MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rmodislmodlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rmodislmodlem 19435
Description: Lemma for rmodislmod 19436. This is the part of the proof of rmodislmod 19436 which requires the scalar ring to be commutative. (Contributed by AV, 3-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
rmodislmod.v 𝑉 = (Base‘𝑅)
rmodislmod.a + = (+g𝑅)
rmodislmod.s · = ( ·𝑠𝑅)
rmodislmod.f 𝐹 = (Scalar‘𝑅)
rmodislmod.k 𝐾 = (Base‘𝐹)
rmodislmod.p = (+g𝐹)
rmodislmod.t × = (.r𝐹)
rmodislmod.u 1 = (1r𝐹)
rmodislmod.r (𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ ∀𝑞𝐾𝑟𝐾𝑥𝑉𝑤𝑉 (((𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 ∧ ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)) ∧ (𝑤 · (𝑞 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟))) ∧ ((𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟) ∧ (𝑤 · 1 ) = 𝑤)))
rmodislmod.m = (𝑠𝐾, 𝑣𝑉 ↦ (𝑣 · 𝑠))
rmodislmod.l 𝐿 = (𝑅 sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), ⟩)
Assertion
Ref Expression
rmodislmodlem ((𝐹 ∈ CRing ∧ (𝑎𝐾𝑏𝐾𝑐𝑉)) → ((𝑎 × 𝑏) 𝑐) = (𝑎 (𝑏 𝑐)))
Distinct variable groups:   × ,𝑞,𝑟,𝑤,𝑥   × ,𝑠,𝑣   · ,𝑞,𝑟,𝑤,𝑥   · ,𝑠,𝑣   𝐾,𝑞,𝑟,𝑥   𝐾,𝑠,𝑣   𝑉,𝑞,𝑟,𝑤,𝑥   𝑉,𝑠,𝑣   𝑟,𝑎,𝑤   𝑠,𝑎,𝑣   𝑞,𝑏,𝑟,𝑤   𝑠,𝑏,𝑣   𝑠,𝑐,𝑣   𝑤,𝑐
Allowed substitution hints:   + (𝑥,𝑤,𝑣,𝑠,𝑟,𝑞,𝑎,𝑏,𝑐)   (𝑥,𝑤,𝑣,𝑠,𝑟,𝑞,𝑎,𝑏,𝑐)   𝑅(𝑥,𝑤,𝑣,𝑠,𝑟,𝑞,𝑎,𝑏,𝑐)   · (𝑎,𝑏,𝑐)   × (𝑎,𝑏,𝑐)   1 (𝑥,𝑤,𝑣,𝑠,𝑟,𝑞,𝑎,𝑏,𝑐)   𝐹(𝑥,𝑤,𝑣,𝑠,𝑟,𝑞,𝑎,𝑏,𝑐)   (𝑥,𝑤,𝑣,𝑠,𝑟,𝑞,𝑎,𝑏,𝑐)   𝐾(𝑤,𝑎,𝑏,𝑐)   𝐿(𝑥,𝑤,𝑣,𝑠,𝑟,𝑞,𝑎,𝑏,𝑐)   𝑉(𝑎,𝑏,𝑐)

Proof of Theorem rmodislmodlem
StepHypRef Expression
1 rmodislmod.r . . . . 5 (𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ ∀𝑞𝐾𝑟𝐾𝑥𝑉𝑤𝑉 (((𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 ∧ ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)) ∧ (𝑤 · (𝑞 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟))) ∧ ((𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟) ∧ (𝑤 · 1 ) = 𝑤)))
2 simprl 759 . . . . . . . . 9 ((((𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 ∧ ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)) ∧ (𝑤 · (𝑞 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟))) ∧ ((𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟) ∧ (𝑤 · 1 ) = 𝑤)) → (𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟))
322ralimi 3104 . . . . . . . 8 (∀𝑥𝑉𝑤𝑉 (((𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 ∧ ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)) ∧ (𝑤 · (𝑞 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟))) ∧ ((𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟) ∧ (𝑤 · 1 ) = 𝑤)) → ∀𝑥𝑉𝑤𝑉 (𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟))
