Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mrsubcv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mrsubcv 35478
Description: The value of a substituted singleton. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
mrsubffval.c 𝐶 = (mCN‘𝑇)
mrsubffval.v 𝑉 = (mVR‘𝑇)
mrsubffval.r 𝑅 = (mREx‘𝑇)
mrsubffval.s 𝑆 = (mRSubst‘𝑇)
Assertion
Ref Expression
mrsubcv ((𝐹:𝐴𝑅𝐴𝑉𝑋 ∈ (𝐶𝑉)) → ((𝑆𝐹)‘⟨“𝑋”⟩) = if(𝑋𝐴, (𝐹𝑋), ⟨“𝑋”⟩))

Proof of Theorem mrsubcv
Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp3 1138 . . . . 5 ((𝐹:𝐴𝑅𝐴𝑉𝑋 ∈ (𝐶𝑉)) → 𝑋 ∈ (𝐶𝑉))
21s1cld 14651 . . . 4 ((𝐹:𝐴𝑅𝐴𝑉𝑋 ∈ (𝐶𝑉)) → ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word (𝐶𝑉))
3 elun 4176 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ (𝐶𝑉) ↔ (𝑋𝐶𝑋𝑉))
4 elfvex 6958 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ (mCN‘𝑇) → 𝑇 ∈ V)
5 mrsubffval.c . . . . . . . . 9 𝐶 = (mCN‘𝑇)
64, 5eleq2s 2862 . . . . . . . 8 (𝑋𝐶𝑇 ∈ V)
7 elfvex 6958 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ (mVR‘𝑇) → 𝑇 ∈ V)
8 mrsubffval.v . . . . . . . . 9 𝑉 = (mVR‘𝑇)
97, 8eleq2s 2862 . . . . . . . 8 (𝑋𝑉𝑇 ∈ V)
106, 9jaoi 856 . . . . . . 7 ((𝑋𝐶𝑋𝑉) → 𝑇 ∈ V)
113, 10sylbi 217 . . . . . 6 (𝑋 ∈ (𝐶𝑉) → 𝑇 ∈ V)
12113ad2ant3 1135 . . . . 5 ((𝐹:𝐴𝑅𝐴𝑉𝑋 ∈ (𝐶𝑉)) → 𝑇 ∈ V)
13 mrsubffval.r . . . . . 6 𝑅 = (mREx‘𝑇)
145, 8, 13mrexval 35469 . . . . 5 (𝑇 ∈ V → 𝑅 = Word (𝐶𝑉))
1512, 14syl 17 . . . 4 ((𝐹:𝐴𝑅𝐴𝑉𝑋 ∈ (𝐶𝑉)) → 𝑅 = Word (𝐶𝑉))
162, 15eleqtrrd 2847 . . 3 ((𝐹:𝐴𝑅𝐴𝑉𝑋 ∈ (𝐶𝑉)) → ⟨“𝑋”⟩ ∈ 𝑅)
