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Theorem funcres2b 17788
Description: Condition for a functor to also be a functor into the restriction. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
funcres2b.a 𝐴 = (Baseβ€˜πΆ)
funcres2b.h 𝐻 = (Hom β€˜πΆ)
funcres2b.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ (Subcatβ€˜π·))
funcres2b.s (πœ‘ β†’ 𝑅 Fn (𝑆 Γ— 𝑆))
funcres2b.1 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆπ‘†)
funcres2b.2 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) β†’ (π‘₯𝐺𝑦):π‘ŒβŸΆ((πΉβ€˜π‘₯)𝑅(πΉβ€˜π‘¦)))
Assertion
Ref Expression
funcres2b (πœ‘ β†’ (𝐹(𝐢 Func 𝐷)𝐺 ↔ 𝐹(𝐢 Func (𝐷 β†Ύcat 𝑅))𝐺))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝐴   π‘₯,𝐢,𝑦   π‘₯,𝐷,𝑦   πœ‘,π‘₯,𝑦   π‘₯,𝐹,𝑦   π‘₯,𝐺,𝑦   π‘₯,𝐻,𝑦   π‘₯,𝑅,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑆(π‘₯,𝑦)   π‘Œ(π‘₯,𝑦)

Proof of Theorem funcres2b
Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-br 5107 . . . . 5 (𝐹(𝐢 Func 𝐷)𝐺 ↔ ⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ (𝐢 Func 𝐷))
2 funcrcl 17754 . . . . 5 (⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ (𝐢 Func 𝐷) β†’ (𝐢 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat))
31, 2sylbi 216 . . . 4 (𝐹(𝐢 Func 𝐷)𝐺 β†’ (𝐢 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat))
43simpld 496 . . 3 (𝐹(𝐢 Func 𝐷)𝐺 β†’ 𝐢 ∈ Cat)
54a1i 11 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹(𝐢 Func 𝐷)𝐺 β†’ 𝐢 ∈ Cat))
6 df-br 5107 . . . . 5 (𝐹(𝐢 Func (𝐷 β†Ύcat 𝑅))𝐺 ↔ ⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ (𝐢 Func (𝐷 β†Ύcat 𝑅)))
7 funcrcl 17754 . . . . 5 (⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ (𝐢 Func (𝐷 β†Ύcat 𝑅)) β†’ (𝐢 ∈ Cat ∧ (𝐷 β†Ύcat 𝑅) ∈ Cat))
86, 7sylbi 216 . . . 4 (𝐹(𝐢 Func (𝐷 β†Ύcat 𝑅))𝐺 β†’ (𝐢 ∈ Cat ∧ (𝐷 β†Ύcat 𝑅) ∈ Cat))
98simpld 496 . . 3 (𝐹(𝐢 Func (𝐷 β†Ύcat 𝑅))𝐺 β†’ 𝐢 ∈ Cat)
109a1i 11 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹(𝐢 Func (𝐷 β†Ύcat 𝑅))𝐺 β†’ 𝐢 ∈ Cat))
11 funcres2b.1 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆπ‘†)
12 funcres2b.r . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ (Subcatβ€˜π·))
13 funcres2b.s . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑅 Fn (𝑆 Γ— 𝑆))
14 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (Baseβ€˜π·) = (Baseβ€˜π·)
1512, 13, 14subcss1 17733 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π·))
