MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frmdgsum Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem frmdgsum 18739
Description: Any word in a free monoid can be expressed as the sum of the singletons composing it. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
frmdmnd.m 𝑀 = (freeMndβ€˜πΌ)
frmdgsum.u π‘ˆ = (varFMndβ€˜πΌ)
Assertion
Ref Expression
frmdgsum ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ π‘Š ∈ Word 𝐼) β†’ (𝑀 Ξ£g (π‘ˆ ∘ π‘Š)) = π‘Š)
Proof of Theorem frmdgsum
Dummy variables π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 coeq2 5856 . . . . . . 7 (π‘₯ = βˆ… β†’ (π‘ˆ ∘ π‘₯) = (π‘ˆ ∘ βˆ…))
2 co02 6256 . . . . . . 7 (π‘ˆ ∘ βˆ…) = βˆ…
31, 2eqtrdi 2788 . . . . . 6 (π‘₯ = βˆ… β†’ (π‘ˆ ∘ π‘₯) = βˆ…)
43oveq2d 7421 . . . . 5 (π‘₯ = βˆ… β†’ (𝑀 Ξ£g (π‘ˆ ∘ π‘₯)) = (𝑀 Ξ£g βˆ…))
5 id 22 . . . . 5 (π‘₯ = βˆ… β†’ π‘₯ = βˆ…)
64, 5eqeq12d 2748 . . . 4 (π‘₯ = βˆ… β†’ ((𝑀 Ξ£g (π‘ˆ ∘ π‘₯)) = π‘₯ ↔ (𝑀 Ξ£g βˆ…) = βˆ…))
76imbi2d 340 . . 3 (π‘₯ = βˆ… β†’ ((𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (𝑀 Ξ£g (π‘ˆ ∘ π‘₯)) = π‘₯) ↔ (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (𝑀 Ξ£g βˆ…) = βˆ…)))
8 coeq2 5856 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (π‘ˆ ∘ π‘₯) = (π‘ˆ ∘ 𝑦))
98oveq2d 7421 . . . . 5 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (𝑀 Ξ£g (π‘ˆ ∘ π‘₯)) = (𝑀 Ξ£g (π‘ˆ ∘ 𝑦)))
10 id 22 . . . . 5 (π‘₯ = 𝑦 β†’ π‘₯ = 𝑦)
119, 10eqeq12d 2748 . . . 4 (π‘₯ = 𝑦 β†’ ((𝑀 Ξ£g (π‘ˆ ∘ π‘₯)) = π‘₯ ↔ (𝑀 Ξ£g (π‘ˆ ∘ 𝑦)) = 𝑦))
1211imbi2d 340 . . 3 (π‘₯ = 𝑦 β†’ ((𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (𝑀 Ξ£g (π‘ˆ ∘ π‘₯)) = π‘₯) ↔ (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (𝑀 Ξ£g (π‘ˆ ∘ 𝑦)) = 𝑦)))
13 coeq2 5856 . . . . . 6 (π‘₯ = (𝑦 ++ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©) β†’ (π‘ˆ ∘ π‘₯) = (π‘ˆ ∘ (𝑦 ++ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©)))
1413oveq2d 7421 . . . . 5 (π‘₯ = (𝑦 ++ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©) β†’ (𝑀 Ξ£g (π‘ˆ ∘ π‘₯)) = (𝑀 Ξ£g (π‘ˆ ∘ (𝑦 ++ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©))))
15 id 22 . . . . 5 (π‘₯ = (𝑦 ++ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©) β†’ π‘₯ = (𝑦 ++ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©))
1614, 15eqeq12d 2748 . . . 4 (π‘₯ = (𝑦 ++ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©) β†’ ((𝑀 Ξ£g (π‘ˆ ∘ π‘₯)) = π‘₯ ↔ (𝑀 Ξ£g (π‘ˆ ∘ (𝑦 ++ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©))) = (𝑦 ++ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©)))
1716imbi2d 340 . . 3 (π‘₯ = (𝑦 ++ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©) β†’ ((𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (𝑀 Ξ£g (π‘ˆ ∘ π‘₯)) = π‘₯) ↔ (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (𝑀 Ξ£g (π‘ˆ ∘ (𝑦 ++ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©))) = (𝑦 ++ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©))))
18 coeq2 5856 . . . . . 6 (π‘₯ = π‘Š β†’ (π‘ˆ ∘ π‘₯) = (π‘ˆ ∘ π‘Š))
1918oveq2d 7421 . . . . 5 (π‘₯ = π‘Š β†’ (𝑀 Ξ£g (π‘ˆ ∘ π‘₯)) = (𝑀 Ξ£g (π‘ˆ ∘ π‘Š)))
20 id 22 . . . . 5 (π‘₯ = π‘Š β†’ π‘₯ = π‘Š)
2119, 20eqeq12d 2748 . . . 4 (π‘₯ = π‘Š β†’ ((𝑀 Ξ£g (π‘ˆ ∘ π‘₯)) = π‘₯ ↔ (𝑀 Ξ£g (π‘ˆ ∘ π‘Š)) = π‘Š))
2221imbi2d 340 . . 3 (π‘₯ = π‘Š β†’ ((𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (𝑀 Ξ£g (π‘ˆ ∘ π‘₯)) = π‘₯) ↔ (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (𝑀 Ξ£g (π‘ˆ ∘ π‘Š)) = π‘Š)))
