Theorem s2co 14994

Description: Mapping a doubleton word by a function. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Feb-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
s2co.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶𝑌)
s2co.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
s2co.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
s2co	⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘ ⟨“𝐴𝐵”⟩) = ⟨“(𝐹‘𝐴)(𝐹‘𝐵)”⟩)

Proof of Theorem s2co

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-s2 14922	. 2 ⊢ ⟨“𝐴𝐵”⟩ = (⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐵”⟩)
2		s2co.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
3	2	s1cld 14673	. 2 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴”⟩ ∈ Word 𝑋)
4		s2co.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑋)
5		s2co.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶𝑌)
6		s1co 14907	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) → (𝐹 ∘ ⟨“𝐴”⟩) = ⟨“(𝐹‘𝐴)”⟩)
7	2, 5, 6	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘ ⟨“𝐴”⟩) = ⟨“(𝐹‘𝐴)”⟩)
8		df-s2 14922	. 2 ⊢ ⟨“(𝐹‘𝐴)(𝐹‘𝐵)”⟩ = (⟨“(𝐹‘𝐴)”⟩ ++ ⟨“(𝐹‘𝐵)”⟩)
9	1, 3, 4, 5, 7, 8	cats1co 14930	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘ ⟨“𝐴𝐵”⟩) = ⟨“(𝐹‘𝐴)(𝐹‘𝐵)”⟩)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ∘ ccom 5659  ⟶wf 6529  ‘cfv 6533  ⟨“cs1 14665  ⟨“cs2 14915

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8458  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-card 9947  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-n0 12532  df-z 12619  df-uz 12891  df-fz 13565  df-fzo 13713  df-hash 14398  df-word 14582  df-concat 14639  df-s1 14666  df-s2 14922

This theorem is used by:  s3co  14995  frgpuplem  19902