MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulscan2d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulscan2d 27994
Description: Cancellation of surreal multiplication when the right term is non-zero. (Contributed by Scott Fenton, 10-Mar-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
mulscan2d.1 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ No )
mulscan2d.2 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ No )
mulscan2d.3 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ No )
mulscan2d.4 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โ‰  0s )
Assertion
Ref Expression
mulscan2d (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ยทs ๐ถ) = (๐ต ยทs ๐ถ) โ†” ๐ด = ๐ต))

Proof of Theorem mulscan2d
StepHypRef Expression
1 mulscan2d.3 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ No )
2 0sno 27674 . . . . 5 0s โˆˆ No
3 sltneg 27872 . . . . 5 ((๐ถ โˆˆ No โˆง 0s โˆˆ No ) โ†’ (๐ถ <s 0s โ†” ( -us โ€˜ 0s ) <s ( -us โ€˜๐ถ)))
41, 2, 3sylancl 585 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ <s 0s โ†” ( -us โ€˜ 0s ) <s ( -us โ€˜๐ถ)))
5 negs0s 27854 . . . . 5 ( -us โ€˜ 0s ) = 0s
65breq1i 5145 . . . 4 (( -us โ€˜ 0s ) <s ( -us โ€˜๐ถ) โ†” 0s <s ( -us โ€˜๐ถ))
74, 6bitrdi 287 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ <s 0s โ†” 0s <s ( -us โ€˜๐ถ)))
8 mulscan2d.1 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ No )
98, 1mulnegs2d 27976 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยทs ( -us โ€˜๐ถ)) = ( -us โ€˜(๐ด ยทs ๐ถ)))
10 mulscan2d.2 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ No )
1110, 1mulnegs2d 27976 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐ต ยทs ( -us โ€˜๐ถ)) = ( -us โ€˜(๐ต ยทs ๐ถ)))
129, 11eqeq12d 2740 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ยทs ( -us โ€˜๐ถ)) = (๐ต ยทs ( -us โ€˜๐ถ)) โ†” ( -us โ€˜(๐ด ยทs ๐ถ)) = ( -us โ€˜(๐ต ยทs ๐ถ))))
138, 1mulscld 27950 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยทs ๐ถ) โˆˆ No )
1410, 1mulscld 27950 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐ต ยทs ๐ถ) โˆˆ No )
15 negs11 27876 . . . . . . 7 (((๐ด ยทs ๐ถ) โˆˆ No โˆง (๐ต ยทs ๐ถ) โˆˆ No ) โ†’ (( -us โ€˜(๐ด ยทs ๐ถ)) = ( -us โ€˜(๐ต ยทs ๐ถ)) โ†” (๐ด ยทs ๐ถ) = (๐ต ยทs ๐ถ)))
1613, 14, 15syl2anc 583 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (( -us โ€˜(๐ด ยทs ๐ถ)) = ( -us โ€˜(๐ต ยทs ๐ถ)) โ†” (๐ด ยทs ๐ถ) = (๐ต ยทs ๐ถ)))
1712, 16bitrd 279 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ยทs ( -us โ€˜๐ถ)) = (๐ต ยทs ( -us โ€˜๐ถ)) โ†” (๐ด ยทs ๐ถ) = (๐ต ยทs ๐ถ)))
1817adantr 480 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง 0s <s ( -us โ€˜๐ถ)) โ†’ ((๐ด ยทs ( -us โ€˜๐ถ)) = (๐ต ยทs ( -us โ€˜๐ถ)) โ†” (๐ด ยทs ๐ถ) = (๐ต ยทs ๐ถ)))
198adantr 480 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง 0s <s ( -us โ€˜๐ถ)) โ†’ ๐ด โˆˆ No )
2010adantr 480 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง 0s <s ( -us โ€˜๐ถ)) โ†’ ๐ต โˆˆ No )
211negscld 27864 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ( -us โ€˜๐ถ) โˆˆ No )
2221adantr 480 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง 0s <s ( -us โ€˜๐ถ)) โ†’ ( -us โ€˜๐ถ) โˆˆ No )
23 simpr 484 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง 0s <s ( -us โ€˜๐ถ)) โ†’ 0s <s ( -us โ€˜๐ถ))
2419, 20, 22, 23mulscan2dlem 27993 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง 0s <s ( -us โ€˜๐ถ)) โ†’ ((๐ด ยทs ( -us โ€˜๐ถ)) = (๐ต ยทs ( -us โ€˜๐ถ)) โ†” ๐ด = ๐ต))
2518, 24bitr3d 281 . . 3 ((๐œ‘ โˆง 0s <s ( -us โ€˜๐ถ)) โ†’ ((๐ด ยทs ๐ถ) = (๐ต ยทs ๐ถ) โ†” ๐ด = ๐ต))
267, 25sylbida 591 . 2 ((๐œ‘ โˆง ๐ถ <s 0s ) โ†’ ((๐ด ยทs ๐ถ) = (๐ต ยทs ๐ถ) โ†” ๐ด = ๐ต))
278adantr 480 . . 3 ((๐œ‘ โˆง 0s <s ๐ถ) โ†’ ๐ด โˆˆ No )
2810adantr 480 . . 3 ((๐œ‘ โˆง 0s <s ๐ถ) โ†’ ๐ต โˆˆ No )
291adantr 480 . . 3 ((๐œ‘ โˆง 0s <s ๐ถ) โ†’ ๐ถ โˆˆ No )
30 simpr 484 . . 3 ((๐œ‘ โˆง 0s <s ๐ถ) โ†’ 0s <s ๐ถ)
3127, 28, 29, 30mulscan2dlem 27993 . 2 ((๐œ‘ โˆง 0s <s ๐ถ) โ†’ ((๐ด ยทs ๐ถ) = (๐ต ยทs ๐ถ) โ†” ๐ด = ๐ต))
32 mulscan2d.4 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โ‰  0s )
33 slttrine 27599 . . . 4 ((๐ถ โˆˆ No โˆง 0s โˆˆ No ) โ†’ (๐ถ โ‰  0s โ†” (๐ถ <s 0s โˆจ 0s <s ๐ถ)))
341, 2, 33sylancl 585 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ โ‰  0s โ†” (๐ถ <s 0s โˆจ 0s <s ๐ถ)))
3532, 34mpbid 231 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐ถ <s 0s โˆจ 0s <s ๐ถ))
3626, 31, 35mpjaodan 955 1 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ยทs ๐ถ) = (๐ต ยทs ๐ถ) โ†” ๐ด = ๐ต))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   โˆจ wo 844   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2932   class class class wbr 5138  โ€˜cfv 6533  (class class class)co 7401   No csur 27488   <s cslt 27489   0s c0s 27670   -us cnegs 27847   ยทs cmuls 27921
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-tp 4625  df-op 4627  df-ot 4629  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-se 5622  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-1o 8461  df-2o 8462  df-nadd 8660  df-no 27491  df-slt 27492  df-bday 27493  df-sle 27593  df-sslt 27629  df-scut 27631  df-0s 27672  df-made 27689  df-old 27690  df-left 27692  df-right 27693  df-norec 27770  df-norec2 27781  df-adds 27792  df-negs 27849  df-subs 27850  df-muls 27922
This theorem is referenced by:  mulscan1d  27995  muls0ord  28000
  Copyright terms: Public domain W3C validator