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Theorem rmodislmodlem 20928
Description: Lemma for rmodislmod 20929. This is the part of the proof of rmodislmod 20929 which requires the scalar ring to be commutative. (Contributed by AV, 3-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
rmodislmod.v 𝑉 = (Base‘𝑅)
rmodislmod.a + = (+g𝑅)
rmodislmod.s · = ( ·𝑠𝑅)
rmodislmod.f 𝐹 = (Scalar‘𝑅)
rmodislmod.k 𝐾 = (Base‘𝐹)
rmodislmod.p = (+g𝐹)
rmodislmod.t × = (.r𝐹)
rmodislmod.u 1 = (1r𝐹)
rmodislmod.r (𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ ∀𝑞𝐾𝑟𝐾𝑥𝑉𝑤𝑉 (((𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 ∧ ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)) ∧ (𝑤 · (𝑞 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟))) ∧ ((𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟) ∧ (𝑤 · 1 ) = 𝑤)))
rmodislmod.m = (𝑠𝐾, 𝑣𝑉 ↦ (𝑣 · 𝑠))
rmodislmod.l 𝐿 = (𝑅 sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), ⟩)
Assertion
Ref Expression
rmodislmodlem ((𝐹 ∈ CRing ∧ (𝑎𝐾𝑏𝐾𝑐𝑉)) → ((𝑎 × 𝑏) 𝑐) = (𝑎 (𝑏 𝑐)))
Distinct variable groups:   × ,𝑞,𝑟,𝑤,𝑥   × ,𝑠,𝑣   · ,𝑞,𝑟,𝑤,𝑥   · ,𝑠,𝑣   𝐾,𝑞,𝑟,𝑥   𝐾,𝑠,𝑣   𝑉,𝑞,𝑟,𝑤,𝑥   𝑉,𝑠,𝑣   𝑟,𝑎,𝑤   𝑠,𝑎,𝑣   𝑞,𝑏,𝑟,𝑤   𝑠,𝑏,𝑣   𝑠,𝑐,𝑣   𝑤,𝑐
Allowed substitution hints:   + (𝑥,𝑤,𝑣,𝑠,𝑟,𝑞,𝑎,𝑏,𝑐)   (𝑥,𝑤,𝑣,𝑠,𝑟,𝑞,𝑎,𝑏,𝑐)   𝑅(𝑥,𝑤,𝑣,𝑠,𝑟,𝑞,𝑎,𝑏,𝑐)   · (𝑎,𝑏,𝑐)   × (𝑎,𝑏,𝑐)   1 (𝑥,𝑤,𝑣,𝑠,𝑟,𝑞,𝑎,𝑏,𝑐)   𝐹(𝑥,𝑤,𝑣,𝑠,𝑟,𝑞,𝑎,𝑏,𝑐)   (𝑥,𝑤,𝑣,𝑠,𝑟,𝑞,𝑎,𝑏,𝑐)   𝐾(𝑤,𝑎,𝑏,𝑐)   𝐿(𝑥,𝑤,𝑣,𝑠,𝑟,𝑞,𝑎,𝑏,𝑐)   𝑉(𝑎,𝑏,𝑐)

Proof of Theorem rmodislmodlem
StepHypRef Expression
1 rmodislmod.r . . . . 5 (𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ ∀𝑞𝐾𝑟𝐾𝑥𝑉𝑤𝑉 (((𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 ∧ ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)) ∧ (𝑤 · (𝑞 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟))) ∧ ((𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟) ∧ (𝑤 · 1 ) = 𝑤)))
2 simprl 770 . . . . . . . . 9 ((((𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 ∧ ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)) ∧ (𝑤 · (𝑞 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟))) ∧ ((𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟) ∧ (𝑤 · 1 ) = 𝑤)) → (𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟))
322ralimi 3122 . . . . . . . 8 (∀𝑥𝑉𝑤𝑉 (((𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 ∧ ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)) ∧ (𝑤 · (𝑞 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟))) ∧ ((𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟) ∧ (𝑤 · 1 ) = 𝑤)) → ∀𝑥𝑉𝑤𝑉 (𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟))