17 mrsubffval.s . . . 4 𝑆 = (mRSubst‘𝑇)
18 eqid 2740 . . . 4 (freeMnd‘(𝐶𝑉)) = (freeMnd‘(𝐶𝑉))
195, 8, 13, 17, 18mrsubval 35477 . . 3 ((𝐹:𝐴𝑅𝐴𝑉 ∧ ⟨“𝑋”⟩ ∈ 𝑅) → ((𝑆𝐹)‘⟨“𝑋”⟩) = ((freeMnd‘(𝐶𝑉)) Σg ((𝑣 ∈ (𝐶𝑉) ↦ if(𝑣𝐴, (𝐹𝑣), ⟨“𝑣”⟩)) ∘ ⟨“𝑋”⟩)))
2016, 19syld3an3 1409 . 2 ((𝐹:𝐴𝑅𝐴𝑉𝑋 ∈ (𝐶𝑉)) → ((𝑆𝐹)‘⟨“𝑋”⟩) = ((freeMnd‘(𝐶𝑉)) Σg ((𝑣 ∈ (𝐶𝑉) ↦ if(𝑣𝐴, (𝐹𝑣), ⟨“𝑣”⟩)) ∘ ⟨“𝑋”⟩)))
21 simpl1 1191 . . . . . . . . 9 (((𝐹:𝐴𝑅𝐴𝑉𝑋 ∈ (𝐶𝑉)) ∧ 𝑣 ∈ (𝐶𝑉)) → 𝐹:𝐴𝑅)
2221ffvelcdmda 7118 . . . . . . . 8 ((((𝐹:𝐴𝑅𝐴𝑉𝑋 ∈ (𝐶𝑉)) ∧ 𝑣 ∈ (𝐶𝑉)) ∧ 𝑣𝐴) → (𝐹𝑣) ∈ 𝑅)
2315ad2antrr 725 . . . . . . . 8 ((((𝐹:𝐴𝑅𝐴𝑉𝑋 ∈ (𝐶𝑉)) ∧ 𝑣 ∈ (𝐶𝑉)) ∧ 𝑣𝐴) → 𝑅 = Word (𝐶𝑉))
2422, 23eleqtrd 2846 . . . . . . 7 ((((𝐹:𝐴𝑅𝐴𝑉𝑋 ∈ (𝐶𝑉)) ∧ 𝑣 ∈ (𝐶𝑉)) ∧ 𝑣𝐴) → (𝐹𝑣) ∈ Word (𝐶𝑉))
25 simplr 768 . . . . . . . 8 ((((𝐹:𝐴𝑅𝐴𝑉𝑋 ∈ (𝐶𝑉)) ∧ 𝑣 ∈ (𝐶𝑉)) ∧ ¬ 𝑣𝐴) → 𝑣 ∈ (𝐶𝑉))
2625s1cld 14651 . . . . . . 7 ((((𝐹:𝐴𝑅𝐴𝑉𝑋 ∈ (𝐶𝑉)) ∧ 𝑣 ∈ (𝐶𝑉)) ∧ ¬ 𝑣𝐴) → ⟨“𝑣”⟩ ∈ Word (𝐶𝑉))
2724, 26ifclda 4583 . . . . . 6 (((𝐹:𝐴𝑅𝐴𝑉𝑋 ∈ (𝐶𝑉)) ∧ 𝑣 ∈ (𝐶𝑉)) → if(𝑣𝐴, (𝐹𝑣), ⟨“𝑣”⟩) ∈ Word (𝐶𝑉))
2827fmpttd 7149 . . . . 5 ((𝐹:𝐴𝑅𝐴𝑉𝑋 ∈ (𝐶𝑉)) → (𝑣 ∈ (𝐶𝑉) ↦ if(𝑣𝐴, (𝐹𝑣), ⟨“𝑣”⟩)):(𝐶𝑉)⟶Word (𝐶𝑉))
29 s1co 14882 . . . . 5 ((𝑋 ∈ (𝐶𝑉) ∧ (𝑣 ∈ (𝐶𝑉) ↦ if(𝑣𝐴, (𝐹𝑣), ⟨“𝑣”⟩)):(𝐶𝑉)⟶Word (𝐶𝑉)) → ((𝑣 ∈ (𝐶𝑉) ↦ if(𝑣𝐴, (𝐹𝑣), ⟨“𝑣”⟩)) ∘ ⟨“𝑋”⟩) = ⟨“((𝑣 ∈ (𝐶𝑉) ↦ if(𝑣𝐴, (𝐹𝑣), ⟨“𝑣”⟩))‘𝑋)”⟩)
301, 28, 29syl2anc 583 . . . 4 ((𝐹:𝐴𝑅𝐴𝑉𝑋 ∈ (𝐶𝑉)) → ((𝑣 ∈ (𝐶𝑉) ↦ if(𝑣𝐴, (𝐹𝑣), ⟨“𝑣”⟩)) ∘ ⟨“𝑋”⟩) = ⟨“((𝑣 ∈ (𝐶𝑉) ↦ if(𝑣𝐴, (𝐹𝑣), ⟨“𝑣”⟩))‘𝑋)”⟩)
31 eleq1 2832 . . . . . . . 8 (𝑣 = 𝑋 → (𝑣𝐴𝑋𝐴))
32 fveq2 6920 . . . . . . . 8 (𝑣 = 𝑋 → (𝐹𝑣) = (𝐹𝑋))
