MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cxploglim2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cxploglim2 26344
Description: Every power of the logarithm grows slower than any positive power. (Contributed by Mario Carneiro, 20-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
cxploglim2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„+ โ†ฆ (((logโ€˜๐‘›)โ†‘๐‘๐ด) / (๐‘›โ†‘๐‘๐ต))) โ‡๐‘Ÿ 0)
Distinct variable groups:   ๐ด,๐‘›   ๐ต,๐‘›

Proof of Theorem cxploglim2
StepHypRef Expression
1 3re 12240 . . 3 3 โˆˆ โ„
21a1i 11 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ 3 โˆˆ โ„)
3 0red 11165 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ 0 โˆˆ โ„)
43recnd 11190 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ 0 โˆˆ โ„‚)
5 ovexd 7397 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„+) โ†’ ((logโ€˜๐‘›) / (๐‘›โ†‘๐‘(๐ต / if(1 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด), (โ„œโ€˜๐ด), 1)))) โˆˆ V)
6 simpr 486 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„+)
7 recl 15002 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
87adantr 482 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
9 1re 11162 . . . . . . 7 1 โˆˆ โ„
10 ifcl 4536 . . . . . . 7 (((โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„) โ†’ if(1 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด), (โ„œโ€˜๐ด), 1) โˆˆ โ„)
118, 9, 10sylancl 587 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ if(1 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด), (โ„œโ€˜๐ด), 1) โˆˆ โ„)
129a1i 11 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ 1 โˆˆ โ„)
13 0lt1 11684 . . . . . . . 8 0 < 1
1413a1i 11 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ 0 < 1)
15 max1 13111 . . . . . . . 8 ((1 โˆˆ โ„ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ โ„) โ†’ 1 โ‰ค if(1 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด), (โ„œโ€˜๐ด), 1))
169, 8, 15sylancr 588 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ 1 โ‰ค if(1 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด), (โ„œโ€˜๐ด), 1))
173, 12, 11, 14, 16ltletrd 11322 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ 0 < if(1 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด), (โ„œโ€˜๐ด), 1))
1811, 17elrpd 12961 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ if(1 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด), (โ„œโ€˜๐ด), 1) โˆˆ โ„+)
196, 18rpdivcld 12981 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ (๐ต / if(1 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด), (โ„œโ€˜๐ด), 1)) โˆˆ โ„+)
20 cxploglim 26343 . . . 4 ((๐ต / if(1 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด), (โ„œโ€˜๐ด), 1)) โˆˆ โ„+ โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„+ โ†ฆ ((logโ€˜๐‘›) / (๐‘›โ†‘๐‘(๐ต / if(1 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด), (โ„œโ€˜๐ด), 1))))) โ‡๐‘Ÿ 0)
2119, 20syl 17 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„+ โ†ฆ ((logโ€˜๐‘›) / (๐‘›โ†‘๐‘(๐ต / if(1 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด), (โ„œโ€˜๐ด), 1))))) โ‡๐‘Ÿ 0)
225, 21, 18rlimcxp 26339 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„+ โ†ฆ (((logโ€˜๐‘›) / (๐‘›โ†‘๐‘(๐ต / if(1 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด), (โ„œโ€˜๐ด), 1))))โ†‘๐‘if(1 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด), (โ„œโ€˜๐ด), 1))) โ‡๐‘Ÿ 0)
