MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cxploglim2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cxploglim2 26472
Description: Every power of the logarithm grows slower than any positive power. (Contributed by Mario Carneiro, 20-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
cxploglim2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„+ โ†ฆ (((logโ€˜๐‘›)โ†‘๐‘๐ด) / (๐‘›โ†‘๐‘๐ต))) โ‡๐‘Ÿ 0)
Distinct variable groups:   ๐ด,๐‘›   ๐ต,๐‘›

Proof of Theorem cxploglim2
StepHypRef Expression
1 3re 12288 . . 3 3 โˆˆ โ„
21a1i 11 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ 3 โˆˆ โ„)
3 0red 11213 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ 0 โˆˆ โ„)
43recnd 11238 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ 0 โˆˆ โ„‚)
5 ovexd 7440 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„+) โ†’ ((logโ€˜๐‘›) / (๐‘›โ†‘๐‘(๐ต / if(1 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด), (โ„œโ€˜๐ด), 1)))) โˆˆ V)
6 simpr 485 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„+)
7 recl 15053 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
87adantr 481 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
9 1re 11210 . . . . . . 7 1 โˆˆ โ„
10 ifcl 4572 . . . . . . 7 (((โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„) โ†’ if(1 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด), (โ„œโ€˜๐ด), 1) โˆˆ โ„)
118, 9, 10sylancl 586 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ if(1 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด), (โ„œโ€˜๐ด), 1) โˆˆ โ„)
129a1i 11 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ 1 โˆˆ โ„)
13 0lt1 11732 . . . . . . . 8 0 < 1
1413a1i 11 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ 0 < 1)
15 max1 13160 . . . . . . . 8 ((1 โˆˆ โ„ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ โ„) โ†’ 1 โ‰ค if(1 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด), (โ„œโ€˜๐ด), 1))
169, 8, 15sylancr 587 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ 1 โ‰ค if(1 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด), (โ„œโ€˜๐ด), 1))
173, 12, 11, 14, 16ltletrd 11370 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ 0 < if(1 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด), (โ„œโ€˜๐ด), 1))
1811, 17elrpd 13009 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ if(1 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด), (โ„œโ€˜๐ด), 1) โˆˆ โ„+)
196, 18rpdivcld 13029 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ (๐ต / if(1 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด), (โ„œโ€˜๐ด), 1)) โˆˆ โ„+)
20 cxploglim 26471 . . . 4 ((๐ต / if(1 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด), (โ„œโ€˜๐ด), 1)) โˆˆ โ„+ โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„+ โ†ฆ ((logโ€˜๐‘›) / (๐‘›โ†‘๐‘(๐ต / if(1 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด), (โ„œโ€˜๐ด), 1))))) โ‡๐‘Ÿ 0)
2119, 20syl 17 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„+ โ†ฆ ((logโ€˜๐‘›) / (๐‘›โ†‘๐‘(๐ต / if(1 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด), (โ„œโ€˜๐ด), 1))))) โ‡๐‘Ÿ 0)
225, 21, 18rlimcxp 26467 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„+ โ†ฆ (((logโ€˜๐‘›) / (๐‘›โ†‘๐‘(๐ต / if(1 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด), (โ„œโ€˜๐ด), 1))))โ†‘๐‘if(1 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด), (โ„œโ€˜๐ด), 1))) โ‡๐‘Ÿ 0)
