Theorem cats1co 14569

Description: Closure of concatenation with a singleton word. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Feb-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
cats1cld.1	⊢ 𝑇 = (𝑆 ++ ⟨“𝑋”⟩)
cats1cld.2	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Word 𝐴)
cats1cld.3	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
cats1co.4	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
cats1co.5	⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘ 𝑆) = 𝑈)
cats1co.6	⊢ 𝑉 = (𝑈 ++ ⟨“(𝐹‘𝑋)”⟩)

Assertion

Ref	Expression
cats1co	⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘ 𝑇) = 𝑉)

Proof of Theorem cats1co

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cats1cld.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Word 𝐴)
2		cats1cld.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
3	2	s1cld 14308	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝐴)
4		cats1co.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
5		ccatco 14548	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (𝐹 ∘ (𝑆 ++ ⟨“𝑋”⟩)) = ((𝐹 ∘ 𝑆) ++ (𝐹 ∘ ⟨“𝑋”⟩)))
6	1, 3, 4, 5	syl3anc 1370	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘ (𝑆 ++ ⟨“𝑋”⟩)) = ((𝐹 ∘ 𝑆) ++ (𝐹 ∘ ⟨“𝑋”⟩)))
7		cats1co.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘ 𝑆) = 𝑈)
8		s1co 14546	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (𝐹 ∘ ⟨“𝑋”⟩) = ⟨“(𝐹‘𝑋)”⟩)
9	2, 4, 8	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘ ⟨“𝑋”⟩) = ⟨“(𝐹‘𝑋)”⟩)
10	7, 9	oveq12d 7293	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ∘ 𝑆) ++ (𝐹 ∘ ⟨“𝑋”⟩)) = (𝑈 ++ ⟨“(𝐹‘𝑋)”⟩))
11	6, 10	eqtrd 2778	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘ (𝑆 ++ ⟨“𝑋”⟩)) = (𝑈 ++ ⟨“(𝐹‘𝑋)”⟩))
12		cats1cld.1	. . 3 ⊢ 𝑇 = (𝑆 ++ ⟨“𝑋”⟩)
13	12	coeq2i 5769	. 2 ⊢ (𝐹 ∘ 𝑇) = (𝐹 ∘ (𝑆 ++ ⟨“𝑋”⟩))
14		cats1co.6	. 2 ⊢ 𝑉 = (𝑈 ++ ⟨“(𝐹‘𝑋)”⟩)
15	11, 13, 14	3eqtr4g 2803	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘ 𝑇) = 𝑉)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ∘ ccom 5593  ⟶wf 6429  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  Word cword 14217   ++ cconcat 14273  ⟨“cs1 14300

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-hash 14045  df-word 14218  df-concat 14274  df-s1 14301

This theorem is referenced by:  s2co  14633  s3co  14634