MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rlimmul Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rlimmul 15628
Description: Limit of the product of two converging functions. Proposition 12-2.1(c) of [Gleason] p. 168. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
rlimadd.3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ ๐‘‰)
rlimadd.4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ถ โˆˆ ๐‘‰)
rlimadd.5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ต) โ‡๐‘Ÿ ๐ท)
rlimadd.6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ถ) โ‡๐‘Ÿ ๐ธ)
Assertion
Ref Expression
rlimmul (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (๐ต ยท ๐ถ)) โ‡๐‘Ÿ (๐ท ยท ๐ธ))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐ด   ๐‘ฅ,๐ท   ๐œ‘,๐‘ฅ   ๐‘ฅ,๐ธ
Allowed substitution hints:   ๐ต(๐‘ฅ)   ๐ถ(๐‘ฅ)   ๐‘‰(๐‘ฅ)

Proof of Theorem rlimmul
Dummy variables ๐‘ค ๐‘ฃ ๐‘ฆ ๐‘ง ๐‘ข are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rlimadd.3 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ ๐‘‰)
2 rlimadd.5 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ต) โ‡๐‘Ÿ ๐ท)
31, 2rlimmptrcl 15590 . 2 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
4 rlimadd.4 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ถ โˆˆ ๐‘‰)
5 rlimadd.6 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ถ) โ‡๐‘Ÿ ๐ธ)
64, 5rlimmptrcl 15590 . 2 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
73, 6mulcld 11270 . 2 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐ต ยท ๐ถ) โˆˆ โ„‚)
8 rlimcl 15485 . . . 4 ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ต) โ‡๐‘Ÿ ๐ท โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
92, 8syl 17 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
10 rlimcl 15485 . . . 4 ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ถ) โ‡๐‘Ÿ ๐ธ โ†’ ๐ธ โˆˆ โ„‚)
115, 10syl 17 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ธ โˆˆ โ„‚)
129, 11mulcld 11270 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐ท ยท ๐ธ) โˆˆ โ„‚)
13 simpr 483 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„+)
149adantr 479 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
1511adantr 479 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โ†’ ๐ธ โˆˆ โ„‚)
16 mulcn2 15578 . . 3 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„+ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ธ โˆˆ โ„‚) โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ โˆƒ๐‘ค โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘ข โˆˆ โ„‚ โˆ€๐‘ฃ โˆˆ โ„‚ (((absโ€˜(๐‘ข โˆ’ ๐ท)) < ๐‘ง โˆง (absโ€˜(๐‘ฃ โˆ’ ๐ธ)) < ๐‘ค) โ†’ (absโ€˜((๐‘ข ยท ๐‘ฃ) โˆ’ (๐ท ยท ๐ธ))) < ๐‘ฆ))
1713, 14, 15, 16syl3anc 1368 . 2 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ โˆƒ๐‘ค โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘ข โˆˆ โ„‚ โˆ€๐‘ฃ โˆˆ โ„‚ (((absโ€˜(๐‘ข โˆ’ ๐ท)) < ๐‘ง โˆง (absโ€˜(๐‘ฃ โˆ’ ๐ธ)) < ๐‘ค) โ†’ (absโ€˜((๐‘ข ยท ๐‘ฃ) โˆ’ (๐ท ยท ๐ธ))) < ๐‘ฆ))
183, 6, 7, 12, 2, 5, 17rlimcn3 15572 1 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (๐ต ยท ๐ถ)) โ‡๐‘Ÿ (๐ท ยท ๐ธ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 394   โˆˆ wcel 2098  โˆ€wral 3057  โˆƒwrex 3066   class class class wbr 5150   โ†ฆ cmpt 5233  โ€˜cfv 6551  (class class class)co 7424  โ„‚cc 11142   ยท cmul 11149   < clt 11284   โˆ’ cmin 11480  โ„+crp 13012  abscabs 15219   โ‡๐‘Ÿ crli 15467
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431  ax-un 7744  ax-cnex 11200  ax-resscn 11201  ax-1cn 11202  ax-icn 11203  ax-addcl 11204  ax-addrcl 11205  ax-mulcl 11206  ax-mulrcl 11207  ax-mulcom 11208  ax-addass 11209  ax-mulass 11210  ax-distr 11211  ax-i2m1 11212  ax-1ne0 11213  ax-1rid 11214  ax-rnegex 11215  ax-rrecex 11216  ax-cnre 11217  ax-pre-lttri 11218  ax-pre-lttrn 11219  ax-pre-ltadd 11220  ax-pre-mulgt0 11221  ax-pre-sup 11222
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4911  df-iun 5000  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-tr 5268  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5635  df-we 5637  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-pred 6308  df-ord 6375  df-on 6376  df-lim 6377  df-suc 6378  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7875  df-2nd 7998  df-frecs 8291  df-wrecs 8322  df-recs 8396  df-rdg 8435  df-er 8729  df-pm 8852  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-sup 9471  df-pnf 11286  df-mnf 11287  df-xr 11288  df-ltxr 11289  df-le 11290  df-sub 11482  df-neg 11483  df-div 11908  df-nn 12249  df-2 12311  df-3 12312  df-n0 12509  df-z 12595  df-uz 12859  df-rp 13013  df-seq 14005  df-exp 14065  df-cj 15084  df-re 15085  df-im 15086  df-sqrt 15220  df-abs 15221  df-rlim 15471
This theorem is referenced by:  rlimdiv  15630  caucvgr  15660  logexprlim  27176  dchrisum0lem1  27467  signsplypnf  34187
  Copyright terms: Public domain W3C validator