235, 21rlimmptrcl 15548 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„+) โ†’ ((logโ€˜๐‘›) / (๐‘›โ†‘๐‘(๐ต / if(1 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด), (โ„œโ€˜๐ด), 1)))) โˆˆ โ„‚)
2411adantr 481 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„+) โ†’ if(1 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด), (โ„œโ€˜๐ด), 1) โˆˆ โ„)
2524recnd 11238 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„+) โ†’ if(1 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด), (โ„œโ€˜๐ด), 1) โˆˆ โ„‚)
2623, 25cxpcld 26207 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„+) โ†’ (((logโ€˜๐‘›) / (๐‘›โ†‘๐‘(๐ต / if(1 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด), (โ„œโ€˜๐ด), 1))))โ†‘๐‘if(1 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด), (โ„œโ€˜๐ด), 1)) โˆˆ โ„‚)
27 relogcl 26075 . . . . . 6 (๐‘› โˆˆ โ„+ โ†’ (logโ€˜๐‘›) โˆˆ โ„)
2827adantl 482 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„+) โ†’ (logโ€˜๐‘›) โˆˆ โ„)
2928recnd 11238 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„+) โ†’ (logโ€˜๐‘›) โˆˆ โ„‚)
30 simpll 765 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„+) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
3129, 30cxpcld 26207 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„+) โ†’ ((logโ€˜๐‘›)โ†‘๐‘๐ด) โˆˆ โ„‚)
32 simpr 485 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„+) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„+)
33 rpre 12978 . . . . . 6 (๐ต โˆˆ โ„+ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
3433ad2antlr 725 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„+) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
3532, 34rpcxpcld 26231 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„+) โ†’ (๐‘›โ†‘๐‘๐ต) โˆˆ โ„+)
3635rpcnd 13014 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„+) โ†’ (๐‘›โ†‘๐‘๐ต) โˆˆ โ„‚)
3735rpne0d 13017 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„+) โ†’ (๐‘›โ†‘๐‘๐ต) โ‰  0)
3831, 36, 37divcld 11986 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„+) โ†’ (((logโ€˜๐‘›)โ†‘๐‘๐ด) / (๐‘›โ†‘๐‘๐ต)) โˆˆ โ„‚)
3938adantrr 715 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง 3 โ‰ค ๐‘›)) โ†’ (((logโ€˜๐‘›)โ†‘๐‘๐ด) / (๐‘›โ†‘๐‘๐ต)) โˆˆ โ„‚)
4039abscld 15379 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง 3 โ‰ค ๐‘›)) โ†’ (absโ€˜(((logโ€˜๐‘›)โ†‘๐‘๐ด) / (๐‘›โ†‘๐‘๐ต))) โˆˆ โ„)
41 rpre 12978 . . . . . . . . 9 (๐‘› โˆˆ โ„+ โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„)
4241ad2antrl 726 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง 3 โ‰ค ๐‘›)) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„)
439a1i 11 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง 3 โ‰ค ๐‘›)) โ†’ 1 โˆˆ โ„)
441a1i 11 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง 3 โ‰ค ๐‘›)) โ†’ 3 โˆˆ โ„)
45 1lt3 12381 . . . . . . . . . 10 1 < 3
4645a1i 11 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง 3 โ‰ค ๐‘›)) โ†’ 1 < 3)
47 simprr 771 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง 3 โ‰ค ๐‘›)) โ†’ 3 โ‰ค ๐‘›)
4843, 44, 42, 46, 47ltletrd 11370 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง 3 โ‰ค ๐‘›)) โ†’ 1 < ๐‘›)
4942, 48rplogcld 26128 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง 3 โ‰ค ๐‘›)) โ†’ (logโ€˜๐‘›) โˆˆ โ„+)
5032adantrr 715 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง 3 โ‰ค ๐‘›)) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„+)
