Theorem frgpup2 19746

Description: The evaluation map has the intended behavior on the generators. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Feb-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
frgpup.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐻)
frgpup.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝐻)
frgpup.t	⊢ 𝑇 = (𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ if(𝑧 = ∅, (𝐹‘𝑦), (𝑁‘(𝐹‘𝑦))))
frgpup.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ Grp)
frgpup.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
frgpup.a	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐼⟶𝐵)
frgpup.w	⊢ 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
frgpup.r	⊢ ∼ = ( ~FG ‘𝐼)
frgpup.g	⊢ 𝐺 = (freeGrp‘𝐼)
frgpup.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
frgpup.e	⊢ 𝐸 = ran (𝑔 ∈ 𝑊 ↦ ⟨[𝑔] ∼ , (𝐻 Σg (𝑇 ∘ 𝑔))⟩)
frgpup.u	⊢ 𝑈 = (varFGrp‘𝐼)
frgpup.y	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
frgpup2	⊢ (𝜑 → (𝐸‘(𝑈‘𝐴)) = (𝐹‘𝐴))

Distinct variable groups:   𝑦,𝑔,𝑧,𝐴   𝑔,𝐻   𝑦,𝐹,𝑧   𝑦,𝑁,𝑧   𝐵,𝑔,𝑦,𝑧   𝑇,𝑔   ∼ ,𝑔   𝜑,𝑔,𝑦,𝑧   𝑦,𝐼,𝑧   𝑔,𝑊

Allowed substitution hints:   ∼ (𝑦,𝑧)   𝑇(𝑦,𝑧)   𝑈(𝑦,𝑧,𝑔)   𝐸(𝑦,𝑧,𝑔)   𝐹(𝑔)   𝐺(𝑦,𝑧,𝑔)   𝐻(𝑦,𝑧)   𝐼(𝑔)   𝑁(𝑔)   𝑉(𝑦,𝑧,𝑔)   𝑊(𝑦,𝑧)   𝑋(𝑦,𝑧,𝑔)

