MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frmdgsum Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frmdgsum 18673
Description: Any word in a free monoid can be expressed as the sum of the singletons composing it. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
frmdmnd.m 𝑀 = (freeMndβ€˜πΌ)
frmdgsum.u π‘ˆ = (varFMndβ€˜πΌ)
Assertion
Ref Expression
frmdgsum ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ π‘Š ∈ Word 𝐼) β†’ (𝑀 Ξ£g (π‘ˆ ∘ π‘Š)) = π‘Š)

Proof of Theorem frmdgsum
Dummy variables π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 coeq2 5815 . . . . . . 7 (π‘₯ = βˆ… β†’ (π‘ˆ ∘ π‘₯) = (π‘ˆ ∘ βˆ…))
2 co02 6213 . . . . . . 7 (π‘ˆ ∘ βˆ…) = βˆ…
31, 2eqtrdi 2793 . . . . . 6 (π‘₯ = βˆ… β†’ (π‘ˆ ∘ π‘₯) = βˆ…)
43oveq2d 7374 . . . . 5 (π‘₯ = βˆ… β†’ (𝑀 Ξ£g (π‘ˆ ∘ π‘₯)) = (𝑀 Ξ£g βˆ…))
5 id 22 . . . . 5 (π‘₯ = βˆ… β†’ π‘₯ = βˆ…)
64, 5eqeq12d 2753 . . . 4 (π‘₯ = βˆ… β†’ ((𝑀 Ξ£g (π‘ˆ ∘ π‘₯)) = π‘₯ ↔ (𝑀 Ξ£g βˆ…) = βˆ…))
76imbi2d 341 . . 3 (π‘₯ = βˆ… β†’ ((𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (𝑀 Ξ£g (π‘ˆ ∘ π‘₯)) = π‘₯) ↔ (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (𝑀 Ξ£g βˆ…) = βˆ…)))
8 coeq2 5815 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (π‘ˆ ∘ π‘₯) = (π‘ˆ ∘ 𝑦))
98oveq2d 7374 . . . . 5 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (𝑀 Ξ£g (π‘ˆ ∘ π‘₯)) = (𝑀 Ξ£g (π‘ˆ ∘ 𝑦)))
10 id 22 . . . . 5 (π‘₯ = 𝑦 β†’ π‘₯ = 𝑦)
119, 10eqeq12d 2753 . . . 4 (π‘₯ = 𝑦 β†’ ((𝑀 Ξ£g (π‘ˆ ∘ π‘₯)) = π‘₯ ↔ (𝑀 Ξ£g (π‘ˆ ∘ 𝑦)) = 𝑦))
1211imbi2d 341 . . 3 (π‘₯ = 𝑦 β†’ ((𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (𝑀 Ξ£g (π‘ˆ ∘ π‘₯)) = π‘₯) ↔ (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (𝑀 Ξ£g (π‘ˆ ∘ 𝑦)) = 𝑦)))
13 coeq2 5815 . . . . . 6 (π‘₯ = (𝑦 ++ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©) β†’ (π‘ˆ ∘ π‘₯) = (π‘ˆ ∘ (𝑦 ++ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©)))
1413oveq2d 7374 . . . . 5 (π‘₯ = (𝑦 ++ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©) β†’ (𝑀 Ξ£g (π‘ˆ ∘ π‘₯)) = (𝑀 Ξ£g (π‘ˆ ∘ (𝑦 ++ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©))))
15 id 22 . . . . 5 (π‘₯ = (𝑦 ++ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©) β†’ π‘₯ = (𝑦 ++ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©))
1614, 15eqeq12d 2753 . . . 4 (π‘₯ = (𝑦 ++ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©) β†’ ((𝑀 Ξ£g (π‘ˆ ∘ π‘₯)) = π‘₯ ↔ (𝑀 Ξ£g (π‘ˆ ∘ (𝑦 ++ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©))) = (𝑦 ++ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©)))
1716imbi2d 341 . . 3 (π‘₯ = (𝑦 ++ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©) β†’ ((𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (𝑀 Ξ£g (π‘ˆ ∘ π‘₯)) = π‘₯) ↔ (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (𝑀 Ξ£g (π‘ˆ ∘ (𝑦 ++ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©))) = (𝑦 ++ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©))))
18 coeq2 5815 . . . . . 6 (π‘₯ = π‘Š β†’ (π‘ˆ ∘ π‘₯) = (π‘ˆ ∘ π‘Š))
1918oveq2d 7374 . . . . 5 (π‘₯ = π‘Š β†’ (𝑀 Ξ£g (π‘ˆ ∘ π‘₯)) = (𝑀 Ξ£g (π‘ˆ ∘ π‘Š)))
20 id 22 . . . . 5 (π‘₯ = π‘Š β†’ π‘₯ = π‘Š)
2119, 20eqeq12d 2753 . . . 4 (π‘₯ = π‘Š β†’ ((𝑀 Ξ£g (π‘ˆ ∘ π‘₯)) = π‘₯ ↔ (𝑀 Ξ£g (π‘ˆ ∘ π‘Š)) = π‘Š))
2221imbi2d 341 . . 3 (π‘₯ = π‘Š β†’ ((𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (𝑀 Ξ£g (π‘ˆ ∘ π‘₯)) = π‘₯) ↔ (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (𝑀 Ξ£g (π‘ˆ ∘ π‘Š)) = π‘Š)))
23 frmdmnd.m . . . . . 6 𝑀 = (freeMndβ€˜πΌ)