1611, 15fssd 6687 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐴⟢(Baseβ€˜π·))
17 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (𝐷 β†Ύcat 𝑅) = (𝐷 β†Ύcat 𝑅)
18 subcrcl 17704 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ (Subcatβ€˜π·) β†’ 𝐷 ∈ Cat)
1912, 18syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ Cat)
2017, 14, 19, 13, 15rescbas 17717 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑆 = (Baseβ€˜(𝐷 β†Ύcat 𝑅)))
2120feq3d 6656 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐹:π΄βŸΆπ‘† ↔ 𝐹:𝐴⟢(Baseβ€˜(𝐷 β†Ύcat 𝑅))))
2211, 21mpbid 231 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐴⟢(Baseβ€˜(𝐷 β†Ύcat 𝑅)))
2316, 222thd 265 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐹:𝐴⟢(Baseβ€˜π·) ↔ 𝐹:𝐴⟢(Baseβ€˜(𝐷 β†Ύcat 𝑅))))
2423adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ Cat) β†’ (𝐹:𝐴⟢(Baseβ€˜π·) ↔ 𝐹:𝐴⟢(Baseβ€˜(𝐷 β†Ύcat 𝑅))))
25 funcres2b.2 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) β†’ (π‘₯𝐺𝑦):π‘ŒβŸΆ((πΉβ€˜π‘₯)𝑅(πΉβ€˜π‘¦)))
2625adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ Cat) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) β†’ (π‘₯𝐺𝑦):π‘ŒβŸΆ((πΉβ€˜π‘₯)𝑅(πΉβ€˜π‘¦)))
2726frnd 6677 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ Cat) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) β†’ ran (π‘₯𝐺𝑦) βŠ† ((πΉβ€˜π‘₯)𝑅(πΉβ€˜π‘¦)))
2812ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ Cat) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) β†’ 𝑅 ∈ (Subcatβ€˜π·))
2913ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ Cat) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) β†’ 𝑅 Fn (𝑆 Γ— 𝑆))
30 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (Hom β€˜π·) = (Hom β€˜π·)
3111ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ Cat) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) β†’ 𝐹:π΄βŸΆπ‘†)
32 simprl 770 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ Cat) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐴)
3331, 32ffvelcdmd 7037 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ Cat) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ 𝑆)
34 simprr 772 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ Cat) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) β†’ 𝑦 ∈ 𝐴)
3531, 34ffvelcdmd 7037 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ Cat) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ∈ 𝑆)
