MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efginvrel2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem efginvrel2 19595
Description: The inverse of the reverse of a word composed with the word relates to the identity. (This provides an explicit expression for the representation of the group inverse, given a representative of the free group equivalence class.) (Contributed by Mario Carneiro, 1-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
efgval.w π‘Š = ( I β€˜Word (𝐼 Γ— 2o))
efgval.r ∼ = ( ~FG β€˜πΌ)
efgval2.m 𝑀 = (𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ βŸ¨π‘¦, (1o βˆ– 𝑧)⟩)
efgval2.t 𝑇 = (𝑣 ∈ π‘Š ↦ (𝑛 ∈ (0...(β™―β€˜π‘£)), 𝑀 ∈ (𝐼 Γ— 2o) ↦ (𝑣 splice βŸ¨π‘›, 𝑛, βŸ¨β€œπ‘€(π‘€β€˜π‘€)β€βŸ©βŸ©)))
Assertion
Ref Expression
efginvrel2 (𝐴 ∈ π‘Š β†’ (𝐴 ++ (𝑀 ∘ (reverseβ€˜π΄))) ∼ βˆ…)
Distinct variable groups:   𝑦,𝑧   𝑣,𝑛,𝑀,𝑦,𝑧   𝑛,𝑀,𝑣,𝑀   𝑛,π‘Š,𝑣,𝑀,𝑦,𝑧   𝑦, ∼ ,𝑧   𝑛,𝐼,𝑣,𝑀,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦,𝑧,𝑀,𝑣,𝑛)   ∼ (𝑀,𝑣,𝑛)   𝑇(𝑦,𝑧,𝑀,𝑣,𝑛)   𝑀(𝑦,𝑧)

Proof of Theorem efginvrel2
Dummy variables π‘Ž 𝑏 𝑐 𝑒 π‘š are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 efgval.w . . . 4 π‘Š = ( I β€˜Word (𝐼 Γ— 2o))
2 fviss 6969 . . . 4 ( I β€˜Word (𝐼 Γ— 2o)) βŠ† Word (𝐼 Γ— 2o)
31, 2eqsstri 4017 . . 3 π‘Š βŠ† Word (𝐼 Γ— 2o)
43sseli 3979 . 2 (𝐴 ∈ π‘Š β†’ 𝐴 ∈ Word (𝐼 Γ— 2o))
5 id 22 . . . . . 6 (𝑐 = βˆ… β†’ 𝑐 = βˆ…)
6 fveq2 6892 . . . . . . . . 9 (𝑐 = βˆ… β†’ (reverseβ€˜π‘) = (reverseβ€˜βˆ…))
7 rev0 14714 . . . . . . . . 9 (reverseβ€˜βˆ…) = βˆ…
86, 7eqtrdi 2789 . . . . . . . 8 (𝑐 = βˆ… β†’ (reverseβ€˜π‘) = βˆ…)
98coeq2d 5863 . . . . . . 7 (𝑐 = βˆ… β†’ (𝑀 ∘ (reverseβ€˜π‘)) = (𝑀 ∘ βˆ…))
10 co02 6260 . . . . . . 7 (𝑀 ∘ βˆ…) = βˆ…
119, 10eqtrdi 2789 . . . . . 6 (𝑐 = βˆ… β†’ (𝑀 ∘ (reverseβ€˜π‘)) = βˆ…)
125, 11oveq12d 7427 . . . . 5 (𝑐 = βˆ… β†’ (𝑐 ++ (𝑀 ∘ (reverseβ€˜π‘))) = (βˆ… ++ βˆ…))
1312breq1d 5159 . . . 4 (𝑐 = βˆ… β†’ ((𝑐 ++ (𝑀 ∘ (reverseβ€˜π‘))) ∼ βˆ… ↔ (βˆ… ++ βˆ…) ∼ βˆ…))
1413imbi2d 341 . . 3 (𝑐 = βˆ… β†’ ((𝐴 ∈ π‘Š β†’ (𝑐 ++ (𝑀 ∘ (reverseβ€˜π‘))) ∼ βˆ…) ↔ (𝐴 ∈ π‘Š β†’ (βˆ… ++ βˆ…) ∼ βˆ…)))
15 id 22 . . . . . 6 (𝑐 = π‘Ž β†’ 𝑐 = π‘Ž)
16 fveq2 6892 . . . . . . 7 (𝑐 = π‘Ž β†’ (reverseβ€˜π‘) = (reverseβ€˜π‘Ž))
1716coeq2d 5863 . . . . . 6 (𝑐 = π‘Ž β†’ (𝑀 ∘ (reverseβ€˜π‘)) = (𝑀 ∘ (reverseβ€˜π‘Ž)))
1815, 17oveq12d 7427 . . . . 5 (𝑐 = π‘Ž β†’ (𝑐 ++ (𝑀 ∘ (reverseβ€˜π‘))) = (π‘Ž ++ (𝑀 ∘ (reverseβ€˜π‘Ž))))
1918breq1d 5159 . . . 4 (𝑐 = π‘Ž β†’ ((𝑐 ++ (𝑀 ∘ (reverseβ€˜π‘))) ∼ βˆ… ↔ (π‘Ž ++ (𝑀 ∘ (reverseβ€˜π‘Ž))) ∼ βˆ…))
2019imbi2d 341 . . 3 (𝑐 = π‘Ž β†’ ((𝐴 ∈ π‘Š β†’ (𝑐 ++ (𝑀 ∘ (reverseβ€˜π‘))) ∼ βˆ…) ↔ (𝐴 ∈ π‘Š β†’ (π‘Ž ++ (𝑀 ∘ (reverseβ€˜π‘Ž))) ∼ βˆ…)))
21 id 22 . . . . . 6 (𝑐 = (π‘Ž ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©) β†’ 𝑐 = (π‘Ž ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©))
22 fveq2 6892 . . . . . . 7 (𝑐 = (π‘Ž ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©) β†’ (reverseβ€˜π‘) = (reverseβ€˜(π‘Ž ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©)))
2322coeq2d 5863 . . . . . 6 (𝑐 = (π‘Ž ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©) β†’ (𝑀 ∘ (reverseβ€˜π‘)) = (𝑀 ∘ (reverseβ€˜(π‘Ž ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©))))
2421, 23oveq12d 7427 . . . . 5 (𝑐 = (π‘Ž ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©) β†’ (𝑐 ++ (𝑀 ∘ (reverseβ€˜π‘))) = ((π‘Ž ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©) ++ (𝑀 ∘ (reverseβ€˜(π‘Ž ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©)))))
