Theorem frmdgsum 19019

Description: Any word in a free monoid can be expressed as the sum of the singletons composing it. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
frmdmnd.m	⊢ 𝑀 = (freeMnd‘𝐼)
frmdgsum.u	⊢ 𝑈 = (varFMnd‘𝐼)

Assertion

Ref	Expression
frmdgsum	⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐼) → (𝑀 Σg (𝑈 ∘ 𝑊)) = 𝑊)

Proof of Theorem frmdgsum

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		coeq2 5832	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = ∅ → (𝑈 ∘ 𝑥) = (𝑈 ∘ ∅))
2		co02 6251	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈 ∘ ∅) = ∅
3	1, 2	eqtrdi 2811	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ∅ → (𝑈 ∘ 𝑥) = ∅)
4	3	oveq2d 7424	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = ∅ → (𝑀 Σg (𝑈 ∘ 𝑥)) = (𝑀 Σg ∅))
5		id 23	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = ∅ → 𝑥 = ∅)
6	4, 5	eqeq12d 2776	. . . 4 ⊢ (𝑥 = ∅ → ((𝑀 Σg (𝑈 ∘ 𝑥)) = 𝑥 ↔ (𝑀 Σg ∅) = ∅))
7	6	imbi2d 343	. . 3 ⊢ (𝑥 = ∅ → ((𝐼 ∈ 𝑉 → (𝑀 Σg (𝑈 ∘ 𝑥)) = 𝑥) ↔ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝑀 Σg ∅) = ∅)))
8		coeq2 5832	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑈 ∘ 𝑥) = (𝑈 ∘ 𝑦))
9	8	oveq2d 7424	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑀 Σg (𝑈 ∘ 𝑥)) = (𝑀 Σg (𝑈 ∘ 𝑦)))
10		id 23	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → 𝑥 = 𝑦)
11	9, 10	eqeq12d 2776	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑀 Σg (𝑈 ∘ 𝑥)) = 𝑥 ↔ (𝑀 Σg (𝑈 ∘ 𝑦)) = 𝑦))
12	11	imbi2d 343	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝐼 ∈ 𝑉 → (𝑀 Σg (𝑈 ∘ 𝑥)) = 𝑥) ↔ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝑀 Σg (𝑈 ∘ 𝑦)) = 𝑦)))
13		coeq2 5832	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩) → (𝑈 ∘ 𝑥) = (𝑈 ∘ (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)))
14	13	oveq2d 7424	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩) → (𝑀 Σg (𝑈 ∘ 𝑥)) = (𝑀 Σg (𝑈 ∘ (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))))
15		id 23	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩) → 𝑥 = (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))
16	14, 15	eqeq12d 2776	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩) → ((𝑀 Σg (𝑈 ∘ 𝑥)) = 𝑥 ↔ (𝑀 Σg (𝑈 ∘ (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))) = (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)))
17	16	imbi2d 343	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩) → ((𝐼 ∈ 𝑉 → (𝑀 Σg (𝑈 ∘ 𝑥)) = 𝑥) ↔ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝑀 Σg (𝑈 ∘ (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))) = (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))))
18		coeq2 5832	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑊 → (𝑈 ∘ 𝑥) = (𝑈 ∘ 𝑊))
19	18	oveq2d 7424	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑊 → (𝑀 Σg (𝑈 ∘ 𝑥)) = (𝑀 Σg (𝑈 ∘ 𝑊)))
20		id 23	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑊 → 𝑥 = 𝑊)
21	19, 20	eqeq12d 2776	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑊 → ((𝑀 Σg (𝑈 ∘ 𝑥)) = 𝑥 ↔ (𝑀 Σg (𝑈 ∘ 𝑊)) = 𝑊))
22	21	imbi2d 343	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑊 → ((𝐼 ∈ 𝑉 → (𝑀 Σg (𝑈 ∘ 𝑥)) = 𝑥) ↔ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝑀 Σg (𝑈 ∘ 𝑊)) = 𝑊)))
23		frmdmnd.m	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 = (freeMnd‘𝐼)
24	23	frmd0 19017	. . . . 5 ⊢ ∅ = (0g‘𝑀)
25	24	gsum0 18834	. . . 4 ⊢ (𝑀 Σg ∅) = ∅
26	25	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝑀 Σg ∅) = ∅)
27		oveq1 7415	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 Σg (𝑈 ∘ 𝑦)) = 𝑦 → ((𝑀 Σg (𝑈 ∘ 𝑦)) ++ ⟨“𝑧”⟩) = (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))
28		simprl 783	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) → 𝑦 ∈ Word 𝐼)
29		simprr 785	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) → 𝑧 ∈ 𝐼)
30	29	s1cld 14717	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) → ⟨“𝑧”⟩ ∈ Word 𝐼)
31		frmdgsum.u	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑈 = (varFMnd‘𝐼)
32	31	vrmdf 19015	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝑈:𝐼⟶Word 𝐼)
33	32	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) → 𝑈:𝐼⟶Word 𝐼)
34		ccatco 14953	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ Word 𝐼 ∧ ⟨“𝑧”⟩ ∈ Word 𝐼 ∧ 𝑈:𝐼⟶Word 𝐼) → (𝑈 ∘ (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)) = ((𝑈 ∘ 𝑦) ++ (𝑈 ∘ ⟨“𝑧”⟩)))
35	28, 30, 33, 34	syl3anc 1398	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) → (𝑈 ∘ (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)) = ((𝑈 ∘ 𝑦) ++ (𝑈 ∘ ⟨“𝑧”⟩)))
36		s1co 14951	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐼 ∧ 𝑈:𝐼⟶Word 𝐼) → (𝑈 ∘ ⟨“𝑧”⟩) = ⟨“(𝑈‘𝑧)”⟩)
37	29, 33, 36	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) → (𝑈 ∘ ⟨“𝑧”⟩) = ⟨“(𝑈‘𝑧)”⟩)
38	31	vrmdval 19014	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) → (𝑈‘𝑧) = ⟨“𝑧”⟩)
39	38	adantrl 729	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) → (𝑈‘𝑧) = ⟨“𝑧”⟩)
40	39	s1eqd 14715	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) → ⟨“(𝑈‘𝑧)”⟩ = ⟨“⟨“𝑧”⟩”⟩)
41	37, 40	eqtrd 2795	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) → (𝑈 ∘ ⟨“𝑧”⟩) = ⟨“⟨“𝑧”⟩”⟩)
