Theorem cxploglim2 26896

Description: Every power of the logarithm grows slower than any positive power. (Contributed by Mario Carneiro, 20-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
cxploglim2	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝑛 ∈ ℝ+ ↦ (((log‘𝑛)↑𝑐𝐴) / (𝑛↑𝑐𝐵))) ⇝𝑟 0)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝐵,𝑛

Proof of Theorem cxploglim2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3re 12273	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℝ
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 3 ∈ ℝ)
3		0red 11184	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 0 ∈ ℝ)
4	3	recnd 11209	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 0 ∈ ℂ)
5		ovexd 7425	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → ((log‘𝑛) / (𝑛↑𝑐(𝐵 / if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1)))) ∈ V)
6		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ+)
7		recl 15083	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
8	7	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
9		1re 11181	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℝ
10		ifcl 4537	. . . . . . 7 ⊢ (((ℜ‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1) ∈ ℝ)
11	8, 9, 10	sylancl 586	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1) ∈ ℝ)
12	9	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 1 ∈ ℝ)
13		0lt1 11707	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 1
14	13	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 0 < 1)
15		max1 13152	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ) → 1 ≤ if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1))
16	9, 8, 15	sylancr 587	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 1 ≤ if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1))
17	3, 12, 11, 14, 16	ltletrd 11341	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 0 < if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1))
18	11, 17	elrpd 12999	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1) ∈ ℝ+)
19	6, 18	rpdivcld 13019	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐵 / if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1)) ∈ ℝ+)
20		cxploglim 26895	. . . 4 ⊢ ((𝐵 / if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1)) ∈ ℝ+ → (𝑛 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝑛) / (𝑛↑𝑐(𝐵 / if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1))))) ⇝𝑟 0)
21	19, 20	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝑛 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝑛) / (𝑛↑𝑐(𝐵 / if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1))))) ⇝𝑟 0)
22	5, 21, 18	rlimcxp 26891	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝑛 ∈ ℝ+ ↦ (((log‘𝑛) / (𝑛↑𝑐(𝐵 / if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1))))↑𝑐if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1))) ⇝𝑟 0)
23	5, 21	rlimmptrcl 15581	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → ((log‘𝑛) / (𝑛↑𝑐(𝐵 / if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1)))) ∈ ℂ)
24	11	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1) ∈ ℝ)
25	24	recnd 11209	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1) ∈ ℂ)
26	23, 25	cxpcld 26624	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (((log‘𝑛) / (𝑛↑𝑐(𝐵 / if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1))))↑𝑐if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1)) ∈ ℂ)
27		relogcl 26491	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℝ+ → (log‘𝑛) ∈ ℝ)
28	27	adantl 481	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (log‘𝑛) ∈ ℝ)
29	28	recnd 11209	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (log‘𝑛) ∈ ℂ)
30		simpll 766	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℂ)
31	29, 30	cxpcld 26624	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → ((log‘𝑛)↑𝑐𝐴) ∈ ℂ)
32		simpr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → 𝑛 ∈ ℝ+)
33		rpre 12967	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ+ → 𝐵 ∈ ℝ)
34	33	ad2antlr 727	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ)
35	32, 34	rpcxpcld 26649	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (𝑛↑𝑐𝐵) ∈ ℝ+)
36	35	rpcnd 13004	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (𝑛↑𝑐𝐵) ∈ ℂ)
37	35	rpne0d 13007	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (𝑛↑𝑐𝐵) ≠ 0)
38	31, 36, 37	divcld 11965	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (((log‘𝑛)↑𝑐𝐴) / (𝑛↑𝑐𝐵)) ∈ ℂ)
39	38	adantrr 717	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → (((log‘𝑛)↑𝑐𝐴) / (𝑛↑𝑐𝐵)) ∈ ℂ)
40	39	abscld 15412	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → (abs‘(((log‘𝑛)↑𝑐𝐴) / (𝑛↑𝑐𝐵))) ∈ ℝ)
41		rpre 12967	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℝ+ → 𝑛 ∈ ℝ)
42	41	ad2antrl 728	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → 𝑛 ∈ ℝ)
43	9	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → 1 ∈ ℝ)
