MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rlimmul Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rlimmul 15586
Description: Limit of the product of two converging functions. Proposition 12-2.1(c) of [Gleason] p. 168. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
rlimadd.3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ ๐‘‰)
rlimadd.4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ถ โˆˆ ๐‘‰)
rlimadd.5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ต) โ‡๐‘Ÿ ๐ท)
rlimadd.6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ถ) โ‡๐‘Ÿ ๐ธ)
Assertion
Ref Expression
rlimmul (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (๐ต ยท ๐ถ)) โ‡๐‘Ÿ (๐ท ยท ๐ธ))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐ด   ๐‘ฅ,๐ท   ๐œ‘,๐‘ฅ   ๐‘ฅ,๐ธ
Allowed substitution hints:   ๐ต(๐‘ฅ)   ๐ถ(๐‘ฅ)   ๐‘‰(๐‘ฅ)

Proof of Theorem rlimmul
Dummy variables ๐‘ค ๐‘ฃ ๐‘ฆ ๐‘ง ๐‘ข are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rlimadd.3 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ ๐‘‰)
2 rlimadd.5 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ต) โ‡๐‘Ÿ ๐ท)
31, 2rlimmptrcl 15548 . 2 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
4 rlimadd.4 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ถ โˆˆ ๐‘‰)
5 rlimadd.6 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ถ) โ‡๐‘Ÿ ๐ธ)
64, 5rlimmptrcl 15548 . 2 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
73, 6mulcld 11230 . 2 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐ต ยท ๐ถ) โˆˆ โ„‚)
8 rlimcl 15443 . . . 4 ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ต) โ‡๐‘Ÿ ๐ท โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
92, 8syl 17 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
10 rlimcl 15443 . . . 4 ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ถ) โ‡๐‘Ÿ ๐ธ โ†’ ๐ธ โˆˆ โ„‚)
115, 10syl 17 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ธ โˆˆ โ„‚)
129, 11mulcld 11230 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐ท ยท ๐ธ) โˆˆ โ„‚)
13 simpr 485 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„+)
149adantr 481 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
1511adantr 481 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โ†’ ๐ธ โˆˆ โ„‚)
16 mulcn2 15536 . . 3 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„+ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ธ โˆˆ โ„‚) โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ โˆƒ๐‘ค โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘ข โˆˆ โ„‚ โˆ€๐‘ฃ โˆˆ โ„‚ (((absโ€˜(๐‘ข โˆ’ ๐ท)) < ๐‘ง โˆง (absโ€˜(๐‘ฃ โˆ’ ๐ธ)) < ๐‘ค) โ†’ (absโ€˜((๐‘ข ยท ๐‘ฃ) โˆ’ (๐ท ยท ๐ธ))) < ๐‘ฆ))
1713, 14, 15, 16syl3anc 1371 . 2 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„+) โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ โˆƒ๐‘ค โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘ข โˆˆ โ„‚ โˆ€๐‘ฃ โˆˆ โ„‚ (((absโ€˜(๐‘ข โˆ’ ๐ท)) < ๐‘ง โˆง (absโ€˜(๐‘ฃ โˆ’ ๐ธ)) < ๐‘ค) โ†’ (absโ€˜((๐‘ข ยท ๐‘ฃ) โˆ’ (๐ท ยท ๐ธ))) < ๐‘ฆ))
183, 6, 7, 12, 2, 5, 17rlimcn3 15530 1 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ (๐ต ยท ๐ถ)) โ‡๐‘Ÿ (๐ท ยท ๐ธ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 396   โˆˆ wcel 2106  โˆ€wral 3061  โˆƒwrex 3070   class class class wbr 5147   โ†ฆ cmpt 5230  โ€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  โ„‚cc 11104   ยท cmul 11111   < clt 11244   โˆ’ cmin 11440  โ„+crp 12970  abscabs 15177   โ‡๐‘Ÿ crli 15425
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-pm 8819  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-sup 9433  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-rp 12971  df-seq 13963  df-exp 14024  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-rlim 15429
This theorem is referenced by:  rlimdiv  15588  caucvgr  15618  logexprlim  26717  dchrisum0lem1  27008  signsplypnf  33549
  Copyright terms: Public domain W3C validator