MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xmettri2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xmettri2 24264
Description: Triangle inequality for the distance function of an extended metric. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xmettri2 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐢 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐴𝐷𝐡) ≀ ((𝐢𝐷𝐴) +𝑒 (𝐢𝐷𝐡)))

Proof of Theorem xmettri2
Dummy variables π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfvdm 6929 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 ∈ dom ∞Met)
2 isxmet 24248 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ dom ∞Met β†’ (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ↔ (𝐷:(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆβ„* ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (((π‘₯𝐷𝑦) = 0 ↔ π‘₯ = 𝑦) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (π‘₯𝐷𝑦) ≀ ((𝑧𝐷π‘₯) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦))))))
31, 2syl 17 . . . . . 6 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ↔ (𝐷:(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆβ„* ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (((π‘₯𝐷𝑦) = 0 ↔ π‘₯ = 𝑦) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (π‘₯𝐷𝑦) ≀ ((𝑧𝐷π‘₯) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦))))))
43ibi 266 . . . . 5 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ (𝐷:(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆβ„* ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (((π‘₯𝐷𝑦) = 0 ↔ π‘₯ = 𝑦) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (π‘₯𝐷𝑦) ≀ ((𝑧𝐷π‘₯) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)))))
5 simpr 483 . . . . . 6 ((((π‘₯𝐷𝑦) = 0 ↔ π‘₯ = 𝑦) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (π‘₯𝐷𝑦) ≀ ((𝑧𝐷π‘₯) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦))) β†’ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (π‘₯𝐷𝑦) ≀ ((𝑧𝐷π‘₯) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)))
652ralimi 3113 . . . . 5 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 (((π‘₯𝐷𝑦) = 0 ↔ π‘₯ = 𝑦) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (π‘₯𝐷𝑦) ≀ ((𝑧𝐷π‘₯) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦))) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (π‘₯𝐷𝑦) ≀ ((𝑧𝐷π‘₯) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)))
74, 6simpl2im 502 . . . 4 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (π‘₯𝐷𝑦) ≀ ((𝑧𝐷π‘₯) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)))
8 oveq1 7423 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝐴 β†’ (π‘₯𝐷𝑦) = (𝐴𝐷𝑦))
9 oveq2 7424 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝐴 β†’ (𝑧𝐷π‘₯) = (𝑧𝐷𝐴))
109oveq1d 7431 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝐴 β†’ ((𝑧𝐷π‘₯) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)) = ((𝑧𝐷𝐴) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)))
118, 10breq12d 5156 . . . . 5 (π‘₯ = 𝐴 β†’ ((π‘₯𝐷𝑦) ≀ ((𝑧𝐷π‘₯) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)) ↔ (𝐴𝐷𝑦) ≀ ((𝑧𝐷𝐴) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦))))
12 oveq2 7424 . . . . . 6 (𝑦 = 𝐡 β†’ (𝐴𝐷𝑦) = (𝐴𝐷𝐡))
13 oveq2 7424 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝐡 β†’ (𝑧𝐷𝑦) = (𝑧𝐷𝐡))
1413oveq2d 7432 . . . . . 6 (𝑦 = 𝐡 β†’ ((𝑧𝐷𝐴) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)) = ((𝑧𝐷𝐴) +𝑒 (𝑧𝐷𝐡)))
1512, 14breq12d 5156 . . . . 5 (𝑦 = 𝐡 β†’ ((𝐴𝐷𝑦) ≀ ((𝑧𝐷𝐴) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)) ↔ (𝐴𝐷𝐡) ≀ ((𝑧𝐷𝐴) +𝑒 (𝑧𝐷𝐡))))
16 oveq1 7423 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝐢 β†’ (𝑧𝐷𝐴) = (𝐢𝐷𝐴))
17 oveq1 7423 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝐢 β†’ (𝑧𝐷𝐡) = (𝐢𝐷𝐡))
1816, 17oveq12d 7434 . . . . . 6 (𝑧 = 𝐢 β†’ ((𝑧𝐷𝐴) +𝑒 (𝑧𝐷𝐡)) = ((𝐢𝐷𝐴) +𝑒 (𝐢𝐷𝐡)))
1918breq2d 5155 . . . . 5 (𝑧 = 𝐢 β†’ ((𝐴𝐷𝐡) ≀ ((𝑧𝐷𝐴) +𝑒 (𝑧𝐷𝐡)) ↔ (𝐴𝐷𝐡) ≀ ((𝐢𝐷𝐴) +𝑒 (𝐢𝐷𝐡))))
2011, 15, 19rspc3v 3617 . . . 4 ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 βˆ€π‘§ ∈ 𝑋 (π‘₯𝐷𝑦) ≀ ((𝑧𝐷π‘₯) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)) β†’ (𝐴𝐷𝐡) ≀ ((𝐢𝐷𝐴) +𝑒 (𝐢𝐷𝐡))))
217, 20syl5 34 . . 3 ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋) β†’ (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ (𝐴𝐷𝐡) ≀ ((𝐢𝐷𝐴) +𝑒 (𝐢𝐷𝐡))))
22213comr 1122 . 2 ((𝐢 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ (𝐴𝐷𝐡) ≀ ((𝐢𝐷𝐴) +𝑒 (𝐢𝐷𝐡))))
2322impcom 406 1 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐢 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐴𝐷𝐡) ≀ ((𝐢𝐷𝐴) +𝑒 (𝐢𝐷𝐡)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3051   class class class wbr 5143   Γ— cxp 5670  dom cdm 5672  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7416  0cc0 11138  β„*cxr 11277   ≀ cle 11279   +𝑒 cxad 13122  βˆžMetcxmet 21268
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-id 5570  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-fv 6551  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-map 8845  df-xr 11282  df-xmet 21276
This theorem is referenced by:  mettri2  24265  xmetge0  24268  xmetsym  24271  xmetpsmet  24272  xmettri  24275  xmetres2  24285  prdsxmetlem  24292  imasf1oxmet  24299  xblss2  24326  xmstri2  24390  comet  24440
  Copyright terms: Public domain W3C validator