3628, 29, 30, 33, 35subcss2 17734 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ Cat) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯)𝑅(πΉβ€˜π‘¦)) βŠ† ((πΉβ€˜π‘₯)(Hom β€˜π·)(πΉβ€˜π‘¦)))
3727, 36sstrd 3955 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ Cat) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) β†’ ran (π‘₯𝐺𝑦) βŠ† ((πΉβ€˜π‘₯)(Hom β€˜π·)(πΉβ€˜π‘¦)))
3837, 272thd 265 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ Cat) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) β†’ (ran (π‘₯𝐺𝑦) βŠ† ((πΉβ€˜π‘₯)(Hom β€˜π·)(πΉβ€˜π‘¦)) ↔ ran (π‘₯𝐺𝑦) βŠ† ((πΉβ€˜π‘₯)𝑅(πΉβ€˜π‘¦))))
3938anbi2d 630 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ Cat) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) β†’ (((π‘₯𝐺𝑦) Fn (π‘₯𝐻𝑦) ∧ ran (π‘₯𝐺𝑦) βŠ† ((πΉβ€˜π‘₯)(Hom β€˜π·)(πΉβ€˜π‘¦))) ↔ ((π‘₯𝐺𝑦) Fn (π‘₯𝐻𝑦) ∧ ran (π‘₯𝐺𝑦) βŠ† ((πΉβ€˜π‘₯)𝑅(πΉβ€˜π‘¦)))))
40 df-f 6501 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘₯𝐺𝑦):(π‘₯𝐻𝑦)⟢((πΉβ€˜π‘₯)(Hom β€˜π·)(πΉβ€˜π‘¦)) ↔ ((π‘₯𝐺𝑦) Fn (π‘₯𝐻𝑦) ∧ ran (π‘₯𝐺𝑦) βŠ† ((πΉβ€˜π‘₯)(Hom β€˜π·)(πΉβ€˜π‘¦))))
41 df-f 6501 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘₯𝐺𝑦):(π‘₯𝐻𝑦)⟢((πΉβ€˜π‘₯)𝑅(πΉβ€˜π‘¦)) ↔ ((π‘₯𝐺𝑦) Fn (π‘₯𝐻𝑦) ∧ ran (π‘₯𝐺𝑦) βŠ† ((πΉβ€˜π‘₯)𝑅(πΉβ€˜π‘¦))))
4239, 40, 413bitr4g 314 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ Cat) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) β†’ ((π‘₯𝐺𝑦):(π‘₯𝐻𝑦)⟢((πΉβ€˜π‘₯)(Hom β€˜π·)(πΉβ€˜π‘¦)) ↔ (π‘₯𝐺𝑦):(π‘₯𝐻𝑦)⟢((πΉβ€˜π‘₯)𝑅(πΉβ€˜π‘¦))))
4317, 14, 19, 13, 15reschom 17719 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝑅 = (Hom β€˜(𝐷 β†Ύcat 𝑅)))
4443ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ Cat) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) β†’ 𝑅 = (Hom β€˜(𝐷 β†Ύcat 𝑅)))
4544oveqd 7375 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ Cat) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯)𝑅(πΉβ€˜π‘¦)) = ((πΉβ€˜π‘₯)(Hom β€˜(𝐷 β†Ύcat 𝑅))(πΉβ€˜π‘¦)))
4645feq3d 6656 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ Cat) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) β†’ ((π‘₯𝐺𝑦):(π‘₯𝐻𝑦)⟢((πΉβ€˜π‘₯)𝑅(πΉβ€˜π‘¦)) ↔ (π‘₯𝐺𝑦):(π‘₯𝐻𝑦)⟢((πΉβ€˜π‘₯)(Hom β€˜(𝐷 β†Ύcat 𝑅))(πΉβ€˜π‘¦))))
