Theorem frgpup2 19848

Description: The evaluation map has the intended behavior on the generators. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Feb-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
frgpup.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐻)
frgpup.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝐻)
frgpup.t	⊢ 𝑇 = (𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ if(𝑧 = ∅, (𝐹‘𝑦), (𝑁‘(𝐹‘𝑦))))
frgpup.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ Grp)
frgpup.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
frgpup.a	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐼⟶𝐵)
frgpup.w	⊢ 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
frgpup.r	⊢ ∼ = ( ~FG ‘𝐼)
frgpup.g	⊢ 𝐺 = (freeGrp‘𝐼)
frgpup.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
frgpup.e	⊢ 𝐸 = ran (𝑔 ∈ 𝑊 ↦ ⟨[𝑔] ∼ , (𝐻 Σg (𝑇 ∘ 𝑔))⟩)
frgpup.u	⊢ 𝑈 = (varFGrp‘𝐼)
frgpup.y	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
frgpup2	⊢ (𝜑 → (𝐸‘(𝑈‘𝐴)) = (𝐹‘𝐴))

Distinct variable groups:   𝑦,𝑔,𝑧,𝐴   𝑔,𝐻   𝑦,𝐹,𝑧   𝑦,𝑁,𝑧   𝐵,𝑔,𝑦,𝑧   𝑇,𝑔   ∼ ,𝑔   𝜑,𝑔,𝑦,𝑧   𝑦,𝐼,𝑧   𝑔,𝑊

Allowed substitution hints:   ∼ (𝑦,𝑧)   𝑇(𝑦,𝑧)   𝑈(𝑦,𝑧,𝑔)   𝐸(𝑦,𝑧,𝑔)   𝐹(𝑔)   𝐺(𝑦,𝑧,𝑔)   𝐻(𝑦,𝑧)   𝐼(𝑔)   𝑁(𝑔)   𝑉(𝑦,𝑧,𝑔)   𝑊(𝑦,𝑧)   𝑋(𝑦,𝑧,𝑔)

Proof of Theorem frgpup2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frgpup.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
2		frgpup.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐼)
3		frgpup.r	. . . . 5 ⊢ ∼ = ( ~FG ‘𝐼)
4		frgpup.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (varFGrp‘𝐼)
5	3, 4	vrgpval 19839	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) → (𝑈‘𝐴) = [⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩] ∼ )
6	1, 2, 5	syl2anc 595	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑈‘𝐴) = [⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩] ∼ )
7	6	fveq2d 6888	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘(𝑈‘𝐴)) = (𝐸‘[⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩] ∼ ))
8		0ex 5274	. . . . . . . 8 ⊢ ∅ ∈ V
9	8	prid1 4733	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ∈ {∅, 1o}
10		df2o3 8463	. . . . . . 7 ⊢ 2o = {∅, 1o}
11	9, 10	eleqtrri 2868	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ 2o
12		opelxpi 5701	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐼 ∧ ∅ ∈ 2o) → ⟨𝐴, ∅⟩ ∈ (𝐼 × 2o))
13	2, 11, 12	sylancl 597	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ⟨𝐴, ∅⟩ ∈ (𝐼 × 2o))
14	13	s1cld 14643	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩ ∈ Word (𝐼 × 2o))
15		frgpup.w	. . . . 5 ⊢ 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
16		2on 8469	. . . . . . 7 ⊢ 2o ∈ On
17		xpexg 7751	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 2o ∈ On) → (𝐼 × 2o) ∈ V)
18	1, 16, 17	sylancl 597	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐼 × 2o) ∈ V)
19		wrdexg 14563	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 × 2o) ∈ V → Word (𝐼 × 2o) ∈ V)
20		fvi 6960	. . . . . 6 ⊢ (Word (𝐼 × 2o) ∈ V → ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) = Word (𝐼 × 2o))
21	18, 19, 20	3syl 19	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) = Word (𝐼 × 2o))
22	15, 21	eqtrid 2816	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 = Word (𝐼 × 2o))
23	14, 22	eleqtrrd 2872	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩ ∈ 𝑊)
24		frgpup.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐻)
25		frgpup.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝐻)
26		frgpup.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = (𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ if(𝑧 = ∅, (𝐹‘𝑦), (𝑁‘(𝐹‘𝑦))))
27		frgpup.h	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ Grp)
28		frgpup.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐼⟶𝐵)
29		frgpup.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (freeGrp‘𝐼)
30		frgpup.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
31		frgpup.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = ran (𝑔 ∈ 𝑊 ↦ ⟨[𝑔] ∼ , (𝐻 Σg (𝑇 ∘ 𝑔))⟩)
32	24, 25, 26, 27, 1, 28, 15, 3, 29, 30, 31	frgpupval 19846	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩ ∈ 𝑊) → (𝐸‘[⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩] ∼ ) = (𝐻 Σg (𝑇 ∘ ⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩)))
33	23, 32	mpdan 699	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘[⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩] ∼ ) = (𝐻 Σg (𝑇 ∘ ⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩)))
34	24, 25, 26, 27, 1, 28	frgpuptf 19842	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑇:(𝐼 × 2o)⟶𝐵)
35		s1co 14872	. . . . . 6 ⊢ ((⟨𝐴, ∅⟩ ∈ (𝐼 × 2o) ∧ 𝑇:(𝐼 × 2o)⟶𝐵) → (𝑇 ∘ ⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩) = ⟨“(𝑇‘⟨𝐴, ∅⟩)”⟩)
36	13, 34, 35	syl2anc 595	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ∘ ⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩) = ⟨“(𝑇‘⟨𝐴, ∅⟩)”⟩)
37		df-ov 7416	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴𝑇∅) = (𝑇‘⟨𝐴, ∅⟩)
38		iftrue 4498	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = ∅ → if(𝑧 = ∅, (𝐹‘𝑦), (𝑁‘(𝐹‘𝑦))) = (𝐹‘𝑦))
39		fveq2 6884	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝐴))
40	38, 39	sylan9eqr 2826	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 = 𝐴 ∧ 𝑧 = ∅) → if(𝑧 = ∅, (𝐹‘𝑦), (𝑁‘(𝐹‘𝑦))) = (𝐹‘𝐴))
41		fvex 6897	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹‘𝐴) ∈ V
42	40, 26, 41	ovmpoa 7568	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐼 ∧ ∅ ∈ 2o) → (𝐴𝑇∅) = (𝐹‘𝐴))
43	2, 11, 42	sylancl 597	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝑇∅) = (𝐹‘𝐴))
44	37, 43	eqtr3id 2818	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑇‘⟨𝐴, ∅⟩) = (𝐹‘𝐴))
45	44	s1eqd 14641	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ⟨“(𝑇‘⟨𝐴, ∅⟩)”⟩ = ⟨“(𝐹‘𝐴)”⟩)
46	36, 45	eqtrd 2804	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ∘ ⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩) = ⟨“(𝐹‘𝐴)”⟩)
47	46	oveq2d 7429	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐻 Σg (𝑇 ∘ ⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩)) = (𝐻 Σg ⟨“(𝐹‘𝐴)”⟩))
48	28, 2	ffvelcdmd 7083	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) ∈ 𝐵)
49	24	gsumws1 18899	. . . 4 ⊢ ((𝐹‘𝐴) ∈ 𝐵 → (𝐻 Σg ⟨“(𝐹‘𝐴)”⟩) = (𝐹‘𝐴))
50	48, 49	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐻 Σg ⟨“(𝐹‘𝐴)”⟩) = (𝐹‘𝐴))
51	47, 50	eqtrd 2804	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐻 Σg (𝑇 ∘ ⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩)) = (𝐹‘𝐴))
52	7, 33, 51	3eqtrd 2808	1 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘(𝑈‘𝐴)) = (𝐹‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  Vcvv 3463  ∅c0 4294  ifcif 4492  {cpr 4596  ⟨cop 4600   ↦ cmpt 5196   I cid 5558   × cxp 5662  ran crn 5665   ∘ ccom 5668  Oncon0 6363  ⟶wf 6535  ‘cfv 6539  (class class class)co 7413   ∈ cmpo 7415  1_oc1o 8448  2_oc2o 8449  [cec 8694  Word cword 14552  ⟨“cs1 14635  Basecbs 17271   Σ_g cgsu 17495  Grpcgrp 19002  inv_gcminusg 19003   ~_FG cefg 19778  freeGrpcfrgp 19779  var_FGrpcvrgp 19780