432ralimi 3104 . . . . . . 7 (∀𝑞𝐾𝑟𝐾𝑥𝑉𝑤𝑉 (((𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 ∧ ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)) ∧ (𝑤 · (𝑞 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟))) ∧ ((𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟) ∧ (𝑤 · 1 ) = 𝑤)) → ∀𝑞𝐾𝑟𝐾𝑥𝑉𝑤𝑉 (𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟))
5 ralrot3 3295 . . . . . . . . 9 (∀𝑞𝐾𝑟𝐾𝑥𝑉𝑤𝑉 (𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟) ↔ ∀𝑥𝑉𝑞𝐾𝑟𝐾𝑤𝑉 (𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟))
6 rmodislmod.v . . . . . . . . . . . . . 14 𝑉 = (Base‘𝑅)
76grpbn0 17932 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ Grp → 𝑉 ≠ ∅)
873ad2ant1 1114 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ ∀𝑞𝐾𝑟𝐾𝑥𝑉𝑤𝑉 (((𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 ∧ ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)) ∧ (𝑤 · (𝑞 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟))) ∧ ((𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟) ∧ (𝑤 · 1 ) = 𝑤))) → 𝑉 ≠ ∅)
91, 8ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 𝑉 ≠ ∅
10 rspn0 4193 . . . . . . . . . . 11 (𝑉 ≠ ∅ → (∀𝑥𝑉𝑞𝐾𝑟𝐾𝑤𝑉 (𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟) → ∀𝑞𝐾𝑟𝐾𝑤𝑉 (𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟)))
119, 10ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (∀𝑥𝑉𝑞𝐾𝑟𝐾𝑤𝑉 (𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟) → ∀𝑞𝐾𝑟𝐾𝑤𝑉 (𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟))
12 oveq1 6981 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑞 = 𝑏 → (𝑞 × 𝑟) = (𝑏 × 𝑟))
1312oveq2d 6990 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑞 = 𝑏 → (𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = (𝑤 · (𝑏 × 𝑟)))
14 oveq2 6982 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑞 = 𝑏 → (𝑤 · 𝑞) = (𝑤 · 𝑏))
1514oveq1d 6989 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑞 = 𝑏 → ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑏) · 𝑟))
1613, 15eqeq12d 2786 . . . . . . . . . . . 12 (𝑞 = 𝑏 → ((𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟) ↔ (𝑤 · (𝑏 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑏) · 𝑟)))
17 oveq2 6982 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑟 = 𝑎 → (𝑏 × 𝑟) = (𝑏 × 𝑎))
1817oveq2d 6990 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑟 = 𝑎 → (𝑤 · (𝑏 × 𝑟)) = (𝑤 · (𝑏 × 𝑎)))
