Theorem rlimmul 15528

Description: Limit of the product of two converging functions. Proposition 12-2.1(c) of [Gleason] p. 168. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
rlimadd.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑉)
rlimadd.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ 𝑉)
rlimadd.5	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 𝐷)
rlimadd.6	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ⇝𝑟 𝐸)

Assertion

Ref	Expression
rlimmul	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 · 𝐶)) ⇝𝑟 (𝐷 · 𝐸))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐷   𝜑,𝑥   𝑥,𝐸

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem rlimmul

Dummy variables 𝑤 𝑣 𝑦 𝑧 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rlimadd.3	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑉)
2		rlimadd.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 𝐷)
3	1, 2	rlimmptrcl 15490	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
4		rlimadd.4	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ 𝑉)
5		rlimadd.6	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ⇝𝑟 𝐸)
6	4, 5	rlimmptrcl 15490	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
7	3, 6	mulcld 11175	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℂ)
8		rlimcl 15385	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 𝐷 → 𝐷 ∈ ℂ)
9	2, 8	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
10		rlimcl 15385	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ⇝𝑟 𝐸 → 𝐸 ∈ ℂ)
11	5, 10	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℂ)
12	9, 11	mulcld 11175	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · 𝐸) ∈ ℂ)
13		simpr 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝑦 ∈ ℝ+)
14	9	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝐷 ∈ ℂ)
15	11	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝐸 ∈ ℂ)
16		mulcn2 15478	. . 3 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ∈ ℂ) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ ℂ ∀𝑣 ∈ ℂ (((abs‘(𝑢 − 𝐷)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐸)) < 𝑤) → (abs‘((𝑢 · 𝑣) − (𝐷 · 𝐸))) < 𝑦))
17	13, 14, 15, 16	syl3anc 1371	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∃𝑤 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ ℂ ∀𝑣 ∈ ℂ (((abs‘(𝑢 − 𝐷)) < 𝑧 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝐸)) < 𝑤) → (abs‘((𝑢 · 𝑣) − (𝐷 · 𝐸))) < 𝑦))
18	3, 6, 7, 12, 2, 5, 17	rlimcn3 15472	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 · 𝐶)) ⇝𝑟 (𝐷 · 𝐸))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064  ∃wrex 3073   class class class wbr 5105   ↦ cmpt 5188  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357  ℂcc 11049   · cmul 11056   < clt 11189   − cmin 11385  ℝ⁺crp 12915  abscabs 15119   ⇝_𝑟 crli 15367

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-pm 8768  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-sup 9378  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-rp 12916  df-seq 13907  df-exp 13968  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-rlim 15371

This theorem is referenced by:  rlimdiv  15530  caucvgr  15560  logexprlim  26573  dchrisum0lem1  26864  signsplypnf  33162