2423frmd0 18671 . . . . 5 βˆ… = (0gβ€˜π‘€)
2524gsum0 18540 . . . 4 (𝑀 Ξ£g βˆ…) = βˆ…
2625a1i 11 . . 3 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (𝑀 Ξ£g βˆ…) = βˆ…)
27 oveq1 7365 . . . . . 6 ((𝑀 Ξ£g (π‘ˆ ∘ 𝑦)) = 𝑦 β†’ ((𝑀 Ξ£g (π‘ˆ ∘ 𝑦)) ++ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©) = (𝑦 ++ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©))
28 simprl 770 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) β†’ 𝑦 ∈ Word 𝐼)
29 simprr 772 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) β†’ 𝑧 ∈ 𝐼)
3029s1cld 14492 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) β†’ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ© ∈ Word 𝐼)
31 frmdgsum.u . . . . . . . . . . . . 13 π‘ˆ = (varFMndβ€˜πΌ)
3231vrmdf 18669 . . . . . . . . . . . 12 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ π‘ˆ:𝐼⟢Word 𝐼)
3332adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) β†’ π‘ˆ:𝐼⟢Word 𝐼)
34 ccatco 14725 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ Word 𝐼 ∧ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ© ∈ Word 𝐼 ∧ π‘ˆ:𝐼⟢Word 𝐼) β†’ (π‘ˆ ∘ (𝑦 ++ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©)) = ((π‘ˆ ∘ 𝑦) ++ (π‘ˆ ∘ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©)))
3528, 30, 33, 34syl3anc 1372 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) β†’ (π‘ˆ ∘ (𝑦 ++ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©)) = ((π‘ˆ ∘ 𝑦) ++ (π‘ˆ ∘ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©)))
36 s1co 14723 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧 ∈ 𝐼 ∧ π‘ˆ:𝐼⟢Word 𝐼) β†’ (π‘ˆ ∘ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©) = βŸ¨β€œ(π‘ˆβ€˜π‘§)β€βŸ©)
3729, 33, 36syl2anc 585 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) β†’ (π‘ˆ ∘ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©) = βŸ¨β€œ(π‘ˆβ€˜π‘§)β€βŸ©)
3831vrmdval 18668 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) β†’ (π‘ˆβ€˜π‘§) = βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©)
3938adantrl 715 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) β†’ (π‘ˆβ€˜π‘§) = βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©)
4039s1eqd 14490 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) β†’ βŸ¨β€œ(π‘ˆβ€˜π‘§)β€βŸ© = βŸ¨β€œβŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©β€βŸ©)
4137, 40eqtrd 2777 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) β†’ (π‘ˆ ∘ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©) = βŸ¨β€œβŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©β€βŸ©)
4241oveq2d 7374 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) β†’ ((π‘ˆ ∘ 𝑦) ++ (π‘ˆ ∘ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©)) = ((π‘ˆ ∘ 𝑦) ++ βŸ¨β€œβŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©β€βŸ©))
4335, 42eqtrd 2777 . . . . . . . . 9 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) β†’ (π‘ˆ ∘ (𝑦 ++ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©)) = ((π‘ˆ ∘ 𝑦) ++ βŸ¨β€œβŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©β€βŸ©))
4443oveq2d 7374 . . . . . . . 8 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) β†’ (𝑀 Ξ£g (π‘ˆ ∘ (𝑦 ++ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©))) = (𝑀 Ξ£g ((π‘ˆ ∘ 𝑦) ++ βŸ¨β€œβŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©β€βŸ©)))
4523frmdmnd 18670 . . . . . . . . . . 11 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ 𝑀 ∈ Mnd)