19 oveq2 6982 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑟 = 𝑎 → ((𝑤 · 𝑏) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑏) · 𝑎))
2018, 19eqeq12d 2786 . . . . . . . . . . . 12 (𝑟 = 𝑎 → ((𝑤 · (𝑏 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑏) · 𝑟) ↔ (𝑤 · (𝑏 × 𝑎)) = ((𝑤 · 𝑏) · 𝑎)))
21 oveq1 6981 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑤 = 𝑐 → (𝑤 · (𝑏 × 𝑎)) = (𝑐 · (𝑏 × 𝑎)))
22 oveq1 6981 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑤 = 𝑐 → (𝑤 · 𝑏) = (𝑐 · 𝑏))
2322oveq1d 6989 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑤 = 𝑐 → ((𝑤 · 𝑏) · 𝑎) = ((𝑐 · 𝑏) · 𝑎))
2421, 23eqeq12d 2786 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 = 𝑐 → ((𝑤 · (𝑏 × 𝑎)) = ((𝑤 · 𝑏) · 𝑎) ↔ (𝑐 · (𝑏 × 𝑎)) = ((𝑐 · 𝑏) · 𝑎)))
2516, 20, 24rspc3v 3544 . . . . . . . . . . 11 ((𝑏𝐾𝑎𝐾𝑐𝑉) → (∀𝑞𝐾𝑟𝐾𝑤𝑉 (𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟) → (𝑐 · (𝑏 × 𝑎)) = ((𝑐 · 𝑏) · 𝑎)))
26253com12 1104 . . . . . . . . . 10 ((𝑎𝐾𝑏𝐾𝑐𝑉) → (∀𝑞𝐾𝑟𝐾𝑤𝑉 (𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟) → (𝑐 · (𝑏 × 𝑎)) = ((𝑐 · 𝑏) · 𝑎)))
2711, 26syl5com 31 . . . . . . . . 9 (∀𝑥𝑉𝑞𝐾𝑟𝐾𝑤𝑉 (𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟) → ((𝑎𝐾𝑏𝐾𝑐𝑉) → (𝑐 · (𝑏 × 𝑎)) = ((𝑐 · 𝑏) · 𝑎)))
285, 27sylbi 209 . . . . . . . 8 (∀𝑞𝐾𝑟𝐾𝑥𝑉𝑤𝑉 (𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟) → ((𝑎𝐾𝑏𝐾𝑐𝑉) → (𝑐 · (𝑏 × 𝑎)) = ((𝑐 · 𝑏) · 𝑎)))
29 eqcom 2778 . . . . . . . 8 (((𝑐 · 𝑏) · 𝑎) = (𝑐 · (𝑏 × 𝑎)) ↔ (𝑐 · (𝑏 × 𝑎)) = ((𝑐 · 𝑏) · 𝑎))
3028, 29syl6ibr 244 . . . . . . 7 (∀𝑞𝐾𝑟𝐾𝑥𝑉𝑤𝑉 (𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟) → ((𝑎𝐾𝑏𝐾𝑐𝑉) → ((𝑐 · 𝑏) · 𝑎) = (𝑐 · (𝑏 × 𝑎))))
314, 30syl 17 . . . . . 6 (∀𝑞𝐾𝑟𝐾𝑥𝑉𝑤𝑉 (((𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 ∧ ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)) ∧ (𝑤 · (𝑞 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟))) ∧ ((𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟) ∧ (𝑤 · 1 ) = 𝑤)) → ((𝑎𝐾𝑏𝐾𝑐𝑉) → ((𝑐 · 𝑏) · 𝑎) = (𝑐 · (𝑏 × 𝑎))))
32313ad2ant3 1116 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ ∀𝑞𝐾𝑟𝐾𝑥𝑉𝑤𝑉 (((𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 ∧ ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)) ∧ (𝑤 · (𝑞 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟))) ∧ ((𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟) ∧ (𝑤 · 1 ) = 𝑤))) → ((𝑎𝐾𝑏𝐾𝑐𝑉) → ((𝑐 · 𝑏) · 𝑎) = (𝑐 · (𝑏 × 𝑎))))
331, 32ax-mp 5 . . . 4 ((𝑎𝐾𝑏𝐾𝑐𝑉) → ((𝑐 · 𝑏) · 𝑎) = (𝑐 · (𝑏 × 𝑎)))
