))↑𝑐if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1)) = (((log‘𝑛)↑𝑐if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1)) / ((𝑛↑𝑐(𝐵 / if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1)))↑𝑐if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1))))
100	96, 54, 98, 99	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → (((log‘𝑛) / (𝑛↑𝑐(𝐵 / if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1))))↑𝑐if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1)) = (((log‘𝑛)↑𝑐if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1)) / ((𝑛↑𝑐(𝐵 / if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1)))↑𝑐if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1))))
101	50, 53, 98	cxpmuld 25624	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → (𝑛↑𝑐((𝐵 / if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1)) · if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1))) = ((𝑛↑𝑐(𝐵 / if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1)))↑𝑐if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1)))
102	51	recnd 10861	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → 𝐵 ∈ ℂ)
103	52	rpne0d 12633	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1) ≠ 0)
104	102, 98, 103	divcan1d 11609	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → ((𝐵 / if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1)) · if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1)) = 𝐵)
105	104	oveq2d 7229	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → (𝑛↑𝑐((𝐵 / if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1)) · if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1))) = (𝑛↑𝑐𝐵))
106	101, 105	eqtr3d 2779	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → ((𝑛↑𝑐(𝐵 / if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1)))↑𝑐if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1)) = (𝑛↑𝑐𝐵))
107	106	oveq2d 7229	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → (((log‘𝑛)↑𝑐if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1)) / ((𝑛↑𝑐(𝐵 / if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1)))↑𝑐if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1))) = (((log‘𝑛)↑𝑐if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1)) / (𝑛↑𝑐𝐵)))
108	100, 107	eqtrd 2777	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → (((log‘𝑛) / (𝑛↑𝑐(𝐵 / if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1))))↑𝑐if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1)) = (((log‘𝑛)↑𝑐if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1)) / (𝑛↑𝑐𝐵)))
109	88, 95, 108	3brtr4d 5085	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → (abs‘(((log‘𝑛)↑𝑐𝐴) / (𝑛↑𝑐𝐵))) ≤ (((log‘𝑛) / (𝑛↑𝑐(𝐵 / if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1))))↑𝑐if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1)))
110	58	leabsd 14978	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → (((log‘𝑛) / (𝑛↑𝑐(𝐵 / if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1))))↑𝑐if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1)) ≤ (abs‘(((log‘𝑛) / (𝑛↑𝑐(𝐵 / if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1))))↑𝑐if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1))))
111	40, 58, 60, 109, 110	letrd 10989	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → (abs‘(((log‘𝑛)↑𝑐𝐴) / (𝑛↑𝑐𝐵))) ≤ (abs‘(((log‘𝑛) / (𝑛↑𝑐(𝐵 / if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1))))↑𝑐if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1))))
112	39	subid1d 11178	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → ((((log‘𝑛)↑𝑐𝐴) / (𝑛↑𝑐𝐵)) − 0) = (((log‘𝑛)↑𝑐𝐴) / (𝑛↑𝑐𝐵)))
113	112	fveq2d 6721	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → (abs‘((((log‘𝑛)↑𝑐𝐴) / (𝑛↑𝑐𝐵)) − 0)) = (abs‘(((log‘𝑛)↑𝑐𝐴) / (𝑛↑𝑐𝐵))))
114	59	subid1d 11178	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → ((((log‘𝑛) / (𝑛↑𝑐(𝐵 / if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1))))↑𝑐if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1)) − 0) = (((log‘𝑛) / (𝑛↑𝑐(𝐵 / if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1))))↑𝑐if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1)))
115	114	fveq2d 6721	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → (abs‘((((log‘𝑛) / (𝑛↑𝑐(𝐵 / if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1))))↑𝑐if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1)) − 0)) = (abs‘(((log‘𝑛) / (𝑛↑𝑐(𝐵 / if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1))))↑𝑐if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1))))
116	111, 113, 115	3brtr4d 5085	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → (abs‘((((log‘𝑛)↑𝑐𝐴) / (𝑛↑𝑐𝐵)) − 0)) ≤ (abs‘((((log‘𝑛) / (𝑛↑𝑐(𝐵 / if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1))))↑𝑐if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1)) − 0)))
117	2, 4, 22, 26, 38, 116	rlimsqzlem 15212	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝑛 ∈ ℝ+ ↦ (((log‘𝑛)↑𝑐𝐴) / (𝑛↑𝑐𝐵))) ⇝𝑟 0)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1543   ∈ wcel 2110  Vcvv 3408  ifcif 4439   class class class wbr 5053   ↦ cmpt 5135  ‘cfv 6380  (class class class)co 7213  ℂcc 10727  ℝcr 10728  0cc0 10729  1c1 10730   · cmul 10734   < clt 10867   ≤ cle 10868   − cmin 11062   / cdiv 11489  2c2 11885  3c3 11886  ℝ⁺crp 12586  ℜcre 14660  abscabs 14797   ⇝_𝑟 crli 15046  eceu 15624  logclog 25443  ↑_𝑐ccxp 25444