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5273  ax-pow 5339  ax-pr 5407  ax-un 7735  ax-cnex 11158  ax-resscn 11159  ax-1cn 11160  ax-icn 11161  ax-addcl 11162  ax-addrcl 11163  ax-mulcl 11164  ax-mulrcl 11165  ax-mulcom 11166  ax-addass 11167  ax-mulass 11168  ax-distr 11169  ax-i2m1 11170  ax-1ne0 11171  ax-1rid 11172  ax-rnegex 11173  ax-rrecex 11174  ax-cnre 11175  ax-pre-lttri 11176  ax-pre-lttrn 11177  ax-pre-ltadd 11178  ax-pre-mulgt0 11179

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-ot 4603  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-iin 4963  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5559  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-we 5619  df-xp 5670  df-rel 5671  df-cnv 5672  df-co 5673  df-dm 5674  df-rn 5675  df-res 5676  df-ima 5677  df-pred 6305  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6495  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-2o 8456  df-er 8696  df-ec 8698  df-qs 8702  df-map 8828  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-sup 9404  df-inf 9405  df-card 9927  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12236  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12507  df-z 12594  df-dec 12714  df-uz 12865  df-fz 13538  df-fzo 13685  df-seq 14040  df-hash 14369  df-word 14553  df-concat 14610  df-s1 14636  df-substr 14681  df-pfx 14711  df-splice 14789  df-s2 14887  df-struct 17209  df-sets 17226  df-slot 17244  df-ndx 17256  df-base 17272  df-ress 17293  df-plusg 17325  df-mulr 17326  df-sca 17328  df-vsca 17329  df-ip 17330  df-tset 17331  df-ple 17332  df-ds 17334  df-0g 17496  df-gsum 17497  df-imas 17564  df-qus 17565  df-mgm 18700  df-sgrp 18779  df-mnd 18795  df-submnd 18844  df-frmd 18910  df-grp 19005  df-minusg 19006  df-efg 19781  df-frgp 19782  df-vrgp 19783

This theorem is referenced by:  frgpup3  19850