Theorem frgpup2 19688

Description: The evaluation map has the intended behavior on the generators. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Feb-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
frgpup.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐻)
frgpup.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝐻)
frgpup.t	⊢ 𝑇 = (𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ if(𝑧 = ∅, (𝐹‘𝑦), (𝑁‘(𝐹‘𝑦))))
frgpup.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ Grp)
frgpup.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
frgpup.a	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐼⟶𝐵)
frgpup.w	⊢ 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
frgpup.r	⊢ ∼ = ( ~FG ‘𝐼)
frgpup.g	⊢ 𝐺 = (freeGrp‘𝐼)
frgpup.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
frgpup.e	⊢ 𝐸 = ran (𝑔 ∈ 𝑊 ↦ ⟨[𝑔] ∼ , (𝐻 Σg (𝑇 ∘ 𝑔))⟩)
frgpup.u	⊢ 𝑈 = (varFGrp‘𝐼)
frgpup.y	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
frgpup2	⊢ (𝜑 → (𝐸‘(𝑈‘𝐴)) = (𝐹‘𝐴))

Distinct variable groups:   𝑦,𝑔,𝑧,𝐴   𝑔,𝐻   𝑦,𝐹,𝑧   𝑦,𝑁,𝑧   𝐵,𝑔,𝑦,𝑧   𝑇,𝑔   ∼ ,𝑔   𝜑,𝑔,𝑦,𝑧   𝑦,𝐼,𝑧   𝑔,𝑊

Allowed substitution hints:   ∼ (𝑦,𝑧)   𝑇(𝑦,𝑧)   𝑈(𝑦,𝑧,𝑔)   𝐸(𝑦,𝑧,𝑔)   𝐹(𝑔)   𝐺(𝑦,𝑧,𝑔)   𝐻(𝑦,𝑧)   𝐼(𝑔)   𝑁(𝑔)   𝑉(𝑦,𝑧,𝑔)   𝑊(𝑦,𝑧)   𝑋(𝑦,𝑧,𝑔)

