Theorem frmdgsum 18499

Description: Any word in a free monoid can be expressed as the sum of the singletons composing it. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
frmdmnd.m	⊢ 𝑀 = (freeMnd‘𝐼)
frmdgsum.u	⊢ 𝑈 = (varFMnd‘𝐼)

Assertion

Ref	Expression
frmdgsum	⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐼) → (𝑀 Σg (𝑈 ∘ 𝑊)) = 𝑊)

Proof of Theorem frmdgsum

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		coeq2 5769	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = ∅ → (𝑈 ∘ 𝑥) = (𝑈 ∘ ∅))
2		co02 6166	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈 ∘ ∅) = ∅
3	1, 2	eqtrdi 2794	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ∅ → (𝑈 ∘ 𝑥) = ∅)
4	3	oveq2d 7293	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = ∅ → (𝑀 Σg (𝑈 ∘ 𝑥)) = (𝑀 Σg ∅))
5		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = ∅ → 𝑥 = ∅)
6	4, 5	eqeq12d 2754	. . . 4 ⊢ (𝑥 = ∅ → ((𝑀 Σg (𝑈 ∘ 𝑥)) = 𝑥 ↔ (𝑀 Σg ∅) = ∅))
7	6	imbi2d 341	. . 3 ⊢ (𝑥 = ∅ → ((𝐼 ∈ 𝑉 → (𝑀 Σg (𝑈 ∘ 𝑥)) = 𝑥) ↔ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝑀 Σg ∅) = ∅)))
8		coeq2 5769	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑈 ∘ 𝑥) = (𝑈 ∘ 𝑦))
9	8	oveq2d 7293	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑀 Σg (𝑈 ∘ 𝑥)) = (𝑀 Σg (𝑈 ∘ 𝑦)))
10		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → 𝑥 = 𝑦)
11	9, 10	eqeq12d 2754	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑀 Σg (𝑈 ∘ 𝑥)) = 𝑥 ↔ (𝑀 Σg (𝑈 ∘ 𝑦)) = 𝑦))
12	11	imbi2d 341	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝐼 ∈ 𝑉 → (𝑀 Σg (𝑈 ∘ 𝑥)) = 𝑥) ↔ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝑀 Σg (𝑈 ∘ 𝑦)) = 𝑦)))
13		coeq2 5769	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩) → (𝑈 ∘ 𝑥) = (𝑈 ∘ (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)))
14	13	oveq2d 7293	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩) → (𝑀 Σg (𝑈 ∘ 𝑥)) = (𝑀 Σg (𝑈 ∘ (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))))
15		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩) → 𝑥 = (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))
16	14, 15	eqeq12d 2754	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩) → ((𝑀 Σg (𝑈 ∘ 𝑥)) = 𝑥 ↔ (𝑀 Σg (𝑈 ∘ (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))) = (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)))
17	16	imbi2d 341	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩) → ((𝐼 ∈ 𝑉 → (𝑀 Σg (𝑈 ∘ 𝑥)) = 𝑥) ↔ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝑀 Σg (𝑈 ∘ (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))) = (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))))
18		coeq2 5769	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑊 → (𝑈 ∘ 𝑥) = (𝑈 ∘ 𝑊))
19	18	oveq2d 7293	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑊 → (𝑀 Σg (𝑈 ∘ 𝑥)) = (𝑀 Σg (𝑈 ∘ 𝑊)))
20		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑊 → 𝑥 = 𝑊)
21	19, 20	eqeq12d 2754	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑊 → ((𝑀 Σg (𝑈 ∘ 𝑥)) = 𝑥 ↔ (𝑀 Σg (𝑈 ∘ 𝑊)) = 𝑊))
22	21	imbi2d 341	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑊 → ((𝐼 ∈ 𝑉 → (𝑀 Σg (𝑈 ∘ 𝑥)) = 𝑥) ↔ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝑀 Σg (𝑈 ∘ 𝑊)) = 𝑊)))
23		frmdmnd.m	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 = (freeMnd‘𝐼)
24	23	frmd0 18497	. . . . 5 ⊢ ∅ = (0g‘𝑀)
25	24	gsum0 18366	. . . 4 ⊢ (𝑀 Σg ∅) = ∅
26	25	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝑀 Σg ∅) = ∅)
