MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sltmul2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sltmul2 27975
Description: Multiplication of both sides of surreal less-than by a positive number. (Contributed by Scott Fenton, 10-Mar-2025.)
Assertion
Ref Expression
sltmul2 (((๐ด โˆˆ No โˆง 0s <s ๐ด) โˆง ๐ต โˆˆ No โˆง ๐ถ โˆˆ No ) โ†’ (๐ต <s ๐ถ โ†” (๐ด ยทs ๐ต) <s (๐ด ยทs ๐ถ)))

Proof of Theorem sltmul2
StepHypRef Expression
1 simpl1l 1221 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ No โˆง 0s <s ๐ด) โˆง ๐ต โˆˆ No โˆง ๐ถ โˆˆ No ) โˆง ๐ต <s ๐ถ) โ†’ ๐ด โˆˆ No )
2 simpl3 1190 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ No โˆง 0s <s ๐ด) โˆง ๐ต โˆˆ No โˆง ๐ถ โˆˆ No ) โˆง ๐ต <s ๐ถ) โ†’ ๐ถ โˆˆ No )
3 simpl2 1189 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ No โˆง 0s <s ๐ด) โˆง ๐ต โˆˆ No โˆง ๐ถ โˆˆ No ) โˆง ๐ต <s ๐ถ) โ†’ ๐ต โˆˆ No )
42, 3subscld 27877 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ No โˆง 0s <s ๐ด) โˆง ๐ต โˆˆ No โˆง ๐ถ โˆˆ No ) โˆง ๐ต <s ๐ถ) โ†’ (๐ถ -s ๐ต) โˆˆ No )
5 simpl1r 1222 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ No โˆง 0s <s ๐ด) โˆง ๐ต โˆˆ No โˆง ๐ถ โˆˆ No ) โˆง ๐ต <s ๐ถ) โ†’ 0s <s ๐ด)
6 simp2 1134 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ No โˆง 0s <s ๐ด) โˆง ๐ต โˆˆ No โˆง ๐ถ โˆˆ No ) โ†’ ๐ต โˆˆ No )
7 simp3 1135 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ No โˆง 0s <s ๐ด) โˆง ๐ต โˆˆ No โˆง ๐ถ โˆˆ No ) โ†’ ๐ถ โˆˆ No )
86, 7posdifsd 27908 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ No โˆง 0s <s ๐ด) โˆง ๐ต โˆˆ No โˆง ๐ถ โˆˆ No ) โ†’ (๐ต <s ๐ถ โ†” 0s <s (๐ถ -s ๐ต)))
98biimpa 476 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ No โˆง 0s <s ๐ด) โˆง ๐ต โˆˆ No โˆง ๐ถ โˆˆ No ) โˆง ๐ต <s ๐ถ) โ†’ 0s <s (๐ถ -s ๐ต))
101, 4, 5, 9mulsgt0d 27949 . . . 4 ((((๐ด โˆˆ No โˆง 0s <s ๐ด) โˆง ๐ต โˆˆ No โˆง ๐ถ โˆˆ No ) โˆง ๐ต <s ๐ถ) โ†’ 0s <s (๐ด ยทs (๐ถ -s ๐ต)))
