MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sltletrd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sltletrd 27060
Description: Surreal less-than is transitive. (Contributed by Scott Fenton, 8-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
slttrd.1 (𝜑 → ðī ∈ No )
slttrd.2 (𝜑 → ðĩ ∈ No )
slttrd.3 (𝜑 → ðķ ∈ No )
sltletrd.4 (𝜑 → ðī <s ðĩ)
sltletrd.5 (𝜑 → ðĩ â‰Īs ðķ)
Assertion
Ref Expression
sltletrd (𝜑 → ðī <s ðķ)

Proof of Theorem sltletrd
StepHypRef Expression
1 sltletrd.4 . 2 (𝜑 → ðī <s ðĩ)
2 sltletrd.5 . 2 (𝜑 → ðĩ â‰Īs ðķ)
3 slttrd.1 . . 3 (𝜑 → ðī ∈ No )
4 slttrd.2 . . 3 (𝜑 → ðĩ ∈ No )
5 slttrd.3 . . 3 (𝜑 → ðķ ∈ No )
6 sltletr 27056 . . 3 ((ðī ∈ No ∧ ðĩ ∈ No ∧ ðķ ∈ No ) → ((ðī <s ðĩ ∧ ðĩ â‰Īs ðķ) → ðī <s ðķ))
73, 4, 5, 6syl3anc 1371 . 2 (𝜑 → ((ðī <s ðĩ ∧ ðĩ â‰Īs ðķ) → ðī <s ðķ))
81, 2, 7mp2and 697 1 (𝜑 → ðī <s ðķ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5103   No csur 26940   <s cslt 26941   â‰Īs csle 27044
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pr 5382
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4864  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-ord 6318  df-on 6319  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-fv 6501  df-1o 8404  df-2o 8405  df-no 26943  df-slt 26944  df-sle 27045
This theorem is referenced by:  slerec  27110  coinitsslt  27187  sleadd1  34301
  Copyright terms: Public domain W3C validator