MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efginvrel2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem efginvrel2 19516
Description: The inverse of the reverse of a word composed with the word relates to the identity. (This provides an explicit expression for the representation of the group inverse, given a representative of the free group equivalence class.) (Contributed by Mario Carneiro, 1-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
efgval.w π‘Š = ( I β€˜Word (𝐼 Γ— 2o))
efgval.r ∼ = ( ~FG β€˜πΌ)
efgval2.m 𝑀 = (𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ βŸ¨π‘¦, (1o βˆ– 𝑧)⟩)
efgval2.t 𝑇 = (𝑣 ∈ π‘Š ↦ (𝑛 ∈ (0...(β™―β€˜π‘£)), 𝑀 ∈ (𝐼 Γ— 2o) ↦ (𝑣 splice βŸ¨π‘›, 𝑛, βŸ¨β€œπ‘€(π‘€β€˜π‘€)β€βŸ©βŸ©)))
Assertion
Ref Expression
efginvrel2 (𝐴 ∈ π‘Š β†’ (𝐴 ++ (𝑀 ∘ (reverseβ€˜π΄))) ∼ βˆ…)
Distinct variable groups:   𝑦,𝑧   𝑣,𝑛,𝑀,𝑦,𝑧   𝑛,𝑀,𝑣,𝑀   𝑛,π‘Š,𝑣,𝑀,𝑦,𝑧   𝑦, ∼ ,𝑧   𝑛,𝐼,𝑣,𝑀,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦,𝑧,𝑀,𝑣,𝑛)   ∼ (𝑀,𝑣,𝑛)   𝑇(𝑦,𝑧,𝑀,𝑣,𝑛)   𝑀(𝑦,𝑧)

Proof of Theorem efginvrel2
Dummy variables π‘Ž 𝑏 𝑐 𝑒 π‘š are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 efgval.w . . . 4 π‘Š = ( I β€˜Word (𝐼 Γ— 2o))
2 fviss 6923 . . . 4 ( I β€˜Word (𝐼 Γ— 2o)) βŠ† Word (𝐼 Γ— 2o)
31, 2eqsstri 3983 . . 3 π‘Š βŠ† Word (𝐼 Γ— 2o)
43sseli 3945 . 2 (𝐴 ∈ π‘Š β†’ 𝐴 ∈ Word (𝐼 Γ— 2o))
5 id 22 . . . . . 6 (𝑐 = βˆ… β†’ 𝑐 = βˆ…)
6 fveq2 6847 . . . . . . . . 9 (𝑐 = βˆ… β†’ (reverseβ€˜π‘) = (reverseβ€˜βˆ…))
7 rev0 14659 . . . . . . . . 9 (reverseβ€˜βˆ…) = βˆ…
86, 7eqtrdi 2793 . . . . . . . 8 (𝑐 = βˆ… β†’ (reverseβ€˜π‘) = βˆ…)
98coeq2d 5823 . . . . . . 7 (𝑐 = βˆ… β†’ (𝑀 ∘ (reverseβ€˜π‘)) = (𝑀 ∘ βˆ…))
10 co02 6217 . . . . . . 7 (𝑀 ∘ βˆ…) = βˆ…
119, 10eqtrdi 2793 . . . . . 6 (𝑐 = βˆ… β†’ (𝑀 ∘ (reverseβ€˜π‘)) = βˆ…)
125, 11oveq12d 7380 . . . . 5 (𝑐 = βˆ… β†’ (𝑐 ++ (𝑀 ∘ (reverseβ€˜π‘))) = (βˆ… ++ βˆ…))
1312breq1d 5120 . . . 4 (𝑐 = βˆ… β†’ ((𝑐 ++ (𝑀 ∘ (reverseβ€˜π‘))) ∼ βˆ… ↔ (βˆ… ++ βˆ…) ∼ βˆ…))
1413imbi2d 341 . . 3 (𝑐 = βˆ… β†’ ((𝐴 ∈ π‘Š β†’ (𝑐 ++ (𝑀 ∘ (reverseβ€˜π‘))) ∼ βˆ…) ↔ (𝐴 ∈ π‘Š β†’ (βˆ… ++ βˆ…) ∼ βˆ…)))
15 id 22 . . . . . 6 (𝑐 = π‘Ž β†’ 𝑐 = π‘Ž)
16 fveq2 6847 . . . . . . 7 (𝑐 = π‘Ž β†’ (reverseβ€˜π‘) = (reverseβ€˜π‘Ž))
1716coeq2d 5823 . . . . . 6 (𝑐 = π‘Ž β†’ (𝑀 ∘ (reverseβ€˜π‘)) = (𝑀 ∘ (reverseβ€˜π‘Ž)))
1815, 17oveq12d 7380 . . . . 5 (𝑐 = π‘Ž β†’ (𝑐 ++ (𝑀 ∘ (reverseβ€˜π‘))) = (π‘Ž ++ (𝑀 ∘ (reverseβ€˜π‘Ž))))
1918breq1d 5120 . . . 4 (𝑐 = π‘Ž β†’ ((𝑐 ++ (𝑀 ∘ (reverseβ€˜π‘))) ∼ βˆ… ↔ (π‘Ž ++ (𝑀 ∘ (reverseβ€˜π‘Ž))) ∼ βˆ…))
2019imbi2d 341 . . 3 (𝑐 = π‘Ž β†’ ((𝐴 ∈ π‘Š β†’ (𝑐 ++ (𝑀 ∘ (reverseβ€˜π‘))) ∼ βˆ…) ↔ (𝐴 ∈ π‘Š β†’ (π‘Ž ++ (𝑀 ∘ (reverseβ€˜π‘Ž))) ∼ βˆ…)))
21 id 22 . . . . . 6 (𝑐 = (π‘Ž ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©) β†’ 𝑐 = (π‘Ž ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©))
22 fveq2 6847 . . . . . . 7 (𝑐 = (π‘Ž ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©) β†’ (reverseβ€˜π‘) = (reverseβ€˜(π‘Ž ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©)))
2322coeq2d 5823 . . . . . 6 (𝑐 = (π‘Ž ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©) β†’ (𝑀 ∘ (reverseβ€˜π‘)) = (𝑀 ∘ (reverseβ€˜(π‘Ž ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©))))
2421, 23oveq12d 7380 . . . . 5 (𝑐 = (π‘Ž ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©) β†’ (𝑐 ++ (𝑀 ∘ (reverseβ€˜π‘))) = ((π‘Ž ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©) ++ (𝑀 ∘ (reverseβ€˜(π‘Ž ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©)))))