27		oveq1 7284	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 Σg (𝑈 ∘ 𝑦)) = 𝑦 → ((𝑀 Σg (𝑈 ∘ 𝑦)) ++ ⟨“𝑧”⟩) = (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))
28		simprl 768	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) → 𝑦 ∈ Word 𝐼)
29		simprr 770	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) → 𝑧 ∈ 𝐼)
30	29	s1cld 14306	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) → ⟨“𝑧”⟩ ∈ Word 𝐼)
31		frmdgsum.u	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑈 = (varFMnd‘𝐼)
32	31	vrmdf 18495	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝑈:𝐼⟶Word 𝐼)
33	32	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) → 𝑈:𝐼⟶Word 𝐼)
34		ccatco 14546	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ Word 𝐼 ∧ ⟨“𝑧”⟩ ∈ Word 𝐼 ∧ 𝑈:𝐼⟶Word 𝐼) → (𝑈 ∘ (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)) = ((𝑈 ∘ 𝑦) ++ (𝑈 ∘ ⟨“𝑧”⟩)))
35	28, 30, 33, 34	syl3anc 1370	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) → (𝑈 ∘ (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)) = ((𝑈 ∘ 𝑦) ++ (𝑈 ∘ ⟨“𝑧”⟩)))
36		s1co 14544	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐼 ∧ 𝑈:𝐼⟶Word 𝐼) → (𝑈 ∘ ⟨“𝑧”⟩) = ⟨“(𝑈‘𝑧)”⟩)
37	29, 33, 36	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) → (𝑈 ∘ ⟨“𝑧”⟩) = ⟨“(𝑈‘𝑧)”⟩)
38	31	vrmdval 18494	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) → (𝑈‘𝑧) = ⟨“𝑧”⟩)
39	38	adantrl 713	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) → (𝑈‘𝑧) = ⟨“𝑧”⟩)
40	39	s1eqd 14304	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) → ⟨“(𝑈‘𝑧)”⟩ = ⟨“⟨“𝑧”⟩”⟩)
41	37, 40	eqtrd 2778	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) → (𝑈 ∘ ⟨“𝑧”⟩) = ⟨“⟨“𝑧”⟩”⟩)
42	41	oveq2d 7293	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) → ((𝑈 ∘ 𝑦) ++ (𝑈 ∘ ⟨“𝑧”⟩)) = ((𝑈 ∘ 𝑦) ++ ⟨“⟨“𝑧”⟩”⟩))
43	35, 42	eqtrd 2778	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) → (𝑈 ∘ (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)) = ((𝑈 ∘ 𝑦) ++ ⟨“⟨“𝑧”⟩”⟩))
44	43	oveq2d 7293	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) → (𝑀 Σg (𝑈 ∘ (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))) = (𝑀 Σg ((𝑈 ∘ 𝑦) ++ ⟨“⟨“𝑧”⟩”⟩)))
45	23	frmdmnd 18496	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝑀 ∈ Mnd)
46	45	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) → 𝑀 ∈ Mnd)
47		wrdco 14542	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ Word 𝐼 ∧ 𝑈:𝐼⟶Word 𝐼) → (𝑈 ∘ 𝑦) ∈ Word Word 𝐼)
48	28, 33, 47	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) → (𝑈 ∘ 𝑦) ∈ Word Word 𝐼)
49		eqid 2738	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
50	23, 49	frmdbas 18489	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (Base‘𝑀) = Word 𝐼)
51	50	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) → (Base‘𝑀) = Word 𝐼)
52		wrdeq 14237	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((Base‘𝑀) = Word 𝐼 → Word (Base‘𝑀) = Word Word 𝐼)
53	51, 52	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) → Word (Base‘𝑀) = Word Word 𝐼)
54	48, 53	eleqtrrd 2842	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) → (𝑈 ∘ 𝑦) ∈ Word (Base‘𝑀))
55	30, 51	eleqtrrd 2842	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) → ⟨“𝑧”⟩ ∈ (Base‘𝑀))
56	55	s1cld 14306	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) → ⟨“⟨“𝑧”⟩”⟩ ∈ Word (Base‘𝑀))
57		eqid 2738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (+g‘𝑀) = (+g‘𝑀)