432ralimi 3122 . . . . . . 7 (∀𝑞𝐾𝑟𝐾𝑥𝑉𝑤𝑉 (((𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 ∧ ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)) ∧ (𝑤 · (𝑞 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟))) ∧ ((𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟) ∧ (𝑤 · 1 ) = 𝑤)) → ∀𝑞𝐾𝑟𝐾𝑥𝑉𝑤𝑉 (𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟))
5 ralrot3 3292 . . . . . . . . 9 (∀𝑞𝐾𝑟𝐾𝑥𝑉𝑤𝑉 (𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟) ↔ ∀𝑥𝑉𝑞𝐾𝑟𝐾𝑤𝑉 (𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟))
6 rmodislmod.v . . . . . . . . . . . . . 14 𝑉 = (Base‘𝑅)
76grpbn0 18985 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ Grp → 𝑉 ≠ ∅)
873ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ ∀𝑞𝐾𝑟𝐾𝑥𝑉𝑤𝑉 (((𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 ∧ ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)) ∧ (𝑤 · (𝑞 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟))) ∧ ((𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟) ∧ (𝑤 · 1 ) = 𝑤))) → 𝑉 ≠ ∅)
91, 8ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 𝑉 ≠ ∅
10 rspn0 4355 . . . . . . . . . . 11 (𝑉 ≠ ∅ → (∀𝑥𝑉𝑞𝐾𝑟𝐾𝑤𝑉 (𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟) → ∀𝑞𝐾𝑟𝐾𝑤𝑉 (𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟)))
119, 10ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (∀𝑥𝑉𝑞𝐾𝑟𝐾𝑤𝑉 (𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟) → ∀𝑞𝐾𝑟𝐾𝑤𝑉 (𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟))
12 oveq1 7439 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑞 = 𝑏 → (𝑞 × 𝑟) = (𝑏 × 𝑟))
1312oveq2d 7448 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑞 = 𝑏 → (𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = (𝑤 · (𝑏 × 𝑟)))
14 oveq2 7440 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑞 = 𝑏 → (𝑤 · 𝑞) = (𝑤 · 𝑏))
1514oveq1d 7447 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑞 = 𝑏 → ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑏) · 𝑟))
1613, 15eqeq12d 2752 . . . . . . . . . . . 12 (𝑞 = 𝑏 → ((𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟) ↔ (𝑤 · (𝑏 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑏) · 𝑟)))
17 oveq2 7440 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑟 = 𝑎 → (𝑏 × 𝑟) = (𝑏 × 𝑎))
1817oveq2d 7448 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑟 = 𝑎 → (𝑤 · (𝑏 × 𝑟)) = (𝑤 · (𝑏 × 𝑎)))
19 oveq2 7440 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑟 = 𝑎 → ((𝑤 · 𝑏) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑏) · 𝑎))
2018, 19eqeq12d 2752 . . . . . . . . . . . 12 (𝑟 = 𝑎 → ((𝑤 · (𝑏 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑏) · 𝑟) ↔ (𝑤 · (𝑏 × 𝑎)) = ((𝑤 · 𝑏) · 𝑎)))