4742, 46bitrd 279 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ Cat) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) β†’ ((π‘₯𝐺𝑦):(π‘₯𝐻𝑦)⟢((πΉβ€˜π‘₯)(Hom β€˜π·)(πΉβ€˜π‘¦)) ↔ (π‘₯𝐺𝑦):(π‘₯𝐻𝑦)⟢((πΉβ€˜π‘₯)(Hom β€˜(𝐷 β†Ύcat 𝑅))(πΉβ€˜π‘¦))))
4847ralrimivva 3194 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ Cat) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 ((π‘₯𝐺𝑦):(π‘₯𝐻𝑦)⟢((πΉβ€˜π‘₯)(Hom β€˜π·)(πΉβ€˜π‘¦)) ↔ (π‘₯𝐺𝑦):(π‘₯𝐻𝑦)⟢((πΉβ€˜π‘₯)(Hom β€˜(𝐷 β†Ύcat 𝑅))(πΉβ€˜π‘¦))))
49 fveq2 6843 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = ⟨π‘₯, π‘¦βŸ© β†’ (πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜βŸ¨π‘₯, π‘¦βŸ©))
50 df-ov 7361 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯𝐺𝑦) = (πΊβ€˜βŸ¨π‘₯, π‘¦βŸ©)
5149, 50eqtr4di 2791 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = ⟨π‘₯, π‘¦βŸ© β†’ (πΊβ€˜π‘§) = (π‘₯𝐺𝑦))
52 vex 3448 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 π‘₯ ∈ V
53 vex 3448 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑦 ∈ V
5452, 53op1std 7932 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 = ⟨π‘₯, π‘¦βŸ© β†’ (1st β€˜π‘§) = π‘₯)
5554fveq2d 6847 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = ⟨π‘₯, π‘¦βŸ© β†’ (πΉβ€˜(1st β€˜π‘§)) = (πΉβ€˜π‘₯))
5652, 53op2ndd 7933 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 = ⟨π‘₯, π‘¦βŸ© β†’ (2nd β€˜π‘§) = 𝑦)
5756fveq2d 6847 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = ⟨π‘₯, π‘¦βŸ© β†’ (πΉβ€˜(2nd β€˜π‘§)) = (πΉβ€˜π‘¦))
5855, 57oveq12d 7376 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = ⟨π‘₯, π‘¦βŸ© β†’ ((πΉβ€˜(1st β€˜π‘§))(Hom β€˜π·)(πΉβ€˜(2nd β€˜π‘§))) = ((πΉβ€˜π‘₯)(Hom β€˜π·)(πΉβ€˜π‘¦)))
59 fveq2 6843 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = ⟨π‘₯, π‘¦βŸ© β†’ (π»β€˜π‘§) = (π»β€˜βŸ¨π‘₯, π‘¦βŸ©))
60 df-ov 7361 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯𝐻𝑦) = (π»β€˜βŸ¨π‘₯, π‘¦βŸ©)
6159, 60eqtr4di 2791 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = ⟨π‘₯, π‘¦βŸ© β†’ (π»β€˜π‘§) = (π‘₯𝐻𝑦))
6258, 61oveq12d 7376 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = ⟨π‘₯, π‘¦βŸ© β†’ (((πΉβ€˜(1st β€˜π‘§))(Hom β€˜π·)(πΉβ€˜(2nd β€˜π‘§))) ↑m (π»β€˜π‘§)) = (((πΉβ€˜π‘₯)(Hom β€˜π·)(πΉβ€˜π‘¦)) ↑m (π‘₯𝐻𝑦)))
6351, 62eleq12d 2828 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = ⟨π‘₯, π‘¦βŸ© β†’ ((πΊβ€˜π‘§) ∈ (((πΉβ€˜(1st β€˜π‘§))(Hom β€˜π·)(πΉβ€˜(2nd β€˜π‘§))) ↑m (π»β€˜π‘§)) ↔ (π‘₯𝐺𝑦) ∈ (((πΉβ€˜π‘₯)(Hom β€˜π·)(πΉβ€˜π‘¦)) ↑m (π‘₯𝐻𝑦))))