4645adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) β†’ 𝑀 ∈ Mnd)
47 wrdco 14721 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ Word 𝐼 ∧ π‘ˆ:𝐼⟢Word 𝐼) β†’ (π‘ˆ ∘ 𝑦) ∈ Word Word 𝐼)
4828, 33, 47syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) β†’ (π‘ˆ ∘ 𝑦) ∈ Word Word 𝐼)
49 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . 14 (Baseβ€˜π‘€) = (Baseβ€˜π‘€)
5023, 49frmdbas 18663 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (Baseβ€˜π‘€) = Word 𝐼)
5150adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) β†’ (Baseβ€˜π‘€) = Word 𝐼)
52 wrdeq 14425 . . . . . . . . . . . 12 ((Baseβ€˜π‘€) = Word 𝐼 β†’ Word (Baseβ€˜π‘€) = Word Word 𝐼)
5351, 52syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) β†’ Word (Baseβ€˜π‘€) = Word Word 𝐼)
5448, 53eleqtrrd 2841 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) β†’ (π‘ˆ ∘ 𝑦) ∈ Word (Baseβ€˜π‘€))
5530, 51eleqtrrd 2841 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) β†’ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ© ∈ (Baseβ€˜π‘€))
5655s1cld 14492 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) β†’ βŸ¨β€œβŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©β€βŸ© ∈ Word (Baseβ€˜π‘€))
57 eqid 2737 . . . . . . . . . . 11 (+gβ€˜π‘€) = (+gβ€˜π‘€)
5849, 57gsumccat 18652 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (π‘ˆ ∘ 𝑦) ∈ Word (Baseβ€˜π‘€) ∧ βŸ¨β€œβŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©β€βŸ© ∈ Word (Baseβ€˜π‘€)) β†’ (𝑀 Ξ£g ((π‘ˆ ∘ 𝑦) ++ βŸ¨β€œβŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©β€βŸ©)) = ((𝑀 Ξ£g (π‘ˆ ∘ 𝑦))(+gβ€˜π‘€)(𝑀 Ξ£g βŸ¨β€œβŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©β€βŸ©)))
5946, 54, 56, 58syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) β†’ (𝑀 Ξ£g ((π‘ˆ ∘ 𝑦) ++ βŸ¨β€œβŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©β€βŸ©)) = ((𝑀 Ξ£g (π‘ˆ ∘ 𝑦))(+gβ€˜π‘€)(𝑀 Ξ£g βŸ¨β€œβŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©β€βŸ©)))
6049gsumws1 18649 . . . . . . . . . . . 12 (βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ© ∈ (Baseβ€˜π‘€) β†’ (𝑀 Ξ£g βŸ¨β€œβŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©β€βŸ©) = βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©)
6155, 60syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) β†’ (𝑀 Ξ£g βŸ¨β€œβŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©β€βŸ©) = βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©)
6261oveq2d 7374 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) β†’ ((𝑀 Ξ£g (π‘ˆ ∘ 𝑦))(+gβ€˜π‘€)(𝑀 Ξ£g βŸ¨β€œβŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©β€βŸ©)) = ((𝑀 Ξ£g (π‘ˆ ∘ 𝑦))(+gβ€˜π‘€)βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©))
6349gsumwcl 18650 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (π‘ˆ ∘ 𝑦) ∈ Word (Baseβ€˜π‘€)) β†’ (𝑀 Ξ£g (π‘ˆ ∘ 𝑦)) ∈ (Baseβ€˜π‘€))
6446, 54, 63syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) β†’ (𝑀 Ξ£g (π‘ˆ ∘ 𝑦)) ∈ (Baseβ€˜π‘€))
6523, 49, 57frmdadd 18666 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 Ξ£g (π‘ˆ ∘ 𝑦)) ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ© ∈ (Baseβ€˜π‘€)) β†’ ((𝑀 Ξ£g (π‘ˆ ∘ 𝑦))(+gβ€˜π‘€)βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©) = ((𝑀 Ξ£g (π‘ˆ ∘ 𝑦)) ++ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©))
6664, 55, 65syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) β†’ ((𝑀 Ξ£g (π‘ˆ ∘ 𝑦))(+gβ€˜π‘€)βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©) = ((𝑀 Ξ£g (π‘ˆ ∘ 𝑦)) ++ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©))