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-inf2 9256  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806  ax-pre-sup 10807  ax-addf 10808  ax-mulf 10809

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-int 4860  df-iun 4906  df-iin 4907  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-se 5510  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-isom 6389  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-of 7469  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-supp 7904  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-1o 8202  df-2o 8203  df-er 8391  df-map 8510  df-pm 8511  df-ixp 8579  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-fin 8630  df-fsupp 8986  df-fi 9027  df-sup 9058  df-inf 9059  df-oi 9126  df-card 9555  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-div 11490  df-nn 11831  df-2 11893  df-3 11894  df-4 11895  df-5 11896  df-6 11897  df-7 11898  df-8 11899  df-9 11900  df-n0 12091  df-z 12177  df-dec 12294  df-uz 12439  df-q 12545  df-rp 12587  df-xneg 12704  df-xadd 12705  df-xmul 12706  df-ioo 12939  df-ioc 12940  df-ico 12941  df-icc 12942  df-fz 13096  df-fzo 13239  df-fl 13367  df-mod 13443  df-seq 13575  df-exp 13636  df-fac 13840  df-bc 13869  df-hash 13897  df-shft 14630  df-cj 14662  df-re 14663  df-im 14664  df-sqrt 14798  df-abs 14799  df-limsup 15032  df-clim 15049  df-rlim 15050  df-sum 15250  df-ef 15629  df-e 15630  df-sin 15631  df-cos 15632  df-pi 15634  df-struct 16700  df-sets 16717  df-slot 16735  df-ndx 16745  df-base 16761  df-ress 16785  df-plusg 16815  df-mulr 16816  df-starv 16817  df-sca 16818  df-vsca 16819  df-ip 16820  df-tset 16821  df-ple 16822  df-ds 16824  df-unif 16825  df-hom 16826  df-cco 16827  df-rest 16927  df-topn 16928  df-0g 16946  df-gsum 16947  df-topgen 16948  df-pt 16949  df-prds 16952  df-xrs 17007  df-qtop 17012  df-imas 17013  df-xps 17015  df-mre 17089  df-mrc 17090  df-acs 17092  df-mgm 18114  df-sgrp 18163  df-mnd 18174  df-submnd 18219  df-mulg 18489  df-cntz 18711  df-cmn 19172  df-psmet 20355  df-xmet 20356  df-met 20357  df-bl 20358  df-mopn 20359  df-fbas 20360  df-fg 20361  df-cnfld 20364  df-top 21791  df-topon 21808  df-topsp 21830  df-bases 21843  df-cld 21916  df-ntr 21917  df-cls 21918  df-nei 21995  df-lp 22033  df-perf 22034  df-cn 22124  df-cnp 22125  df-haus 22212  df-tx 22459  df-hmeo 22652  df-fil 22743  df-fm 22835  df-flim 22836  df-flf 22837  df-xms 23218  df-ms 23219  df-tms 23220  df-cncf 23775  df-limc 24763  df-dv 24764  df-log 25445  df-cxp 25446

This theorem is referenced by:  logexprlim  26106