Proof of Theorem frgpup2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frgpup.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
2		frgpup.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐼)
3		frgpup.r	. . . . 5 ⊢ ∼ = ( ~FG ‘𝐼)
4		frgpup.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (varFGrp‘𝐼)
5	3, 4	vrgpval 19737	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) → (𝑈‘𝐴) = [⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩] ∼ )
6	1, 2, 5	syl2anc 591	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑈‘𝐴) = [⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩] ∼ )
7	6	fveq2d 6835	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘(𝑈‘𝐴)) = (𝐸‘[⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩] ∼ ))
8		0ex 5232	. . . . . . . 8 ⊢ ∅ ∈ V
9	8	prid1 4697	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ∈ {∅, 1o}
10		df2o3 8407	. . . . . . 7 ⊢ 2o = {∅, 1o}
11	9, 10	eleqtrri 2840	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ 2o
12		opelxpi 5658	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐼 ∧ ∅ ∈ 2o) → ⟨𝐴, ∅⟩ ∈ (𝐼 × 2o))
13	2, 11, 12	sylancl 593	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ⟨𝐴, ∅⟩ ∈ (𝐼 × 2o))
14	13	s1cld 14561	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩ ∈ Word (𝐼 × 2o))
15		frgpup.w	. . . . 5 ⊢ 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
16		2on 8412	. . . . . . 7 ⊢ 2o ∈ On
17		xpexg 7697	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 2o ∈ On) → (𝐼 × 2o) ∈ V)
18	1, 16, 17	sylancl 593	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐼 × 2o) ∈ V)
19		wrdexg 14481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 × 2o) ∈ V → Word (𝐼 × 2o) ∈ V)
20		fvi 6907	. . . . . 6 ⊢ (Word (𝐼 × 2o) ∈ V → ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) = Word (𝐼 × 2o))
21	18, 19, 20	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) = Word (𝐼 × 2o))
22	15, 21	eqtrid 2788	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 = Word (𝐼 × 2o))
23	14, 22	eleqtrrd 2844	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩ ∈ 𝑊)
24		frgpup.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐻)
25		frgpup.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝐻)
26		frgpup.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = (𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ if(𝑧 = ∅, (𝐹‘𝑦), (𝑁‘(𝐹‘𝑦))))
27		frgpup.h	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ Grp)
28		frgpup.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐼⟶𝐵)
29		frgpup.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (freeGrp‘𝐼)
30		frgpup.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
31		frgpup.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = ran (𝑔 ∈ 𝑊 ↦ ⟨[𝑔] ∼ , (𝐻 Σg (𝑇 ∘ 𝑔))⟩)
32	24, 25, 26, 27, 1, 28, 15, 3, 29, 30, 31	frgpupval 19744	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩ ∈ 𝑊) → (𝐸‘[⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩] ∼ ) = (𝐻 Σg (𝑇 ∘ ⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩)))
33	23, 32	mpdan 694	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘[⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩] ∼ ) = (𝐻 Σg (𝑇 ∘ ⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩)))
34	24, 25, 26, 27, 1, 28	frgpuptf 19740	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑇:(𝐼 × 2o)⟶𝐵)
35		s1co 14790	. . . . . 6 ⊢ ((⟨𝐴, ∅⟩ ∈ (𝐼 × 2o) ∧ 𝑇:(𝐼 × 2o)⟶𝐵) → (𝑇 ∘ ⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩) = ⟨“(𝑇‘⟨𝐴, ∅⟩)”⟩)
36	13, 34, 35	syl2anc 591	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ∘ ⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩) = ⟨“(𝑇‘⟨𝐴, ∅⟩)”⟩)
37		df-ov 7363	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴𝑇∅) = (𝑇‘⟨𝐴, ∅⟩)
38		iftrue 4463	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = ∅ → if(𝑧 = ∅, (𝐹‘𝑦), (𝑁‘(𝐹‘𝑦))) = (𝐹‘𝑦))
39		fveq2 6831	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝐴))
40	38, 39	sylan9eqr 2798	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 = 𝐴 ∧ 𝑧 = ∅) → if(𝑧 = ∅, (𝐹‘𝑦), (𝑁‘(𝐹‘𝑦))) = (𝐹‘𝐴))
41		fvex 6844	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹‘𝐴) ∈ V
42	40, 26, 41	ovmpoa 7515	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐼 ∧ ∅ ∈ 2o) → (𝐴𝑇∅) = (𝐹‘𝐴))
43	2, 11, 42	sylancl 593	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝑇∅) = (𝐹‘𝐴))
44	37, 43	eqtr3id 2790	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑇‘⟨𝐴, ∅⟩) = (𝐹‘𝐴))
45	44	s1eqd 14559	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ⟨“(𝑇‘⟨𝐴, ∅⟩)”⟩ = ⟨“(𝐹‘𝐴)”⟩)
46	36, 45	eqtrd 2776	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ∘ ⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩) = ⟨“(𝐹‘𝐴)”⟩)
47	46	oveq2d 7376	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐻 Σg (𝑇 ∘ ⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩)) = (𝐻 Σg ⟨“(𝐹‘𝐴)”⟩))
48	28, 2	ffvelcdmd 7030	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) ∈ 𝐵)
49	24	gsumws1 18801	. . . 4 ⊢ ((𝐹‘𝐴) ∈ 𝐵 → (𝐻 Σg ⟨“(𝐹‘𝐴)”⟩) = (𝐹‘𝐴))
50	48, 49	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐻 Σg ⟨“(𝐹‘𝐴)”⟩) = (𝐹‘𝐴))
51	47, 50	eqtrd 2776	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐻 Σg (𝑇 ∘ ⟨“⟨𝐴, ∅⟩”⟩)) = (𝐹‘𝐴))
52	7, 33, 51	3eqtrd 2780	1 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘(𝑈‘𝐴)) = (𝐹‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1548   ∈ wcel 2121  Vcvv 3433  ∅c0 4264  ifcif 4457  {cpr 4560  ⟨cop 4564   ↦ cmpt 5156   I cid 5515   × cxp 5619  ran crn 5622   ∘ ccom 5625  Oncon0 6314  ⟶wf 6485  ‘cfv 6489  (class class class)co 7360   ∈ cmpo 7362  1_oc1o 8392  2_oc2o 8393  [cec 8635  Word cword 14470  ⟨“cs1 14553  Basecbs 17174   Σ_g cgsu 17398  Grpcgrp 18904  inv_gcminusg 18905   ~_FG cefg 19676  freeGrpcfrgp 19677  var_FGrpcvrgp 19678

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-rep 5202  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-ot 4567  df-uni 4842  df-int 4881  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-tr 5183  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-2o 8400  df-er 8637  df-ec 8639  df-qs 8643  df-map 8769  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-sup 9349  df-inf 9350  df-card 9858  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-4 12241  df-5 12242  df-6 12243  df-7 12244  df-8 12245  df-9 12246  df-n0 12433  df-z 12520  df-dec 12640  df-uz 12784  df-fz 13457  df-fzo 13604  df-seq 13959  df-hash 14288  df-word 14471  df-concat 14528  df-s1 14554  df-substr 14599  df-pfx 14629  df-splice 14707  df-s2 14805  df-struct 17112  df-sets 17129  df-slot 17147  df-ndx 17159  df-base 17175  df-ress 17196  df-plusg 17228  df-mulr 17229  df-sca 17231  df-vsca 17232  df-ip 17233  df-tset 17234  df-ple 17235  df-ds 17237  df-0g 17399  df-gsum 17400  df-imas 17467  df-qus 17468  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-submnd 18747  df-frmd 18812  df-grp 18907  df-minusg 18908  df-efg 19679  df-frgp 19680  df-vrgp 19681

This theorem is referenced by:  frgpup3  19748