Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rlimmul Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rlimmul 14996
 Description: Limit of the product of two converging functions. Proposition 12-2.1(c) of [Gleason] p. 168. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
rlimadd.3 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑉)
rlimadd.4 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶𝑉)
rlimadd.5 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ⇝𝑟 𝐷)
rlimadd.6 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐶) ⇝𝑟 𝐸)
Assertion
Ref Expression
rlimmul (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐵 · 𝐶)) ⇝𝑟 (𝐷 · 𝐸))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐷   𝜑,𝑥   𝑥,𝐸
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem rlimmul
Dummy variables 𝑤 𝑣 𝑦 𝑧 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rlimadd.3 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑉)
2 rlimadd.5 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ⇝𝑟 𝐷)
31, 2rlimmptrcl 14959 . 2 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
4 rlimadd.4 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶𝑉)
5 rlimadd.6 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐶) ⇝𝑟 𝐸)
64, 5rlimmptrcl 14959 . 2 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
7 rlimcl 14855 . . 3 ((𝑥𝐴𝐵) ⇝𝑟 𝐷𝐷 ∈ ℂ)
82, 7syl 17 . 2 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
9 rlimcl 14855 . . 3 ((𝑥𝐴𝐶) ⇝𝑟 𝐸𝐸 ∈ ℂ)
105, 9syl 17 . 2 (𝜑𝐸 ∈ ℂ)
11 ax-mulf 10610 . . 3 · :(ℂ × ℂ)⟶ℂ
1211a1i 11 . 2 (𝜑 → · :(ℂ × ℂ)⟶ℂ)
13 simpr 488 . . 3 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → 𝑦 ∈ ℝ+)
148adantr 484 . . 3 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → 𝐷 ∈ ℂ)
1510adantr 484 . . 3 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → 𝐸 ∈ ℂ)
16 mulcn2 14947 . . 3 ((𝑦 ∈ ℝ+𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ) → ∃𝑧 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℝ+𝑢 ∈ ℂ ∀𝑣 ∈ ℂ (((abs‘(𝑢𝐷)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑣𝐸)) < 𝑤) → (abs‘((𝑢 · 𝑣) − (𝐷 · 𝐸))) < 𝑦))
1713, 14, 15, 16syl3anc 1368 . 2 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑧 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℝ+𝑢 ∈ ℂ ∀𝑣 ∈ ℂ (((abs‘(𝑢𝐷)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑣𝐸)) < 𝑤) → (abs‘((𝑢 · 𝑣) − (𝐷 · 𝐸))) < 𝑦))
183, 6, 8, 10, 2, 5, 12, 17rlimcn2 14942 1 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐵 · 𝐶)) ⇝𝑟 (𝐷 · 𝐸))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∈ wcel 2112  ∀wral 3109  ∃wrex 3110   class class class wbr 5033   ↦ cmpt 5113   × cxp 5521  ⟶wf 6324  ‘cfv 6328  (class class class)co 7139  ℂcc 10528   · cmul 10535   < clt 10668   − cmin 10863  ℝ+crp 12381  abscabs 14588   ⇝𝑟 crli 14837 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-pre-sup 10608  ax-mulf 10610 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-er 8276  df-pm 8396  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-sup 8894  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-rp 12382  df-seq 13369  df-exp 13430  df-cj 14453  df-re 14454  df-im 14455  df-sqrt 14589  df-abs 14590  df-rlim 14841 This theorem is referenced by:  rlimdiv  14997  caucvgr  15027  logexprlim  25812  dchrisum0lem1  26103  signsplypnf  31928
 Copyright terms: Public domain W3C validator