2524breq1d 5159 . . . 4 (𝑐 = (π‘Ž ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©) β†’ ((𝑐 ++ (𝑀 ∘ (reverseβ€˜π‘))) ∼ βˆ… ↔ ((π‘Ž ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©) ++ (𝑀 ∘ (reverseβ€˜(π‘Ž ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©)))) ∼ βˆ…))
2625imbi2d 341 . . 3 (𝑐 = (π‘Ž ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©) β†’ ((𝐴 ∈ π‘Š β†’ (𝑐 ++ (𝑀 ∘ (reverseβ€˜π‘))) ∼ βˆ…) ↔ (𝐴 ∈ π‘Š β†’ ((π‘Ž ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©) ++ (𝑀 ∘ (reverseβ€˜(π‘Ž ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©)))) ∼ βˆ…)))
27 id 22 . . . . . 6 (𝑐 = 𝐴 β†’ 𝑐 = 𝐴)
28 fveq2 6892 . . . . . . 7 (𝑐 = 𝐴 β†’ (reverseβ€˜π‘) = (reverseβ€˜π΄))
2928coeq2d 5863 . . . . . 6 (𝑐 = 𝐴 β†’ (𝑀 ∘ (reverseβ€˜π‘)) = (𝑀 ∘ (reverseβ€˜π΄)))
3027, 29oveq12d 7427 . . . . 5 (𝑐 = 𝐴 β†’ (𝑐 ++ (𝑀 ∘ (reverseβ€˜π‘))) = (𝐴 ++ (𝑀 ∘ (reverseβ€˜π΄))))
3130breq1d 5159 . . . 4 (𝑐 = 𝐴 β†’ ((𝑐 ++ (𝑀 ∘ (reverseβ€˜π‘))) ∼ βˆ… ↔ (𝐴 ++ (𝑀 ∘ (reverseβ€˜π΄))) ∼ βˆ…))
3231imbi2d 341 . . 3 (𝑐 = 𝐴 β†’ ((𝐴 ∈ π‘Š β†’ (𝑐 ++ (𝑀 ∘ (reverseβ€˜π‘))) ∼ βˆ…) ↔ (𝐴 ∈ π‘Š β†’ (𝐴 ++ (𝑀 ∘ (reverseβ€˜π΄))) ∼ βˆ…)))
33 ccatidid 14540 . . . 4 (βˆ… ++ βˆ…) = βˆ…
34 efgval.r . . . . . . 7 ∼ = ( ~FG β€˜πΌ)
351, 34efger 19586 . . . . . 6 ∼ Er π‘Š
3635a1i 11 . . . . 5 (𝐴 ∈ π‘Š β†’ ∼ Er π‘Š)
37 wrd0 14489 . . . . . 6 βˆ… ∈ Word (𝐼 Γ— 2o)
381efgrcl 19583 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ π‘Š β†’ (𝐼 ∈ V ∧ π‘Š = Word (𝐼 Γ— 2o)))
3938simprd 497 . . . . . 6 (𝐴 ∈ π‘Š β†’ π‘Š = Word (𝐼 Γ— 2o))
4037, 39eleqtrrid 2841 . . . . 5 (𝐴 ∈ π‘Š β†’ βˆ… ∈ π‘Š)
4136, 40erref 8723 . . . 4 (𝐴 ∈ π‘Š β†’ βˆ… ∼ βˆ…)
4233, 41eqbrtrid 5184 . . 3 (𝐴 ∈ π‘Š β†’ (βˆ… ++ βˆ…) ∼ βˆ…)
4335a1i 11 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ π‘Š ∧ (π‘Ž ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ ∼ Er π‘Š)
44 simprl 770 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ π‘Š ∧ (π‘Ž ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ π‘Ž ∈ Word (𝐼 Γ— 2o))
45 revcl 14711 . . . . . . . . . . . 12 (π‘Ž ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) β†’ (reverseβ€˜π‘Ž) ∈ Word (𝐼 Γ— 2o))
4645ad2antrl 727 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ π‘Š ∧ (π‘Ž ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ (reverseβ€˜π‘Ž) ∈ Word (𝐼 Γ— 2o))
47 efgval2.m . . . . . . . . . . . 12 𝑀 = (𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ βŸ¨π‘¦, (1o βˆ– 𝑧)⟩)
4847efgmf 19581 . . . . . . . . . . 11 𝑀:(𝐼 Γ— 2o)⟢(𝐼 Γ— 2o)
49 wrdco 14782 . . . . . . . . . . 11 (((reverseβ€˜π‘Ž) ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 2o)⟢(𝐼 Γ— 2o)) β†’ (𝑀 ∘ (reverseβ€˜π‘Ž)) ∈ Word (𝐼 Γ— 2o))
5046, 48, 49sylancl 587 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ π‘Š ∧ (π‘Ž ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ (𝑀 ∘ (reverseβ€˜π‘Ž)) ∈ Word (𝐼 Γ— 2o))
51 ccatcl 14524 . . . . . . . . . 10 ((π‘Ž ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) ∧ (𝑀 ∘ (reverseβ€˜π‘Ž)) ∈ Word (𝐼 Γ— 2o)) β†’ (π‘Ž ++ (𝑀 ∘ (reverseβ€˜π‘Ž))) ∈ Word (𝐼 Γ— 2o))
5244, 50, 51syl2anc 585 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ π‘Š ∧ (π‘Ž ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ (π‘Ž ++ (𝑀 ∘ (reverseβ€˜π‘Ž))) ∈ Word (𝐼 Γ— 2o))
