Theorem s2co 14831

Description: Mapping a doubleton word by a function. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Feb-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
s2co.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶𝑌)
s2co.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
s2co.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
s2co	⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘ ⟨“𝐴𝐵”⟩) = ⟨“(𝐹‘𝐴)(𝐹‘𝐵)”⟩)

Proof of Theorem s2co

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-s2 14759	. 2 ⊢ ⟨“𝐴𝐵”⟩ = (⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐵”⟩)
2		s2co.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
3	2	s1cld 14515	. 2 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴”⟩ ∈ Word 𝑋)
4		s2co.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑋)
5		s2co.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶𝑌)
6		s1co 14744	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐹:𝑋⟶𝑌) → (𝐹 ∘ ⟨“𝐴”⟩) = ⟨“(𝐹‘𝐴)”⟩)
7	2, 5, 6	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘ ⟨“𝐴”⟩) = ⟨“(𝐹‘𝐴)”⟩)
8		df-s2 14759	. 2 ⊢ ⟨“(𝐹‘𝐴)(𝐹‘𝐵)”⟩ = (⟨“(𝐹‘𝐴)”⟩ ++ ⟨“(𝐹‘𝐵)”⟩)
9	1, 3, 4, 5, 7, 8	cats1co 14767	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘ ⟨“𝐴𝐵”⟩) = ⟨“(𝐹‘𝐴)(𝐹‘𝐵)”⟩)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ∘ ccom 5625  ⟶wf 6484  ‘cfv 6488  ⟨“cs1 14507  ⟨“cs2 14752

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7676  ax-cnex 11071  ax-resscn 11072  ax-1cn 11073  ax-icn 11074  ax-addcl 11075  ax-addrcl 11076  ax-mulcl 11077  ax-mulrcl 11078  ax-mulcom 11079  ax-addass 11080  ax-mulass 11081  ax-distr 11082  ax-i2m1 11083  ax-1ne0 11084  ax-1rid 11085  ax-rnegex 11086  ax-rrecex 11087  ax-cnre 11088  ax-pre-lttri 11089  ax-pre-lttrn 11090  ax-pre-ltadd 11091  ax-pre-mulgt0 11092

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-int 4900  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6255  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-riota 7311  df-ov 7357  df-oprab 7358  df-mpo 7359  df-om 7805  df-1st 7929  df-2nd 7930  df-frecs 8219  df-wrecs 8250  df-recs 8299  df-rdg 8337  df-1o 8393  df-er 8630  df-en 8878  df-dom 8879  df-sdom 8880  df-fin 8881  df-card 9841  df-pnf 11157  df-mnf 11158  df-xr 11159  df-ltxr 11160  df-le 11161  df-sub 11355  df-neg 11356  df-nn 12135  df-n0 12391  df-z 12478  df-uz 12741  df-fz 13412  df-fzo 13559  df-hash 14242  df-word 14425  df-concat 14482  df-s1 14508  df-s2 14759

This theorem is referenced by:  s3co  14832  frgpuplem  19688