Theorem xmettri2 24606

Description: Triangle inequality for the distance function of an extended metric. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xmettri2	⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝐴𝐷𝐵) ≤ ((𝐶𝐷𝐴) +𝑒 (𝐶𝐷𝐵)))

Proof of Theorem xmettri2

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfvdm 6908	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 ∈ dom ∞Met)
2		isxmet 24590	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ dom ∞Met → (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ↔ (𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦))))))
3	1, 2	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ↔ (𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦))))))
4	3	ibi 270	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ* ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)))))
5		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦))) → ∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)))
6	5	2ralimi 3132	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (((𝑥𝐷𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦))) → ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 ∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)))
7	4, 6	simpl2im 513	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 ∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)))
8		oveq1 7416	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥𝐷𝑦) = (𝐴𝐷𝑦))
9		oveq2 7417	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑧𝐷𝑥) = (𝑧𝐷𝐴))
10	9	oveq1d 7424	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)) = ((𝑧𝐷𝐴) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)))
11	8, 10	breq12d 5116	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)) ↔ (𝐴𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝐴) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦))))
12		oveq2 7417	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (𝐴𝐷𝑦) = (𝐴𝐷𝐵))
13		oveq2 7417	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (𝑧𝐷𝑦) = (𝑧𝐷𝐵))
14	13	oveq2d 7425	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → ((𝑧𝐷𝐴) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)) = ((𝑧𝐷𝐴) +𝑒 (𝑧𝐷𝐵)))
15	12, 14	breq12d 5116	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → ((𝐴𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝐴) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)) ↔ (𝐴𝐷𝐵) ≤ ((𝑧𝐷𝐴) +𝑒 (𝑧𝐷𝐵))))
16		oveq1 7416	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝐶 → (𝑧𝐷𝐴) = (𝐶𝐷𝐴))
17		oveq1 7416	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝐶 → (𝑧𝐷𝐵) = (𝐶𝐷𝐵))
18	16, 17	oveq12d 7427	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝐶 → ((𝑧𝐷𝐴) +𝑒 (𝑧𝐷𝐵)) = ((𝐶𝐷𝐴) +𝑒 (𝐶𝐷𝐵)))
19	18	breq2d 5115	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝐶 → ((𝐴𝐷𝐵) ≤ ((𝑧𝐷𝐴) +𝑒 (𝑧𝐷𝐵)) ↔ (𝐴𝐷𝐵) ≤ ((𝐶𝐷𝐴) +𝑒 (𝐶𝐷𝐵))))
20	11, 15, 19	rspc3v 3592	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 ∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑥𝐷𝑦) ≤ ((𝑧𝐷𝑥) +𝑒 (𝑧𝐷𝑦)) → (𝐴𝐷𝐵) ≤ ((𝐶𝐷𝐴) +𝑒 (𝐶𝐷𝐵))))
21	7, 20	syl5 35	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) ≤ ((𝐶𝐷𝐴) +𝑒 (𝐶𝐷𝐵))))
22	21	3comr 1143	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) ≤ ((𝐶𝐷𝐴) +𝑒 (𝐶𝐷𝐵))))
23	22	impcom 413	1 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝐴𝐷𝐵) ≤ ((𝐶𝐷𝐴) +𝑒 (𝐶𝐷𝐵)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3076   class class class wbr 5103   × cxp 5646  dom cdm 5648  ⟶wf 6524  ‘cfv 6528  (class class class)co 7409  0cc0 11157  ℝ^*cxr 11299   ≤ cle 11301   +_𝑒 cxad 13194  ∞Metcxmet 21610

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7735  ax-cnex 11213  ax-resscn 11214

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5543  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-iota 6484  df-fun 6530  df-fn 6531  df-f 6532  df-fv 6536  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-map 8828  df-xr 11304  df-xmet 21618

This theorem is used by:  mettri2  24607  xmetge0  24610  xmetsym  24613  xmetpsmet  24614  xmettri  24617  xmetres2  24627  prdsxmetlem  24634  imasf1oxmet  24641  xblss2  24668  xmstri2  24732  comet  24779