Theorem rmodislmodlem 21119

Description: Lemma for rmodislmod 21120. This is the part of the proof of rmodislmod 21120 which requires the scalar ring to be commutative. (Contributed by AV, 3-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
rmodislmod.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑅)
rmodislmod.a	⊢ + = (+g‘𝑅)
rmodislmod.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑅)
rmodislmod.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑅)
rmodislmod.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
rmodislmod.p	⊢ ⨣ = (+g‘𝐹)
rmodislmod.t	⊢ × = (.r‘𝐹)
rmodislmod.u	⊢ 1 = (1r‘𝐹)
rmodislmod.r	⊢ (𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ ∀𝑞 ∈ 𝐾 ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (((𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 ∧ ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)) ∧ (𝑤 · (𝑞 ⨣ 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟))) ∧ ((𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟) ∧ (𝑤 · 1 ) = 𝑤)))
rmodislmod.m	⊢ ∗ = (𝑠 ∈ 𝐾, 𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (𝑣 · 𝑠))
rmodislmod.l	⊢ 𝐿 = (𝑅 sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), ∗ ⟩)

Assertion

Ref	Expression
rmodislmodlem	⊢ ((𝐹 ∈ CRing ∧ (𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)) → ((𝑎 × 𝑏) ∗ 𝑐) = (𝑎 ∗ (𝑏 ∗ 𝑐)))

Distinct variable groups:   × ,𝑞,𝑟,𝑤,𝑥   × ,𝑠,𝑣   · ,𝑞,𝑟,𝑤,𝑥   · ,𝑠,𝑣   𝐾,𝑞,𝑟,𝑥   𝐾,𝑠,𝑣   𝑉,𝑞,𝑟,𝑤,𝑥   𝑉,𝑠,𝑣   𝑟,𝑎,𝑤   𝑠,𝑎,𝑣   𝑞,𝑏,𝑟,𝑤   𝑠,𝑏,𝑣   𝑠,𝑐,𝑣   𝑤,𝑐

Allowed substitution hints:   + (𝑥, 𝑤, 𝑣, 𝑠, 𝑟, 𝑞, 𝑎, 𝑏, 𝑐)   ⨣ (𝑥, 𝑤, 𝑣, 𝑠, 𝑟, 𝑞, 𝑎, 𝑏, 𝑐)   𝑅(𝑥, 𝑤, 𝑣, 𝑠, 𝑟, 𝑞, 𝑎, 𝑏, 𝑐)   · (𝑎, 𝑏, 𝑐)   × (𝑎, 𝑏, 𝑐)   1 (𝑥, 𝑤, 𝑣, 𝑠, 𝑟, 𝑞, 𝑎, 𝑏, 𝑐)   𝐹(𝑥, 𝑤, 𝑣, 𝑠, 𝑟, 𝑞, 𝑎, 𝑏, 𝑐)   ∗ (𝑥, 𝑤, 𝑣, 𝑠, 𝑟, 𝑞, 𝑎, 𝑏, 𝑐)   𝐾(𝑤, 𝑎, 𝑏, 𝑐)   𝐿(𝑥, 𝑤, 𝑣, 𝑠, 𝑟, 𝑞, 𝑎, 𝑏, 𝑐)   𝑉(𝑎, 𝑏, 𝑐)

Proof of Theorem rmodislmodlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rmodislmod.r	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ ∀𝑞 ∈ 𝐾 ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (((𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 ∧ ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)) ∧ (𝑤 · (𝑞 ⨣ 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟))) ∧ ((𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟) ∧ (𝑤 · 1 ) = 𝑤)))
2		simprl 783	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 ∧ ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)) ∧ (𝑤 · (𝑞 ⨣ 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟))) ∧ ((𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟) ∧ (𝑤 · 1 ) = 𝑤)) → (𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟))
3	2	2ralimi 3134	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (((𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 ∧ ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)) ∧ (𝑤 · (𝑞 ⨣ 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟))) ∧ ((𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟) ∧ (𝑤 · 1 ) = 𝑤)) → ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟))
4	3	2ralimi 3134	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑞 ∈ 𝐾 ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (((𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 ∧ ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)) ∧ (𝑤 · (𝑞 ⨣ 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟))) ∧ ((𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟) ∧ (𝑤 · 1 ) = 𝑤)) → ∀𝑞 ∈ 𝐾 ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟))
5		ralrot3 3295	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑞 ∈ 𝐾 ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑞 ∈ 𝐾 ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟))
6		rmodislmod.v	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑅)
7	6	grpbn0 19096	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ Grp → 𝑉 ≠ ∅)
