MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frmdgsum Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem frmdgsum 18787
Description: Any word in a free monoid can be expressed as the sum of the singletons composing it. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
frmdmnd.m 𝑀 = (freeMndβ€˜πΌ)
frmdgsum.u π‘ˆ = (varFMndβ€˜πΌ)
Assertion
Ref Expression
frmdgsum ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ π‘Š ∈ Word 𝐼) β†’ (𝑀 Ξ£g (π‘ˆ ∘ π‘Š)) = π‘Š)
Proof of Theorem frmdgsum
Dummy variables π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 coeq2 5852 . . . . . . 7 (π‘₯ = βˆ… β†’ (π‘ˆ ∘ π‘₯) = (π‘ˆ ∘ βˆ…))
2 co02 6253 . . . . . . 7 (π‘ˆ ∘ βˆ…) = βˆ…
31, 2eqtrdi 2782 . . . . . 6 (π‘₯ = βˆ… β†’ (π‘ˆ ∘ π‘₯) = βˆ…)
43oveq2d 7421 . . . . 5 (π‘₯ = βˆ… β†’ (𝑀 Ξ£g (π‘ˆ ∘ π‘₯)) = (𝑀 Ξ£g βˆ…))
5 id 22 . . . . 5 (π‘₯ = βˆ… β†’ π‘₯ = βˆ…)
64, 5eqeq12d 2742 . . . 4 (π‘₯ = βˆ… β†’ ((𝑀 Ξ£g (π‘ˆ ∘ π‘₯)) = π‘₯ ↔ (𝑀 Ξ£g βˆ…) = βˆ…))
76imbi2d 340 . . 3 (π‘₯ = βˆ… β†’ ((𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (𝑀 Ξ£g (π‘ˆ ∘ π‘₯)) = π‘₯) ↔ (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (𝑀 Ξ£g βˆ…) = βˆ…)))
8 coeq2 5852 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (π‘ˆ ∘ π‘₯) = (π‘ˆ ∘ 𝑦))
98oveq2d 7421 . . . . 5 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (𝑀 Ξ£g (π‘ˆ ∘ π‘₯)) = (𝑀 Ξ£g (π‘ˆ ∘ 𝑦)))
10 id 22 . . . . 5 (π‘₯ = 𝑦 β†’ π‘₯ = 𝑦)
119, 10eqeq12d 2742 . . . 4 (π‘₯ = 𝑦 β†’ ((𝑀 Ξ£g (π‘ˆ ∘ π‘₯)) = π‘₯ ↔ (𝑀 Ξ£g (π‘ˆ ∘ 𝑦)) = 𝑦))
1211imbi2d 340 . . 3 (π‘₯ = 𝑦 β†’ ((𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (𝑀 Ξ£g (π‘ˆ ∘ π‘₯)) = π‘₯) ↔ (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (𝑀 Ξ£g (π‘ˆ ∘ 𝑦)) = 𝑦)))
13 coeq2 5852 . . . . . 6 (π‘₯ = (𝑦 ++ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©) β†’ (π‘ˆ ∘ π‘₯) = (π‘ˆ ∘ (𝑦 ++ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©)))
1413oveq2d 7421 . . . . 5 (π‘₯ = (𝑦 ++ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©) β†’ (𝑀 Ξ£g (π‘ˆ ∘ π‘₯)) = (𝑀 Ξ£g (π‘ˆ ∘ (𝑦 ++ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©))))
15 id 22 . . . . 5 (π‘₯ = (𝑦 ++ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©) β†’ π‘₯ = (𝑦 ++ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©))
1614, 15eqeq12d 2742 . . . 4 (π‘₯ = (𝑦 ++ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©) β†’ ((𝑀 Ξ£g (π‘ˆ ∘ π‘₯)) = π‘₯ ↔ (𝑀 Ξ£g (π‘ˆ ∘ (𝑦 ++ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©))) = (𝑦 ++ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©)))
1716imbi2d 340 . . 3 (π‘₯ = (𝑦 ++ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©) β†’ ((𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (𝑀 Ξ£g (π‘ˆ ∘ π‘₯)) = π‘₯) ↔ (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (𝑀 Ξ£g (π‘ˆ ∘ (𝑦 ++ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©))) = (𝑦 ++ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©))))
18 coeq2 5852 . . . . . 6 (π‘₯ = π‘Š β†’ (π‘ˆ ∘ π‘₯) = (π‘ˆ ∘ π‘Š))
1918oveq2d 7421 . . . . 5 (π‘₯ = π‘Š β†’ (𝑀 Ξ£g (π‘ˆ ∘ π‘₯)) = (𝑀 Ξ£g (π‘ˆ ∘ π‘Š)))
20 id 22 . . . . 5 (π‘₯ = π‘Š β†’ π‘₯ = π‘Š)
2119, 20eqeq12d 2742 . . . 4 (π‘₯ = π‘Š β†’ ((𝑀 Ξ£g (π‘ˆ ∘ π‘₯)) = π‘₯ ↔ (𝑀 Ξ£g (π‘ˆ ∘ π‘Š)) = π‘Š))
2221imbi2d 340 . . 3 (π‘₯ = π‘Š β†’ ((𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (𝑀 Ξ£g (π‘ˆ ∘ π‘₯)) = π‘₯) ↔ (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (𝑀 Ξ£g (π‘ˆ ∘ π‘Š)) = π‘Š)))
