Theorem cats1co 14782

Description: Closure of concatenation with a singleton word. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Feb-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
cats1cld.1	⊢ 𝑇 = (𝑆 ++ ⟨“𝑋”⟩)
cats1cld.2	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Word 𝐴)
cats1cld.3	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
cats1co.4	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
cats1co.5	⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘ 𝑆) = 𝑈)
cats1co.6	⊢ 𝑉 = (𝑈 ++ ⟨“(𝐹‘𝑋)”⟩)

Assertion

Ref	Expression
cats1co	⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘ 𝑇) = 𝑉)

Proof of Theorem cats1co

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cats1cld.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Word 𝐴)
2		cats1cld.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
3	2	s1cld 14529	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝐴)
4		cats1co.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
5		ccatco 14761	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (𝐹 ∘ (𝑆 ++ ⟨“𝑋”⟩)) = ((𝐹 ∘ 𝑆) ++ (𝐹 ∘ ⟨“𝑋”⟩)))
6	1, 3, 4, 5	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘ (𝑆 ++ ⟨“𝑋”⟩)) = ((𝐹 ∘ 𝑆) ++ (𝐹 ∘ ⟨“𝑋”⟩)))
7		cats1co.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘ 𝑆) = 𝑈)
8		s1co 14759	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (𝐹 ∘ ⟨“𝑋”⟩) = ⟨“(𝐹‘𝑋)”⟩)
9	2, 4, 8	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘ ⟨“𝑋”⟩) = ⟨“(𝐹‘𝑋)”⟩)
10	7, 9	oveq12d 7371	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ∘ 𝑆) ++ (𝐹 ∘ ⟨“𝑋”⟩)) = (𝑈 ++ ⟨“(𝐹‘𝑋)”⟩))
11	6, 10	eqtrd 2764	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘ (𝑆 ++ ⟨“𝑋”⟩)) = (𝑈 ++ ⟨“(𝐹‘𝑋)”⟩))
12		cats1cld.1	. . 3 ⊢ 𝑇 = (𝑆 ++ ⟨“𝑋”⟩)
13	12	coeq2i 5807	. 2 ⊢ (𝐹 ∘ 𝑇) = (𝐹 ∘ (𝑆 ++ ⟨“𝑋”⟩))
14		cats1co.6	. 2 ⊢ 𝑉 = (𝑈 ++ ⟨“(𝐹‘𝑋)”⟩)
15	11, 13, 14	3eqtr4g 2789	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘ 𝑇) = 𝑉)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ∘ ccom 5627  ⟶wf 6482  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  Word cword 14439   ++ cconcat 14496  ⟨“cs1 14521

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-int 4900  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-card 9854  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12148  df-n0 12404  df-z 12491  df-uz 12755  df-fz 13430  df-fzo 13577  df-hash 14257  df-word 14440  df-concat 14497  df-s1 14522

This theorem is referenced by:  s2co  14846  s3co  14847