Theorem rmodislmodlem 20915

Description: Lemma for rmodislmod 20916. This is the part of the proof of rmodislmod 20916 which requires the scalar ring to be commutative. (Contributed by AV, 3-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
rmodislmod.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑅)
rmodislmod.a	⊢ + = (+g‘𝑅)
rmodislmod.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑅)
rmodislmod.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑅)
rmodislmod.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
rmodislmod.p	⊢ ⨣ = (+g‘𝐹)
rmodislmod.t	⊢ × = (.r‘𝐹)
rmodislmod.u	⊢ 1 = (1r‘𝐹)
rmodislmod.r	⊢ (𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ ∀𝑞 ∈ 𝐾 ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (((𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 ∧ ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)) ∧ (𝑤 · (𝑞 ⨣ 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟))) ∧ ((𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟) ∧ (𝑤 · 1 ) = 𝑤)))
rmodislmod.m	⊢ ∗ = (𝑠 ∈ 𝐾, 𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (𝑣 · 𝑠))
rmodislmod.l	⊢ 𝐿 = (𝑅 sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), ∗ ⟩)

Assertion

Ref	Expression
rmodislmodlem	⊢ ((𝐹 ∈ CRing ∧ (𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)) → ((𝑎 × 𝑏) ∗ 𝑐) = (𝑎 ∗ (𝑏 ∗ 𝑐)))

Distinct variable groups:   × ,𝑞,𝑟,𝑤,𝑥   × ,𝑠,𝑣   · ,𝑞,𝑟,𝑤,𝑥   · ,𝑠,𝑣   𝐾,𝑞,𝑟,𝑥   𝐾,𝑠,𝑣   𝑉,𝑞,𝑟,𝑤,𝑥   𝑉,𝑠,𝑣   𝑟,𝑎,𝑤   𝑠,𝑎,𝑣   𝑞,𝑏,𝑟,𝑤   𝑠,𝑏,𝑣   𝑠,𝑐,𝑣   𝑤,𝑐

Allowed substitution hints:   + (𝑥,𝑤,𝑣,𝑠,𝑟,𝑞,𝑎,𝑏,𝑐)   ⨣ (𝑥,𝑤,𝑣,𝑠,𝑟,𝑞,𝑎,𝑏,𝑐)   𝑅(𝑥,𝑤,𝑣,𝑠,𝑟,𝑞,𝑎,𝑏,𝑐)   · (𝑎,𝑏,𝑐)   × (𝑎,𝑏,𝑐)   1 (𝑥,𝑤,𝑣,𝑠,𝑟,𝑞,𝑎,𝑏,𝑐)   𝐹(𝑥,𝑤,𝑣,𝑠,𝑟,𝑞,𝑎,𝑏,𝑐)   ∗ (𝑥,𝑤,𝑣,𝑠,𝑟,𝑞,𝑎,𝑏,𝑐)   𝐾(𝑤,𝑎,𝑏,𝑐)   𝐿(𝑥,𝑤,𝑣,𝑠,𝑟,𝑞,𝑎,𝑏,𝑐)   𝑉(𝑎,𝑏,𝑐)

Proof of Theorem rmodislmodlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rmodislmod.r	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ ∀𝑞 ∈ 𝐾 ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (((𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 ∧ ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)) ∧ (𝑤 · (𝑞 ⨣ 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟))) ∧ ((𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟) ∧ (𝑤 · 1 ) = 𝑤)))
2		simprl 771	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 ∧ ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)) ∧ (𝑤 · (𝑞 ⨣ 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟))) ∧ ((𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟) ∧ (𝑤 · 1 ) = 𝑤)) → (𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟))
3	2	2ralimi 3108	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (((𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 ∧ ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)) ∧ (𝑤 · (𝑞 ⨣ 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟))) ∧ ((𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟) ∧ (𝑤 · 1 ) = 𝑤)) → ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟))
4	3	2ralimi 3108	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑞 ∈ 𝐾 ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (((𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 ∧ ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)) ∧ (𝑤 · (𝑞 ⨣ 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟))) ∧ ((𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟) ∧ (𝑤 · 1 ) = 𝑤)) → ∀𝑞 ∈ 𝐾 ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟))
5		ralrot3 3269	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑞 ∈ 𝐾 ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑞 ∈ 𝐾 ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟))
6		rmodislmod.v	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑅)
7	6	grpbn0 18933	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ Grp → 𝑉 ≠ ∅)