64 ovex 7391 . . . . . . . . . . . . 13 ((πΉβ€˜π‘₯)(Hom β€˜π·)(πΉβ€˜π‘¦)) ∈ V
65 ovex 7391 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯𝐻𝑦) ∈ V
6664, 65elmap 8812 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘₯𝐺𝑦) ∈ (((πΉβ€˜π‘₯)(Hom β€˜π·)(πΉβ€˜π‘¦)) ↑m (π‘₯𝐻𝑦)) ↔ (π‘₯𝐺𝑦):(π‘₯𝐻𝑦)⟢((πΉβ€˜π‘₯)(Hom β€˜π·)(πΉβ€˜π‘¦)))
6763, 66bitrdi 287 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = ⟨π‘₯, π‘¦βŸ© β†’ ((πΊβ€˜π‘§) ∈ (((πΉβ€˜(1st β€˜π‘§))(Hom β€˜π·)(πΉβ€˜(2nd β€˜π‘§))) ↑m (π»β€˜π‘§)) ↔ (π‘₯𝐺𝑦):(π‘₯𝐻𝑦)⟢((πΉβ€˜π‘₯)(Hom β€˜π·)(πΉβ€˜π‘¦))))
6855, 57oveq12d 7376 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = ⟨π‘₯, π‘¦βŸ© β†’ ((πΉβ€˜(1st β€˜π‘§))(Hom β€˜(𝐷 β†Ύcat 𝑅))(πΉβ€˜(2nd β€˜π‘§))) = ((πΉβ€˜π‘₯)(Hom β€˜(𝐷 β†Ύcat 𝑅))(πΉβ€˜π‘¦)))
6968, 61oveq12d 7376 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = ⟨π‘₯, π‘¦βŸ© β†’ (((πΉβ€˜(1st β€˜π‘§))(Hom β€˜(𝐷 β†Ύcat 𝑅))(πΉβ€˜(2nd β€˜π‘§))) ↑m (π»β€˜π‘§)) = (((πΉβ€˜π‘₯)(Hom β€˜(𝐷 β†Ύcat 𝑅))(πΉβ€˜π‘¦)) ↑m (π‘₯𝐻𝑦)))
7051, 69eleq12d 2828 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = ⟨π‘₯, π‘¦βŸ© β†’ ((πΊβ€˜π‘§) ∈ (((πΉβ€˜(1st β€˜π‘§))(Hom β€˜(𝐷 β†Ύcat 𝑅))(πΉβ€˜(2nd β€˜π‘§))) ↑m (π»β€˜π‘§)) ↔ (π‘₯𝐺𝑦) ∈ (((πΉβ€˜π‘₯)(Hom β€˜(𝐷 β†Ύcat 𝑅))(πΉβ€˜π‘¦)) ↑m (π‘₯𝐻𝑦))))
71 ovex 7391 . . . . . . . . . . . . 13 ((πΉβ€˜π‘₯)(Hom β€˜(𝐷 β†Ύcat 𝑅))(πΉβ€˜π‘¦)) ∈ V
7271, 65elmap 8812 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘₯𝐺𝑦) ∈ (((πΉβ€˜π‘₯)(Hom β€˜(𝐷 β†Ύcat 𝑅))(πΉβ€˜π‘¦)) ↑m (π‘₯𝐻𝑦)) ↔ (π‘₯𝐺𝑦):(π‘₯𝐻𝑦)⟢((πΉβ€˜π‘₯)(Hom β€˜(𝐷 β†Ύcat 𝑅))(πΉβ€˜π‘¦)))
7370, 72bitrdi 287 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = ⟨π‘₯, π‘¦βŸ© β†’ ((πΊβ€˜π‘§) ∈ (((πΉβ€˜(1st β€˜π‘§))(Hom β€˜(𝐷 β†Ύcat 𝑅))(πΉβ€˜(2nd β€˜π‘§))) ↑m (π»β€˜π‘§)) ↔ (π‘₯𝐺𝑦):(π‘₯𝐻𝑦)⟢((πΉβ€˜π‘₯)(Hom β€˜(𝐷 β†Ύcat 𝑅))(πΉβ€˜π‘¦))))
7467, 73bibi12d 346 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = ⟨π‘₯, π‘¦βŸ© β†’ (((πΊβ€˜π‘§) ∈ (((πΉβ€˜(1st β€˜π‘§))(Hom β€˜π·)(πΉβ€˜(2nd β€˜π‘§))) ↑m (π»β€˜π‘§)) ↔ (πΊβ€˜π‘§) ∈ (((πΉβ€˜(1st β€˜π‘§))(Hom β€˜(𝐷 β†Ύcat 𝑅))(πΉβ€˜(2nd β€˜π‘§))) ↑m (π»β€˜π‘§))) ↔ ((π‘₯𝐺𝑦):(π‘₯𝐻𝑦)⟢((πΉβ€˜π‘₯)(Hom β€˜π·)(πΉβ€˜π‘¦)) ↔ (π‘₯𝐺𝑦):(π‘₯𝐻𝑦)⟢((πΉβ€˜π‘₯)(Hom β€˜(𝐷 β†Ύcat 𝑅))(πΉβ€˜π‘¦)))))
