MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  recsex Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem recsex 28281
Description: A non-zero surreal has a reciprocal. (Contributed by Scott Fenton, 15-Mar-2025.)
Assertion
Ref Expression
recsex ((๐ด โˆˆ No โˆง ๐ด โ‰  0s ) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ No (๐ด ยทs ๐‘ฅ) = 1s )
Distinct variable group:   ๐‘ฅ,๐ด

Proof of Theorem recsex
Dummy variable ๐‘ฆ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0sno 27909 . . . 4 0s โˆˆ No
2 slttrine 27834 . . . 4 ((๐ด โˆˆ No โˆง 0s โˆˆ No ) โ†’ (๐ด โ‰  0s โ†” (๐ด <s 0s โˆจ 0s <s ๐ด)))
31, 2mpan2 690 . . 3 (๐ด โˆˆ No โ†’ (๐ด โ‰  0s โ†” (๐ด <s 0s โˆจ 0s <s ๐ด)))
4 sltneg 28115 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ No โˆง 0s โˆˆ No ) โ†’ (๐ด <s 0s โ†” ( -us โ€˜ 0s ) <s ( -us โ€˜๐ด)))
51, 4mpan2 690 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ No โ†’ (๐ด <s 0s โ†” ( -us โ€˜ 0s ) <s ( -us โ€˜๐ด)))
6 negs0s 28096 . . . . . . 7 ( -us โ€˜ 0s ) = 0s
76breq1i 5174 . . . . . 6 (( -us โ€˜ 0s ) <s ( -us โ€˜๐ด) โ†” 0s <s ( -us โ€˜๐ด))
85, 7bitrdi 287 . . . . 5 (๐ด โˆˆ No โ†’ (๐ด <s 0s โ†” 0s <s ( -us โ€˜๐ด)))
9 negscl 28106 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ No โ†’ ( -us โ€˜๐ด) โˆˆ No )
10 precsex 28280 . . . . . . . 8 ((( -us โ€˜๐ด) โˆˆ No โˆง 0s <s ( -us โ€˜๐ด)) โ†’ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ No (( -us โ€˜๐ด) ยทs ๐‘ฆ) = 1s )
119, 10sylan 579 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ No โˆง 0s <s ( -us โ€˜๐ด)) โ†’ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ No (( -us โ€˜๐ด) ยทs ๐‘ฆ) = 1s )
12 simprl 770 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ No โˆง 0s <s ( -us โ€˜๐ด)) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ No โˆง (( -us โ€˜๐ด) ยทs ๐‘ฆ) = 1s )) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ No )
1312negscld 28107 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ No โˆง 0s <s ( -us โ€˜๐ด)) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ No โˆง (( -us โ€˜๐ด) ยทs ๐‘ฆ) = 1s )) โ†’ ( -us โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ No )
14 simpll 766 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โˆˆ No โˆง 0s <s ( -us โ€˜๐ด)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ No ) โ†’ ๐ด โˆˆ No )
15 simpr 484 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โˆˆ No โˆง 0s <s ( -us โ€˜๐ด)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ No ) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ No )
1614, 15mulnegs1d 28224 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ No โˆง 0s <s ( -us โ€˜๐ด)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ No ) โ†’ (( -us โ€˜๐ด) ยทs ๐‘ฆ) = ( -us โ€˜(๐ด ยทs ๐‘ฆ)))
1714, 15mulnegs2d 28225 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ No โˆง 0s <s ( -us โ€˜๐ด)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ No ) โ†’ (๐ด ยทs ( -us โ€˜๐‘ฆ)) = ( -us โ€˜(๐ด ยทs ๐‘ฆ)))
1816, 17eqtr4d 2783 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ No โˆง 0s <s ( -us โ€˜๐ด)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ No ) โ†’ (( -us โ€˜๐ด) ยทs ๐‘ฆ) = (๐ด ยทs ( -us โ€˜๐‘ฆ)))
1918eqeq1d 2742 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ No โˆง 0s <s ( -us โ€˜๐ด)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ No ) โ†’ ((( -us โ€˜๐ด) ยทs ๐‘ฆ) = 1s โ†” (๐ด ยทs ( -us โ€˜๐‘ฆ)) = 1s ))
2019biimpd 229 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ No โˆง 0s <s ( -us โ€˜๐ด)) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ No ) โ†’ ((( -us โ€˜๐ด) ยทs ๐‘ฆ) = 1s โ†’ (๐ด ยทs ( -us โ€˜๐‘ฆ)) = 1s ))