3433adantl 474 . . 3 ((𝐹 ∈ CRing ∧ (𝑎𝐾𝑏𝐾𝑐𝑉)) → ((𝑐 · 𝑏) · 𝑎) = (𝑐 · (𝑏 × 𝑎)))
35 rmodislmod.k . . . . . . . . . 10 𝐾 = (Base‘𝐹)
36 rmodislmod.t . . . . . . . . . 10 × = (.r𝐹)
3735, 36crngcom 19047 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ CRing ∧ 𝑏𝐾𝑎𝐾) → (𝑏 × 𝑎) = (𝑎 × 𝑏))
38373expb 1101 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ CRing ∧ (𝑏𝐾𝑎𝐾)) → (𝑏 × 𝑎) = (𝑎 × 𝑏))
3938expcom 406 . . . . . . 7 ((𝑏𝐾𝑎𝐾) → (𝐹 ∈ CRing → (𝑏 × 𝑎) = (𝑎 × 𝑏)))
4039ancoms 451 . . . . . 6 ((𝑎𝐾𝑏𝐾) → (𝐹 ∈ CRing → (𝑏 × 𝑎) = (𝑎 × 𝑏)))
41403adant3 1113 . . . . 5 ((𝑎𝐾𝑏𝐾𝑐𝑉) → (𝐹 ∈ CRing → (𝑏 × 𝑎) = (𝑎 × 𝑏)))
4241impcom 399 . . . 4 ((𝐹 ∈ CRing ∧ (𝑎𝐾𝑏𝐾𝑐𝑉)) → (𝑏 × 𝑎) = (𝑎 × 𝑏))
4342oveq2d 6990 . . 3 ((𝐹 ∈ CRing ∧ (𝑎𝐾𝑏𝐾𝑐𝑉)) → (𝑐 · (𝑏 × 𝑎)) = (𝑐 · (𝑎 × 𝑏)))
4434, 43eqtrd 2807 . 2 ((𝐹 ∈ CRing ∧ (𝑎𝐾𝑏𝐾𝑐𝑉)) → ((𝑐 · 𝑏) · 𝑎) = (𝑐 · (𝑎 × 𝑏)))
45 rmodislmod.m . . . . . . 7 = (𝑠𝐾, 𝑣𝑉 ↦ (𝑣 · 𝑠))
4645a1i 11 . . . . . 6 ((𝑎𝐾𝑏𝐾𝑐𝑉) → = (𝑠𝐾, 𝑣𝑉 ↦ (𝑣 · 𝑠)))
47 oveq12 6983 . . . . . . . 8 ((𝑣 = 𝑐𝑠 = 𝑏) → (𝑣 · 𝑠) = (𝑐 · 𝑏))
4847ancoms 451 . . . . . . 7 ((𝑠 = 𝑏𝑣 = 𝑐) → (𝑣 · 𝑠) = (𝑐 · 𝑏))
4948adantl 474 . . . . . 6 (((𝑎𝐾𝑏𝐾𝑐𝑉) ∧ (𝑠 = 𝑏𝑣 = 𝑐)) → (𝑣 · 𝑠) = (𝑐 · 𝑏))
50 simp2 1118 . . . . . 6 ((𝑎𝐾𝑏𝐾𝑐𝑉) → 𝑏𝐾)
51 simp3 1119 . . . . . 6 ((𝑎𝐾𝑏𝐾𝑐𝑉) → 𝑐𝑉)
52 ovexd 7008 . . . . . 6 ((𝑎𝐾𝑏𝐾𝑐𝑉) → (𝑐 · 𝑏) ∈ V)
5346, 49, 50, 51, 52ovmpod 7116 . . . . 5 ((𝑎𝐾𝑏𝐾𝑐𝑉) → (𝑏 𝑐) = (𝑐 · 𝑏))
5453oveq2d 6990 . . . 4 ((𝑎𝐾𝑏𝐾𝑐𝑉) → (𝑎 (𝑏 𝑐)) = (𝑎 (𝑐 · 𝑏)))
55 oveq12 6983 . . . . . . 7 ((𝑣 = (𝑐 · 𝑏) ∧ 𝑠 = 𝑎) → (𝑣 · 𝑠) = ((𝑐 · 𝑏) · 𝑎))
5655ancoms 451 . . . . . 6 ((𝑠 = 𝑎𝑣 = (𝑐 · 𝑏)) → (𝑣 · 𝑠) = ((𝑐 · 𝑏) · 𝑎))
5756adantl 474 . . . . 5 (((𝑎𝐾𝑏𝐾𝑐𝑉) ∧ (𝑠 = 𝑎𝑣 = (𝑐 · 𝑏))) → (𝑣 · 𝑠) = ((𝑐 · 𝑏) · 𝑎))
58 simp1 1117 . . . . 5 ((𝑎𝐾𝑏𝐾𝑐𝑉) → 𝑎𝐾)
59 simpl1 1172 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 ∧ ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)) ∧ (𝑤 · (𝑞 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟))) ∧ ((𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟) ∧ (𝑤 · 1 ) = 𝑤)) → (𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉)
60592ralimi 3104 . . . . . . . . . 10 (∀𝑥𝑉𝑤𝑉 (((𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 ∧ ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)) ∧ (𝑤 · (𝑞 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟))) ∧ ((𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟) ∧ (𝑤 · 1 ) = 𝑤)) → ∀𝑥𝑉𝑤𝑉 (𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉)
