MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frmdgsum Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frmdgsum 18888
Description: Any word in a free monoid can be expressed as the sum of the singletons composing it. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
frmdmnd.m 𝑀 = (freeMnd‘𝐼)
frmdgsum.u 𝑈 = (varFMnd𝐼)
Assertion
Ref Expression
frmdgsum ((𝐼𝑉𝑊 ∈ Word 𝐼) → (𝑀 Σg (𝑈𝑊)) = 𝑊)

Proof of Theorem frmdgsum
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 coeq2 5872 . . . . . . 7 (𝑥 = ∅ → (𝑈𝑥) = (𝑈 ∘ ∅))
2 co02 6282 . . . . . . 7 (𝑈 ∘ ∅) = ∅
31, 2eqtrdi 2791 . . . . . 6 (𝑥 = ∅ → (𝑈𝑥) = ∅)
43oveq2d 7447 . . . . 5 (𝑥 = ∅ → (𝑀 Σg (𝑈𝑥)) = (𝑀 Σg ∅))
5 id 22 . . . . 5 (𝑥 = ∅ → 𝑥 = ∅)
64, 5eqeq12d 2751 . . . 4 (𝑥 = ∅ → ((𝑀 Σg (𝑈𝑥)) = 𝑥 ↔ (𝑀 Σg ∅) = ∅))
76imbi2d 340 . . 3 (𝑥 = ∅ → ((𝐼𝑉 → (𝑀 Σg (𝑈𝑥)) = 𝑥) ↔ (𝐼𝑉 → (𝑀 Σg ∅) = ∅)))
8 coeq2 5872 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → (𝑈𝑥) = (𝑈𝑦))
98oveq2d 7447 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → (𝑀 Σg (𝑈𝑥)) = (𝑀 Σg (𝑈𝑦)))
10 id 22 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦𝑥 = 𝑦)
119, 10eqeq12d 2751 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑀 Σg (𝑈𝑥)) = 𝑥 ↔ (𝑀 Σg (𝑈𝑦)) = 𝑦))
1211imbi2d 340 . . 3 (𝑥 = 𝑦 → ((𝐼𝑉 → (𝑀 Σg (𝑈𝑥)) = 𝑥) ↔ (𝐼𝑉 → (𝑀 Σg (𝑈𝑦)) = 𝑦)))
13 coeq2 5872 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩) → (𝑈𝑥) = (𝑈 ∘ (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)))
1413oveq2d 7447 . . . . 5 (𝑥 = (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩) → (𝑀 Σg (𝑈𝑥)) = (𝑀 Σg (𝑈 ∘ (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))))
15 id 22 . . . . 5 (𝑥 = (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩) → 𝑥 = (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))
1614, 15eqeq12d 2751 . . . 4 (𝑥 = (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩) → ((𝑀 Σg (𝑈𝑥)) = 𝑥 ↔ (𝑀 Σg (𝑈 ∘ (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))) = (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)))
1716imbi2d 340 . . 3 (𝑥 = (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩) → ((𝐼𝑉 → (𝑀 Σg (𝑈𝑥)) = 𝑥) ↔ (𝐼𝑉 → (𝑀 Σg (𝑈 ∘ (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))) = (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))))
18 coeq2 5872 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑊 → (𝑈𝑥) = (𝑈𝑊))
1918oveq2d 7447 . . . . 5 (𝑥 = 𝑊 → (𝑀 Σg (𝑈𝑥)) = (𝑀 Σg (𝑈𝑊)))
20 id 22 . . . . 5 (𝑥 = 𝑊𝑥 = 𝑊)
2119, 20eqeq12d 2751 . . . 4 (𝑥 = 𝑊 → ((𝑀 Σg (𝑈𝑥)) = 𝑥 ↔ (𝑀 Σg (𝑈𝑊)) = 𝑊))
2221imbi2d 340 . . 3 (𝑥 = 𝑊 → ((𝐼𝑉 → (𝑀 Σg (𝑈𝑥)) = 𝑥) ↔ (𝐼𝑉 → (𝑀 Σg (𝑈𝑊)) = 𝑊)))
23 frmdmnd.m . . . . . 6 𝑀 = (freeMnd‘𝐼)
2423frmd0 18886 . . . . 5 ∅ = (0g𝑀)
2524gsum0 18710 . . . 4 (𝑀 Σg ∅) = ∅
2625a1i 11 . . 3 (𝐼𝑉 → (𝑀 Σg ∅) = ∅)
27 oveq1 7438 . . . . . 6 ((𝑀 Σg (𝑈𝑦)) = 𝑦 → ((𝑀 Σg (𝑈𝑦)) ++ ⟨“𝑧”⟩) = (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))
28 simprl 771 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼𝑧𝐼)) → 𝑦 ∈ Word 𝐼)
29 simprr 773 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼𝑧𝐼)) → 𝑧𝐼)
3029s1cld 14638 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼𝑧𝐼)) → ⟨“𝑧”⟩ ∈ Word 𝐼)
31 frmdgsum.u . . . . . . . . . . . . 13 𝑈 = (varFMnd𝐼)
