Theorem frmdgsum 18830

Description: Any word in a free monoid can be expressed as the sum of the singletons composing it. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
frmdmnd.m	⊢ 𝑀 = (freeMnd‘𝐼)
frmdgsum.u	⊢ 𝑈 = (varFMnd‘𝐼)

Assertion

Ref	Expression
frmdgsum	⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐼) → (𝑀 Σg (𝑈 ∘ 𝑊)) = 𝑊)

Proof of Theorem frmdgsum

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		coeq2 5813	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = ∅ → (𝑈 ∘ 𝑥) = (𝑈 ∘ ∅))
2		co02 6225	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈 ∘ ∅) = ∅
3	1, 2	eqtrdi 2787	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ∅ → (𝑈 ∘ 𝑥) = ∅)
4	3	oveq2d 7383	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = ∅ → (𝑀 Σg (𝑈 ∘ 𝑥)) = (𝑀 Σg ∅))
5		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = ∅ → 𝑥 = ∅)
6	4, 5	eqeq12d 2752	. . . 4 ⊢ (𝑥 = ∅ → ((𝑀 Σg (𝑈 ∘ 𝑥)) = 𝑥 ↔ (𝑀 Σg ∅) = ∅))
7	6	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑥 = ∅ → ((𝐼 ∈ 𝑉 → (𝑀 Σg (𝑈 ∘ 𝑥)) = 𝑥) ↔ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝑀 Σg ∅) = ∅)))
8		coeq2 5813	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑈 ∘ 𝑥) = (𝑈 ∘ 𝑦))
9	8	oveq2d 7383	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑀 Σg (𝑈 ∘ 𝑥)) = (𝑀 Σg (𝑈 ∘ 𝑦)))
10		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → 𝑥 = 𝑦)
11	9, 10	eqeq12d 2752	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑀 Σg (𝑈 ∘ 𝑥)) = 𝑥 ↔ (𝑀 Σg (𝑈 ∘ 𝑦)) = 𝑦))
12	11	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝐼 ∈ 𝑉 → (𝑀 Σg (𝑈 ∘ 𝑥)) = 𝑥) ↔ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝑀 Σg (𝑈 ∘ 𝑦)) = 𝑦)))
13		coeq2 5813	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩) → (𝑈 ∘ 𝑥) = (𝑈 ∘ (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)))
14	13	oveq2d 7383	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩) → (𝑀 Σg (𝑈 ∘ 𝑥)) = (𝑀 Σg (𝑈 ∘ (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))))
15		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩) → 𝑥 = (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))
16	14, 15	eqeq12d 2752	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩) → ((𝑀 Σg (𝑈 ∘ 𝑥)) = 𝑥 ↔ (𝑀 Σg (𝑈 ∘ (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))) = (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)))
17	16	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩) → ((𝐼 ∈ 𝑉 → (𝑀 Σg (𝑈 ∘ 𝑥)) = 𝑥) ↔ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝑀 Σg (𝑈 ∘ (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))) = (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))))
18		coeq2 5813	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑊 → (𝑈 ∘ 𝑥) = (𝑈 ∘ 𝑊))
19	18	oveq2d 7383	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑊 → (𝑀 Σg (𝑈 ∘ 𝑥)) = (𝑀 Σg (𝑈 ∘ 𝑊)))
20		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑊 → 𝑥 = 𝑊)
21	19, 20	eqeq12d 2752	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑊 → ((𝑀 Σg (𝑈 ∘ 𝑥)) = 𝑥 ↔ (𝑀 Σg (𝑈 ∘ 𝑊)) = 𝑊))
22	21	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑊 → ((𝐼 ∈ 𝑉 → (𝑀 Σg (𝑈 ∘ 𝑥)) = 𝑥) ↔ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝑀 Σg (𝑈 ∘ 𝑊)) = 𝑊)))
23		frmdmnd.m	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 = (freeMnd‘𝐼)
24	23	frmd0 18828	. . . . 5 ⊢ ∅ = (0g‘𝑀)
25	24	gsum0 18652	. . . 4 ⊢ (𝑀 Σg ∅) = ∅
26	25	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝑀 Σg ∅) = ∅)
27		oveq1 7374	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 Σg (𝑈 ∘ 𝑦)) = 𝑦 → ((𝑀 Σg (𝑈 ∘ 𝑦)) ++ ⟨“𝑧”⟩) = (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))
28		simprl 771	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) → 𝑦 ∈ Word 𝐼)
