MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frmdup2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frmdup2 18790
Description: The evaluation map has the intended behavior on the generators. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
frmdup.m 𝑀 = (freeMndβ€˜πΌ)
frmdup.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
frmdup.e 𝐸 = (π‘₯ ∈ Word 𝐼 ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐴 ∘ π‘₯)))
frmdup.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ Mnd)
frmdup.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑋)
frmdup.a (πœ‘ β†’ 𝐴:𝐼⟢𝐡)
frmdup2.u π‘ˆ = (varFMndβ€˜πΌ)
frmdup2.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝐼)
Assertion
Ref Expression
frmdup2 (πœ‘ β†’ (πΈβ€˜(π‘ˆβ€˜π‘Œ)) = (π΄β€˜π‘Œ))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝐡   π‘₯,𝐺   πœ‘,π‘₯   π‘₯,π‘Œ   π‘₯,𝐼
Allowed substitution hints:   π‘ˆ(π‘₯)   𝐸(π‘₯)   𝑀(π‘₯)   𝑋(π‘₯)

Proof of Theorem frmdup2
StepHypRef Expression
1 frmdup.i . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑋)
2 frmdup2.y . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝐼)
3 frmdup2.u . . . . 5 π‘ˆ = (varFMndβ€˜πΌ)
43vrmdval 18782 . . . 4 ((𝐼 ∈ 𝑋 ∧ π‘Œ ∈ 𝐼) β†’ (π‘ˆβ€˜π‘Œ) = βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©)
51, 2, 4syl2anc 583 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘ˆβ€˜π‘Œ) = βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©)
65fveq2d 6889 . 2 (πœ‘ β†’ (πΈβ€˜(π‘ˆβ€˜π‘Œ)) = (πΈβ€˜βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©))
72s1cld 14559 . . . 4 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ© ∈ Word 𝐼)
8 coeq2 5852 . . . . . 6 (π‘₯ = βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ© β†’ (𝐴 ∘ π‘₯) = (𝐴 ∘ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©))
98oveq2d 7421 . . . . 5 (π‘₯ = βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ© β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐴 ∘ π‘₯)) = (𝐺 Ξ£g (𝐴 ∘ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©)))
10 frmdup.e . . . . 5 𝐸 = (π‘₯ ∈ Word 𝐼 ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐴 ∘ π‘₯)))
11 ovex 7438 . . . . 5 (𝐺 Ξ£g (𝐴 ∘ π‘₯)) ∈ V
129, 10, 11fvmpt3i 6997 . . . 4 (βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ© ∈ Word 𝐼 β†’ (πΈβ€˜βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©) = (𝐺 Ξ£g (𝐴 ∘ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©)))
137, 12syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ (πΈβ€˜βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©) = (𝐺 Ξ£g (𝐴 ∘ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©)))
14 frmdup.a . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴:𝐼⟢𝐡)
15 s1co 14790 . . . . 5 ((π‘Œ ∈ 𝐼 ∧ 𝐴:𝐼⟢𝐡) β†’ (𝐴 ∘ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©) = βŸ¨β€œ(π΄β€˜π‘Œ)β€βŸ©)
162, 14, 15syl2anc 583 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∘ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©) = βŸ¨β€œ(π΄β€˜π‘Œ)β€βŸ©)
1716oveq2d 7421 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐴 ∘ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©)) = (𝐺 Ξ£g βŸ¨β€œ(π΄β€˜π‘Œ)β€βŸ©))
1814, 2ffvelcdmd 7081 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π΄β€˜π‘Œ) ∈ 𝐡)
19 frmdup.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
2019gsumws1 18763 . . . 4 ((π΄β€˜π‘Œ) ∈ 𝐡 β†’ (𝐺 Ξ£g βŸ¨β€œ(π΄β€˜π‘Œ)β€βŸ©) = (π΄β€˜π‘Œ))
2118, 20syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐺 Ξ£g βŸ¨β€œ(π΄β€˜π‘Œ)β€βŸ©) = (π΄β€˜π‘Œ))
2213, 17, 213eqtrd 2770 . 2 (πœ‘ β†’ (πΈβ€˜βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©) = (π΄β€˜π‘Œ))
236, 22eqtrd 2766 1 (πœ‘ β†’ (πΈβ€˜(π‘ˆβ€˜π‘Œ)) = (π΄β€˜π‘Œ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ↦ cmpt 5224   ∘ ccom 5673  βŸΆwf 6533  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  Word cword 14470  βŸ¨β€œcs1 14551  Basecbs 17153   Ξ£g cgsu 17395  Mndcmnd 18667  freeMndcfrmd 18772  varFMndcvrmd 18773
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-seq 13973  df-word 14471  df-s1 14552  df-0g 17396  df-gsum 17397  df-vrmd 18775
This theorem is referenced by:  frmdup3  18792
  Copyright terms: Public domain W3C validator