8	7	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ ∀𝑞 ∈ 𝐾 ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (((𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 ∧ ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)) ∧ (𝑤 · (𝑞 ⨣ 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟))) ∧ ((𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟) ∧ (𝑤 · 1 ) = 𝑤))) → 𝑉 ≠ ∅)
9	1, 8	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑉 ≠ ∅
10		rspn0 4307	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑉 ≠ ∅ → (∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑞 ∈ 𝐾 ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟) → ∀𝑞 ∈ 𝐾 ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟)))
11	9, 10	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑞 ∈ 𝐾 ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟) → ∀𝑞 ∈ 𝐾 ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟))
12		oveq1 7424	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑞 = 𝑏 → (𝑞 × 𝑟) = (𝑏 × 𝑟))
13	12	oveq2d 7433	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑞 = 𝑏 → (𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = (𝑤 · (𝑏 × 𝑟)))
14		oveq2 7425	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑞 = 𝑏 → (𝑤 · 𝑞) = (𝑤 · 𝑏))
15	14	oveq1d 7432	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑞 = 𝑏 → ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑏) · 𝑟))
16	13, 15	eqeq12d 2778	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑞 = 𝑏 → ((𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟) ↔ (𝑤 · (𝑏 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑏) · 𝑟)))
17		oveq2 7425	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑟 = 𝑎 → (𝑏 × 𝑟) = (𝑏 × 𝑎))
18	17	oveq2d 7433	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑟 = 𝑎 → (𝑤 · (𝑏 × 𝑟)) = (𝑤 · (𝑏 × 𝑎)))
19		oveq2 7425	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑟 = 𝑎 → ((𝑤 · 𝑏) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑏) · 𝑎))
20	18, 19	eqeq12d 2778	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑟 = 𝑎 → ((𝑤 · (𝑏 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑏) · 𝑟) ↔ (𝑤 · (𝑏 × 𝑎)) = ((𝑤 · 𝑏) · 𝑎)))
21		oveq1 7424	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑤 = 𝑐 → (𝑤 · (𝑏 × 𝑎)) = (𝑐 · (𝑏 × 𝑎)))
22		oveq1 7424	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑤 = 𝑐 → (𝑤 · 𝑏) = (𝑐 · 𝑏))
23	22	oveq1d 7432	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑤 = 𝑐 → ((𝑤 · 𝑏) · 𝑎) = ((𝑐 · 𝑏) · 𝑎))
24	21, 23	eqeq12d 2778	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 = 𝑐 → ((𝑤 · (𝑏 × 𝑎)) = ((𝑤 · 𝑏) · 𝑎) ↔ (𝑐 · (𝑏 × 𝑎)) = ((𝑐 · 𝑏) · 𝑎)))
25	16, 20, 24	rspc3v 3595	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) → (∀𝑞 ∈ 𝐾 ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟) → (𝑐 · (𝑏 × 𝑎)) = ((𝑐 · 𝑏) · 𝑎)))
26	25	3com12 1141	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) → (∀𝑞 ∈ 𝐾 ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟) → (𝑐 · (𝑏 × 𝑎)) = ((𝑐 · 𝑏) · 𝑎)))
27	11, 26	syl5com 32	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑞 ∈ 𝐾 ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟) → ((𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) → (𝑐 · (𝑏 × 𝑎)) = ((𝑐 · 𝑏) · 𝑎)))
28	5, 27	sylbi 220	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑞 ∈ 𝐾 ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟) → ((𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) → (𝑐 · (𝑏 × 𝑎)) = ((𝑐 · 𝑏) · 𝑎)))
29		eqcom 2769	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑐 · 𝑏) · 𝑎) = (𝑐 · (𝑏 × 𝑎)) ↔ (𝑐 · (𝑏 × 𝑎)) = ((𝑐 · 𝑏) · 𝑎))
30	28, 29	imbitrrdi 255	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑞 ∈ 𝐾 ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟) → ((𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) → ((𝑐 · 𝑏) · 𝑎) = (𝑐 · (𝑏 × 𝑎))))