44	1	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → 3 ∈ ℝ)
45		1lt3 12361	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 < 3
46	45	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → 1 < 3)
47		simprr 772	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → 3 ≤ 𝑛)
48	43, 44, 42, 46, 47	ltletrd 11341	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → 1 < 𝑛)
49	42, 48	rplogcld 26545	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → (log‘𝑛) ∈ ℝ+)
50	32	adantrr 717	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → 𝑛 ∈ ℝ+)
51	33	ad2antlr 727	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → 𝐵 ∈ ℝ)
52	18	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1) ∈ ℝ+)
53	51, 52	rerpdivcld 13033	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → (𝐵 / if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1)) ∈ ℝ)
54	50, 53	rpcxpcld 26649	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → (𝑛↑𝑐(𝐵 / if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1))) ∈ ℝ+)
55	49, 54	rpdivcld 13019	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → ((log‘𝑛) / (𝑛↑𝑐(𝐵 / if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1)))) ∈ ℝ+)
56	11	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1) ∈ ℝ)
57	55, 56	rpcxpcld 26649	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → (((log‘𝑛) / (𝑛↑𝑐(𝐵 / if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1))))↑𝑐if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1)) ∈ ℝ+)
58	57	rpred 13002	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → (((log‘𝑛) / (𝑛↑𝑐(𝐵 / if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1))))↑𝑐if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1)) ∈ ℝ)
59	26	adantrr 717	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → (((log‘𝑛) / (𝑛↑𝑐(𝐵 / if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1))))↑𝑐if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1)) ∈ ℂ)
60	59	abscld 15412	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → (abs‘(((log‘𝑛) / (𝑛↑𝑐(𝐵 / if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1))))↑𝑐if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1))) ∈ ℝ)
61	31	adantrr 717	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → ((log‘𝑛)↑𝑐𝐴) ∈ ℂ)
62	61	abscld 15412	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → (abs‘((log‘𝑛)↑𝑐𝐴)) ∈ ℝ)
63	49, 56	rpcxpcld 26649	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → ((log‘𝑛)↑𝑐if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1)) ∈ ℝ+)
64	63	rpred 13002	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → ((log‘𝑛)↑𝑐if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1)) ∈ ℝ)
65	35	adantrr 717	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → (𝑛↑𝑐𝐵) ∈ ℝ+)
66		simpll 766	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → 𝐴 ∈ ℂ)
67		abscxp 26608	. . . . . . . 8 ⊢ (((log‘𝑛) ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (abs‘((log‘𝑛)↑𝑐𝐴)) = ((log‘𝑛)↑𝑐(ℜ‘𝐴)))
68	49, 66, 67	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → (abs‘((log‘𝑛)↑𝑐𝐴)) = ((log‘𝑛)↑𝑐(ℜ‘𝐴)))
69	66	recld 15167	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
70		max2 13154	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ) → (ℜ‘𝐴) ≤ if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1))
71	9, 69, 70	sylancr 587	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → (ℜ‘𝐴) ≤ if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1))
72	27	ad2antrl 728	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → (log‘𝑛) ∈ ℝ)
73		loge 26502	. . . . . . . . . 10 ⊢ (log‘e) = 1
74		ere 16062	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ e ∈ ℝ
75	74	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → e ∈ ℝ)
76		egt2lt3 16181	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (2 < e ∧ e < 3)
77	76	simpri 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ e < 3
78	77	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → e < 3)
79	75, 44, 42, 78, 47	ltletrd 11341	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → e < 𝑛)
80		epr 16183	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ e ∈ ℝ+
81		logltb 26516	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((e ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (e < 𝑛 ↔ (log‘e) < (log‘𝑛)))
82	80, 50, 81	sylancr 587	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → (e < 𝑛 ↔ (log‘e) < (log‘𝑛)))
83	79, 82	mpbid 232	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → (log‘e) < (log‘𝑛))
84	73, 83	eqbrtrrid 5146	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → 1 < (log‘𝑛))
85	72, 84, 69, 56	cxpled 26636	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → ((ℜ‘𝐴) ≤ if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1) ↔ ((log‘𝑛)↑𝑐(ℜ‘𝐴)) ≤ ((log‘𝑛)↑𝑐if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1))))