61602ralimi 3104 . . . . . . . . 9 (∀𝑞𝐾𝑟𝐾𝑥𝑉𝑤𝑉 (((𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 ∧ ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)) ∧ (𝑤 · (𝑞 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟))) ∧ ((𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟) ∧ (𝑤 · 1 ) = 𝑤)) → ∀𝑞𝐾𝑟𝐾𝑥𝑉𝑤𝑉 (𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉)
62 ringgrp 19037 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹 ∈ Ring → 𝐹 ∈ Grp)
6335grpbn0 17932 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹 ∈ Grp → 𝐾 ≠ ∅)
6462, 63syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹 ∈ Ring → 𝐾 ≠ ∅)
65643ad2ant2 1115 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ ∀𝑞𝐾𝑟𝐾𝑥𝑉𝑤𝑉 (((𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 ∧ ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)) ∧ (𝑤 · (𝑞 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟))) ∧ ((𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟) ∧ (𝑤 · 1 ) = 𝑤))) → 𝐾 ≠ ∅)
661, 65ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 𝐾 ≠ ∅
67 rspn0 4193 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ≠ ∅ → (∀𝑞𝐾𝑟𝐾𝑥𝑉𝑤𝑉 (𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 → ∀𝑟𝐾𝑥𝑉𝑤𝑉 (𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉))
6866, 67ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (∀𝑞𝐾𝑟𝐾𝑥𝑉𝑤𝑉 (𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 → ∀𝑟𝐾𝑥𝑉𝑤𝑉 (𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉)
69 ralcom 3288 . . . . . . . . . 10 (∀𝑟𝐾𝑥𝑉𝑤𝑉 (𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 ↔ ∀𝑥𝑉𝑟𝐾𝑤𝑉 (𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉)
70 rspn0 4193 . . . . . . . . . . . 12 (𝑉 ≠ ∅ → (∀𝑥𝑉𝑟𝐾𝑤𝑉 (𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 → ∀𝑟𝐾𝑤𝑉 (𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉))
719, 70ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑥𝑉𝑟𝐾𝑤𝑉 (𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 → ∀𝑟𝐾𝑤𝑉 (𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉)
72 oveq2 6982 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑟 = 𝑏 → (𝑤 · 𝑟) = (𝑤 · 𝑏))
7372eleq1d 2843 . . . . . . . . . . . 12 (𝑟 = 𝑏 → ((𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 ↔ (𝑤 · 𝑏) ∈ 𝑉))
7422eleq1d 2843 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 = 𝑐 → ((𝑤 · 𝑏) ∈ 𝑉 ↔ (𝑐 · 𝑏) ∈ 𝑉))
7573, 74rspc2v 3541 . . . . . . . . . . 11 ((𝑏𝐾𝑐𝑉) → (∀𝑟𝐾𝑤𝑉 (𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 → (𝑐 · 𝑏) ∈ 𝑉))
7671, 75syl5com 31 . . . . . . . . . 10 (∀𝑥𝑉𝑟𝐾𝑤𝑉 (𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 → ((𝑏𝐾𝑐𝑉) → (𝑐 · 𝑏) ∈ 𝑉))