5133ad2antlr 725 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง 3 โ‰ค ๐‘›)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
5218adantr 481 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง 3 โ‰ค ๐‘›)) โ†’ if(1 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด), (โ„œโ€˜๐ด), 1) โˆˆ โ„+)
5351, 52rerpdivcld 13043 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง 3 โ‰ค ๐‘›)) โ†’ (๐ต / if(1 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด), (โ„œโ€˜๐ด), 1)) โˆˆ โ„)
5450, 53rpcxpcld 26231 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง 3 โ‰ค ๐‘›)) โ†’ (๐‘›โ†‘๐‘(๐ต / if(1 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด), (โ„œโ€˜๐ด), 1))) โˆˆ โ„+)
5549, 54rpdivcld 13029 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง 3 โ‰ค ๐‘›)) โ†’ ((logโ€˜๐‘›) / (๐‘›โ†‘๐‘(๐ต / if(1 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด), (โ„œโ€˜๐ด), 1)))) โˆˆ โ„+)
5611adantr 481 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง 3 โ‰ค ๐‘›)) โ†’ if(1 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด), (โ„œโ€˜๐ด), 1) โˆˆ โ„)
5755, 56rpcxpcld 26231 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง 3 โ‰ค ๐‘›)) โ†’ (((logโ€˜๐‘›) / (๐‘›โ†‘๐‘(๐ต / if(1 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด), (โ„œโ€˜๐ด), 1))))โ†‘๐‘if(1 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด), (โ„œโ€˜๐ด), 1)) โˆˆ โ„+)
5857rpred 13012 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง 3 โ‰ค ๐‘›)) โ†’ (((logโ€˜๐‘›) / (๐‘›โ†‘๐‘(๐ต / if(1 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด), (โ„œโ€˜๐ด), 1))))โ†‘๐‘if(1 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด), (โ„œโ€˜๐ด), 1)) โˆˆ โ„)
5926adantrr 715 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง 3 โ‰ค ๐‘›)) โ†’ (((logโ€˜๐‘›) / (๐‘›โ†‘๐‘(๐ต / if(1 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด), (โ„œโ€˜๐ด), 1))))โ†‘๐‘if(1 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด), (โ„œโ€˜๐ด), 1)) โˆˆ โ„‚)
6059abscld 15379 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง 3 โ‰ค ๐‘›)) โ†’ (absโ€˜(((logโ€˜๐‘›) / (๐‘›โ†‘๐‘(๐ต / if(1 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด), (โ„œโ€˜๐ด), 1))))โ†‘๐‘if(1 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด), (โ„œโ€˜๐ด), 1))) โˆˆ โ„)
6131adantrr 715 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง 3 โ‰ค ๐‘›)) โ†’ ((logโ€˜๐‘›)โ†‘๐‘๐ด) โˆˆ โ„‚)
6261abscld 15379 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง 3 โ‰ค ๐‘›)) โ†’ (absโ€˜((logโ€˜๐‘›)โ†‘๐‘๐ด)) โˆˆ โ„)
6349, 56rpcxpcld 26231 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง 3 โ‰ค ๐‘›)) โ†’ ((logโ€˜๐‘›)โ†‘๐‘if(1 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด), (โ„œโ€˜๐ด), 1)) โˆˆ โ„+)
6463rpred 13012 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง 3 โ‰ค ๐‘›)) โ†’ ((logโ€˜๐‘›)โ†‘๐‘if(1 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด), (โ„œโ€˜๐ด), 1)) โˆˆ โ„)
6535adantrr 715 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง 3 โ‰ค ๐‘›)) โ†’ (๐‘›โ†‘๐‘๐ต) โˆˆ โ„+)
66 simpll 765 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง 3 โ‰ค ๐‘›)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
67 abscxp 26191 . . . . . . . 8 (((logโ€˜๐‘›) โˆˆ โ„+ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ (absโ€˜((logโ€˜๐‘›)โ†‘๐‘๐ด)) = ((logโ€˜๐‘›)โ†‘๐‘(โ„œโ€˜๐ด)))
6849, 66, 67syl2anc 584 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง 3 โ‰ค ๐‘›)) โ†’ (absโ€˜((logโ€˜๐‘›)โ†‘๐‘๐ด)) = ((logโ€˜๐‘›)โ†‘๐‘(โ„œโ€˜๐ด)))
