Theorem sletrd 27728

Description: Surreal less-than or equal is transitive. (Contributed by Scott Fenton, 8-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
slttrd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
slttrd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
slttrd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No )
sletrd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤s 𝐵)
sletrd.5	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤s 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
sletrd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤s 𝐶)

Proof of Theorem sletrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sletrd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤s 𝐵)
2		sletrd.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤s 𝐶)
3		slttrd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
4		slttrd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
5		slttrd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No )
6		sletr 27724	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ∧ 𝐶 ∈ No ) → ((𝐴 ≤s 𝐵 ∧ 𝐵 ≤s 𝐶) → 𝐴 ≤s 𝐶))
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ≤s 𝐵 ∧ 𝐵 ≤s 𝐶) → 𝐴 ≤s 𝐶))
8	1, 2, 7	mp2and 699	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤s 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5096   No csur 27605   ≤s csle 27710

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pr 5375

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-tp 4583  df-op 4585  df-uni 4862  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-ord 6318  df-on 6319  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-fv 6498  df-1o 8395  df-2o 8396  df-no 27608  df-slt 27609  df-sle 27711

This theorem is referenced by:  mulsuniflem  28118  sleabs  28216  n0sge0  28298  bdaypw2n0s  28420