8	7	3ad2ant1 1134	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ ∀𝑞 ∈ 𝐾 ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (((𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 ∧ ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)) ∧ (𝑤 · (𝑞 ⨣ 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟))) ∧ ((𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟) ∧ (𝑤 · 1 ) = 𝑤))) → 𝑉 ≠ ∅)
9	1, 8	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑉 ≠ ∅
10		rspn0 4297	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑉 ≠ ∅ → (∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑞 ∈ 𝐾 ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟) → ∀𝑞 ∈ 𝐾 ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟)))
11	9, 10	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑞 ∈ 𝐾 ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟) → ∀𝑞 ∈ 𝐾 ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟))
12		oveq1 7367	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑞 = 𝑏 → (𝑞 × 𝑟) = (𝑏 × 𝑟))
13	12	oveq2d 7376	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑞 = 𝑏 → (𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = (𝑤 · (𝑏 × 𝑟)))
14		oveq2 7368	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑞 = 𝑏 → (𝑤 · 𝑞) = (𝑤 · 𝑏))
15	14	oveq1d 7375	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑞 = 𝑏 → ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑏) · 𝑟))
16	13, 15	eqeq12d 2753	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑞 = 𝑏 → ((𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟) ↔ (𝑤 · (𝑏 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑏) · 𝑟)))
17		oveq2 7368	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑟 = 𝑎 → (𝑏 × 𝑟) = (𝑏 × 𝑎))
18	17	oveq2d 7376	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑟 = 𝑎 → (𝑤 · (𝑏 × 𝑟)) = (𝑤 · (𝑏 × 𝑎)))
19		oveq2 7368	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑟 = 𝑎 → ((𝑤 · 𝑏) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑏) · 𝑎))
20	18, 19	eqeq12d 2753	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑟 = 𝑎 → ((𝑤 · (𝑏 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑏) · 𝑟) ↔ (𝑤 · (𝑏 × 𝑎)) = ((𝑤 · 𝑏) · 𝑎)))
21		oveq1 7367	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑤 = 𝑐 → (𝑤 · (𝑏 × 𝑎)) = (𝑐 · (𝑏 × 𝑎)))
22		oveq1 7367	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑤 = 𝑐 → (𝑤 · 𝑏) = (𝑐 · 𝑏))
23	22	oveq1d 7375	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑤 = 𝑐 → ((𝑤 · 𝑏) · 𝑎) = ((𝑐 · 𝑏) · 𝑎))
24	21, 23	eqeq12d 2753	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 = 𝑐 → ((𝑤 · (𝑏 × 𝑎)) = ((𝑤 · 𝑏) · 𝑎) ↔ (𝑐 · (𝑏 × 𝑎)) = ((𝑐 · 𝑏) · 𝑎)))
25	16, 20, 24	rspc3v 3581	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) → (∀𝑞 ∈ 𝐾 ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟) → (𝑐 · (𝑏 × 𝑎)) = ((𝑐 · 𝑏) · 𝑎)))
26	25	3com12 1124	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) → (∀𝑞 ∈ 𝐾 ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟) → (𝑐 · (𝑏 × 𝑎)) = ((𝑐 · 𝑏) · 𝑎)))
27	11, 26	syl5com 31	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑞 ∈ 𝐾 ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟) → ((𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) → (𝑐 · (𝑏 × 𝑎)) = ((𝑐 · 𝑏) · 𝑎)))
28	5, 27	sylbi 217	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑞 ∈ 𝐾 ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟) → ((𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) → (𝑐 · (𝑏 × 𝑎)) = ((𝑐 · 𝑏) · 𝑎)))
29		eqcom 2744	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑐 · 𝑏) · 𝑎) = (𝑐 · (𝑏 × 𝑎)) ↔ (𝑐 · (𝑏 × 𝑎)) = ((𝑐 · 𝑏) · 𝑎))
30	28, 29	imbitrrdi 252	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑞 ∈ 𝐾 ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟) → ((𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) → ((𝑐 · 𝑏) · 𝑎) = (𝑐 · (𝑏 × 𝑎))))