6966recld 15137 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง 3 โ‰ค ๐‘›)) โ†’ (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
70 max2 13162 . . . . . . . . 9 ((1 โˆˆ โ„ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ โ„) โ†’ (โ„œโ€˜๐ด) โ‰ค if(1 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด), (โ„œโ€˜๐ด), 1))
719, 69, 70sylancr 587 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง 3 โ‰ค ๐‘›)) โ†’ (โ„œโ€˜๐ด) โ‰ค if(1 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด), (โ„œโ€˜๐ด), 1))
7227ad2antrl 726 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง 3 โ‰ค ๐‘›)) โ†’ (logโ€˜๐‘›) โˆˆ โ„)
73 loge 26086 . . . . . . . . . 10 (logโ€˜e) = 1
74 ere 16028 . . . . . . . . . . . . 13 e โˆˆ โ„
7574a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง 3 โ‰ค ๐‘›)) โ†’ e โˆˆ โ„)
76 egt2lt3 16145 . . . . . . . . . . . . . 14 (2 < e โˆง e < 3)
7776simpri 486 . . . . . . . . . . . . 13 e < 3
7877a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง 3 โ‰ค ๐‘›)) โ†’ e < 3)
7975, 44, 42, 78, 47ltletrd 11370 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง 3 โ‰ค ๐‘›)) โ†’ e < ๐‘›)
80 epr 16147 . . . . . . . . . . . 12 e โˆˆ โ„+
81 logltb 26099 . . . . . . . . . . . 12 ((e โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„+) โ†’ (e < ๐‘› โ†” (logโ€˜e) < (logโ€˜๐‘›)))
8280, 50, 81sylancr 587 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง 3 โ‰ค ๐‘›)) โ†’ (e < ๐‘› โ†” (logโ€˜e) < (logโ€˜๐‘›)))
8379, 82mpbid 231 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง 3 โ‰ค ๐‘›)) โ†’ (logโ€˜e) < (logโ€˜๐‘›))
8473, 83eqbrtrrid 5183 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง 3 โ‰ค ๐‘›)) โ†’ 1 < (logโ€˜๐‘›))
8572, 84, 69, 56cxpled 26219 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง 3 โ‰ค ๐‘›)) โ†’ ((โ„œโ€˜๐ด) โ‰ค if(1 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด), (โ„œโ€˜๐ด), 1) โ†” ((logโ€˜๐‘›)โ†‘๐‘(โ„œโ€˜๐ด)) โ‰ค ((logโ€˜๐‘›)โ†‘๐‘if(1 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด), (โ„œโ€˜๐ด), 1))))
8671, 85mpbid 231 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง 3 โ‰ค ๐‘›)) โ†’ ((logโ€˜๐‘›)โ†‘๐‘(โ„œโ€˜๐ด)) โ‰ค ((logโ€˜๐‘›)โ†‘๐‘if(1 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด), (โ„œโ€˜๐ด), 1)))
8768, 86eqbrtrd 5169 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง 3 โ‰ค ๐‘›)) โ†’ (absโ€˜((logโ€˜๐‘›)โ†‘๐‘๐ด)) โ‰ค ((logโ€˜๐‘›)โ†‘๐‘if(1 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด), (โ„œโ€˜๐ด), 1)))
8862, 64, 65, 87lediv1dd 13070 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง 3 โ‰ค ๐‘›)) โ†’ ((absโ€˜((logโ€˜๐‘›)โ†‘๐‘๐ด)) / (๐‘›โ†‘๐‘๐ต)) โ‰ค (((logโ€˜๐‘›)โ†‘๐‘if(1 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด), (โ„œโ€˜๐ด), 1)) / (๐‘›โ†‘๐‘๐ต)))
8931, 36, 37absdivd 15398 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„+) โ†’ (absโ€˜(((logโ€˜๐‘›)โ†‘๐‘๐ด) / (๐‘›โ†‘๐‘๐ต))) = ((absโ€˜((logโ€˜๐‘›)โ†‘๐‘๐ด)) / (absโ€˜(๐‘›โ†‘๐‘๐ต))))
9089adantrr 715 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง 3 โ‰ค ๐‘›)) โ†’ (absโ€˜(((logโ€˜๐‘›)โ†‘๐‘๐ด) / (๐‘›โ†‘๐‘๐ต))) = ((absโ€˜((logโ€˜๐‘›)โ†‘๐‘๐ด)) / (absโ€˜(๐‘›โ†‘๐‘๐ต))))
9165rprege0d 13019 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง 3 โ‰ค ๐‘›)) โ†’ ((๐‘›โ†‘๐‘๐ต) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (๐‘›โ†‘๐‘๐ต)))