2524breq1d 5120 . . . 4 (𝑐 = (π‘Ž ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©) β†’ ((𝑐 ++ (𝑀 ∘ (reverseβ€˜π‘))) ∼ βˆ… ↔ ((π‘Ž ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©) ++ (𝑀 ∘ (reverseβ€˜(π‘Ž ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©)))) ∼ βˆ…))
2625imbi2d 341 . . 3 (𝑐 = (π‘Ž ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©) β†’ ((𝐴 ∈ π‘Š β†’ (𝑐 ++ (𝑀 ∘ (reverseβ€˜π‘))) ∼ βˆ…) ↔ (𝐴 ∈ π‘Š β†’ ((π‘Ž ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©) ++ (𝑀 ∘ (reverseβ€˜(π‘Ž ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©)))) ∼ βˆ…)))
27 id 22 . . . . . 6 (𝑐 = 𝐴 β†’ 𝑐 = 𝐴)
28 fveq2 6847 . . . . . . 7 (𝑐 = 𝐴 β†’ (reverseβ€˜π‘) = (reverseβ€˜π΄))
2928coeq2d 5823 . . . . . 6 (𝑐 = 𝐴 β†’ (𝑀 ∘ (reverseβ€˜π‘)) = (𝑀 ∘ (reverseβ€˜π΄)))
3027, 29oveq12d 7380 . . . . 5 (𝑐 = 𝐴 β†’ (𝑐 ++ (𝑀 ∘ (reverseβ€˜π‘))) = (𝐴 ++ (𝑀 ∘ (reverseβ€˜π΄))))
3130breq1d 5120 . . . 4 (𝑐 = 𝐴 β†’ ((𝑐 ++ (𝑀 ∘ (reverseβ€˜π‘))) ∼ βˆ… ↔ (𝐴 ++ (𝑀 ∘ (reverseβ€˜π΄))) ∼ βˆ…))
3231imbi2d 341 . . 3 (𝑐 = 𝐴 β†’ ((𝐴 ∈ π‘Š β†’ (𝑐 ++ (𝑀 ∘ (reverseβ€˜π‘))) ∼ βˆ…) ↔ (𝐴 ∈ π‘Š β†’ (𝐴 ++ (𝑀 ∘ (reverseβ€˜π΄))) ∼ βˆ…)))
33 ccatidid 14485 . . . 4 (βˆ… ++ βˆ…) = βˆ…
34 efgval.r . . . . . . 7 ∼ = ( ~FG β€˜πΌ)
351, 34efger 19507 . . . . . 6 ∼ Er π‘Š
3635a1i 11 . . . . 5 (𝐴 ∈ π‘Š β†’ ∼ Er π‘Š)
37 wrd0 14434 . . . . . 6 βˆ… ∈ Word (𝐼 Γ— 2o)
381efgrcl 19504 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ π‘Š β†’ (𝐼 ∈ V ∧ π‘Š = Word (𝐼 Γ— 2o)))
3938simprd 497 . . . . . 6 (𝐴 ∈ π‘Š β†’ π‘Š = Word (𝐼 Γ— 2o))
4037, 39eleqtrrid 2845 . . . . 5 (𝐴 ∈ π‘Š β†’ βˆ… ∈ π‘Š)
4136, 40erref 8675 . . . 4 (𝐴 ∈ π‘Š β†’ βˆ… ∼ βˆ…)
4233, 41eqbrtrid 5145 . . 3 (𝐴 ∈ π‘Š β†’ (βˆ… ++ βˆ…) ∼ βˆ…)
4335a1i 11 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ π‘Š ∧ (π‘Ž ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ ∼ Er π‘Š)
44 simprl 770 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ π‘Š ∧ (π‘Ž ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ π‘Ž ∈ Word (𝐼 Γ— 2o))
45 revcl 14656 . . . . . . . . . . . 12 (π‘Ž ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) β†’ (reverseβ€˜π‘Ž) ∈ Word (𝐼 Γ— 2o))
4645ad2antrl 727 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ π‘Š ∧ (π‘Ž ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ (reverseβ€˜π‘Ž) ∈ Word (𝐼 Γ— 2o))
47 efgval2.m . . . . . . . . . . . 12 𝑀 = (𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ βŸ¨π‘¦, (1o βˆ– 𝑧)⟩)
4847efgmf 19502 . . . . . . . . . . 11 𝑀:(𝐼 Γ— 2o)⟢(𝐼 Γ— 2o)
49 wrdco 14727 . . . . . . . . . . 11 (((reverseβ€˜π‘Ž) ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 2o)⟢(𝐼 Γ— 2o)) β†’ (𝑀 ∘ (reverseβ€˜π‘Ž)) ∈ Word (𝐼 Γ— 2o))
5046, 48, 49sylancl 587 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ π‘Š ∧ (π‘Ž ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ (𝑀 ∘ (reverseβ€˜π‘Ž)) ∈ Word (𝐼 Γ— 2o))
51 ccatcl 14469 . . . . . . . . . 10 ((π‘Ž ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) ∧ (𝑀 ∘ (reverseβ€˜π‘Ž)) ∈ Word (𝐼 Γ— 2o)) β†’ (π‘Ž ++ (𝑀 ∘ (reverseβ€˜π‘Ž))) ∈ Word (𝐼 Γ— 2o))
5244, 50, 51syl2anc 585 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ π‘Š ∧ (π‘Ž ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ (π‘Ž ++ (𝑀 ∘ (reverseβ€˜π‘Ž))) ∈ Word (𝐼 Γ— 2o))
