MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frgpup2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frgpup2 18386
Description: The evaluation map has the intended behavior on the generators. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Feb-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
frgpup.b 𝐵 = (Base‘𝐻)
frgpup.n 𝑁 = (invg𝐻)
frgpup.t 𝑇 = (𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2𝑜 ↦ if(𝑧 = ∅, (𝐹𝑦), (𝑁‘(𝐹𝑦))))
frgpup.h (𝜑𝐻 ∈ Grp)
frgpup.i (𝜑𝐼𝑉)
frgpup.a (𝜑𝐹:𝐼𝐵)
frgpup.w 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜))
frgpup.r = ( ~FG𝐼)
frgpup.g 𝐺 = (freeGrp‘𝐼)
frgpup.x 𝑋 = (Base‘𝐺)
frgpup.e 𝐸 = ran (𝑔𝑊 ↦ ⟨[𝑔] , (𝐻 Σg (𝑇𝑔))⟩)
frgpup.u 𝑈 = (varFGrp𝐼)
frgpup.y (𝜑𝐴𝐼)
Assertion
Ref Expression
frgpup2 (𝜑 → (𝐸‘(𝑈𝐴)) = (𝐹𝐴))
Distinct variable groups:   𝑦,𝑔,𝑧,𝐴   𝑔,𝐻   𝑦,𝐹,𝑧   𝑦,𝑁,𝑧   𝐵,𝑔,𝑦,𝑧   𝑇,𝑔   ,𝑔   𝜑,𝑔,𝑦,𝑧   𝑦,𝐼,𝑧   𝑔,𝑊
Allowed substitution hints:   (𝑦,𝑧)   𝑇(𝑦,𝑧)   𝑈(𝑦,𝑧,𝑔)   𝐸(𝑦,𝑧,𝑔)   𝐹(𝑔)   𝐺(𝑦,𝑧,𝑔)   𝐻(𝑦,𝑧)   𝐼(𝑔)   𝑁(𝑔)   𝑉(𝑦,𝑧,𝑔)   𝑊(𝑦,𝑧)   𝑋(𝑦,𝑧,𝑔)

Proof of Theorem frgpup2
StepHypRef Expression
1 frgpup.i . . . 4 (𝜑𝐼𝑉)
2 frgpup.y . . . 4 (𝜑𝐴𝐼)
3 frgpup.r . . . . 5 = ( ~FG𝐼)
4 frgpup.u . . . . 5 𝑈 = (varFGrp𝐼)
53, 4vrgpval 18377 . . . 4 ((𝐼𝑉𝐴𝐼) → (𝑈𝐴) = [⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩] )
61, 2, 5syl2anc 575 . . 3 (𝜑 → (𝑈𝐴) = [⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩] )
76fveq2d 6408 . 2 (𝜑 → (𝐸‘(𝑈𝐴)) = (𝐸‘[⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩] ))
8 0ex 4984 . . . . . . . 8 ∅ ∈ V
98prid1 4488 . . . . . . 7 ∅ ∈ {∅, 1𝑜}
10 df2o3 7806 . . . . . . 7 2𝑜 = {∅, 1𝑜}
119, 10eleqtrri 2884 . . . . . 6 ∅ ∈ 2𝑜
12 opelxpi 5348 . . . . . 6 ((𝐴𝐼 ∧ ∅ ∈ 2𝑜) → ⟨𝐴, ∅⟩ ∈ (𝐼 × 2𝑜))
132, 11, 12sylancl 576 . . . . 5 (𝜑 → ⟨𝐴, ∅⟩ ∈ (𝐼 × 2𝑜))
1413s1cld 13594 . . . 4 (𝜑 → ⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩ ∈ Word (𝐼 × 2𝑜))
15 frgpup.w . . . . 5 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜))
16 2on 7801 . . . . . . 7 2𝑜 ∈ On
17 xpexg 7186 . . . . . . 7 ((𝐼𝑉 ∧ 2𝑜 ∈ On) → (𝐼 × 2𝑜) ∈ V)
181, 16, 17sylancl 576 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐼 × 2𝑜) ∈ V)
19 wrdexg 13522 . . . . . 6 ((𝐼 × 2𝑜) ∈ V → Word (𝐼 × 2𝑜) ∈ V)
20 fvi 6472 . . . . . 6 (Word (𝐼 × 2𝑜) ∈ V → ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜)) = Word (𝐼 × 2𝑜))
2118, 19, 203syl 18 . . . . 5 (𝜑 → ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜)) = Word (𝐼 × 2𝑜))
2215, 21syl5eq 2852 . . . 4 (𝜑𝑊 = Word (𝐼 × 2𝑜))
2314, 22eleqtrrd 2888 . . 3 (𝜑 → ⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩ ∈ 𝑊)
24 frgpup.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐻)
25 frgpup.n . . . 4 𝑁 = (invg𝐻)