58	49, 57	gsumccat 18478	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑈 ∘ 𝑦) ∈ Word (Base‘𝑀) ∧ ⟨“⟨“𝑧”⟩”⟩ ∈ Word (Base‘𝑀)) → (𝑀 Σg ((𝑈 ∘ 𝑦) ++ ⟨“⟨“𝑧”⟩”⟩)) = ((𝑀 Σg (𝑈 ∘ 𝑦))(+g‘𝑀)(𝑀 Σg ⟨“⟨“𝑧”⟩”⟩)))
59	46, 54, 56, 58	syl3anc 1370	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) → (𝑀 Σg ((𝑈 ∘ 𝑦) ++ ⟨“⟨“𝑧”⟩”⟩)) = ((𝑀 Σg (𝑈 ∘ 𝑦))(+g‘𝑀)(𝑀 Σg ⟨“⟨“𝑧”⟩”⟩)))
60	49	gsumws1 18474	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⟨“𝑧”⟩ ∈ (Base‘𝑀) → (𝑀 Σg ⟨“⟨“𝑧”⟩”⟩) = ⟨“𝑧”⟩)
61	55, 60	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) → (𝑀 Σg ⟨“⟨“𝑧”⟩”⟩) = ⟨“𝑧”⟩)
62	61	oveq2d 7293	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) → ((𝑀 Σg (𝑈 ∘ 𝑦))(+g‘𝑀)(𝑀 Σg ⟨“⟨“𝑧”⟩”⟩)) = ((𝑀 Σg (𝑈 ∘ 𝑦))(+g‘𝑀)⟨“𝑧”⟩))
63	49	gsumwcl 18475	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑈 ∘ 𝑦) ∈ Word (Base‘𝑀)) → (𝑀 Σg (𝑈 ∘ 𝑦)) ∈ (Base‘𝑀))
64	46, 54, 63	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) → (𝑀 Σg (𝑈 ∘ 𝑦)) ∈ (Base‘𝑀))
65	23, 49, 57	frmdadd 18492	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑀 Σg (𝑈 ∘ 𝑦)) ∈ (Base‘𝑀) ∧ ⟨“𝑧”⟩ ∈ (Base‘𝑀)) → ((𝑀 Σg (𝑈 ∘ 𝑦))(+g‘𝑀)⟨“𝑧”⟩) = ((𝑀 Σg (𝑈 ∘ 𝑦)) ++ ⟨“𝑧”⟩))
66	64, 55, 65	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) → ((𝑀 Σg (𝑈 ∘ 𝑦))(+g‘𝑀)⟨“𝑧”⟩) = ((𝑀 Σg (𝑈 ∘ 𝑦)) ++ ⟨“𝑧”⟩))
67	62, 66	eqtrd 2778	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) → ((𝑀 Σg (𝑈 ∘ 𝑦))(+g‘𝑀)(𝑀 Σg ⟨“⟨“𝑧”⟩”⟩)) = ((𝑀 Σg (𝑈 ∘ 𝑦)) ++ ⟨“𝑧”⟩))
68	59, 67	eqtrd 2778	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) → (𝑀 Σg ((𝑈 ∘ 𝑦) ++ ⟨“⟨“𝑧”⟩”⟩)) = ((𝑀 Σg (𝑈 ∘ 𝑦)) ++ ⟨“𝑧”⟩))
69	44, 68	eqtrd 2778	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) → (𝑀 Σg (𝑈 ∘ (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))) = ((𝑀 Σg (𝑈 ∘ 𝑦)) ++ ⟨“𝑧”⟩))
70	69	eqeq1d 2740	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) → ((𝑀 Σg (𝑈 ∘ (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))) = (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩) ↔ ((𝑀 Σg (𝑈 ∘ 𝑦)) ++ ⟨“𝑧”⟩) = (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)))
71	27, 70	syl5ibr 245	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) → ((𝑀 Σg (𝑈 ∘ 𝑦)) = 𝑦 → (𝑀 Σg (𝑈 ∘ (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))) = (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)))
72	71	expcom 414	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ Word 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) → (𝐼 ∈ 𝑉 → ((𝑀 Σg (𝑈 ∘ 𝑦)) = 𝑦 → (𝑀 Σg (𝑈 ∘ (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))) = (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))))
73	72	a2d 29	. . 3 ⊢ ((𝑦 ∈ Word 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) → ((𝐼 ∈ 𝑉 → (𝑀 Σg (𝑈 ∘ 𝑦)) = 𝑦) → (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝑀 Σg (𝑈 ∘ (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))) = (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))))
74	7, 12, 17, 22, 26, 73	wrdind 14433	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐼 → (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝑀 Σg (𝑈 ∘ 𝑊)) = 𝑊))
75	74	impcom 408	1 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐼) → (𝑀 Σg (𝑈 ∘ 𝑊)) = 𝑊)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ∅c0 4258   ∘ ccom 5595  ⟶wf 6431  ‘cfv 6435  (class class class)co 7277  Word cword 14215   ++ cconcat 14271  ⟨“cs1 14298  Basecbs 16910  +_gcplusg 16960   Σ_g cgsu 17149  Mndcmnd 18383  freeMndcfrmd 18484  var_FMndcvrmd 18485