5339adantr 482 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ π‘Š ∧ (π‘Ž ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ π‘Š = Word (𝐼 Γ— 2o))
5452, 53eleqtrrd 2841 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ π‘Š ∧ (π‘Ž ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ (π‘Ž ++ (𝑀 ∘ (reverseβ€˜π‘Ž))) ∈ π‘Š)
55 lencl 14428 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘Ž ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) β†’ (β™―β€˜π‘Ž) ∈ β„•0)
5655ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ π‘Š ∧ (π‘Ž ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ (β™―β€˜π‘Ž) ∈ β„•0)
57 nn0uz 12812 . . . . . . . . . . . . 13 β„•0 = (β„€β‰₯β€˜0)
5856, 57eleqtrdi 2848 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ π‘Š ∧ (π‘Ž ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ (β™―β€˜π‘Ž) ∈ (β„€β‰₯β€˜0))
59 ccatlen 14470 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘Ž ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) ∧ (𝑀 ∘ (reverseβ€˜π‘Ž)) ∈ Word (𝐼 Γ— 2o)) β†’ (β™―β€˜(π‘Ž ++ (𝑀 ∘ (reverseβ€˜π‘Ž)))) = ((β™―β€˜π‘Ž) + (β™―β€˜(𝑀 ∘ (reverseβ€˜π‘Ž)))))
6044, 50, 59syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ π‘Š ∧ (π‘Ž ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ (β™―β€˜(π‘Ž ++ (𝑀 ∘ (reverseβ€˜π‘Ž)))) = ((β™―β€˜π‘Ž) + (β™―β€˜(𝑀 ∘ (reverseβ€˜π‘Ž)))))
6156nn0zd 12532 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ π‘Š ∧ (π‘Ž ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ (β™―β€˜π‘Ž) ∈ β„€)
6261uzidd 12786 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ π‘Š ∧ (π‘Ž ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ (β™―β€˜π‘Ž) ∈ (β„€β‰₯β€˜(β™―β€˜π‘Ž)))
63 lencl 14428 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑀 ∘ (reverseβ€˜π‘Ž)) ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) β†’ (β™―β€˜(𝑀 ∘ (reverseβ€˜π‘Ž))) ∈ β„•0)
6450, 63syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ π‘Š ∧ (π‘Ž ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ (β™―β€˜(𝑀 ∘ (reverseβ€˜π‘Ž))) ∈ β„•0)
65 uzaddcl 12836 . . . . . . . . . . . . . 14 (((β™―β€˜π‘Ž) ∈ (β„€β‰₯β€˜(β™―β€˜π‘Ž)) ∧ (β™―β€˜(𝑀 ∘ (reverseβ€˜π‘Ž))) ∈ β„•0) β†’ ((β™―β€˜π‘Ž) + (β™―β€˜(𝑀 ∘ (reverseβ€˜π‘Ž)))) ∈ (β„€β‰₯β€˜(β™―β€˜π‘Ž)))
6662, 64, 65syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ π‘Š ∧ (π‘Ž ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ ((β™―β€˜π‘Ž) + (β™―β€˜(𝑀 ∘ (reverseβ€˜π‘Ž)))) ∈ (β„€β‰₯β€˜(β™―β€˜π‘Ž)))
6760, 66eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ π‘Š ∧ (π‘Ž ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ (β™―β€˜(π‘Ž ++ (𝑀 ∘ (reverseβ€˜π‘Ž)))) ∈ (β„€β‰₯β€˜(β™―β€˜π‘Ž)))
68 elfzuzb 13442 . . . . . . . . . . . 12 ((β™―β€˜π‘Ž) ∈ (0...(β™―β€˜(π‘Ž ++ (𝑀 ∘ (reverseβ€˜π‘Ž))))) ↔ ((β™―β€˜π‘Ž) ∈ (β„€β‰₯β€˜0) ∧ (β™―β€˜(π‘Ž ++ (𝑀 ∘ (reverseβ€˜π‘Ž)))) ∈ (β„€β‰₯β€˜(β™―β€˜π‘Ž))))
6958, 67, 68sylanbrc 584 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ π‘Š ∧ (π‘Ž ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ (β™―β€˜π‘Ž) ∈ (0...(β™―β€˜(π‘Ž ++ (𝑀 ∘ (reverseβ€˜π‘Ž))))))
70 simprr 772 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ π‘Š ∧ (π‘Ž ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o))
71 efgval2.t . . . . . . . . . . . 12 𝑇 = (𝑣 ∈ π‘Š ↦ (𝑛 ∈ (0...(β™―β€˜π‘£)), 𝑀 ∈ (𝐼 Γ— 2o) ↦ (𝑣 splice βŸ¨π‘›, 𝑛, βŸ¨β€œπ‘€(π‘€β€˜π‘€)β€βŸ©βŸ©)))
