Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  satf0suclem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem satf0suclem 32682
 Description: Lemma for satf0suc 32683, sat1el2xp 32686 and fmlasuc0 32691. (Contributed by AV, 19-Sep-2023.)
Assertion
Ref Expression
satf0suclem ((𝑋𝑈𝑌𝑉𝑍𝑊) → {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑦 = ∅ ∧ ∃𝑢𝑋 (∃𝑣𝑌 𝑥 = 𝐵 ∨ ∃𝑤𝑍 𝑥 = 𝐶))} ∈ V)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑢,𝑈,𝑥,𝑦   𝑢,𝑉,𝑦   𝑢,𝑊,𝑦   𝑢,𝑋,𝑥,𝑦   𝑢,𝑌,𝑣,𝑥,𝑦   𝑢,𝑍,𝑤,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑦,𝑤,𝑣,𝑢)   𝐶(𝑦,𝑤,𝑣,𝑢)   𝑈(𝑤,𝑣)   𝑉(𝑥,𝑤,𝑣)   𝑊(𝑥,𝑤,𝑣)   𝑋(𝑤,𝑣)   𝑌(𝑤)   𝑍(𝑣)

Proof of Theorem satf0suclem
StepHypRef Expression
1 peano1 7595 . . . . . 6 ∅ ∈ ω
2 eleq1 2903 . . . . . 6 (𝑦 = ∅ → (𝑦 ∈ ω ↔ ∅ ∈ ω))
31, 2mpbiri 261 . . . . 5 (𝑦 = ∅ → 𝑦 ∈ ω)
43adantr 484 . . . 4 ((𝑦 = ∅ ∧ ∃𝑢𝑋 (∃𝑣𝑌 𝑥 = 𝐵 ∨ ∃𝑤𝑍 𝑥 = 𝐶)) → 𝑦 ∈ ω)
54pm4.71ri 564 . . 3 ((𝑦 = ∅ ∧ ∃𝑢𝑋 (∃𝑣𝑌 𝑥 = 𝐵 ∨ ∃𝑤𝑍 𝑥 = 𝐶)) ↔ (𝑦 ∈ ω ∧ (𝑦 = ∅ ∧ ∃𝑢𝑋 (∃𝑣𝑌 𝑥 = 𝐵 ∨ ∃𝑤𝑍 𝑥 = 𝐶))))
65opabbii 5119 . 2 {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑦 = ∅ ∧ ∃𝑢𝑋 (∃𝑣𝑌 𝑥 = 𝐵 ∨ ∃𝑤𝑍 𝑥 = 𝐶))} = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑦 ∈ ω ∧ (𝑦 = ∅ ∧ ∃𝑢𝑋 (∃𝑣𝑌 𝑥 = 𝐵 ∨ ∃𝑤𝑍 𝑥 = 𝐶)))}
7 omex 9103 . . . . 5 ω ∈ V
87a1i 11 . . . 4 ((𝑋𝑈𝑌𝑉𝑍𝑊) → ω ∈ V)
9 simp1 1133 . . . . . 6 ((𝑋𝑈𝑌𝑉𝑍𝑊) → 𝑋𝑈)
10 unab 4255 . . . . . . . 8 ({𝑥 ∣ ∃𝑣𝑌 𝑥 = 𝐵} ∪ {𝑥 ∣ ∃𝑤𝑍 𝑥 = 𝐶}) = {𝑥 ∣ (∃𝑣𝑌 𝑥 = 𝐵 ∨ ∃𝑤𝑍 𝑥 = 𝐶)}
11 abrexexg 7657 . . . . . . . . . 10 (𝑌𝑉 → {𝑥 ∣ ∃𝑣𝑌 𝑥 = 𝐵} ∈ V)
12113ad2ant2 1131 . . . . . . . . 9 ((𝑋𝑈𝑌𝑉𝑍𝑊) → {𝑥 ∣ ∃𝑣𝑌 𝑥 = 𝐵} ∈ V)
13 abrexexg 7657 . . . . . . . . . 10 (𝑍𝑊 → {𝑥 ∣ ∃𝑤𝑍 𝑥 = 𝐶} ∈ V)
14133ad2ant3 1132 . . . . . . . . 9 ((𝑋𝑈𝑌𝑉𝑍𝑊) → {𝑥 ∣ ∃𝑤𝑍 𝑥 = 𝐶} ∈ V)
15 unexg 7466 . . . . . . . . 9 (({𝑥 ∣ ∃𝑣𝑌 𝑥 = 𝐵} ∈ V ∧ {𝑥 ∣ ∃𝑤𝑍 𝑥 = 𝐶} ∈ V) → ({𝑥 ∣ ∃𝑣𝑌 𝑥 = 𝐵} ∪ {𝑥 ∣ ∃𝑤𝑍 𝑥 = 𝐶}) ∈ V)
1612, 14, 15syl2anc 587 . . . . . . . 8 ((𝑋𝑈𝑌𝑉𝑍𝑊) → ({𝑥 ∣ ∃𝑣𝑌 𝑥 = 𝐵} ∪ {𝑥 ∣ ∃𝑤𝑍 𝑥 = 𝐶}) ∈ V)
1710, 16eqeltrrid 2921 . . . . . . 7 ((𝑋𝑈𝑌𝑉𝑍𝑊) → {𝑥 ∣ (∃𝑣𝑌 𝑥 = 𝐵 ∨ ∃𝑤𝑍 𝑥 = 𝐶)} ∈ V)
