MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lrold Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lrold 27391
Description: The union of the left and right options of a surreal make its old set. (Contributed by Scott Fenton, 9-Oct-2024.)
Assertion
Ref Expression
lrold (( L β€˜π΄) βˆͺ ( R β€˜π΄)) = ( O β€˜( bday β€˜π΄))

Proof of Theorem lrold
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 leftval 27358 . . . . 5 ( L β€˜π΄) = {π‘₯ ∈ ( O β€˜( bday β€˜π΄)) ∣ π‘₯ <s 𝐴}
2 rightval 27359 . . . . 5 ( R β€˜π΄) = {π‘₯ ∈ ( O β€˜( bday β€˜π΄)) ∣ 𝐴 <s π‘₯}
31, 2uneq12i 4162 . . . 4 (( L β€˜π΄) βˆͺ ( R β€˜π΄)) = ({π‘₯ ∈ ( O β€˜( bday β€˜π΄)) ∣ π‘₯ <s 𝐴} βˆͺ {π‘₯ ∈ ( O β€˜( bday β€˜π΄)) ∣ 𝐴 <s π‘₯})
4 unrab 4306 . . . 4 ({π‘₯ ∈ ( O β€˜( bday β€˜π΄)) ∣ π‘₯ <s 𝐴} βˆͺ {π‘₯ ∈ ( O β€˜( bday β€˜π΄)) ∣ 𝐴 <s π‘₯}) = {π‘₯ ∈ ( O β€˜( bday β€˜π΄)) ∣ (π‘₯ <s 𝐴 ∨ 𝐴 <s π‘₯)}
53, 4eqtri 2761 . . 3 (( L β€˜π΄) βˆͺ ( R β€˜π΄)) = {π‘₯ ∈ ( O β€˜( bday β€˜π΄)) ∣ (π‘₯ <s 𝐴 ∨ 𝐴 <s π‘₯)}
6 oldirr 27384 . . . . . . . 8 Β¬ 𝐴 ∈ ( O β€˜( bday β€˜π΄))
7 eleq1 2822 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝐴 β†’ (π‘₯ ∈ ( O β€˜( bday β€˜π΄)) ↔ 𝐴 ∈ ( O β€˜( bday β€˜π΄))))
86, 7mtbiri 327 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝐴 β†’ Β¬ π‘₯ ∈ ( O β€˜( bday β€˜π΄)))
98necon2ai 2971 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ ( O β€˜( bday β€˜π΄)) β†’ π‘₯ β‰  𝐴)
109adantl 483 . . . . 5 ((𝐴 ∈ No ∧ π‘₯ ∈ ( O β€˜( bday β€˜π΄))) β†’ π‘₯ β‰  𝐴)
11 oldssno 27356 . . . . . . 7 ( O β€˜( bday β€˜π΄)) βŠ† No
1211sseli 3979 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ ( O β€˜( bday β€˜π΄)) β†’ π‘₯ ∈ No )
13 slttrine 27254 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ No ∧ 𝐴 ∈ No ) β†’ (π‘₯ β‰  𝐴 ↔ (π‘₯ <s 𝐴 ∨ 𝐴 <s π‘₯)))
1413ancoms 460 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ No ∧ π‘₯ ∈ No ) β†’ (π‘₯ β‰  𝐴 ↔ (π‘₯ <s 𝐴 ∨ 𝐴 <s π‘₯)))
1512, 14sylan2 594 . . . . 5 ((𝐴 ∈ No ∧ π‘₯ ∈ ( O β€˜( bday β€˜π΄))) β†’ (π‘₯ β‰  𝐴 ↔ (π‘₯ <s 𝐴 ∨ 𝐴 <s π‘₯)))
1610, 15mpbid 231 . . . 4 ((𝐴 ∈ No ∧ π‘₯ ∈ ( O β€˜( bday β€˜π΄))) β†’ (π‘₯ <s 𝐴 ∨ 𝐴 <s π‘₯))
