MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frgpup2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frgpup2 19166
Description: The evaluation map has the intended behavior on the generators. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Feb-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
frgpup.b 𝐵 = (Base‘𝐻)
frgpup.n 𝑁 = (invg𝐻)
frgpup.t 𝑇 = (𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ if(𝑧 = ∅, (𝐹𝑦), (𝑁‘(𝐹𝑦))))
frgpup.h (𝜑𝐻 ∈ Grp)
frgpup.i (𝜑𝐼𝑉)
frgpup.a (𝜑𝐹:𝐼𝐵)
frgpup.w 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
frgpup.r = ( ~FG𝐼)
frgpup.g 𝐺 = (freeGrp‘𝐼)
frgpup.x 𝑋 = (Base‘𝐺)
frgpup.e 𝐸 = ran (𝑔𝑊 ↦ ⟨[𝑔] , (𝐻 Σg (𝑇𝑔))⟩)
frgpup.u 𝑈 = (varFGrp𝐼)
frgpup.y (𝜑𝐴𝐼)
Assertion
Ref Expression
frgpup2 (𝜑 → (𝐸‘(𝑈𝐴)) = (𝐹𝐴))
Distinct variable groups:   𝑦,𝑔,𝑧,𝐴   𝑔,𝐻   𝑦,𝐹,𝑧   𝑦,𝑁,𝑧   𝐵,𝑔,𝑦,𝑧   𝑇,𝑔   ,𝑔   𝜑,𝑔,𝑦,𝑧   𝑦,𝐼,𝑧   𝑔,𝑊
Allowed substitution hints:   (𝑦,𝑧)   𝑇(𝑦,𝑧)   𝑈(𝑦,𝑧,𝑔)   𝐸(𝑦,𝑧,𝑔)   𝐹(𝑔)   𝐺(𝑦,𝑧,𝑔)   𝐻(𝑦,𝑧)   𝐼(𝑔)   𝑁(𝑔)   𝑉(𝑦,𝑧,𝑔)   𝑊(𝑦,𝑧)   𝑋(𝑦,𝑧,𝑔)

Proof of Theorem frgpup2
StepHypRef Expression
1 frgpup.i . . . 4 (𝜑𝐼𝑉)
2 frgpup.y . . . 4 (𝜑𝐴𝐼)
3 frgpup.r . . . . 5 = ( ~FG𝐼)
4 frgpup.u . . . . 5 𝑈 = (varFGrp𝐼)
53, 4vrgpval 19157 . . . 4 ((𝐼𝑉𝐴𝐼) → (𝑈𝐴) = [⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩] )
61, 2, 5syl2anc 587 . . 3 (𝜑 → (𝑈𝐴) = [⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩] )
76fveq2d 6721 . 2 (𝜑 → (𝐸‘(𝑈𝐴)) = (𝐸‘[⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩] ))
8 0ex 5200 . . . . . . . 8 ∅ ∈ V
98prid1 4678 . . . . . . 7 ∅ ∈ {∅, 1o}
10 df2o3 8217 . . . . . . 7 2o = {∅, 1o}
119, 10eleqtrri 2837 . . . . . 6 ∅ ∈ 2o
12 opelxpi 5588 . . . . . 6 ((𝐴𝐼 ∧ ∅ ∈ 2o) → ⟨𝐴, ∅⟩ ∈ (𝐼 × 2o))
132, 11, 12sylancl 589 . . . . 5 (𝜑 → ⟨𝐴, ∅⟩ ∈ (𝐼 × 2o))
1413s1cld 14160 . . . 4 (𝜑 → ⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩ ∈ Word (𝐼 × 2o))
15 frgpup.w . . . . 5 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
16 2on 8210 . . . . . . 7 2o ∈ On
17 xpexg 7535 . . . . . . 7 ((𝐼𝑉 ∧ 2o ∈ On) → (𝐼 × 2o) ∈ V)
181, 16, 17sylancl 589 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐼 × 2o) ∈ V)
19 wrdexg 14079 . . . . . 6 ((𝐼 × 2o) ∈ V → Word (𝐼 × 2o) ∈ V)
20 fvi 6787 . . . . . 6 (Word (𝐼 × 2o) ∈ V → ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) = Word (𝐼 × 2o))
2118, 19, 203syl 18 . . . . 5 (𝜑 → ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) = Word (𝐼 × 2o))
2215, 21syl5eq 2790 . . . 4 (𝜑𝑊 = Word (𝐼 × 2o))
2314, 22eleqtrrd 2841 . . 3 (𝜑 → ⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩ ∈ 𝑊)
24 frgpup.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐻)
25 frgpup.n . . . 4 𝑁 = (invg𝐻)
26 frgpup.t . . . 4 𝑇 = (𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ if(𝑧 = ∅, (𝐹𝑦), (𝑁‘(𝐹𝑦))))
27 frgpup.h . . . 4 (𝜑𝐻 ∈ Grp)
28 frgpup.a . . . 4 (𝜑𝐹:𝐼𝐵)
29 frgpup.g . . . 4 𝐺 = (freeGrp‘𝐼)
30 frgpup.x . . . 4 𝑋 = (Base‘𝐺)
31 frgpup.e . . . 4 𝐸 = ran (𝑔𝑊 ↦ ⟨[𝑔] , (𝐻 Σg (𝑇𝑔))⟩)
3224, 25, 26, 27, 1, 28, 15, 3, 29, 30, 31frgpupval 19164 . . 3 ((𝜑 ∧ ⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩ ∈ 𝑊) → (𝐸‘[⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩] ) = (𝐻 Σg (𝑇 ∘ ⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩)))
3323, 32mpdan 687 . 2 (𝜑 → (𝐸‘[⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩] ) = (𝐻 Σg (𝑇 ∘ ⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩)))