29		simprr 773	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) → 𝑧 ∈ 𝐼)
30	29	s1cld 14566	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) → ⟨“𝑧”⟩ ∈ Word 𝐼)
31		frmdgsum.u	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑈 = (varFMnd‘𝐼)
32	31	vrmdf 18826	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝑈:𝐼⟶Word 𝐼)
33	32	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) → 𝑈:𝐼⟶Word 𝐼)
34		ccatco 14797	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ Word 𝐼 ∧ ⟨“𝑧”⟩ ∈ Word 𝐼 ∧ 𝑈:𝐼⟶Word 𝐼) → (𝑈 ∘ (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)) = ((𝑈 ∘ 𝑦) ++ (𝑈 ∘ ⟨“𝑧”⟩)))
35	28, 30, 33, 34	syl3anc 1374	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) → (𝑈 ∘ (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)) = ((𝑈 ∘ 𝑦) ++ (𝑈 ∘ ⟨“𝑧”⟩)))
36		s1co 14795	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐼 ∧ 𝑈:𝐼⟶Word 𝐼) → (𝑈 ∘ ⟨“𝑧”⟩) = ⟨“(𝑈‘𝑧)”⟩)
37	29, 33, 36	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) → (𝑈 ∘ ⟨“𝑧”⟩) = ⟨“(𝑈‘𝑧)”⟩)
38	31	vrmdval 18825	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) → (𝑈‘𝑧) = ⟨“𝑧”⟩)
39	38	adantrl 717	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) → (𝑈‘𝑧) = ⟨“𝑧”⟩)
40	39	s1eqd 14564	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) → ⟨“(𝑈‘𝑧)”⟩ = ⟨“⟨“𝑧”⟩”⟩)
41	37, 40	eqtrd 2771	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) → (𝑈 ∘ ⟨“𝑧”⟩) = ⟨“⟨“𝑧”⟩”⟩)
42	41	oveq2d 7383	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) → ((𝑈 ∘ 𝑦) ++ (𝑈 ∘ ⟨“𝑧”⟩)) = ((𝑈 ∘ 𝑦) ++ ⟨“⟨“𝑧”⟩”⟩))
43	35, 42	eqtrd 2771	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) → (𝑈 ∘ (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)) = ((𝑈 ∘ 𝑦) ++ ⟨“⟨“𝑧”⟩”⟩))
44	43	oveq2d 7383	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) → (𝑀 Σg (𝑈 ∘ (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))) = (𝑀 Σg ((𝑈 ∘ 𝑦) ++ ⟨“⟨“𝑧”⟩”⟩)))
45	23	frmdmnd 18827	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝑀 ∈ Mnd)
46	45	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) → 𝑀 ∈ Mnd)
47		wrdco 14793	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ Word 𝐼 ∧ 𝑈:𝐼⟶Word 𝐼) → (𝑈 ∘ 𝑦) ∈ Word Word 𝐼)
48	28, 33, 47	syl2anc 585	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) → (𝑈 ∘ 𝑦) ∈ Word Word 𝐼)
49		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
50	23, 49	frmdbas 18820	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (Base‘𝑀) = Word 𝐼)
51	50	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) → (Base‘𝑀) = Word 𝐼)
52		wrdeq 14498	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((Base‘𝑀) = Word 𝐼 → Word (Base‘𝑀) = Word Word 𝐼)
53	51, 52	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) → Word (Base‘𝑀) = Word Word 𝐼)
54	48, 53	eleqtrrd 2839	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) → (𝑈 ∘ 𝑦) ∈ Word (Base‘𝑀))
55	30, 51	eleqtrrd 2839	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) → ⟨“𝑧”⟩ ∈ (Base‘𝑀))
56	55	s1cld 14566	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) → ⟨“⟨“𝑧”⟩”⟩ ∈ Word (Base‘𝑀))
57		eqid 2736	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (+g‘𝑀) = (+g‘𝑀)
58	49, 57	gsumccat 18809	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑈 ∘ 𝑦) ∈ Word (Base‘𝑀) ∧ ⟨“⟨“𝑧”⟩”⟩ ∈ Word (Base‘𝑀)) → (𝑀 Σg ((𝑈 ∘ 𝑦) ++ ⟨“⟨“𝑧”⟩”⟩)) = ((𝑀 Σg (𝑈 ∘ 𝑦))(+g‘𝑀)(𝑀 Σg ⟨“⟨“𝑧”⟩”⟩)))
59	46, 54, 56, 58	syl3anc 1374	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) → (𝑀 Σg ((𝑈 ∘ 𝑦) ++ ⟨“⟨“𝑧”⟩”⟩)) = ((𝑀 Σg (𝑈 ∘ 𝑦))(+g‘𝑀)(𝑀 Σg ⟨“⟨“𝑧”⟩”⟩)))
60	49	gsumws1 18806	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⟨“𝑧”⟩ ∈ (Base‘𝑀) → (𝑀 Σg ⟨“⟨“𝑧”⟩”⟩) = ⟨“𝑧”⟩)
