MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  climim Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem climim 15553
Description: Limit of the imaginary part of a sequence. Proposition 12-2.4(c) of [Gleason] p. 172. (Contributed by NM, 7-Jun-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 9-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
climcn1lem.1 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
climcn1lem.2 (πœ‘ β†’ 𝐹 ⇝ 𝐴)
climcn1lem.4 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ π‘Š)
climcn1lem.5 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
climcn1lem.6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
climim.7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΊβ€˜π‘˜) = (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘˜)))
Assertion
Ref Expression
climim (πœ‘ β†’ 𝐺 ⇝ (β„‘β€˜π΄))
Distinct variable groups:   𝐴,π‘˜   π‘˜,𝐹   π‘˜,𝐺   πœ‘,π‘˜   π‘˜,𝑍   π‘˜,𝑀
Allowed substitution hint:   π‘Š(π‘˜)

Proof of Theorem climim
Dummy variables π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 climcn1lem.1 . 2 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
2 climcn1lem.2 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹 ⇝ 𝐴)
3 climcn1lem.4 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ π‘Š)
4 climcn1lem.5 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
5 climcn1lem.6 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
6 imf 15062 . . 3 β„‘:β„‚βŸΆβ„
7 ax-resscn 11164 . . 3 ℝ βŠ† β„‚
8 fss 6725 . . 3 ((β„‘:β„‚βŸΆβ„ ∧ ℝ βŠ† β„‚) β†’ β„‘:β„‚βŸΆβ„‚)
96, 7, 8mp2an 689 . 2 β„‘:β„‚βŸΆβ„‚
10 imcn2 15548 . 2 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ β„‚ ((absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐴)) < 𝑦 β†’ (absβ€˜((β„‘β€˜π‘§) βˆ’ (β„‘β€˜π΄))) < π‘₯))
11 climim.7 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΊβ€˜π‘˜) = (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘˜)))
121, 2, 3, 4, 5, 9, 10, 11climcn1lem 15549 1 (πœ‘ β†’ 𝐺 ⇝ (β„‘β€˜π΄))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   βŠ† wss 3941   class class class wbr 5139  βŸΆwf 6530  β€˜cfv 6534  β„‚cc 11105  β„cr 11106  β„€cz 12557  β„€β‰₯cuz 12821  β„‘cim 15047   ⇝ cli 15430
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-sup 9434  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-rp 12976  df-seq 13968  df-exp 14029  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-clim 15434
This theorem is referenced by:  mbflim  25541
  Copyright terms: Public domain W3C validator