Theorem frgpup2 20017

Description: The evaluation map has the intended behavior on the generators. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Feb-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
frgpup.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐻)
frgpup.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝐻)
frgpup.t	⊢ 𝑇 = (𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ if(𝑧 = ∅, (𝐹‘𝑦), (𝑁‘(𝐹‘𝑦))))
frgpup.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ Grp)
frgpup.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
frgpup.a	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐼⟶𝐵)
frgpup.w	⊢ 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
frgpup.r	⊢ ∼ = ( ~FG ‘𝐼)
frgpup.g	⊢ 𝐺 = (freeGrp‘𝐼)
frgpup.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
frgpup.e	⊢ 𝐸 = ran (𝑔 ∈ 𝑊 ↦ ⟨[𝑔] ∼ , (𝐻 Σg (𝑇 ∘ 𝑔))⟩)
frgpup.u	⊢ 𝑈 = (varFGrp‘𝐼)
frgpup.y	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
frgpup2	⊢ (𝜑 → (𝐸‘(𝑈‘𝐴)) = (𝐹‘𝐴))

Distinct variable groups:   𝑦,𝑔,𝑧,𝐴   𝑔,𝐻   𝑦,𝐹,𝑧   𝑦,𝑁,𝑧   𝐵,𝑔,𝑦,𝑧   𝑇,𝑔   ∼ ,𝑔   𝜑,𝑔,𝑦,𝑧   𝑦,𝐼,𝑧   𝑔,𝑊

Allowed substitution hints:   ∼ (𝑦, 𝑧)   𝑇(𝑦, 𝑧)   𝑈(𝑦, 𝑧, 𝑔)   𝐸(𝑦, 𝑧, 𝑔)   𝐹(𝑔)   𝐺(𝑦, 𝑧, 𝑔)   𝐻(𝑦, 𝑧)   𝐼(𝑔)   𝑁(𝑔)   𝑉(𝑦, 𝑧, 𝑔)   𝑊(𝑦, 𝑧)   𝑋(𝑦, 𝑧, 𝑔)