7574ralxp 5798 . . . . . . . . 9 (βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 Γ— 𝐴)((πΊβ€˜π‘§) ∈ (((πΉβ€˜(1st β€˜π‘§))(Hom β€˜π·)(πΉβ€˜(2nd β€˜π‘§))) ↑m (π»β€˜π‘§)) ↔ (πΊβ€˜π‘§) ∈ (((πΉβ€˜(1st β€˜π‘§))(Hom β€˜(𝐷 β†Ύcat 𝑅))(πΉβ€˜(2nd β€˜π‘§))) ↑m (π»β€˜π‘§))) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 ((π‘₯𝐺𝑦):(π‘₯𝐻𝑦)⟢((πΉβ€˜π‘₯)(Hom β€˜π·)(πΉβ€˜π‘¦)) ↔ (π‘₯𝐺𝑦):(π‘₯𝐻𝑦)⟢((πΉβ€˜π‘₯)(Hom β€˜(𝐷 β†Ύcat 𝑅))(πΉβ€˜π‘¦))))
7648, 75sylibr 233 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ Cat) β†’ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 Γ— 𝐴)((πΊβ€˜π‘§) ∈ (((πΉβ€˜(1st β€˜π‘§))(Hom β€˜π·)(πΉβ€˜(2nd β€˜π‘§))) ↑m (π»β€˜π‘§)) ↔ (πΊβ€˜π‘§) ∈ (((πΉβ€˜(1st β€˜π‘§))(Hom β€˜(𝐷 β†Ύcat 𝑅))(πΉβ€˜(2nd β€˜π‘§))) ↑m (π»β€˜π‘§))))
77 ralbi 3103 . . . . . . . 8 (βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 Γ— 𝐴)((πΊβ€˜π‘§) ∈ (((πΉβ€˜(1st β€˜π‘§))(Hom β€˜π·)(πΉβ€˜(2nd β€˜π‘§))) ↑m (π»β€˜π‘§)) ↔ (πΊβ€˜π‘§) ∈ (((πΉβ€˜(1st β€˜π‘§))(Hom β€˜(𝐷 β†Ύcat 𝑅))(πΉβ€˜(2nd β€˜π‘§))) ↑m (π»β€˜π‘§))) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 Γ— 𝐴)(πΊβ€˜π‘§) ∈ (((πΉβ€˜(1st β€˜π‘§))(Hom β€˜π·)(πΉβ€˜(2nd β€˜π‘§))) ↑m (π»β€˜π‘§)) ↔ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 Γ— 𝐴)(πΊβ€˜π‘§) ∈ (((πΉβ€˜(1st β€˜π‘§))(Hom β€˜(𝐷 β†Ύcat 𝑅))(πΉβ€˜(2nd β€˜π‘§))) ↑m (π»β€˜π‘§))))
7876, 77syl 17 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ Cat) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 Γ— 𝐴)(πΊβ€˜π‘§) ∈ (((πΉβ€˜(1st β€˜π‘§))(Hom β€˜π·)(πΉβ€˜(2nd β€˜π‘§))) ↑m (π»β€˜π‘§)) ↔ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 Γ— 𝐴)(πΊβ€˜π‘§) ∈ (((πΉβ€˜(1st β€˜π‘§))(Hom β€˜(𝐷 β†Ύcat 𝑅))(πΉβ€˜(2nd β€˜π‘§))) ↑m (π»β€˜π‘§))))
79783anbi3d 1443 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ Cat) β†’ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐺 Fn (𝐴 Γ— 𝐴) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 Γ— 𝐴)(πΊβ€˜π‘§) ∈ (((πΉβ€˜(1st β€˜π‘§))(Hom β€˜π·)(πΉβ€˜(2nd β€˜π‘§))) ↑m (π»β€˜π‘§))) ↔ (𝐺 ∈ V ∧ 𝐺 Fn (𝐴 Γ— 𝐴) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 Γ— 𝐴)(πΊβ€˜π‘§) ∈ (((πΉβ€˜(1st β€˜π‘§))(Hom β€˜(𝐷 β†Ύcat 𝑅))(πΉβ€˜(2nd β€˜π‘§))) ↑m (π»β€˜π‘§)))))
80 elixp2 8842 . . . . . 6 (𝐺 ∈ X𝑧 ∈ (𝐴 Γ— 𝐴)(((πΉβ€˜(1st β€˜π‘§))(Hom β€˜π·)(πΉβ€˜(2nd β€˜π‘§))) ↑m (π»β€˜π‘§)) ↔ (𝐺 ∈ V ∧ 𝐺 Fn (𝐴 Γ— 𝐴) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 Γ— 𝐴)(πΊβ€˜π‘§) ∈ (((πΉβ€˜(1st β€˜π‘§))(Hom β€˜π·)(πΉβ€˜(2nd β€˜π‘§))) ↑m (π»β€˜π‘§))))
