MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frmdgsum Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frmdgsum 17880
Description: Any word in a free monoid can be expressed as the sum of the singletons composing it. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
frmdmnd.m 𝑀 = (freeMnd‘𝐼)
frmdgsum.u 𝑈 = (varFMnd𝐼)
Assertion
Ref Expression
frmdgsum ((𝐼𝑉𝑊 ∈ Word 𝐼) → (𝑀 Σg (𝑈𝑊)) = 𝑊)

Proof of Theorem frmdgsum
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 coeq2 5575 . . . . . . 7 (𝑥 = ∅ → (𝑈𝑥) = (𝑈 ∘ ∅))
2 co02 5949 . . . . . . 7 (𝑈 ∘ ∅) = ∅
31, 2syl6eq 2823 . . . . . 6 (𝑥 = ∅ → (𝑈𝑥) = ∅)
43oveq2d 6990 . . . . 5 (𝑥 = ∅ → (𝑀 Σg (𝑈𝑥)) = (𝑀 Σg ∅))
5 id 22 . . . . 5 (𝑥 = ∅ → 𝑥 = ∅)
64, 5eqeq12d 2786 . . . 4 (𝑥 = ∅ → ((𝑀 Σg (𝑈𝑥)) = 𝑥 ↔ (𝑀 Σg ∅) = ∅))
76imbi2d 333 . . 3 (𝑥 = ∅ → ((𝐼𝑉 → (𝑀 Σg (𝑈𝑥)) = 𝑥) ↔ (𝐼𝑉 → (𝑀 Σg ∅) = ∅)))
8 coeq2 5575 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → (𝑈𝑥) = (𝑈𝑦))
98oveq2d 6990 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → (𝑀 Σg (𝑈𝑥)) = (𝑀 Σg (𝑈𝑦)))
10 id 22 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦𝑥 = 𝑦)
119, 10eqeq12d 2786 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑀 Σg (𝑈𝑥)) = 𝑥 ↔ (𝑀 Σg (𝑈𝑦)) = 𝑦))
1211imbi2d 333 . . 3 (𝑥 = 𝑦 → ((𝐼𝑉 → (𝑀 Σg (𝑈𝑥)) = 𝑥) ↔ (𝐼𝑉 → (𝑀 Σg (𝑈𝑦)) = 𝑦)))
13 coeq2 5575 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩) → (𝑈𝑥) = (𝑈 ∘ (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)))
1413oveq2d 6990 . . . . 5 (𝑥 = (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩) → (𝑀 Σg (𝑈𝑥)) = (𝑀 Σg (𝑈 ∘ (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))))
15 id 22 . . . . 5 (𝑥 = (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩) → 𝑥 = (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))
1614, 15eqeq12d 2786 . . . 4 (𝑥 = (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩) → ((𝑀 Σg (𝑈𝑥)) = 𝑥 ↔ (𝑀 Σg (𝑈 ∘ (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))) = (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)))
1716imbi2d 333 . . 3 (𝑥 = (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩) → ((𝐼𝑉 → (𝑀 Σg (𝑈𝑥)) = 𝑥) ↔ (𝐼𝑉 → (𝑀 Σg (𝑈 ∘ (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))) = (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))))
18 coeq2 5575 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑊 → (𝑈𝑥) = (𝑈𝑊))
1918oveq2d 6990 . . . . 5 (𝑥 = 𝑊 → (𝑀 Σg (𝑈𝑥)) = (𝑀 Σg (𝑈𝑊)))
20 id 22 . . . . 5 (𝑥 = 𝑊𝑥 = 𝑊)
2119, 20eqeq12d 2786 . . . 4 (𝑥 = 𝑊 → ((𝑀 Σg (𝑈𝑥)) = 𝑥 ↔ (𝑀 Σg (𝑈𝑊)) = 𝑊))
2221imbi2d 333 . . 3 (𝑥 = 𝑊 → ((𝐼𝑉 → (𝑀 Σg (𝑈𝑥)) = 𝑥) ↔ (𝐼𝑉 → (𝑀 Σg (𝑈𝑊)) = 𝑊)))
23 frmdmnd.m . . . . . 6 𝑀 = (freeMnd‘𝐼)
2423frmd0 17878 . . . . 5 ∅ = (0g𝑀)
2524gsum0 17758 . . . 4 (𝑀 Σg ∅) = ∅
2625a1i 11 . . 3 (𝐼𝑉 → (𝑀 Σg ∅) = ∅)
27 oveq1 6981 . . . . . 6 ((𝑀 Σg (𝑈𝑦)) = 𝑦 → ((𝑀 Σg (𝑈𝑦)) ++ ⟨“𝑧”⟩) = (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))
28 simprl 759 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼𝑧𝐼)) → 𝑦 ∈ Word 𝐼)
