MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sltlin Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sltlin 27489
Description: Surreal less-than obeys trichotomy. (Contributed by Scott Fenton, 16-Jun-2011.)
Assertion
Ref Expression
sltlin ((𝐴 No 𝐵 No ) → (𝐴 <s 𝐵𝐴 = 𝐵𝐵 <s 𝐴))

Proof of Theorem sltlin
StepHypRef Expression
1 sltso 27416 . 2 <s Or No
2 solin 5613 . 2 (( <s Or No ∧ (𝐴 No 𝐵 No )) → (𝐴 <s 𝐵𝐴 = 𝐵𝐵 <s 𝐴))
31, 2mpan 687 1 ((𝐴 No 𝐵 No ) → (𝐴 <s 𝐵𝐴 = 𝐵𝐵 <s 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3o 1085   = wceq 1540  wcel 2105   class class class wbr 5148   Or wor 5587   No csur 27380   <s cslt 27381
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5427
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-ord 6367  df-on 6368  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-fv 6551  df-1o 8470  df-2o 8471  df-no 27383  df-slt 27384
This theorem is referenced by:  mulsproplem5  27816  mulsproplem6  27817  mulsproplem7  27818  mulsproplem8  27819  sltmul2  27863
  Copyright terms: Public domain W3C validator