7769, 76sylbi 209 . . . . . . . . 9 (∀𝑟𝐾𝑥𝑉𝑤𝑉 (𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 → ((𝑏𝐾𝑐𝑉) → (𝑐 · 𝑏) ∈ 𝑉))
7861, 68, 773syl 18 . . . . . . . 8 (∀𝑞𝐾𝑟𝐾𝑥𝑉𝑤𝑉 (((𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 ∧ ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)) ∧ (𝑤 · (𝑞 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟))) ∧ ((𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟) ∧ (𝑤 · 1 ) = 𝑤)) → ((𝑏𝐾𝑐𝑉) → (𝑐 · 𝑏) ∈ 𝑉))
79783ad2ant3 1116 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ ∀𝑞𝐾𝑟𝐾𝑥𝑉𝑤𝑉 (((𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 ∧ ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)) ∧ (𝑤 · (𝑞 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟))) ∧ ((𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟) ∧ (𝑤 · 1 ) = 𝑤))) → ((𝑏𝐾𝑐𝑉) → (𝑐 · 𝑏) ∈ 𝑉))
801, 79ax-mp 5 . . . . . 6 ((𝑏𝐾𝑐𝑉) → (𝑐 · 𝑏) ∈ 𝑉)
81803adant1 1111 . . . . 5 ((𝑎𝐾𝑏𝐾𝑐𝑉) → (𝑐 · 𝑏) ∈ 𝑉)
82 ovexd 7008 . . . . 5 ((𝑎𝐾𝑏𝐾𝑐𝑉) → ((𝑐 · 𝑏) · 𝑎) ∈ V)
8346, 57, 58, 81, 82ovmpod 7116 . . . 4 ((𝑎𝐾𝑏𝐾𝑐𝑉) → (𝑎 (𝑐 · 𝑏)) = ((𝑐 · 𝑏) · 𝑎))
8454, 83eqtrd 2807 . . 3 ((𝑎𝐾𝑏𝐾𝑐𝑉) → (𝑎 (𝑏 𝑐)) = ((𝑐 · 𝑏) · 𝑎))
8584adantl 474 . 2 ((𝐹 ∈ CRing ∧ (𝑎𝐾𝑏𝐾𝑐𝑉)) → (𝑎 (𝑏 𝑐)) = ((𝑐 · 𝑏) · 𝑎))
86 oveq12 6983 . . . . . 6 ((𝑣 = 𝑐𝑠 = (𝑎 × 𝑏)) → (𝑣 · 𝑠) = (𝑐 · (𝑎 × 𝑏)))
8786ancoms 451 . . . . 5 ((𝑠 = (𝑎 × 𝑏) ∧ 𝑣 = 𝑐) → (𝑣 · 𝑠) = (𝑐 · (𝑎 × 𝑏)))
8887adantl 474 . . . 4 (((𝑎𝐾𝑏𝐾𝑐𝑉) ∧ (𝑠 = (𝑎 × 𝑏) ∧ 𝑣 = 𝑐)) → (𝑣 · 𝑠) = (𝑐 · (𝑎 × 𝑏)))
8935, 36ringcl 19046 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ Ring ∧ 𝑎𝐾𝑏𝐾) → (𝑎 × 𝑏) ∈ 𝐾)
90893expib 1103 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ Ring → ((𝑎𝐾𝑏𝐾) → (𝑎 × 𝑏) ∈ 𝐾))
91903ad2ant2 1115 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ ∀𝑞𝐾𝑟𝐾𝑥𝑉𝑤𝑉 (((𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 ∧ ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)) ∧ (𝑤 · (𝑞 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟))) ∧ ((𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟) ∧ (𝑤 · 1 ) = 𝑤))) → ((𝑎𝐾𝑏𝐾) → (𝑎 × 𝑏) ∈ 𝐾))
921, 91ax-mp 5 . . . . 5 ((𝑎𝐾𝑏𝐾) → (𝑎 × 𝑏) ∈ 𝐾)
93923adant3 1113 . . . 4 ((𝑎𝐾𝑏𝐾𝑐𝑉) → (𝑎 × 𝑏) ∈ 𝐾)
94 ovexd 7008 . . . 4 ((𝑎𝐾𝑏𝐾𝑐𝑉) → (𝑐 · (𝑎 × 𝑏)) ∈ V)
9546, 88, 93, 51, 94ovmpod 7116 . . 3 ((𝑎𝐾𝑏𝐾𝑐𝑉) → ((𝑎 × 𝑏) 𝑐) = (𝑐 · (𝑎 × 𝑏)))
9695adantl 474 . 2 ((𝐹 ∈ CRing ∧ (𝑎𝐾𝑏𝐾𝑐𝑉)) → ((𝑎 × 𝑏) 𝑐) = (𝑐 · (𝑎 × 𝑏)))