31	4, 30	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑞 ∈ 𝐾 ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (((𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 ∧ ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)) ∧ (𝑤 · (𝑞 ⨣ 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟))) ∧ ((𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟) ∧ (𝑤 · 1 ) = 𝑤)) → ((𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) → ((𝑐 · 𝑏) · 𝑎) = (𝑐 · (𝑏 × 𝑎))))
32	31	3ad2ant3 1153	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ ∀𝑞 ∈ 𝐾 ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (((𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 ∧ ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)) ∧ (𝑤 · (𝑞 ⨣ 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟))) ∧ ((𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟) ∧ (𝑤 · 1 ) = 𝑤))) → ((𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) → ((𝑐 · 𝑏) · 𝑎) = (𝑐 · (𝑏 × 𝑎))))
33	1, 32	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) → ((𝑐 · 𝑏) · 𝑎) = (𝑐 · (𝑏 × 𝑎)))
34	33	adantl 487	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ CRing ∧ (𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)) → ((𝑐 · 𝑏) · 𝑎) = (𝑐 · (𝑏 × 𝑎)))
35		rmodislmod.k	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
36		rmodislmod.t	. . . . . . . . . 10 ⊢ × = (.r‘𝐹)
37	35, 36	crngcom 20396	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ CRing ∧ 𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑎 ∈ 𝐾) → (𝑏 × 𝑎) = (𝑎 × 𝑏))
38	37	3expb 1138	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ CRing ∧ (𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑎 ∈ 𝐾)) → (𝑏 × 𝑎) = (𝑎 × 𝑏))
39	38	expcom 419	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑎 ∈ 𝐾) → (𝐹 ∈ CRing → (𝑏 × 𝑎) = (𝑎 × 𝑏)))
40	39	ancoms 464	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝐾) → (𝐹 ∈ CRing → (𝑏 × 𝑎) = (𝑎 × 𝑏)))
41	40	3adant3 1150	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) → (𝐹 ∈ CRing → (𝑏 × 𝑎) = (𝑎 × 𝑏)))
42	41	impcom 413	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ CRing ∧ (𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)) → (𝑏 × 𝑎) = (𝑎 × 𝑏))
43	42	oveq2d 7433	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ CRing ∧ (𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)) → (𝑐 · (𝑏 × 𝑎)) = (𝑐 · (𝑎 × 𝑏)))
44	34, 43	eqtrd 2797	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ CRing ∧ (𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)) → ((𝑐 · 𝑏) · 𝑎) = (𝑐 · (𝑎 × 𝑏)))
45		rmodislmod.m	. . . . . . 7 ⊢ ∗ = (𝑠 ∈ 𝐾, 𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (𝑣 · 𝑠))
46	45	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) → ∗ = (𝑠 ∈ 𝐾, 𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (𝑣 · 𝑠)))
47		oveq12 7426	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑣 = 𝑐 ∧ 𝑠 = 𝑏) → (𝑣 · 𝑠) = (𝑐 · 𝑏))
48	47	ancoms 464	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑠 = 𝑏 ∧ 𝑣 = 𝑐) → (𝑣 · 𝑠) = (𝑐 · 𝑏))
49	48	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ (((𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑠 = 𝑏 ∧ 𝑣 = 𝑐)) → (𝑣 · 𝑠) = (𝑐 · 𝑏))
50		simp2 1155	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) → 𝑏 ∈ 𝐾)
51		simp3 1156	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) → 𝑐 ∈ 𝑉)
52		ovexd 7452	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) → (𝑐 · 𝑏) ∈ V)
53	46, 49, 50, 51, 52	ovmpod 7569	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) → (𝑏 ∗ 𝑐) = (𝑐 · 𝑏))
54	53	oveq2d 7433	. . . 4 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) → (𝑎 ∗ (𝑏 ∗ 𝑐)) = (𝑎 ∗ (𝑐 · 𝑏)))
55		oveq12 7426	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑣 = (𝑐 · 𝑏) ∧ 𝑠 = 𝑎) → (𝑣 · 𝑠) = ((𝑐 · 𝑏) · 𝑎))
56	55	ancoms 464	. . . . . 6 ⊢ ((𝑠 = 𝑎 ∧ 𝑣 = (𝑐 · 𝑏)) → (𝑣 · 𝑠) = ((𝑐 · 𝑏) · 𝑎))
57	56	adantl 487	. . . . 5 ⊢ (((𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑠 = 𝑎 ∧ 𝑣 = (𝑐 · 𝑏))) → (𝑣 · 𝑠) = ((𝑐 · 𝑏) · 𝑎))