3231vrmdf 18884 . . . . . . . . . . . 12 (𝐼𝑉𝑈:𝐼⟶Word 𝐼)
3332adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼𝑧𝐼)) → 𝑈:𝐼⟶Word 𝐼)
34 ccatco 14871 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ Word 𝐼 ∧ ⟨“𝑧”⟩ ∈ Word 𝐼𝑈:𝐼⟶Word 𝐼) → (𝑈 ∘ (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)) = ((𝑈𝑦) ++ (𝑈 ∘ ⟨“𝑧”⟩)))
3528, 30, 33, 34syl3anc 1370 . . . . . . . . . 10 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼𝑧𝐼)) → (𝑈 ∘ (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)) = ((𝑈𝑦) ++ (𝑈 ∘ ⟨“𝑧”⟩)))
36 s1co 14869 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧𝐼𝑈:𝐼⟶Word 𝐼) → (𝑈 ∘ ⟨“𝑧”⟩) = ⟨“(𝑈𝑧)”⟩)
3729, 33, 36syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼𝑧𝐼)) → (𝑈 ∘ ⟨“𝑧”⟩) = ⟨“(𝑈𝑧)”⟩)
3831vrmdval 18883 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐼𝑉𝑧𝐼) → (𝑈𝑧) = ⟨“𝑧”⟩)
3938adantrl 716 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼𝑧𝐼)) → (𝑈𝑧) = ⟨“𝑧”⟩)
4039s1eqd 14636 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼𝑧𝐼)) → ⟨“(𝑈𝑧)”⟩ = ⟨“⟨“𝑧”⟩”⟩)
4137, 40eqtrd 2775 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼𝑧𝐼)) → (𝑈 ∘ ⟨“𝑧”⟩) = ⟨“⟨“𝑧”⟩”⟩)
4241oveq2d 7447 . . . . . . . . . 10 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼𝑧𝐼)) → ((𝑈𝑦) ++ (𝑈 ∘ ⟨“𝑧”⟩)) = ((𝑈𝑦) ++ ⟨“⟨“𝑧”⟩”⟩))
4335, 42eqtrd 2775 . . . . . . . . 9 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼𝑧𝐼)) → (𝑈 ∘ (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)) = ((𝑈𝑦) ++ ⟨“⟨“𝑧”⟩”⟩))
4443oveq2d 7447 . . . . . . . 8 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼𝑧𝐼)) → (𝑀 Σg (𝑈 ∘ (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))) = (𝑀 Σg ((𝑈𝑦) ++ ⟨“⟨“𝑧”⟩”⟩)))
4523frmdmnd 18885 . . . . . . . . . . 11 (𝐼𝑉𝑀 ∈ Mnd)
4645adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼𝑧𝐼)) → 𝑀 ∈ Mnd)
47 wrdco 14867 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ Word 𝐼𝑈:𝐼⟶Word 𝐼) → (𝑈𝑦) ∈ Word Word 𝐼)
4828, 33, 47syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼𝑧𝐼)) → (𝑈𝑦) ∈ Word Word 𝐼)
49 eqid 2735 . . . . . . . . . . . . . 14 (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
5023, 49frmdbas 18878 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐼𝑉 → (Base‘𝑀) = Word 𝐼)
5150adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼𝑧𝐼)) → (Base‘𝑀) = Word 𝐼)
52 wrdeq 14571 . . . . . . . . . . . 12 ((Base‘𝑀) = Word 𝐼 → Word (Base‘𝑀) = Word Word 𝐼)
5351, 52syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼𝑧𝐼)) → Word (Base‘𝑀) = Word Word 𝐼)
5448, 53eleqtrrd 2842 . . . . . . . . . 10 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼𝑧𝐼)) → (𝑈𝑦) ∈ Word (Base‘𝑀))
5530, 51eleqtrrd 2842 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼𝑧𝐼)) → ⟨“𝑧”⟩ ∈ (Base‘𝑀))
5655s1cld 14638 . . . . . . . . . 10 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼𝑧𝐼)) → ⟨“⟨“𝑧”⟩”⟩ ∈ Word (Base‘𝑀))
57 eqid 2735 . . . . . . . . . . 11 (+g𝑀) = (+g𝑀)
5849, 57gsumccat 18867 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑈𝑦) ∈ Word (Base‘𝑀) ∧ ⟨“⟨“𝑧”⟩”⟩ ∈ Word (Base‘𝑀)) → (𝑀 Σg ((𝑈𝑦) ++ ⟨“⟨“𝑧”⟩”⟩)) = ((𝑀 Σg (𝑈𝑦))(+g𝑀)(𝑀 Σg ⟨“⟨“𝑧”⟩”⟩)))
5946, 54, 56, 58syl3anc 1370 . . . . . . . . 9 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼𝑧𝐼)) → (𝑀 Σg ((𝑈𝑦) ++ ⟨“⟨“𝑧”⟩”⟩)) = ((𝑀 Σg (𝑈𝑦))(+g𝑀)(𝑀 Σg ⟨“⟨“𝑧”⟩”⟩)))
