Theorem frmdup2 18798

Description: The evaluation map has the intended behavior on the generators. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
frmdup.m	⊢ 𝑀 = (freeMnd‘𝐼)
frmdup.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
frmdup.e	⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ Word 𝐼 ↦ (𝐺 Σg (𝐴 ∘ 𝑥)))
frmdup.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
frmdup.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑋)
frmdup.a	⊢ (𝜑 → 𝐴:𝐼⟶𝐵)
frmdup2.u	⊢ 𝑈 = (varFMnd‘𝐼)
frmdup2.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
frmdup2	⊢ (𝜑 → (𝐸‘(𝑈‘𝑌)) = (𝐴‘𝑌))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐺   𝜑,𝑥   𝑥,𝑌   𝑥,𝐼

Allowed substitution hints:   𝑈(𝑥)   𝐸(𝑥)   𝑀(𝑥)   𝑋(𝑥)

Proof of Theorem frmdup2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frmdup.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑋)
2		frmdup2.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐼)
3		frmdup2.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (varFMnd‘𝐼)
4	3	vrmdval 18790	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) → (𝑈‘𝑌) = ⟨“𝑌”⟩)
5	1, 2, 4	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑈‘𝑌) = ⟨“𝑌”⟩)
6	5	fveq2d 6864	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘(𝑈‘𝑌)) = (𝐸‘⟨“𝑌”⟩))
7	2	s1cld 14574	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝑌”⟩ ∈ Word 𝐼)
8		coeq2 5824	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ⟨“𝑌”⟩ → (𝐴 ∘ 𝑥) = (𝐴 ∘ ⟨“𝑌”⟩))
9	8	oveq2d 7405	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = ⟨“𝑌”⟩ → (𝐺 Σg (𝐴 ∘ 𝑥)) = (𝐺 Σg (𝐴 ∘ ⟨“𝑌”⟩)))
10		frmdup.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ Word 𝐼 ↦ (𝐺 Σg (𝐴 ∘ 𝑥)))
11		ovex 7422	. . . . 5 ⊢ (𝐺 Σg (𝐴 ∘ 𝑥)) ∈ V
12	9, 10, 11	fvmpt3i 6975	. . . 4 ⊢ (⟨“𝑌”⟩ ∈ Word 𝐼 → (𝐸‘⟨“𝑌”⟩) = (𝐺 Σg (𝐴 ∘ ⟨“𝑌”⟩)))
13	7, 12	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘⟨“𝑌”⟩) = (𝐺 Σg (𝐴 ∘ ⟨“𝑌”⟩)))
14		frmdup.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴:𝐼⟶𝐵)
15		s1co 14805	. . . . 5 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝐼 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐵) → (𝐴 ∘ ⟨“𝑌”⟩) = ⟨“(𝐴‘𝑌)”⟩)
16	2, 14, 15	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∘ ⟨“𝑌”⟩) = ⟨“(𝐴‘𝑌)”⟩)
17	16	oveq2d 7405	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐴 ∘ ⟨“𝑌”⟩)) = (𝐺 Σg ⟨“(𝐴‘𝑌)”⟩))
18	14, 2	ffvelcdmd 7059	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝑌) ∈ 𝐵)
19		frmdup.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
20	19	gsumws1 18771	. . . 4 ⊢ ((𝐴‘𝑌) ∈ 𝐵 → (𝐺 Σg ⟨“(𝐴‘𝑌)”⟩) = (𝐴‘𝑌))
21	18, 20	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg ⟨“(𝐴‘𝑌)”⟩) = (𝐴‘𝑌))
22	13, 17, 21	3eqtrd 2769	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘⟨“𝑌”⟩) = (𝐴‘𝑌))
23	6, 22	eqtrd 2765	1 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘(𝑈‘𝑌)) = (𝐴‘𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ↦ cmpt 5190   ∘ ccom 5644  ⟶wf 6509  ‘cfv 6513  (class class class)co 7389  Word cword 14484  ⟨“cs1 14566  Basecbs 17185   Σ_g cgsu 17409  Mndcmnd 18667  freeMndcfrmd 18780  var_FMndcvrmd 18781

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5263  ax-pow 5322  ax-pr 5389  ax-un 7713  ax-cnex 11130  ax-resscn 11131  ax-1cn 11132  ax-icn 11133  ax-addcl 11134  ax-addrcl 11135  ax-mulcl 11136  ax-mulrcl 11137  ax-mulcom 11138  ax-addass 11139  ax-mulass 11140  ax-distr 11141  ax-i2m1 11142  ax-1ne0 11143  ax-1rid 11144  ax-rnegex 11145  ax-rrecex 11146  ax-cnre 11147  ax-pre-lttri 11148  ax-pre-lttrn 11149  ax-pre-ltadd 11150  ax-pre-mulgt0 11151

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3756  df-csb 3865  df-dif 3919  df-un 3921  df-in 3923  df-ss 3933  df-pss 3936  df-nul 4299  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6276  df-ord 6337  df-on 6338  df-lim 6339  df-suc 6340  df-iota 6466  df-fun 6515  df-fn 6516  df-f 6517  df-f1 6518  df-fo 6519  df-f1o 6520  df-fv 6521  df-riota 7346  df-ov 7392  df-oprab 7393  df-mpo 7394  df-om 7845  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8380  df-er 8673  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-pnf 11216  df-mnf 11217  df-xr 11218  df-ltxr 11219  df-le 11220  df-sub 11413  df-neg 11414  df-nn 12188  df-n0 12449  df-z 12536  df-uz 12800  df-fz 13475  df-fzo 13622  df-seq 13973  df-word 14485  df-s1 14567  df-0g 17410  df-gsum 17411  df-vrmd 18783

This theorem is referenced by:  frmdup3  18800