6762, 66eqtrd 2777 . . . . . . . . 9 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) β†’ ((𝑀 Ξ£g (π‘ˆ ∘ 𝑦))(+gβ€˜π‘€)(𝑀 Ξ£g βŸ¨β€œβŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©β€βŸ©)) = ((𝑀 Ξ£g (π‘ˆ ∘ 𝑦)) ++ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©))
6859, 67eqtrd 2777 . . . . . . . 8 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) β†’ (𝑀 Ξ£g ((π‘ˆ ∘ 𝑦) ++ βŸ¨β€œβŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©β€βŸ©)) = ((𝑀 Ξ£g (π‘ˆ ∘ 𝑦)) ++ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©))
6944, 68eqtrd 2777 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) β†’ (𝑀 Ξ£g (π‘ˆ ∘ (𝑦 ++ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©))) = ((𝑀 Ξ£g (π‘ˆ ∘ 𝑦)) ++ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©))
7069eqeq1d 2739 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) β†’ ((𝑀 Ξ£g (π‘ˆ ∘ (𝑦 ++ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©))) = (𝑦 ++ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©) ↔ ((𝑀 Ξ£g (π‘ˆ ∘ 𝑦)) ++ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©) = (𝑦 ++ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©)))
7127, 70syl5ibr 246 . . . . 5 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) β†’ ((𝑀 Ξ£g (π‘ˆ ∘ 𝑦)) = 𝑦 β†’ (𝑀 Ξ£g (π‘ˆ ∘ (𝑦 ++ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©))) = (𝑦 ++ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©)))
7271expcom 415 . . . 4 ((𝑦 ∈ Word 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) β†’ (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ ((𝑀 Ξ£g (π‘ˆ ∘ 𝑦)) = 𝑦 β†’ (𝑀 Ξ£g (π‘ˆ ∘ (𝑦 ++ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©))) = (𝑦 ++ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©))))
7372a2d 29 . . 3 ((𝑦 ∈ Word 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) β†’ ((𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (𝑀 Ξ£g (π‘ˆ ∘ 𝑦)) = 𝑦) β†’ (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (𝑀 Ξ£g (π‘ˆ ∘ (𝑦 ++ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©))) = (𝑦 ++ βŸ¨β€œπ‘§β€βŸ©))))
747, 12, 17, 22, 26, 73wrdind 14611 . 2 (π‘Š ∈ Word 𝐼 β†’ (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (𝑀 Ξ£g (π‘ˆ ∘ π‘Š)) = π‘Š))
7574impcom 409 1 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ π‘Š ∈ Word 𝐼) β†’ (𝑀 Ξ£g (π‘ˆ ∘ π‘Š)) = π‘Š)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ…c0 4283   ∘ ccom 5638  βŸΆwf 6493  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  Word cword 14403   ++ cconcat 14459  βŸ¨β€œcs1 14484  Basecbs 17084  +gcplusg 17134   Ξ£g cgsu 17323  Mndcmnd 18557  freeMndcfrmd 18658  varFMndcvrmd 18659
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8649  df-map 8768  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-card 9876  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-nn 12155  df-2 12217  df-n0 12415  df-xnn0 12487  df-z 12501  df-uz 12765  df-fz 13426  df-fzo 13569  df-seq 13908  df-hash 14232  df-word 14404  df-lsw 14452  df-concat 14460  df-s1 14485  df-substr 14530  df-pfx 14560  df-struct 17020  df-sets 17037  df-slot 17055  df-ndx 17067  df-base 17085  df-ress 17114  df-plusg 17147  df-0g 17324  df-gsum 17325  df-mgm 18498  df-sgrp 18547  df-mnd 18558  df-submnd 18603  df-frmd 18660  df-vrmd 18661
This theorem is referenced by:  frmdss2  18674  frmdup3lem  18677  frgpup3lem  19560
  Copyright terms: Public domain W3C validator