31	4, 30	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑞 ∈ 𝐾 ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (((𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 ∧ ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)) ∧ (𝑤 · (𝑞 ⨣ 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟))) ∧ ((𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟) ∧ (𝑤 · 1 ) = 𝑤)) → ((𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) → ((𝑐 · 𝑏) · 𝑎) = (𝑐 · (𝑏 × 𝑎))))
32	31	3ad2ant3 1136	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ ∀𝑞 ∈ 𝐾 ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (((𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 ∧ ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)) ∧ (𝑤 · (𝑞 ⨣ 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟))) ∧ ((𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟) ∧ (𝑤 · 1 ) = 𝑤))) → ((𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) → ((𝑐 · 𝑏) · 𝑎) = (𝑐 · (𝑏 × 𝑎))))
33	1, 32	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) → ((𝑐 · 𝑏) · 𝑎) = (𝑐 · (𝑏 × 𝑎)))
34	33	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ CRing ∧ (𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)) → ((𝑐 · 𝑏) · 𝑎) = (𝑐 · (𝑏 × 𝑎)))
35		rmodislmod.k	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
36		rmodislmod.t	. . . . . . . . . 10 ⊢ × = (.r‘𝐹)
37	35, 36	crngcom 20223	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ CRing ∧ 𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑎 ∈ 𝐾) → (𝑏 × 𝑎) = (𝑎 × 𝑏))
38	37	3expb 1121	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ CRing ∧ (𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑎 ∈ 𝐾)) → (𝑏 × 𝑎) = (𝑎 × 𝑏))
39	38	expcom 413	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑎 ∈ 𝐾) → (𝐹 ∈ CRing → (𝑏 × 𝑎) = (𝑎 × 𝑏)))
40	39	ancoms 458	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝐾) → (𝐹 ∈ CRing → (𝑏 × 𝑎) = (𝑎 × 𝑏)))
41	40	3adant3 1133	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) → (𝐹 ∈ CRing → (𝑏 × 𝑎) = (𝑎 × 𝑏)))
42	41	impcom 407	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ CRing ∧ (𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)) → (𝑏 × 𝑎) = (𝑎 × 𝑏))
43	42	oveq2d 7376	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ CRing ∧ (𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)) → (𝑐 · (𝑏 × 𝑎)) = (𝑐 · (𝑎 × 𝑏)))
44	34, 43	eqtrd 2772	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ CRing ∧ (𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)) → ((𝑐 · 𝑏) · 𝑎) = (𝑐 · (𝑎 × 𝑏)))
45		rmodislmod.m	. . . . . . 7 ⊢ ∗ = (𝑠 ∈ 𝐾, 𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (𝑣 · 𝑠))
46	45	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) → ∗ = (𝑠 ∈ 𝐾, 𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (𝑣 · 𝑠)))
47		oveq12 7369	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑣 = 𝑐 ∧ 𝑠 = 𝑏) → (𝑣 · 𝑠) = (𝑐 · 𝑏))
48	47	ancoms 458	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑠 = 𝑏 ∧ 𝑣 = 𝑐) → (𝑣 · 𝑠) = (𝑐 · 𝑏))
49	48	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑠 = 𝑏 ∧ 𝑣 = 𝑐)) → (𝑣 · 𝑠) = (𝑐 · 𝑏))
50		simp2 1138	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) → 𝑏 ∈ 𝐾)
51		simp3 1139	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) → 𝑐 ∈ 𝑉)
52		ovexd 7395	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) → (𝑐 · 𝑏) ∈ V)
53	46, 49, 50, 51, 52	ovmpod 7512	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) → (𝑏 ∗ 𝑐) = (𝑐 · 𝑏))
54	53	oveq2d 7376	. . . 4 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) → (𝑎 ∗ (𝑏 ∗ 𝑐)) = (𝑎 ∗ (𝑐 · 𝑏)))
55		oveq12 7369	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑣 = (𝑐 · 𝑏) ∧ 𝑠 = 𝑎) → (𝑣 · 𝑠) = ((𝑐 · 𝑏) · 𝑎))
56	55	ancoms 458	. . . . . 6 ⊢ ((𝑠 = 𝑎 ∧ 𝑣 = (𝑐 · 𝑏)) → (𝑣 · 𝑠) = ((𝑐 · 𝑏) · 𝑎))
57	56	adantl 481	. . . . 5 ⊢ (((𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑠 = 𝑎 ∧ 𝑣 = (𝑐 · 𝑏))) → (𝑣 · 𝑠) = ((𝑐 · 𝑏) · 𝑎))
