MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frmdgsum Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frmdgsum 18672
Description: Any word in a free monoid can be expressed as the sum of the singletons composing it. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
frmdmnd.m 𝑀 = (freeMnd‘𝐼)
frmdgsum.u 𝑈 = (varFMnd𝐼)
Assertion
Ref Expression
frmdgsum ((𝐼𝑉𝑊 ∈ Word 𝐼) → (𝑀 Σg (𝑈𝑊)) = 𝑊)

Proof of Theorem frmdgsum
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 coeq2 5814 . . . . . . 7 (𝑥 = ∅ → (𝑈𝑥) = (𝑈 ∘ ∅))
2 co02 6212 . . . . . . 7 (𝑈 ∘ ∅) = ∅
31, 2eqtrdi 2792 . . . . . 6 (𝑥 = ∅ → (𝑈𝑥) = ∅)
43oveq2d 7373 . . . . 5 (𝑥 = ∅ → (𝑀 Σg (𝑈𝑥)) = (𝑀 Σg ∅))
5 id 22 . . . . 5 (𝑥 = ∅ → 𝑥 = ∅)
64, 5eqeq12d 2752 . . . 4 (𝑥 = ∅ → ((𝑀 Σg (𝑈𝑥)) = 𝑥 ↔ (𝑀 Σg ∅) = ∅))
76imbi2d 340 . . 3 (𝑥 = ∅ → ((𝐼𝑉 → (𝑀 Σg (𝑈𝑥)) = 𝑥) ↔ (𝐼𝑉 → (𝑀 Σg ∅) = ∅)))
8 coeq2 5814 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → (𝑈𝑥) = (𝑈𝑦))
98oveq2d 7373 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → (𝑀 Σg (𝑈𝑥)) = (𝑀 Σg (𝑈𝑦)))
10 id 22 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦𝑥 = 𝑦)
119, 10eqeq12d 2752 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑀 Σg (𝑈𝑥)) = 𝑥 ↔ (𝑀 Σg (𝑈𝑦)) = 𝑦))
1211imbi2d 340 . . 3 (𝑥 = 𝑦 → ((𝐼𝑉 → (𝑀 Σg (𝑈𝑥)) = 𝑥) ↔ (𝐼𝑉 → (𝑀 Σg (𝑈𝑦)) = 𝑦)))
13 coeq2 5814 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩) → (𝑈𝑥) = (𝑈 ∘ (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)))
1413oveq2d 7373 . . . . 5 (𝑥 = (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩) → (𝑀 Σg (𝑈𝑥)) = (𝑀 Σg (𝑈 ∘ (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))))
15 id 22 . . . . 5 (𝑥 = (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩) → 𝑥 = (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))
1614, 15eqeq12d 2752 . . . 4 (𝑥 = (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩) → ((𝑀 Σg (𝑈𝑥)) = 𝑥 ↔ (𝑀 Σg (𝑈 ∘ (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))) = (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)))
1716imbi2d 340 . . 3 (𝑥 = (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩) → ((𝐼𝑉 → (𝑀 Σg (𝑈𝑥)) = 𝑥) ↔ (𝐼𝑉 → (𝑀 Σg (𝑈 ∘ (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))) = (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))))
18 coeq2 5814 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑊 → (𝑈𝑥) = (𝑈𝑊))
1918oveq2d 7373 . . . . 5 (𝑥 = 𝑊 → (𝑀 Σg (𝑈𝑥)) = (𝑀 Σg (𝑈𝑊)))
20 id 22 . . . . 5 (𝑥 = 𝑊𝑥 = 𝑊)
2119, 20eqeq12d 2752 . . . 4 (𝑥 = 𝑊 → ((𝑀 Σg (𝑈𝑥)) = 𝑥 ↔ (𝑀 Σg (𝑈𝑊)) = 𝑊))
2221imbi2d 340 . . 3 (𝑥 = 𝑊 → ((𝐼𝑉 → (𝑀 Σg (𝑈𝑥)) = 𝑥) ↔ (𝐼𝑉 → (𝑀 Σg (𝑈𝑊)) = 𝑊)))
23 frmdmnd.m . . . . . 6 𝑀 = (freeMnd‘𝐼)
2423frmd0 18670 . . . . 5 ∅ = (0g𝑀)
2524gsum0 18539 . . . 4 (𝑀 Σg ∅) = ∅
2625a1i 11 . . 3 (𝐼𝑉 → (𝑀 Σg ∅) = ∅)
27 oveq1 7364 . . . . . 6 ((𝑀 Σg (𝑈𝑦)) = 𝑦 → ((𝑀 Σg (𝑈𝑦)) ++ ⟨“𝑧”⟩) = (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))
28 simprl 769 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼𝑧𝐼)) → 𝑦 ∈ Word 𝐼)
29 simprr 771 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼𝑧𝐼)) → 𝑧𝐼)
3029s1cld 14491 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼𝑧𝐼)) → ⟨“𝑧”⟩ ∈ Word 𝐼)
31 frmdgsum.u . . . . . . . . . . . . 13 𝑈 = (varFMnd𝐼)
3231vrmdf 18668 . . . . . . . . . . . 12 (𝐼𝑉𝑈:𝐼⟶Word 𝐼)
