MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frgpup2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frgpup2 19638
Description: The evaluation map has the intended behavior on the generators. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Feb-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
frgpup.b 𝐡 = (Baseβ€˜π»)
frgpup.n 𝑁 = (invgβ€˜π»)
frgpup.t 𝑇 = (𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ if(𝑧 = βˆ…, (πΉβ€˜π‘¦), (π‘β€˜(πΉβ€˜π‘¦))))
frgpup.h (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ Grp)
frgpup.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
frgpup.a (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐼⟢𝐡)
frgpup.w π‘Š = ( I β€˜Word (𝐼 Γ— 2o))
frgpup.r ∼ = ( ~FG β€˜πΌ)
frgpup.g 𝐺 = (freeGrpβ€˜πΌ)
frgpup.x 𝑋 = (Baseβ€˜πΊ)
frgpup.e 𝐸 = ran (𝑔 ∈ π‘Š ↦ ⟨[𝑔] ∼ , (𝐻 Ξ£g (𝑇 ∘ 𝑔))⟩)
frgpup.u π‘ˆ = (varFGrpβ€˜πΌ)
frgpup.y (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝐼)
Assertion
Ref Expression
frgpup2 (πœ‘ β†’ (πΈβ€˜(π‘ˆβ€˜π΄)) = (πΉβ€˜π΄))
Distinct variable groups:   𝑦,𝑔,𝑧,𝐴   𝑔,𝐻   𝑦,𝐹,𝑧   𝑦,𝑁,𝑧   𝐡,𝑔,𝑦,𝑧   𝑇,𝑔   ∼ ,𝑔   πœ‘,𝑔,𝑦,𝑧   𝑦,𝐼,𝑧   𝑔,π‘Š
Allowed substitution hints:   ∼ (𝑦,𝑧)   𝑇(𝑦,𝑧)   π‘ˆ(𝑦,𝑧,𝑔)   𝐸(𝑦,𝑧,𝑔)   𝐹(𝑔)   𝐺(𝑦,𝑧,𝑔)   𝐻(𝑦,𝑧)   𝐼(𝑔)   𝑁(𝑔)   𝑉(𝑦,𝑧,𝑔)   π‘Š(𝑦,𝑧)   𝑋(𝑦,𝑧,𝑔)

Proof of Theorem frgpup2
StepHypRef Expression
1 frgpup.i . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
2 frgpup.y . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝐼)
3 frgpup.r . . . . 5 ∼ = ( ~FG β€˜πΌ)
4 frgpup.u . . . . 5 π‘ˆ = (varFGrpβ€˜πΌ)
53, 4vrgpval 19629 . . . 4 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) β†’ (π‘ˆβ€˜π΄) = [βŸ¨β€œβŸ¨π΄, βˆ…βŸ©β€βŸ©] ∼ )
61, 2, 5syl2anc 584 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘ˆβ€˜π΄) = [βŸ¨β€œβŸ¨π΄, βˆ…βŸ©β€βŸ©] ∼ )
76fveq2d 6892 . 2 (πœ‘ β†’ (πΈβ€˜(π‘ˆβ€˜π΄)) = (πΈβ€˜[βŸ¨β€œβŸ¨π΄, βˆ…βŸ©β€βŸ©] ∼ ))
8 0ex 5306 . . . . . . . 8 βˆ… ∈ V
98prid1 4765 . . . . . . 7 βˆ… ∈ {βˆ…, 1o}
10 df2o3 8470 . . . . . . 7 2o = {βˆ…, 1o}
119, 10eleqtrri 2832 . . . . . 6 βˆ… ∈ 2o
12 opelxpi 5712 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ 𝐼 ∧ βˆ… ∈ 2o) β†’ ⟨𝐴, βˆ…βŸ© ∈ (𝐼 Γ— 2o))
132, 11, 12sylancl 586 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ⟨𝐴, βˆ…βŸ© ∈ (𝐼 Γ— 2o))
1413s1cld 14549 . . . 4 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œβŸ¨π΄, βˆ…βŸ©β€βŸ© ∈ Word (𝐼 Γ— 2o))
15 frgpup.w . . . . 5 π‘Š = ( I β€˜Word (𝐼 Γ— 2o))
16 2on 8476 . . . . . . 7 2o ∈ On