21 oveq1 7439 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑤 = 𝑐 → (𝑤 · (𝑏 × 𝑎)) = (𝑐 · (𝑏 × 𝑎)))
22 oveq1 7439 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑤 = 𝑐 → (𝑤 · 𝑏) = (𝑐 · 𝑏))
2322oveq1d 7447 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑤 = 𝑐 → ((𝑤 · 𝑏) · 𝑎) = ((𝑐 · 𝑏) · 𝑎))
2421, 23eqeq12d 2752 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 = 𝑐 → ((𝑤 · (𝑏 × 𝑎)) = ((𝑤 · 𝑏) · 𝑎) ↔ (𝑐 · (𝑏 × 𝑎)) = ((𝑐 · 𝑏) · 𝑎)))
2516, 20, 24rspc3v 3637 . . . . . . . . . . 11 ((𝑏𝐾𝑎𝐾𝑐𝑉) → (∀𝑞𝐾𝑟𝐾𝑤𝑉 (𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟) → (𝑐 · (𝑏 × 𝑎)) = ((𝑐 · 𝑏) · 𝑎)))
26253com12 1123 . . . . . . . . . 10 ((𝑎𝐾𝑏𝐾𝑐𝑉) → (∀𝑞𝐾𝑟𝐾𝑤𝑉 (𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟) → (𝑐 · (𝑏 × 𝑎)) = ((𝑐 · 𝑏) · 𝑎)))
2711, 26syl5com 31 . . . . . . . . 9 (∀𝑥𝑉𝑞𝐾𝑟𝐾𝑤𝑉 (𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟) → ((𝑎𝐾𝑏𝐾𝑐𝑉) → (𝑐 · (𝑏 × 𝑎)) = ((𝑐 · 𝑏) · 𝑎)))
285, 27sylbi 217 . . . . . . . 8 (∀𝑞𝐾𝑟𝐾𝑥𝑉𝑤𝑉 (𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟) → ((𝑎𝐾𝑏𝐾𝑐𝑉) → (𝑐 · (𝑏 × 𝑎)) = ((𝑐 · 𝑏) · 𝑎)))
29 eqcom 2743 . . . . . . . 8 (((𝑐 · 𝑏) · 𝑎) = (𝑐 · (𝑏 × 𝑎)) ↔ (𝑐 · (𝑏 × 𝑎)) = ((𝑐 · 𝑏) · 𝑎))
3028, 29imbitrrdi 252 . . . . . . 7 (∀𝑞𝐾𝑟𝐾𝑥𝑉𝑤𝑉 (𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟) → ((𝑎𝐾𝑏𝐾𝑐𝑉) → ((𝑐 · 𝑏) · 𝑎) = (𝑐 · (𝑏 × 𝑎))))
314, 30syl 17 . . . . . 6 (∀𝑞𝐾𝑟𝐾𝑥𝑉𝑤𝑉 (((𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 ∧ ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)) ∧ (𝑤 · (𝑞 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟))) ∧ ((𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟) ∧ (𝑤 · 1 ) = 𝑤)) → ((𝑎𝐾𝑏𝐾𝑐𝑉) → ((𝑐 · 𝑏) · 𝑎) = (𝑐 · (𝑏 × 𝑎))))
32313ad2ant3 1135 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ ∀𝑞𝐾𝑟𝐾𝑥𝑉𝑤𝑉 (((𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 ∧ ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)) ∧ (𝑤 · (𝑞 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟))) ∧ ((𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟) ∧ (𝑤 · 1 ) = 𝑤))) → ((𝑎𝐾𝑏𝐾𝑐𝑉) → ((𝑐 · 𝑏) · 𝑎) = (𝑐 · (𝑏 × 𝑎))))
331, 32ax-mp 5 . . . 4 ((𝑎𝐾𝑏𝐾𝑐𝑉) → ((𝑐 · 𝑏) · 𝑎) = (𝑐 · (𝑏 × 𝑎)))
3433adantl 481 . . 3 ((𝐹 ∈ CRing ∧ (𝑎𝐾𝑏𝐾𝑐𝑉)) → ((𝑐 · 𝑏) · 𝑎) = (𝑐 · (𝑏 × 𝑎)))
35 rmodislmod.k . . . . . . . . . 10 𝐾 = (Base‘𝐹)
36 rmodislmod.t . . . . . . . . . 10 × = (.r𝐹)
3735, 36crngcom 20249 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ CRing ∧ 𝑏𝐾𝑎𝐾) → (𝑏 × 𝑎) = (𝑎 × 𝑏))
38373expb 1120 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ CRing ∧ (𝑏𝐾𝑎𝐾)) → (𝑏 × 𝑎) = (𝑎 × 𝑏))
