MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frmdup2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frmdup2 18676
Description: The evaluation map has the intended behavior on the generators. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
frmdup.m 𝑀 = (freeMndβ€˜πΌ)
frmdup.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
frmdup.e 𝐸 = (π‘₯ ∈ Word 𝐼 ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐴 ∘ π‘₯)))
frmdup.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ Mnd)
frmdup.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑋)
frmdup.a (πœ‘ β†’ 𝐴:𝐼⟢𝐡)
frmdup2.u π‘ˆ = (varFMndβ€˜πΌ)
frmdup2.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝐼)
Assertion
Ref Expression
frmdup2 (πœ‘ β†’ (πΈβ€˜(π‘ˆβ€˜π‘Œ)) = (π΄β€˜π‘Œ))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝐡   π‘₯,𝐺   πœ‘,π‘₯   π‘₯,π‘Œ   π‘₯,𝐼
Allowed substitution hints:   π‘ˆ(π‘₯)   𝐸(π‘₯)   𝑀(π‘₯)   𝑋(π‘₯)

Proof of Theorem frmdup2
StepHypRef Expression
1 frmdup.i . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑋)
2 frmdup2.y . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝐼)
3 frmdup2.u . . . . 5 π‘ˆ = (varFMndβ€˜πΌ)
43vrmdval 18668 . . . 4 ((𝐼 ∈ 𝑋 ∧ π‘Œ ∈ 𝐼) β†’ (π‘ˆβ€˜π‘Œ) = βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©)
51, 2, 4syl2anc 585 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘ˆβ€˜π‘Œ) = βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©)
65fveq2d 6847 . 2 (πœ‘ β†’ (πΈβ€˜(π‘ˆβ€˜π‘Œ)) = (πΈβ€˜βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©))
72s1cld 14492 . . . 4 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ© ∈ Word 𝐼)
8 coeq2 5815 . . . . . 6 (π‘₯ = βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ© β†’ (𝐴 ∘ π‘₯) = (𝐴 ∘ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©))
98oveq2d 7374 . . . . 5 (π‘₯ = βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ© β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐴 ∘ π‘₯)) = (𝐺 Ξ£g (𝐴 ∘ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©)))
10 frmdup.e . . . . 5 𝐸 = (π‘₯ ∈ Word 𝐼 ↦ (𝐺 Ξ£g (𝐴 ∘ π‘₯)))
11 ovex 7391 . . . . 5 (𝐺 Ξ£g (𝐴 ∘ π‘₯)) ∈ V
129, 10, 11fvmpt3i 6954 . . . 4 (βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ© ∈ Word 𝐼 β†’ (πΈβ€˜βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©) = (𝐺 Ξ£g (𝐴 ∘ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©)))
137, 12syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ (πΈβ€˜βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©) = (𝐺 Ξ£g (𝐴 ∘ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©)))
14 frmdup.a . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴:𝐼⟢𝐡)
15 s1co 14723 . . . . 5 ((π‘Œ ∈ 𝐼 ∧ 𝐴:𝐼⟢𝐡) β†’ (𝐴 ∘ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©) = βŸ¨β€œ(π΄β€˜π‘Œ)β€βŸ©)
162, 14, 15syl2anc 585 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∘ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©) = βŸ¨β€œ(π΄β€˜π‘Œ)β€βŸ©)
1716oveq2d 7374 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐺 Ξ£g (𝐴 ∘ βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©)) = (𝐺 Ξ£g βŸ¨β€œ(π΄β€˜π‘Œ)β€βŸ©))
1814, 2ffvelcdmd 7037 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π΄β€˜π‘Œ) ∈ 𝐡)
19 frmdup.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
2019gsumws1 18649 . . . 4 ((π΄β€˜π‘Œ) ∈ 𝐡 β†’ (𝐺 Ξ£g βŸ¨β€œ(π΄β€˜π‘Œ)β€βŸ©) = (π΄β€˜π‘Œ))
2118, 20syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐺 Ξ£g βŸ¨β€œ(π΄β€˜π‘Œ)β€βŸ©) = (π΄β€˜π‘Œ))
2213, 17, 213eqtrd 2781 . 2 (πœ‘ β†’ (πΈβ€˜βŸ¨β€œπ‘Œβ€βŸ©) = (π΄β€˜π‘Œ))
236, 22eqtrd 2777 1 (πœ‘ β†’ (πΈβ€˜(π‘ˆβ€˜π‘Œ)) = (π΄β€˜π‘Œ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ↦ cmpt 5189   ∘ ccom 5638  βŸΆwf 6493  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  Word cword 14403  βŸ¨β€œcs1 14484  Basecbs 17084   Ξ£g cgsu 17323  Mndcmnd 18557  freeMndcfrmd 18658  varFMndcvrmd 18659
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8649  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-nn 12155  df-n0 12415  df-z 12501  df-uz 12765  df-fz 13426  df-fzo 13569  df-seq 13908  df-word 14404  df-s1 14485  df-0g 17324  df-gsum 17325  df-vrmd 18661
This theorem is referenced by:  frmdup3  18678
  Copyright terms: Public domain W3C validator