17 xpexg 7733 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 2o ∈ On) β†’ (𝐼 Γ— 2o) ∈ V)
181, 16, 17sylancl 586 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐼 Γ— 2o) ∈ V)
19 wrdexg 14470 . . . . . 6 ((𝐼 Γ— 2o) ∈ V β†’ Word (𝐼 Γ— 2o) ∈ V)
20 fvi 6964 . . . . . 6 (Word (𝐼 Γ— 2o) ∈ V β†’ ( I β€˜Word (𝐼 Γ— 2o)) = Word (𝐼 Γ— 2o))
2118, 19, 203syl 18 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ( I β€˜Word (𝐼 Γ— 2o)) = Word (𝐼 Γ— 2o))
2215, 21eqtrid 2784 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Š = Word (𝐼 Γ— 2o))
2314, 22eleqtrrd 2836 . . 3 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œβŸ¨π΄, βˆ…βŸ©β€βŸ© ∈ π‘Š)
24 frgpup.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜π»)
25 frgpup.n . . . 4 𝑁 = (invgβ€˜π»)
26 frgpup.t . . . 4 𝑇 = (𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ if(𝑧 = βˆ…, (πΉβ€˜π‘¦), (π‘β€˜(πΉβ€˜π‘¦))))
27 frgpup.h . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ Grp)
28 frgpup.a . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐼⟢𝐡)
29 frgpup.g . . . 4 𝐺 = (freeGrpβ€˜πΌ)
30 frgpup.x . . . 4 𝑋 = (Baseβ€˜πΊ)
31 frgpup.e . . . 4 𝐸 = ran (𝑔 ∈ π‘Š ↦ ⟨[𝑔] ∼ , (𝐻 Ξ£g (𝑇 ∘ 𝑔))⟩)
3224, 25, 26, 27, 1, 28, 15, 3, 29, 30, 31frgpupval 19636 . . 3 ((πœ‘ ∧ βŸ¨β€œβŸ¨π΄, βˆ…βŸ©β€βŸ© ∈ π‘Š) β†’ (πΈβ€˜[βŸ¨β€œβŸ¨π΄, βˆ…βŸ©β€βŸ©] ∼ ) = (𝐻 Ξ£g (𝑇 ∘ βŸ¨β€œβŸ¨π΄, βˆ…βŸ©β€βŸ©)))
3323, 32mpdan 685 . 2 (πœ‘ β†’ (πΈβ€˜[βŸ¨β€œβŸ¨π΄, βˆ…βŸ©β€βŸ©] ∼ ) = (𝐻 Ξ£g (𝑇 ∘ βŸ¨β€œβŸ¨π΄, βˆ…βŸ©β€βŸ©)))
3424, 25, 26, 27, 1, 28frgpuptf 19632 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑇:(𝐼 Γ— 2o)⟢𝐡)
35 s1co 14780 . . . . . 6 ((⟨𝐴, βˆ…βŸ© ∈ (𝐼 Γ— 2o) ∧ 𝑇:(𝐼 Γ— 2o)⟢𝐡) β†’ (𝑇 ∘ βŸ¨β€œβŸ¨π΄, βˆ…βŸ©β€βŸ©) = βŸ¨β€œ(π‘‡β€˜βŸ¨π΄, βˆ…βŸ©)β€βŸ©)
3613, 34, 35syl2anc 584 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑇 ∘ βŸ¨β€œβŸ¨π΄, βˆ…βŸ©β€βŸ©) = βŸ¨β€œ(π‘‡β€˜βŸ¨π΄, βˆ…βŸ©)β€βŸ©)
37 df-ov 7408 . . . . . . 7 (π΄π‘‡βˆ…) = (π‘‡β€˜βŸ¨π΄, βˆ…βŸ©)
38 iftrue 4533 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = βˆ… β†’ if(𝑧 = βˆ…, (πΉβ€˜π‘¦), (π‘β€˜(πΉβ€˜π‘¦))) = (πΉβ€˜π‘¦))
39 fveq2 6888 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝐴 β†’ (πΉβ€˜π‘¦) = (πΉβ€˜π΄))
4038, 39sylan9eqr 2794 . . . . . . . . 9 ((𝑦 = 𝐴 ∧ 𝑧 = βˆ…) β†’ if(𝑧 = βˆ…, (πΉβ€˜π‘¦), (π‘β€˜(πΉβ€˜π‘¦))) = (πΉβ€˜π΄))
41 fvex 6901 . . . . . . . . 9 (πΉβ€˜π΄) ∈ V
4240, 26, 41ovmpoa 7559 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ 𝐼 ∧ βˆ… ∈ 2o) β†’ (π΄π‘‡βˆ…) = (πΉβ€˜π΄))
