Theorem cats1co 14811

Description: Closure of concatenation with a singleton word. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Feb-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
cats1cld.1	⊢ 𝑇 = (𝑆 ++ ⟨“𝑋”⟩)
cats1cld.2	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Word 𝐴)
cats1cld.3	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
cats1co.4	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
cats1co.5	⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘ 𝑆) = 𝑈)
cats1co.6	⊢ 𝑉 = (𝑈 ++ ⟨“(𝐹‘𝑋)”⟩)

Assertion

Ref	Expression
cats1co	⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘ 𝑇) = 𝑉)

Proof of Theorem cats1co

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cats1cld.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Word 𝐴)
2		cats1cld.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
3	2	s1cld 14557	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝐴)
4		cats1co.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
5		ccatco 14790	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (𝐹 ∘ (𝑆 ++ ⟨“𝑋”⟩)) = ((𝐹 ∘ 𝑆) ++ (𝐹 ∘ ⟨“𝑋”⟩)))
6	1, 3, 4, 5	syl3anc 1371	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘ (𝑆 ++ ⟨“𝑋”⟩)) = ((𝐹 ∘ 𝑆) ++ (𝐹 ∘ ⟨“𝑋”⟩)))
7		cats1co.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘ 𝑆) = 𝑈)
8		s1co 14788	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (𝐹 ∘ ⟨“𝑋”⟩) = ⟨“(𝐹‘𝑋)”⟩)
9	2, 4, 8	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘ ⟨“𝑋”⟩) = ⟨“(𝐹‘𝑋)”⟩)
10	7, 9	oveq12d 7429	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ∘ 𝑆) ++ (𝐹 ∘ ⟨“𝑋”⟩)) = (𝑈 ++ ⟨“(𝐹‘𝑋)”⟩))
11	6, 10	eqtrd 2772	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘ (𝑆 ++ ⟨“𝑋”⟩)) = (𝑈 ++ ⟨“(𝐹‘𝑋)”⟩))
12		cats1cld.1	. . 3 ⊢ 𝑇 = (𝑆 ++ ⟨“𝑋”⟩)
13	12	coeq2i 5860	. 2 ⊢ (𝐹 ∘ 𝑇) = (𝐹 ∘ (𝑆 ++ ⟨“𝑋”⟩))
14		cats1co.6	. 2 ⊢ 𝑉 = (𝑈 ++ ⟨“(𝐹‘𝑋)”⟩)
15	11, 13, 14	3eqtr4g 2797	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘ 𝑇) = 𝑉)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ∘ ccom 5680  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  (class class class)co 7411  Word cword 14468   ++ cconcat 14524  ⟨“cs1 14549

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-hash 14295  df-word 14469  df-concat 14525  df-s1 14550

This theorem is referenced by:  s2co  14875  s3co  14876