235, 21rlimmptrcl 15497 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„+) โ†’ ((logโ€˜๐‘›) / (๐‘›โ†‘๐‘(๐ต / if(1 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด), (โ„œโ€˜๐ด), 1)))) โˆˆ โ„‚)
2411adantr 482 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„+) โ†’ if(1 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด), (โ„œโ€˜๐ด), 1) โˆˆ โ„)
2524recnd 11190 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„+) โ†’ if(1 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด), (โ„œโ€˜๐ด), 1) โˆˆ โ„‚)
2623, 25cxpcld 26079 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„+) โ†’ (((logโ€˜๐‘›) / (๐‘›โ†‘๐‘(๐ต / if(1 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด), (โ„œโ€˜๐ด), 1))))โ†‘๐‘if(1 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด), (โ„œโ€˜๐ด), 1)) โˆˆ โ„‚)
27 relogcl 25947 . . . . . 6 (๐‘› โˆˆ โ„+ โ†’ (logโ€˜๐‘›) โˆˆ โ„)
2827adantl 483 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„+) โ†’ (logโ€˜๐‘›) โˆˆ โ„)
2928recnd 11190 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„+) โ†’ (logโ€˜๐‘›) โˆˆ โ„‚)
30 simpll 766 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„+) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
3129, 30cxpcld 26079 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„+) โ†’ ((logโ€˜๐‘›)โ†‘๐‘๐ด) โˆˆ โ„‚)
32 simpr 486 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„+) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„+)
33 rpre 12930 . . . . . 6 (๐ต โˆˆ โ„+ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
3433ad2antlr 726 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„+) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
3532, 34rpcxpcld 26103 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„+) โ†’ (๐‘›โ†‘๐‘๐ต) โˆˆ โ„+)
3635rpcnd 12966 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„+) โ†’ (๐‘›โ†‘๐‘๐ต) โˆˆ โ„‚)
3735rpne0d 12969 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„+) โ†’ (๐‘›โ†‘๐‘๐ต) โ‰  0)
3831, 36, 37divcld 11938 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„+) โ†’ (((logโ€˜๐‘›)โ†‘๐‘๐ด) / (๐‘›โ†‘๐‘๐ต)) โˆˆ โ„‚)
3938adantrr 716 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง 3 โ‰ค ๐‘›)) โ†’ (((logโ€˜๐‘›)โ†‘๐‘๐ด) / (๐‘›โ†‘๐‘๐ต)) โˆˆ โ„‚)
4039abscld 15328 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง 3 โ‰ค ๐‘›)) โ†’ (absโ€˜(((logโ€˜๐‘›)โ†‘๐‘๐ด) / (๐‘›โ†‘๐‘๐ต))) โˆˆ โ„)
41 rpre 12930 . . . . . . . . 9 (๐‘› โˆˆ โ„+ โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„)
4241ad2antrl 727 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง 3 โ‰ค ๐‘›)) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„)
439a1i 11 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง 3 โ‰ค ๐‘›)) โ†’ 1 โˆˆ โ„)
441a1i 11 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง 3 โ‰ค ๐‘›)) โ†’ 3 โˆˆ โ„)
45 1lt3 12333 . . . . . . . . . 10 1 < 3
4645a1i 11 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง 3 โ‰ค ๐‘›)) โ†’ 1 < 3)
47 simprr 772 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง 3 โ‰ค ๐‘›)) โ†’ 3 โ‰ค ๐‘›)
4843, 44, 42, 46, 47ltletrd 11322 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง 3 โ‰ค ๐‘›)) โ†’ 1 < ๐‘›)
4942, 48rplogcld 26000 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง 3 โ‰ค ๐‘›)) โ†’ (logโ€˜๐‘›) โˆˆ โ„+)
5032adantrr 716 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง 3 โ‰ค ๐‘›)) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„+)
5133ad2antlr 726 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง 3 โ‰ค ๐‘›)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