111, 2, 3subsdid 27962 . . . 4 ((((๐ด โˆˆ No โˆง 0s <s ๐ด) โˆง ๐ต โˆˆ No โˆง ๐ถ โˆˆ No ) โˆง ๐ต <s ๐ถ) โ†’ (๐ด ยทs (๐ถ -s ๐ต)) = ((๐ด ยทs ๐ถ) -s (๐ด ยทs ๐ต)))
1210, 11breqtrd 5164 . . 3 ((((๐ด โˆˆ No โˆง 0s <s ๐ด) โˆง ๐ต โˆˆ No โˆง ๐ถ โˆˆ No ) โˆง ๐ต <s ๐ถ) โ†’ 0s <s ((๐ด ยทs ๐ถ) -s (๐ด ยทs ๐ต)))
131, 3mulscld 27939 . . . 4 ((((๐ด โˆˆ No โˆง 0s <s ๐ด) โˆง ๐ต โˆˆ No โˆง ๐ถ โˆˆ No ) โˆง ๐ต <s ๐ถ) โ†’ (๐ด ยทs ๐ต) โˆˆ No )
141, 2mulscld 27939 . . . 4 ((((๐ด โˆˆ No โˆง 0s <s ๐ด) โˆง ๐ต โˆˆ No โˆง ๐ถ โˆˆ No ) โˆง ๐ต <s ๐ถ) โ†’ (๐ด ยทs ๐ถ) โˆˆ No )
1513, 14posdifsd 27908 . . 3 ((((๐ด โˆˆ No โˆง 0s <s ๐ด) โˆง ๐ต โˆˆ No โˆง ๐ถ โˆˆ No ) โˆง ๐ต <s ๐ถ) โ†’ ((๐ด ยทs ๐ต) <s (๐ด ยทs ๐ถ) โ†” 0s <s ((๐ด ยทs ๐ถ) -s (๐ด ยทs ๐ต))))
1612, 15mpbird 257 . 2 ((((๐ด โˆˆ No โˆง 0s <s ๐ด) โˆง ๐ต โˆˆ No โˆง ๐ถ โˆˆ No ) โˆง ๐ต <s ๐ถ) โ†’ (๐ด ยทs ๐ต) <s (๐ด ยทs ๐ถ))
17 simp1l 1194 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ No โˆง 0s <s ๐ด) โˆง ๐ต โˆˆ No โˆง ๐ถ โˆˆ No ) โ†’ ๐ด โˆˆ No )
1817, 7mulscld 27939 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ No โˆง 0s <s ๐ด) โˆง ๐ต โˆˆ No โˆง ๐ถ โˆˆ No ) โ†’ (๐ด ยทs ๐ถ) โˆˆ No )
19 sltirr 27583 . . . . . . 7 ((๐ด ยทs ๐ถ) โˆˆ No โ†’ ยฌ (๐ด ยทs ๐ถ) <s (๐ด ยทs ๐ถ))
2018, 19syl 17 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ No โˆง 0s <s ๐ด) โˆง ๐ต โˆˆ No โˆง ๐ถ โˆˆ No ) โ†’ ยฌ (๐ด ยทs ๐ถ) <s (๐ด ยทs ๐ถ))
21 oveq2 7409 . . . . . . . 8 (๐ต = ๐ถ โ†’ (๐ด ยทs ๐ต) = (๐ด ยทs ๐ถ))
2221breq1d 5148 . . . . . . 7 (๐ต = ๐ถ โ†’ ((๐ด ยทs ๐ต) <s (๐ด ยทs ๐ถ) โ†” (๐ด ยทs ๐ถ) <s (๐ด ยทs ๐ถ)))
2322notbid 318 . . . . . 6 (๐ต = ๐ถ โ†’ (ยฌ (๐ด ยทs ๐ต) <s (๐ด ยทs ๐ถ) โ†” ยฌ (๐ด ยทs ๐ถ) <s (๐ด ยทs ๐ถ)))
2420, 23syl5ibrcom 246 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ No โˆง 0s <s ๐ด) โˆง ๐ต โˆˆ No โˆง ๐ถ โˆˆ No ) โ†’ (๐ต = ๐ถ โ†’ ยฌ (๐ด ยทs ๐ต) <s (๐ด ยทs ๐ถ)))
2524con2d 134 . . . 4 (((๐ด โˆˆ No โˆง 0s <s ๐ด) โˆง ๐ต โˆˆ No โˆง ๐ถ โˆˆ No ) โ†’ ((๐ด ยทs ๐ต) <s (๐ด ยทs ๐ถ) โ†’ ยฌ ๐ต = ๐ถ))
