Theorem frgpup2 19818

Description: The evaluation map has the intended behavior on the generators. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Feb-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
frgpup.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐻)
frgpup.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝐻)
frgpup.t	⊢ 𝑇 = (𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ if(𝑧 = ∅, (𝐹‘𝑦), (𝑁‘(𝐹‘𝑦))))
frgpup.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ Grp)
frgpup.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
frgpup.a	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐼⟶𝐵)
frgpup.w	⊢ 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
frgpup.r	⊢ ∼ = ( ~FG ‘𝐼)
frgpup.g	⊢ 𝐺 = (freeGrp‘𝐼)
frgpup.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
frgpup.e	⊢ 𝐸 = ran (𝑔 ∈ 𝑊 ↦ ⟨[𝑔] ∼ , (𝐻 Σg (𝑇 ∘ 𝑔))⟩)
frgpup.u	⊢ 𝑈 = (varFGrp‘𝐼)
frgpup.y	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
frgpup2	⊢ (𝜑 → (𝐸‘(𝑈‘𝐴)) = (𝐹‘𝐴))

Distinct variable groups:   𝑦,𝑔,𝑧,𝐴   𝑔,𝐻   𝑦,𝐹,𝑧   𝑦,𝑁,𝑧   𝐵,𝑔,𝑦,𝑧   𝑇,𝑔   ∼ ,𝑔   𝜑,𝑔,𝑦,𝑧   𝑦,𝐼,𝑧   𝑔,𝑊

Allowed substitution hints:   ∼ (𝑦,𝑧)   𝑇(𝑦,𝑧)   𝑈(𝑦,𝑧,𝑔)   𝐸(𝑦,𝑧,𝑔)   𝐹(𝑔)   𝐺(𝑦,𝑧,𝑔)   𝐻(𝑦,𝑧)   𝐼(𝑔)   𝑁(𝑔)   𝑉(𝑦,𝑧,𝑔)   𝑊(𝑦,𝑧)   𝑋(𝑦,𝑧,𝑔)