5339adantr 482 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ π‘Š ∧ (π‘Ž ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ π‘Š = Word (𝐼 Γ— 2o))
5452, 53eleqtrrd 2837 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ π‘Š ∧ (π‘Ž ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ (π‘Ž ++ (𝑀 ∘ (reverseβ€˜π‘Ž))) ∈ π‘Š)
55 lencl 14483 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘Ž ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) β†’ (β™―β€˜π‘Ž) ∈ β„•0)
5655ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ π‘Š ∧ (π‘Ž ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ (β™―β€˜π‘Ž) ∈ β„•0)
57 nn0uz 12864 . . . . . . . . . . . . 13 β„•0 = (β„€β‰₯β€˜0)
5856, 57eleqtrdi 2844 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ π‘Š ∧ (π‘Ž ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ (β™―β€˜π‘Ž) ∈ (β„€β‰₯β€˜0))
59 ccatlen 14525 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘Ž ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) ∧ (𝑀 ∘ (reverseβ€˜π‘Ž)) ∈ Word (𝐼 Γ— 2o)) β†’ (β™―β€˜(π‘Ž ++ (𝑀 ∘ (reverseβ€˜π‘Ž)))) = ((β™―β€˜π‘Ž) + (β™―β€˜(𝑀 ∘ (reverseβ€˜π‘Ž)))))
6044, 50, 59syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ π‘Š ∧ (π‘Ž ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ (β™―β€˜(π‘Ž ++ (𝑀 ∘ (reverseβ€˜π‘Ž)))) = ((β™―β€˜π‘Ž) + (β™―β€˜(𝑀 ∘ (reverseβ€˜π‘Ž)))))
6156nn0zd 12584 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ π‘Š ∧ (π‘Ž ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ (β™―β€˜π‘Ž) ∈ β„€)
6261uzidd 12838 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ π‘Š ∧ (π‘Ž ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ (β™―β€˜π‘Ž) ∈ (β„€β‰₯β€˜(β™―β€˜π‘Ž)))
63 lencl 14483 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑀 ∘ (reverseβ€˜π‘Ž)) ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) β†’ (β™―β€˜(𝑀 ∘ (reverseβ€˜π‘Ž))) ∈ β„•0)
6450, 63syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ π‘Š ∧ (π‘Ž ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ (β™―β€˜(𝑀 ∘ (reverseβ€˜π‘Ž))) ∈ β„•0)
65 uzaddcl 12888 . . . . . . . . . . . . . 14 (((β™―β€˜π‘Ž) ∈ (β„€β‰₯β€˜(β™―β€˜π‘Ž)) ∧ (β™―β€˜(𝑀 ∘ (reverseβ€˜π‘Ž))) ∈ β„•0) β†’ ((β™―β€˜π‘Ž) + (β™―β€˜(𝑀 ∘ (reverseβ€˜π‘Ž)))) ∈ (β„€β‰₯β€˜(β™―β€˜π‘Ž)))
6662, 64, 65syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ π‘Š ∧ (π‘Ž ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ ((β™―β€˜π‘Ž) + (β™―β€˜(𝑀 ∘ (reverseβ€˜π‘Ž)))) ∈ (β„€β‰₯β€˜(β™―β€˜π‘Ž)))
6760, 66eqeltrd 2834 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ π‘Š ∧ (π‘Ž ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ (β™―β€˜(π‘Ž ++ (𝑀 ∘ (reverseβ€˜π‘Ž)))) ∈ (β„€β‰₯β€˜(β™―β€˜π‘Ž)))
68 elfzuzb 13495 . . . . . . . . . . . 12 ((β™―β€˜π‘Ž) ∈ (0...(β™―β€˜(π‘Ž ++ (𝑀 ∘ (reverseβ€˜π‘Ž))))) ↔ ((β™―β€˜π‘Ž) ∈ (β„€β‰₯β€˜0) ∧ (β™―β€˜(π‘Ž ++ (𝑀 ∘ (reverseβ€˜π‘Ž)))) ∈ (β„€β‰₯β€˜(β™―β€˜π‘Ž))))
6958, 67, 68sylanbrc 584 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ π‘Š ∧ (π‘Ž ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ (β™―β€˜π‘Ž) ∈ (0...(β™―β€˜(π‘Ž ++ (𝑀 ∘ (reverseβ€˜π‘Ž))))))
70 simprr 772 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ π‘Š ∧ (π‘Ž ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o))
71 efgval2.t . . . . . . . . . . . 12 𝑇 = (𝑣 ∈ π‘Š ↦ (𝑛 ∈ (0...(β™―β€˜π‘£)), 𝑀 ∈ (𝐼 Γ— 2o) ↦ (𝑣 splice βŸ¨π‘›, 𝑛, βŸ¨β€œπ‘€(π‘€β€˜π‘€)β€βŸ©βŸ©)))