721, 34, 47, 71efgtval 19512 . . . . . . . . . . 11 (((π‘Ž ++ (𝑀 ∘ (reverseβ€˜π‘Ž))) ∈ π‘Š ∧ (β™―β€˜π‘Ž) ∈ (0...(β™―β€˜(π‘Ž ++ (𝑀 ∘ (reverseβ€˜π‘Ž))))) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o)) β†’ ((β™―β€˜π‘Ž)(π‘‡β€˜(π‘Ž ++ (𝑀 ∘ (reverseβ€˜π‘Ž))))𝑏) = ((π‘Ž ++ (𝑀 ∘ (reverseβ€˜π‘Ž))) splice ⟨(β™―β€˜π‘Ž), (β™―β€˜π‘Ž), βŸ¨β€œπ‘(π‘€β€˜π‘)β€βŸ©βŸ©))
7354, 69, 70, 72syl3anc 1372 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ π‘Š ∧ (π‘Ž ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ ((β™―β€˜π‘Ž)(π‘‡β€˜(π‘Ž ++ (𝑀 ∘ (reverseβ€˜π‘Ž))))𝑏) = ((π‘Ž ++ (𝑀 ∘ (reverseβ€˜π‘Ž))) splice ⟨(β™―β€˜π‘Ž), (β™―β€˜π‘Ž), βŸ¨β€œπ‘(π‘€β€˜π‘)β€βŸ©βŸ©))
7437a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ π‘Š ∧ (π‘Ž ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ βˆ… ∈ Word (𝐼 Γ— 2o))
7548ffvelcdmi 7039 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o) β†’ (π‘€β€˜π‘) ∈ (𝐼 Γ— 2o))
7675ad2antll 728 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ π‘Š ∧ (π‘Ž ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ (π‘€β€˜π‘) ∈ (𝐼 Γ— 2o))
7770, 76s2cld 14767 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ π‘Š ∧ (π‘Ž ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ βŸ¨β€œπ‘(π‘€β€˜π‘)β€βŸ© ∈ Word (𝐼 Γ— 2o))
78 ccatrid 14482 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘Ž ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) β†’ (π‘Ž ++ βˆ…) = π‘Ž)
7978ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ π‘Š ∧ (π‘Ž ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ (π‘Ž ++ βˆ…) = π‘Ž)
8079eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ π‘Š ∧ (π‘Ž ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ π‘Ž = (π‘Ž ++ βˆ…))
8180oveq1d 7377 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ π‘Š ∧ (π‘Ž ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ (π‘Ž ++ (𝑀 ∘ (reverseβ€˜π‘Ž))) = ((π‘Ž ++ βˆ…) ++ (𝑀 ∘ (reverseβ€˜π‘Ž))))
82 eqidd 2738 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ π‘Š ∧ (π‘Ž ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ (β™―β€˜π‘Ž) = (β™―β€˜π‘Ž))
83 hash0 14274 . . . . . . . . . . . . 13 (β™―β€˜βˆ…) = 0
8483oveq2i 7373 . . . . . . . . . . . 12 ((β™―β€˜π‘Ž) + (β™―β€˜βˆ…)) = ((β™―β€˜π‘Ž) + 0)
8556nn0cnd 12482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ π‘Š ∧ (π‘Ž ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ (β™―β€˜π‘Ž) ∈ β„‚)
8685addid1d 11362 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ π‘Š ∧ (π‘Ž ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ ((β™―β€˜π‘Ž) + 0) = (β™―β€˜π‘Ž))
8784, 86eqtr2id 2790 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ π‘Š ∧ (π‘Ž ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ (β™―β€˜π‘Ž) = ((β™―β€˜π‘Ž) + (β™―β€˜βˆ…)))
8844, 74, 50, 77, 81, 82, 87splval2 14652 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ π‘Š ∧ (π‘Ž ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ ((π‘Ž ++ (𝑀 ∘ (reverseβ€˜π‘Ž))) splice ⟨(β™―β€˜π‘Ž), (β™―β€˜π‘Ž), βŸ¨β€œπ‘(π‘€β€˜π‘)β€βŸ©βŸ©) = ((π‘Ž ++ βŸ¨β€œπ‘(π‘€β€˜π‘)β€βŸ©) ++ (𝑀 ∘ (reverseβ€˜π‘Ž))))
8970s1cld 14498 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ π‘Š ∧ (π‘Ž ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ© ∈ Word (𝐼 Γ— 2o))
90 revccat 14661 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘Ž ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) ∧ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ© ∈ Word (𝐼 Γ— 2o)) β†’ (reverseβ€˜(π‘Ž ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©)) = ((reverseβ€˜βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©) ++ (reverseβ€˜π‘Ž)))