81 elixp2 8842 . . . . . 6 (𝐺 ∈ X𝑧 ∈ (𝐴 Γ— 𝐴)(((πΉβ€˜(1st β€˜π‘§))(Hom β€˜(𝐷 β†Ύcat 𝑅))(πΉβ€˜(2nd β€˜π‘§))) ↑m (π»β€˜π‘§)) ↔ (𝐺 ∈ V ∧ 𝐺 Fn (𝐴 Γ— 𝐴) ∧ βˆ€π‘§ ∈ (𝐴 Γ— 𝐴)(πΊβ€˜π‘§) ∈ (((πΉβ€˜(1st β€˜π‘§))(Hom β€˜(𝐷 β†Ύcat 𝑅))(πΉβ€˜(2nd β€˜π‘§))) ↑m (π»β€˜π‘§))))
8279, 80, 813bitr4g 314 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ Cat) β†’ (𝐺 ∈ X𝑧 ∈ (𝐴 Γ— 𝐴)(((πΉβ€˜(1st β€˜π‘§))(Hom β€˜π·)(πΉβ€˜(2nd β€˜π‘§))) ↑m (π»β€˜π‘§)) ↔ 𝐺 ∈ X𝑧 ∈ (𝐴 Γ— 𝐴)(((πΉβ€˜(1st β€˜π‘§))(Hom β€˜(𝐷 β†Ύcat 𝑅))(πΉβ€˜(2nd β€˜π‘§))) ↑m (π»β€˜π‘§))))
8312ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ Cat) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝑅 ∈ (Subcatβ€˜π·))
8413ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ Cat) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝑅 Fn (𝑆 Γ— 𝑆))
85 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (Idβ€˜π·) = (Idβ€˜π·)
8611adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ Cat) β†’ 𝐹:π΄βŸΆπ‘†)
8786ffvelcdmda 7036 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ Cat) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ 𝑆)
8817, 83, 84, 85, 87subcid 17738 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ Cat) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((Idβ€˜π·)β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) = ((Idβ€˜(𝐷 β†Ύcat 𝑅))β€˜(πΉβ€˜π‘₯)))
8988eqeq2d 2744 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ Cat) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (((π‘₯𝐺π‘₯)β€˜((Idβ€˜πΆ)β€˜π‘₯)) = ((Idβ€˜π·)β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ↔ ((π‘₯𝐺π‘₯)β€˜((Idβ€˜πΆ)β€˜π‘₯)) = ((Idβ€˜(𝐷 β†Ύcat 𝑅))β€˜(πΉβ€˜π‘₯))))
90 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . 14 (compβ€˜π·) = (compβ€˜π·)
9117, 14, 19, 13, 15, 90rescco 17721 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (compβ€˜π·) = (compβ€˜(𝐷 β†Ύcat 𝑅)))
9291ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ Cat) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (compβ€˜π·) = (compβ€˜(𝐷 β†Ύcat 𝑅)))
9392oveqd 7375 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ Cat) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (⟨(πΉβ€˜π‘₯), (πΉβ€˜π‘¦)⟩(compβ€˜π·)(πΉβ€˜π‘§)) = (⟨(πΉβ€˜π‘₯), (πΉβ€˜π‘¦)⟩(compβ€˜(𝐷 β†Ύcat 𝑅))(πΉβ€˜π‘§)))
9493oveqd 7375 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ Cat) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (((𝑦𝐺𝑧)β€˜π‘”)(⟨(πΉβ€˜π‘₯), (πΉβ€˜π‘¦)⟩(compβ€˜π·)(πΉβ€˜π‘§))((π‘₯𝐺𝑦)β€˜π‘“)) = (((𝑦𝐺𝑧)β€˜π‘”)(⟨(πΉβ€˜π‘₯), (πΉβ€˜π‘¦)⟩(compβ€˜(𝐷 β†Ύcat 𝑅))(πΉβ€˜π‘§))((π‘₯𝐺𝑦)β€˜π‘“)))