5218adantr 482 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง 3 โ‰ค ๐‘›)) โ†’ if(1 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด), (โ„œโ€˜๐ด), 1) โˆˆ โ„+)
5351, 52rerpdivcld 12995 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง 3 โ‰ค ๐‘›)) โ†’ (๐ต / if(1 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด), (โ„œโ€˜๐ด), 1)) โˆˆ โ„)
5450, 53rpcxpcld 26103 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง 3 โ‰ค ๐‘›)) โ†’ (๐‘›โ†‘๐‘(๐ต / if(1 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด), (โ„œโ€˜๐ด), 1))) โˆˆ โ„+)
5549, 54rpdivcld 12981 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง 3 โ‰ค ๐‘›)) โ†’ ((logโ€˜๐‘›) / (๐‘›โ†‘๐‘(๐ต / if(1 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด), (โ„œโ€˜๐ด), 1)))) โˆˆ โ„+)
5611adantr 482 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง 3 โ‰ค ๐‘›)) โ†’ if(1 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด), (โ„œโ€˜๐ด), 1) โˆˆ โ„)
5755, 56rpcxpcld 26103 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง 3 โ‰ค ๐‘›)) โ†’ (((logโ€˜๐‘›) / (๐‘›โ†‘๐‘(๐ต / if(1 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด), (โ„œโ€˜๐ด), 1))))โ†‘๐‘if(1 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด), (โ„œโ€˜๐ด), 1)) โˆˆ โ„+)
5857rpred 12964 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง 3 โ‰ค ๐‘›)) โ†’ (((logโ€˜๐‘›) / (๐‘›โ†‘๐‘(๐ต / if(1 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด), (โ„œโ€˜๐ด), 1))))โ†‘๐‘if(1 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด), (โ„œโ€˜๐ด), 1)) โˆˆ โ„)
5926adantrr 716 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง 3 โ‰ค ๐‘›)) โ†’ (((logโ€˜๐‘›) / (๐‘›โ†‘๐‘(๐ต / if(1 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด), (โ„œโ€˜๐ด), 1))))โ†‘๐‘if(1 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด), (โ„œโ€˜๐ด), 1)) โˆˆ โ„‚)
6059abscld 15328 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง 3 โ‰ค ๐‘›)) โ†’ (absโ€˜(((logโ€˜๐‘›) / (๐‘›โ†‘๐‘(๐ต / if(1 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด), (โ„œโ€˜๐ด), 1))))โ†‘๐‘if(1 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด), (โ„œโ€˜๐ด), 1))) โˆˆ โ„)
6131adantrr 716 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง 3 โ‰ค ๐‘›)) โ†’ ((logโ€˜๐‘›)โ†‘๐‘๐ด) โˆˆ โ„‚)
6261abscld 15328 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง 3 โ‰ค ๐‘›)) โ†’ (absโ€˜((logโ€˜๐‘›)โ†‘๐‘๐ด)) โˆˆ โ„)
6349, 56rpcxpcld 26103 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง 3 โ‰ค ๐‘›)) โ†’ ((logโ€˜๐‘›)โ†‘๐‘if(1 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด), (โ„œโ€˜๐ด), 1)) โˆˆ โ„+)
6463rpred 12964 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง 3 โ‰ค ๐‘›)) โ†’ ((logโ€˜๐‘›)โ†‘๐‘if(1 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด), (โ„œโ€˜๐ด), 1)) โˆˆ โ„)
6535adantrr 716 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง 3 โ‰ค ๐‘›)) โ†’ (๐‘›โ†‘๐‘๐ต) โˆˆ โ„+)
66 simpll 766 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง 3 โ‰ค ๐‘›)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
67 abscxp 26063 . . . . . . . 8 (((logโ€˜๐‘›) โˆˆ โ„+ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ (absโ€˜((logโ€˜๐‘›)โ†‘๐‘๐ด)) = ((logโ€˜๐‘›)โ†‘๐‘(โ„œโ€˜๐ด)))
6849, 66, 67syl2anc 585 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง 3 โ‰ค ๐‘›)) โ†’ (absโ€˜((logโ€˜๐‘›)โ†‘๐‘๐ด)) = ((logโ€˜๐‘›)โ†‘๐‘(โ„œโ€˜๐ด)))
6966recld 15086 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง 3 โ‰ค ๐‘›)) โ†’ (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
