MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frmdgsum Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem frmdgsum 18818
Description: Any word in a free monoid can be expressed as the sum of the singletons composing it. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
frmdmnd.m 𝑀 = (freeMndβ€˜πΌ)
frmdgsum.u π‘ˆ = (varFMndβ€˜πΌ)
Assertion
Ref Expression
frmdgsum ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ π‘Š ∈ Word 𝐼) β†’ (𝑀 Ξ£g (π‘ˆ ∘ π‘Š)) = π‘Š)
Proof of Theorem frmdgsum
Dummy variables π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 coeq2 5855 . . . . . . 7 (π‘₯ = βˆ… β†’ (π‘ˆ ∘ π‘₯) = (π‘ˆ ∘ βˆ…))
2 co02 6259 . . . . . . 7 (π‘ˆ ∘ βˆ…) = βˆ…
31, 2eqtrdi 2781 . . . . . 6 (π‘₯ = βˆ… β†’ (π‘ˆ ∘ π‘₯) = βˆ…)
43oveq2d 7432 . . . . 5 (π‘₯ = βˆ… β†’ (𝑀 Ξ£g (π‘ˆ ∘ π‘₯)) = (𝑀 Ξ£g βˆ…))
5 id 22 . . . . 5 (π‘₯ = βˆ… β†’ π‘₯ = βˆ…)
64, 5eqeq12d 2741 . . . 4 (π‘₯ = βˆ… β†’ ((𝑀 Ξ£g (π‘ˆ ∘ π‘₯)) = π‘₯ ↔ (𝑀 Ξ£g βˆ…) = βˆ…))
76imbi2d 339 . . 3 (π‘₯ = βˆ… β†’ ((𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (𝑀 Ξ£g (π‘ˆ ∘ π‘₯)) = π‘₯) ↔ (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (𝑀 Ξ£g βˆ…) = βˆ…)))
8 coeq2 5855 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (π‘ˆ ∘ π‘₯) = (π‘ˆ ∘ 𝑦))
98oveq2d 7432 . . . . 5 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (𝑀 Ξ£g (π‘ˆ ∘ π‘₯)) = (𝑀 Ξ£g (π‘ˆ ∘ 𝑦)))
10 id 22 . . . . 5 (π‘₯ = 𝑦 β†’ π‘₯ = 𝑦)
119, 10eqeq12d 2741 . . . 4 (π‘₯ = 𝑦 β†’ ((𝑀 Ξ£g (π‘ˆ ∘ π‘₯)) = π‘₯ ↔ (𝑀 Ξ£g (π‘ˆ ∘ 𝑦)) = 𝑦))
1211imbi2d 339 . . 3 (π‘₯ = 𝑦 β†’ ((𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (𝑀 Ξ£g (π‘ˆ ∘ π‘₯)) = π‘₯) ↔ (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (𝑀 Ξ£g (π‘ˆ ∘ 𝑦)) = 𝑦)))
13 coeq2 5855 . . . . . 6 (π‘₯ = (𝑦 ++ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©) β†’ (π‘ˆ ∘ π‘₯) = (π‘ˆ ∘ (𝑦 ++ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©)))
1413oveq2d 7432 . . . . 5 (π‘₯ = (𝑦 ++ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©) β†’ (𝑀 Ξ£g (π‘ˆ ∘ π‘₯)) = (𝑀 Ξ£g (π‘ˆ ∘ (𝑦 ++ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©))))
15 id 22 . . . . 5 (π‘₯ = (𝑦 ++ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©) β†’ π‘₯ = (𝑦 ++ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©))
1614, 15eqeq12d 2741 . . . 4 (π‘₯ = (𝑦 ++ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©) β†’ ((𝑀 Ξ£g (π‘ˆ ∘ π‘₯)) = π‘₯ ↔ (𝑀 Ξ£g (π‘ˆ ∘ (𝑦 ++ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©))) = (𝑦 ++ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©)))
1716imbi2d 339 . . 3 (π‘₯ = (𝑦 ++ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©) β†’ ((𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (𝑀 Ξ£g (π‘ˆ ∘ π‘₯)) = π‘₯) ↔ (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (𝑀 Ξ£g (π‘ˆ ∘ (𝑦 ++ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©))) = (𝑦 ++ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©))))
18 coeq2 5855 . . . . . 6 (π‘₯ = π‘Š β†’ (π‘ˆ ∘ π‘₯) = (π‘ˆ ∘ π‘Š))
1918oveq2d 7432 . . . . 5 (π‘₯ = π‘Š β†’ (𝑀 Ξ£g (π‘ˆ ∘ π‘₯)) = (𝑀 Ξ£g (π‘ˆ ∘ π‘Š)))
20 id 22 . . . . 5 (π‘₯ = π‘Š β†’ π‘₯ = π‘Š)
2119, 20eqeq12d 2741 . . . 4 (π‘₯ = π‘Š β†’ ((𝑀 Ξ£g (π‘ˆ ∘ π‘₯)) = π‘₯ ↔ (𝑀 Ξ£g (π‘ˆ ∘ π‘Š)) = π‘Š))
2221imbi2d 339 . . 3 (π‘₯ = π‘Š β†’ ((𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (𝑀 Ξ£g (π‘ˆ ∘ π‘₯)) = π‘₯) ↔ (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (𝑀 Ξ£g (π‘ˆ ∘ π‘Š)) = π‘Š)))
