Theorem right1s 27869

Description: The right set of 1_s is empty . (Contributed by Scott Fenton, 4-Feb-2025.)

Assertion

Ref	Expression
right1s	⊢ ( R ‘ 1s ) = ∅

Proof of Theorem right1s

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rightval 27838	. 2 ⊢ ( R ‘ 1s ) = {𝑥 ∈ ( O ‘( bday ‘ 1s )) ∣ 1s <s 𝑥}
2		bday1s 27811	. . . . . 6 ⊢ ( bday ‘ 1s ) = 1o
3	2	fveq2i 6888	. . . . 5 ⊢ ( O ‘( bday ‘ 1s )) = ( O ‘1o)
4		old1 27849	. . . . 5 ⊢ ( O ‘1o) = { 0s }
5	3, 4	eqtri 2757	. . . 4 ⊢ ( O ‘( bday ‘ 1s )) = { 0s }
6	5	rabeqi 3433	. . 3 ⊢ {𝑥 ∈ ( O ‘( bday ‘ 1s )) ∣ 1s <s 𝑥} = {𝑥 ∈ { 0s } ∣ 1s <s 𝑥}
7		breq2 5127	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 0s → ( 1s <s 𝑥 ↔ 1s <s 0s ))
8	7	rabsnif 4703	. . 3 ⊢ {𝑥 ∈ { 0s } ∣ 1s <s 𝑥} = if( 1s <s 0s , { 0s }, ∅)
9	6, 8	eqtri 2757	. 2 ⊢ {𝑥 ∈ ( O ‘( bday ‘ 1s )) ∣ 1s <s 𝑥} = if( 1s <s 0s , { 0s }, ∅)
10		0slt1s 27809	. . . 4 ⊢ 0s <s 1s
11		0sno 27806	. . . . 5 ⊢ 0s ∈ No
12		1sno 27807	. . . . 5 ⊢ 1s ∈ No
13		sltasym 27728	. . . . 5 ⊢ (( 0s ∈ No ∧ 1s ∈ No ) → ( 0s <s 1s → ¬ 1s <s 0s ))
14	11, 12, 13	mp2an 692	. . . 4 ⊢ ( 0s <s 1s → ¬ 1s <s 0s )
15	10, 14	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ¬ 1s <s 0s
16	15	iffalsei 4515	. 2 ⊢ if( 1s <s 0s , { 0s }, ∅) = ∅
17	1, 9, 16	3eqtri 2761	1 ⊢ ( R ‘ 1s ) = ∅

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  {crab 3419  ∅c0 4313  ifcif 4505  {csn 4606   class class class wbr 5123  ‘cfv 6540  1_oc1o 8480   No csur 27619   <s cslt 27620   bday cbday 27621   0_s c0s 27802   1_s c1s 27803   O cold 27817   R cright 27820

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5259  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pow 5345  ax-pr 5412  ax-un 7736

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-tp 4611  df-op 4613  df-uni 4888  df-int 4927  df-iun 4973  df-br 5124  df-opab 5186  df-mpt 5206  df-tr 5240  df-id 5558  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-we 5619  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6301  df-ord 6366  df-on 6367  df-suc 6369  df-iota 6493  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-1o 8487  df-2o 8488  df-no 27622  df-slt 27623  df-bday 27624  df-sle 27725  df-sslt 27761  df-scut 27763  df-0s 27804  df-1s 27805  df-made 27821  df-old 27822  df-right 27825

This theorem is referenced by:  negs1s  27994  mulsrid  28074  1ons  28215