23 frmdmnd.m . . . . . 6 𝑀 = (freeMndβ€˜πΌ)
2423frmd0 18737 . . . . 5 βˆ… = (0gβ€˜π‘€)
2524gsum0 18599 . . . 4 (𝑀 Ξ£g βˆ…) = βˆ…
2625a1i 11 . . 3 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (𝑀 Ξ£g βˆ…) = βˆ…)
27 oveq1 7412 . . . . . 6 ((𝑀 Ξ£g (π‘ˆ ∘ 𝑦)) = 𝑦 β†’ ((𝑀 Ξ£g (π‘ˆ ∘ 𝑦)) ++ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©) = (𝑦 ++ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©))
28 simprl 769 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) β†’ 𝑦 ∈ Word 𝐼)
29 simprr 771 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) β†’ 𝑧 ∈ 𝐼)
3029s1cld 14549 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) β†’ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ© ∈ Word 𝐼)
31 frmdgsum.u . . . . . . . . . . . . 13 π‘ˆ = (varFMndβ€˜πΌ)
3231vrmdf 18735 . . . . . . . . . . . 12 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ π‘ˆ:𝐼⟢Word 𝐼)
3332adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) β†’ π‘ˆ:𝐼⟢Word 𝐼)
34 ccatco 14782 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ Word 𝐼 ∧ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ© ∈ Word 𝐼 ∧ π‘ˆ:𝐼⟢Word 𝐼) β†’ (π‘ˆ ∘ (𝑦 ++ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©)) = ((π‘ˆ ∘ 𝑦) ++ (π‘ˆ ∘ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©)))
3528, 30, 33, 34syl3anc 1371 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) β†’ (π‘ˆ ∘ (𝑦 ++ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©)) = ((π‘ˆ ∘ 𝑦) ++ (π‘ˆ ∘ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©)))
36 s1co 14780 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧 ∈ 𝐼 ∧ π‘ˆ:𝐼⟢Word 𝐼) β†’ (π‘ˆ ∘ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©) = βŸ¨β€œ(π‘ˆβ€˜π‘§)β€βŸ©)
3729, 33, 36syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) β†’ (π‘ˆ ∘ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©) = βŸ¨β€œ(π‘ˆβ€˜π‘§)β€βŸ©)
3831vrmdval 18734 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) β†’ (π‘ˆβ€˜π‘§) = βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©)
3938adantrl 714 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) β†’ (π‘ˆβ€˜π‘§) = βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©)
4039s1eqd 14547 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) β†’ βŸ¨β€œ(π‘ˆβ€˜π‘§)β€βŸ© = βŸ¨β€œβŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©β€βŸ©)
4137, 40eqtrd 2772 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) β†’ (π‘ˆ ∘ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©) = βŸ¨β€œβŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©β€βŸ©)
4241oveq2d 7421 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) β†’ ((π‘ˆ ∘ 𝑦) ++ (π‘ˆ ∘ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©)) = ((π‘ˆ ∘ 𝑦) ++ βŸ¨β€œβŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©β€βŸ©))
4335, 42eqtrd 2772 . . . . . . . . 9 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) β†’ (π‘ˆ ∘ (𝑦 ++ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©)) = ((π‘ˆ ∘ 𝑦) ++ βŸ¨β€œβŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©β€βŸ©))
4443oveq2d 7421 . . . . . . . 8 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) β†’ (𝑀 Ξ£g (π‘ˆ ∘ (𝑦 ++ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©))) = (𝑀 Ξ£g ((π‘ˆ ∘ 𝑦) ++ βŸ¨β€œβŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©β€βŸ©)))