23 frmdmnd.m . . . . . 6 𝑀 = (freeMndβ€˜πΌ)
2423frmd0 18816 . . . . 5 βˆ… = (0gβ€˜π‘€)
2524gsum0 18643 . . . 4 (𝑀 Ξ£g βˆ…) = βˆ…
2625a1i 11 . . 3 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (𝑀 Ξ£g βˆ…) = βˆ…)
27 oveq1 7423 . . . . . 6 ((𝑀 Ξ£g (π‘ˆ ∘ 𝑦)) = 𝑦 β†’ ((𝑀 Ξ£g (π‘ˆ ∘ 𝑦)) ++ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©) = (𝑦 ++ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©))
28 simprl 769 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) β†’ 𝑦 ∈ Word 𝐼)
29 simprr 771 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) β†’ 𝑧 ∈ 𝐼)
3029s1cld 14585 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) β†’ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ© ∈ Word 𝐼)
31 frmdgsum.u . . . . . . . . . . . . 13 π‘ˆ = (varFMndβ€˜πΌ)
3231vrmdf 18814 . . . . . . . . . . . 12 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ π‘ˆ:𝐼⟢Word 𝐼)
3332adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) β†’ π‘ˆ:𝐼⟢Word 𝐼)
34 ccatco 14818 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ Word 𝐼 ∧ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ© ∈ Word 𝐼 ∧ π‘ˆ:𝐼⟢Word 𝐼) β†’ (π‘ˆ ∘ (𝑦 ++ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©)) = ((π‘ˆ ∘ 𝑦) ++ (π‘ˆ ∘ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©)))
3528, 30, 33, 34syl3anc 1368 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) β†’ (π‘ˆ ∘ (𝑦 ++ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©)) = ((π‘ˆ ∘ 𝑦) ++ (π‘ˆ ∘ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©)))
36 s1co 14816 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧 ∈ 𝐼 ∧ π‘ˆ:𝐼⟢Word 𝐼) β†’ (π‘ˆ ∘ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©) = βŸ¨β€œ(π‘ˆβ€˜π‘§)β€βŸ©)
3729, 33, 36syl2anc 582 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) β†’ (π‘ˆ ∘ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©) = βŸ¨β€œ(π‘ˆβ€˜π‘§)β€βŸ©)
3831vrmdval 18813 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) β†’ (π‘ˆβ€˜π‘§) = βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©)
3938adantrl 714 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) β†’ (π‘ˆβ€˜π‘§) = βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©)
4039s1eqd 14583 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) β†’ βŸ¨β€œ(π‘ˆβ€˜π‘§)β€βŸ© = βŸ¨β€œβŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©β€βŸ©)
4137, 40eqtrd 2765 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) β†’ (π‘ˆ ∘ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©) = βŸ¨β€œβŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©β€βŸ©)
4241oveq2d 7432 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) β†’ ((π‘ˆ ∘ 𝑦) ++ (π‘ˆ ∘ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©)) = ((π‘ˆ ∘ 𝑦) ++ βŸ¨β€œβŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©β€βŸ©))
4335, 42eqtrd 2765 . . . . . . . . 9 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) β†’ (π‘ˆ ∘ (𝑦 ++ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©)) = ((π‘ˆ ∘ 𝑦) ++ βŸ¨β€œβŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©β€βŸ©))
4443oveq2d 7432 . . . . . . . 8 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) β†’ (𝑀 Ξ£g (π‘ˆ ∘ (𝑦 ++ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©))) = (𝑀 Ξ£g ((π‘ˆ ∘ 𝑦) ++ βŸ¨β€œβŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©β€βŸ©)))
4523frmdmnd 18815 . . . . . . . . . . 11 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ 𝑀 ∈ Mnd)
