MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tgdim01 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tgdim01 28262
Description: In geometries of dimension less than 2, all points are colinear. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
tgdim01.p 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
tgdim01.i 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
tgdim01.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝑉)
tgdim01.1 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝐺DimTarskiGβ‰₯2)
tgdim01.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑃)
tgdim01.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑃)
tgdim01.z (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ 𝑃)
Assertion
Ref Expression
tgdim01 (πœ‘ β†’ (𝑍 ∈ (π‘‹πΌπ‘Œ) ∨ 𝑋 ∈ (π‘πΌπ‘Œ) ∨ π‘Œ ∈ (𝑋𝐼𝑍)))

Proof of Theorem tgdim01
Dummy variables π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tgdim01.x . 2 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑃)
2 tgdim01.y . 2 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑃)
3 tgdim01.z . 2 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ 𝑃)
4 tgdim01.1 . . . 4 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝐺DimTarskiGβ‰₯2)
5 tgdim01.g . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝑉)
6 tgdim01.p . . . . . 6 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
7 eqid 2726 . . . . . 6 (distβ€˜πΊ) = (distβ€˜πΊ)
8 tgdim01.i . . . . . 6 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
96, 7, 8istrkg2ld 28215 . . . . 5 (𝐺 ∈ 𝑉 β†’ (𝐺DimTarskiGβ‰₯2 ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘§ ∈ 𝑃 Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧))))
105, 9syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐺DimTarskiGβ‰₯2 ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘§ ∈ 𝑃 Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧))))
114, 10mtbid 324 . . 3 (πœ‘ β†’ Β¬ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘§ ∈ 𝑃 Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧)))
12 rexnal3 3130 . . . 4 (βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘§ ∈ 𝑃 Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧)) ↔ Β¬ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑃 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑃 βˆ€π‘§ ∈ 𝑃 (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧)))
1312con2bii 357 . . 3 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑃 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑃 βˆ€π‘§ ∈ 𝑃 (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧)) ↔ Β¬ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑃 βˆƒπ‘§ ∈ 𝑃 Β¬ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧)))
1411, 13sylibr 233 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑃 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑃 βˆ€π‘§ ∈ 𝑃 (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧)))
15 oveq1 7411 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (π‘₯𝐼𝑦) = (𝑋𝐼𝑦))
1615eleq2d 2813 . . . . 5 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ↔ 𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑦)))
17 eleq1 2815 . . . . 5 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ↔ 𝑋 ∈ (𝑧𝐼𝑦)))
18 oveq1 7411 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (π‘₯𝐼𝑧) = (𝑋𝐼𝑧))
1918eleq2d 2813 . . . . 5 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧) ↔ 𝑦 ∈ (𝑋𝐼𝑧)))
2016, 17, 193orbi123d 1431 . . . 4 (π‘₯ = 𝑋 β†’ ((𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧)) ↔ (𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑦) ∨ 𝑋 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑋𝐼𝑧))))
21 oveq2 7412 . . . . . 6 (𝑦 = π‘Œ β†’ (𝑋𝐼𝑦) = (π‘‹πΌπ‘Œ))
2221eleq2d 2813 . . . . 5 (𝑦 = π‘Œ β†’ (𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑦) ↔ 𝑧 ∈ (π‘‹πΌπ‘Œ)))
23 oveq2 7412 . . . . . 6 (𝑦 = π‘Œ β†’ (𝑧𝐼𝑦) = (π‘§πΌπ‘Œ))
2423eleq2d 2813 . . . . 5 (𝑦 = π‘Œ β†’ (𝑋 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ↔ 𝑋 ∈ (π‘§πΌπ‘Œ)))
25 eleq1 2815 . . . . 5 (𝑦 = π‘Œ β†’ (𝑦 ∈ (𝑋𝐼𝑧) ↔ π‘Œ ∈ (𝑋𝐼𝑧)))
2622, 24, 253orbi123d 1431 . . . 4 (𝑦 = π‘Œ β†’ ((𝑧 ∈ (𝑋𝐼𝑦) ∨ 𝑋 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑋𝐼𝑧)) ↔ (𝑧 ∈ (π‘‹πΌπ‘Œ) ∨ 𝑋 ∈ (π‘§πΌπ‘Œ) ∨ π‘Œ ∈ (𝑋𝐼𝑧))))
27 eleq1 2815 . . . . 5 (𝑧 = 𝑍 β†’ (𝑧 ∈ (π‘‹πΌπ‘Œ) ↔ 𝑍 ∈ (π‘‹πΌπ‘Œ)))
28 oveq1 7411 . . . . . 6 (𝑧 = 𝑍 β†’ (π‘§πΌπ‘Œ) = (π‘πΌπ‘Œ))
2928eleq2d 2813 . . . . 5 (𝑧 = 𝑍 β†’ (𝑋 ∈ (π‘§πΌπ‘Œ) ↔ 𝑋 ∈ (π‘πΌπ‘Œ)))
30 oveq2 7412 . . . . . 6 (𝑧 = 𝑍 β†’ (𝑋𝐼𝑧) = (𝑋𝐼𝑍))
3130eleq2d 2813 . . . . 5 (𝑧 = 𝑍 β†’ (π‘Œ ∈ (𝑋𝐼𝑧) ↔ π‘Œ ∈ (𝑋𝐼𝑍)))
3227, 29, 313orbi123d 1431 . . . 4 (𝑧 = 𝑍 β†’ ((𝑧 ∈ (π‘‹πΌπ‘Œ) ∨ 𝑋 ∈ (π‘§πΌπ‘Œ) ∨ π‘Œ ∈ (𝑋𝐼𝑧)) ↔ (𝑍 ∈ (π‘‹πΌπ‘Œ) ∨ 𝑋 ∈ (π‘πΌπ‘Œ) ∨ π‘Œ ∈ (𝑋𝐼𝑍))))
3320, 26, 32rspc3v 3622 . . 3 ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑍 ∈ 𝑃) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑃 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑃 βˆ€π‘§ ∈ 𝑃 (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧)) β†’ (𝑍 ∈ (π‘‹πΌπ‘Œ) ∨ 𝑋 ∈ (π‘πΌπ‘Œ) ∨ π‘Œ ∈ (𝑋𝐼𝑍))))
3433imp 406 . 2 (((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑍 ∈ 𝑃) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑃 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑃 βˆ€π‘§ ∈ 𝑃 (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧))) β†’ (𝑍 ∈ (π‘‹πΌπ‘Œ) ∨ 𝑋 ∈ (π‘πΌπ‘Œ) ∨ π‘Œ ∈ (𝑋𝐼𝑍)))
351, 2, 3, 14, 34syl31anc 1370 1 (πœ‘ β†’ (𝑍 ∈ (π‘‹πΌπ‘Œ) ∨ 𝑋 ∈ (π‘πΌπ‘Œ) ∨ π‘Œ ∈ (𝑋𝐼𝑍)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∨ w3o 1083   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3055  βˆƒwrex 3064   class class class wbr 5141  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  2c2 12268  Basecbs 17151  distcds 17213  DimTarskiGβ‰₯cstrkgld 28186  Itvcitv 28188
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-2 12276  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-fz 13488  df-fzo 13631  df-trkgld 28207
This theorem is referenced by:  tgdim01ln  28319
  Copyright terms: Public domain W3C validator