42	41	oveq2d 7424	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) → ((𝑈 ∘ 𝑦) ++ (𝑈 ∘ ⟨“𝑧”⟩)) = ((𝑈 ∘ 𝑦) ++ ⟨“⟨“𝑧”⟩”⟩))
43	35, 42	eqtrd 2795	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) → (𝑈 ∘ (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)) = ((𝑈 ∘ 𝑦) ++ ⟨“⟨“𝑧”⟩”⟩))
44	43	oveq2d 7424	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) → (𝑀 Σg (𝑈 ∘ (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))) = (𝑀 Σg ((𝑈 ∘ 𝑦) ++ ⟨“⟨“𝑧”⟩”⟩)))
45	23	frmdmnd 19016	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝑀 ∈ Mnd)
46	45	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) → 𝑀 ∈ Mnd)
47		wrdco 14949	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ Word 𝐼 ∧ 𝑈:𝐼⟶Word 𝐼) → (𝑈 ∘ 𝑦) ∈ Word Word 𝐼)
48	28, 33, 47	syl2anc 596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) → (𝑈 ∘ 𝑦) ∈ Word Word 𝐼)
49		eqid 2760	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
50	23, 49	frmdbas 19009	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (Base‘𝑀) = Word 𝐼)
51	50	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) → (Base‘𝑀) = Word 𝐼)
52		wrdeq 14648	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((Base‘𝑀) = Word 𝐼 → Word (Base‘𝑀) = Word Word 𝐼)
53	51, 52	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) → Word (Base‘𝑀) = Word Word 𝐼)
54	48, 53	eleqtrrd 2863	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) → (𝑈 ∘ 𝑦) ∈ Word (Base‘𝑀))
55	30, 51	eleqtrrd 2863	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) → ⟨“𝑧”⟩ ∈ (Base‘𝑀))
56	55	s1cld 14717	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) → ⟨“⟨“𝑧”⟩”⟩ ∈ Word (Base‘𝑀))
57		eqid 2760	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (+g‘𝑀) = (+g‘𝑀)
58	49, 57	gsumccat 18998	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑈 ∘ 𝑦) ∈ Word (Base‘𝑀) ∧ ⟨“⟨“𝑧”⟩”⟩ ∈ Word (Base‘𝑀)) → (𝑀 Σg ((𝑈 ∘ 𝑦) ++ ⟨“⟨“𝑧”⟩”⟩)) = ((𝑀 Σg (𝑈 ∘ 𝑦))(+g‘𝑀)(𝑀 Σg ⟨“⟨“𝑧”⟩”⟩)))
59	46, 54, 56, 58	syl3anc 1398	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) → (𝑀 Σg ((𝑈 ∘ 𝑦) ++ ⟨“⟨“𝑧”⟩”⟩)) = ((𝑀 Σg (𝑈 ∘ 𝑦))(+g‘𝑀)(𝑀 Σg ⟨“⟨“𝑧”⟩”⟩)))
60	49	gsumws1 18995	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⟨“𝑧”⟩ ∈ (Base‘𝑀) → (𝑀 Σg ⟨“⟨“𝑧”⟩”⟩) = ⟨“𝑧”⟩)
61	55, 60	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) → (𝑀 Σg ⟨“⟨“𝑧”⟩”⟩) = ⟨“𝑧”⟩)
62	61	oveq2d 7424	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) → ((𝑀 Σg (𝑈 ∘ 𝑦))(+g‘𝑀)(𝑀 Σg ⟨“⟨“𝑧”⟩”⟩)) = ((𝑀 Σg (𝑈 ∘ 𝑦))(+g‘𝑀)⟨“𝑧”⟩))
63	49	gsumwcl 18996	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑈 ∘ 𝑦) ∈ Word (Base‘𝑀)) → (𝑀 Σg (𝑈 ∘ 𝑦)) ∈ (Base‘𝑀))
64	46, 54, 63	syl2anc 596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) → (𝑀 Σg (𝑈 ∘ 𝑦)) ∈ (Base‘𝑀))
65	23, 49, 57	frmdadd 19012	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑀 Σg (𝑈 ∘ 𝑦)) ∈ (Base‘𝑀) ∧ ⟨“𝑧”⟩ ∈ (Base‘𝑀)) → ((𝑀 Σg (𝑈 ∘ 𝑦))(+g‘𝑀)⟨“𝑧”⟩) = ((𝑀 Σg (𝑈 ∘ 𝑦)) ++ ⟨“𝑧”⟩))
66	64, 55, 65	syl2anc 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) → ((𝑀 Σg (𝑈 ∘ 𝑦))(+g‘𝑀)⟨“𝑧”⟩) = ((𝑀 Σg (𝑈 ∘ 𝑦)) ++ ⟨“𝑧”⟩))
67	62, 66	eqtrd 2795	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) → ((𝑀 Σg (𝑈 ∘ 𝑦))(+g‘𝑀)(𝑀 Σg ⟨“⟨“𝑧”⟩”⟩)) = ((𝑀 Σg (𝑈 ∘ 𝑦)) ++ ⟨“𝑧”⟩))
68	59, 67	eqtrd 2795	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) → (𝑀 Σg ((𝑈 ∘ 𝑦) ++ ⟨“⟨“𝑧”⟩”⟩)) = ((𝑀 Σg (𝑈 ∘ 𝑦)) ++ ⟨“𝑧”⟩))
69	44, 68	eqtrd 2795	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) → (𝑀 Σg (𝑈 ∘ (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))) = ((𝑀 Σg (𝑈 ∘ 𝑦)) ++ ⟨“𝑧”⟩))
70	69	eqeq1d 2762	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) → ((𝑀 Σg (𝑈 ∘ (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))) = (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩) ↔ ((𝑀 Σg (𝑈 ∘ 𝑦)) ++ ⟨“𝑧”⟩) = (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)))
71	27, 70	imbitrrid 249	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) → ((𝑀 Σg (𝑈 ∘ 𝑦)) = 𝑦 → (𝑀 Σg (𝑈 ∘ (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))) = (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)))
72	71	expcom 419	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ Word 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) → (𝐼 ∈ 𝑉 → ((𝑀 Σg (𝑈 ∘ 𝑦)) = 𝑦 → (𝑀 Σg (𝑈 ∘ (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))) = (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))))
73	72	a2d 30	. . 3 ⊢ ((𝑦 ∈ Word 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) → ((𝐼 ∈ 𝑉 → (𝑀 Σg (𝑈 ∘ 𝑦)) = 𝑦) → (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝑀 Σg (𝑈 ∘ (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))) = (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))))
74	7, 12, 17, 22, 26, 73	wrdind 14838	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐼 → (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝑀 Σg (𝑈 ∘ 𝑊)) = 𝑊))
75	74	impcom 413	1 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐼) → (𝑀 Σg (𝑈 ∘ 𝑊)) = 𝑊)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∅c0 4278   ∘ ccom 5651  ⟶wf 6523  ‘cfv 6527  (class class class)co 7408  Word cword 14625   ++ cconcat 14682  ⟨“cs1 14709  Basecbs 17348  +_gcplusg 17389   Σ_g cgsu 17572  Mndcmnd 18884  freeMndcfrmd 19004  var_FMndcvrmd 19005