4645adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) β†’ 𝑀 ∈ Mnd)
47 wrdco 14814 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ Word 𝐼 ∧ π‘ˆ:𝐼⟢Word 𝐼) β†’ (π‘ˆ ∘ 𝑦) ∈ Word Word 𝐼)
4828, 33, 47syl2anc 582 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) β†’ (π‘ˆ ∘ 𝑦) ∈ Word Word 𝐼)
49 eqid 2725 . . . . . . . . . . . . . 14 (Baseβ€˜π‘€) = (Baseβ€˜π‘€)
5023, 49frmdbas 18808 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (Baseβ€˜π‘€) = Word 𝐼)
5150adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) β†’ (Baseβ€˜π‘€) = Word 𝐼)
52 wrdeq 14518 . . . . . . . . . . . 12 ((Baseβ€˜π‘€) = Word 𝐼 β†’ Word (Baseβ€˜π‘€) = Word Word 𝐼)
5351, 52syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) β†’ Word (Baseβ€˜π‘€) = Word Word 𝐼)
5448, 53eleqtrrd 2828 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) β†’ (π‘ˆ ∘ 𝑦) ∈ Word (Baseβ€˜π‘€))
5530, 51eleqtrrd 2828 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) β†’ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ© ∈ (Baseβ€˜π‘€))
5655s1cld 14585 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) β†’ βŸ¨β€œβŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©β€βŸ© ∈ Word (Baseβ€˜π‘€))
57 eqid 2725 . . . . . . . . . . 11 (+gβ€˜π‘€) = (+gβ€˜π‘€)
5849, 57gsumccat 18797 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (π‘ˆ ∘ 𝑦) ∈ Word (Baseβ€˜π‘€) ∧ βŸ¨β€œβŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©β€βŸ© ∈ Word (Baseβ€˜π‘€)) β†’ (𝑀 Ξ£g ((π‘ˆ ∘ 𝑦) ++ βŸ¨β€œβŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©β€βŸ©)) = ((𝑀 Ξ£g (π‘ˆ ∘ 𝑦))(+gβ€˜π‘€)(𝑀 Ξ£g βŸ¨β€œβŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©β€βŸ©)))
5946, 54, 56, 58syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) β†’ (𝑀 Ξ£g ((π‘ˆ ∘ 𝑦) ++ βŸ¨β€œβŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©β€βŸ©)) = ((𝑀 Ξ£g (π‘ˆ ∘ 𝑦))(+gβ€˜π‘€)(𝑀 Ξ£g βŸ¨β€œβŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©β€βŸ©)))
6049gsumws1 18794 . . . . . . . . . . . 12 (βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ© ∈ (Baseβ€˜π‘€) β†’ (𝑀 Ξ£g βŸ¨β€œβŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©β€βŸ©) = βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©)
6155, 60syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) β†’ (𝑀 Ξ£g βŸ¨β€œβŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©β€βŸ©) = βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©)
6261oveq2d 7432 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) β†’ ((𝑀 Ξ£g (π‘ˆ ∘ 𝑦))(+gβ€˜π‘€)(𝑀 Ξ£g βŸ¨β€œβŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©β€βŸ©)) = ((𝑀 Ξ£g (π‘ˆ ∘ 𝑦))(+gβ€˜π‘€)βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©))
6349gsumwcl 18795 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (π‘ˆ ∘ 𝑦) ∈ Word (Baseβ€˜π‘€)) β†’ (𝑀 Ξ£g (π‘ˆ ∘ 𝑦)) ∈ (Baseβ€˜π‘€))
6446, 54, 63syl2anc 582 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) β†’ (𝑀 Ξ£g (π‘ˆ ∘ 𝑦)) ∈ (Baseβ€˜π‘€))
6523, 49, 57frmdadd 18811 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 Ξ£g (π‘ˆ ∘ 𝑦)) ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ© ∈ (Baseβ€˜π‘€)) β†’ ((𝑀 Ξ£g (π‘ˆ ∘ 𝑦))(+gβ€˜π‘€)βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©) = ((𝑀 Ξ£g (π‘ˆ ∘ 𝑦)) ++ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©))
6664, 55, 65syl2anc 582 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) β†’ ((𝑀 Ξ£g (π‘ˆ ∘ 𝑦))(+gβ€˜π‘€)βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©) = ((𝑀 Ξ£g (π‘ˆ ∘ 𝑦)) ++ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©))
