Theorem sltletrd 33890

Description: Surreal less than is transitive. (Contributed by Scott Fenton, 8-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
slttrd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
slttrd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
slttrd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No )
sltletrd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 <s 𝐵)
sltletrd.5	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤s 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
sltletrd	⊢ (𝜑 → 𝐴 <s 𝐶)

Proof of Theorem sltletrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sltletrd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 <s 𝐵)
2		sltletrd.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤s 𝐶)
3		slttrd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
4		slttrd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
5		slttrd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No )
6		sltletr 33886	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ∧ 𝐶 ∈ No ) → ((𝐴 <s 𝐵 ∧ 𝐵 ≤s 𝐶) → 𝐴 <s 𝐶))
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1369	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 <s 𝐵 ∧ 𝐵 ≤s 𝐶) → 𝐴 <s 𝐶))
8	1, 2, 7	mp2and 695	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 <s 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5070   No csur 33770   <s cslt 33771   ≤s csle 33874

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pr 5347  ax-un 7566

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-ord 6254  df-on 6255  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-fv 6426  df-1o 8267  df-2o 8268  df-no 33773  df-slt 33774  df-sle 33875

This theorem is referenced by:  slerec  33940  coinitsslt  34016