70 max2 13113 . . . . . . . . 9 ((1 โˆˆ โ„ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ โ„) โ†’ (โ„œโ€˜๐ด) โ‰ค if(1 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด), (โ„œโ€˜๐ด), 1))
719, 69, 70sylancr 588 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง 3 โ‰ค ๐‘›)) โ†’ (โ„œโ€˜๐ด) โ‰ค if(1 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด), (โ„œโ€˜๐ด), 1))
7227ad2antrl 727 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง 3 โ‰ค ๐‘›)) โ†’ (logโ€˜๐‘›) โˆˆ โ„)
73 loge 25958 . . . . . . . . . 10 (logโ€˜e) = 1
74 ere 15978 . . . . . . . . . . . . 13 e โˆˆ โ„
7574a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง 3 โ‰ค ๐‘›)) โ†’ e โˆˆ โ„)
76 egt2lt3 16095 . . . . . . . . . . . . . 14 (2 < e โˆง e < 3)
7776simpri 487 . . . . . . . . . . . . 13 e < 3
7877a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง 3 โ‰ค ๐‘›)) โ†’ e < 3)
7975, 44, 42, 78, 47ltletrd 11322 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง 3 โ‰ค ๐‘›)) โ†’ e < ๐‘›)
80 epr 16097 . . . . . . . . . . . 12 e โˆˆ โ„+
81 logltb 25971 . . . . . . . . . . . 12 ((e โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„+) โ†’ (e < ๐‘› โ†” (logโ€˜e) < (logโ€˜๐‘›)))
8280, 50, 81sylancr 588 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง 3 โ‰ค ๐‘›)) โ†’ (e < ๐‘› โ†” (logโ€˜e) < (logโ€˜๐‘›)))
8379, 82mpbid 231 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง 3 โ‰ค ๐‘›)) โ†’ (logโ€˜e) < (logโ€˜๐‘›))
8473, 83eqbrtrrid 5146 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง 3 โ‰ค ๐‘›)) โ†’ 1 < (logโ€˜๐‘›))
8572, 84, 69, 56cxpled 26091 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง 3 โ‰ค ๐‘›)) โ†’ ((โ„œโ€˜๐ด) โ‰ค if(1 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด), (โ„œโ€˜๐ด), 1) โ†” ((logโ€˜๐‘›)โ†‘๐‘(โ„œโ€˜๐ด)) โ‰ค ((logโ€˜๐‘›)โ†‘๐‘if(1 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด), (โ„œโ€˜๐ด), 1))))
8671, 85mpbid 231 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง 3 โ‰ค ๐‘›)) โ†’ ((logโ€˜๐‘›)โ†‘๐‘(โ„œโ€˜๐ด)) โ‰ค ((logโ€˜๐‘›)โ†‘๐‘if(1 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด), (โ„œโ€˜๐ด), 1)))
8768, 86eqbrtrd 5132 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง 3 โ‰ค ๐‘›)) โ†’ (absโ€˜((logโ€˜๐‘›)โ†‘๐‘๐ด)) โ‰ค ((logโ€˜๐‘›)โ†‘๐‘if(1 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด), (โ„œโ€˜๐ด), 1)))
8862, 64, 65, 87lediv1dd 13022 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง 3 โ‰ค ๐‘›)) โ†’ ((absโ€˜((logโ€˜๐‘›)โ†‘๐‘๐ด)) / (๐‘›โ†‘๐‘๐ต)) โ‰ค (((logโ€˜๐‘›)โ†‘๐‘if(1 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด), (โ„œโ€˜๐ด), 1)) / (๐‘›โ†‘๐‘๐ต)))
8931, 36, 37absdivd 15347 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„+) โ†’ (absโ€˜(((logโ€˜๐‘›)โ†‘๐‘๐ด) / (๐‘›โ†‘๐‘๐ต))) = ((absโ€˜((logโ€˜๐‘›)โ†‘๐‘๐ด)) / (absโ€˜(๐‘›โ†‘๐‘๐ต))))
9089adantrr 716 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง 3 โ‰ค ๐‘›)) โ†’ (absโ€˜(((logโ€˜๐‘›)โ†‘๐‘๐ด) / (๐‘›โ†‘๐‘๐ต))) = ((absโ€˜((logโ€˜๐‘›)โ†‘๐‘๐ด)) / (absโ€˜(๐‘›โ†‘๐‘๐ต))))
9165rprege0d 12971 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง 3 โ‰ค ๐‘›)) โ†’ ((๐‘›โ†‘๐‘๐ต) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (๐‘›โ†‘๐‘๐ต)))
92 absid 15188 . . . . . . . 8 (((๐‘›โ†‘๐‘๐ต) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (๐‘›โ†‘๐‘๐ต)) โ†’ (absโ€˜(๐‘›โ†‘๐‘๐ต)) = (๐‘›โ†‘๐‘๐ต))
9391, 92syl 17 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง 3 โ‰ค ๐‘›)) โ†’ (absโ€˜(๐‘›โ†‘๐‘๐ต)) = (๐‘›โ†‘๐‘๐ต))