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-cnex 11227  ax-resscn 11228  ax-1cn 11229  ax-icn 11230  ax-addcl 11231  ax-addrcl 11232  ax-mulcl 11233  ax-mulrcl 11234  ax-mulcom 11235  ax-addass 11236  ax-mulass 11237  ax-distr 11238  ax-i2m1 11239  ax-1ne0 11240  ax-1rid 11241  ax-rnegex 11242  ax-rrecex 11243  ax-cnre 11244  ax-pre-lttri 11245  ax-pre-lttrn 11246  ax-pre-ltadd 11247  ax-pre-mulgt0 11248

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8454  df-er 8695  df-map 8827  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-fin 8955  df-card 9991  df-pnf 11316  df-mnf 11317  df-xr 11318  df-ltxr 11319  df-le 11320  df-sub 11514  df-neg 11515  df-nn 12305  df-2 12374  df-n0 12576  df-xnn0 12649  df-z 12663  df-uz 12935  df-fz 13609  df-fzo 13757  df-seq 14113  df-hash 14442  df-word 14626  df-lsw 14675  df-concat 14683  df-s1 14710  df-substr 14756  df-pfx 14788  df-struct 17286  df-sets 17303  df-slot 17321  df-ndx 17333  df-base 17349  df-ress 17370  df-plusg 17402  df-0g 17573  df-gsum 17574  df-mgm 18777  df-sgrp 18869  df-mnd 18885  df-submnd 18940  df-frmd 19006  df-vrmd 19007

This theorem is used by:  frmdss2  19020  frmdup3lem  19023  frgpup3lem  19952