23 frmdmnd.m . . . . . 6 𝑀 = (freeMndβ€˜πΌ)
2423frmd0 18785 . . . . 5 βˆ… = (0gβ€˜π‘€)
2524gsum0 18617 . . . 4 (𝑀 Ξ£g βˆ…) = βˆ…
2625a1i 11 . . 3 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (𝑀 Ξ£g βˆ…) = βˆ…)
27 oveq1 7412 . . . . . 6 ((𝑀 Ξ£g (π‘ˆ ∘ 𝑦)) = 𝑦 β†’ ((𝑀 Ξ£g (π‘ˆ ∘ 𝑦)) ++ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©) = (𝑦 ++ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©))
28 simprl 768 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) β†’ 𝑦 ∈ Word 𝐼)
29 simprr 770 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) β†’ 𝑧 ∈ 𝐼)
3029s1cld 14559 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) β†’ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ© ∈ Word 𝐼)
31 frmdgsum.u . . . . . . . . . . . . 13 π‘ˆ = (varFMndβ€˜πΌ)
3231vrmdf 18783 . . . . . . . . . . . 12 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ π‘ˆ:𝐼⟢Word 𝐼)
3332adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) β†’ π‘ˆ:𝐼⟢Word 𝐼)
34 ccatco 14792 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ Word 𝐼 ∧ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ© ∈ Word 𝐼 ∧ π‘ˆ:𝐼⟢Word 𝐼) β†’ (π‘ˆ ∘ (𝑦 ++ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©)) = ((π‘ˆ ∘ 𝑦) ++ (π‘ˆ ∘ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©)))
3528, 30, 33, 34syl3anc 1368 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) β†’ (π‘ˆ ∘ (𝑦 ++ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©)) = ((π‘ˆ ∘ 𝑦) ++ (π‘ˆ ∘ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©)))
36 s1co 14790 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧 ∈ 𝐼 ∧ π‘ˆ:𝐼⟢Word 𝐼) β†’ (π‘ˆ ∘ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©) = βŸ¨β€œ(π‘ˆβ€˜π‘§)β€βŸ©)
3729, 33, 36syl2anc 583 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) β†’ (π‘ˆ ∘ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©) = βŸ¨β€œ(π‘ˆβ€˜π‘§)β€βŸ©)
3831vrmdval 18782 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) β†’ (π‘ˆβ€˜π‘§) = βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©)
3938adantrl 713 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) β†’ (π‘ˆβ€˜π‘§) = βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©)
4039s1eqd 14557 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) β†’ βŸ¨β€œ(π‘ˆβ€˜π‘§)β€βŸ© = βŸ¨β€œβŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©β€βŸ©)
4137, 40eqtrd 2766 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) β†’ (π‘ˆ ∘ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©) = βŸ¨β€œβŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©β€βŸ©)
4241oveq2d 7421 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) β†’ ((π‘ˆ ∘ 𝑦) ++ (π‘ˆ ∘ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©)) = ((π‘ˆ ∘ 𝑦) ++ βŸ¨β€œβŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©β€βŸ©))
4335, 42eqtrd 2766 . . . . . . . . 9 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) β†’ (π‘ˆ ∘ (𝑦 ++ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©)) = ((π‘ˆ ∘ 𝑦) ++ βŸ¨β€œβŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©β€βŸ©))
4443oveq2d 7421 . . . . . . . 8 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) β†’ (𝑀 Ξ£g (π‘ˆ ∘ (𝑦 ++ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©))) = (𝑀 Ξ£g ((π‘ˆ ∘ 𝑦) ++ βŸ¨β€œβŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©β€βŸ©)))
4523frmdmnd 18784 . . . . . . . . . . 11 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ 𝑀 ∈ Mnd)