58		simp1 1154	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) → 𝑎 ∈ 𝐾)
59		simpl1 1210	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 ∧ ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)) ∧ (𝑤 · (𝑞 ⨣ 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟))) ∧ ((𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟) ∧ (𝑤 · 1 ) = 𝑤)) → (𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉)
60	59	2ralimi 3134	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (((𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 ∧ ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)) ∧ (𝑤 · (𝑞 ⨣ 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟))) ∧ ((𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟) ∧ (𝑤 · 1 ) = 𝑤)) → ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉)
61	60	2ralimi 3134	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑞 ∈ 𝐾 ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (((𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 ∧ ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)) ∧ (𝑤 · (𝑞 ⨣ 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟))) ∧ ((𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟) ∧ (𝑤 · 1 ) = 𝑤)) → ∀𝑞 ∈ 𝐾 ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉)
62		ringgrp 20383	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐹 ∈ Ring → 𝐹 ∈ Grp)
63	35	grpbn0 19096	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐹 ∈ Grp → 𝐾 ≠ ∅)
64	62, 63	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹 ∈ Ring → 𝐾 ≠ ∅)
65	64	3ad2ant2 1152	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ ∀𝑞 ∈ 𝐾 ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (((𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 ∧ ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)) ∧ (𝑤 · (𝑞 ⨣ 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟))) ∧ ((𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟) ∧ (𝑤 · 1 ) = 𝑤))) → 𝐾 ≠ ∅)
66	1, 65	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐾 ≠ ∅
67		rspn0 4307	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ≠ ∅ → (∀𝑞 ∈ 𝐾 ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 → ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉))
68	66, 67	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑞 ∈ 𝐾 ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 → ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉)
69		ralcom 3292	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉)
70		rspn0 4307	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑉 ≠ ∅ → (∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 → ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉))
71	9, 70	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 → ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉)
72		oveq2 7425	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑟 = 𝑏 → (𝑤 · 𝑟) = (𝑤 · 𝑏))
73	72	eleq1d 2847	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑟 = 𝑏 → ((𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 ↔ (𝑤 · 𝑏) ∈ 𝑉))
74	22	eleq1d 2847	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 = 𝑐 → ((𝑤 · 𝑏) ∈ 𝑉 ↔ (𝑐 · 𝑏) ∈ 𝑉))
75	73, 74	rspc2v 3590	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) → (∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 → (𝑐 · 𝑏) ∈ 𝑉))
76	71, 75	syl5com 32	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 → ((𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) → (𝑐 · 𝑏) ∈ 𝑉))
77	69, 76	sylbi 220	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 → ((𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) → (𝑐 · 𝑏) ∈ 𝑉))
78	61, 68, 77	3syl 19	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑞 ∈ 𝐾 ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (((𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 ∧ ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)) ∧ (𝑤 · (𝑞 ⨣ 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟))) ∧ ((𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟) ∧ (𝑤 · 1 ) = 𝑤)) → ((𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) → (𝑐 · 𝑏) ∈ 𝑉))