61	55, 60	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) → (𝑀 Σg ⟨“⟨“𝑧”⟩”⟩) = ⟨“𝑧”⟩)
62	61	oveq2d 7383	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) → ((𝑀 Σg (𝑈 ∘ 𝑦))(+g‘𝑀)(𝑀 Σg ⟨“⟨“𝑧”⟩”⟩)) = ((𝑀 Σg (𝑈 ∘ 𝑦))(+g‘𝑀)⟨“𝑧”⟩))
63	49	gsumwcl 18807	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑈 ∘ 𝑦) ∈ Word (Base‘𝑀)) → (𝑀 Σg (𝑈 ∘ 𝑦)) ∈ (Base‘𝑀))
64	46, 54, 63	syl2anc 585	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) → (𝑀 Σg (𝑈 ∘ 𝑦)) ∈ (Base‘𝑀))
65	23, 49, 57	frmdadd 18823	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑀 Σg (𝑈 ∘ 𝑦)) ∈ (Base‘𝑀) ∧ ⟨“𝑧”⟩ ∈ (Base‘𝑀)) → ((𝑀 Σg (𝑈 ∘ 𝑦))(+g‘𝑀)⟨“𝑧”⟩) = ((𝑀 Σg (𝑈 ∘ 𝑦)) ++ ⟨“𝑧”⟩))
66	64, 55, 65	syl2anc 585	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) → ((𝑀 Σg (𝑈 ∘ 𝑦))(+g‘𝑀)⟨“𝑧”⟩) = ((𝑀 Σg (𝑈 ∘ 𝑦)) ++ ⟨“𝑧”⟩))
67	62, 66	eqtrd 2771	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) → ((𝑀 Σg (𝑈 ∘ 𝑦))(+g‘𝑀)(𝑀 Σg ⟨“⟨“𝑧”⟩”⟩)) = ((𝑀 Σg (𝑈 ∘ 𝑦)) ++ ⟨“𝑧”⟩))
68	59, 67	eqtrd 2771	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) → (𝑀 Σg ((𝑈 ∘ 𝑦) ++ ⟨“⟨“𝑧”⟩”⟩)) = ((𝑀 Σg (𝑈 ∘ 𝑦)) ++ ⟨“𝑧”⟩))
69	44, 68	eqtrd 2771	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) → (𝑀 Σg (𝑈 ∘ (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))) = ((𝑀 Σg (𝑈 ∘ 𝑦)) ++ ⟨“𝑧”⟩))
70	69	eqeq1d 2738	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) → ((𝑀 Σg (𝑈 ∘ (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))) = (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩) ↔ ((𝑀 Σg (𝑈 ∘ 𝑦)) ++ ⟨“𝑧”⟩) = (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)))
71	27, 70	imbitrrid 246	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) → ((𝑀 Σg (𝑈 ∘ 𝑦)) = 𝑦 → (𝑀 Σg (𝑈 ∘ (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))) = (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)))
72	71	expcom 413	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ Word 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) → (𝐼 ∈ 𝑉 → ((𝑀 Σg (𝑈 ∘ 𝑦)) = 𝑦 → (𝑀 Σg (𝑈 ∘ (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))) = (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))))
73	72	a2d 29	. . 3 ⊢ ((𝑦 ∈ Word 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) → ((𝐼 ∈ 𝑉 → (𝑀 Σg (𝑈 ∘ 𝑦)) = 𝑦) → (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝑀 Σg (𝑈 ∘ (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))) = (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))))
74	7, 12, 17, 22, 26, 73	wrdind 14684	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐼 → (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝑀 Σg (𝑈 ∘ 𝑊)) = 𝑊))
75	74	impcom 407	1 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐼) → (𝑀 Σg (𝑈 ∘ 𝑊)) = 𝑊)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∅c0 4273   ∘ ccom 5635  ⟶wf 6494  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  Word cword 14475   ++ cconcat 14532  ⟨“cs1 14558  Basecbs 17179  +_gcplusg 17220   Σ_g cgsu 17403  Mndcmnd 18702  freeMndcfrmd 18815  var_FMndcvrmd 18816

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-er 8643  df-map 8775  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-card 9863  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-2 12244  df-n0 12438  df-xnn0 12511  df-z 12525  df-uz 12789  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-seq 13964  df-hash 14293  df-word 14476  df-lsw 14525  df-concat 14533  df-s1 14559  df-substr 14604  df-pfx 14634  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-0g 17404  df-gsum 17405  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-submnd 18752  df-frmd 18817  df-vrmd 18818

This theorem is referenced by:  frmdss2  18831  frmdup3lem  18834  frgpup3lem  19752