29 simprr 761 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼𝑧𝐼)) → 𝑧𝐼)
3029s1cld 13764 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼𝑧𝐼)) → ⟨“𝑧”⟩ ∈ Word 𝐼)
31 frmdgsum.u . . . . . . . . . . . . 13 𝑈 = (varFMnd𝐼)
3231vrmdf 17876 . . . . . . . . . . . 12 (𝐼𝑉𝑈:𝐼⟶Word 𝐼)
3332adantr 473 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼𝑧𝐼)) → 𝑈:𝐼⟶Word 𝐼)
34 ccatco 14057 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ Word 𝐼 ∧ ⟨“𝑧”⟩ ∈ Word 𝐼𝑈:𝐼⟶Word 𝐼) → (𝑈 ∘ (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)) = ((𝑈𝑦) ++ (𝑈 ∘ ⟨“𝑧”⟩)))
3528, 30, 33, 34syl3anc 1352 . . . . . . . . . 10 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼𝑧𝐼)) → (𝑈 ∘ (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)) = ((𝑈𝑦) ++ (𝑈 ∘ ⟨“𝑧”⟩)))
36 s1co 14055 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧𝐼𝑈:𝐼⟶Word 𝐼) → (𝑈 ∘ ⟨“𝑧”⟩) = ⟨“(𝑈𝑧)”⟩)
3729, 33, 36syl2anc 576 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼𝑧𝐼)) → (𝑈 ∘ ⟨“𝑧”⟩) = ⟨“(𝑈𝑧)”⟩)
3831vrmdval 17875 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐼𝑉𝑧𝐼) → (𝑈𝑧) = ⟨“𝑧”⟩)
3938adantrl 704 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼𝑧𝐼)) → (𝑈𝑧) = ⟨“𝑧”⟩)
4039s1eqd 13762 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼𝑧𝐼)) → ⟨“(𝑈𝑧)”⟩ = ⟨“⟨“𝑧”⟩”⟩)
4137, 40eqtrd 2807 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼𝑧𝐼)) → (𝑈 ∘ ⟨“𝑧”⟩) = ⟨“⟨“𝑧”⟩”⟩)
4241oveq2d 6990 . . . . . . . . . 10 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼𝑧𝐼)) → ((𝑈𝑦) ++ (𝑈 ∘ ⟨“𝑧”⟩)) = ((𝑈𝑦) ++ ⟨“⟨“𝑧”⟩”⟩))
4335, 42eqtrd 2807 . . . . . . . . 9 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼𝑧𝐼)) → (𝑈 ∘ (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)) = ((𝑈𝑦) ++ ⟨“⟨“𝑧”⟩”⟩))
4443oveq2d 6990 . . . . . . . 8 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼𝑧𝐼)) → (𝑀 Σg (𝑈 ∘ (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))) = (𝑀 Σg ((𝑈𝑦) ++ ⟨“⟨“𝑧”⟩”⟩)))
4523frmdmnd 17877 . . . . . . . . . . 11 (𝐼𝑉𝑀 ∈ Mnd)
4645adantr 473 . . . . . . . . . 10 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼𝑧𝐼)) → 𝑀 ∈ Mnd)
47 wrdco 14053 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ Word 𝐼𝑈:𝐼⟶Word 𝐼) → (𝑈𝑦) ∈ Word Word 𝐼)
4828, 33, 47syl2anc 576 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼𝑧𝐼)) → (𝑈𝑦) ∈ Word Word 𝐼)
49 eqid 2771 . . . . . . . . . . . . . 14 (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
5023, 49frmdbas 17870 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐼𝑉 → (Base‘𝑀) = Word 𝐼)
5150adantr 473 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼𝑧𝐼)) → (Base‘𝑀) = Word 𝐼)
52 wrdeq 13695 . . . . . . . . . . . 12 ((Base‘𝑀) = Word 𝐼 → Word (Base‘𝑀) = Word Word 𝐼)
5351, 52syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼𝑧𝐼)) → Word (Base‘𝑀) = Word Word 𝐼)
5448, 53eleqtrrd 2862 . . . . . . . . . 10 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼𝑧𝐼)) → (𝑈𝑦) ∈ Word (Base‘𝑀))