4645adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) β†’ 𝑀 ∈ Mnd)
47 wrdco 14788 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ Word 𝐼 ∧ π‘ˆ:𝐼⟢Word 𝐼) β†’ (π‘ˆ ∘ 𝑦) ∈ Word Word 𝐼)
4828, 33, 47syl2anc 583 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) β†’ (π‘ˆ ∘ 𝑦) ∈ Word Word 𝐼)
49 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . . 14 (Baseβ€˜π‘€) = (Baseβ€˜π‘€)
5023, 49frmdbas 18777 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (Baseβ€˜π‘€) = Word 𝐼)
5150adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) β†’ (Baseβ€˜π‘€) = Word 𝐼)
52 wrdeq 14492 . . . . . . . . . . . 12 ((Baseβ€˜π‘€) = Word 𝐼 β†’ Word (Baseβ€˜π‘€) = Word Word 𝐼)
5351, 52syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) β†’ Word (Baseβ€˜π‘€) = Word Word 𝐼)
5448, 53eleqtrrd 2830 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) β†’ (π‘ˆ ∘ 𝑦) ∈ Word (Baseβ€˜π‘€))
5530, 51eleqtrrd 2830 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) β†’ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ© ∈ (Baseβ€˜π‘€))
5655s1cld 14559 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) β†’ βŸ¨β€œβŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©β€βŸ© ∈ Word (Baseβ€˜π‘€))
57 eqid 2726 . . . . . . . . . . 11 (+gβ€˜π‘€) = (+gβ€˜π‘€)
5849, 57gsumccat 18766 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (π‘ˆ ∘ 𝑦) ∈ Word (Baseβ€˜π‘€) ∧ βŸ¨β€œβŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©β€βŸ© ∈ Word (Baseβ€˜π‘€)) β†’ (𝑀 Ξ£g ((π‘ˆ ∘ 𝑦) ++ βŸ¨β€œβŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©β€βŸ©)) = ((𝑀 Ξ£g (π‘ˆ ∘ 𝑦))(+gβ€˜π‘€)(𝑀 Ξ£g βŸ¨β€œβŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©β€βŸ©)))
5946, 54, 56, 58syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) β†’ (𝑀 Ξ£g ((π‘ˆ ∘ 𝑦) ++ βŸ¨β€œβŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©β€βŸ©)) = ((𝑀 Ξ£g (π‘ˆ ∘ 𝑦))(+gβ€˜π‘€)(𝑀 Ξ£g βŸ¨β€œβŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©β€βŸ©)))
6049gsumws1 18763 . . . . . . . . . . . 12 (βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ© ∈ (Baseβ€˜π‘€) β†’ (𝑀 Ξ£g βŸ¨β€œβŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©β€βŸ©) = βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©)
6155, 60syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) β†’ (𝑀 Ξ£g βŸ¨β€œβŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©β€βŸ©) = βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©)
6261oveq2d 7421 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) β†’ ((𝑀 Ξ£g (π‘ˆ ∘ 𝑦))(+gβ€˜π‘€)(𝑀 Ξ£g βŸ¨β€œβŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©β€βŸ©)) = ((𝑀 Ξ£g (π‘ˆ ∘ 𝑦))(+gβ€˜π‘€)βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©))
6349gsumwcl 18764 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (π‘ˆ ∘ 𝑦) ∈ Word (Baseβ€˜π‘€)) β†’ (𝑀 Ξ£g (π‘ˆ ∘ 𝑦)) ∈ (Baseβ€˜π‘€))
6446, 54, 63syl2anc 583 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) β†’ (𝑀 Ξ£g (π‘ˆ ∘ 𝑦)) ∈ (Baseβ€˜π‘€))
6523, 49, 57frmdadd 18780 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 Ξ£g (π‘ˆ ∘ 𝑦)) ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ© ∈ (Baseβ€˜π‘€)) β†’ ((𝑀 Ξ£g (π‘ˆ ∘ 𝑦))(+gβ€˜π‘€)βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©) = ((𝑀 Ξ£g (π‘ˆ ∘ 𝑦)) ++ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©))
