Theorem right1s 27807

Description: The right set of 1_s is empty . (Contributed by Scott Fenton, 4-Feb-2025.)

Assertion

Ref	Expression
right1s	⊢ ( R ‘ 1s ) = ∅

Proof of Theorem right1s

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rightval 27772	. 2 ⊢ ( R ‘ 1s ) = {𝑥 ∈ ( O ‘( bday ‘ 1s )) ∣ 1s <s 𝑥}
2		bday1s 27743	. . . . . 6 ⊢ ( bday ‘ 1s ) = 1o
3	2	fveq2i 6861	. . . . 5 ⊢ ( O ‘( bday ‘ 1s )) = ( O ‘1o)
4		old1 27787	. . . . 5 ⊢ ( O ‘1o) = { 0s }
5	3, 4	eqtri 2752	. . . 4 ⊢ ( O ‘( bday ‘ 1s )) = { 0s }
6	5	rabeqi 3419	. . 3 ⊢ {𝑥 ∈ ( O ‘( bday ‘ 1s )) ∣ 1s <s 𝑥} = {𝑥 ∈ { 0s } ∣ 1s <s 𝑥}
7		breq2 5111	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 0s → ( 1s <s 𝑥 ↔ 1s <s 0s ))
8	7	rabsnif 4687	. . 3 ⊢ {𝑥 ∈ { 0s } ∣ 1s <s 𝑥} = if( 1s <s 0s , { 0s }, ∅)
9	6, 8	eqtri 2752	. 2 ⊢ {𝑥 ∈ ( O ‘( bday ‘ 1s )) ∣ 1s <s 𝑥} = if( 1s <s 0s , { 0s }, ∅)
10		0slt1s 27741	. . . 4 ⊢ 0s <s 1s
11		0sno 27738	. . . . 5 ⊢ 0s ∈ No
12		1sno 27739	. . . . 5 ⊢ 1s ∈ No
13		sltasym 27660	. . . . 5 ⊢ (( 0s ∈ No ∧ 1s ∈ No ) → ( 0s <s 1s → ¬ 1s <s 0s ))
14	11, 12, 13	mp2an 692	. . . 4 ⊢ ( 0s <s 1s → ¬ 1s <s 0s )
15	10, 14	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ¬ 1s <s 0s
16	15	iffalsei 4498	. 2 ⊢ if( 1s <s 0s , { 0s }, ∅) = ∅
17	1, 9, 16	3eqtri 2756	1 ⊢ ( R ‘ 1s ) = ∅

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {crab 3405  ∅c0 4296  ifcif 4488  {csn 4589   class class class wbr 5107  ‘cfv 6511  1_oc1o 8427   No csur 27551   <s cslt 27552   bday cbday 27553   0_s c0s 27734   1_s c1s 27735   O cold 27751   R cright 27754

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-1o 8434  df-2o 8435  df-no 27554  df-slt 27555  df-bday 27556  df-sle 27657  df-sslt 27693  df-scut 27695  df-0s 27736  df-1s 27737  df-made 27755  df-old 27756  df-right 27759

This theorem is referenced by:  negs1s  27933  mulsrid  28016  1ons  28158