Theorem frmdup2 18600

Description: The evaluation map has the intended behavior on the generators. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
frmdup.m	⊢ 𝑀 = (freeMnd‘𝐼)
frmdup.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
frmdup.e	⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ Word 𝐼 ↦ (𝐺 Σg (𝐴 ∘ 𝑥)))
frmdup.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
frmdup.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑋)
frmdup.a	⊢ (𝜑 → 𝐴:𝐼⟶𝐵)
frmdup2.u	⊢ 𝑈 = (varFMnd‘𝐼)
frmdup2.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
frmdup2	⊢ (𝜑 → (𝐸‘(𝑈‘𝑌)) = (𝐴‘𝑌))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐺   𝜑,𝑥   𝑥,𝑌   𝑥,𝐼

Allowed substitution hints:   𝑈(𝑥)   𝐸(𝑥)   𝑀(𝑥)   𝑋(𝑥)

Proof of Theorem frmdup2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frmdup.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑋)
2		frmdup2.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐼)
3		frmdup2.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (varFMnd‘𝐼)
4	3	vrmdval 18592	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) → (𝑈‘𝑌) = ⟨“𝑌”⟩)
5	1, 2, 4	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑈‘𝑌) = ⟨“𝑌”⟩)
6	5	fveq2d 6829	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘(𝑈‘𝑌)) = (𝐸‘⟨“𝑌”⟩))
7	2	s1cld 14407	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝑌”⟩ ∈ Word 𝐼)
8		coeq2 5800	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ⟨“𝑌”⟩ → (𝐴 ∘ 𝑥) = (𝐴 ∘ ⟨“𝑌”⟩))
9	8	oveq2d 7353	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = ⟨“𝑌”⟩ → (𝐺 Σg (𝐴 ∘ 𝑥)) = (𝐺 Σg (𝐴 ∘ ⟨“𝑌”⟩)))
10		frmdup.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ Word 𝐼 ↦ (𝐺 Σg (𝐴 ∘ 𝑥)))
11		ovex 7370	. . . . 5 ⊢ (𝐺 Σg (𝐴 ∘ 𝑥)) ∈ V
12	9, 10, 11	fvmpt3i 6936	. . . 4 ⊢ (⟨“𝑌”⟩ ∈ Word 𝐼 → (𝐸‘⟨“𝑌”⟩) = (𝐺 Σg (𝐴 ∘ ⟨“𝑌”⟩)))
13	7, 12	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘⟨“𝑌”⟩) = (𝐺 Σg (𝐴 ∘ ⟨“𝑌”⟩)))
14		frmdup.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴:𝐼⟶𝐵)
15		s1co 14645	. . . . 5 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝐼 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐵) → (𝐴 ∘ ⟨“𝑌”⟩) = ⟨“(𝐴‘𝑌)”⟩)
16	2, 14, 15	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∘ ⟨“𝑌”⟩) = ⟨“(𝐴‘𝑌)”⟩)
17	16	oveq2d 7353	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐴 ∘ ⟨“𝑌”⟩)) = (𝐺 Σg ⟨“(𝐴‘𝑌)”⟩))
18	14, 2	ffvelcdmd 7018	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝑌) ∈ 𝐵)
19		frmdup.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
20	19	gsumws1 18573	. . . 4 ⊢ ((𝐴‘𝑌) ∈ 𝐵 → (𝐺 Σg ⟨“(𝐴‘𝑌)”⟩) = (𝐴‘𝑌))
21	18, 20	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg ⟨“(𝐴‘𝑌)”⟩) = (𝐴‘𝑌))
22	13, 17, 21	3eqtrd 2780	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘⟨“𝑌”⟩) = (𝐴‘𝑌))
23	6, 22	eqtrd 2776	1 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘(𝑈‘𝑌)) = (𝐴‘𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   ↦ cmpt 5175   ∘ ccom 5624  ⟶wf 6475  ‘cfv 6479  (class class class)co 7337  Word cword 14317  ⟨“cs1 14399  Basecbs 17009   Σ_g cgsu 17248  Mndcmnd 18482  freeMndcfrmd 18582  var_FMndcvrmd 18583

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5229  ax-sep 5243  ax-nul 5250  ax-pow 5308  ax-pr 5372  ax-un 7650  ax-cnex 11028  ax-resscn 11029  ax-1cn 11030  ax-icn 11031  ax-addcl 11032  ax-addrcl 11033  ax-mulcl 11034  ax-mulrcl 11035  ax-mulcom 11036  ax-addass 11037  ax-mulass 11038  ax-distr 11039  ax-i2m1 11040  ax-1ne0 11041  ax-1rid 11042  ax-rnegex 11043  ax-rrecex 11044  ax-cnre 11045  ax-pre-lttri 11046  ax-pre-lttrn 11047  ax-pre-ltadd 11048  ax-pre-mulgt0 11049

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3917  df-nul 4270  df-if 4474  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4853  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5176  df-tr 5210  df-id 5518  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6238  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6431  df-fun 6481  df-fn 6482  df-f 6483  df-f1 6484  df-fo 6485  df-f1o 6486  df-fv 6487  df-riota 7293  df-ov 7340  df-oprab 7341  df-mpo 7342  df-om 7781  df-1st 7899  df-2nd 7900  df-frecs 8167  df-wrecs 8198  df-recs 8272  df-rdg 8311  df-er 8569  df-en 8805  df-dom 8806  df-sdom 8807  df-pnf 11112  df-mnf 11113  df-xr 11114  df-ltxr 11115  df-le 11116  df-sub 11308  df-neg 11309  df-nn 12075  df-n0 12335  df-z 12421  df-uz 12684  df-fz 13341  df-fzo 13484  df-seq 13823  df-word 14318  df-s1 14400  df-0g 17249  df-gsum 17250  df-vrmd 18585

This theorem is referenced by:  frmdup3  18602