58		simp1 1137	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) → 𝑎 ∈ 𝐾)
59		simpl1 1193	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 ∧ ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)) ∧ (𝑤 · (𝑞 ⨣ 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟))) ∧ ((𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟) ∧ (𝑤 · 1 ) = 𝑤)) → (𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉)
60	59	2ralimi 3108	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (((𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 ∧ ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)) ∧ (𝑤 · (𝑞 ⨣ 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟))) ∧ ((𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟) ∧ (𝑤 · 1 ) = 𝑤)) → ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉)
61	60	2ralimi 3108	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑞 ∈ 𝐾 ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (((𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 ∧ ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)) ∧ (𝑤 · (𝑞 ⨣ 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟))) ∧ ((𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟) ∧ (𝑤 · 1 ) = 𝑤)) → ∀𝑞 ∈ 𝐾 ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉)
62		ringgrp 20210	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐹 ∈ Ring → 𝐹 ∈ Grp)
63	35	grpbn0 18933	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐹 ∈ Grp → 𝐾 ≠ ∅)
64	62, 63	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹 ∈ Ring → 𝐾 ≠ ∅)
65	64	3ad2ant2 1135	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ ∀𝑞 ∈ 𝐾 ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (((𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 ∧ ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)) ∧ (𝑤 · (𝑞 ⨣ 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟))) ∧ ((𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟) ∧ (𝑤 · 1 ) = 𝑤))) → 𝐾 ≠ ∅)
66	1, 65	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐾 ≠ ∅
67		rspn0 4297	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ≠ ∅ → (∀𝑞 ∈ 𝐾 ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 → ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉))
68	66, 67	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑞 ∈ 𝐾 ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 → ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉)
69		ralcom 3266	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉)
70		rspn0 4297	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑉 ≠ ∅ → (∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 → ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉))
71	9, 70	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 → ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉)
72		oveq2 7368	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑟 = 𝑏 → (𝑤 · 𝑟) = (𝑤 · 𝑏))
73	72	eleq1d 2822	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑟 = 𝑏 → ((𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 ↔ (𝑤 · 𝑏) ∈ 𝑉))
74	22	eleq1d 2822	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 = 𝑐 → ((𝑤 · 𝑏) ∈ 𝑉 ↔ (𝑐 · 𝑏) ∈ 𝑉))
75	73, 74	rspc2v 3576	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) → (∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 → (𝑐 · 𝑏) ∈ 𝑉))
76	71, 75	syl5com 31	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 → ((𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) → (𝑐 · 𝑏) ∈ 𝑉))
77	69, 76	sylbi 217	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 → ((𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) → (𝑐 · 𝑏) ∈ 𝑉))
