MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  s2co Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem s2co 13952
Description: Mapping a doubleton word by a function. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Feb-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
s2co.1 (𝜑𝐹:𝑋𝑌)
s2co.2 (𝜑𝐴𝑋)
s2co.3 (𝜑𝐵𝑋)
Assertion
Ref Expression
s2co (𝜑 → (𝐹 ∘ ⟨“𝐴𝐵”⟩) = ⟨“(𝐹𝐴)(𝐹𝐵)”⟩)

Proof of Theorem s2co
StepHypRef Expression
1 df-s2 13880 . 2 ⟨“𝐴𝐵”⟩ = (⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐵”⟩)
2 s2co.2 . . 3 (𝜑𝐴𝑋)
32s1cld 13577 . 2 (𝜑 → ⟨“𝐴”⟩ ∈ Word 𝑋)
4 s2co.3 . 2 (𝜑𝐵𝑋)
5 s2co.1 . 2 (𝜑𝐹:𝑋𝑌)
6 s1co 13865 . . 3 ((𝐴𝑋𝐹:𝑋𝑌) → (𝐹 ∘ ⟨“𝐴”⟩) = ⟨“(𝐹𝐴)”⟩)
72, 5, 6syl2anc 579 . 2 (𝜑 → (𝐹 ∘ ⟨“𝐴”⟩) = ⟨“(𝐹𝐴)”⟩)
8 df-s2 13880 . 2 ⟨“(𝐹𝐴)(𝐹𝐵)”⟩ = (⟨“(𝐹𝐴)”⟩ ++ ⟨“(𝐹𝐵)”⟩)
91, 3, 4, 5, 7, 8cats1co 13888 1 (𝜑 → (𝐹 ∘ ⟨“𝐴𝐵”⟩) = ⟨“(𝐹𝐴)(𝐹𝐵)”⟩)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1652  wcel 2155  ccom 5283  wf 6066  cfv 6070  ⟨“cs1 13569  ⟨“cs2 13873
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4932  ax-sep 4943  ax-nul 4951  ax-pow 5003  ax-pr 5064  ax-un 7149  ax-cnex 10247  ax-resscn 10248  ax-1cn 10249  ax-icn 10250  ax-addcl 10251  ax-addrcl 10252  ax-mulcl 10253  ax-mulrcl 10254  ax-mulcom 10255  ax-addass 10256  ax-mulass 10257  ax-distr 10258  ax-i2m1 10259  ax-1ne0 10260  ax-1rid 10261  ax-rnegex 10262  ax-rrecex 10263  ax-cnre 10264  ax-pre-lttri 10265  ax-pre-lttrn 10266  ax-pre-ltadd 10267  ax-pre-mulgt0 10268
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3599  df-csb 3694  df-dif 3737  df-un 3739  df-in 3741  df-ss 3748  df-pss 3750  df-nul 4082  df-if 4246  df-pw 4319  df-sn 4337  df-pr 4339  df-tp 4341  df-op 4343  df-uni 4597  df-int 4636  df-iun 4680  df-br 4812  df-opab 4874  df-mpt 4891  df-tr 4914  df-id 5187  df-eprel 5192  df-po 5200  df-so 5201  df-fr 5238  df-we 5240  df-xp 5285  df-rel 5286  df-cnv 5287  df-co 5288  df-dm 5289  df-rn 5290  df-res 5291  df-ima 5292  df-pred 5867  df-ord 5913  df-on 5914  df-lim 5915  df-suc 5916  df-iota 6033  df-fun 6072  df-fn 6073  df-f 6074  df-f1 6075  df-fo 6076  df-f1o 6077  df-fv 6078  df-riota 6805  df-ov 6847  df-oprab 6848  df-mpt2 6849  df-om 7266  df-1st 7368  df-2nd 7369  df-wrecs 7612  df-recs 7674  df-rdg 7712  df-1o 7766  df-oadd 7770  df-er 7949  df-en 8163  df-dom 8164  df-sdom 8165  df-fin 8166  df-card 9018  df-pnf 10332  df-mnf 10333  df-xr 10334  df-ltxr 10335  df-le 10336  df-sub 10524  df-neg 10525  df-nn 11277  df-n0 11541  df-z 11627  df-uz 11890  df-fz 12537  df-fzo 12677  df-hash 13325  df-word 13490  df-concat 13545  df-s1 13570  df-s2 13880
This theorem is referenced by:  s3co  13953  frgpuplem  18454
  Copyright terms: Public domain W3C validator