MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tgdim01 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tgdim01 28331
Description: In geometries of dimension less than 2, all points are colinear. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
tgdim01.p 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
tgdim01.i 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
tgdim01.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝑉)
tgdim01.1 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝐺DimTarskiGβ‰₯2)
tgdim01.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑃)
tgdim01.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑃)
tgdim01.z (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ 𝑃)
Assertion
Ref Expression
tgdim01 (πœ‘ β†’ (𝑍 ∈ (π‘‹πΌπ‘Œ) ∨ 𝑋 ∈ (π‘πΌπ‘Œ) ∨ π‘Œ ∈ (𝑋𝐼𝑍)))

Proof of Theorem tgdim01
Dummy variables π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tgdim01.x . 2 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑃)
2 tgdim01.y . 2 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑃)
3 tgdim01.z . 2 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ 𝑃)
4 tgdim01.1 . . . 4 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝐺DimTarskiGβ‰₯2)
5 tgdim01.g . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝑉)
6 tgdim01.p . . . . . 6 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
7 eqid 2728 . . . . . 6 (distβ€˜πΊ) = (distβ€˜πΊ)
8 tgdim01.i . . . . . 6 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
96, 7, 8istrkg2ld 28284 . . . . 5 (𝐺 ∈ 𝑉 β†’ (𝐺DimTarskiGβ‰₯2 ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘§ ∈ 𝑃 Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧))))
105, 9syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐺DimTarskiGβ‰₯2 ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘§ ∈ 𝑃 Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧))))
114, 10mtbid 323 . . 3 (πœ‘ β†’ Β¬ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘§ ∈ 𝑃 Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧)))
12 rexnal3 3133 . . . 4 (βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘§ ∈ 𝑃 Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧)) ↔ Β¬ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑃 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑃 βˆ€π‘§ ∈ 𝑃 (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧)))
1312con2bii 356 . . 3 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑃 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑃 βˆ€π‘§ ∈ 𝑃 (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧)) ↔ Β¬ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘§ ∈ 𝑃 Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧)))
1411, 13sylibr 233 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑃 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑃 βˆ€π‘§ ∈ 𝑃 (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧)))
15 oveq1 7433 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (π‘₯𝐼𝑦) = (𝑋𝐼𝑦))
1615eleq2d 2815 . . . . 5 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ↔ 𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑦)))
17 eleq1 2817 . . . . 5 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ↔ 𝑋 ∈ (𝑧𝐼𝑦)))
18 oveq1 7433 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (π‘₯𝐼𝑧) = (𝑋𝐼𝑧))
1918eleq2d 2815 . . . . 5 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧) ↔ 𝑦 ∈ (𝑋𝐼𝑧)))
2016, 17, 193orbi123d 1431 . . . 4 (π‘₯ = 𝑋 β†’ ((𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧)) ↔ (𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑦) ∨ 𝑋 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑋𝐼𝑧))))
21 oveq2 7434 . . . . . 6 (𝑦 = π‘Œ β†’ (𝑋𝐼𝑦) = (π‘‹πΌπ‘Œ))
2221eleq2d 2815 . . . . 5 (𝑦 = π‘Œ β†’ (𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑦) ↔ 𝑧 ∈ (π‘‹πΌπ‘Œ)))
23 oveq2 7434 . . . . . 6 (𝑦 = π‘Œ β†’ (𝑧𝐼𝑦) = (π‘§πΌπ‘Œ))
2423eleq2d 2815 . . . . 5 (𝑦 = π‘Œ β†’ (𝑋 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ↔ 𝑋 ∈ (π‘§πΌπ‘Œ)))
25 eleq1 2817 . . . . 5 (𝑦 = π‘Œ β†’ (𝑦 ∈ (𝑋𝐼𝑧) ↔ π‘Œ ∈ (𝑋𝐼𝑧)))
2622, 24, 253orbi123d 1431 . . . 4 (𝑦 = π‘Œ β†’ ((𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑦) ∨ 𝑋 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑋𝐼𝑧)) ↔ (𝑧 ∈ (π‘‹πΌπ‘Œ) ∨ 𝑋 ∈ (π‘§πΌπ‘Œ) ∨ π‘Œ ∈ (𝑋𝐼𝑧))))
27 eleq1 2817 . . . . 5 (𝑧 = 𝑍 β†’ (𝑧 ∈ (π‘‹πΌπ‘Œ) ↔ 𝑍 ∈ (π‘‹πΌπ‘Œ)))
28 oveq1 7433 . . . . . 6 (𝑧 = 𝑍 β†’ (π‘§πΌπ‘Œ) = (π‘πΌπ‘Œ))
2928eleq2d 2815 . . . . 5 (𝑧 = 𝑍 β†’ (𝑋 ∈ (π‘§πΌπ‘Œ) ↔ 𝑋 ∈ (π‘πΌπ‘Œ)))
30 oveq2 7434 . . . . . 6 (𝑧 = 𝑍 β†’ (𝑋𝐼𝑧) = (𝑋𝐼𝑍))
3130eleq2d 2815 . . . . 5 (𝑧 = 𝑍 β†’ (π‘Œ ∈ (𝑋𝐼𝑧) ↔ π‘Œ ∈ (𝑋𝐼𝑍)))
3227, 29, 313orbi123d 1431 . . . 4 (𝑧 = 𝑍 β†’ ((𝑧 ∈ (π‘‹πΌπ‘Œ) ∨ 𝑋 ∈ (π‘§πΌπ‘Œ) ∨ π‘Œ ∈ (𝑋𝐼𝑧)) ↔ (𝑍 ∈ (π‘‹πΌπ‘Œ) ∨ 𝑋 ∈ (π‘πΌπ‘Œ) ∨ π‘Œ ∈ (𝑋𝐼𝑍))))
3320, 26, 32rspc3v 3627 . . 3 ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑍 ∈ 𝑃) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑃 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑃 βˆ€π‘§ ∈ 𝑃 (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧)) β†’ (𝑍 ∈ (π‘‹πΌπ‘Œ) ∨ 𝑋 ∈ (π‘πΌπ‘Œ) ∨ π‘Œ ∈ (𝑋𝐼𝑍))))
3433imp 405 . 2 (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑍 ∈ 𝑃) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑃 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑃 βˆ€π‘§ ∈ 𝑃 (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧))) β†’ (𝑍 ∈ (π‘‹πΌπ‘Œ) ∨ 𝑋 ∈ (π‘πΌπ‘Œ) ∨ π‘Œ ∈ (𝑋𝐼𝑍)))
351, 2, 3, 14, 34syl31anc 1370 1 (πœ‘ β†’ (𝑍 ∈ (π‘‹πΌπ‘Œ) ∨ 𝑋 ∈ (π‘πΌπ‘Œ) ∨ π‘Œ ∈ (𝑋𝐼𝑍)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∨ w3o 1083   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3058  βˆƒwrex 3067   class class class wbr 5152  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  2c2 12305  Basecbs 17187  distcds 17249  DimTarskiGβ‰₯cstrkgld 28255  Itvcitv 28257
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-2 12313  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-trkgld 28276
This theorem is referenced by:  tgdim01ln  28388
  Copyright terms: Public domain W3C validator