3424, 25, 26, 27, 1, 28frgpuptf 19160 . . . . . 6 (𝜑𝑇:(𝐼 × 2o)⟶𝐵)
35 s1co 14398 . . . . . 6 ((⟨𝐴, ∅⟩ ∈ (𝐼 × 2o) ∧ 𝑇:(𝐼 × 2o)⟶𝐵) → (𝑇 ∘ ⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩) = ⟨“(𝑇‘⟨𝐴, ∅⟩)”⟩)
3613, 34, 35syl2anc 587 . . . . 5 (𝜑 → (𝑇 ∘ ⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩) = ⟨“(𝑇‘⟨𝐴, ∅⟩)”⟩)
37 df-ov 7216 . . . . . . 7 (𝐴𝑇∅) = (𝑇‘⟨𝐴, ∅⟩)
38 iftrue 4445 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = ∅ → if(𝑧 = ∅, (𝐹𝑦), (𝑁‘(𝐹𝑦))) = (𝐹𝑦))
39 fveq2 6717 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝐴 → (𝐹𝑦) = (𝐹𝐴))
4038, 39sylan9eqr 2800 . . . . . . . . 9 ((𝑦 = 𝐴𝑧 = ∅) → if(𝑧 = ∅, (𝐹𝑦), (𝑁‘(𝐹𝑦))) = (𝐹𝐴))
41 fvex 6730 . . . . . . . . 9 (𝐹𝐴) ∈ V
4240, 26, 41ovmpoa 7364 . . . . . . . 8 ((𝐴𝐼 ∧ ∅ ∈ 2o) → (𝐴𝑇∅) = (𝐹𝐴))
432, 11, 42sylancl 589 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴𝑇∅) = (𝐹𝐴))
4437, 43eqtr3id 2792 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑇‘⟨𝐴, ∅⟩) = (𝐹𝐴))
4544s1eqd 14158 . . . . 5 (𝜑 → ⟨“(𝑇‘⟨𝐴, ∅⟩)”⟩ = ⟨“(𝐹𝐴)”⟩)
4636, 45eqtrd 2777 . . . 4 (𝜑 → (𝑇 ∘ ⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩) = ⟨“(𝐹𝐴)”⟩)
4746oveq2d 7229 . . 3 (𝜑 → (𝐻 Σg (𝑇 ∘ ⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩)) = (𝐻 Σg ⟨“(𝐹𝐴)”⟩))
4828, 2ffvelrnd 6905 . . . 4 (𝜑 → (𝐹𝐴) ∈ 𝐵)
4924gsumws1 18264 . . . 4 ((𝐹𝐴) ∈ 𝐵 → (𝐻 Σg ⟨“(𝐹𝐴)”⟩) = (𝐹𝐴))
5048, 49syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝐻 Σg ⟨“(𝐹𝐴)”⟩) = (𝐹𝐴))
5147, 50eqtrd 2777 . 2 (𝜑 → (𝐻 Σg (𝑇 ∘ ⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩)) = (𝐹𝐴))
527, 33, 513eqtrd 2781 1 (𝜑 → (𝐸‘(𝑈𝐴)) = (𝐹𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1543  wcel 2110  Vcvv 3408  c0 4237  ifcif 4439  {cpr 4543  cop 4547  cmpt 5135   I cid 5454   × cxp 5549  ran crn 5552  ccom 5555  Oncon0 6213  wf 6376  cfv 6380  (class class class)co 7213  cmpo 7215  1oc1o 8195  2oc2o 8196  [cec 8389  Word cword 14069  ⟨“cs1 14152  Basecbs 16760   Σg cgsu 16945  Grpcgrp 18365  invgcminusg 18366   ~FG cefg 19096  freeGrpcfrgp 19097  varFGrpcvrgp 19098
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-ot 4550  df-uni 4820  df-int 4860  df-iun 4906  df-iin 4907  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-1o 8202  df-2o 8203  df-er 8391  df-ec 8393  df-qs 8397  df-map 8510  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-fin 8630  df-sup 9058  df-inf 9059  df-card 9555  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-nn 11831  df-2 11893  df-3 11894  df-4 11895  df-5 11896  df-6 11897  df-7 11898  df-8 11899  df-9 11900  df-n0 12091  df-z 12177  df-dec 12294  df-uz 12439  df-fz 13096  df-fzo 13239  df-seq 13575  df-hash 13897  df-word 14070  df-concat 14126  df-s1 14153  df-substr 14206  df-pfx 14236  df-splice 14315  df-s2 14413  df-struct 16700  df-sets 16717  df-slot 16735  df-ndx 16745  df-base 16761  df-ress 16785  df-plusg 16815  df-mulr 16816  df-sca 16818  df-vsca 16819  df-ip 16820  df-tset 16821  df-ple 16822  df-ds 16824  df-0g 16946  df-gsum 16947  df-imas 17013  df-qus 17014  df-mgm 18114  df-sgrp 18163  df-mnd 18174  df-submnd 18219  df-frmd 18276  df-grp 18368  df-minusg 18369  df-efg 19099  df-frgp 19100  df-vrgp 19101
This theorem is referenced by:  frgpup3  19168
  Copyright terms: Public domain W3C validator