3938expcom 413 . . . . . . 7 ((𝑏𝐾𝑎𝐾) → (𝐹 ∈ CRing → (𝑏 × 𝑎) = (𝑎 × 𝑏)))
4039ancoms 458 . . . . . 6 ((𝑎𝐾𝑏𝐾) → (𝐹 ∈ CRing → (𝑏 × 𝑎) = (𝑎 × 𝑏)))
41403adant3 1132 . . . . 5 ((𝑎𝐾𝑏𝐾𝑐𝑉) → (𝐹 ∈ CRing → (𝑏 × 𝑎) = (𝑎 × 𝑏)))
4241impcom 407 . . . 4 ((𝐹 ∈ CRing ∧ (𝑎𝐾𝑏𝐾𝑐𝑉)) → (𝑏 × 𝑎) = (𝑎 × 𝑏))
4342oveq2d 7448 . . 3 ((𝐹 ∈ CRing ∧ (𝑎𝐾𝑏𝐾𝑐𝑉)) → (𝑐 · (𝑏 × 𝑎)) = (𝑐 · (𝑎 × 𝑏)))
4434, 43eqtrd 2776 . 2 ((𝐹 ∈ CRing ∧ (𝑎𝐾𝑏𝐾𝑐𝑉)) → ((𝑐 · 𝑏) · 𝑎) = (𝑐 · (𝑎 × 𝑏)))
45 rmodislmod.m . . . . . . 7 = (𝑠𝐾, 𝑣𝑉 ↦ (𝑣 · 𝑠))
4645a1i 11 . . . . . 6 ((𝑎𝐾𝑏𝐾𝑐𝑉) → = (𝑠𝐾, 𝑣𝑉 ↦ (𝑣 · 𝑠)))
47 oveq12 7441 . . . . . . . 8 ((𝑣 = 𝑐𝑠 = 𝑏) → (𝑣 · 𝑠) = (𝑐 · 𝑏))
4847ancoms 458 . . . . . . 7 ((𝑠 = 𝑏𝑣 = 𝑐) → (𝑣 · 𝑠) = (𝑐 · 𝑏))
4948adantl 481 . . . . . 6 (((𝑎𝐾𝑏𝐾𝑐𝑉) ∧ (𝑠 = 𝑏𝑣 = 𝑐)) → (𝑣 · 𝑠) = (𝑐 · 𝑏))
50 simp2 1137 . . . . . 6 ((𝑎𝐾𝑏𝐾𝑐𝑉) → 𝑏𝐾)
51 simp3 1138 . . . . . 6 ((𝑎𝐾𝑏𝐾𝑐𝑉) → 𝑐𝑉)
52 ovexd 7467 . . . . . 6 ((𝑎𝐾𝑏𝐾𝑐𝑉) → (𝑐 · 𝑏) ∈ V)
5346, 49, 50, 51, 52ovmpod 7586 . . . . 5 ((𝑎𝐾𝑏𝐾𝑐𝑉) → (𝑏 𝑐) = (𝑐 · 𝑏))
5453oveq2d 7448 . . . 4 ((𝑎𝐾𝑏𝐾𝑐𝑉) → (𝑎 (𝑏 𝑐)) = (𝑎 (𝑐 · 𝑏)))
55 oveq12 7441 . . . . . . 7 ((𝑣 = (𝑐 · 𝑏) ∧ 𝑠 = 𝑎) → (𝑣 · 𝑠) = ((𝑐 · 𝑏) · 𝑎))
5655ancoms 458 . . . . . 6 ((𝑠 = 𝑎𝑣 = (𝑐 · 𝑏)) → (𝑣 · 𝑠) = ((𝑐 · 𝑏) · 𝑎))
5756adantl 481 . . . . 5 (((𝑎𝐾𝑏𝐾𝑐𝑉) ∧ (𝑠 = 𝑎𝑣 = (𝑐 · 𝑏))) → (𝑣 · 𝑠) = ((𝑐 · 𝑏) · 𝑎))
58 simp1 1136 . . . . 5 ((𝑎𝐾𝑏𝐾𝑐𝑉) → 𝑎𝐾)
59 simpl1 1191 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 ∧ ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)) ∧ (𝑤 · (𝑞 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟))) ∧ ((𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟) ∧ (𝑤 · 1 ) = 𝑤)) → (𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉)
60592ralimi 3122 . . . . . . . . . 10 (∀𝑥𝑉𝑤𝑉 (((𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 ∧ ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)) ∧ (𝑤 · (𝑞 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟))) ∧ ((𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟) ∧ (𝑤 · 1 ) = 𝑤)) → ∀𝑥𝑉𝑤𝑉 (𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉)
61602ralimi 3122 . . . . . . . . 9 (∀𝑞𝐾𝑟𝐾𝑥𝑉𝑤𝑉 (((𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 ∧ ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)) ∧ (𝑤 · (𝑞 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟))) ∧ ((𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟) ∧ (𝑤 · 1 ) = 𝑤)) → ∀𝑞𝐾𝑟𝐾𝑥𝑉𝑤𝑉 (𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉)
62 ringgrp 20236 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹 ∈ Ring → 𝐹 ∈ Grp)
6335grpbn0 18985 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹 ∈ Grp → 𝐾 ≠ ∅)
