Theorem frmdup2 19070

Description: The evaluation map has the intended behavior on the generators. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
frmdup.m	⊢ 𝑀 = (freeMnd‘𝐼)
frmdup.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
frmdup.e	⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ Word 𝐼 ↦ (𝐺 Σg (𝐴 ∘ 𝑥)))
frmdup.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
frmdup.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑋)
frmdup.a	⊢ (𝜑 → 𝐴:𝐼⟶𝐵)
frmdup2.u	⊢ 𝑈 = (varFMnd‘𝐼)
frmdup2.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
frmdup2	⊢ (𝜑 → (𝐸‘(𝑈‘𝑌)) = (𝐴‘𝑌))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐺   𝜑,𝑥   𝑥,𝑌   𝑥,𝐼

Allowed substitution hints:   𝑈(𝑥)   𝐸(𝑥)   𝑀(𝑥)   𝑋(𝑥)

Proof of Theorem frmdup2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frmdup.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑋)
2		frmdup2.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐼)
3		frmdup2.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (varFMnd‘𝐼)
4	3	vrmdval 19062	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) → (𝑈‘𝑌) = ⟨“𝑌”⟩)
5	1, 2, 4	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑈‘𝑌) = ⟨“𝑌”⟩)
6	5	fveq2d 6894	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘(𝑈‘𝑌)) = (𝐸‘⟨“𝑌”⟩))
7	2	s1cld 14757	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝑌”⟩ ∈ Word 𝐼)
8		coeq2 5837	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ⟨“𝑌”⟩ → (𝐴 ∘ 𝑥) = (𝐴 ∘ ⟨“𝑌”⟩))
9	8	oveq2d 7440	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = ⟨“𝑌”⟩ → (𝐺 Σg (𝐴 ∘ 𝑥)) = (𝐺 Σg (𝐴 ∘ ⟨“𝑌”⟩)))
10		frmdup.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ Word 𝐼 ↦ (𝐺 Σg (𝐴 ∘ 𝑥)))
11		ovex 7457	. . . . 5 ⊢ (𝐺 Σg (𝐴 ∘ 𝑥)) ∈ V
12	9, 10, 11	fvmpt3i 7004	. . . 4 ⊢ (⟨“𝑌”⟩ ∈ Word 𝐼 → (𝐸‘⟨“𝑌”⟩) = (𝐺 Σg (𝐴 ∘ ⟨“𝑌”⟩)))
13	7, 12	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘⟨“𝑌”⟩) = (𝐺 Σg (𝐴 ∘ ⟨“𝑌”⟩)))
14		frmdup.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴:𝐼⟶𝐵)
15		s1co 14992	. . . . 5 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝐼 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐵) → (𝐴 ∘ ⟨“𝑌”⟩) = ⟨“(𝐴‘𝑌)”⟩)
16	2, 14, 15	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∘ ⟨“𝑌”⟩) = ⟨“(𝐴‘𝑌)”⟩)
17	16	oveq2d 7440	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐴 ∘ ⟨“𝑌”⟩)) = (𝐺 Σg ⟨“(𝐴‘𝑌)”⟩))
18	14, 2	ffvelcdmd 7090	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝑌) ∈ 𝐵)
19		frmdup.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
20	19	gsumws1 19043	. . . 4 ⊢ ((𝐴‘𝑌) ∈ 𝐵 → (𝐺 Σg ⟨“(𝐴‘𝑌)”⟩) = (𝐴‘𝑌))
21	18, 20	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg ⟨“(𝐴‘𝑌)”⟩) = (𝐴‘𝑌))
22	13, 17, 21	3eqtrd 2799	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘⟨“𝑌”⟩) = (𝐴‘𝑌))
23	6, 22	eqtrd 2795	1 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘(𝑈‘𝑌)) = (𝐴‘𝑌))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ↦ cmpt 5185   ∘ ccom 5655  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  (class class class)co 7424  Word cword 14665  ⟨“cs1 14749  Basecbs 17396   Σ_g cgsu 17620  Mndcmnd 18932  freeMndcfrmd 19052  var_FMndcvrmd 19053

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-cnex 11263  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283  ax-pre-mulgt0 11284

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7882  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8386  df-rdg 8425  df-er 8724  df-en 8981  df-dom 8982  df-sdom 8983  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-le 11356  df-sub 11550  df-neg 11551  df-nn 12343  df-n0 12614  df-z 12701  df-uz 12973  df-fz 13647  df-fzo 13796  df-seq 14152  df-word 14666  df-s1 14750  df-0g 17621  df-gsum 17622  df-vrmd 19055

This theorem is used by:  frmdup3  19072