5530, 51eleqtrrd 2862 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼𝑧𝐼)) → ⟨“𝑧”⟩ ∈ (Base‘𝑀))
5655s1cld 13764 . . . . . . . . . 10 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼𝑧𝐼)) → ⟨“⟨“𝑧”⟩”⟩ ∈ Word (Base‘𝑀))
57 eqid 2771 . . . . . . . . . . 11 (+g𝑀) = (+g𝑀)
5849, 57gsumccat 17858 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑈𝑦) ∈ Word (Base‘𝑀) ∧ ⟨“⟨“𝑧”⟩”⟩ ∈ Word (Base‘𝑀)) → (𝑀 Σg ((𝑈𝑦) ++ ⟨“⟨“𝑧”⟩”⟩)) = ((𝑀 Σg (𝑈𝑦))(+g𝑀)(𝑀 Σg ⟨“⟨“𝑧”⟩”⟩)))
5946, 54, 56, 58syl3anc 1352 . . . . . . . . 9 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼𝑧𝐼)) → (𝑀 Σg ((𝑈𝑦) ++ ⟨“⟨“𝑧”⟩”⟩)) = ((𝑀 Σg (𝑈𝑦))(+g𝑀)(𝑀 Σg ⟨“⟨“𝑧”⟩”⟩)))
6049gsumws1 17856 . . . . . . . . . . . 12 (⟨“𝑧”⟩ ∈ (Base‘𝑀) → (𝑀 Σg ⟨“⟨“𝑧”⟩”⟩) = ⟨“𝑧”⟩)
6155, 60syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼𝑧𝐼)) → (𝑀 Σg ⟨“⟨“𝑧”⟩”⟩) = ⟨“𝑧”⟩)
6261oveq2d 6990 . . . . . . . . . 10 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼𝑧𝐼)) → ((𝑀 Σg (𝑈𝑦))(+g𝑀)(𝑀 Σg ⟨“⟨“𝑧”⟩”⟩)) = ((𝑀 Σg (𝑈𝑦))(+g𝑀)⟨“𝑧”⟩))
6349gsumwcl 17857 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑈𝑦) ∈ Word (Base‘𝑀)) → (𝑀 Σg (𝑈𝑦)) ∈ (Base‘𝑀))
6446, 54, 63syl2anc 576 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼𝑧𝐼)) → (𝑀 Σg (𝑈𝑦)) ∈ (Base‘𝑀))
6523, 49, 57frmdadd 17873 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 Σg (𝑈𝑦)) ∈ (Base‘𝑀) ∧ ⟨“𝑧”⟩ ∈ (Base‘𝑀)) → ((𝑀 Σg (𝑈𝑦))(+g𝑀)⟨“𝑧”⟩) = ((𝑀 Σg (𝑈𝑦)) ++ ⟨“𝑧”⟩))
6664, 55, 65syl2anc 576 . . . . . . . . . 10 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼𝑧𝐼)) → ((𝑀 Σg (𝑈𝑦))(+g𝑀)⟨“𝑧”⟩) = ((𝑀 Σg (𝑈𝑦)) ++ ⟨“𝑧”⟩))
6762, 66eqtrd 2807 . . . . . . . . 9 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼𝑧𝐼)) → ((𝑀 Σg (𝑈𝑦))(+g𝑀)(𝑀 Σg ⟨“⟨“𝑧”⟩”⟩)) = ((𝑀 Σg (𝑈𝑦)) ++ ⟨“𝑧”⟩))
6859, 67eqtrd 2807 . . . . . . . 8 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼𝑧𝐼)) → (𝑀 Σg ((𝑈𝑦) ++ ⟨“⟨“𝑧”⟩”⟩)) = ((𝑀 Σg (𝑈𝑦)) ++ ⟨“𝑧”⟩))
6944, 68eqtrd 2807 . . . . . . 7 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼𝑧𝐼)) → (𝑀 Σg (𝑈 ∘ (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))) = ((𝑀 Σg (𝑈𝑦)) ++ ⟨“𝑧”⟩))
7069eqeq1d 2773 . . . . . 6 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼𝑧𝐼)) → ((𝑀 Σg (𝑈 ∘ (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))) = (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩) ↔ ((𝑀 Σg (𝑈𝑦)) ++ ⟨“𝑧”⟩) = (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)))
7127, 70syl5ibr 238 . . . . 5 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼𝑧𝐼)) → ((𝑀 Σg (𝑈𝑦)) = 𝑦 → (𝑀 Σg (𝑈 ∘ (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))) = (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)))
7271expcom 406 . . . 4 ((𝑦 ∈ Word 𝐼𝑧𝐼) → (𝐼𝑉 → ((𝑀 Σg (𝑈𝑦)) = 𝑦 → (𝑀 Σg (𝑈 ∘ (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))) = (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))))
7372a2d 29 . . 3 ((𝑦 ∈ Word 𝐼𝑧𝐼) → ((𝐼𝑉 → (𝑀 Σg (𝑈𝑦)) = 𝑦) → (𝐼𝑉 → (𝑀 Σg (𝑈 ∘ (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))) = (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))))