2625imp 406 . . 3 ((((๐ด โˆˆ No โˆง 0s <s ๐ด) โˆง ๐ต โˆˆ No โˆง ๐ถ โˆˆ No ) โˆง (๐ด ยทs ๐ต) <s (๐ด ยทs ๐ถ)) โ†’ ยฌ ๐ต = ๐ถ)
2717, 6mulscld 27939 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ No โˆง 0s <s ๐ด) โˆง ๐ต โˆˆ No โˆง ๐ถ โˆˆ No ) โ†’ (๐ด ยทs ๐ต) โˆˆ No )
28 sltasym 27585 . . . . . . 7 (((๐ด ยทs ๐ต) โˆˆ No โˆง (๐ด ยทs ๐ถ) โˆˆ No ) โ†’ ((๐ด ยทs ๐ต) <s (๐ด ยทs ๐ถ) โ†’ ยฌ (๐ด ยทs ๐ถ) <s (๐ด ยทs ๐ต)))
2927, 18, 28syl2anc 583 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ No โˆง 0s <s ๐ด) โˆง ๐ต โˆˆ No โˆง ๐ถ โˆˆ No ) โ†’ ((๐ด ยทs ๐ต) <s (๐ด ยทs ๐ถ) โ†’ ยฌ (๐ด ยทs ๐ถ) <s (๐ด ยทs ๐ต)))
3029imp 406 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ No โˆง 0s <s ๐ด) โˆง ๐ต โˆˆ No โˆง ๐ถ โˆˆ No ) โˆง (๐ด ยทs ๐ต) <s (๐ด ยทs ๐ถ)) โ†’ ยฌ (๐ด ยทs ๐ถ) <s (๐ด ยทs ๐ต))
31 simpl1l 1221 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ No โˆง 0s <s ๐ด) โˆง ๐ต โˆˆ No โˆง ๐ถ โˆˆ No ) โˆง (๐ด ยทs ๐ต) <s (๐ด ยทs ๐ถ)) โ†’ ๐ด โˆˆ No )
3231adantr 480 . . . . . . 7 (((((๐ด โˆˆ No โˆง 0s <s ๐ด) โˆง ๐ต โˆˆ No โˆง ๐ถ โˆˆ No ) โˆง (๐ด ยทs ๐ต) <s (๐ด ยทs ๐ถ)) โˆง 0s <s (๐ต -s ๐ถ)) โ†’ ๐ด โˆˆ No )
33 simpll2 1210 . . . . . . . 8 (((((๐ด โˆˆ No โˆง 0s <s ๐ด) โˆง ๐ต โˆˆ No โˆง ๐ถ โˆˆ No ) โˆง (๐ด ยทs ๐ต) <s (๐ด ยทs ๐ถ)) โˆง 0s <s (๐ต -s ๐ถ)) โ†’ ๐ต โˆˆ No )
34 simpll3 1211 . . . . . . . 8 (((((๐ด โˆˆ No โˆง 0s <s ๐ด) โˆง ๐ต โˆˆ No โˆง ๐ถ โˆˆ No ) โˆง (๐ด ยทs ๐ต) <s (๐ด ยทs ๐ถ)) โˆง 0s <s (๐ต -s ๐ถ)) โ†’ ๐ถ โˆˆ No )
3533, 34subscld 27877 . . . . . . 7 (((((๐ด โˆˆ No โˆง 0s <s ๐ด) โˆง ๐ต โˆˆ No โˆง ๐ถ โˆˆ No ) โˆง (๐ด ยทs ๐ต) <s (๐ด ยทs ๐ถ)) โˆง 0s <s (๐ต -s ๐ถ)) โ†’ (๐ต -s ๐ถ) โˆˆ No )
36 simpl1r 1222 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ No โˆง 0s <s ๐ด) โˆง ๐ต โˆˆ No โˆง ๐ถ โˆˆ No ) โˆง (๐ด ยทs ๐ต) <s (๐ด ยทs ๐ถ)) โ†’ 0s <s ๐ด)
3736adantr 480 . . . . . . 7 (((((๐ด โˆˆ No โˆง 0s <s ๐ด) โˆง ๐ต โˆˆ No โˆง ๐ถ โˆˆ No ) โˆง (๐ด ยทs ๐ต) <s (๐ด ยทs ๐ถ)) โˆง 0s <s (๐ต -s ๐ถ)) โ†’ 0s <s ๐ด)