92 absid 15239 . . . . . . . 8 (((๐‘›โ†‘๐‘๐ต) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (๐‘›โ†‘๐‘๐ต)) โ†’ (absโ€˜(๐‘›โ†‘๐‘๐ต)) = (๐‘›โ†‘๐‘๐ต))
9391, 92syl 17 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง 3 โ‰ค ๐‘›)) โ†’ (absโ€˜(๐‘›โ†‘๐‘๐ต)) = (๐‘›โ†‘๐‘๐ต))
9493oveq2d 7421 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง 3 โ‰ค ๐‘›)) โ†’ ((absโ€˜((logโ€˜๐‘›)โ†‘๐‘๐ด)) / (absโ€˜(๐‘›โ†‘๐‘๐ต))) = ((absโ€˜((logโ€˜๐‘›)โ†‘๐‘๐ด)) / (๐‘›โ†‘๐‘๐ต)))
9590, 94eqtrd 2772 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง 3 โ‰ค ๐‘›)) โ†’ (absโ€˜(((logโ€˜๐‘›)โ†‘๐‘๐ด) / (๐‘›โ†‘๐‘๐ต))) = ((absโ€˜((logโ€˜๐‘›)โ†‘๐‘๐ด)) / (๐‘›โ†‘๐‘๐ต)))
9649rprege0d 13019 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง 3 โ‰ค ๐‘›)) โ†’ ((logโ€˜๐‘›) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (logโ€˜๐‘›)))
9711recnd 11238 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ if(1 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด), (โ„œโ€˜๐ด), 1) โˆˆ โ„‚)
9897adantr 481 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง 3 โ‰ค ๐‘›)) โ†’ if(1 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด), (โ„œโ€˜๐ด), 1) โˆˆ โ„‚)
99 divcxp 26186 . . . . . . 7 ((((logโ€˜๐‘›) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (logโ€˜๐‘›)) โˆง (๐‘›โ†‘๐‘(๐ต / if(1 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด), (โ„œโ€˜๐ด), 1))) โˆˆ โ„+ โˆง if(1 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด), (โ„œโ€˜๐ด), 1) โˆˆ โ„‚) โ†’ (((logโ€˜๐‘›) / (๐‘›โ†‘๐‘(๐ต / if(1 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด), (โ„œโ€˜๐ด), 1))))โ†‘๐‘if(1 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด), (โ„œโ€˜๐ด), 1)) = (((logโ€˜๐‘›)โ†‘๐‘if(1 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด), (โ„œโ€˜๐ด), 1)) / ((๐‘›โ†‘๐‘(๐ต / if(1 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด), (โ„œโ€˜๐ด), 1)))โ†‘๐‘if(1 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด), (โ„œโ€˜๐ด), 1))))
10096, 54, 98, 99syl3anc 1371 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง 3 โ‰ค ๐‘›)) โ†’ (((logโ€˜๐‘›) / (๐‘›โ†‘๐‘(๐ต / if(1 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด), (โ„œโ€˜๐ด), 1))))โ†‘๐‘if(1 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด), (โ„œโ€˜๐ด), 1)) = (((logโ€˜๐‘›)โ†‘๐‘if(1 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด), (โ„œโ€˜๐ด), 1)) / ((๐‘›โ†‘๐‘(๐ต / if(1 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด), (โ„œโ€˜๐ด), 1)))โ†‘๐‘if(1 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด), (โ„œโ€˜๐ด), 1))))
10150, 53, 98cxpmuld 26235 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง 3 โ‰ค ๐‘›)) โ†’ (๐‘›โ†‘๐‘((๐ต / if(1 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด), (โ„œโ€˜๐ด), 1)) ยท if(1 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด), (โ„œโ€˜๐ด), 1))) = ((๐‘›โ†‘๐‘(๐ต / if(1 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด), (โ„œโ€˜๐ด), 1)))โ†‘๐‘if(1 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด), (โ„œโ€˜๐ด), 1)))
10251recnd 11238 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง 3 โ‰ค ๐‘›)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
10352rpne0d 13017 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง 3 โ‰ค ๐‘›)) โ†’ if(1 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด), (โ„œโ€˜๐ด), 1) โ‰  0)
104102, 98, 103divcan1d 11987 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง 3 โ‰ค ๐‘›)) โ†’ ((๐ต / if(1 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด), (โ„œโ€˜๐ด), 1)) ยท if(1 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด), (โ„œโ€˜๐ด), 1)) = ๐ต)