1817ralrimivw 3178 . . . . . 6 ((𝑋𝑈𝑌𝑉𝑍𝑊) → ∀𝑢𝑋 {𝑥 ∣ (∃𝑣𝑌 𝑥 = 𝐵 ∨ ∃𝑤𝑍 𝑥 = 𝐶)} ∈ V)
19 abrexex2g 7660 . . . . . 6 ((𝑋𝑈 ∧ ∀𝑢𝑋 {𝑥 ∣ (∃𝑣𝑌 𝑥 = 𝐵 ∨ ∃𝑤𝑍 𝑥 = 𝐶)} ∈ V) → {𝑥 ∣ ∃𝑢𝑋 (∃𝑣𝑌 𝑥 = 𝐵 ∨ ∃𝑤𝑍 𝑥 = 𝐶)} ∈ V)
209, 18, 19syl2anc 587 . . . . 5 ((𝑋𝑈𝑌𝑉𝑍𝑊) → {𝑥 ∣ ∃𝑢𝑋 (∃𝑣𝑌 𝑥 = 𝐵 ∨ ∃𝑤𝑍 𝑥 = 𝐶)} ∈ V)
2120adantr 484 . . . 4 (((𝑋𝑈𝑌𝑉𝑍𝑊) ∧ 𝑦 ∈ ω) → {𝑥 ∣ ∃𝑢𝑋 (∃𝑣𝑌 𝑥 = 𝐵 ∨ ∃𝑤𝑍 𝑥 = 𝐶)} ∈ V)
228, 21opabex3rd 7662 . . 3 ((𝑋𝑈𝑌𝑉𝑍𝑊) → {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑦 ∈ ω ∧ ∃𝑢𝑋 (∃𝑣𝑌 𝑥 = 𝐵 ∨ ∃𝑤𝑍 𝑥 = 𝐶))} ∈ V)
23 simpr 488 . . . . . 6 ((𝑦 = ∅ ∧ ∃𝑢𝑋 (∃𝑣𝑌 𝑥 = 𝐵 ∨ ∃𝑤𝑍 𝑥 = 𝐶)) → ∃𝑢𝑋 (∃𝑣𝑌 𝑥 = 𝐵 ∨ ∃𝑤𝑍 𝑥 = 𝐶))
2423anim2i 619 . . . . 5 ((𝑦 ∈ ω ∧ (𝑦 = ∅ ∧ ∃𝑢𝑋 (∃𝑣𝑌 𝑥 = 𝐵 ∨ ∃𝑤𝑍 𝑥 = 𝐶))) → (𝑦 ∈ ω ∧ ∃𝑢𝑋 (∃𝑣𝑌 𝑥 = 𝐵 ∨ ∃𝑤𝑍 𝑥 = 𝐶)))
2524ssopab2i 5424 . . . 4 {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑦 ∈ ω ∧ (𝑦 = ∅ ∧ ∃𝑢𝑋 (∃𝑣𝑌 𝑥 = 𝐵 ∨ ∃𝑤𝑍 𝑥 = 𝐶)))} ⊆ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑦 ∈ ω ∧ ∃𝑢𝑋 (∃𝑣𝑌 𝑥 = 𝐵 ∨ ∃𝑤𝑍 𝑥 = 𝐶))}
2625a1i 11 . . 3 ((𝑋𝑈𝑌𝑉𝑍𝑊) → {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑦 ∈ ω ∧ (𝑦 = ∅ ∧ ∃𝑢𝑋 (∃𝑣𝑌 𝑥 = 𝐵 ∨ ∃𝑤𝑍 𝑥 = 𝐶)))} ⊆ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑦 ∈ ω ∧ ∃𝑢𝑋 (∃𝑣𝑌 𝑥 = 𝐵 ∨ ∃𝑤𝑍 𝑥 = 𝐶))})
2722, 26ssexd 5214 . 2 ((𝑋𝑈𝑌𝑉𝑍𝑊) → {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑦 ∈ ω ∧ (𝑦 = ∅ ∧ ∃𝑢𝑋 (∃𝑣𝑌 𝑥 = 𝐵 ∨ ∃𝑤𝑍 𝑥 = 𝐶)))} ∈ V)
286, 27eqeltrid 2920 1 ((𝑋𝑈𝑌𝑉𝑍𝑊) → {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑦 = ∅ ∧ ∃𝑢𝑋 (∃𝑣𝑌 𝑥 = 𝐵 ∨ ∃𝑤𝑍 𝑥 = 𝐶))} ∈ V)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∨ wo 844   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2115  {cab 2802  ∀wral 3133  ∃wrex 3134  Vcvv 3480   ∪ cun 3917   ⊆ wss 3919  ∅c0 4276  {copab 5114  ωcom 7574 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-inf2 9101 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-om 7575 This theorem is referenced by:  satf0suc  32683  sat1el2xp  32686
 Copyright terms: Public domain W3C validator