MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rlimmul Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rlimmul 15534
Description: Limit of the product of two converging functions. Proposition 12-2.1(c) of [Gleason] p. 168. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
rlimadd.3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ ๐‘‰)
rlimadd.4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ถ โˆˆ ๐‘‰)
rlimadd.5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ต) โ‡๐‘Ÿ ๐ท)
rlimadd.6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ถ) โ‡๐‘Ÿ ๐ธ)
Assertion
Ref Expression
rlimmul (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (๐ต ยท ๐ถ)) โ‡๐‘Ÿ (๐ท ยท ๐ธ))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐ด   ๐‘ฅ,๐ท   ๐œ‘,๐‘ฅ   ๐‘ฅ,๐ธ
Allowed substitution hints:   ๐ต(๐‘ฅ)   ๐ถ(๐‘ฅ)   ๐‘‰(๐‘ฅ)

Proof of Theorem rlimmul
Dummy variables ๐‘ค ๐‘ฃ ๐‘ฆ ๐‘ง ๐‘ข are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rlimadd.3 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ ๐‘‰)
2 rlimadd.5 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ต) โ‡๐‘Ÿ ๐ท)
31, 2rlimmptrcl 15496 . 2 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
4 rlimadd.4 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ถ โˆˆ ๐‘‰)
5 rlimadd.6 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ถ) โ‡๐‘Ÿ ๐ธ)
64, 5rlimmptrcl 15496 . 2 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
73, 6mulcld 11180 . 2 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐ต ยท ๐ถ) โˆˆ โ„‚)
8 rlimcl 15391 . . . 4 ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ต) โ‡๐‘Ÿ ๐ท โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
92, 8syl 17 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
10 rlimcl 15391 . . . 4 ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ถ) โ‡๐‘Ÿ ๐ธ โ†’ ๐ธ โˆˆ โ„‚)
115, 10syl 17 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ธ โˆˆ โ„‚)
129, 11mulcld 11180 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐ท ยท ๐ธ) โˆˆ โ„‚)
13 simpr 486 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„+)
149adantr 482 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
1511adantr 482 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โ†’ ๐ธ โˆˆ โ„‚)
16 mulcn2 15484 . . 3 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„+ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ธ โˆˆ โ„‚) โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ โˆƒ๐‘ค โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘ข โˆˆ โ„‚ โˆ€๐‘ฃ โˆˆ โ„‚ (((absโ€˜(๐‘ข โˆ’ ๐ท)) < ๐‘ง โˆง (absโ€˜(๐‘ฃ โˆ’ ๐ธ)) < ๐‘ค) โ†’ (absโ€˜((๐‘ข ยท ๐‘ฃ) โˆ’ (๐ท ยท ๐ธ))) < ๐‘ฆ))
1713, 14, 15, 16syl3anc 1372 . 2 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ โˆƒ๐‘ค โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘ข โˆˆ โ„‚ โˆ€๐‘ฃ โˆˆ โ„‚ (((absโ€˜(๐‘ข โˆ’ ๐ท)) < ๐‘ง โˆง (absโ€˜(๐‘ฃ โˆ’ ๐ธ)) < ๐‘ค) โ†’ (absโ€˜((๐‘ข ยท ๐‘ฃ) โˆ’ (๐ท ยท ๐ธ))) < ๐‘ฆ))
183, 6, 7, 12, 2, 5, 17rlimcn3 15478 1 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (๐ต ยท ๐ถ)) โ‡๐‘Ÿ (๐ท ยท ๐ธ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   โˆˆ wcel 2107  โˆ€wral 3061  โˆƒwrex 3070   class class class wbr 5106   โ†ฆ cmpt 5189  โ€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  โ„‚cc 11054   ยท cmul 11061   < clt 11194   โˆ’ cmin 11390  โ„+crp 12920  abscabs 15125   โ‡๐‘Ÿ crli 15373
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8651  df-pm 8771  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-sup 9383  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-rp 12921  df-seq 13913  df-exp 13974  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992  df-sqrt 15126  df-abs 15127  df-rlim 15377
This theorem is referenced by:  rlimdiv  15536  caucvgr  15566  logexprlim  26589  dchrisum0lem1  26880  signsplypnf  33219
  Copyright terms: Public domain W3C validator