33 s1eq 14648 . . . . . . . 8 (𝑣 = 𝑋 → ⟨“𝑣”⟩ = ⟨“𝑋”⟩)
3431, 32, 33ifbieq12d 4576 . . . . . . 7 (𝑣 = 𝑋 → if(𝑣𝐴, (𝐹𝑣), ⟨“𝑣”⟩) = if(𝑋𝐴, (𝐹𝑋), ⟨“𝑋”⟩))
35 eqid 2740 . . . . . . 7 (𝑣 ∈ (𝐶𝑉) ↦ if(𝑣𝐴, (𝐹𝑣), ⟨“𝑣”⟩)) = (𝑣 ∈ (𝐶𝑉) ↦ if(𝑣𝐴, (𝐹𝑣), ⟨“𝑣”⟩))
36 fvex 6933 . . . . . . . 8 (𝐹𝑋) ∈ V
37 s1cli 14653 . . . . . . . . 9 ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word V
3837elexi 3511 . . . . . . . 8 ⟨“𝑋”⟩ ∈ V
3936, 38ifex 4598 . . . . . . 7 if(𝑋𝐴, (𝐹𝑋), ⟨“𝑋”⟩) ∈ V
4034, 35, 39fvmpt 7029 . . . . . 6 (𝑋 ∈ (𝐶𝑉) → ((𝑣 ∈ (𝐶𝑉) ↦ if(𝑣𝐴, (𝐹𝑣), ⟨“𝑣”⟩))‘𝑋) = if(𝑋𝐴, (𝐹𝑋), ⟨“𝑋”⟩))
41403ad2ant3 1135 . . . . 5 ((𝐹:𝐴𝑅𝐴𝑉𝑋 ∈ (𝐶𝑉)) → ((𝑣 ∈ (𝐶𝑉) ↦ if(𝑣𝐴, (𝐹𝑣), ⟨“𝑣”⟩))‘𝑋) = if(𝑋𝐴, (𝐹𝑋), ⟨“𝑋”⟩))
4241s1eqd 14649 . . . 4 ((𝐹:𝐴𝑅𝐴𝑉𝑋 ∈ (𝐶𝑉)) → ⟨“((𝑣 ∈ (𝐶𝑉) ↦ if(𝑣𝐴, (𝐹𝑣), ⟨“𝑣”⟩))‘𝑋)”⟩ = ⟨“if(𝑋𝐴, (𝐹𝑋), ⟨“𝑋”⟩)”⟩)
4330, 42eqtrd 2780 . . 3 ((𝐹:𝐴𝑅𝐴𝑉𝑋 ∈ (𝐶𝑉)) → ((𝑣 ∈ (𝐶𝑉) ↦ if(𝑣𝐴, (𝐹𝑣), ⟨“𝑣”⟩)) ∘ ⟨“𝑋”⟩) = ⟨“if(𝑋𝐴, (𝐹𝑋), ⟨“𝑋”⟩)”⟩)
4443oveq2d 7464 . 2 ((𝐹:𝐴𝑅𝐴𝑉𝑋 ∈ (𝐶𝑉)) → ((freeMnd‘(𝐶𝑉)) Σg ((𝑣 ∈ (𝐶𝑉) ↦ if(𝑣𝐴, (𝐹𝑣), ⟨“𝑣”⟩)) ∘ ⟨“𝑋”⟩)) = ((freeMnd‘(𝐶𝑉)) Σg ⟨“if(𝑋𝐴, (𝐹𝑋), ⟨“𝑋”⟩)”⟩))
4528, 1ffvelcdmd 7119 . . . 4 ((𝐹:𝐴𝑅𝐴𝑉𝑋 ∈ (𝐶𝑉)) → ((𝑣 ∈ (𝐶𝑉) ↦ if(𝑣𝐴, (𝐹𝑣), ⟨“𝑣”⟩))‘𝑋) ∈ Word (𝐶𝑉))
4641, 45eqeltrrd 2845 . . 3 ((𝐹:𝐴𝑅𝐴𝑉𝑋 ∈ (𝐶𝑉)) → if(𝑋𝐴, (𝐹𝑋), ⟨“𝑋”⟩) ∈ Word (𝐶𝑉))
475fvexi 6934 . . . . . . 7 𝐶 ∈ V
488fvexi 6934 . . . . . . 7 𝑉 ∈ V
4947, 48unex 7779 . . . . . 6 (𝐶𝑉) ∈ V
50 eqid 2740 . . . . . . 7 (Base‘(freeMnd‘(𝐶𝑉))) = (Base‘(freeMnd‘(𝐶𝑉)))