9493oveq2d 7378 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง 3 โ‰ค ๐‘›)) โ†’ ((absโ€˜((logโ€˜๐‘›)โ†‘๐‘๐ด)) / (absโ€˜(๐‘›โ†‘๐‘๐ต))) = ((absโ€˜((logโ€˜๐‘›)โ†‘๐‘๐ด)) / (๐‘›โ†‘๐‘๐ต)))
9590, 94eqtrd 2777 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง 3 โ‰ค ๐‘›)) โ†’ (absโ€˜(((logโ€˜๐‘›)โ†‘๐‘๐ด) / (๐‘›โ†‘๐‘๐ต))) = ((absโ€˜((logโ€˜๐‘›)โ†‘๐‘๐ด)) / (๐‘›โ†‘๐‘๐ต)))
9649rprege0d 12971 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง 3 โ‰ค ๐‘›)) โ†’ ((logโ€˜๐‘›) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (logโ€˜๐‘›)))
9711recnd 11190 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ if(1 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด), (โ„œโ€˜๐ด), 1) โˆˆ โ„‚)
9897adantr 482 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง 3 โ‰ค ๐‘›)) โ†’ if(1 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด), (โ„œโ€˜๐ด), 1) โˆˆ โ„‚)
99 divcxp 26058 . . . . . . 7 ((((logโ€˜๐‘›) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (logโ€˜๐‘›)) โˆง (๐‘›โ†‘๐‘(๐ต / if(1 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด), (โ„œโ€˜๐ด), 1))) โˆˆ โ„+ โˆง if(1 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด), (โ„œโ€˜๐ด), 1) โˆˆ โ„‚) โ†’ (((logโ€˜๐‘›) / (๐‘›โ†‘๐‘(๐ต / if(1 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด), (โ„œโ€˜๐ด), 1))))โ†‘๐‘if(1 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด), (โ„œโ€˜๐ด), 1)) = (((logโ€˜๐‘›)โ†‘๐‘if(1 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด), (โ„œโ€˜๐ด), 1)) / ((๐‘›โ†‘๐‘(๐ต / if(1 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด), (โ„œโ€˜๐ด), 1)))โ†‘๐‘if(1 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด), (โ„œโ€˜๐ด), 1))))
10096, 54, 98, 99syl3anc 1372 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง 3 โ‰ค ๐‘›)) โ†’ (((logโ€˜๐‘›) / (๐‘›โ†‘๐‘(๐ต / if(1 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด), (โ„œโ€˜๐ด), 1))))โ†‘๐‘if(1 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด), (โ„œโ€˜๐ด), 1)) = (((logโ€˜๐‘›)โ†‘๐‘if(1 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด), (โ„œโ€˜๐ด), 1)) / ((๐‘›โ†‘๐‘(๐ต / if(1 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด), (โ„œโ€˜๐ด), 1)))โ†‘๐‘if(1 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด), (โ„œโ€˜๐ด), 1))))
10150, 53, 98cxpmuld 26107 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง 3 โ‰ค ๐‘›)) โ†’ (๐‘›โ†‘๐‘((๐ต / if(1 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด), (โ„œโ€˜๐ด), 1)) ยท if(1 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด), (โ„œโ€˜๐ด), 1))) = ((๐‘›โ†‘๐‘(๐ต / if(1 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด), (โ„œโ€˜๐ด), 1)))โ†‘๐‘if(1 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด), (โ„œโ€˜๐ด), 1)))
10251recnd 11190 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง 3 โ‰ค ๐‘›)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
10352rpne0d 12969 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง 3 โ‰ค ๐‘›)) โ†’ if(1 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด), (โ„œโ€˜๐ด), 1) โ‰  0)
104102, 98, 103divcan1d 11939 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง 3 โ‰ค ๐‘›)) โ†’ ((๐ต / if(1 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด), (โ„œโ€˜๐ด), 1)) ยท if(1 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด), (โ„œโ€˜๐ด), 1)) = ๐ต)
105104oveq2d 7378 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง 3 โ‰ค ๐‘›)) โ†’ (๐‘›โ†‘๐‘((๐ต / if(1 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด), (โ„œโ€˜๐ด), 1)) ยท if(1 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด), (โ„œโ€˜๐ด), 1))) = (๐‘›โ†‘๐‘๐ต))
