Theorem cats1co 14557

Description: Closure of concatenation with a singleton word. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Feb-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
cats1cld.1	⊢ 𝑇 = (𝑆 ++ ⟨“𝑋”⟩)
cats1cld.2	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Word 𝐴)
cats1cld.3	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
cats1co.4	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
cats1co.5	⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘ 𝑆) = 𝑈)
cats1co.6	⊢ 𝑉 = (𝑈 ++ ⟨“(𝐹‘𝑋)”⟩)

Assertion

Ref	Expression
cats1co	⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘ 𝑇) = 𝑉)

Proof of Theorem cats1co

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cats1cld.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Word 𝐴)
2		cats1cld.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
3	2	s1cld 14296	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝐴)
4		cats1co.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
5		ccatco 14536	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (𝐹 ∘ (𝑆 ++ ⟨“𝑋”⟩)) = ((𝐹 ∘ 𝑆) ++ (𝐹 ∘ ⟨“𝑋”⟩)))
6	1, 3, 4, 5	syl3anc 1370	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘ (𝑆 ++ ⟨“𝑋”⟩)) = ((𝐹 ∘ 𝑆) ++ (𝐹 ∘ ⟨“𝑋”⟩)))
7		cats1co.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘ 𝑆) = 𝑈)
8		s1co 14534	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (𝐹 ∘ ⟨“𝑋”⟩) = ⟨“(𝐹‘𝑋)”⟩)
9	2, 4, 8	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘ ⟨“𝑋”⟩) = ⟨“(𝐹‘𝑋)”⟩)
10	7, 9	oveq12d 7286	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ∘ 𝑆) ++ (𝐹 ∘ ⟨“𝑋”⟩)) = (𝑈 ++ ⟨“(𝐹‘𝑋)”⟩))
11	6, 10	eqtrd 2778	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘ (𝑆 ++ ⟨“𝑋”⟩)) = (𝑈 ++ ⟨“(𝐹‘𝑋)”⟩))
12		cats1cld.1	. . 3 ⊢ 𝑇 = (𝑆 ++ ⟨“𝑋”⟩)
13	12	coeq2i 5763	. 2 ⊢ (𝐹 ∘ 𝑇) = (𝐹 ∘ (𝑆 ++ ⟨“𝑋”⟩))
14		cats1co.6	. 2 ⊢ 𝑉 = (𝑈 ++ ⟨“(𝐹‘𝑋)”⟩)
15	11, 13, 14	3eqtr4g 2803	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘ 𝑇) = 𝑉)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ∘ ccom 5589  ⟶wf 6423  ‘cfv 6427  (class class class)co 7268  Word cword 14205   ++ cconcat 14261  ⟨“cs1 14288

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5222  ax-nul 5229  ax-pow 5287  ax-pr 5351  ax-un 7579  ax-cnex 10915  ax-resscn 10916  ax-1cn 10917  ax-icn 10918  ax-addcl 10919  ax-addrcl 10920  ax-mulcl 10921  ax-mulrcl 10922  ax-mulcom 10923  ax-addass 10924  ax-mulass 10925  ax-distr 10926  ax-i2m1 10927  ax-1ne0 10928  ax-1rid 10929  ax-rnegex 10930  ax-rrecex 10931  ax-cnre 10932  ax-pre-lttri 10933  ax-pre-lttrn 10934  ax-pre-ltadd 10935  ax-pre-mulgt0 10936

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3071  df-rab 3073  df-v 3432  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4258  df-if 4461  df-pw 4536  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4841  df-int 4881  df-iun 4927  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5485  df-eprel 5491  df-po 5499  df-so 5500  df-fr 5540  df-we 5542  df-xp 5591  df-rel 5592  df-cnv 5593  df-co 5594  df-dm 5595  df-rn 5596  df-res 5597  df-ima 5598  df-pred 6196  df-ord 6263  df-on 6264  df-lim 6265  df-suc 6266  df-iota 6385  df-fun 6429  df-fn 6430  df-f 6431  df-f1 6432  df-fo 6433  df-f1o 6434  df-fv 6435  df-riota 7225  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-om 7704  df-1st 7821  df-2nd 7822  df-frecs 8085  df-wrecs 8116  df-recs 8190  df-rdg 8229  df-1o 8285  df-er 8486  df-en 8722  df-dom 8723  df-sdom 8724  df-fin 8725  df-card 9685  df-pnf 10999  df-mnf 11000  df-xr 11001  df-ltxr 11002  df-le 11003  df-sub 11195  df-neg 11196  df-nn 11962  df-n0 12222  df-z 12308  df-uz 12571  df-fz 13228  df-fzo 13371  df-hash 14033  df-word 14206  df-concat 14262  df-s1 14289

This theorem is referenced by:  s2co  14621  s3co  14622