721, 34, 47, 71efgtval 19591 . . . . . . . . . . 11 (((π‘Ž ++ (𝑀 ∘ (reverseβ€˜π‘Ž))) ∈ π‘Š ∧ (β™―β€˜π‘Ž) ∈ (0...(β™―β€˜(π‘Ž ++ (𝑀 ∘ (reverseβ€˜π‘Ž))))) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o)) β†’ ((β™―β€˜π‘Ž)(π‘‡β€˜(π‘Ž ++ (𝑀 ∘ (reverseβ€˜π‘Ž))))𝑏) = ((π‘Ž ++ (𝑀 ∘ (reverseβ€˜π‘Ž))) splice ⟨(β™―β€˜π‘Ž), (β™―β€˜π‘Ž), βŸ¨β€œπ‘(π‘€β€˜π‘)β€βŸ©βŸ©))
7354, 69, 70, 72syl3anc 1372 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ π‘Š ∧ (π‘Ž ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ ((β™―β€˜π‘Ž)(π‘‡β€˜(π‘Ž ++ (𝑀 ∘ (reverseβ€˜π‘Ž))))𝑏) = ((π‘Ž ++ (𝑀 ∘ (reverseβ€˜π‘Ž))) splice ⟨(β™―β€˜π‘Ž), (β™―β€˜π‘Ž), βŸ¨β€œπ‘(π‘€β€˜π‘)β€βŸ©βŸ©))
7437a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ π‘Š ∧ (π‘Ž ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ βˆ… ∈ Word (𝐼 Γ— 2o))
7548ffvelcdmi 7086 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o) β†’ (π‘€β€˜π‘) ∈ (𝐼 Γ— 2o))
7675ad2antll 728 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ π‘Š ∧ (π‘Ž ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ (π‘€β€˜π‘) ∈ (𝐼 Γ— 2o))
7770, 76s2cld 14822 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ π‘Š ∧ (π‘Ž ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ βŸ¨β€œπ‘(π‘€β€˜π‘)β€βŸ© ∈ Word (𝐼 Γ— 2o))
78 ccatrid 14537 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘Ž ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) β†’ (π‘Ž ++ βˆ…) = π‘Ž)
7978ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ π‘Š ∧ (π‘Ž ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ (π‘Ž ++ βˆ…) = π‘Ž)
8079eqcomd 2739 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ π‘Š ∧ (π‘Ž ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ π‘Ž = (π‘Ž ++ βˆ…))
8180oveq1d 7424 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ π‘Š ∧ (π‘Ž ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ (π‘Ž ++ (𝑀 ∘ (reverseβ€˜π‘Ž))) = ((π‘Ž ++ βˆ…) ++ (𝑀 ∘ (reverseβ€˜π‘Ž))))
82 eqidd 2734 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ π‘Š ∧ (π‘Ž ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ (β™―β€˜π‘Ž) = (β™―β€˜π‘Ž))
83 hash0 14327 . . . . . . . . . . . . 13 (β™―β€˜βˆ…) = 0
8483oveq2i 7420 . . . . . . . . . . . 12 ((β™―β€˜π‘Ž) + (β™―β€˜βˆ…)) = ((β™―β€˜π‘Ž) + 0)
8556nn0cnd 12534 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ π‘Š ∧ (π‘Ž ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ (β™―β€˜π‘Ž) ∈ β„‚)
8685addridd 11414 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ π‘Š ∧ (π‘Ž ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ ((β™―β€˜π‘Ž) + 0) = (β™―β€˜π‘Ž))
8784, 86eqtr2id 2786 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ π‘Š ∧ (π‘Ž ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ (β™―β€˜π‘Ž) = ((β™―β€˜π‘Ž) + (β™―β€˜βˆ…)))
8844, 74, 50, 77, 81, 82, 87splval2 14707 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ π‘Š ∧ (π‘Ž ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ ((π‘Ž ++ (𝑀 ∘ (reverseβ€˜π‘Ž))) splice ⟨(β™―β€˜π‘Ž), (β™―β€˜π‘Ž), βŸ¨β€œπ‘(π‘€β€˜π‘)β€βŸ©βŸ©) = ((π‘Ž ++ βŸ¨β€œπ‘(π‘€β€˜π‘)β€βŸ©) ++ (𝑀 ∘ (reverseβ€˜π‘Ž))))
8970s1cld 14553 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ π‘Š ∧ (π‘Ž ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ© ∈ Word (𝐼 Γ— 2o))