3332adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼𝑧𝐼)) → 𝑈:𝐼⟶Word 𝐼)
34 ccatco 14724 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ Word 𝐼 ∧ ⟨“𝑧”⟩ ∈ Word 𝐼𝑈:𝐼⟶Word 𝐼) → (𝑈 ∘ (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)) = ((𝑈𝑦) ++ (𝑈 ∘ ⟨“𝑧”⟩)))
3528, 30, 33, 34syl3anc 1371 . . . . . . . . . 10 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼𝑧𝐼)) → (𝑈 ∘ (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)) = ((𝑈𝑦) ++ (𝑈 ∘ ⟨“𝑧”⟩)))
36 s1co 14722 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧𝐼𝑈:𝐼⟶Word 𝐼) → (𝑈 ∘ ⟨“𝑧”⟩) = ⟨“(𝑈𝑧)”⟩)
3729, 33, 36syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼𝑧𝐼)) → (𝑈 ∘ ⟨“𝑧”⟩) = ⟨“(𝑈𝑧)”⟩)
3831vrmdval 18667 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐼𝑉𝑧𝐼) → (𝑈𝑧) = ⟨“𝑧”⟩)
3938adantrl 714 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼𝑧𝐼)) → (𝑈𝑧) = ⟨“𝑧”⟩)
4039s1eqd 14489 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼𝑧𝐼)) → ⟨“(𝑈𝑧)”⟩ = ⟨“⟨“𝑧”⟩”⟩)
4137, 40eqtrd 2776 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼𝑧𝐼)) → (𝑈 ∘ ⟨“𝑧”⟩) = ⟨“⟨“𝑧”⟩”⟩)
4241oveq2d 7373 . . . . . . . . . 10 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼𝑧𝐼)) → ((𝑈𝑦) ++ (𝑈 ∘ ⟨“𝑧”⟩)) = ((𝑈𝑦) ++ ⟨“⟨“𝑧”⟩”⟩))
4335, 42eqtrd 2776 . . . . . . . . 9 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼𝑧𝐼)) → (𝑈 ∘ (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)) = ((𝑈𝑦) ++ ⟨“⟨“𝑧”⟩”⟩))
4443oveq2d 7373 . . . . . . . 8 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼𝑧𝐼)) → (𝑀 Σg (𝑈 ∘ (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))) = (𝑀 Σg ((𝑈𝑦) ++ ⟨“⟨“𝑧”⟩”⟩)))
4523frmdmnd 18669 . . . . . . . . . . 11 (𝐼𝑉𝑀 ∈ Mnd)
4645adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼𝑧𝐼)) → 𝑀 ∈ Mnd)
47 wrdco 14720 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ Word 𝐼𝑈:𝐼⟶Word 𝐼) → (𝑈𝑦) ∈ Word Word 𝐼)
4828, 33, 47syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼𝑧𝐼)) → (𝑈𝑦) ∈ Word Word 𝐼)
49 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . 14 (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
5023, 49frmdbas 18662 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐼𝑉 → (Base‘𝑀) = Word 𝐼)
5150adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼𝑧𝐼)) → (Base‘𝑀) = Word 𝐼)
52 wrdeq 14424 . . . . . . . . . . . 12 ((Base‘𝑀) = Word 𝐼 → Word (Base‘𝑀) = Word Word 𝐼)
5351, 52syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼𝑧𝐼)) → Word (Base‘𝑀) = Word Word 𝐼)
5448, 53eleqtrrd 2841 . . . . . . . . . 10 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼𝑧𝐼)) → (𝑈𝑦) ∈ Word (Base‘𝑀))
5530, 51eleqtrrd 2841 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼𝑧𝐼)) → ⟨“𝑧”⟩ ∈ (Base‘𝑀))
5655s1cld 14491 . . . . . . . . . 10 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼𝑧𝐼)) → ⟨“⟨“𝑧”⟩”⟩ ∈ Word (Base‘𝑀))
57 eqid 2736 . . . . . . . . . . 11 (+g𝑀) = (+g𝑀)
5849, 57gsumccat 18651 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑈𝑦) ∈ Word (Base‘𝑀) ∧ ⟨“⟨“𝑧”⟩”⟩ ∈ Word (Base‘𝑀)) → (𝑀 Σg ((𝑈𝑦) ++ ⟨“⟨“𝑧”⟩”⟩)) = ((𝑀 Σg (𝑈𝑦))(+g𝑀)(𝑀 Σg ⟨“⟨“𝑧”⟩”⟩)))
5946, 54, 56, 58syl3anc 1371 . . . . . . . . 9 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼𝑧𝐼)) → (𝑀 Σg ((𝑈𝑦) ++ ⟨“⟨“𝑧”⟩”⟩)) = ((𝑀 Σg (𝑈𝑦))(+g𝑀)(𝑀 Σg ⟨“⟨“𝑧”⟩”⟩)))