38 simpr 484 . . . . . . 7 (((((๐ด โˆˆ No โˆง 0s <s ๐ด) โˆง ๐ต โˆˆ No โˆง ๐ถ โˆˆ No ) โˆง (๐ด ยทs ๐ต) <s (๐ด ยทs ๐ถ)) โˆง 0s <s (๐ต -s ๐ถ)) โ†’ 0s <s (๐ต -s ๐ถ))
3932, 35, 37, 38mulsgt0d 27949 . . . . . 6 (((((๐ด โˆˆ No โˆง 0s <s ๐ด) โˆง ๐ต โˆˆ No โˆง ๐ถ โˆˆ No ) โˆง (๐ด ยทs ๐ต) <s (๐ด ยทs ๐ถ)) โˆง 0s <s (๐ต -s ๐ถ)) โ†’ 0s <s (๐ด ยทs (๐ต -s ๐ถ)))
4032, 33, 34subsdid 27962 . . . . . . . 8 (((((๐ด โˆˆ No โˆง 0s <s ๐ด) โˆง ๐ต โˆˆ No โˆง ๐ถ โˆˆ No ) โˆง (๐ด ยทs ๐ต) <s (๐ด ยทs ๐ถ)) โˆง 0s <s (๐ต -s ๐ถ)) โ†’ (๐ด ยทs (๐ต -s ๐ถ)) = ((๐ด ยทs ๐ต) -s (๐ด ยทs ๐ถ)))
4140breq2d 5150 . . . . . . 7 (((((๐ด โˆˆ No โˆง 0s <s ๐ด) โˆง ๐ต โˆˆ No โˆง ๐ถ โˆˆ No ) โˆง (๐ด ยทs ๐ต) <s (๐ด ยทs ๐ถ)) โˆง 0s <s (๐ต -s ๐ถ)) โ†’ ( 0s <s (๐ด ยทs (๐ต -s ๐ถ)) โ†” 0s <s ((๐ด ยทs ๐ต) -s (๐ด ยทs ๐ถ))))
4218ad2antrr 723 . . . . . . . 8 (((((๐ด โˆˆ No โˆง 0s <s ๐ด) โˆง ๐ต โˆˆ No โˆง ๐ถ โˆˆ No ) โˆง (๐ด ยทs ๐ต) <s (๐ด ยทs ๐ถ)) โˆง 0s <s (๐ต -s ๐ถ)) โ†’ (๐ด ยทs ๐ถ) โˆˆ No )
4327ad2antrr 723 . . . . . . . 8 (((((๐ด โˆˆ No โˆง 0s <s ๐ด) โˆง ๐ต โˆˆ No โˆง ๐ถ โˆˆ No ) โˆง (๐ด ยทs ๐ต) <s (๐ด ยทs ๐ถ)) โˆง 0s <s (๐ต -s ๐ถ)) โ†’ (๐ด ยทs ๐ต) โˆˆ No )
4442, 43posdifsd 27908 . . . . . . 7 (((((๐ด โˆˆ No โˆง 0s <s ๐ด) โˆง ๐ต โˆˆ No โˆง ๐ถ โˆˆ No ) โˆง (๐ด ยทs ๐ต) <s (๐ด ยทs ๐ถ)) โˆง 0s <s (๐ต -s ๐ถ)) โ†’ ((๐ด ยทs ๐ถ) <s (๐ด ยทs ๐ต) โ†” 0s <s ((๐ด ยทs ๐ต) -s (๐ด ยทs ๐ถ))))
4541, 44bitr4d 282 . . . . . 6 (((((๐ด โˆˆ No โˆง 0s <s ๐ด) โˆง ๐ต โˆˆ No โˆง ๐ถ โˆˆ No ) โˆง (๐ด ยทs ๐ต) <s (๐ด ยทs ๐ถ)) โˆง 0s <s (๐ต -s ๐ถ)) โ†’ ( 0s <s (๐ด ยทs (๐ต -s ๐ถ)) โ†” (๐ด ยทs ๐ถ) <s (๐ด ยทs ๐ต)))
4639, 45mpbid 231 . . . . 5 (((((๐ด โˆˆ No โˆง 0s <s ๐ด) โˆง ๐ต โˆˆ No โˆง ๐ถ โˆˆ No ) โˆง (๐ด ยทs ๐ต) <s (๐ด ยทs ๐ถ)) โˆง 0s <s (๐ต -s ๐ถ)) โ†’ (๐ด ยทs ๐ถ) <s (๐ด ยทs ๐ต))
4730, 46mtand 813 . . . 4 ((((๐ด โˆˆ No โˆง 0s <s ๐ด) โˆง ๐ต โˆˆ No โˆง ๐ถ โˆˆ No ) โˆง (๐ด ยทs ๐ต) <s (๐ด ยทs ๐ถ)) โ†’ ยฌ 0s <s (๐ต -s ๐ถ))