747, 12, 17, 22, 26, 73wrdind 13913 . 2 (𝑊 ∈ Word 𝐼 → (𝐼𝑉 → (𝑀 Σg (𝑈𝑊)) = 𝑊))
7574impcom 399 1 ((𝐼𝑉𝑊 ∈ Word 𝐼) → (𝑀 Σg (𝑈𝑊)) = 𝑊)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 387   = wceq 1508  wcel 2051  c0 4172  ccom 5407  wf 6181  cfv 6185  (class class class)co 6974  Word cword 13670   ++ cconcat 13731  ⟨“cs1 13756  Basecbs 16337  +gcplusg 16419   Σg cgsu 16568  Mndcmnd 17774  freeMndcfrmd 17865  varFMndcvrmd 17866
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1759  ax-4 1773  ax-5 1870  ax-6 1929  ax-7 1966  ax-8 2053  ax-9 2060  ax-10 2080  ax-11 2094  ax-12 2107  ax-13 2302  ax-ext 2743  ax-rep 5045  ax-sep 5056  ax-nul 5063  ax-pow 5115  ax-pr 5182  ax-un 7277  ax-cnex 10389  ax-resscn 10390  ax-1cn 10391  ax-icn 10392  ax-addcl 10393  ax-addrcl 10394  ax-mulcl 10395  ax-mulrcl 10396  ax-mulcom 10397  ax-addass 10398  ax-mulass 10399  ax-distr 10400  ax-i2m1 10401  ax-1ne0 10402  ax-1rid 10403  ax-rnegex 10404  ax-rrecex 10405  ax-cnre 10406  ax-pre-lttri 10407  ax-pre-lttrn 10408  ax-pre-ltadd 10409  ax-pre-mulgt0 10410
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 835  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1511  df-ex 1744  df-nf 1748  df-sb 2017  df-mo 2548  df-eu 2585  df-clab 2752  df-cleq 2764  df-clel 2839  df-nfc 2911  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3086  df-rex 3087  df-reu 3088  df-rmo 3089  df-rab 3090  df-v 3410  df-sbc 3675  df-csb 3780  df-dif 3825  df-un 3827  df-in 3829  df-ss 3836  df-pss 3838  df-nul 4173  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4709  df-int 4746  df-iun 4790  df-br 4926  df-opab 4988  df-mpt 5005  df-tr 5027  df-id 5308  df-eprel 5313  df-po 5322  df-so 5323  df-fr 5362  df-we 5364  df-xp 5409  df-rel 5410  df-cnv 5411  df-co 5412  df-dm 5413  df-rn 5414  df-res 5415  df-ima 5416  df-pred 5983  df-ord 6029  df-on 6030  df-lim 6031  df-suc 6032  df-iota 6149  df-fun 6187  df-fn 6188  df-f 6189  df-f1 6190  df-fo 6191  df-f1o 6192  df-fv 6193  df-riota 6935  df-ov 6977  df-oprab 6978  df-mpo 6979  df-om 7395  df-1st 7499  df-2nd 7500  df-wrecs 7748  df-recs 7810  df-rdg 7848  df-1o 7903  df-oadd 7907  df-er 8087  df-map 8206  df-en 8305  df-dom 8306  df-sdom 8307  df-fin 8308  df-card 9160  df-pnf 10474  df-mnf 10475  df-xr 10476  df-ltxr 10477  df-le 10478  df-sub 10670  df-neg 10671  df-nn 11438  df-2 11501  df-n0 11706  df-xnn0 11778  df-z 11792  df-uz 12057  df-fz 12707  df-fzo 12848  df-seq 13183  df-hash 13504  df-word 13671  df-lsw 13724  df-concat 13732  df-s1 13757  df-substr 13802  df-pfx 13851  df-struct 16339  df-ndx 16340  df-slot 16341  df-base 16343  df-sets 16344  df-ress 16345  df-plusg 16432  df-0g 16569  df-gsum 16570  df-mgm 17722  df-sgrp 17764  df-mnd 17775  df-submnd 17816  df-frmd 17867  df-vrmd 17868
This theorem is referenced by:  frmdss2  17881  frmdup3lem  17884  frgpup3lem  18675
  Copyright terms: Public domain W3C validator