6049gsumws1 18648 . . . . . . . . . . . 12 (⟨“𝑧”⟩ ∈ (Base‘𝑀) → (𝑀 Σg ⟨“⟨“𝑧”⟩”⟩) = ⟨“𝑧”⟩)
6155, 60syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼𝑧𝐼)) → (𝑀 Σg ⟨“⟨“𝑧”⟩”⟩) = ⟨“𝑧”⟩)
6261oveq2d 7373 . . . . . . . . . 10 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼𝑧𝐼)) → ((𝑀 Σg (𝑈𝑦))(+g𝑀)(𝑀 Σg ⟨“⟨“𝑧”⟩”⟩)) = ((𝑀 Σg (𝑈𝑦))(+g𝑀)⟨“𝑧”⟩))
6349gsumwcl 18649 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑈𝑦) ∈ Word (Base‘𝑀)) → (𝑀 Σg (𝑈𝑦)) ∈ (Base‘𝑀))
6446, 54, 63syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼𝑧𝐼)) → (𝑀 Σg (𝑈𝑦)) ∈ (Base‘𝑀))
6523, 49, 57frmdadd 18665 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 Σg (𝑈𝑦)) ∈ (Base‘𝑀) ∧ ⟨“𝑧”⟩ ∈ (Base‘𝑀)) → ((𝑀 Σg (𝑈𝑦))(+g𝑀)⟨“𝑧”⟩) = ((𝑀 Σg (𝑈𝑦)) ++ ⟨“𝑧”⟩))
6664, 55, 65syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼𝑧𝐼)) → ((𝑀 Σg (𝑈𝑦))(+g𝑀)⟨“𝑧”⟩) = ((𝑀 Σg (𝑈𝑦)) ++ ⟨“𝑧”⟩))
6762, 66eqtrd 2776 . . . . . . . . 9 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼𝑧𝐼)) → ((𝑀 Σg (𝑈𝑦))(+g𝑀)(𝑀 Σg ⟨“⟨“𝑧”⟩”⟩)) = ((𝑀 Σg (𝑈𝑦)) ++ ⟨“𝑧”⟩))
6859, 67eqtrd 2776 . . . . . . . 8 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼𝑧𝐼)) → (𝑀 Σg ((𝑈𝑦) ++ ⟨“⟨“𝑧”⟩”⟩)) = ((𝑀 Σg (𝑈𝑦)) ++ ⟨“𝑧”⟩))
6944, 68eqtrd 2776 . . . . . . 7 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼𝑧𝐼)) → (𝑀 Σg (𝑈 ∘ (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))) = ((𝑀 Σg (𝑈𝑦)) ++ ⟨“𝑧”⟩))
7069eqeq1d 2738 . . . . . 6 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼𝑧𝐼)) → ((𝑀 Σg (𝑈 ∘ (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))) = (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩) ↔ ((𝑀 Σg (𝑈𝑦)) ++ ⟨“𝑧”⟩) = (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)))
7127, 70syl5ibr 245 . . . . 5 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑦 ∈ Word 𝐼𝑧𝐼)) → ((𝑀 Σg (𝑈𝑦)) = 𝑦 → (𝑀 Σg (𝑈 ∘ (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))) = (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩)))
7271expcom 414 . . . 4 ((𝑦 ∈ Word 𝐼𝑧𝐼) → (𝐼𝑉 → ((𝑀 Σg (𝑈𝑦)) = 𝑦 → (𝑀 Σg (𝑈 ∘ (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))) = (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))))
7372a2d 29 . . 3 ((𝑦 ∈ Word 𝐼𝑧𝐼) → ((𝐼𝑉 → (𝑀 Σg (𝑈𝑦)) = 𝑦) → (𝐼𝑉 → (𝑀 Σg (𝑈 ∘ (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))) = (𝑦 ++ ⟨“𝑧”⟩))))
747, 12, 17, 22, 26, 73wrdind 14610 . 2 (𝑊 ∈ Word 𝐼 → (𝐼𝑉 → (𝑀 Σg (𝑈𝑊)) = 𝑊))
7574impcom 408 1 ((𝐼𝑉𝑊 ∈ Word 𝐼) → (𝑀 Σg (𝑈𝑊)) = 𝑊)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  c0 4282  ccom 5637  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357  Word cword 14402   ++ cconcat 14458  ⟨“cs1 14483  Basecbs 17083  +gcplusg 17133   Σg cgsu 17322  Mndcmnd 18556  freeMndcfrmd 18657  varFMndcvrmd 18658
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-map 8767  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-n0 12414  df-xnn0 12486  df-z 12500  df-uz 12764  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-seq 13907  df-hash 14231  df-word 14403  df-lsw 14451  df-concat 14459  df-s1 14484  df-substr 14529  df-pfx 14559  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-submnd 18602  df-frmd 18659  df-vrmd 18660
This theorem is referenced by:  frmdss2  18673  frmdup3lem  18676  frgpup3lem  19559
  Copyright terms: Public domain W3C validator