MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sltletrd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sltletrd 27713
Description: Surreal less-than is transitive. (Contributed by Scott Fenton, 8-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
slttrd.1 (𝜑 → ðī ∈ No )
slttrd.2 (𝜑 → ðĩ ∈ No )
slttrd.3 (𝜑 → ðķ ∈ No )
sltletrd.4 (𝜑 → ðī <s ðĩ)
sltletrd.5 (𝜑 → ðĩ â‰Īs ðķ)
Assertion
Ref Expression
sltletrd (𝜑 → ðī <s ðķ)

Proof of Theorem sltletrd
StepHypRef Expression
1 sltletrd.4 . 2 (𝜑 → ðī <s ðĩ)
2 sltletrd.5 . 2 (𝜑 → ðĩ â‰Īs ðķ)
3 slttrd.1 . . 3 (𝜑 → ðī ∈ No )
4 slttrd.2 . . 3 (𝜑 → ðĩ ∈ No )
5 slttrd.3 . . 3 (𝜑 → ðķ ∈ No )
6 sltletr 27709 . . 3 ((ðī ∈ No ∧ ðĩ ∈ No ∧ ðķ ∈ No ) → ((ðī <s ðĩ ∧ ðĩ â‰Īs ðķ) → ðī <s ðķ))
73, 4, 5, 6syl3anc 1368 . 2 (𝜑 → ((ðī <s ðĩ ∧ ðĩ â‰Īs ðķ) → ðī <s ðķ))
81, 2, 7mp2and 697 1 (𝜑 → ðī <s ðķ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5152   No csur 27593   <s cslt 27594   â‰Īs csle 27697
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pr 5433
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-ord 6377  df-on 6378  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-fv 6561  df-1o 8493  df-2o 8494  df-no 27596  df-slt 27597  df-sle 27698
This theorem is referenced by:  slerec  27772  coinitsslt  27859  sleadd1  27926
  Copyright terms: Public domain W3C validator