106101, 105eqtr3d 2779 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง 3 โ‰ค ๐‘›)) โ†’ ((๐‘›โ†‘๐‘(๐ต / if(1 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด), (โ„œโ€˜๐ด), 1)))โ†‘๐‘if(1 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด), (โ„œโ€˜๐ด), 1)) = (๐‘›โ†‘๐‘๐ต))
107106oveq2d 7378 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง 3 โ‰ค ๐‘›)) โ†’ (((logโ€˜๐‘›)โ†‘๐‘if(1 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด), (โ„œโ€˜๐ด), 1)) / ((๐‘›โ†‘๐‘(๐ต / if(1 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด), (โ„œโ€˜๐ด), 1)))โ†‘๐‘if(1 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด), (โ„œโ€˜๐ด), 1))) = (((logโ€˜๐‘›)โ†‘๐‘if(1 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด), (โ„œโ€˜๐ด), 1)) / (๐‘›โ†‘๐‘๐ต)))
108100, 107eqtrd 2777 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง 3 โ‰ค ๐‘›)) โ†’ (((logโ€˜๐‘›) / (๐‘›โ†‘๐‘(๐ต / if(1 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด), (โ„œโ€˜๐ด), 1))))โ†‘๐‘if(1 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด), (โ„œโ€˜๐ด), 1)) = (((logโ€˜๐‘›)โ†‘๐‘if(1 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด), (โ„œโ€˜๐ด), 1)) / (๐‘›โ†‘๐‘๐ต)))
10988, 95, 1083brtr4d 5142 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง 3 โ‰ค ๐‘›)) โ†’ (absโ€˜(((logโ€˜๐‘›)โ†‘๐‘๐ด) / (๐‘›โ†‘๐‘๐ต))) โ‰ค (((logโ€˜๐‘›) / (๐‘›โ†‘๐‘(๐ต / if(1 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด), (โ„œโ€˜๐ด), 1))))โ†‘๐‘if(1 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด), (โ„œโ€˜๐ด), 1)))
11058leabsd 15306 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง 3 โ‰ค ๐‘›)) โ†’ (((logโ€˜๐‘›) / (๐‘›โ†‘๐‘(๐ต / if(1 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด), (โ„œโ€˜๐ด), 1))))โ†‘๐‘if(1 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด), (โ„œโ€˜๐ด), 1)) โ‰ค (absโ€˜(((logโ€˜๐‘›) / (๐‘›โ†‘๐‘(๐ต / if(1 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด), (โ„œโ€˜๐ด), 1))))โ†‘๐‘if(1 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด), (โ„œโ€˜๐ด), 1))))
11140, 58, 60, 109, 110letrd 11319 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง 3 โ‰ค ๐‘›)) โ†’ (absโ€˜(((logโ€˜๐‘›)โ†‘๐‘๐ด) / (๐‘›โ†‘๐‘๐ต))) โ‰ค (absโ€˜(((logโ€˜๐‘›) / (๐‘›โ†‘๐‘(๐ต / if(1 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด), (โ„œโ€˜๐ด), 1))))โ†‘๐‘if(1 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด), (โ„œโ€˜๐ด), 1))))
11239subid1d 11508 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง 3 โ‰ค ๐‘›)) โ†’ ((((logโ€˜๐‘›)โ†‘๐‘๐ด) / (๐‘›โ†‘๐‘๐ต)) โˆ’ 0) = (((logโ€˜๐‘›)โ†‘๐‘๐ด) / (๐‘›โ†‘๐‘๐ต)))
113112fveq2d 6851 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง 3 โ‰ค ๐‘›)) โ†’ (absโ€˜((((logโ€˜๐‘›)โ†‘๐‘๐ด) / (๐‘›โ†‘๐‘๐ต)) โˆ’ 0)) = (absโ€˜(((logโ€˜๐‘›)โ†‘๐‘๐ด) / (๐‘›โ†‘๐‘๐ต))))
11459subid1d 11508 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง 3 โ‰ค ๐‘›)) โ†’ ((((logโ€˜๐‘›) / (๐‘›โ†‘๐‘(๐ต / if(1 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด), (โ„œโ€˜๐ด), 1))))โ†‘๐‘if(1 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด), (โ„œโ€˜๐ด), 1)) โˆ’ 0) = (((logโ€˜๐‘›) / (๐‘›โ†‘๐‘(๐ต / if(1 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด), (โ„œโ€˜๐ด), 1))))โ†‘๐‘if(1 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด), (โ„œโ€˜๐ด), 1)))