9144, 89, 90syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ π‘Š ∧ (π‘Ž ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ (reverseβ€˜(π‘Ž ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©)) = ((reverseβ€˜βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©) ++ (reverseβ€˜π‘Ž)))
92 revs1 14660 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (reverseβ€˜βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©) = βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©
9392oveq1i 7372 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((reverseβ€˜βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©) ++ (reverseβ€˜π‘Ž)) = (βŸ¨β€œπ‘β€βŸ© ++ (reverseβ€˜π‘Ž))
9491, 93eqtrdi 2793 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ π‘Š ∧ (π‘Ž ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ (reverseβ€˜(π‘Ž ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©)) = (βŸ¨β€œπ‘β€βŸ© ++ (reverseβ€˜π‘Ž)))
9594coeq2d 5823 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ π‘Š ∧ (π‘Ž ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ (𝑀 ∘ (reverseβ€˜(π‘Ž ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©))) = (𝑀 ∘ (βŸ¨β€œπ‘β€βŸ© ++ (reverseβ€˜π‘Ž))))
9648a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ π‘Š ∧ (π‘Ž ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ 𝑀:(𝐼 Γ— 2o)⟢(𝐼 Γ— 2o))
97 ccatco 14731 . . . . . . . . . . . . . 14 ((βŸ¨β€œπ‘β€βŸ© ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) ∧ (reverseβ€˜π‘Ž) ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 2o)⟢(𝐼 Γ— 2o)) β†’ (𝑀 ∘ (βŸ¨β€œπ‘β€βŸ© ++ (reverseβ€˜π‘Ž))) = ((𝑀 ∘ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©) ++ (𝑀 ∘ (reverseβ€˜π‘Ž))))
9889, 46, 96, 97syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ π‘Š ∧ (π‘Ž ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ (𝑀 ∘ (βŸ¨β€œπ‘β€βŸ© ++ (reverseβ€˜π‘Ž))) = ((𝑀 ∘ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©) ++ (𝑀 ∘ (reverseβ€˜π‘Ž))))
99 s1co 14729 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o) ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 2o)⟢(𝐼 Γ— 2o)) β†’ (𝑀 ∘ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©) = βŸ¨β€œ(π‘€β€˜π‘)β€βŸ©)
10070, 48, 99sylancl 587 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ π‘Š ∧ (π‘Ž ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ (𝑀 ∘ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©) = βŸ¨β€œ(π‘€β€˜π‘)β€βŸ©)
101100oveq1d 7377 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ π‘Š ∧ (π‘Ž ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ ((𝑀 ∘ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©) ++ (𝑀 ∘ (reverseβ€˜π‘Ž))) = (βŸ¨β€œ(π‘€β€˜π‘)β€βŸ© ++ (𝑀 ∘ (reverseβ€˜π‘Ž))))
10295, 98, 1013eqtrd 2781 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ π‘Š ∧ (π‘Ž ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ (𝑀 ∘ (reverseβ€˜(π‘Ž ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©))) = (βŸ¨β€œ(π‘€β€˜π‘)β€βŸ© ++ (𝑀 ∘ (reverseβ€˜π‘Ž))))
103102oveq2d 7378 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ π‘Š ∧ (π‘Ž ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ ((π‘Ž ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©) ++ (𝑀 ∘ (reverseβ€˜(π‘Ž ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©)))) = ((π‘Ž ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©) ++ (βŸ¨β€œ(π‘€β€˜π‘)β€βŸ© ++ (𝑀 ∘ (reverseβ€˜π‘Ž)))))
