MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sltletrd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sltletrd 27260
Description: Surreal less-than is transitive. (Contributed by Scott Fenton, 8-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
slttrd.1 (𝜑 → ðī ∈ No )
slttrd.2 (𝜑 → ðĩ ∈ No )
slttrd.3 (𝜑 → ðķ ∈ No )
sltletrd.4 (𝜑 → ðī <s ðĩ)
sltletrd.5 (𝜑 → ðĩ â‰Īs ðķ)
Assertion
Ref Expression
sltletrd (𝜑 → ðī <s ðķ)

Proof of Theorem sltletrd
StepHypRef Expression
1 sltletrd.4 . 2 (𝜑 → ðī <s ðĩ)
2 sltletrd.5 . 2 (𝜑 → ðĩ â‰Īs ðķ)
3 slttrd.1 . . 3 (𝜑 → ðī ∈ No )
4 slttrd.2 . . 3 (𝜑 → ðĩ ∈ No )
5 slttrd.3 . . 3 (𝜑 → ðķ ∈ No )
6 sltletr 27256 . . 3 ((ðī ∈ No ∧ ðĩ ∈ No ∧ ðķ ∈ No ) → ((ðī <s ðĩ ∧ ðĩ â‰Īs ðķ) → ðī <s ðķ))
73, 4, 5, 6syl3anc 1371 . 2 (𝜑 → ((ðī <s ðĩ ∧ ðĩ â‰Īs ðķ) → ðī <s ðķ))
81, 2, 7mp2and 697 1 (𝜑 → ðī <s ðķ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5148   No csur 27140   <s cslt 27141   â‰Īs csle 27244
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5427
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-ord 6367  df-on 6368  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-fv 6551  df-1o 8465  df-2o 8466  df-no 27143  df-slt 27144  df-sle 27245
This theorem is referenced by:  slerec  27317  coinitsslt  27403  sleadd1  27469
  Copyright terms: Public domain W3C validator