6762, 66eqtrd 2765 . . . . . . . . 9 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) β†’ ((𝑀 Ξ£g (π‘ˆ ∘ 𝑦))(+gβ€˜π‘€)(𝑀 Ξ£g βŸ¨β€œβŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©β€βŸ©)) = ((𝑀 Ξ£g (π‘ˆ ∘ 𝑦)) ++ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©))
6859, 67eqtrd 2765 . . . . . . . 8 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) β†’ (𝑀 Ξ£g ((π‘ˆ ∘ 𝑦) ++ βŸ¨β€œβŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©β€βŸ©)) = ((𝑀 Ξ£g (π‘ˆ ∘ 𝑦)) ++ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©))
6944, 68eqtrd 2765 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) β†’ (𝑀 Ξ£g (π‘ˆ ∘ (𝑦 ++ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©))) = ((𝑀 Ξ£g (π‘ˆ ∘ 𝑦)) ++ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©))
7069eqeq1d 2727 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) β†’ ((𝑀 Ξ£g (π‘ˆ ∘ (𝑦 ++ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©))) = (𝑦 ++ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©) ↔ ((𝑀 Ξ£g (π‘ˆ ∘ 𝑦)) ++ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©) = (𝑦 ++ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©)))
7127, 70imbitrrid 245 . . . . 5 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) β†’ ((𝑀 Ξ£g (π‘ˆ ∘ 𝑦)) = 𝑦 β†’ (𝑀 Ξ£g (π‘ˆ ∘ (𝑦 ++ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©))) = (𝑦 ++ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©)))
7271expcom 412 . . . 4 ((𝑦 ∈ Word 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) β†’ (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ ((𝑀 Ξ£g (π‘ˆ ∘ 𝑦)) = 𝑦 β†’ (𝑀 Ξ£g (π‘ˆ ∘ (𝑦 ++ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©))) = (𝑦 ++ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©))))
7372a2d 29 . . 3 ((𝑦 ∈ Word 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) β†’ ((𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (𝑀 Ξ£g (π‘ˆ ∘ 𝑦)) = 𝑦) β†’ (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (𝑀 Ξ£g (π‘ˆ ∘ (𝑦 ++ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©))) = (𝑦 ++ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©))))
747, 12, 17, 22, 26, 73wrdind 14704 . 2 (π‘Š ∈ Word 𝐼 β†’ (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (𝑀 Ξ£g (π‘ˆ ∘ π‘Š)) = π‘Š))
7574impcom 406 1 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ π‘Š ∈ Word 𝐼) β†’ (𝑀 Ξ£g (π‘ˆ ∘ π‘Š)) = π‘Š)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ…c0 4318   ∘ ccom 5676  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7416  Word cword 14496   ++ cconcat 14552  βŸ¨β€œcs1 14577  Basecbs 17179  +gcplusg 17232   Ξ£g cgsu 17421  Mndcmnd 18693  freeMndcfrmd 18803  varFMndcvrmd 18804
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8723  df-map 8845  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-n0 12503  df-xnn0 12575  df-z 12589  df-uz 12853  df-fz 13517  df-fzo 13660  df-seq 13999  df-hash 14322  df-word 14497  df-lsw 14545  df-concat 14553  df-s1 14578  df-substr 14623  df-pfx 14653  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-0g 17422  df-gsum 17423  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-submnd 18740  df-frmd 18805  df-vrmd 18806
This theorem is referenced by:  frmdss2  18819  frmdup3lem  18822  frgpup3lem  19736
  Copyright terms: Public domain W3C validator