79	78	3ad2ant3 1153	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ ∀𝑞 ∈ 𝐾 ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (((𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 ∧ ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)) ∧ (𝑤 · (𝑞 ⨣ 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟))) ∧ ((𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟) ∧ (𝑤 · 1 ) = 𝑤))) → ((𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) → (𝑐 · 𝑏) ∈ 𝑉))
80	1, 79	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ((𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) → (𝑐 · 𝑏) ∈ 𝑉)
81	80	3adant1 1148	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) → (𝑐 · 𝑏) ∈ 𝑉)
82		ovexd 7452	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) → ((𝑐 · 𝑏) · 𝑎) ∈ V)
83	46, 57, 58, 81, 82	ovmpod 7569	. . . 4 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) → (𝑎 ∗ (𝑐 · 𝑏)) = ((𝑐 · 𝑏) · 𝑎))
84	54, 83	eqtrd 2797	. . 3 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) → (𝑎 ∗ (𝑏 ∗ 𝑐)) = ((𝑐 · 𝑏) · 𝑎))
85	84	adantl 487	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ CRing ∧ (𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)) → (𝑎 ∗ (𝑏 ∗ 𝑐)) = ((𝑐 · 𝑏) · 𝑎))
86		oveq12 7426	. . . . . 6 ⊢ ((𝑣 = 𝑐 ∧ 𝑠 = (𝑎 × 𝑏)) → (𝑣 · 𝑠) = (𝑐 · (𝑎 × 𝑏)))
87	86	ancoms 464	. . . . 5 ⊢ ((𝑠 = (𝑎 × 𝑏) ∧ 𝑣 = 𝑐) → (𝑣 · 𝑠) = (𝑐 · (𝑎 × 𝑏)))
88	87	adantl 487	. . . 4 ⊢ (((𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑠 = (𝑎 × 𝑏) ∧ 𝑣 = 𝑐)) → (𝑣 · 𝑠) = (𝑐 · (𝑎 × 𝑏)))
89	35, 36	ringcl 20395	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ Ring ∧ 𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝐾) → (𝑎 × 𝑏) ∈ 𝐾)
90	89	3expib 1140	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ Ring → ((𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝐾) → (𝑎 × 𝑏) ∈ 𝐾))
91	90	3ad2ant2 1152	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ ∀𝑞 ∈ 𝐾 ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (((𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 ∧ ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)) ∧ (𝑤 · (𝑞 ⨣ 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟))) ∧ ((𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟) ∧ (𝑤 · 1 ) = 𝑤))) → ((𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝐾) → (𝑎 × 𝑏) ∈ 𝐾))
92	1, 91	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝐾) → (𝑎 × 𝑏) ∈ 𝐾)
93	92	3adant3 1150	. . . 4 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) → (𝑎 × 𝑏) ∈ 𝐾)
94		ovexd 7452	. . . 4 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) → (𝑐 · (𝑎 × 𝑏)) ∈ V)
95	46, 88, 93, 51, 94	ovmpod 7569	. . 3 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) → ((𝑎 × 𝑏) ∗ 𝑐) = (𝑐 · (𝑎 × 𝑏)))
96	95	adantl 487	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ CRing ∧ (𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)) → ((𝑎 × 𝑏) ∗ 𝑐) = (𝑐 · (𝑎 × 𝑏)))
97	44, 85, 96	3eqtr4rd 2808	1 ⊢ ((𝐹 ∈ CRing ∧ (𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)) → ((𝑎 × 𝑏) ∗ 𝑐) = (𝑎 ∗ (𝑏 ∗ 𝑐)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957  ∀wral 3078  Vcvv 3453  ∅c0 4282  ⟨cop 4593  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417   ∈ cmpo 7419   sSet csts 17261  ndxcnx 17291  Basecbs 17307  +_gcplusg 17348  ._rcmulr 17349  Scalarcsca 17351   ·_𝑠 cvsca 17352  Grpcgrp 19063  1_rcur 20326  Ringcrg 20378  CRingccrg 20379

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12262  df-2 12331  df-sets 17262  df-slot 17280  df-ndx 17292  df-base 17308  df-plusg 17361  df-0g 17532  df-mgm 18736  df-sgrp 18827  df-mnd 18843  df-grp 19066  df-cmn 19915  df-mgp 20280  df-ring 20380  df-cring 20381

This theorem is used by:  rmodislmod  21120