5118, 50frmdbas 18887 . . . . . 6 ((𝐶𝑉) ∈ V → (Base‘(freeMnd‘(𝐶𝑉))) = Word (𝐶𝑉))
5249, 51ax-mp 5 . . . . 5 (Base‘(freeMnd‘(𝐶𝑉))) = Word (𝐶𝑉)
5352eqcomi 2749 . . . 4 Word (𝐶𝑉) = (Base‘(freeMnd‘(𝐶𝑉)))
5453gsumws1 18873 . . 3 (if(𝑋𝐴, (𝐹𝑋), ⟨“𝑋”⟩) ∈ Word (𝐶𝑉) → ((freeMnd‘(𝐶𝑉)) Σg ⟨“if(𝑋𝐴, (𝐹𝑋), ⟨“𝑋”⟩)”⟩) = if(𝑋𝐴, (𝐹𝑋), ⟨“𝑋”⟩))
5546, 54syl 17 . 2 ((𝐹:𝐴𝑅𝐴𝑉𝑋 ∈ (𝐶𝑉)) → ((freeMnd‘(𝐶𝑉)) Σg ⟨“if(𝑋𝐴, (𝐹𝑋), ⟨“𝑋”⟩)”⟩) = if(𝑋𝐴, (𝐹𝑋), ⟨“𝑋”⟩))
5620, 44, 553eqtrd 2784 1 ((𝐹:𝐴𝑅𝐴𝑉𝑋 ∈ (𝐶𝑉)) → ((𝑆𝐹)‘⟨“𝑋”⟩) = if(𝑋𝐴, (𝐹𝑋), ⟨“𝑋”⟩))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395  wo 846  w3a 1087   = wceq 1537  wcel 2108  Vcvv 3488  cun 3974  wss 3976  ifcif 4548  cmpt 5249  ccom 5704  wf 6569  cfv 6573  (class class class)co 7448  Word cword 14562  ⟨“cs1 14643  Basecbs 17258   Σg cgsu 17500  freeMndcfrmd 18882  mCNcmcn 35428  mVRcmvar 35429  mRExcmrex 35434  mRSubstcmrsub 35438
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-er 8763  df-map 8886  df-pm 8887  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-card 10008  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-2 12356  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-seq 14053  df-hash 14380  df-word 14563  df-s1 14644  df-struct 17194  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-plusg 17324  df-0g 17501  df-gsum 17502  df-frmd 18884  df-mrex 35454  df-mrsub 35458
This theorem is referenced by:  mrsubvr  35479  mrsubcn  35487
  Copyright terms: Public domain W3C validator