26 frgpup.t . . . 4 𝑇 = (𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2𝑜 ↦ if(𝑧 = ∅, (𝐹𝑦), (𝑁‘(𝐹𝑦))))
27 frgpup.h . . . 4 (𝜑𝐻 ∈ Grp)
28 frgpup.a . . . 4 (𝜑𝐹:𝐼𝐵)
29 frgpup.g . . . 4 𝐺 = (freeGrp‘𝐼)
30 frgpup.x . . . 4 𝑋 = (Base‘𝐺)
31 frgpup.e . . . 4 𝐸 = ran (𝑔𝑊 ↦ ⟨[𝑔] , (𝐻 Σg (𝑇𝑔))⟩)
3224, 25, 26, 27, 1, 28, 15, 3, 29, 30, 31frgpupval 18384 . . 3 ((𝜑 ∧ ⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩ ∈ 𝑊) → (𝐸‘[⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩] ) = (𝐻 Σg (𝑇 ∘ ⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩)))
3323, 32mpdan 670 . 2 (𝜑 → (𝐸‘[⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩] ) = (𝐻 Σg (𝑇 ∘ ⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩)))
3424, 25, 26, 27, 1, 28frgpuptf 18380 . . . . . 6 (𝜑𝑇:(𝐼 × 2𝑜)⟶𝐵)
35 s1co 13799 . . . . . 6 ((⟨𝐴, ∅⟩ ∈ (𝐼 × 2𝑜) ∧ 𝑇:(𝐼 × 2𝑜)⟶𝐵) → (𝑇 ∘ ⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩) = ⟨“(𝑇‘⟨𝐴, ∅⟩)”⟩)
3613, 34, 35syl2anc 575 . . . . 5 (𝜑 → (𝑇 ∘ ⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩) = ⟨“(𝑇‘⟨𝐴, ∅⟩)”⟩)
37 df-ov 6873 . . . . . . 7 (𝐴𝑇∅) = (𝑇‘⟨𝐴, ∅⟩)
38 iftrue 4285 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = ∅ → if(𝑧 = ∅, (𝐹𝑦), (𝑁‘(𝐹𝑦))) = (𝐹𝑦))
39 fveq2 6404 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝐴 → (𝐹𝑦) = (𝐹𝐴))
4038, 39sylan9eqr 2862 . . . . . . . . 9 ((𝑦 = 𝐴𝑧 = ∅) → if(𝑧 = ∅, (𝐹𝑦), (𝑁‘(𝐹𝑦))) = (𝐹𝐴))
41 fvex 6417 . . . . . . . . 9 (𝐹𝐴) ∈ V
4240, 26, 41ovmpt2a 7017 . . . . . . . 8 ((𝐴𝐼 ∧ ∅ ∈ 2𝑜) → (𝐴𝑇∅) = (𝐹𝐴))
432, 11, 42sylancl 576 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴𝑇∅) = (𝐹𝐴))
4437, 43syl5eqr 2854 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑇‘⟨𝐴, ∅⟩) = (𝐹𝐴))
4544s1eqd 13592 . . . . 5 (𝜑 → ⟨“(𝑇‘⟨𝐴, ∅⟩)”⟩ = ⟨“(𝐹𝐴)”⟩)
4636, 45eqtrd 2840 . . . 4 (𝜑 → (𝑇 ∘ ⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩) = ⟨“(𝐹𝐴)”⟩)
4746oveq2d 6886 . . 3 (𝜑 → (𝐻 Σg (𝑇 ∘ ⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩)) = (𝐻 Σg ⟨“(𝐹𝐴)”⟩))
4828, 2ffvelrnd 6578 . . . 4 (𝜑 → (𝐹𝐴) ∈ 𝐵)
4924gsumws1 17577 . . . 4 ((𝐹𝐴) ∈ 𝐵 → (𝐻 Σg ⟨“(𝐹𝐴)”⟩) = (𝐹𝐴))
5048, 49syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝐻 Σg ⟨“(𝐹𝐴)”⟩) = (𝐹𝐴))
5147, 50eqtrd 2840 . 2 (𝜑 → (𝐻 Σg (𝑇 ∘ ⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩)) = (𝐹𝐴))
527, 33, 513eqtrd 2844 1 (𝜑 → (𝐸‘(𝑈𝐴)) = (𝐹𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1637  wcel 2156  Vcvv 3391  c0 4116  ifcif 4279  {cpr 4372  cop 4376  cmpt 4923   I cid 5218   × cxp 5309  ran crn 5312  ccom 5315  Oncon0 5936  wf 6093  cfv 6097  (class class class)co 6870  cmpt2 6872  1𝑜c1o 7785  2𝑜c2o 7786  [cec 7973  Word cword 13498  ⟨“cs1 13501  Basecbs 16064   Σg cgsu 16302  Grpcgrp 17623  invgcminusg 17624   ~FG cefg 18316  freeGrpcfrgp 18317  varFGrpcvrgp 18318