Proof of Theorem frgpup2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frgpup.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
2		frgpup.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐼)
3		frgpup.r	. . . . 5 ⊢ ∼ = ( ~FG ‘𝐼)
4		frgpup.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (varFGrp‘𝐼)
5	3, 4	vrgpval 19809	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) → (𝑈‘𝐴) = [⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩] ∼ )
6	1, 2, 5	syl2anc 583	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑈‘𝐴) = [⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩] ∼ )
7	6	fveq2d 6924	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘(𝑈‘𝐴)) = (𝐸‘[⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩] ∼ ))
8		0ex 5325	. . . . . . . 8 ⊢ ∅ ∈ V
9	8	prid1 4787	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ∈ {∅, 1o}
10		df2o3 8530	. . . . . . 7 ⊢ 2o = {∅, 1o}
11	9, 10	eleqtrri 2843	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ 2o
12		opelxpi 5737	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐼 ∧ ∅ ∈ 2o) → ⟨𝐴, ∅⟩ ∈ (𝐼 × 2o))
13	2, 11, 12	sylancl 585	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ⟨𝐴, ∅⟩ ∈ (𝐼 × 2o))
14	13	s1cld 14651	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩ ∈ Word (𝐼 × 2o))
15		frgpup.w	. . . . 5 ⊢ 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
16		2on 8536	. . . . . . 7 ⊢ 2o ∈ On
17		xpexg 7785	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 2o ∈ On) → (𝐼 × 2o) ∈ V)
18	1, 16, 17	sylancl 585	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐼 × 2o) ∈ V)
19		wrdexg 14572	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 × 2o) ∈ V → Word (𝐼 × 2o) ∈ V)
20		fvi 6998	. . . . . 6 ⊢ (Word (𝐼 × 2o) ∈ V → ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) = Word (𝐼 × 2o))
21	18, 19, 20	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) = Word (𝐼 × 2o))
22	15, 21	eqtrid 2792	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 = Word (𝐼 × 2o))
23	14, 22	eleqtrrd 2847	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩ ∈ 𝑊)
24		frgpup.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐻)
25		frgpup.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝐻)
26		frgpup.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = (𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ if(𝑧 = ∅, (𝐹‘𝑦), (𝑁‘(𝐹‘𝑦))))
27		frgpup.h	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ Grp)
28		frgpup.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐼⟶𝐵)
29		frgpup.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (freeGrp‘𝐼)
30		frgpup.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
31		frgpup.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = ran (𝑔 ∈ 𝑊 ↦ ⟨[𝑔] ∼ , (𝐻 Σg (𝑇 ∘ 𝑔))⟩)
32	24, 25, 26, 27, 1, 28, 15, 3, 29, 30, 31	frgpupval 19816	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩ ∈ 𝑊) → (𝐸‘[⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩] ∼ ) = (𝐻 Σg (𝑇 ∘ ⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩)))
33	23, 32	mpdan 686	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘[⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩] ∼ ) = (𝐻 Σg (𝑇 ∘ ⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩)))
34	24, 25, 26, 27, 1, 28	frgpuptf 19812	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑇:(𝐼 × 2o)⟶𝐵)
35		s1co 14882	. . . . . 6 ⊢ ((⟨𝐴, ∅⟩ ∈ (𝐼 × 2o) ∧ 𝑇:(𝐼 × 2o)⟶𝐵) → (𝑇 ∘ ⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩) = ⟨“(𝑇‘⟨𝐴, ∅⟩)”⟩)
36	13, 34, 35	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ∘ ⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩) = ⟨“(𝑇‘⟨𝐴, ∅⟩)”⟩)
37		df-ov 7451	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴𝑇∅) = (𝑇‘⟨𝐴, ∅⟩)
38		iftrue 4554	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = ∅ → if(𝑧 = ∅, (𝐹‘𝑦), (𝑁‘(𝐹‘𝑦))) = (𝐹‘𝑦))
39		fveq2 6920	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝐴))
40	38, 39	sylan9eqr 2802	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 = 𝐴 ∧ 𝑧 = ∅) → if(𝑧 = ∅, (𝐹‘𝑦), (𝑁‘(𝐹‘𝑦))) = (𝐹‘𝐴))
41		fvex 6933	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹‘𝐴) ∈ V
42	40, 26, 41	ovmpoa 7605	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐼 ∧ ∅ ∈ 2o) → (𝐴𝑇∅) = (𝐹‘𝐴))
43	2, 11, 42	sylancl 585	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝑇∅) = (𝐹‘𝐴))
44	37, 43	eqtr3id 2794	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑇‘⟨𝐴, ∅⟩) = (𝐹‘𝐴))
45	44	s1eqd 14649	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ⟨“(𝑇‘⟨𝐴, ∅⟩)”⟩ = ⟨“(𝐹‘𝐴)”⟩)
46	36, 45	eqtrd 2780	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ∘ ⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩) = ⟨“(𝐹‘𝐴)”⟩)
47	46	oveq2d 7464	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐻 Σg (𝑇 ∘ ⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩)) = (𝐻 Σg ⟨“(𝐹‘𝐴)”⟩))
48	28, 2	ffvelcdmd 7119	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) ∈ 𝐵)
49	24	gsumws1 18873	. . . 4 ⊢ ((𝐹‘𝐴) ∈ 𝐵 → (𝐻 Σg ⟨“(𝐹‘𝐴)”⟩) = (𝐹‘𝐴))
50	48, 49	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐻 Σg ⟨“(𝐹‘𝐴)”⟩) = (𝐹‘𝐴))
51	47, 50	eqtrd 2780	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐻 Σg (𝑇 ∘ ⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩)) = (𝐹‘𝐴))
52	7, 33, 51	3eqtrd 2784	1 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘(𝑈‘𝐴)) = (𝐹‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  Vcvv 3488  ∅c0 4352  ifcif 4548  {cpr 4650  ⟨cop 4654   ↦ cmpt 5249   I cid 5592   × cxp 5698  ran crn 5701   ∘ ccom 5704  Oncon0 6395  ⟶wf 6569  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448   ∈ cmpo 7450  1_oc1o 8515  2_oc2o 8516  [cec 8761  Word cword 14562  ⟨“cs1 14643  Basecbs 17258   Σ_g cgsu 17500  Grpcgrp 18973  inv_gcminusg 18974   ~_FG cefg 19748  freeGrpcfrgp 19749  var_FGrpcvrgp 19750

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-ot 4657  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-iin 5018  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-2o 8523  df-er 8763  df-ec 8765  df-qs 8769  df-map 8886  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-sup 9511  df-inf 9512  df-card 10008  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-9 12363  df-n0 12554  df-z 12640  df-dec 12759  df-uz 12904  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-seq 14053  df-hash 14380  df-word 14563  df-concat 14619  df-s1 14644  df-substr 14689  df-pfx 14719  df-splice 14798  df-s2 14897  df-struct 17194  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-ress 17288  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-ip 17329  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ds 17333  df-0g 17501  df-gsum 17502  df-imas 17568  df-qus 17569  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-submnd 18819  df-frmd 18884  df-grp 18976  df-minusg 18977  df-efg 19751  df-frgp 19752  df-vrgp 19753

This theorem is referenced by:  frgpup3  19820