6664, 55, 65syl2anc 583 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) β†’ ((𝑀 Ξ£g (π‘ˆ ∘ 𝑦))(+gβ€˜π‘€)βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©) = ((𝑀 Ξ£g (π‘ˆ ∘ 𝑦)) ++ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©))
6762, 66eqtrd 2766 . . . . . . . . 9 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) β†’ ((𝑀 Ξ£g (π‘ˆ ∘ 𝑦))(+gβ€˜π‘€)(𝑀 Ξ£g βŸ¨β€œβŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©β€βŸ©)) = ((𝑀 Ξ£g (π‘ˆ ∘ 𝑦)) ++ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©))
6859, 67eqtrd 2766 . . . . . . . 8 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) β†’ (𝑀 Ξ£g ((π‘ˆ ∘ 𝑦) ++ βŸ¨β€œβŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©β€βŸ©)) = ((𝑀 Ξ£g (π‘ˆ ∘ 𝑦)) ++ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©))
6944, 68eqtrd 2766 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) β†’ (𝑀 Ξ£g (π‘ˆ ∘ (𝑦 ++ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©))) = ((𝑀 Ξ£g (π‘ˆ ∘ 𝑦)) ++ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©))
7069eqeq1d 2728 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) β†’ ((𝑀 Ξ£g (π‘ˆ ∘ (𝑦 ++ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©))) = (𝑦 ++ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©) ↔ ((𝑀 Ξ£g (π‘ˆ ∘ 𝑦)) ++ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©) = (𝑦 ++ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©)))
7127, 70imbitrrid 245 . . . . 5 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) β†’ ((𝑀 Ξ£g (π‘ˆ ∘ 𝑦)) = 𝑦 β†’ (𝑀 Ξ£g (π‘ˆ ∘ (𝑦 ++ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©))) = (𝑦 ++ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©)))
7271expcom 413 . . . 4 ((𝑦 ∈ Word 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) β†’ (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ ((𝑀 Ξ£g (π‘ˆ ∘ 𝑦)) = 𝑦 β†’ (𝑀 Ξ£g (π‘ˆ ∘ (𝑦 ++ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©))) = (𝑦 ++ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©))))
7372a2d 29 . . 3 ((𝑦 ∈ Word 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) β†’ ((𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (𝑀 Ξ£g (π‘ˆ ∘ 𝑦)) = 𝑦) β†’ (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (𝑀 Ξ£g (π‘ˆ ∘ (𝑦 ++ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©))) = (𝑦 ++ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©))))
747, 12, 17, 22, 26, 73wrdind 14678 . 2 (π‘Š ∈ Word 𝐼 β†’ (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (𝑀 Ξ£g (π‘ˆ ∘ π‘Š)) = π‘Š))
7574impcom 407 1 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ π‘Š ∈ Word 𝐼) β†’ (𝑀 Ξ£g (π‘ˆ ∘ π‘Š)) = π‘Š)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ…c0 4317   ∘ ccom 5673  βŸΆwf 6533  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  Word cword 14470   ++ cconcat 14526  βŸ¨β€œcs1 14551  Basecbs 17153  +gcplusg 17206   Ξ£g cgsu 17395  Mndcmnd 18667  freeMndcfrmd 18772  varFMndcvrmd 18773
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-n0 12477  df-xnn0 12549  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-seq 13973  df-hash 14296  df-word 14471  df-lsw 14519  df-concat 14527  df-s1 14552  df-substr 14597  df-pfx 14627  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-0g 17396  df-gsum 17397  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-submnd 18714  df-frmd 18774  df-vrmd 18775
This theorem is referenced by:  frmdss2  18788  frmdup3lem  18791  frgpup3lem  19697
  Copyright terms: Public domain W3C validator