86	71, 85	mpbid 232	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → ((log‘𝑛)↑𝑐(ℜ‘𝐴)) ≤ ((log‘𝑛)↑𝑐if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1)))
87	68, 86	eqbrtrd 5132	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → (abs‘((log‘𝑛)↑𝑐𝐴)) ≤ ((log‘𝑛)↑𝑐if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1)))
88	62, 64, 65, 87	lediv1dd 13060	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → ((abs‘((log‘𝑛)↑𝑐𝐴)) / (𝑛↑𝑐𝐵)) ≤ (((log‘𝑛)↑𝑐if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1)) / (𝑛↑𝑐𝐵)))
89	31, 36, 37	absdivd 15431	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (abs‘(((log‘𝑛)↑𝑐𝐴) / (𝑛↑𝑐𝐵))) = ((abs‘((log‘𝑛)↑𝑐𝐴)) / (abs‘(𝑛↑𝑐𝐵))))
90	89	adantrr 717	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → (abs‘(((log‘𝑛)↑𝑐𝐴) / (𝑛↑𝑐𝐵))) = ((abs‘((log‘𝑛)↑𝑐𝐴)) / (abs‘(𝑛↑𝑐𝐵))))
91	65	rprege0d 13009	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → ((𝑛↑𝑐𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑛↑𝑐𝐵)))
92		absid 15269	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑛↑𝑐𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑛↑𝑐𝐵)) → (abs‘(𝑛↑𝑐𝐵)) = (𝑛↑𝑐𝐵))
93	91, 92	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → (abs‘(𝑛↑𝑐𝐵)) = (𝑛↑𝑐𝐵))
94	93	oveq2d 7406	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → ((abs‘((log‘𝑛)↑𝑐𝐴)) / (abs‘(𝑛↑𝑐𝐵))) = ((abs‘((log‘𝑛)↑𝑐𝐴)) / (𝑛↑𝑐𝐵)))
95	90, 94	eqtrd 2765	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → (abs‘(((log‘𝑛)↑𝑐𝐴) / (𝑛↑𝑐𝐵))) = ((abs‘((log‘𝑛)↑𝑐𝐴)) / (𝑛↑𝑐𝐵)))
96	49	rprege0d 13009	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → ((log‘𝑛) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (log‘𝑛)))
97	11	recnd 11209	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1) ∈ ℂ)
98	97	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1) ∈ ℂ)
99		divcxp 26603	. . . . . . 7 ⊢ ((((log‘𝑛) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (log‘𝑛)) ∧ (𝑛↑𝑐(𝐵 / if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1))) ∈ ℝ+ ∧ if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1) ∈ ℂ) → (((log‘𝑛) / (𝑛↑𝑐(𝐵 / if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1))))↑𝑐if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1)) = (((log‘𝑛)↑𝑐if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1)) / ((𝑛↑𝑐(𝐵 / if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1)))↑𝑐if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1))))
100	96, 54, 98, 99	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → (((log‘𝑛) / (𝑛↑𝑐(𝐵 / if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1))))↑𝑐if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1)) = (((log‘𝑛)↑𝑐if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1)) / ((𝑛↑𝑐(𝐵 / if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1)))↑𝑐if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1))))
101	50, 53, 98	cxpmuld 26653	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → (𝑛↑𝑐((𝐵 / if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1)) · if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1))) = ((𝑛↑𝑐(𝐵 / if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1)))↑𝑐if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1)))
102	51	recnd 11209	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → 𝐵 ∈ ℂ)
103	52	rpne0d 13007	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1) ≠ 0)
104	102, 98, 103	divcan1d 11966	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → ((𝐵 / if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1)) · if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1)) = 𝐵)
105	104	oveq2d 7406	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → (𝑛↑𝑐((𝐵 / if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1)) · if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1))) = (𝑛↑𝑐𝐵))
106	101, 105	eqtr3d 2767	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → ((𝑛↑𝑐(𝐵 / if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1)))↑𝑐if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1)) = (𝑛↑𝑐𝐵))
107	106	oveq2d 7406	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → (((log‘𝑛)↑𝑐if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1)) / ((𝑛↑𝑐(𝐵 / if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1)))↑𝑐if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1))) = (((log‘𝑛)↑𝑐if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1)) / (𝑛↑𝑐𝐵)))
108	100, 107	eqtrd 2765	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → (((log‘𝑛) / (𝑛↑𝑐(𝐵 / if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1))))↑𝑐if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1)) = (((log‘𝑛)↑𝑐if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1)) / (𝑛↑𝑐𝐵)))
109	88, 95, 108	3brtr4d 5142	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → (abs‘(((log‘𝑛)↑𝑐𝐴) / (𝑛↑𝑐𝐵))) ≤ (((log‘𝑛) / (𝑛↑𝑐(𝐵 / if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1))))↑𝑐if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1)))