78	61, 68, 77	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑞 ∈ 𝐾 ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (((𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 ∧ ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)) ∧ (𝑤 · (𝑞 ⨣ 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟))) ∧ ((𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟) ∧ (𝑤 · 1 ) = 𝑤)) → ((𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) → (𝑐 · 𝑏) ∈ 𝑉))
79	78	3ad2ant3 1136	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ ∀𝑞 ∈ 𝐾 ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (((𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 ∧ ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)) ∧ (𝑤 · (𝑞 ⨣ 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟))) ∧ ((𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟) ∧ (𝑤 · 1 ) = 𝑤))) → ((𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) → (𝑐 · 𝑏) ∈ 𝑉))
80	1, 79	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ((𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) → (𝑐 · 𝑏) ∈ 𝑉)
81	80	3adant1 1131	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) → (𝑐 · 𝑏) ∈ 𝑉)
82		ovexd 7395	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) → ((𝑐 · 𝑏) · 𝑎) ∈ V)
83	46, 57, 58, 81, 82	ovmpod 7512	. . . 4 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) → (𝑎 ∗ (𝑐 · 𝑏)) = ((𝑐 · 𝑏) · 𝑎))
84	54, 83	eqtrd 2772	. . 3 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) → (𝑎 ∗ (𝑏 ∗ 𝑐)) = ((𝑐 · 𝑏) · 𝑎))
85	84	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ CRing ∧ (𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)) → (𝑎 ∗ (𝑏 ∗ 𝑐)) = ((𝑐 · 𝑏) · 𝑎))
86		oveq12 7369	. . . . . 6 ⊢ ((𝑣 = 𝑐 ∧ 𝑠 = (𝑎 × 𝑏)) → (𝑣 · 𝑠) = (𝑐 · (𝑎 × 𝑏)))
87	86	ancoms 458	. . . . 5 ⊢ ((𝑠 = (𝑎 × 𝑏) ∧ 𝑣 = 𝑐) → (𝑣 · 𝑠) = (𝑐 · (𝑎 × 𝑏)))
88	87	adantl 481	. . . 4 ⊢ (((𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑠 = (𝑎 × 𝑏) ∧ 𝑣 = 𝑐)) → (𝑣 · 𝑠) = (𝑐 · (𝑎 × 𝑏)))
89	35, 36	ringcl 20222	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ Ring ∧ 𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝐾) → (𝑎 × 𝑏) ∈ 𝐾)
90	89	3expib 1123	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ Ring → ((𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝐾) → (𝑎 × 𝑏) ∈ 𝐾))
91	90	3ad2ant2 1135	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ ∀𝑞 ∈ 𝐾 ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (((𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 ∧ ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)) ∧ (𝑤 · (𝑞 ⨣ 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟))) ∧ ((𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟) ∧ (𝑤 · 1 ) = 𝑤))) → ((𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝐾) → (𝑎 × 𝑏) ∈ 𝐾))
92	1, 91	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝐾) → (𝑎 × 𝑏) ∈ 𝐾)
93	92	3adant3 1133	. . . 4 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) → (𝑎 × 𝑏) ∈ 𝐾)
94		ovexd 7395	. . . 4 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) → (𝑐 · (𝑎 × 𝑏)) ∈ V)
95	46, 88, 93, 51, 94	ovmpod 7512	. . 3 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) → ((𝑎 × 𝑏) ∗ 𝑐) = (𝑐 · (𝑎 × 𝑏)))
96	95	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ CRing ∧ (𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)) → ((𝑎 × 𝑏) ∗ 𝑐) = (𝑐 · (𝑎 × 𝑏)))
97	44, 85, 96	3eqtr4rd 2783	1 ⊢ ((𝐹 ∈ CRing ∧ (𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)) → ((𝑎 × 𝑏) ∗ 𝑐) = (𝑎 ∗ (𝑏 ∗ 𝑐)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∀wral 3052  Vcvv 3430  ∅c0 4274  ⟨cop 4574  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360   ∈ cmpo 7362   sSet csts 17124  ndxcnx 17154  Basecbs 17170  +_gcplusg 17211  ._rcmulr 17212  Scalarcsca 17214   ·_𝑠 cvsca 17215  Grpcgrp 18900  1_rcur 20153  Ringcrg 20205  CRingccrg 20206

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-plusg 17224  df-0g 17395  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-grp 18903  df-cmn 19748  df-mgp 20113  df-ring 20207  df-cring 20208

This theorem is referenced by:  rmodislmod  20916