Proof of Theorem frgpup2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frgpup.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
2		frgpup.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐼)
3		frgpup.r	. . . . 5 ⊢ ∼ = ( ~FG ‘𝐼)
4		frgpup.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (varFGrp‘𝐼)
5	3, 4	vrgpval 20008	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) → (𝑈‘𝐴) = [⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩] ∼ )
6	1, 2, 5	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑈‘𝐴) = [⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩] ∼ )
7	6	fveq2d 6909	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘(𝑈‘𝐴)) = (𝐸‘[⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩] ∼ ))
8		0ex 5264	. . . . . . . 8 ⊢ ∅ ∈ V
9	8	prid1 4723	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ∈ {∅, 1o}
10		df2o3 8509	. . . . . . 7 ⊢ 2o = {∅, 1o}
11	9, 10	eleqtrri 2863	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ 2o
12		opelxpi 5692	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐼 ∧ ∅ ∈ 2o) → ⟨𝐴, ∅⟩ ∈ (𝐼 × 2o))
13	2, 11, 12	sylancl 598	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ⟨𝐴, ∅⟩ ∈ (𝐼 × 2o))
14	13	s1cld 14774	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩ ∈ Word (𝐼 × 2o))
15		frgpup.w	. . . . 5 ⊢ 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
16		2on 8515	. . . . . . 7 ⊢ 2o ∈ On
17		xpexg 7785	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 2o ∈ On) → (𝐼 × 2o) ∈ V)
18	1, 16, 17	sylancl 598	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐼 × 2o) ∈ V)
19		wrdexg 14693	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 × 2o) ∈ V → Word (𝐼 × 2o) ∈ V)
20		fvi 6981	. . . . . 6 ⊢ (Word (𝐼 × 2o) ∈ V → ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) = Word (𝐼 × 2o))
21	18, 19, 20	3syl 19	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) = Word (𝐼 × 2o))
22	15, 21	eqtrid 2810	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 = Word (𝐼 × 2o))
23	14, 22	eleqtrrd 2867	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩ ∈ 𝑊)
24		frgpup.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐻)
25		frgpup.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝐻)
26		frgpup.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = (𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ if(𝑧 = ∅, (𝐹‘𝑦), (𝑁‘(𝐹‘𝑦))))
27		frgpup.h	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ Grp)
28		frgpup.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐼⟶𝐵)
29		frgpup.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (freeGrp‘𝐼)
30		frgpup.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
31		frgpup.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = ran (𝑔 ∈ 𝑊 ↦ ⟨[𝑔] ∼ , (𝐻 Σg (𝑇 ∘ 𝑔))⟩)
32	24, 25, 26, 27, 1, 28, 15, 3, 29, 30, 31	frgpupval 20015	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩ ∈ 𝑊) → (𝐸‘[⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩] ∼ ) = (𝐻 Σg (𝑇 ∘ ⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩)))
33	23, 32	mpdan 700	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘[⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩] ∼ ) = (𝐻 Σg (𝑇 ∘ ⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩)))
34	24, 25, 26, 27, 1, 28	frgpuptf 20011	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑇:(𝐼 × 2o)⟶𝐵)
35		s1co 15009	. . . . . 6 ⊢ ((⟨𝐴, ∅⟩ ∈ (𝐼 × 2o) ∧ 𝑇:(𝐼 × 2o)⟶𝐵) → (𝑇 ∘ ⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩) = ⟨“(𝑇‘⟨𝐴, ∅⟩)”⟩)
36	13, 34, 35	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ∘ ⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩) = ⟨“(𝑇‘⟨𝐴, ∅⟩)”⟩)
37		df-ov 7443	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴𝑇∅) = (𝑇‘⟨𝐴, ∅⟩)
38		iftrue 4491	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = ∅ → if(𝑧 = ∅, (𝐹‘𝑦), (𝑁‘(𝐹‘𝑦))) = (𝐹‘𝑦))
39		fveq2 6905	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝐴))
40	38, 39	sylan9eqr 2820	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 = 𝐴 ∧ 𝑧 = ∅) → if(𝑧 = ∅, (𝐹‘𝑦), (𝑁‘(𝐹‘𝑦))) = (𝐹‘𝐴))
41		fvex 6918	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹‘𝐴) ∈ V
42	40, 26, 41	ovmpoa 7596	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐼 ∧ ∅ ∈ 2o) → (𝐴𝑇∅) = (𝐹‘𝐴))
43	2, 11, 42	sylancl 598	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝑇∅) = (𝐹‘𝐴))
44	37, 43	eqtr3id 2812	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑇‘⟨𝐴, ∅⟩) = (𝐹‘𝐴))
45	44	s1eqd 14772	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ⟨“(𝑇‘⟨𝐴, ∅⟩)”⟩ = ⟨“(𝐹‘𝐴)”⟩)
46	36, 45	eqtrd 2798	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ∘ ⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩) = ⟨“(𝐹‘𝐴)”⟩)
47	46	oveq2d 7456	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐻 Σg (𝑇 ∘ ⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩)) = (𝐻 Σg ⟨“(𝐹‘𝐴)”⟩))
48	28, 2	ffvelcdmd 7106	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) ∈ 𝐵)
49	24	gsumws1 19060	. . . 4 ⊢ ((𝐹‘𝐴) ∈ 𝐵 → (𝐻 Σg ⟨“(𝐹‘𝐴)”⟩) = (𝐹‘𝐴))
50	48, 49	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐻 Σg ⟨“(𝐹‘𝐴)”⟩) = (𝐹‘𝐴))
51	47, 50	eqtrd 2798	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐻 Σg (𝑇 ∘ ⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩)) = (𝐹‘𝐴))
52	7, 33, 51	3eqtrd 2802	1 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘(𝑈‘𝐴)) = (𝐹‘𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  Vcvv 3454  ∅c0 4281  ifcif 4485  {cpr 4590  ⟨cop 4838   ↦ cmpt 5189   I cid 5549   × cxp 5653  ran crn 5656   ∘ ccom 5659  Oncon0 6377  ⟶wf 6551  ‘cfv 6555  (class class class)co 7440   ∈ cmpo 7442  1_oc1o 8494  2_oc2o 8495  [cec 8740  Word cword 14682  ⟨“cs1 14766  Basecbs 17413   Σ_g cgsu 17637  Grpcgrp 19170  inv_gcminusg 19171   ~_FG cefg 19947  freeGrpcfrgp 19948  var_FGrpcvrgp 19949

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-cnex 11280  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-icn 11283  ax-addcl 11284  ax-addrcl 11285  ax-mulcl 11286  ax-mulrcl 11287  ax-mulcom 11288  ax-addass 11289  ax-mulass 11290  ax-distr 11291  ax-i2m1 11292  ax-1ne0 11293  ax-1rid 11294  ax-rnegex 11295  ax-rrecex 11296  ax-cnre 11297  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299  ax-pre-ltadd 11300  ax-pre-mulgt0 11301

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-ot 4862  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-om 7899  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-1o 8501  df-2o 8502  df-er 8742  df-ec 8744  df-qs 8748  df-map 8874  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-fin 9002  df-sup 9458  df-inf 9459  df-card 10044  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373  df-sub 11567  df-neg 11568  df-nn 12360  df-2 12429  df-3 12430  df-4 12431  df-5 12432  df-6 12433  df-7 12434  df-8 12435  df-9 12436  df-n0 12631  df-z 12718  df-dec 12839  df-uz 12990  df-fz 13664  df-fzo 13813  df-seq 14169  df-hash 14499  df-word 14683  df-concat 14740  df-s1 14767  df-substr 14814  df-pfx 14846  df-splice 14924  df-s2 15024  df-struct 17351  df-sets 17368  df-slot 17386  df-ndx 17398  df-base 17414  df-ress 17435  df-plusg 17467  df-mulr 17468  df-sca 17470  df-vsca 17471  df-ip 17472  df-tset 17473  df-ple 17474  df-ds 17476  df-0g 17638  df-gsum 17639  df-imas 17706  df-qus 17707  df-mgm 18842  df-sgrp 18934  df-mnd 18950  df-submnd 19005  df-frmd 19071  df-grp 19173  df-minusg 19174  df-efg 19950  df-frgp 19951  df-vrgp 19952

This theorem is used by:  frgpup3  20019