90 revccat 14716 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘Ž ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) ∧ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ© ∈ Word (𝐼 Γ— 2o)) β†’ (reverseβ€˜(π‘Ž ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©)) = ((reverseβ€˜βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©) ++ (reverseβ€˜π‘Ž)))
9144, 89, 90syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ π‘Š ∧ (π‘Ž ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ (reverseβ€˜(π‘Ž ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©)) = ((reverseβ€˜βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©) ++ (reverseβ€˜π‘Ž)))
92 revs1 14715 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (reverseβ€˜βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©) = βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©
9392oveq1i 7419 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((reverseβ€˜βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©) ++ (reverseβ€˜π‘Ž)) = (βŸ¨β€œπ‘β€βŸ© ++ (reverseβ€˜π‘Ž))
9491, 93eqtrdi 2789 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ π‘Š ∧ (π‘Ž ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ (reverseβ€˜(π‘Ž ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©)) = (βŸ¨β€œπ‘β€βŸ© ++ (reverseβ€˜π‘Ž)))
9594coeq2d 5863 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ π‘Š ∧ (π‘Ž ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ (𝑀 ∘ (reverseβ€˜(π‘Ž ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©))) = (𝑀 ∘ (βŸ¨β€œπ‘β€βŸ© ++ (reverseβ€˜π‘Ž))))
9648a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ π‘Š ∧ (π‘Ž ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ 𝑀:(𝐼 Γ— 2o)⟢(𝐼 Γ— 2o))
97 ccatco 14786 . . . . . . . . . . . . . 14 ((βŸ¨β€œπ‘β€βŸ© ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) ∧ (reverseβ€˜π‘Ž) ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 2o)⟢(𝐼 Γ— 2o)) β†’ (𝑀 ∘ (βŸ¨β€œπ‘β€βŸ© ++ (reverseβ€˜π‘Ž))) = ((𝑀 ∘ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©) ++ (𝑀 ∘ (reverseβ€˜π‘Ž))))
9889, 46, 96, 97syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ π‘Š ∧ (π‘Ž ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ (𝑀 ∘ (βŸ¨β€œπ‘β€βŸ© ++ (reverseβ€˜π‘Ž))) = ((𝑀 ∘ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©) ++ (𝑀 ∘ (reverseβ€˜π‘Ž))))
99 s1co 14784 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o) ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 2o)⟢(𝐼 Γ— 2o)) β†’ (𝑀 ∘ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©) = βŸ¨β€œ(π‘€β€˜π‘)β€βŸ©)
10070, 48, 99sylancl 587 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ π‘Š ∧ (π‘Ž ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ (𝑀 ∘ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©) = βŸ¨β€œ(π‘€β€˜π‘)β€βŸ©)
101100oveq1d 7424 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ π‘Š ∧ (π‘Ž ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ ((𝑀 ∘ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©) ++ (𝑀 ∘ (reverseβ€˜π‘Ž))) = (βŸ¨β€œ(π‘€β€˜π‘)β€βŸ© ++ (𝑀 ∘ (reverseβ€˜π‘Ž))))
10295, 98, 1013eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ π‘Š ∧ (π‘Ž ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ (𝑀 ∘ (reverseβ€˜(π‘Ž ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©))) = (βŸ¨β€œ(π‘€β€˜π‘)β€βŸ© ++ (𝑀 ∘ (reverseβ€˜π‘Ž))))
