MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frmdup2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frmdup2 18024
Description: The evaluation map has the intended behavior on the generators. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
frmdup.m 𝑀 = (freeMnd‘𝐼)
frmdup.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
frmdup.e 𝐸 = (𝑥 ∈ Word 𝐼 ↦ (𝐺 Σg (𝐴𝑥)))
frmdup.g (𝜑𝐺 ∈ Mnd)
frmdup.i (𝜑𝐼𝑋)
frmdup.a (𝜑𝐴:𝐼𝐵)
frmdup2.u 𝑈 = (varFMnd𝐼)
frmdup2.y (𝜑𝑌𝐼)
Assertion
Ref Expression
frmdup2 (𝜑 → (𝐸‘(𝑈𝑌)) = (𝐴𝑌))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐺   𝜑,𝑥   𝑥,𝑌   𝑥,𝐼
Allowed substitution hints:   𝑈(𝑥)   𝐸(𝑥)   𝑀(𝑥)   𝑋(𝑥)

Proof of Theorem frmdup2
StepHypRef Expression
1 frmdup.i . . . 4 (𝜑𝐼𝑋)
2 frmdup2.y . . . 4 (𝜑𝑌𝐼)
3 frmdup2.u . . . . 5 𝑈 = (varFMnd𝐼)
43vrmdval 18016 . . . 4 ((𝐼𝑋𝑌𝐼) → (𝑈𝑌) = ⟨“𝑌”⟩)
51, 2, 4syl2anc 586 . . 3 (𝜑 → (𝑈𝑌) = ⟨“𝑌”⟩)
65fveq2d 6668 . 2 (𝜑 → (𝐸‘(𝑈𝑌)) = (𝐸‘⟨“𝑌”⟩))
72s1cld 13951 . . . 4 (𝜑 → ⟨“𝑌”⟩ ∈ Word 𝐼)
8 coeq2 5723 . . . . . 6 (𝑥 = ⟨“𝑌”⟩ → (𝐴𝑥) = (𝐴 ∘ ⟨“𝑌”⟩))
98oveq2d 7166 . . . . 5 (𝑥 = ⟨“𝑌”⟩ → (𝐺 Σg (𝐴𝑥)) = (𝐺 Σg (𝐴 ∘ ⟨“𝑌”⟩)))
10 frmdup.e . . . . 5 𝐸 = (𝑥 ∈ Word 𝐼 ↦ (𝐺 Σg (𝐴𝑥)))
11 ovex 7183 . . . . 5 (𝐺 Σg (𝐴𝑥)) ∈ V
129, 10, 11fvmpt3i 6767 . . . 4 (⟨“𝑌”⟩ ∈ Word 𝐼 → (𝐸‘⟨“𝑌”⟩) = (𝐺 Σg (𝐴 ∘ ⟨“𝑌”⟩)))
137, 12syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝐸‘⟨“𝑌”⟩) = (𝐺 Σg (𝐴 ∘ ⟨“𝑌”⟩)))
14 frmdup.a . . . . 5 (𝜑𝐴:𝐼𝐵)
15 s1co 14189 . . . . 5 ((𝑌𝐼𝐴:𝐼𝐵) → (𝐴 ∘ ⟨“𝑌”⟩) = ⟨“(𝐴𝑌)”⟩)
162, 14, 15syl2anc 586 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 ∘ ⟨“𝑌”⟩) = ⟨“(𝐴𝑌)”⟩)
1716oveq2d 7166 . . 3 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐴 ∘ ⟨“𝑌”⟩)) = (𝐺 Σg ⟨“(𝐴𝑌)”⟩))
1814, 2ffvelrnd 6846 . . . 4 (𝜑 → (𝐴𝑌) ∈ 𝐵)
19 frmdup.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐺)
2019gsumws1 17996 . . . 4 ((𝐴𝑌) ∈ 𝐵 → (𝐺 Σg ⟨“(𝐴𝑌)”⟩) = (𝐴𝑌))
2118, 20syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝐺 Σg ⟨“(𝐴𝑌)”⟩) = (𝐴𝑌))
2213, 17, 213eqtrd 2860 . 2 (𝜑 → (𝐸‘⟨“𝑌”⟩) = (𝐴𝑌))
236, 22eqtrd 2856 1 (𝜑 → (𝐸‘(𝑈𝑌)) = (𝐴𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1533  wcel 2110  cmpt 5138  ccom 5553  wf 6345  cfv 6349  (class class class)co 7150  Word cword 13855  ⟨“cs1 13943  Basecbs 16477   Σg cgsu 16708  Mndcmnd 17905  freeMndcfrmd 18006  varFMndcvrmd 18007
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5182  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-iun 4913  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-er 8283  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-nn 11633  df-n0 11892  df-z 11976  df-uz 12238  df-fz 12887  df-fzo 13028  df-seq 13364  df-word 13856  df-s1 13944  df-0g 16709  df-gsum 16710  df-vrmd 18009
This theorem is referenced by:  frmdup3  18026
  Copyright terms: Public domain W3C validator