9744, 85, 963eqtr4rd 2818 1 ((𝐹 ∈ CRing ∧ (𝑎𝐾𝑏𝐾𝑐𝑉)) → ((𝑎 × 𝑏) 𝑐) = (𝑎 (𝑏 𝑐)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 387  w3a 1069   = wceq 1508  wcel 2051  wne 2960  wral 3081  Vcvv 3408  c0 4172  cop 4441  cfv 6185  (class class class)co 6974  cmpo 6976  ndxcnx 16334   sSet csts 16335  Basecbs 16337  +gcplusg 16419  .rcmulr 16420  Scalarcsca 16422   ·𝑠 cvsca 16423  Grpcgrp 17903  1rcur 18986  Ringcrg 19032  CRingccrg 19033
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1759  ax-4 1773  ax-5 1870  ax-6 1929  ax-7 1966  ax-8 2053  ax-9 2060  ax-10 2080  ax-11 2094  ax-12 2107  ax-13 2302  ax-ext 2743  ax-sep 5056  ax-nul 5063  ax-pow 5115  ax-pr 5182  ax-un 7277  ax-cnex 10389  ax-resscn 10390  ax-1cn 10391  ax-icn 10392  ax-addcl 10393  ax-addrcl 10394  ax-mulcl 10395  ax-mulrcl 10396  ax-mulcom 10397  ax-addass 10398  ax-mulass 10399  ax-distr 10400  ax-i2m1 10401  ax-1ne0 10402  ax-1rid 10403  ax-rnegex 10404  ax-rrecex 10405  ax-cnre 10406  ax-pre-lttri 10407  ax-pre-lttrn 10408  ax-pre-ltadd 10409  ax-pre-mulgt0 10410
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 835  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1511  df-ex 1744  df-nf 1748  df-sb 2017  df-mo 2548  df-eu 2585  df-clab 2752  df-cleq 2764  df-clel 2839  df-nfc 2911  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3086  df-rex 3087  df-reu 3088  df-rmo 3089  df-rab 3090  df-v 3410  df-sbc 3675  df-csb 3780  df-dif 3825  df-un 3827  df-in 3829  df-ss 3836  df-pss 3838  df-nul 4173  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4709  df-iun 4790  df-br 4926  df-opab 4988  df-mpt 5005  df-tr 5027  df-id 5308  df-eprel 5313  df-po 5322  df-so 5323  df-fr 5362  df-we 5364  df-xp 5409  df-rel 5410  df-cnv 5411  df-co 5412  df-dm 5413  df-rn 5414  df-res 5415  df-ima 5416  df-pred 5983  df-ord 6029  df-on 6030  df-lim 6031  df-suc 6032  df-iota 6149  df-fun 6187  df-fn 6188  df-f 6189  df-f1 6190  df-fo 6191  df-f1o 6192  df-fv 6193  df-riota 6935  df-ov 6977  df-oprab 6978  df-mpo 6979  df-om 7395  df-wrecs 7748  df-recs 7810  df-rdg 7848  df-er 8087  df-en 8305  df-dom 8306  df-sdom 8307  df-pnf 10474  df-mnf 10475  df-xr 10476  df-ltxr 10477  df-le 10478  df-sub 10670  df-neg 10671  df-nn 11438  df-2 11501  df-ndx 16340  df-slot 16341  df-base 16343  df-sets 16344  df-plusg 16432  df-0g 16569  df-mgm 17722  df-sgrp 17764  df-mnd 17775  df-grp 17906  df-cmn 18680  df-mgp 18975  df-ring 19034  df-cring 19035
This theorem is referenced by:  rmodislmod  19436
  Copyright terms: Public domain W3C validator