103102oveq2d 7425 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ π‘Š ∧ (π‘Ž ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ ((π‘Ž ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©) ++ (𝑀 ∘ (reverseβ€˜(π‘Ž ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©)))) = ((π‘Ž ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©) ++ (βŸ¨β€œ(π‘€β€˜π‘)β€βŸ© ++ (𝑀 ∘ (reverseβ€˜π‘Ž)))))
104 ccatcl 14524 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘Ž ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) ∧ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ© ∈ Word (𝐼 Γ— 2o)) β†’ (π‘Ž ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©) ∈ Word (𝐼 Γ— 2o))
10544, 89, 104syl2anc 585 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ π‘Š ∧ (π‘Ž ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ (π‘Ž ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©) ∈ Word (𝐼 Γ— 2o))
10676s1cld 14553 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ π‘Š ∧ (π‘Ž ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ βŸ¨β€œ(π‘€β€˜π‘)β€βŸ© ∈ Word (𝐼 Γ— 2o))
107 ccatass 14538 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘Ž ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©) ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) ∧ βŸ¨β€œ(π‘€β€˜π‘)β€βŸ© ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) ∧ (𝑀 ∘ (reverseβ€˜π‘Ž)) ∈ Word (𝐼 Γ— 2o)) β†’ (((π‘Ž ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©) ++ βŸ¨β€œ(π‘€β€˜π‘)β€βŸ©) ++ (𝑀 ∘ (reverseβ€˜π‘Ž))) = ((π‘Ž ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©) ++ (βŸ¨β€œ(π‘€β€˜π‘)β€βŸ© ++ (𝑀 ∘ (reverseβ€˜π‘Ž)))))
108105, 106, 50, 107syl3anc 1372 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ π‘Š ∧ (π‘Ž ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ (((π‘Ž ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©) ++ βŸ¨β€œ(π‘€β€˜π‘)β€βŸ©) ++ (𝑀 ∘ (reverseβ€˜π‘Ž))) = ((π‘Ž ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©) ++ (βŸ¨β€œ(π‘€β€˜π‘)β€βŸ© ++ (𝑀 ∘ (reverseβ€˜π‘Ž)))))
109 ccatass 14538 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘Ž ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) ∧ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ© ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) ∧ βŸ¨β€œ(π‘€β€˜π‘)β€βŸ© ∈ Word (𝐼 Γ— 2o)) β†’ ((π‘Ž ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©) ++ βŸ¨β€œ(π‘€β€˜π‘)β€βŸ©) = (π‘Ž ++ (βŸ¨β€œπ‘β€βŸ© ++ βŸ¨β€œ(π‘€β€˜π‘)β€βŸ©)))
11044, 89, 106, 109syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ π‘Š ∧ (π‘Ž ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ ((π‘Ž ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©) ++ βŸ¨β€œ(π‘€β€˜π‘)β€βŸ©) = (π‘Ž ++ (βŸ¨β€œπ‘β€βŸ© ++ βŸ¨β€œ(π‘€β€˜π‘)β€βŸ©)))
111 df-s2 14799 . . . . . . . . . . . . . 14 βŸ¨β€œπ‘(π‘€β€˜π‘)β€βŸ© = (βŸ¨β€œπ‘β€βŸ© ++ βŸ¨β€œ(π‘€β€˜π‘)β€βŸ©)
112111oveq2i 7420 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘Ž ++ βŸ¨β€œπ‘(π‘€β€˜π‘)β€βŸ©) = (π‘Ž ++ (βŸ¨β€œπ‘β€βŸ© ++ βŸ¨β€œ(π‘€β€˜π‘)β€βŸ©))
113110, 112eqtr4di 2791 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ π‘Š ∧ (π‘Ž ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ ((π‘Ž ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©) ++ βŸ¨β€œ(π‘€β€˜π‘)β€βŸ©) = (π‘Ž ++ βŸ¨β€œπ‘(π‘€β€˜π‘)β€βŸ©))
114113oveq1d 7424 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ π‘Š ∧ (π‘Ž ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ (((π‘Ž ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©) ++ βŸ¨β€œ(π‘€β€˜π‘)β€βŸ©) ++ (𝑀 ∘ (reverseβ€˜π‘Ž))) = ((π‘Ž ++ βŸ¨β€œπ‘(π‘€β€˜π‘)β€βŸ©) ++ (𝑀 ∘ (reverseβ€˜π‘Ž))))