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5211  ax-sep 5225  ax-nul 5232  ax-pow 5290  ax-pr 5354  ax-un 7588  ax-cnex 10925  ax-resscn 10926  ax-1cn 10927  ax-icn 10928  ax-addcl 10929  ax-addrcl 10930  ax-mulcl 10931  ax-mulrcl 10932  ax-mulcom 10933  ax-addass 10934  ax-mulass 10935  ax-distr 10936  ax-i2m1 10937  ax-1ne0 10938  ax-1rid 10939  ax-rnegex 10940  ax-rrecex 10941  ax-cnre 10942  ax-pre-lttri 10943  ax-pre-lttrn 10944  ax-pre-ltadd 10945  ax-pre-mulgt0 10946

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3433  df-sbc 3718  df-csb 3834  df-dif 3891  df-un 3893  df-in 3895  df-ss 3905  df-pss 3907  df-nul 4259  df-if 4462  df-pw 4537  df-sn 4564  df-pr 4566  df-op 4570  df-uni 4842  df-int 4882  df-iun 4928  df-br 5077  df-opab 5139  df-mpt 5160  df-tr 5194  df-id 5491  df-eprel 5497  df-po 5505  df-so 5506  df-fr 5546  df-we 5548  df-xp 5597  df-rel 5598  df-cnv 5599  df-co 5600  df-dm 5601  df-rn 5602  df-res 5603  df-ima 5604  df-pred 6204  df-ord 6271  df-on 6272  df-lim 6273  df-suc 6274  df-iota 6393  df-fun 6437  df-fn 6438  df-f 6439  df-f1 6440  df-fo 6441  df-f1o 6442  df-fv 6443  df-riota 7234  df-ov 7280  df-oprab 7281  df-mpo 7282  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8095  df-wrecs 8126  df-recs 8200  df-rdg 8239  df-1o 8295  df-er 8496  df-map 8615  df-en 8732  df-dom 8733  df-sdom 8734  df-fin 8735  df-card 9695  df-pnf 11009  df-mnf 11010  df-xr 11011  df-ltxr 11012  df-le 11013  df-sub 11205  df-neg 11206  df-nn 11972  df-2 12034  df-n0 12232  df-xnn0 12304  df-z 12318  df-uz 12581  df-fz 13238  df-fzo 13381  df-seq 13720  df-hash 14043  df-word 14216  df-lsw 14264  df-concat 14272  df-s1 14299  df-substr 14352  df-pfx 14382  df-struct 16846  df-sets 16863  df-slot 16881  df-ndx 16893  df-base 16911  df-ress 16940  df-plusg 16973  df-0g 17150  df-gsum 17151  df-mgm 18324  df-sgrp 18373  df-mnd 18384  df-submnd 18429  df-frmd 18486  df-vrmd 18487

This theorem is referenced by:  frmdss2  18500  frmdup3lem  18503  frgpup3lem  19381