105104oveq2d 7421 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง 3 โ‰ค ๐‘›)) โ†’ (๐‘›โ†‘๐‘((๐ต / if(1 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด), (โ„œโ€˜๐ด), 1)) ยท if(1 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด), (โ„œโ€˜๐ด), 1))) = (๐‘›โ†‘๐‘๐ต))
106101, 105eqtr3d 2774 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง 3 โ‰ค ๐‘›)) โ†’ ((๐‘›โ†‘๐‘(๐ต / if(1 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด), (โ„œโ€˜๐ด), 1)))โ†‘๐‘if(1 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด), (โ„œโ€˜๐ด), 1)) = (๐‘›โ†‘๐‘๐ต))
107106oveq2d 7421 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง 3 โ‰ค ๐‘›)) โ†’ (((logโ€˜๐‘›)โ†‘๐‘if(1 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด), (โ„œโ€˜๐ด), 1)) / ((๐‘›โ†‘๐‘(๐ต / if(1 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด), (โ„œโ€˜๐ด), 1)))โ†‘๐‘if(1 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด), (โ„œโ€˜๐ด), 1))) = (((logโ€˜๐‘›)โ†‘๐‘if(1 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด), (โ„œโ€˜๐ด), 1)) / (๐‘›โ†‘๐‘๐ต)))
108100, 107eqtrd 2772 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง 3 โ‰ค ๐‘›)) โ†’ (((logโ€˜๐‘›) / (๐‘›โ†‘๐‘(๐ต / if(1 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด), (โ„œโ€˜๐ด), 1))))โ†‘๐‘if(1 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด), (โ„œโ€˜๐ด), 1)) = (((logโ€˜๐‘›)โ†‘๐‘if(1 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด), (โ„œโ€˜๐ด), 1)) / (๐‘›โ†‘๐‘๐ต)))
10988, 95, 1083brtr4d 5179 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง 3 โ‰ค ๐‘›)) โ†’ (absโ€˜(((logโ€˜๐‘›)โ†‘๐‘๐ด) / (๐‘›โ†‘๐‘๐ต))) โ‰ค (((logโ€˜๐‘›) / (๐‘›โ†‘๐‘(๐ต / if(1 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด), (โ„œโ€˜๐ด), 1))))โ†‘๐‘if(1 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด), (โ„œโ€˜๐ด), 1)))
11058leabsd 15357 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง 3 โ‰ค ๐‘›)) โ†’ (((logโ€˜๐‘›) / (๐‘›โ†‘๐‘(๐ต / if(1 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด), (โ„œโ€˜๐ด), 1))))โ†‘๐‘if(1 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด), (โ„œโ€˜๐ด), 1)) โ‰ค (absโ€˜(((logโ€˜๐‘›) / (๐‘›โ†‘๐‘(๐ต / if(1 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด), (โ„œโ€˜๐ด), 1))))โ†‘๐‘if(1 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด), (โ„œโ€˜๐ด), 1))))
11140, 58, 60, 109, 110letrd 11367 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง 3 โ‰ค ๐‘›)) โ†’ (absโ€˜(((logโ€˜๐‘›)โ†‘๐‘๐ด) / (๐‘›โ†‘๐‘๐ต))) โ‰ค (absโ€˜(((logโ€˜๐‘›) / (๐‘›โ†‘๐‘(๐ต / if(1 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด), (โ„œโ€˜๐ด), 1))))โ†‘๐‘if(1 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด), (โ„œโ€˜๐ด), 1))))
11239subid1d 11556 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง 3 โ‰ค ๐‘›)) โ†’ ((((logโ€˜๐‘›)โ†‘๐‘๐ด) / (๐‘›โ†‘๐‘๐ต)) โˆ’ 0) = (((logโ€˜๐‘›)โ†‘๐‘๐ด) / (๐‘›โ†‘๐‘๐ต)))
113112fveq2d 6892 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง 3 โ‰ค ๐‘›)) โ†’ (absโ€˜((((logโ€˜๐‘›)โ†‘๐‘๐ด) / (๐‘›โ†‘๐‘๐ต)) โˆ’ 0)) = (absโ€˜(((logโ€˜๐‘›)โ†‘๐‘๐ด) / (๐‘›โ†‘๐‘๐ต))))
11459subid1d 11556 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง 3 โ‰ค ๐‘›)) โ†’ ((((logโ€˜๐‘›) / (๐‘›โ†‘๐‘(๐ต / if(1 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด), (โ„œโ€˜๐ด), 1))))โ†‘๐‘if(1 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด), (โ„œโ€˜๐ด), 1)) โˆ’ 0) = (((logโ€˜๐‘›) / (๐‘›โ†‘๐‘(๐ต / if(1 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด), (โ„œโ€˜๐ด), 1))))โ†‘๐‘if(1 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด), (โ„œโ€˜๐ด), 1)))
