Theorem frmdup2 18745

Description: The evaluation map has the intended behavior on the generators. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
frmdup.m	⊢ 𝑀 = (freeMnd‘𝐼)
frmdup.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
frmdup.e	⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ Word 𝐼 ↦ (𝐺 Σg (𝐴 ∘ 𝑥)))
frmdup.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
frmdup.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑋)
frmdup.a	⊢ (𝜑 → 𝐴:𝐼⟶𝐵)
frmdup2.u	⊢ 𝑈 = (varFMnd‘𝐼)
frmdup2.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
frmdup2	⊢ (𝜑 → (𝐸‘(𝑈‘𝑌)) = (𝐴‘𝑌))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐺   𝜑,𝑥   𝑥,𝑌   𝑥,𝐼

Allowed substitution hints:   𝑈(𝑥)   𝐸(𝑥)   𝑀(𝑥)   𝑋(𝑥)

Proof of Theorem frmdup2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frmdup.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑋)
2		frmdup2.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐼)
3		frmdup2.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (varFMnd‘𝐼)
4	3	vrmdval 18737	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) → (𝑈‘𝑌) = ⟨“𝑌”⟩)
5	1, 2, 4	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑈‘𝑌) = ⟨“𝑌”⟩)
6	5	fveq2d 6895	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘(𝑈‘𝑌)) = (𝐸‘⟨“𝑌”⟩))
7	2	s1cld 14552	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝑌”⟩ ∈ Word 𝐼)
8		coeq2 5858	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ⟨“𝑌”⟩ → (𝐴 ∘ 𝑥) = (𝐴 ∘ ⟨“𝑌”⟩))
9	8	oveq2d 7424	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = ⟨“𝑌”⟩ → (𝐺 Σg (𝐴 ∘ 𝑥)) = (𝐺 Σg (𝐴 ∘ ⟨“𝑌”⟩)))
10		frmdup.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ Word 𝐼 ↦ (𝐺 Σg (𝐴 ∘ 𝑥)))
11		ovex 7441	. . . . 5 ⊢ (𝐺 Σg (𝐴 ∘ 𝑥)) ∈ V
12	9, 10, 11	fvmpt3i 7003	. . . 4 ⊢ (⟨“𝑌”⟩ ∈ Word 𝐼 → (𝐸‘⟨“𝑌”⟩) = (𝐺 Σg (𝐴 ∘ ⟨“𝑌”⟩)))
13	7, 12	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘⟨“𝑌”⟩) = (𝐺 Σg (𝐴 ∘ ⟨“𝑌”⟩)))
14		frmdup.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴:𝐼⟶𝐵)
15		s1co 14783	. . . . 5 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝐼 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐵) → (𝐴 ∘ ⟨“𝑌”⟩) = ⟨“(𝐴‘𝑌)”⟩)
16	2, 14, 15	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∘ ⟨“𝑌”⟩) = ⟨“(𝐴‘𝑌)”⟩)
17	16	oveq2d 7424	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐴 ∘ ⟨“𝑌”⟩)) = (𝐺 Σg ⟨“(𝐴‘𝑌)”⟩))
18	14, 2	ffvelcdmd 7087	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝑌) ∈ 𝐵)
19		frmdup.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
20	19	gsumws1 18718	. . . 4 ⊢ ((𝐴‘𝑌) ∈ 𝐵 → (𝐺 Σg ⟨“(𝐴‘𝑌)”⟩) = (𝐴‘𝑌))
21	18, 20	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg ⟨“(𝐴‘𝑌)”⟩) = (𝐴‘𝑌))
22	13, 17, 21	3eqtrd 2776	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘⟨“𝑌”⟩) = (𝐴‘𝑌))
23	6, 22	eqtrd 2772	1 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘(𝑈‘𝑌)) = (𝐴‘𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ↦ cmpt 5231   ∘ ccom 5680  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  (class class class)co 7408  Word cword 14463  ⟨“cs1 14544  Basecbs 17143   Σ_g cgsu 17385  Mndcmnd 18624  freeMndcfrmd 18727  var_FMndcvrmd 18728

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-fz 13484  df-fzo 13627  df-seq 13966  df-word 14464  df-s1 14545  df-0g 17386  df-gsum 17387  df-vrmd 18730

This theorem is referenced by:  frmdup3  18747