48 simpl3 1190 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ No โˆง 0s <s ๐ด) โˆง ๐ต โˆˆ No โˆง ๐ถ โˆˆ No ) โˆง (๐ด ยทs ๐ต) <s (๐ด ยทs ๐ถ)) โ†’ ๐ถ โˆˆ No )
49 simpl2 1189 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ No โˆง 0s <s ๐ด) โˆง ๐ต โˆˆ No โˆง ๐ถ โˆˆ No ) โˆง (๐ด ยทs ๐ต) <s (๐ด ยทs ๐ถ)) โ†’ ๐ต โˆˆ No )
5048, 49posdifsd 27908 . . . 4 ((((๐ด โˆˆ No โˆง 0s <s ๐ด) โˆง ๐ต โˆˆ No โˆง ๐ถ โˆˆ No ) โˆง (๐ด ยทs ๐ต) <s (๐ด ยทs ๐ถ)) โ†’ (๐ถ <s ๐ต โ†” 0s <s (๐ต -s ๐ถ)))
5147, 50mtbird 325 . . 3 ((((๐ด โˆˆ No โˆง 0s <s ๐ด) โˆง ๐ต โˆˆ No โˆง ๐ถ โˆˆ No ) โˆง (๐ด ยทs ๐ต) <s (๐ด ยทs ๐ถ)) โ†’ ยฌ ๐ถ <s ๐ต)
52 sltlin 27586 . . . 4 ((๐ต โˆˆ No โˆง ๐ถ โˆˆ No ) โ†’ (๐ต <s ๐ถ โˆจ ๐ต = ๐ถ โˆจ ๐ถ <s ๐ต))
5349, 48, 52syl2anc 583 . . 3 ((((๐ด โˆˆ No โˆง 0s <s ๐ด) โˆง ๐ต โˆˆ No โˆง ๐ถ โˆˆ No ) โˆง (๐ด ยทs ๐ต) <s (๐ด ยทs ๐ถ)) โ†’ (๐ต <s ๐ถ โˆจ ๐ต = ๐ถ โˆจ ๐ถ <s ๐ต))
5426, 51, 53ecase23d 1469 . 2 ((((๐ด โˆˆ No โˆง 0s <s ๐ด) โˆง ๐ต โˆˆ No โˆง ๐ถ โˆˆ No ) โˆง (๐ด ยทs ๐ต) <s (๐ด ยทs ๐ถ)) โ†’ ๐ต <s ๐ถ)
5516, 54impbida 798 1 (((๐ด โˆˆ No โˆง 0s <s ๐ด) โˆง ๐ต โˆˆ No โˆง ๐ถ โˆˆ No ) โ†’ (๐ต <s ๐ถ โ†” (๐ด ยทs ๐ต) <s (๐ด ยทs ๐ถ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   โˆจ w3o 1083   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   class class class wbr 5138  (class class class)co 7401   No csur 27477   <s cslt 27478   0s c0s 27659   -s csubs 27837   ยทs cmuls 27910
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-tp 4625  df-op 4627  df-ot 4629  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-se 5622  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-1o 8461  df-2o 8462  df-nadd 8660  df-no 27480  df-slt 27481  df-bday 27482  df-sle 27582  df-sslt 27618  df-scut 27620  df-0s 27661  df-made 27678  df-old 27679  df-left 27681  df-right 27682  df-norec 27759  df-norec2 27770  df-adds 27781  df-negs 27838  df-subs 27839  df-muls 27911
This theorem is referenced by:  sltmul2d  27976
  Copyright terms: Public domain W3C validator