MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tgdim01 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tgdim01 28190
Description: In geometries of dimension less than 2, all points are colinear. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
tgdim01.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
tgdim01.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
tgdim01.g (𝜑𝐺𝑉)
tgdim01.1 (𝜑 → ¬ 𝐺DimTarskiG≥2)
tgdim01.x (𝜑𝑋𝑃)
tgdim01.y (𝜑𝑌𝑃)
tgdim01.z (𝜑𝑍𝑃)
Assertion
Ref Expression
tgdim01 (𝜑 → (𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌) ∨ 𝑋 ∈ (𝑍𝐼𝑌) ∨ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)))

Proof of Theorem tgdim01
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tgdim01.x . 2 (𝜑𝑋𝑃)
2 tgdim01.y . 2 (𝜑𝑌𝑃)
3 tgdim01.z . 2 (𝜑𝑍𝑃)
4 tgdim01.1 . . . 4 (𝜑 → ¬ 𝐺DimTarskiG≥2)
5 tgdim01.g . . . . 5 (𝜑𝐺𝑉)
6 tgdim01.p . . . . . 6 𝑃 = (Base‘𝐺)
7 eqid 2731 . . . . . 6 (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
8 tgdim01.i . . . . . 6 𝐼 = (Itv‘𝐺)
96, 7, 8istrkg2ld 28143 . . . . 5 (𝐺𝑉 → (𝐺DimTarskiG≥2 ↔ ∃𝑥𝑃𝑦𝑃𝑧𝑃 ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))))
105, 9syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝐺DimTarskiG≥2 ↔ ∃𝑥𝑃𝑦𝑃𝑧𝑃 ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))))
114, 10mtbid 324 . . 3 (𝜑 → ¬ ∃𝑥𝑃𝑦𝑃𝑧𝑃 ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))
12 rexnal3 3135 . . . 4 (∃𝑥𝑃𝑦𝑃𝑧𝑃 ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)) ↔ ¬ ∀𝑥𝑃𝑦𝑃𝑧𝑃 (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))
1312con2bii 357 . . 3 (∀𝑥𝑃𝑦𝑃𝑧𝑃 (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)) ↔ ¬ ∃𝑥𝑃𝑦𝑃𝑧𝑃 ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))
1411, 13sylibr 233 . 2 (𝜑 → ∀𝑥𝑃𝑦𝑃𝑧𝑃 (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))
15 oveq1 7419 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑋 → (𝑥𝐼𝑦) = (𝑋𝐼𝑦))
1615eleq2d 2818 . . . . 5 (𝑥 = 𝑋 → (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ↔ 𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑦)))
17 eleq1 2820 . . . . 5 (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ↔ 𝑋 ∈ (𝑧𝐼𝑦)))
18 oveq1 7419 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑋 → (𝑥𝐼𝑧) = (𝑋𝐼𝑧))
1918eleq2d 2818 . . . . 5 (𝑥 = 𝑋 → (𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧) ↔ 𝑦 ∈ (𝑋𝐼𝑧)))
2016, 17, 193orbi123d 1434 . . . 4 (𝑥 = 𝑋 → ((𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)) ↔ (𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑦) ∨ 𝑋 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑋𝐼𝑧))))
21 oveq2 7420 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑌 → (𝑋𝐼𝑦) = (𝑋𝐼𝑌))
2221eleq2d 2818 . . . . 5 (𝑦 = 𝑌 → (𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑦) ↔ 𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑌)))
23 oveq2 7420 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑌 → (𝑧𝐼𝑦) = (𝑧𝐼𝑌))
2423eleq2d 2818 . . . . 5 (𝑦 = 𝑌 → (𝑋 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ↔ 𝑋 ∈ (𝑧𝐼𝑌)))
25 eleq1 2820 . . . . 5 (𝑦 = 𝑌 → (𝑦 ∈ (𝑋𝐼𝑧) ↔ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑧)))
2622, 24, 253orbi123d 1434 . . . 4 (𝑦 = 𝑌 → ((𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑦) ∨ 𝑋 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑋𝐼𝑧)) ↔ (𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑌) ∨ 𝑋 ∈ (𝑧𝐼𝑌) ∨ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑧))))
27 eleq1 2820 . . . . 5 (𝑧 = 𝑍 → (𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑌) ↔ 𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)))
28 oveq1 7419 . . . . . 6 (𝑧 = 𝑍 → (𝑧𝐼𝑌) = (𝑍𝐼𝑌))
2928eleq2d 2818 . . . . 5 (𝑧 = 𝑍 → (𝑋 ∈ (𝑧𝐼𝑌) ↔ 𝑋 ∈ (𝑍𝐼𝑌)))
30 oveq2 7420 . . . . . 6 (𝑧 = 𝑍 → (𝑋𝐼𝑧) = (𝑋𝐼𝑍))
3130eleq2d 2818 . . . . 5 (𝑧 = 𝑍 → (𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑧) ↔ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)))
3227, 29, 313orbi123d 1434 . . . 4 (𝑧 = 𝑍 → ((𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑌) ∨ 𝑋 ∈ (𝑧𝐼𝑌) ∨ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑧)) ↔ (𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌) ∨ 𝑋 ∈ (𝑍𝐼𝑌) ∨ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍))))
3320, 26, 32rspc3v 3627 . . 3 ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑍𝑃) → (∀𝑥𝑃𝑦𝑃𝑧𝑃 (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)) → (𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌) ∨ 𝑋 ∈ (𝑍𝐼𝑌) ∨ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍))))
3433imp 406 . 2 (((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑍𝑃) ∧ ∀𝑥𝑃𝑦𝑃𝑧𝑃 (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))) → (𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌) ∨ 𝑋 ∈ (𝑍𝐼𝑌) ∨ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)))
351, 2, 3, 14, 34syl31anc 1372 1 (𝜑 → (𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌) ∨ 𝑋 ∈ (𝑍𝐼𝑌) ∨ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  w3o 1085  w3a 1086   = wceq 1540  wcel 2105  wral 3060  wrex 3069   class class class wbr 5148  cfv 6543  (class class class)co 7412  2c2 12274  Basecbs 17151  distcds 17213  DimTarskiGcstrkgld 28114  Itvcitv 28116
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-er 8709  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-nn 12220  df-2 12282  df-n0 12480  df-z 12566  df-uz 12830  df-fz 13492  df-fzo 13635  df-trkgld 28135
This theorem is referenced by:  tgdim01ln  28247
  Copyright terms: Public domain W3C validator