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2068  ax-7 2104  ax-8 2158  ax-9 2165  ax-10 2185  ax-11 2201  ax-12 2214  ax-13 2420  ax-ext 2784  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5096  ax-un 7175  ax-cnex 10273  ax-resscn 10274  ax-1cn 10275  ax-icn 10276  ax-addcl 10277  ax-addrcl 10278  ax-mulcl 10279  ax-mulrcl 10280  ax-mulcom 10281  ax-addass 10282  ax-mulass 10283  ax-distr 10284  ax-i2m1 10285  ax-1ne0 10286  ax-1rid 10287  ax-rnegex 10288  ax-rrecex 10289  ax-cnre 10290  ax-pre-lttri 10291  ax-pre-lttrn 10292  ax-pre-ltadd 10293  ax-pre-mulgt0 10294
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2061  df-eu 2634  df-mo 2635  df-clab 2793  df-cleq 2799  df-clel 2802  df-nfc 2937  df-ne 2979  df-nel 3082  df-ral 3101  df-rex 3102  df-reu 3103  df-rmo 3104  df-rab 3105  df-v 3393  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4117  df-if 4280  df-pw 4353  df-sn 4371  df-pr 4373  df-tp 4375  df-op 4377  df-ot 4379  df-uni 4631  df-int 4670  df-iun 4714  df-iin 4715  df-br 4845  df-opab 4907  df-mpt 4924  df-tr 4947  df-id 5219  df-eprel 5224  df-po 5232  df-so 5233  df-fr 5270  df-we 5272  df-xp 5317  df-rel 5318  df-cnv 5319  df-co 5320  df-dm 5321  df-rn 5322  df-res 5323  df-ima 5324  df-pred 5893  df-ord 5939  df-on 5940  df-lim 5941  df-suc 5942  df-iota 6060  df-fun 6099  df-fn 6100  df-f 6101  df-f1 6102  df-fo 6103  df-f1o 6104  df-fv 6105  df-riota 6831  df-ov 6873  df-oprab 6874  df-mpt2 6875  df-om 7292  df-1st 7394  df-2nd 7395  df-wrecs 7638  df-recs 7700  df-rdg 7738  df-1o 7792  df-2o 7793  df-oadd 7796  df-er 7975  df-ec 7977  df-qs 7981  df-map 8090  df-pm 8091  df-en 8189  df-dom 8190  df-sdom 8191  df-fin 8192  df-sup 8583  df-inf 8584  df-card 9044  df-pnf 10357  df-mnf 10358  df-xr 10359  df-ltxr 10360  df-le 10361  df-sub 10549  df-neg 10550  df-nn 11302  df-2 11360  df-3 11361  df-4 11362  df-5 11363  df-6 11364  df-7 11365  df-8 11366  df-9 11367  df-n0 11556  df-z 11640  df-dec 11756  df-uz 11901  df-fz 12546  df-fzo 12686  df-seq 13021  df-hash 13334  df-word 13506  df-concat 13508  df-s1 13509  df-substr 13510  df-splice 13511  df-s2 13813  df-struct 16066  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-ress 16072  df-plusg 16162  df-mulr 16163  df-sca 16165  df-vsca 16166  df-ip 16167  df-tset 16168  df-ple 16169  df-ds 16171  df-0g 16303  df-gsum 16304  df-imas 16369  df-qus 16370  df-mgm 17443  df-sgrp 17485  df-mnd 17496  df-submnd 17537  df-frmd 17587  df-grp 17626  df-minusg 17627  df-efg 18319  df-frgp 18320  df-vrgp 18321
This theorem is referenced by:  frgpup3  18388
  Copyright terms: Public domain W3C validator