104 ccatcl 14469 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘Ž ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) ∧ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ© ∈ Word (𝐼 Γ— 2o)) β†’ (π‘Ž ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©) ∈ Word (𝐼 Γ— 2o))
10544, 89, 104syl2anc 585 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ π‘Š ∧ (π‘Ž ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ (π‘Ž ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©) ∈ Word (𝐼 Γ— 2o))
10676s1cld 14498 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ π‘Š ∧ (π‘Ž ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ βŸ¨β€œ(π‘€β€˜π‘)β€βŸ© ∈ Word (𝐼 Γ— 2o))
107 ccatass 14483 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘Ž ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©) ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) ∧ βŸ¨β€œ(π‘€β€˜π‘)β€βŸ© ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) ∧ (𝑀 ∘ (reverseβ€˜π‘Ž)) ∈ Word (𝐼 Γ— 2o)) β†’ (((π‘Ž ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©) ++ βŸ¨β€œ(π‘€β€˜π‘)β€βŸ©) ++ (𝑀 ∘ (reverseβ€˜π‘Ž))) = ((π‘Ž ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©) ++ (βŸ¨β€œ(π‘€β€˜π‘)β€βŸ© ++ (𝑀 ∘ (reverseβ€˜π‘Ž)))))
108105, 106, 50, 107syl3anc 1372 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ π‘Š ∧ (π‘Ž ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ (((π‘Ž ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©) ++ βŸ¨β€œ(π‘€β€˜π‘)β€βŸ©) ++ (𝑀 ∘ (reverseβ€˜π‘Ž))) = ((π‘Ž ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©) ++ (βŸ¨β€œ(π‘€β€˜π‘)β€βŸ© ++ (𝑀 ∘ (reverseβ€˜π‘Ž)))))
109 ccatass 14483 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘Ž ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) ∧ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ© ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) ∧ βŸ¨β€œ(π‘€β€˜π‘)β€βŸ© ∈ Word (𝐼 Γ— 2o)) β†’ ((π‘Ž ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©) ++ βŸ¨β€œ(π‘€β€˜π‘)β€βŸ©) = (π‘Ž ++ (βŸ¨β€œπ‘β€βŸ© ++ βŸ¨β€œ(π‘€β€˜π‘)β€βŸ©)))
11044, 89, 106, 109syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ π‘Š ∧ (π‘Ž ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ ((π‘Ž ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©) ++ βŸ¨β€œ(π‘€β€˜π‘)β€βŸ©) = (π‘Ž ++ (βŸ¨β€œπ‘β€βŸ© ++ βŸ¨β€œ(π‘€β€˜π‘)β€βŸ©)))
111 df-s2 14744 . . . . . . . . . . . . . 14 βŸ¨β€œπ‘(π‘€β€˜π‘)β€βŸ© = (βŸ¨β€œπ‘β€βŸ© ++ βŸ¨β€œ(π‘€β€˜π‘)β€βŸ©)
112111oveq2i 7373 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘Ž ++ βŸ¨β€œπ‘(π‘€β€˜π‘)β€βŸ©) = (π‘Ž ++ (βŸ¨β€œπ‘β€βŸ© ++ βŸ¨β€œ(π‘€β€˜π‘)β€βŸ©))
113110, 112eqtr4di 2795 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ π‘Š ∧ (π‘Ž ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ ((π‘Ž ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©) ++ βŸ¨β€œ(π‘€β€˜π‘)β€βŸ©) = (π‘Ž ++ βŸ¨β€œπ‘(π‘€β€˜π‘)β€βŸ©))
114113oveq1d 7377 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ π‘Š ∧ (π‘Ž ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ (((π‘Ž ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©) ++ βŸ¨β€œ(π‘€β€˜π‘)β€βŸ©) ++ (𝑀 ∘ (reverseβ€˜π‘Ž))) = ((π‘Ž ++ βŸ¨β€œπ‘(π‘€β€˜π‘)β€βŸ©) ++ (𝑀 ∘ (reverseβ€˜π‘Ž))))