115114fveq2d 6851 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง 3 โ‰ค ๐‘›)) โ†’ (absโ€˜((((logโ€˜๐‘›) / (๐‘›โ†‘๐‘(๐ต / if(1 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด), (โ„œโ€˜๐ด), 1))))โ†‘๐‘if(1 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด), (โ„œโ€˜๐ด), 1)) โˆ’ 0)) = (absโ€˜(((logโ€˜๐‘›) / (๐‘›โ†‘๐‘(๐ต / if(1 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด), (โ„œโ€˜๐ด), 1))))โ†‘๐‘if(1 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด), (โ„œโ€˜๐ด), 1))))
116111, 113, 1153brtr4d 5142 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„+ โˆง 3 โ‰ค ๐‘›)) โ†’ (absโ€˜((((logโ€˜๐‘›)โ†‘๐‘๐ด) / (๐‘›โ†‘๐‘๐ต)) โˆ’ 0)) โ‰ค (absโ€˜((((logโ€˜๐‘›) / (๐‘›โ†‘๐‘(๐ต / if(1 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด), (โ„œโ€˜๐ด), 1))))โ†‘๐‘if(1 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ด), (โ„œโ€˜๐ด), 1)) โˆ’ 0)))
1172, 4, 22, 26, 38, 116rlimsqzlem 15540 1 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„+ โ†ฆ (((logโ€˜๐‘›)โ†‘๐‘๐ด) / (๐‘›โ†‘๐‘๐ต))) โ‡๐‘Ÿ 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  Vcvv 3448  ifcif 4491   class class class wbr 5110   โ†ฆ cmpt 5193  โ€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  โ„‚cc 11056  โ„cr 11057  0cc0 11058  1c1 11059   ยท cmul 11063   < clt 11196   โ‰ค cle 11197   โˆ’ cmin 11392   / cdiv 11819  2c2 12215  3c3 12216  โ„+crp 12922  โ„œcre 14989  abscabs 15126   โ‡๐‘Ÿ crli 15374  eceu 15952  logclog 25926  โ†‘๐‘ccxp 25927
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136  ax-addf 11137  ax-mulf 11138
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-iin 4962  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-supp 8098  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-er 8655  df-map 8774  df-pm 8775  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9313  df-fi 9354  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9453  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-z 12507  df-dec 12626  df-uz 12771  df-q 12881  df-rp 12923  df-xneg 13040  df-xadd 13041  df-xmul 13042  df-ioo 13275  df-ioc 13276  df-ico 13277  df-icc 13278  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-fl 13704  df-mod 13782  df-seq 13914  df-exp 13975  df-fac 14181  df-bc 14210  df-hash 14238  df-shft 14959  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-limsup 15360  df-clim 15377  df-rlim 15378  df-sum 15578  df-ef 15957  df-e 15958  df-sin 15959  df-cos 15960  df-pi 15962  df-struct 17026  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-mulr 17154  df-starv 17155  df-sca 17156  df-vsca 17157  df-ip 17158  df-tset 17159  df-ple 17160  df-ds 17162  df-unif 17163  df-hom 17164  df-cco 17165  df-rest 17311  df-topn 17312  df-0g 17330  df-gsum 17331  df-topgen 17332  df-pt 17333  df-prds 17336  df-xrs 17391  df-qtop 17396  df-imas 17397  df-xps 17399  df-mre 17473  df-mrc 17474  df-acs 17476  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-submnd 18609  df-mulg 18880  df-cntz 19104  df-cmn 19571  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-fbas 20809  df-fg 20810  df-cnfld 20813  df-top 22259  df-topon 22276  df-topsp 22298  df-bases 22312  df-cld 22386  df-ntr 22387  df-cls 22388  df-nei 22465  df-lp 22503  df-perf 22504  df-cn 22594  df-cnp 22595  df-haus 22682  df-tx 22929  df-hmeo 23122  df-fil 23213  df-fm 23305  df-flim 23306  df-flf 23307  df-xms 23689  df-ms 23690  df-tms 23691  df-cncf 24257  df-limc 25246  df-dv 25247  df-log 25928  df-cxp 25929
This theorem is referenced by:  logexprlim  26589
  Copyright terms: Public domain W3C validator