Theorem frmdup2 18889

Description: The evaluation map has the intended behavior on the generators. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
frmdup.m	⊢ 𝑀 = (freeMnd‘𝐼)
frmdup.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
frmdup.e	⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ Word 𝐼 ↦ (𝐺 Σg (𝐴 ∘ 𝑥)))
frmdup.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
frmdup.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑋)
frmdup.a	⊢ (𝜑 → 𝐴:𝐼⟶𝐵)
frmdup2.u	⊢ 𝑈 = (varFMnd‘𝐼)
frmdup2.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
frmdup2	⊢ (𝜑 → (𝐸‘(𝑈‘𝑌)) = (𝐴‘𝑌))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐺   𝜑,𝑥   𝑥,𝑌   𝑥,𝐼

Allowed substitution hints:   𝑈(𝑥)   𝐸(𝑥)   𝑀(𝑥)   𝑋(𝑥)

Proof of Theorem frmdup2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frmdup.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑋)
2		frmdup2.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐼)
3		frmdup2.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (varFMnd‘𝐼)
4	3	vrmdval 18881	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) → (𝑈‘𝑌) = ⟨“𝑌”⟩)
5	1, 2, 4	syl2anc 593	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑈‘𝑌) = ⟨“𝑌”⟩)
6	5	fveq2d 6865	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘(𝑈‘𝑌)) = (𝐸‘⟨“𝑌”⟩))
7	2	s1cld 14610	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝑌”⟩ ∈ Word 𝐼)
8		coeq2 5826	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ⟨“𝑌”⟩ → (𝐴 ∘ 𝑥) = (𝐴 ∘ ⟨“𝑌”⟩))
9	8	oveq2d 7406	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = ⟨“𝑌”⟩ → (𝐺 Σg (𝐴 ∘ 𝑥)) = (𝐺 Σg (𝐴 ∘ ⟨“𝑌”⟩)))
10		frmdup.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ Word 𝐼 ↦ (𝐺 Σg (𝐴 ∘ 𝑥)))
11		ovex 7423	. . . . 5 ⊢ (𝐺 Σg (𝐴 ∘ 𝑥)) ∈ V
12	9, 10, 11	fvmpt3i 6975	. . . 4 ⊢ (⟨“𝑌”⟩ ∈ Word 𝐼 → (𝐸‘⟨“𝑌”⟩) = (𝐺 Σg (𝐴 ∘ ⟨“𝑌”⟩)))
13	7, 12	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘⟨“𝑌”⟩) = (𝐺 Σg (𝐴 ∘ ⟨“𝑌”⟩)))
14		frmdup.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴:𝐼⟶𝐵)
15		s1co 14839	. . . . 5 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝐼 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐵) → (𝐴 ∘ ⟨“𝑌”⟩) = ⟨“(𝐴‘𝑌)”⟩)
16	2, 14, 15	syl2anc 593	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∘ ⟨“𝑌”⟩) = ⟨“(𝐴‘𝑌)”⟩)
17	16	oveq2d 7406	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐴 ∘ ⟨“𝑌”⟩)) = (𝐺 Σg ⟨“(𝐴‘𝑌)”⟩))
18	14, 2	ffvelcdmd 7060	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝑌) ∈ 𝐵)
19		frmdup.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
20	19	gsumws1 18862	. . . 4 ⊢ ((𝐴‘𝑌) ∈ 𝐵 → (𝐺 Σg ⟨“(𝐴‘𝑌)”⟩) = (𝐴‘𝑌))
21	18, 20	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg ⟨“(𝐴‘𝑌)”⟩) = (𝐴‘𝑌))
22	13, 17, 21	3eqtrd 2800	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘⟨“𝑌”⟩) = (𝐴‘𝑌))
23	6, 22	eqtrd 2796	1 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘(𝑈‘𝑌)) = (𝐴‘𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   ↦ cmpt 5178   ∘ ccom 5647  ⟶wf 6511  ‘cfv 6515  (class class class)co 7390  Word cword 14519  ⟨“cs1 14602  Basecbs 17235   Σ_g cgsu 17459  Mndcmnd 18758  freeMndcfrmd 18871  var_FMndcvrmd 18872

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5224  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7712  ax-cnex 11122  ax-resscn 11123  ax-1cn 11124  ax-icn 11125  ax-addcl 11126  ax-addrcl 11127  ax-mulcl 11128  ax-mulrcl 11129  ax-mulcom 11130  ax-addass 11131  ax-mulass 11132  ax-distr 11133  ax-i2m1 11134  ax-1ne0 11135  ax-1rid 11136  ax-rnegex 11137  ax-rrecex 11138  ax-cnre 11139  ax-pre-lttri 11140  ax-pre-lttrn 11141  ax-pre-ltadd 11142  ax-pre-mulgt0 11143

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6282  df-ord 6343  df-on 6344  df-lim 6345  df-suc 6346  df-iota 6471  df-fun 6517  df-fn 6518  df-f 6519  df-f1 6520  df-fo 6521  df-f1o 6522  df-fv 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7841  df-1st 7964  df-2nd 7965  df-frecs 8255  df-wrecs 8286  df-recs 8335  df-rdg 8374  df-er 8671  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-pnf 11211  df-mnf 11212  df-xr 11213  df-ltxr 11214  df-le 11215  df-sub 11409  df-neg 11410  df-nn 12204  df-n0 12475  df-z 12562  df-uz 12833  df-fz 13506  df-fzo 13653  df-seq 14008  df-word 14520  df-s1 14603  df-0g 17460  df-gsum 17461  df-vrmd 18874

This theorem is referenced by:  frmdup3  18891