115103, 108, 1143eqtr2rd 2784 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ π‘Š ∧ (π‘Ž ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ ((π‘Ž ++ βŸ¨β€œπ‘(π‘€β€˜π‘)β€βŸ©) ++ (𝑀 ∘ (reverseβ€˜π‘Ž))) = ((π‘Ž ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©) ++ (𝑀 ∘ (reverseβ€˜(π‘Ž ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©)))))
11673, 88, 1153eqtrd 2781 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ π‘Š ∧ (π‘Ž ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ ((β™―β€˜π‘Ž)(π‘‡β€˜(π‘Ž ++ (𝑀 ∘ (reverseβ€˜π‘Ž))))𝑏) = ((π‘Ž ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©) ++ (𝑀 ∘ (reverseβ€˜(π‘Ž ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©)))))
1171, 34, 47, 71efgtf 19511 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘Ž ++ (𝑀 ∘ (reverseβ€˜π‘Ž))) ∈ π‘Š β†’ ((π‘‡β€˜(π‘Ž ++ (𝑀 ∘ (reverseβ€˜π‘Ž)))) = (π‘š ∈ (0...(β™―β€˜(π‘Ž ++ (𝑀 ∘ (reverseβ€˜π‘Ž))))), 𝑒 ∈ (𝐼 Γ— 2o) ↦ ((π‘Ž ++ (𝑀 ∘ (reverseβ€˜π‘Ž))) splice βŸ¨π‘š, π‘š, βŸ¨β€œπ‘’(π‘€β€˜π‘’)β€βŸ©βŸ©)) ∧ (π‘‡β€˜(π‘Ž ++ (𝑀 ∘ (reverseβ€˜π‘Ž)))):((0...(β™―β€˜(π‘Ž ++ (𝑀 ∘ (reverseβ€˜π‘Ž))))) Γ— (𝐼 Γ— 2o))βŸΆπ‘Š))
118117simprd 497 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘Ž ++ (𝑀 ∘ (reverseβ€˜π‘Ž))) ∈ π‘Š β†’ (π‘‡β€˜(π‘Ž ++ (𝑀 ∘ (reverseβ€˜π‘Ž)))):((0...(β™―β€˜(π‘Ž ++ (𝑀 ∘ (reverseβ€˜π‘Ž))))) Γ— (𝐼 Γ— 2o))βŸΆπ‘Š)
11954, 118syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ π‘Š ∧ (π‘Ž ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ (π‘‡β€˜(π‘Ž ++ (𝑀 ∘ (reverseβ€˜π‘Ž)))):((0...(β™―β€˜(π‘Ž ++ (𝑀 ∘ (reverseβ€˜π‘Ž))))) Γ— (𝐼 Γ— 2o))βŸΆπ‘Š)
120119ffnd 6674 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ π‘Š ∧ (π‘Ž ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ (π‘‡β€˜(π‘Ž ++ (𝑀 ∘ (reverseβ€˜π‘Ž)))) Fn ((0...(β™―β€˜(π‘Ž ++ (𝑀 ∘ (reverseβ€˜π‘Ž))))) Γ— (𝐼 Γ— 2o)))
121 fnovrn 7534 . . . . . . . . . 10 (((π‘‡β€˜(π‘Ž ++ (𝑀 ∘ (reverseβ€˜π‘Ž)))) Fn ((0...(β™―β€˜(π‘Ž ++ (𝑀 ∘ (reverseβ€˜π‘Ž))))) Γ— (𝐼 Γ— 2o)) ∧ (β™―β€˜π‘Ž) ∈ (0...(β™―β€˜(π‘Ž ++ (𝑀 ∘ (reverseβ€˜π‘Ž))))) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o)) β†’ ((β™―β€˜π‘Ž)(π‘‡β€˜(π‘Ž ++ (𝑀 ∘ (reverseβ€˜π‘Ž))))𝑏) ∈ ran (π‘‡β€˜(π‘Ž ++ (𝑀 ∘ (reverseβ€˜π‘Ž)))))
122120, 69, 70, 121syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ π‘Š ∧ (π‘Ž ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ ((β™―β€˜π‘Ž)(π‘‡β€˜(π‘Ž ++ (𝑀 ∘ (reverseβ€˜π‘Ž))))𝑏) ∈ ran (π‘‡β€˜(π‘Ž ++ (𝑀 ∘ (reverseβ€˜π‘Ž)))))
123116, 122eqeltrrd 2839 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ π‘Š ∧ (π‘Ž ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ ((π‘Ž ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©) ++ (𝑀 ∘ (reverseβ€˜(π‘Ž ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©)))) ∈ ran (π‘‡β€˜(π‘Ž ++ (𝑀 ∘ (reverseβ€˜π‘Ž)))))
1241, 34, 47, 71efgi2 19514 . . . . . . . 8 (((π‘Ž ++ (𝑀 ∘ (reverseβ€˜π‘Ž))) ∈ π‘Š ∧ ((π‘Ž ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©) ++ (𝑀 ∘ (reverseβ€˜(π‘Ž ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©)))) ∈ ran (π‘‡β€˜(π‘Ž ++ (𝑀 ∘ (reverseβ€˜π‘Ž))))) β†’ (π‘Ž ++ (𝑀 ∘ (reverseβ€˜π‘Ž))) ∼ ((π‘Ž ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©) ++ (𝑀 ∘ (reverseβ€˜(π‘Ž ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©)))))
12554, 123, 124syl2anc 585 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ π‘Š ∧ (π‘Ž ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ (π‘Ž ++ (𝑀 ∘ (reverseβ€˜π‘Ž))) ∼ ((π‘Ž ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©) ++ (𝑀 ∘ (reverseβ€˜(π‘Ž ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©)))))