2120impr 454 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ No โˆง 0s <s ( -us โ€˜๐ด)) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ No โˆง (( -us โ€˜๐ด) ยทs ๐‘ฆ) = 1s )) โ†’ (๐ด ยทs ( -us โ€˜๐‘ฆ)) = 1s )
22 oveq2 7459 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ = ( -us โ€˜๐‘ฆ) โ†’ (๐ด ยทs ๐‘ฅ) = (๐ด ยทs ( -us โ€˜๐‘ฆ)))
2322eqeq1d 2742 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = ( -us โ€˜๐‘ฆ) โ†’ ((๐ด ยทs ๐‘ฅ) = 1s โ†” (๐ด ยทs ( -us โ€˜๐‘ฆ)) = 1s ))
2423rspcev 3635 . . . . . . . 8 ((( -us โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ No โˆง (๐ด ยทs ( -us โ€˜๐‘ฆ)) = 1s ) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ No (๐ด ยทs ๐‘ฅ) = 1s )
2513, 21, 24syl2anc 583 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ No โˆง 0s <s ( -us โ€˜๐ด)) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ No โˆง (( -us โ€˜๐ด) ยทs ๐‘ฆ) = 1s )) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ No (๐ด ยทs ๐‘ฅ) = 1s )
2611, 25rexlimddv 3167 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ No โˆง 0s <s ( -us โ€˜๐ด)) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ No (๐ด ยทs ๐‘ฅ) = 1s )
2726ex 412 . . . . 5 (๐ด โˆˆ No โ†’ ( 0s <s ( -us โ€˜๐ด) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ No (๐ด ยทs ๐‘ฅ) = 1s ))
288, 27sylbid 240 . . . 4 (๐ด โˆˆ No โ†’ (๐ด <s 0s โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ No (๐ด ยทs ๐‘ฅ) = 1s ))
29 precsex 28280 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ No โˆง 0s <s ๐ด) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ No (๐ด ยทs ๐‘ฅ) = 1s )
3029ex 412 . . . 4 (๐ด โˆˆ No โ†’ ( 0s <s ๐ด โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ No (๐ด ยทs ๐‘ฅ) = 1s ))
3128, 30jaod 858 . . 3 (๐ด โˆˆ No โ†’ ((๐ด <s 0s โˆจ 0s <s ๐ด) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ No (๐ด ยทs ๐‘ฅ) = 1s ))
323, 31sylbid 240 . 2 (๐ด โˆˆ No โ†’ (๐ด โ‰  0s โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ No (๐ด ยทs ๐‘ฅ) = 1s ))
3332imp 406 1 ((๐ด โˆˆ No โˆง ๐ด โ‰  0s ) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ No (๐ด ยทs ๐‘ฅ) = 1s )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 206   โˆง wa 395   โˆจ wo 846   = wceq 1537   โˆˆ wcel 2108   โ‰  wne 2946  โˆƒwrex 3076   class class class wbr 5167  โ€˜cfv 6576  (class class class)co 7451   No csur 27722   <s cslt 27723   0s c0s 27905   1s c1s 27906   -us cnegs 28089   ยทs cmuls 28170
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5304  ax-sep 5318  ax-nul 5325  ax-pow 5384  ax-pr 5448  ax-un 7773  ax-dc 10518
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-ot 4657  df-uni 4933  df-int 4972  df-iun 5018  df-br 5168  df-opab 5230  df-mpt 5251  df-tr 5285  df-id 5594  df-eprel 5600  df-po 5608  df-so 5609  df-fr 5653  df-se 5654  df-we 5655  df-xp 5707  df-rel 5708  df-cnv 5709  df-co 5710  df-dm 5711  df-rn 5712  df-res 5713  df-ima 5714  df-pred 6335  df-ord 6401  df-on 6402  df-lim 6403  df-suc 6404  df-iota 6528  df-fun 6578  df-fn 6579  df-f 6580  df-f1 6581  df-fo 6582  df-f1o 6583  df-fv 6584  df-riota 7407  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7907  df-1st 8033  df-2nd 8034  df-frecs 8325  df-wrecs 8356  df-recs 8430  df-rdg 8469  df-1o 8525  df-2o 8526  df-oadd 8529  df-nadd 8725  df-no 27725  df-slt 27726  df-bday 27727  df-sle 27828  df-sslt 27864  df-scut 27866  df-0s 27907  df-1s 27908  df-made 27924  df-old 27925  df-left 27927  df-right 27928  df-norec 28009  df-norec2 28020  df-adds 28031  df-negs 28091  df-subs 28092  df-muls 28171  df-divs 28252
This theorem is referenced by:  recsexd  28282  divsmul  28283  divscl  28285
  Copyright terms: Public domain W3C validator