115103, 108, 1143eqtr2rd 2780 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ π‘Š ∧ (π‘Ž ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ ((π‘Ž ++ βŸ¨β€œπ‘(π‘€β€˜π‘)β€βŸ©) ++ (𝑀 ∘ (reverseβ€˜π‘Ž))) = ((π‘Ž ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©) ++ (𝑀 ∘ (reverseβ€˜(π‘Ž ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©)))))
11673, 88, 1153eqtrd 2777 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ π‘Š ∧ (π‘Ž ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ ((β™―β€˜π‘Ž)(π‘‡β€˜(π‘Ž ++ (𝑀 ∘ (reverseβ€˜π‘Ž))))𝑏) = ((π‘Ž ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©) ++ (𝑀 ∘ (reverseβ€˜(π‘Ž ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©)))))
1171, 34, 47, 71efgtf 19590 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘Ž ++ (𝑀 ∘ (reverseβ€˜π‘Ž))) ∈ π‘Š β†’ ((π‘‡β€˜(π‘Ž ++ (𝑀 ∘ (reverseβ€˜π‘Ž)))) = (π‘š ∈ (0...(β™―β€˜(π‘Ž ++ (𝑀 ∘ (reverseβ€˜π‘Ž))))), 𝑒 ∈ (𝐼 Γ— 2o) ↦ ((π‘Ž ++ (𝑀 ∘ (reverseβ€˜π‘Ž))) splice βŸ¨π‘š, π‘š, βŸ¨β€œπ‘’(π‘€β€˜π‘’)β€βŸ©βŸ©)) ∧ (π‘‡β€˜(π‘Ž ++ (𝑀 ∘ (reverseβ€˜π‘Ž)))):((0...(β™―β€˜(π‘Ž ++ (𝑀 ∘ (reverseβ€˜π‘Ž))))) Γ— (𝐼 Γ— 2o))βŸΆπ‘Š))
118117simprd 497 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘Ž ++ (𝑀 ∘ (reverseβ€˜π‘Ž))) ∈ π‘Š β†’ (π‘‡β€˜(π‘Ž ++ (𝑀 ∘ (reverseβ€˜π‘Ž)))):((0...(β™―β€˜(π‘Ž ++ (𝑀 ∘ (reverseβ€˜π‘Ž))))) Γ— (𝐼 Γ— 2o))βŸΆπ‘Š)
11954, 118syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ π‘Š ∧ (π‘Ž ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ (π‘‡β€˜(π‘Ž ++ (𝑀 ∘ (reverseβ€˜π‘Ž)))):((0...(β™―β€˜(π‘Ž ++ (𝑀 ∘ (reverseβ€˜π‘Ž))))) Γ— (𝐼 Γ— 2o))βŸΆπ‘Š)
120119ffnd 6719 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ π‘Š ∧ (π‘Ž ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ (π‘‡β€˜(π‘Ž ++ (𝑀 ∘ (reverseβ€˜π‘Ž)))) Fn ((0...(β™―β€˜(π‘Ž ++ (𝑀 ∘ (reverseβ€˜π‘Ž))))) Γ— (𝐼 Γ— 2o)))
121 fnovrn 7582 . . . . . . . . . 10 (((π‘‡β€˜(π‘Ž ++ (𝑀 ∘ (reverseβ€˜π‘Ž)))) Fn ((0...(β™―β€˜(π‘Ž ++ (𝑀 ∘ (reverseβ€˜π‘Ž))))) Γ— (𝐼 Γ— 2o)) ∧ (β™―β€˜π‘Ž) ∈ (0...(β™―β€˜(π‘Ž ++ (𝑀 ∘ (reverseβ€˜π‘Ž))))) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o)) β†’ ((β™―β€˜π‘Ž)(π‘‡β€˜(π‘Ž ++ (𝑀 ∘ (reverseβ€˜π‘Ž))))𝑏) ∈ ran (π‘‡β€˜(π‘Ž ++ (𝑀 ∘ (reverseβ€˜π‘Ž)))))
122120, 69, 70, 121syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ π‘Š ∧ (π‘Ž ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ ((β™―β€˜π‘Ž)(π‘‡β€˜(π‘Ž ++ (𝑀 ∘ (reverseβ€˜π‘Ž))))𝑏) ∈ ran (π‘‡β€˜(π‘Ž ++ (𝑀 ∘ (reverseβ€˜π‘Ž)))))
123116, 122eqeltrrd 2835 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ π‘Š ∧ (π‘Ž ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ ((π‘Ž ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©) ++ (𝑀 ∘ (reverseβ€˜(π‘Ž ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©)))) ∈ ran (π‘‡β€˜(π‘Ž ++ (𝑀 ∘ (reverseβ€˜π‘Ž)))))
1241, 34, 47, 71efgi2 19593 . . . . . . . 8 (((π‘Ž ++ (𝑀 ∘ (reverseβ€˜π‘Ž))) ∈ π‘Š ∧ ((π‘Ž ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©) ++ (𝑀 ∘ (reverseβ€˜(π‘Ž ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©)))) ∈ ran (π‘‡β€˜(π‘Ž ++ (𝑀 ∘ (reverseβ€˜π‘Ž))))) β†’ (π‘Ž ++ (𝑀 ∘ (reverseβ€˜π‘Ž))) ∼ ((π‘Ž ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©) ++ (𝑀 ∘ (reverseβ€˜(π‘Ž ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©)))))