432, 11, 42sylancl 586 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π΄π‘‡βˆ…) = (πΉβ€˜π΄))
4437, 43eqtr3id 2786 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘‡β€˜βŸ¨π΄, βˆ…βŸ©) = (πΉβ€˜π΄))
4544s1eqd 14547 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œ(π‘‡β€˜βŸ¨π΄, βˆ…βŸ©)β€βŸ© = βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π΄)β€βŸ©)
4636, 45eqtrd 2772 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑇 ∘ βŸ¨β€œβŸ¨π΄, βˆ…βŸ©β€βŸ©) = βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π΄)β€βŸ©)
4746oveq2d 7421 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐻 Ξ£g (𝑇 ∘ βŸ¨β€œβŸ¨π΄, βˆ…βŸ©β€βŸ©)) = (𝐻 Ξ£g βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π΄)β€βŸ©))
4828, 2ffvelcdmd 7084 . . . 4 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π΄) ∈ 𝐡)
4924gsumws1 18715 . . . 4 ((πΉβ€˜π΄) ∈ 𝐡 β†’ (𝐻 Ξ£g βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π΄)β€βŸ©) = (πΉβ€˜π΄))
5048, 49syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐻 Ξ£g βŸ¨β€œ(πΉβ€˜π΄)β€βŸ©) = (πΉβ€˜π΄))
5147, 50eqtrd 2772 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐻 Ξ£g (𝑇 ∘ βŸ¨β€œβŸ¨π΄, βˆ…βŸ©β€βŸ©)) = (πΉβ€˜π΄))
527, 33, 513eqtrd 2776 1 (πœ‘ β†’ (πΈβ€˜(π‘ˆβ€˜π΄)) = (πΉβ€˜π΄))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Vcvv 3474  βˆ…c0 4321  ifcif 4527  {cpr 4629  βŸ¨cop 4633   ↦ cmpt 5230   I cid 5572   Γ— cxp 5673  ran crn 5676   ∘ ccom 5679  Oncon0 6361  βŸΆwf 6536  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405   ∈ cmpo 7407  1oc1o 8455  2oc2o 8456  [cec 8697  Word cword 14460  βŸ¨β€œcs1 14541  Basecbs 17140   Ξ£g cgsu 17382  Grpcgrp 18815  invgcminusg 18816   ~FG cefg 19568  freeGrpcfrgp 19569  varFGrpcvrgp 19570
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-ot 4636  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8699  df-ec 8701  df-qs 8705  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-sup 9433  df-inf 9434  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-seq 13963  df-hash 14287  df-word 14461  df-concat 14517  df-s1 14542  df-substr 14587  df-pfx 14617  df-splice 14696  df-s2 14795  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-imas 17450  df-qus 17451  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-submnd 18668  df-frmd 18726  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-efg 19571  df-frgp 19572  df-vrgp 19573
This theorem is referenced by:  frgpup3  19640
  Copyright terms: Public domain W3C validator