MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frmdup2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frmdup2 18824
Description: The evaluation map has the intended behavior on the generators. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
frmdup.m 𝑀 = (freeMndβ€˜πΌ)
frmdup.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
frmdup.e 𝐸 = (π‘₯ ∈ Word 𝐼 ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐴 ∘ π‘₯)))
frmdup.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ Mnd)
frmdup.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑋)
frmdup.a (πœ‘ β†’ 𝐴:𝐼⟢𝐡)
frmdup2.u π‘ˆ = (varFMndβ€˜πΌ)
frmdup2.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝐼)
Assertion
Ref Expression
frmdup2 (πœ‘ β†’ (πΈβ€˜(π‘ˆβ€˜π‘Œ)) = (π΄β€˜π‘Œ))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝐡   π‘₯,𝐺   πœ‘,π‘₯   π‘₯,π‘Œ   π‘₯,𝐼
Allowed substitution hints:   π‘ˆ(π‘₯)   𝐸(π‘₯)   𝑀(π‘₯)   𝑋(π‘₯)

Proof of Theorem frmdup2
StepHypRef Expression
1 frmdup.i . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑋)
2 frmdup2.y . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝐼)
3 frmdup2.u . . . . 5 π‘ˆ = (varFMndβ€˜πΌ)
43vrmdval 18816 . . . 4 ((𝐼 ∈ 𝑋 ∧ π‘Œ ∈ 𝐼) β†’ (π‘ˆβ€˜π‘Œ) = βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©)
51, 2, 4syl2anc 582 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘ˆβ€˜π‘Œ) = βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©)
65fveq2d 6906 . 2 (πœ‘ β†’ (πΈβ€˜(π‘ˆβ€˜π‘Œ)) = (πΈβ€˜βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©))
72s1cld 14593 . . . 4 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ© ∈ Word 𝐼)
8 coeq2 5865 . . . . . 6 (π‘₯ = βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ© β†’ (𝐴 ∘ π‘₯) = (𝐴 ∘ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©))
98oveq2d 7442 . . . . 5 (π‘₯ = βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ© β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐴 ∘ π‘₯)) = (𝐺 Ξ£g (𝐴 ∘ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©)))
10 frmdup.e . . . . 5 𝐸 = (π‘₯ ∈ Word 𝐼 ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐴 ∘ π‘₯)))
11 ovex 7459 . . . . 5 (𝐺 Ξ£g (𝐴 ∘ π‘₯)) ∈ V
129, 10, 11fvmpt3i 7015 . . . 4 (βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ© ∈ Word 𝐼 β†’ (πΈβ€˜βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©) = (𝐺 Ξ£g (𝐴 ∘ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©)))
137, 12syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ (πΈβ€˜βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©) = (𝐺 Ξ£g (𝐴 ∘ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©)))
14 frmdup.a . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴:𝐼⟢𝐡)
15 s1co 14824 . . . . 5 ((π‘Œ ∈ 𝐼 ∧ 𝐴:𝐼⟢𝐡) β†’ (𝐴 ∘ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©) = βŸ¨β€œ(π΄β€˜π‘Œ)β€βŸ©)
162, 14, 15syl2anc 582 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∘ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©) = βŸ¨β€œ(π΄β€˜π‘Œ)β€βŸ©)
1716oveq2d 7442 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐴 ∘ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©)) = (𝐺 Ξ£g βŸ¨β€œ(π΄β€˜π‘Œ)β€βŸ©))
1814, 2ffvelcdmd 7100 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π΄β€˜π‘Œ) ∈ 𝐡)
19 frmdup.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
2019gsumws1 18797 . . . 4 ((π΄β€˜π‘Œ) ∈ 𝐡 β†’ (𝐺 Ξ£g βŸ¨β€œ(π΄β€˜π‘Œ)β€βŸ©) = (π΄β€˜π‘Œ))
2118, 20syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐺 Ξ£g βŸ¨β€œ(π΄β€˜π‘Œ)β€βŸ©) = (π΄β€˜π‘Œ))
2213, 17, 213eqtrd 2772 . 2 (πœ‘ β†’ (πΈβ€˜βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©) = (π΄β€˜π‘Œ))
236, 22eqtrd 2768 1 (πœ‘ β†’ (πΈβ€˜(π‘ˆβ€˜π‘Œ)) = (π΄β€˜π‘Œ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ↦ cmpt 5235   ∘ ccom 5686  βŸΆwf 6549  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  Word cword 14504  βŸ¨β€œcs1 14585  Basecbs 17187   Ξ£g cgsu 17429  Mndcmnd 18701  freeMndcfrmd 18806  varFMndcvrmd 18807
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-seq 14007  df-word 14505  df-s1 14586  df-0g 17430  df-gsum 17431  df-vrmd 18809
This theorem is referenced by:  frmdup3  18826
  Copyright terms: Public domain W3C validator