6049gsumws1 18864 . . . . . . . . . . . 12 (⟨“𝑧”⟩ ∈ (Base‘𝑀) → (𝑀 Σg ⟨“⟨“𝑧”⟩”⟩) = ⟨“𝑧”⟩)
6155, 60syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼𝑧𝐼)) → (𝑀 Σg ⟨“⟨“𝑧”⟩”⟩) = ⟨“𝑧”⟩)
6261oveq2d 7447 . . . . . . . . . 10 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼𝑧𝐼)) → ((𝑀 Σg (𝑈𝑦))(+g𝑀)(𝑀 Σg ⟨“⟨“𝑧”⟩”⟩)) = ((𝑀 Σg (𝑈𝑦))(+g𝑀)⟨“𝑧”⟩))
6349gsumwcl 18865 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑈𝑦) ∈ Word (Base‘𝑀)) → (𝑀 Σg (𝑈𝑦)) ∈ (Base‘𝑀))
6446, 54, 63syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼𝑧𝐼)) → (𝑀 Σg (𝑈𝑦)) ∈ (Base‘𝑀))
6523, 49, 57frmdadd 18881 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 Σg (𝑈𝑦)) ∈ (Base‘𝑀) ∧ ⟨“𝑧”⟩ ∈ (Base‘𝑀)) → ((𝑀 Σg (𝑈𝑦))(+g𝑀)⟨“𝑧”⟩) = ((𝑀 Σg (𝑈𝑦)) ++ ⟨“𝑧”⟩))
6664, 55, 65syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼𝑧𝐼)) → ((𝑀 Σg (𝑈𝑦))(+g𝑀)⟨“𝑧”⟩) = ((𝑀 Σg (𝑈𝑦)) ++ ⟨“𝑧”⟩))
6762, 66eqtrd 2775 . . . . . . . . 9 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼𝑧𝐼)) → ((𝑀 Σg (𝑈𝑦))(+g𝑀)(𝑀 Σg ⟨“⟨“𝑧”⟩”⟩)) = ((𝑀 Σg (𝑈𝑦)) ++ ⟨“𝑧”⟩))
6859, 67eqtrd 2775 . . . . . . . 8 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼𝑧𝐼)) → (𝑀 Σg ((𝑈𝑦) ++ ⟨“⟨“𝑧”⟩”⟩)) = ((𝑀 Σg (𝑈𝑦)) ++ ⟨“𝑧”⟩))
6944, 68eqtrd 2775 . . . . . . 7 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼𝑧𝐼)) → (𝑀 Σg (𝑈 ∘ (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))) = ((𝑀 Σg (𝑈𝑦)) ++ ⟨“𝑧”⟩))
7069eqeq1d 2737 . . . . . 6 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼𝑧𝐼)) → ((𝑀 Σg (𝑈 ∘ (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))) = (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩) ↔ ((𝑀 Σg (𝑈𝑦)) ++ ⟨“𝑧”⟩) = (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)))
7127, 70imbitrrid 246 . . . . 5 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼𝑧𝐼)) → ((𝑀 Σg (𝑈𝑦)) = 𝑦 → (𝑀 Σg (𝑈 ∘ (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))) = (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)))
7271expcom 413 . . . 4 ((𝑦 ∈ Word 𝐼𝑧𝐼) → (𝐼𝑉 → ((𝑀 Σg (𝑈𝑦)) = 𝑦 → (𝑀 Σg (𝑈 ∘ (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))) = (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))))
7372a2d 29 . . 3 ((𝑦 ∈ Word 𝐼𝑧𝐼) → ((𝐼𝑉 → (𝑀 Σg (𝑈𝑦)) = 𝑦) → (𝐼𝑉 → (𝑀 Σg (𝑈 ∘ (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))) = (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))))
747, 12, 17, 22, 26, 73wrdind 14757 . 2 (𝑊 ∈ Word 𝐼 → (𝐼𝑉 → (𝑀 Σg (𝑈𝑊)) = 𝑊))
7574impcom 407 1 ((𝐼𝑉𝑊 ∈ Word 𝐼) → (𝑀 Σg (𝑈𝑊)) = 𝑊)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  c0 4339  ccom 5693  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  Word cword 14549   ++ cconcat 14605  ⟨“cs1 14630  Basecbs 17245  +gcplusg 17298   Σg cgsu 17487  Mndcmnd 18760  freeMndcfrmd 18873  varFMndcvrmd 18874
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-n0 12525  df-xnn0 12598  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-hash 14367  df-word 14550  df-lsw 14598  df-concat 14606  df-s1 14631  df-substr 14676  df-pfx 14706  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-submnd 18810  df-frmd 18875  df-vrmd 18876
This theorem is referenced by:  frmdss2  18889  frmdup3lem  18892  frgpup3lem  19810
  Copyright terms: Public domain W3C validator