Theorem cats1co 14497

Description: Closure of concatenation with a singleton word. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Feb-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
cats1cld.1	⊢ 𝑇 = (𝑆 ++ ⟨“𝑋”⟩)
cats1cld.2	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Word 𝐴)
cats1cld.3	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
cats1co.4	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
cats1co.5	⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘ 𝑆) = 𝑈)
cats1co.6	⊢ 𝑉 = (𝑈 ++ ⟨“(𝐹‘𝑋)”⟩)

Assertion

Ref	Expression
cats1co	⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘ 𝑇) = 𝑉)

Proof of Theorem cats1co

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cats1cld.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Word 𝐴)
2		cats1cld.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
3	2	s1cld 14236	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝐴)
4		cats1co.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
5		ccatco 14476	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (𝐹 ∘ (𝑆 ++ ⟨“𝑋”⟩)) = ((𝐹 ∘ 𝑆) ++ (𝐹 ∘ ⟨“𝑋”⟩)))
6	1, 3, 4, 5	syl3anc 1369	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘ (𝑆 ++ ⟨“𝑋”⟩)) = ((𝐹 ∘ 𝑆) ++ (𝐹 ∘ ⟨“𝑋”⟩)))
7		cats1co.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘ 𝑆) = 𝑈)
8		s1co 14474	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (𝐹 ∘ ⟨“𝑋”⟩) = ⟨“(𝐹‘𝑋)”⟩)
9	2, 4, 8	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘ ⟨“𝑋”⟩) = ⟨“(𝐹‘𝑋)”⟩)
10	7, 9	oveq12d 7273	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ∘ 𝑆) ++ (𝐹 ∘ ⟨“𝑋”⟩)) = (𝑈 ++ ⟨“(𝐹‘𝑋)”⟩))
11	6, 10	eqtrd 2778	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘ (𝑆 ++ ⟨“𝑋”⟩)) = (𝑈 ++ ⟨“(𝐹‘𝑋)”⟩))
12		cats1cld.1	. . 3 ⊢ 𝑇 = (𝑆 ++ ⟨“𝑋”⟩)
13	12	coeq2i 5758	. 2 ⊢ (𝐹 ∘ 𝑇) = (𝐹 ∘ (𝑆 ++ ⟨“𝑋”⟩))
14		cats1co.6	. 2 ⊢ 𝑉 = (𝑈 ++ ⟨“(𝐹‘𝑋)”⟩)
15	11, 13, 14	3eqtr4g 2804	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘ 𝑇) = 𝑉)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ∘ ccom 5584  ⟶wf 6414  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  Word cword 14145   ++ cconcat 14201  ⟨“cs1 14228

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-hash 13973  df-word 14146  df-concat 14202  df-s1 14229

This theorem is referenced by:  s2co  14561  s3co  14562