6462, 63syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹 ∈ Ring → 𝐾 ≠ ∅)
65643ad2ant2 1134 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ ∀𝑞𝐾𝑟𝐾𝑥𝑉𝑤𝑉 (((𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 ∧ ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)) ∧ (𝑤 · (𝑞 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟))) ∧ ((𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟) ∧ (𝑤 · 1 ) = 𝑤))) → 𝐾 ≠ ∅)
661, 65ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 𝐾 ≠ ∅
67 rspn0 4355 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ≠ ∅ → (∀𝑞𝐾𝑟𝐾𝑥𝑉𝑤𝑉 (𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 → ∀𝑟𝐾𝑥𝑉𝑤𝑉 (𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉))
6866, 67ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (∀𝑞𝐾𝑟𝐾𝑥𝑉𝑤𝑉 (𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 → ∀𝑟𝐾𝑥𝑉𝑤𝑉 (𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉)
69 ralcom 3288 . . . . . . . . . 10 (∀𝑟𝐾𝑥𝑉𝑤𝑉 (𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 ↔ ∀𝑥𝑉𝑟𝐾𝑤𝑉 (𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉)
70 rspn0 4355 . . . . . . . . . . . 12 (𝑉 ≠ ∅ → (∀𝑥𝑉𝑟𝐾𝑤𝑉 (𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 → ∀𝑟𝐾𝑤𝑉 (𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉))
719, 70ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑥𝑉𝑟𝐾𝑤𝑉 (𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 → ∀𝑟𝐾𝑤𝑉 (𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉)
72 oveq2 7440 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑟 = 𝑏 → (𝑤 · 𝑟) = (𝑤 · 𝑏))
7372eleq1d 2825 . . . . . . . . . . . 12 (𝑟 = 𝑏 → ((𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 ↔ (𝑤 · 𝑏) ∈ 𝑉))
7422eleq1d 2825 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 = 𝑐 → ((𝑤 · 𝑏) ∈ 𝑉 ↔ (𝑐 · 𝑏) ∈ 𝑉))
7573, 74rspc2v 3632 . . . . . . . . . . 11 ((𝑏𝐾𝑐𝑉) → (∀𝑟𝐾𝑤𝑉 (𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 → (𝑐 · 𝑏) ∈ 𝑉))
7671, 75syl5com 31 . . . . . . . . . 10 (∀𝑥𝑉𝑟𝐾𝑤𝑉 (𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 → ((𝑏𝐾𝑐𝑉) → (𝑐 · 𝑏) ∈ 𝑉))
7769, 76sylbi 217 . . . . . . . . 9 (∀𝑟𝐾𝑥𝑉𝑤𝑉 (𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 → ((𝑏𝐾𝑐𝑉) → (𝑐 · 𝑏) ∈ 𝑉))
7861, 68, 773syl 18 . . . . . . . 8 (∀𝑞𝐾𝑟𝐾𝑥𝑉𝑤𝑉 (((𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 ∧ ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)) ∧ (𝑤 · (𝑞 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟))) ∧ ((𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟) ∧ (𝑤 · 1 ) = 𝑤)) → ((𝑏𝐾𝑐𝑉) → (𝑐 · 𝑏) ∈ 𝑉))
