MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rlimmul Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rlimmul 15594
Description: Limit of the product of two converging functions. Proposition 12-2.1(c) of [Gleason] p. 168. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
rlimadd.3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ ๐‘‰)
rlimadd.4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ถ โˆˆ ๐‘‰)
rlimadd.5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ต) โ‡๐‘Ÿ ๐ท)
rlimadd.6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ถ) โ‡๐‘Ÿ ๐ธ)
Assertion
Ref Expression
rlimmul (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (๐ต ยท ๐ถ)) โ‡๐‘Ÿ (๐ท ยท ๐ธ))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐ด   ๐‘ฅ,๐ท   ๐œ‘,๐‘ฅ   ๐‘ฅ,๐ธ
Allowed substitution hints:   ๐ต(๐‘ฅ)   ๐ถ(๐‘ฅ)   ๐‘‰(๐‘ฅ)

Proof of Theorem rlimmul
Dummy variables ๐‘ค ๐‘ฃ ๐‘ฆ ๐‘ง ๐‘ข are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rlimadd.3 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ ๐‘‰)
2 rlimadd.5 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ต) โ‡๐‘Ÿ ๐ท)
31, 2rlimmptrcl 15556 . 2 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
4 rlimadd.4 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ถ โˆˆ ๐‘‰)
5 rlimadd.6 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ถ) โ‡๐‘Ÿ ๐ธ)
64, 5rlimmptrcl 15556 . 2 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
73, 6mulcld 11235 . 2 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐ต ยท ๐ถ) โˆˆ โ„‚)
8 rlimcl 15451 . . . 4 ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ต) โ‡๐‘Ÿ ๐ท โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
92, 8syl 17 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
10 rlimcl 15451 . . . 4 ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ถ) โ‡๐‘Ÿ ๐ธ โ†’ ๐ธ โˆˆ โ„‚)
115, 10syl 17 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ธ โˆˆ โ„‚)
129, 11mulcld 11235 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐ท ยท ๐ธ) โˆˆ โ„‚)
13 simpr 484 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„+)
149adantr 480 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
1511adantr 480 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โ†’ ๐ธ โˆˆ โ„‚)
16 mulcn2 15544 . . 3 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„+ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ธ โˆˆ โ„‚) โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ โˆƒ๐‘ค โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘ข โˆˆ โ„‚ โˆ€๐‘ฃ โˆˆ โ„‚ (((absโ€˜(๐‘ข โˆ’ ๐ท)) < ๐‘ง โˆง (absโ€˜(๐‘ฃ โˆ’ ๐ธ)) < ๐‘ค) โ†’ (absโ€˜((๐‘ข ยท ๐‘ฃ) โˆ’ (๐ท ยท ๐ธ))) < ๐‘ฆ))
1713, 14, 15, 16syl3anc 1368 . 2 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ โˆƒ๐‘ค โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘ข โˆˆ โ„‚ โˆ€๐‘ฃ โˆˆ โ„‚ (((absโ€˜(๐‘ข โˆ’ ๐ท)) < ๐‘ง โˆง (absโ€˜(๐‘ฃ โˆ’ ๐ธ)) < ๐‘ค) โ†’ (absโ€˜((๐‘ข ยท ๐‘ฃ) โˆ’ (๐ท ยท ๐ธ))) < ๐‘ฆ))
183, 6, 7, 12, 2, 5, 17rlimcn3 15538 1 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (๐ต ยท ๐ถ)) โ‡๐‘Ÿ (๐ท ยท ๐ธ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   โˆˆ wcel 2098  โˆ€wral 3055  โˆƒwrex 3064   class class class wbr 5141   โ†ฆ cmpt 5224  โ€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  โ„‚cc 11107   ยท cmul 11114   < clt 11249   โˆ’ cmin 11445  โ„+crp 12977  abscabs 15185   โ‡๐‘Ÿ crli 15433
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-er 8702  df-pm 8822  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-sup 9436  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-rp 12978  df-seq 13970  df-exp 14031  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-rlim 15437
This theorem is referenced by:  rlimdiv  15596  caucvgr  15626  logexprlim  27109  dchrisum0lem1  27400  signsplypnf  34091
  Copyright terms: Public domain W3C validator