4523frmdmnd 18736 . . . . . . . . . . 11 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ 𝑀 ∈ Mnd)
4645adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) β†’ 𝑀 ∈ Mnd)
47 wrdco 14778 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ Word 𝐼 ∧ π‘ˆ:𝐼⟢Word 𝐼) β†’ (π‘ˆ ∘ 𝑦) ∈ Word Word 𝐼)
4828, 33, 47syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) β†’ (π‘ˆ ∘ 𝑦) ∈ Word Word 𝐼)
49 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . 14 (Baseβ€˜π‘€) = (Baseβ€˜π‘€)
5023, 49frmdbas 18729 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (Baseβ€˜π‘€) = Word 𝐼)
5150adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) β†’ (Baseβ€˜π‘€) = Word 𝐼)
52 wrdeq 14482 . . . . . . . . . . . 12 ((Baseβ€˜π‘€) = Word 𝐼 β†’ Word (Baseβ€˜π‘€) = Word Word 𝐼)
5351, 52syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) β†’ Word (Baseβ€˜π‘€) = Word Word 𝐼)
5448, 53eleqtrrd 2836 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) β†’ (π‘ˆ ∘ 𝑦) ∈ Word (Baseβ€˜π‘€))
5530, 51eleqtrrd 2836 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) β†’ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ© ∈ (Baseβ€˜π‘€))
5655s1cld 14549 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) β†’ βŸ¨β€œβŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©β€βŸ© ∈ Word (Baseβ€˜π‘€))
57 eqid 2732 . . . . . . . . . . 11 (+gβ€˜π‘€) = (+gβ€˜π‘€)
5849, 57gsumccat 18718 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (π‘ˆ ∘ 𝑦) ∈ Word (Baseβ€˜π‘€) ∧ βŸ¨β€œβŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©β€βŸ© ∈ Word (Baseβ€˜π‘€)) β†’ (𝑀 Ξ£g ((π‘ˆ ∘ 𝑦) ++ βŸ¨β€œβŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©β€βŸ©)) = ((𝑀 Ξ£g (π‘ˆ ∘ 𝑦))(+gβ€˜π‘€)(𝑀 Ξ£g βŸ¨β€œβŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©β€βŸ©)))
5946, 54, 56, 58syl3anc 1371 . . . . . . . . 9 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) β†’ (𝑀 Ξ£g ((π‘ˆ ∘ 𝑦) ++ βŸ¨β€œβŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©β€βŸ©)) = ((𝑀 Ξ£g (π‘ˆ ∘ 𝑦))(+gβ€˜π‘€)(𝑀 Ξ£g βŸ¨β€œβŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©β€βŸ©)))
6049gsumws1 18715 . . . . . . . . . . . 12 (βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ© ∈ (Baseβ€˜π‘€) β†’ (𝑀 Ξ£g βŸ¨β€œβŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©β€βŸ©) = βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©)
6155, 60syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) β†’ (𝑀 Ξ£g βŸ¨β€œβŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©β€βŸ©) = βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©)
6261oveq2d 7421 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) β†’ ((𝑀 Ξ£g (π‘ˆ ∘ 𝑦))(+gβ€˜π‘€)(𝑀 Ξ£g βŸ¨β€œβŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©β€βŸ©)) = ((𝑀 Ξ£g (π‘ˆ ∘ 𝑦))(+gβ€˜π‘€)βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©))
6349gsumwcl 18716 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (π‘ˆ ∘ 𝑦) ∈ Word (Baseβ€˜π‘€)) β†’ (𝑀 Ξ£g (π‘ˆ ∘ 𝑦)) ∈ (Baseβ€˜π‘€))
6446, 54, 63syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) β†’ (𝑀 Ξ£g (π‘ˆ ∘ 𝑦)) ∈ (Baseβ€˜π‘€))
6523, 49, 57frmdadd 18732 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 Ξ£g (π‘ˆ ∘ 𝑦)) ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ© ∈ (Baseβ€˜π‘€)) β†’ ((𝑀 Ξ£g (π‘ˆ ∘ 𝑦))(+gβ€˜π‘€)βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©) = ((𝑀 Ξ£g (π‘ˆ ∘ 𝑦)) ++ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©))
