MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sletrd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sletrd 27636
Description: Surreal less-than or equal is transitive. (Contributed by Scott Fenton, 8-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
slttrd.1 (𝜑 → ðī ∈ No )
slttrd.2 (𝜑 → ðĩ ∈ No )
slttrd.3 (𝜑 → ðķ ∈ No )
sletrd.4 (𝜑 → ðī â‰Īs ðĩ)
sletrd.5 (𝜑 → ðĩ â‰Īs ðķ)
Assertion
Ref Expression
sletrd (𝜑 → ðī â‰Īs ðķ)

Proof of Theorem sletrd
StepHypRef Expression
1 sletrd.4 . 2 (𝜑 → ðī â‰Īs ðĩ)
2 sletrd.5 . 2 (𝜑 → ðĩ â‰Īs ðķ)
3 slttrd.1 . . 3 (𝜑 → ðī ∈ No )
4 slttrd.2 . . 3 (𝜑 → ðĩ ∈ No )
5 slttrd.3 . . 3 (𝜑 → ðķ ∈ No )
6 sletr 27632 . . 3 ((ðī ∈ No ∧ ðĩ ∈ No ∧ ðķ ∈ No ) → ((ðī â‰Īs ðĩ ∧ ðĩ â‰Īs ðķ) → ðī â‰Īs ðķ))
73, 4, 5, 6syl3anc 1368 . 2 (𝜑 → ((ðī â‰Īs ðĩ ∧ ðĩ â‰Īs ðķ) → ðī â‰Īs ðķ))
81, 2, 7mp2and 696 1 (𝜑 → ðī â‰Īs ðķ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5139   No csur 27514   â‰Īs csle 27618
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pr 5418
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-tp 4626  df-op 4628  df-uni 4901  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-ord 6358  df-on 6359  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-fv 6542  df-1o 8462  df-2o 8463  df-no 27517  df-slt 27518  df-sle 27619
This theorem is referenced by:  mulsuniflem  27990  sleabs  28083  n0sge0  28147
  Copyright terms: Public domain W3C validator