Theorem right1s 27919

Description: The right set of 1_s is empty . (Contributed by Scott Fenton, 4-Feb-2025.)

Assertion

Ref	Expression
right1s	⊢ ( R ‘ 1s ) = ∅

Proof of Theorem right1s

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rightval 27888	. 2 ⊢ ( R ‘ 1s ) = {𝑥 ∈ ( O ‘( bday ‘ 1s )) ∣ 1s <s 𝑥}
2		bday1s 27861	. . . . . 6 ⊢ ( bday ‘ 1s ) = 1o
3	2	fveq2i 6904	. . . . 5 ⊢ ( O ‘( bday ‘ 1s )) = ( O ‘1o)
4		old1 27899	. . . . 5 ⊢ ( O ‘1o) = { 0s }
5	3, 4	eqtri 2754	. . . 4 ⊢ ( O ‘( bday ‘ 1s )) = { 0s }
6	5	rabeqi 3433	. . 3 ⊢ {𝑥 ∈ ( O ‘( bday ‘ 1s )) ∣ 1s <s 𝑥} = {𝑥 ∈ { 0s } ∣ 1s <s 𝑥}
7		breq2 5157	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 0s → ( 1s <s 𝑥 ↔ 1s <s 0s ))
8	7	rabsnif 4732	. . 3 ⊢ {𝑥 ∈ { 0s } ∣ 1s <s 𝑥} = if( 1s <s 0s , { 0s }, ∅)
9	6, 8	eqtri 2754	. 2 ⊢ {𝑥 ∈ ( O ‘( bday ‘ 1s )) ∣ 1s <s 𝑥} = if( 1s <s 0s , { 0s }, ∅)
10		0slt1s 27859	. . . 4 ⊢ 0s <s 1s
11		0sno 27856	. . . . 5 ⊢ 0s ∈ No
12		1sno 27857	. . . . 5 ⊢ 1s ∈ No
13		sltasym 27778	. . . . 5 ⊢ (( 0s ∈ No ∧ 1s ∈ No ) → ( 0s <s 1s → ¬ 1s <s 0s ))
14	11, 12, 13	mp2an 690	. . . 4 ⊢ ( 0s <s 1s → ¬ 1s <s 0s )
15	10, 14	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ¬ 1s <s 0s
16	15	iffalsei 4543	. 2 ⊢ if( 1s <s 0s , { 0s }, ∅) = ∅
17	1, 9, 16	3eqtri 2758	1 ⊢ ( R ‘ 1s ) = ∅

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  {crab 3419  ∅c0 4325  ifcif 4533  {csn 4633   class class class wbr 5153  ‘cfv 6554  1_oc1o 8489   No csur 27669   <s cslt 27670   bday cbday 27671   0_s c0s 27852   1_s c1s 27853   O cold 27867   R cright 27870

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5290  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-tp 4638  df-op 4640  df-uni 4914  df-int 4955  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-2nd 8004  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-1o 8496  df-2o 8497  df-no 27672  df-slt 27673  df-bday 27674  df-sle 27775  df-sslt 27811  df-scut 27813  df-0s 27854  df-1s 27855  df-made 27871  df-old 27872  df-right 27875

This theorem is referenced by:  mulsrid  28114  1ons  28251