Proof of Theorem frgpup2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frgpup.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
2		frgpup.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐼)
3		frgpup.r	. . . . 5 ⊢ ∼ = ( ~FG ‘𝐼)
4		frgpup.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (varFGrp‘𝐼)
5	3, 4	vrgpval 19679	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) → (𝑈‘𝐴) = [⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩] ∼ )
6	1, 2, 5	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑈‘𝐴) = [⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩] ∼ )
7	6	fveq2d 6826	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘(𝑈‘𝐴)) = (𝐸‘[⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩] ∼ ))
8		0ex 5243	. . . . . . . 8 ⊢ ∅ ∈ V
9	8	prid1 4712	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ∈ {∅, 1o}
10		df2o3 8393	. . . . . . 7 ⊢ 2o = {∅, 1o}
11	9, 10	eleqtrri 2830	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ 2o
12		opelxpi 5651	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐼 ∧ ∅ ∈ 2o) → ⟨𝐴, ∅⟩ ∈ (𝐼 × 2o))
13	2, 11, 12	sylancl 586	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ⟨𝐴, ∅⟩ ∈ (𝐼 × 2o))
14	13	s1cld 14511	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩ ∈ Word (𝐼 × 2o))
15		frgpup.w	. . . . 5 ⊢ 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
16		2on 8398	. . . . . . 7 ⊢ 2o ∈ On
17		xpexg 7683	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 2o ∈ On) → (𝐼 × 2o) ∈ V)
18	1, 16, 17	sylancl 586	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐼 × 2o) ∈ V)
19		wrdexg 14431	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 × 2o) ∈ V → Word (𝐼 × 2o) ∈ V)
20		fvi 6898	. . . . . 6 ⊢ (Word (𝐼 × 2o) ∈ V → ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) = Word (𝐼 × 2o))
21	18, 19, 20	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) = Word (𝐼 × 2o))
22	15, 21	eqtrid 2778	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 = Word (𝐼 × 2o))
23	14, 22	eleqtrrd 2834	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩ ∈ 𝑊)
24		frgpup.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐻)
25		frgpup.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝐻)
26		frgpup.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = (𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ if(𝑧 = ∅, (𝐹‘𝑦), (𝑁‘(𝐹‘𝑦))))
27		frgpup.h	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ Grp)
28		frgpup.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐼⟶𝐵)
29		frgpup.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (freeGrp‘𝐼)
30		frgpup.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
31		frgpup.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = ran (𝑔 ∈ 𝑊 ↦ ⟨[𝑔] ∼ , (𝐻 Σg (𝑇 ∘ 𝑔))⟩)
32	24, 25, 26, 27, 1, 28, 15, 3, 29, 30, 31	frgpupval 19686	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩ ∈ 𝑊) → (𝐸‘[⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩] ∼ ) = (𝐻 Σg (𝑇 ∘ ⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩)))
33	23, 32	mpdan 687	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘[⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩] ∼ ) = (𝐻 Σg (𝑇 ∘ ⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩)))
34	24, 25, 26, 27, 1, 28	frgpuptf 19682	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑇:(𝐼 × 2o)⟶𝐵)
35		s1co 14740	. . . . . 6 ⊢ ((⟨𝐴, ∅⟩ ∈ (𝐼 × 2o) ∧ 𝑇:(𝐼 × 2o)⟶𝐵) → (𝑇 ∘ ⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩) = ⟨“(𝑇‘⟨𝐴, ∅⟩)”⟩)
36	13, 34, 35	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ∘ ⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩) = ⟨“(𝑇‘⟨𝐴, ∅⟩)”⟩)
37		df-ov 7349	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴𝑇∅) = (𝑇‘⟨𝐴, ∅⟩)
38		iftrue 4478	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = ∅ → if(𝑧 = ∅, (𝐹‘𝑦), (𝑁‘(𝐹‘𝑦))) = (𝐹‘𝑦))
39		fveq2 6822	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝐴))
40	38, 39	sylan9eqr 2788	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 = 𝐴 ∧ 𝑧 = ∅) → if(𝑧 = ∅, (𝐹‘𝑦), (𝑁‘(𝐹‘𝑦))) = (𝐹‘𝐴))
41		fvex 6835	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹‘𝐴) ∈ V
42	40, 26, 41	ovmpoa 7501	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐼 ∧ ∅ ∈ 2o) → (𝐴𝑇∅) = (𝐹‘𝐴))
43	2, 11, 42	sylancl 586	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝑇∅) = (𝐹‘𝐴))
44	37, 43	eqtr3id 2780	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑇‘⟨𝐴, ∅⟩) = (𝐹‘𝐴))
45	44	s1eqd 14509	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ⟨“(𝑇‘⟨𝐴, ∅⟩)”⟩ = ⟨“(𝐹‘𝐴)”⟩)
46	36, 45	eqtrd 2766	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ∘ ⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩) = ⟨“(𝐹‘𝐴)”⟩)
47	46	oveq2d 7362	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐻 Σg (𝑇 ∘ ⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩)) = (𝐻 Σg ⟨“(𝐹‘𝐴)”⟩))
48	28, 2	ffvelcdmd 7018	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) ∈ 𝐵)
49	24	gsumws1 18746	. . . 4 ⊢ ((𝐹‘𝐴) ∈ 𝐵 → (𝐻 Σg ⟨“(𝐹‘𝐴)”⟩) = (𝐹‘𝐴))
50	48, 49	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐻 Σg ⟨“(𝐹‘𝐴)”⟩) = (𝐹‘𝐴))
51	47, 50	eqtrd 2766	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐻 Σg (𝑇 ∘ ⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩)) = (𝐹‘𝐴))
52	7, 33, 51	3eqtrd 2770	1 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘(𝑈‘𝐴)) = (𝐹‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  Vcvv 3436  ∅c0 4280  ifcif 4472  {cpr 4575  ⟨cop 4579   ↦ cmpt 5170   I cid 5508   × cxp 5612  ran crn 5615   ∘ ccom 5618  Oncon0 6306  ⟶wf 6477  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346   ∈ cmpo 7348  1_oc1o 8378  2_oc2o 8379  [cec 8620  Word cword 14420  ⟨“cs1 14503  Basecbs 17120   Σ_g cgsu 17344  Grpcgrp 18846  inv_gcminusg 18847   ~_FG cefg 19618  freeGrpcfrgp 19619  var_FGrpcvrgp 19620

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-tp 4578  df-op 4580  df-ot 4582  df-uni 4857  df-int 4896  df-iun 4941  df-iin 4942  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-2o 8386  df-er 8622  df-ec 8624  df-qs 8628  df-map 8752  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-sup 9326  df-inf 9327  df-card 9832  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-4 12190  df-5 12191  df-6 12192  df-7 12193  df-8 12194  df-9 12195  df-n0 12382  df-z 12469  df-dec 12589  df-uz 12733  df-fz 13408  df-fzo 13555  df-seq 13909  df-hash 14238  df-word 14421  df-concat 14478  df-s1 14504  df-substr 14549  df-pfx 14579  df-splice 14657  df-s2 14755  df-struct 17058  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-sca 17177  df-vsca 17178  df-ip 17179  df-tset 17180  df-ple 17181  df-ds 17183  df-0g 17345  df-gsum 17346  df-imas 17412  df-qus 17413  df-mgm 18548  df-sgrp 18627  df-mnd 18643  df-submnd 18692  df-frmd 18757  df-grp 18849  df-minusg 18850  df-efg 19621  df-frgp 19622  df-vrgp 19623

This theorem is referenced by:  frgpup3  19690