12643, 125ersym 8667 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ π‘Š ∧ (π‘Ž ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ ((π‘Ž ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©) ++ (𝑀 ∘ (reverseβ€˜(π‘Ž ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©)))) ∼ (π‘Ž ++ (𝑀 ∘ (reverseβ€˜π‘Ž))))
12743ertr 8670 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ π‘Š ∧ (π‘Ž ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ ((((π‘Ž ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©) ++ (𝑀 ∘ (reverseβ€˜(π‘Ž ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©)))) ∼ (π‘Ž ++ (𝑀 ∘ (reverseβ€˜π‘Ž))) ∧ (π‘Ž ++ (𝑀 ∘ (reverseβ€˜π‘Ž))) ∼ βˆ…) β†’ ((π‘Ž ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©) ++ (𝑀 ∘ (reverseβ€˜(π‘Ž ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©)))) ∼ βˆ…))
128126, 127mpand 694 . . . . 5 ((𝐴 ∈ π‘Š ∧ (π‘Ž ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ ((π‘Ž ++ (𝑀 ∘ (reverseβ€˜π‘Ž))) ∼ βˆ… β†’ ((π‘Ž ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©) ++ (𝑀 ∘ (reverseβ€˜(π‘Ž ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©)))) ∼ βˆ…))
129128expcom 415 . . . 4 ((π‘Ž ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o)) β†’ (𝐴 ∈ π‘Š β†’ ((π‘Ž ++ (𝑀 ∘ (reverseβ€˜π‘Ž))) ∼ βˆ… β†’ ((π‘Ž ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©) ++ (𝑀 ∘ (reverseβ€˜(π‘Ž ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©)))) ∼ βˆ…)))
130129a2d 29 . . 3 ((π‘Ž ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o)) β†’ ((𝐴 ∈ π‘Š β†’ (π‘Ž ++ (𝑀 ∘ (reverseβ€˜π‘Ž))) ∼ βˆ…) β†’ (𝐴 ∈ π‘Š β†’ ((π‘Ž ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©) ++ (𝑀 ∘ (reverseβ€˜(π‘Ž ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©)))) ∼ βˆ…)))
13114, 20, 26, 32, 42, 130wrdind 14617 . 2 (𝐴 ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) β†’ (𝐴 ∈ π‘Š β†’ (𝐴 ++ (𝑀 ∘ (reverseβ€˜π΄))) ∼ βˆ…))
1324, 131mpcom 38 1 (𝐴 ∈ π‘Š β†’ (𝐴 ++ (𝑀 ∘ (reverseβ€˜π΄))) ∼ βˆ…)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3448   βˆ– cdif 3912  βˆ…c0 4287  βŸ¨cop 4597  βŸ¨cotp 4599   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5193   I cid 5535   Γ— cxp 5636  ran crn 5639   ∘ ccom 5642   Fn wfn 6496  βŸΆwf 6497  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362   ∈ cmpo 7364  1oc1o 8410  2oc2o 8411   Er wer 8652  0cc0 11058   + caddc 11061  β„•0cn0 12420  β„€β‰₯cuz 12770  ...cfz 13431  β™―chash 14237  Word cword 14409   ++ cconcat 14465  βŸ¨β€œcs1 14490   splice csplice 14644  reversecreverse 14653  βŸ¨β€œcs2 14737   ~FG cefg 19495
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-ot 4600  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-iin 4962  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-er 8655  df-ec 8657  df-map 8774  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-n0 12421  df-xnn0 12493  df-z 12507  df-uz 12771  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-hash 14238  df-word 14410  df-lsw 14458  df-concat 14466  df-s1 14491  df-substr 14536  df-pfx 14566  df-splice 14645  df-reverse 14654  df-s2 14744  df-efg 19498
This theorem is referenced by:  efginvrel1  19517  frgpinv  19553
  Copyright terms: Public domain W3C validator