6664, 55, 65syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) β†’ ((𝑀 Ξ£g (π‘ˆ ∘ 𝑦))(+gβ€˜π‘€)βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©) = ((𝑀 Ξ£g (π‘ˆ ∘ 𝑦)) ++ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©))
6762, 66eqtrd 2772 . . . . . . . . 9 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) β†’ ((𝑀 Ξ£g (π‘ˆ ∘ 𝑦))(+gβ€˜π‘€)(𝑀 Ξ£g βŸ¨β€œβŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©β€βŸ©)) = ((𝑀 Ξ£g (π‘ˆ ∘ 𝑦)) ++ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©))
6859, 67eqtrd 2772 . . . . . . . 8 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) β†’ (𝑀 Ξ£g ((π‘ˆ ∘ 𝑦) ++ βŸ¨β€œβŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©β€βŸ©)) = ((𝑀 Ξ£g (π‘ˆ ∘ 𝑦)) ++ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©))
6944, 68eqtrd 2772 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) β†’ (𝑀 Ξ£g (π‘ˆ ∘ (𝑦 ++ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©))) = ((𝑀 Ξ£g (π‘ˆ ∘ 𝑦)) ++ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©))
7069eqeq1d 2734 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) β†’ ((𝑀 Ξ£g (π‘ˆ ∘ (𝑦 ++ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©))) = (𝑦 ++ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©) ↔ ((𝑀 Ξ£g (π‘ˆ ∘ 𝑦)) ++ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©) = (𝑦 ++ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©)))
7127, 70imbitrrid 245 . . . . 5 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) β†’ ((𝑀 Ξ£g (π‘ˆ ∘ 𝑦)) = 𝑦 β†’ (𝑀 Ξ£g (π‘ˆ ∘ (𝑦 ++ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©))) = (𝑦 ++ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©)))
7271expcom 414 . . . 4 ((𝑦 ∈ Word 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) β†’ (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ ((𝑀 Ξ£g (π‘ˆ ∘ 𝑦)) = 𝑦 β†’ (𝑀 Ξ£g (π‘ˆ ∘ (𝑦 ++ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©))) = (𝑦 ++ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©))))
7372a2d 29 . . 3 ((𝑦 ∈ Word 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) β†’ ((𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (𝑀 Ξ£g (π‘ˆ ∘ 𝑦)) = 𝑦) β†’ (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (𝑀 Ξ£g (π‘ˆ ∘ (𝑦 ++ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©))) = (𝑦 ++ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©))))
747, 12, 17, 22, 26, 73wrdind 14668 . 2 (π‘Š ∈ Word 𝐼 β†’ (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (𝑀 Ξ£g (π‘ˆ ∘ π‘Š)) = π‘Š))
7574impcom 408 1 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ π‘Š ∈ Word 𝐼) β†’ (𝑀 Ξ£g (π‘ˆ ∘ π‘Š)) = π‘Š)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ…c0 4321   ∘ ccom 5679  βŸΆwf 6536  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  Word cword 14460   ++ cconcat 14516  βŸ¨β€œcs1 14541  Basecbs 17140  +gcplusg 17193   Ξ£g cgsu 17382  Mndcmnd 18621  freeMndcfrmd 18724  varFMndcvrmd 18725
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-n0 12469  df-xnn0 12541  df-z 12555  df-uz 12819  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-seq 13963  df-hash 14287  df-word 14461  df-lsw 14509  df-concat 14517  df-s1 14542  df-substr 14587  df-pfx 14617  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-submnd 18668  df-frmd 18726  df-vrmd 18727
This theorem is referenced by:  frmdss2  18740  frmdup3lem  18743  frgpup3lem  19639
  Copyright terms: Public domain W3C validator