12554, 123, 124syl2anc 585 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ π‘Š ∧ (π‘Ž ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ (π‘Ž ++ (𝑀 ∘ (reverseβ€˜π‘Ž))) ∼ ((π‘Ž ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©) ++ (𝑀 ∘ (reverseβ€˜(π‘Ž ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©)))))
12643, 125ersym 8715 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ π‘Š ∧ (π‘Ž ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ ((π‘Ž ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©) ++ (𝑀 ∘ (reverseβ€˜(π‘Ž ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©)))) ∼ (π‘Ž ++ (𝑀 ∘ (reverseβ€˜π‘Ž))))
12743ertr 8718 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ π‘Š ∧ (π‘Ž ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ ((((π‘Ž ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©) ++ (𝑀 ∘ (reverseβ€˜(π‘Ž ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©)))) ∼ (π‘Ž ++ (𝑀 ∘ (reverseβ€˜π‘Ž))) ∧ (π‘Ž ++ (𝑀 ∘ (reverseβ€˜π‘Ž))) ∼ βˆ…) β†’ ((π‘Ž ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©) ++ (𝑀 ∘ (reverseβ€˜(π‘Ž ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©)))) ∼ βˆ…))
128126, 127mpand 694 . . . . 5 ((𝐴 ∈ π‘Š ∧ (π‘Ž ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o))) β†’ ((π‘Ž ++ (𝑀 ∘ (reverseβ€˜π‘Ž))) ∼ βˆ… β†’ ((π‘Ž ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©) ++ (𝑀 ∘ (reverseβ€˜(π‘Ž ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©)))) ∼ βˆ…))
129128expcom 415 . . . 4 ((π‘Ž ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o)) β†’ (𝐴 ∈ π‘Š β†’ ((π‘Ž ++ (𝑀 ∘ (reverseβ€˜π‘Ž))) ∼ βˆ… β†’ ((π‘Ž ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©) ++ (𝑀 ∘ (reverseβ€˜(π‘Ž ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©)))) ∼ βˆ…)))
130129a2d 29 . . 3 ((π‘Ž ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 Γ— 2o)) β†’ ((𝐴 ∈ π‘Š β†’ (π‘Ž ++ (𝑀 ∘ (reverseβ€˜π‘Ž))) ∼ βˆ…) β†’ (𝐴 ∈ π‘Š β†’ ((π‘Ž ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©) ++ (𝑀 ∘ (reverseβ€˜(π‘Ž ++ βŸ¨β€œπ‘β€βŸ©)))) ∼ βˆ…)))
13114, 20, 26, 32, 42, 130wrdind 14672 . 2 (𝐴 ∈ Word (𝐼 Γ— 2o) β†’ (𝐴 ∈ π‘Š β†’ (𝐴 ++ (𝑀 ∘ (reverseβ€˜π΄))) ∼ βˆ…))
1324, 131mpcom 38 1 (𝐴 ∈ π‘Š β†’ (𝐴 ++ (𝑀 ∘ (reverseβ€˜π΄))) ∼ βˆ…)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3475   βˆ– cdif 3946  βˆ…c0 4323  βŸ¨cop 4635  βŸ¨cotp 4637   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232   I cid 5574   Γ— cxp 5675  ran crn 5678   ∘ ccom 5681   Fn wfn 6539  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   ∈ cmpo 7411  1oc1o 8459  2oc2o 8460   Er wer 8700  0cc0 11110   + caddc 11113  β„•0cn0 12472  β„€β‰₯cuz 12822  ...cfz 13484  β™―chash 14290  Word cword 14464   ++ cconcat 14520  βŸ¨β€œcs1 14545   splice csplice 14699  reversecreverse 14708  βŸ¨β€œcs2 14792   ~FG cefg 19574
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-ot 4638  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-er 8703  df-ec 8705  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-n0 12473  df-xnn0 12545  df-z 12559  df-uz 12823  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-hash 14291  df-word 14465  df-lsw 14513  df-concat 14521  df-s1 14546  df-substr 14591  df-pfx 14621  df-splice 14700  df-reverse 14709  df-s2 14799  df-efg 19577
This theorem is referenced by:  efginvrel1  19596  frgpinv  19632
  Copyright terms: Public domain W3C validator