79783ad2ant3 1135 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ ∀𝑞𝐾𝑟𝐾𝑥𝑉𝑤𝑉 (((𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 ∧ ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)) ∧ (𝑤 · (𝑞 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟))) ∧ ((𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟) ∧ (𝑤 · 1 ) = 𝑤))) → ((𝑏𝐾𝑐𝑉) → (𝑐 · 𝑏) ∈ 𝑉))
801, 79ax-mp 5 . . . . . 6 ((𝑏𝐾𝑐𝑉) → (𝑐 · 𝑏) ∈ 𝑉)
81803adant1 1130 . . . . 5 ((𝑎𝐾𝑏𝐾𝑐𝑉) → (𝑐 · 𝑏) ∈ 𝑉)
82 ovexd 7467 . . . . 5 ((𝑎𝐾𝑏𝐾𝑐𝑉) → ((𝑐 · 𝑏) · 𝑎) ∈ V)
8346, 57, 58, 81, 82ovmpod 7586 . . . 4 ((𝑎𝐾𝑏𝐾𝑐𝑉) → (𝑎 (𝑐 · 𝑏)) = ((𝑐 · 𝑏) · 𝑎))
8454, 83eqtrd 2776 . . 3 ((𝑎𝐾𝑏𝐾𝑐𝑉) → (𝑎 (𝑏 𝑐)) = ((𝑐 · 𝑏) · 𝑎))
8584adantl 481 . 2 ((𝐹 ∈ CRing ∧ (𝑎𝐾𝑏𝐾𝑐𝑉)) → (𝑎 (𝑏 𝑐)) = ((𝑐 · 𝑏) · 𝑎))
86 oveq12 7441 . . . . . 6 ((𝑣 = 𝑐𝑠 = (𝑎 × 𝑏)) → (𝑣 · 𝑠) = (𝑐 · (𝑎 × 𝑏)))
8786ancoms 458 . . . . 5 ((𝑠 = (𝑎 × 𝑏) ∧ 𝑣 = 𝑐) → (𝑣 · 𝑠) = (𝑐 · (𝑎 × 𝑏)))
8887adantl 481 . . . 4 (((𝑎𝐾𝑏𝐾𝑐𝑉) ∧ (𝑠 = (𝑎 × 𝑏) ∧ 𝑣 = 𝑐)) → (𝑣 · 𝑠) = (𝑐 · (𝑎 × 𝑏)))
8935, 36ringcl 20248 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ Ring ∧ 𝑎𝐾𝑏𝐾) → (𝑎 × 𝑏) ∈ 𝐾)
90893expib 1122 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ Ring → ((𝑎𝐾𝑏𝐾) → (𝑎 × 𝑏) ∈ 𝐾))
91903ad2ant2 1134 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ ∀𝑞𝐾𝑟𝐾𝑥𝑉𝑤𝑉 (((𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 ∧ ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)) ∧ (𝑤 · (𝑞 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟))) ∧ ((𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟) ∧ (𝑤 · 1 ) = 𝑤))) → ((𝑎𝐾𝑏𝐾) → (𝑎 × 𝑏) ∈ 𝐾))
921, 91ax-mp 5 . . . . 5 ((𝑎𝐾𝑏𝐾) → (𝑎 × 𝑏) ∈ 𝐾)
93923adant3 1132 . . . 4 ((𝑎𝐾𝑏𝐾𝑐𝑉) → (𝑎 × 𝑏) ∈ 𝐾)
94 ovexd 7467 . . . 4 ((𝑎𝐾𝑏𝐾𝑐𝑉) → (𝑐 · (𝑎 × 𝑏)) ∈ V)
9546, 88, 93, 51, 94ovmpod 7586 . . 3 ((𝑎𝐾𝑏𝐾𝑐𝑉) → ((𝑎 × 𝑏) 𝑐) = (𝑐 · (𝑎 × 𝑏)))
9695adantl 481 . 2 ((𝐹 ∈ CRing ∧ (𝑎𝐾𝑏𝐾𝑐𝑉)) → ((𝑎 × 𝑏) 𝑐) = (𝑐 · (𝑎 × 𝑏)))
9744, 85, 963eqtr4rd 2787 1 ((𝐹 ∈ CRing ∧ (𝑎𝐾𝑏𝐾𝑐𝑉)) → ((𝑎 × 𝑏) 𝑐) = (𝑎 (𝑏 𝑐)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1539  wcel 2107  wne 2939  wral 3060  Vcvv 3479  c0 4332  cop 4631  cfv 6560  (class class class)co 7432  cmpo 7434   sSet csts 17201  ndxcnx 17231  Basecbs 17248  +gcplusg 17298  .rcmulr 17299  Scalarcsca 17301   ·𝑠 cvsca 17302  Grpcgrp 18952  1rcur 20179  Ringcrg 20231  CRingccrg 20232
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-nn 12268  df-2 12330  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17249  df-plusg 17311  df-0g 17487  df-mgm 18654  df-sgrp 18733  df-mnd 18749  df-grp 18955  df-cmn 19801  df-mgp 20139  df-ring 20233  df-cring 20234
This theorem is referenced by:  rmodislmod  20929
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