1716rabeqcda 3444 . . 3 (𝐴 ∈ No β†’ {π‘₯ ∈ ( O β€˜( bday β€˜π΄)) ∣ (π‘₯ <s 𝐴 ∨ 𝐴 <s π‘₯)} = ( O β€˜( bday β€˜π΄)))
185, 17eqtrid 2785 . 2 (𝐴 ∈ No β†’ (( L β€˜π΄) βˆͺ ( R β€˜π΄)) = ( O β€˜( bday β€˜π΄)))
19 un0 4391 . . 3 (βˆ… βˆͺ βˆ…) = βˆ…
20 leftf 27360 . . . . . . 7 L : No βŸΆπ’« No
2120fdmi 6730 . . . . . 6 dom L = No
2221eleq2i 2826 . . . . 5 (𝐴 ∈ dom L ↔ 𝐴 ∈ No )
23 ndmfv 6927 . . . . 5 (Β¬ 𝐴 ∈ dom L β†’ ( L β€˜π΄) = βˆ…)
2422, 23sylnbir 331 . . . 4 (Β¬ 𝐴 ∈ No β†’ ( L β€˜π΄) = βˆ…)
25 rightf 27361 . . . . . . 7 R : No βŸΆπ’« No
2625fdmi 6730 . . . . . 6 dom R = No
2726eleq2i 2826 . . . . 5 (𝐴 ∈ dom R ↔ 𝐴 ∈ No )
28 ndmfv 6927 . . . . 5 (Β¬ 𝐴 ∈ dom R β†’ ( R β€˜π΄) = βˆ…)
2927, 28sylnbir 331 . . . 4 (Β¬ 𝐴 ∈ No β†’ ( R β€˜π΄) = βˆ…)
3024, 29uneq12d 4165 . . 3 (Β¬ 𝐴 ∈ No β†’ (( L β€˜π΄) βˆͺ ( R β€˜π΄)) = (βˆ… βˆͺ βˆ…))
31 bdaydm 27276 . . . . . . 7 dom bday = No
3231eleq2i 2826 . . . . . 6 (𝐴 ∈ dom bday ↔ 𝐴 ∈ No )
33 ndmfv 6927 . . . . . 6 (Β¬ 𝐴 ∈ dom bday β†’ ( bday β€˜π΄) = βˆ…)
3432, 33sylnbir 331 . . . . 5 (Β¬ 𝐴 ∈ No β†’ ( bday β€˜π΄) = βˆ…)
3534fveq2d 6896 . . . 4 (Β¬ 𝐴 ∈ No β†’ ( O β€˜( bday β€˜π΄)) = ( O β€˜βˆ…))
36 old0 27354 . . . 4 ( O β€˜βˆ…) = βˆ…
3735, 36eqtrdi 2789 . . 3 (Β¬ 𝐴 ∈ No β†’ ( O β€˜( bday β€˜π΄)) = βˆ…)
3819, 30, 373eqtr4a 2799 . 2 (Β¬ 𝐴 ∈ No β†’ (( L β€˜π΄) βˆͺ ( R β€˜π΄)) = ( O β€˜( bday β€˜π΄)))
3918, 38pm2.61i 182 1 (( L β€˜π΄) βˆͺ ( R β€˜π΄)) = ( O β€˜( bday β€˜π΄))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  {crab 3433   βˆͺ cun 3947  βˆ…c0 4323  π’« cpw 4603   class class class wbr 5149  dom cdm 5677  β€˜cfv 6544   No csur 27143   <s cslt 27144   bday cbday 27145   O cold 27338   L cleft 27340   R cright 27341
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-1o 8466  df-2o 8467  df-no 27146  df-slt 27147  df-bday 27148  df-sslt 27283  df-scut 27285  df-made 27342  df-old 27343  df-left 27345  df-right 27346
This theorem is referenced by:  lruneq  27400  lrrecval2  27424  negsbdaylem  27530
  Copyright terms: Public domain W3C validator