Theorem right1s 27957

Description: The right set of 1_s is empty . (Contributed by Scott Fenton, 4-Feb-2025.)

Assertion

Ref	Expression
right1s	⊢ ( R ‘ 1s ) = ∅

Proof of Theorem right1s

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rightval 27926	. 2 ⊢ ( R ‘ 1s ) = {𝑥 ∈ ( O ‘( bday ‘ 1s )) ∣ 1s <s 𝑥}
2		bday1s 27899	. . . . . 6 ⊢ ( bday ‘ 1s ) = 1o
3	2	fveq2i 6914	. . . . 5 ⊢ ( O ‘( bday ‘ 1s )) = ( O ‘1o)
4		old1 27937	. . . . 5 ⊢ ( O ‘1o) = { 0s }
5	3, 4	eqtri 2764	. . . 4 ⊢ ( O ‘( bday ‘ 1s )) = { 0s }
6	5	rabeqi 3448	. . 3 ⊢ {𝑥 ∈ ( O ‘( bday ‘ 1s )) ∣ 1s <s 𝑥} = {𝑥 ∈ { 0s } ∣ 1s <s 𝑥}
7		breq2 5153	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 0s → ( 1s <s 𝑥 ↔ 1s <s 0s ))
8	7	rabsnif 4729	. . 3 ⊢ {𝑥 ∈ { 0s } ∣ 1s <s 𝑥} = if( 1s <s 0s , { 0s }, ∅)
9	6, 8	eqtri 2764	. 2 ⊢ {𝑥 ∈ ( O ‘( bday ‘ 1s )) ∣ 1s <s 𝑥} = if( 1s <s 0s , { 0s }, ∅)
10		0slt1s 27897	. . . 4 ⊢ 0s <s 1s
11		0sno 27894	. . . . 5 ⊢ 0s ∈ No
12		1sno 27895	. . . . 5 ⊢ 1s ∈ No
13		sltasym 27816	. . . . 5 ⊢ (( 0s ∈ No ∧ 1s ∈ No ) → ( 0s <s 1s → ¬ 1s <s 0s ))
14	11, 12, 13	mp2an 692	. . . 4 ⊢ ( 0s <s 1s → ¬ 1s <s 0s )
15	10, 14	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ¬ 1s <s 0s
16	15	iffalsei 4542	. 2 ⊢ if( 1s <s 0s , { 0s }, ∅) = ∅
17	1, 9, 16	3eqtri 2768	1 ⊢ ( R ‘ 1s ) = ∅

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1538   ∈ wcel 2107  {crab 3434  ∅c0 4340  ifcif 4532  {csn 4632   class class class wbr 5149  ‘cfv 6566  1_oc1o 8504   No csur 27707   <s cslt 27708   bday cbday 27709   0_s c0s 27890   1_s c1s 27891   O cold 27905   R cright 27908

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5286  ax-sep 5303  ax-nul 5313  ax-pow 5372  ax-pr 5439  ax-un 7758

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3435  df-v 3481  df-sbc 3793  df-csb 3910  df-dif 3967  df-un 3969  df-in 3971  df-ss 3981  df-pss 3984  df-nul 4341  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4914  df-int 4953  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5584  df-eprel 5590  df-po 5598  df-so 5599  df-fr 5642  df-we 5644  df-xp 5696  df-rel 5697  df-cnv 5698  df-co 5699  df-dm 5700  df-rn 5701  df-res 5702  df-ima 5703  df-pred 6326  df-ord 6392  df-on 6393  df-suc 6395  df-iota 6519  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7392  df-ov 7438  df-oprab 7439  df-mpo 7440  df-2nd 8020  df-frecs 8311  df-wrecs 8342  df-recs 8416  df-1o 8511  df-2o 8512  df-no 27710  df-slt 27711  df-bday 27712  df-sle 27813  df-sslt 27849  df-scut 27851  df-0s 27892  df-1s 27893  df-made 27909  df-old 27910  df-right 27913

This theorem is referenced by:  negs1s  28082  mulsrid  28162  1ons  28303