115114fveq2d 6892 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง 3 โ‰ค ๐‘›)) โ†’ (absโ€˜((((logโ€˜๐‘›) / (๐‘›โ†‘๐‘(๐ต / if(1 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด), (โ„œโ€˜๐ด), 1))))โ†‘๐‘if(1 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด), (โ„œโ€˜๐ด), 1)) โˆ’ 0)) = (absโ€˜(((logโ€˜๐‘›) / (๐‘›โ†‘๐‘(๐ต / if(1 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด), (โ„œโ€˜๐ด), 1))))โ†‘๐‘if(1 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด), (โ„œโ€˜๐ด), 1))))
116111, 113, 1153brtr4d 5179 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง 3 โ‰ค ๐‘›)) โ†’ (absโ€˜((((logโ€˜๐‘›)โ†‘๐‘๐ด) / (๐‘›โ†‘๐‘๐ต)) โˆ’ 0)) โ‰ค (absโ€˜((((logโ€˜๐‘›) / (๐‘›โ†‘๐‘(๐ต / if(1 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด), (โ„œโ€˜๐ด), 1))))โ†‘๐‘if(1 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด), (โ„œโ€˜๐ด), 1)) โˆ’ 0)))
1172, 4, 22, 26, 38, 116rlimsqzlem 15591 1 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„+ โ†ฆ (((logโ€˜๐‘›)โ†‘๐‘๐ด) / (๐‘›โ†‘๐‘๐ต))) โ‡๐‘Ÿ 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 396   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106  Vcvv 3474  ifcif 4527   class class class wbr 5147   โ†ฆ cmpt 5230  โ€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  โ„‚cc 11104  โ„cr 11105  0cc0 11106  1c1 11107   ยท cmul 11111   < clt 11244   โ‰ค cle 11245   โˆ’ cmin 11440   / cdiv 11867  2c2 12263  3c3 12264  โ„+crp 12970  โ„œcre 15040  abscabs 15177   โ‡๐‘Ÿ crli 15425  eceu 16002  logclog 26054  โ†‘๐‘ccxp 26055
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185  ax-mulf 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-fi 9402  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-ioo 13324  df-ioc 13325  df-ico 13326  df-icc 13327  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-fl 13753  df-mod 13831  df-seq 13963  df-exp 14024  df-fac 14230  df-bc 14259  df-hash 14287  df-shft 15010  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-limsup 15411  df-clim 15428  df-rlim 15429  df-sum 15629  df-ef 16007  df-e 16008  df-sin 16009  df-cos 16010  df-pi 16012  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-starv 17208  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-unif 17216  df-hom 17217  df-cco 17218  df-rest 17364  df-topn 17365  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-topgen 17385  df-pt 17386  df-prds 17389  df-xrs 17444  df-qtop 17449  df-imas 17450  df-xps 17452  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-submnd 18668  df-mulg 18945  df-cntz 19175  df-cmn 19644  df-psmet 20928  df-xmet 20929  df-met 20930  df-bl 20931  df-mopn 20932  df-fbas 20933  df-fg 20934  df-cnfld 20937  df-top 22387  df-topon 22404  df-topsp 22426  df-bases 22440  df-cld 22514  df-ntr 22515  df-cls 22516  df-nei 22593  df-lp 22631  df-perf 22632  df-cn 22722  df-cnp 22723  df-haus 22810  df-tx 23057  df-hmeo 23250  df-fil 23341  df-fm 23433  df-flim 23434  df-flf 23435  df-xms 23817  df-ms 23818  df-tms 23819  df-cncf 24385  df-limc 25374  df-dv 25375  df-log 26056  df-cxp 26057
This theorem is referenced by:  logexprlim  26717
  Copyright terms: Public domain W3C validator