110	58	leabsd 15388	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → (((log‘𝑛) / (𝑛↑𝑐(𝐵 / if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1))))↑𝑐if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1)) ≤ (abs‘(((log‘𝑛) / (𝑛↑𝑐(𝐵 / if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1))))↑𝑐if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1))))
111	40, 58, 60, 109, 110	letrd 11338	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → (abs‘(((log‘𝑛)↑𝑐𝐴) / (𝑛↑𝑐𝐵))) ≤ (abs‘(((log‘𝑛) / (𝑛↑𝑐(𝐵 / if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1))))↑𝑐if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1))))
112	39	subid1d 11529	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → ((((log‘𝑛)↑𝑐𝐴) / (𝑛↑𝑐𝐵)) − 0) = (((log‘𝑛)↑𝑐𝐴) / (𝑛↑𝑐𝐵)))
113	112	fveq2d 6865	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → (abs‘((((log‘𝑛)↑𝑐𝐴) / (𝑛↑𝑐𝐵)) − 0)) = (abs‘(((log‘𝑛)↑𝑐𝐴) / (𝑛↑𝑐𝐵))))
114	59	subid1d 11529	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → ((((log‘𝑛) / (𝑛↑𝑐(𝐵 / if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1))))↑𝑐if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1)) − 0) = (((log‘𝑛) / (𝑛↑𝑐(𝐵 / if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1))))↑𝑐if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1)))
115	114	fveq2d 6865	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → (abs‘((((log‘𝑛) / (𝑛↑𝑐(𝐵 / if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1))))↑𝑐if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1)) − 0)) = (abs‘(((log‘𝑛) / (𝑛↑𝑐(𝐵 / if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1))))↑𝑐if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1))))
116	111, 113, 115	3brtr4d 5142	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑛)) → (abs‘((((log‘𝑛)↑𝑐𝐴) / (𝑛↑𝑐𝐵)) − 0)) ≤ (abs‘((((log‘𝑛) / (𝑛↑𝑐(𝐵 / if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1))))↑𝑐if(1 ≤ (ℜ‘𝐴), (ℜ‘𝐴), 1)) − 0)))
117	2, 4, 22, 26, 38, 116	rlimsqzlem 15622	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝑛 ∈ ℝ+ ↦ (((log‘𝑛)↑𝑐𝐴) / (𝑛↑𝑐𝐵))) ⇝𝑟 0)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3450  ifcif 4491   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5191  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  ℂcc 11073  ℝcr 11074  0cc0 11075  1c1 11076   · cmul 11080   < clt 11215   ≤ cle 11216   − cmin 11412   / cdiv 11842  2c2 12248  3c3 12249  ℝ⁺crp 12958  ℜcre 15070  abscabs 15207   ⇝_𝑟 crli 15458  eceu 16035  logclog 26470  ↑_𝑐ccxp 26471

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-inf2 9601  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153  ax-addf 11154

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-se 5595  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-isom 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-of 7656  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-er 8674  df-map 8804  df-pm 8805  df-ixp 8874  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-fsupp 9320  df-fi 9369  df-sup 9400  df-inf 9401  df-oi 9470  df-card 9899  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-5 12259  df-6 12260  df-7 12261  df-8 12262  df-9 12263  df-n0 12450  df-z 12537  df-dec 12657  df-uz 12801  df-q 12915  df-rp 12959  df-xneg 13079  df-xadd 13080  df-xmul 13081  df-ioo 13317  df-ioc 13318  df-ico 13319  df-icc 13320  df-fz 13476  df-fzo 13623  df-fl 13761  df-mod 13839  df-seq 13974  df-exp 14034  df-fac 14246  df-bc 14275  df-hash 14303  df-shft 15040  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209  df-limsup 15444  df-clim 15461  df-rlim 15462  df-sum 15660  df-ef 16040  df-e 16041  df-sin 16042  df-cos 16043  df-pi 16045  df-struct 17124  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-ress 17208  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-starv 17242  df-sca 17243  df-vsca 17244  df-ip 17245  df-tset 17246  df-ple 17247  df-ds 17249  df-unif 17250  df-hom 17251  df-cco 17252  df-rest 17392  df-topn 17393  df-0g 17411  df-gsum 17412  df-topgen 17413  df-pt 17414  df-prds 17417  df-xrs 17472  df-qtop 17477  df-imas 17478  df-xps 17480  df-mre 17554  df-mrc 17555  df-acs 17557  df-mgm 18574  df-sgrp 18653  df-mnd 18669  df-submnd 18718  df-mulg 19007  df-cntz 19256  df-cmn 19719  df-psmet 21263  df-xmet 21264  df-met 21265  df-bl 21266  df-mopn 21267  df-fbas 21268  df-fg 21269  df-cnfld 21272  df-top 22788  df-topon 22805  df-topsp 22827  df-bases 22840  df-cld 22913  df-ntr 22914  df-cls 22915  df-nei 22992  df-lp 23030  df-perf 23031  df-cn 23121  df-cnp 23122  df-haus 23209  df-tx 23456  df-hmeo 23649  df-fil 23740  df-fm 23832  df-flim 23833  df-flf 23834  df-xms 24215  df-ms 24216  df-tms 24217  df-cncf 24778  df-limc 25774  df-dv 25775  df-log 26472  df-cxp 26473

This theorem is referenced by:  logexprlim  27143