9594eqeq2d 2744 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ Cat) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (((π‘₯𝐺𝑧)β€˜(𝑔(⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧)𝑓)) = (((𝑦𝐺𝑧)β€˜π‘”)(⟨(πΉβ€˜π‘₯), (πΉβ€˜π‘¦)⟩(compβ€˜π·)(πΉβ€˜π‘§))((π‘₯𝐺𝑦)β€˜π‘“)) ↔ ((π‘₯𝐺𝑧)β€˜(𝑔(⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧)𝑓)) = (((𝑦𝐺𝑧)β€˜π‘”)(⟨(πΉβ€˜π‘₯), (πΉβ€˜π‘¦)⟩(compβ€˜(𝐷 β†Ύcat 𝑅))(πΉβ€˜π‘§))((π‘₯𝐺𝑦)β€˜π‘“))))
96952ralbidv 3209 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ Cat) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (βˆ€π‘“ ∈ (π‘₯𝐻𝑦)βˆ€π‘” ∈ (𝑦𝐻𝑧)((π‘₯𝐺𝑧)β€˜(𝑔(⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧)𝑓)) = (((𝑦𝐺𝑧)β€˜π‘”)(⟨(πΉβ€˜π‘₯), (πΉβ€˜π‘¦)⟩(compβ€˜π·)(πΉβ€˜π‘§))((π‘₯𝐺𝑦)β€˜π‘“)) ↔ βˆ€π‘“ ∈ (π‘₯𝐻𝑦)βˆ€π‘” ∈ (𝑦𝐻𝑧)((π‘₯𝐺𝑧)β€˜(𝑔(⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧)𝑓)) = (((𝑦𝐺𝑧)β€˜π‘”)(⟨(πΉβ€˜π‘₯), (πΉβ€˜π‘¦)⟩(compβ€˜(𝐷 β†Ύcat 𝑅))(πΉβ€˜π‘§))((π‘₯𝐺𝑦)β€˜π‘“))))
97962ralbidv 3209 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ Cat) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 βˆ€π‘“ ∈ (π‘₯𝐻𝑦)βˆ€π‘” ∈ (𝑦𝐻𝑧)((π‘₯𝐺𝑧)β€˜(𝑔(⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧)𝑓)) = (((𝑦𝐺𝑧)β€˜π‘”)(⟨(πΉβ€˜π‘₯), (πΉβ€˜π‘¦)⟩(compβ€˜π·)(πΉβ€˜π‘§))((π‘₯𝐺𝑦)β€˜π‘“)) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 βˆ€π‘“ ∈ (π‘₯𝐻𝑦)βˆ€π‘” ∈ (𝑦𝐻𝑧)((π‘₯𝐺𝑧)β€˜(𝑔(⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧)𝑓)) = (((𝑦𝐺𝑧)β€˜π‘”)(⟨(πΉβ€˜π‘₯), (πΉβ€˜π‘¦)⟩(compβ€˜(𝐷 β†Ύcat 𝑅))(πΉβ€˜π‘§))((π‘₯𝐺𝑦)β€˜π‘“))))
9889, 97anbi12d 632 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ Cat) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((((π‘₯𝐺π‘₯)β€˜((Idβ€˜πΆ)β€˜π‘₯)) = ((Idβ€˜π·)β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 βˆ€π‘“ ∈ (π‘₯𝐻𝑦)βˆ€π‘” ∈ (𝑦𝐻𝑧)((π‘₯𝐺𝑧)β€˜(𝑔(⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧)𝑓)) = (((𝑦𝐺𝑧)β€˜π‘”)(⟨(πΉβ€˜π‘₯), (πΉβ€˜π‘¦)⟩(compβ€˜π·)(πΉβ€˜π‘§))((π‘₯𝐺𝑦)β€˜π‘“))) ↔ (((π‘₯𝐺π‘₯)β€˜((Idβ€˜πΆ)β€˜π‘₯)) = ((Idβ€˜(𝐷 β†Ύcat 𝑅))β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 βˆ€π‘“ ∈ (π‘₯𝐻𝑦)βˆ€π‘” ∈ (𝑦𝐻𝑧)((π‘₯𝐺𝑧)β€˜(𝑔(⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧)𝑓)) = (((𝑦𝐺𝑧)β€˜π‘”)(⟨(πΉβ€˜π‘₯), (πΉβ€˜π‘¦)⟩(compβ€˜(𝐷 β†Ύcat 𝑅))(πΉβ€˜π‘§))((π‘₯𝐺𝑦)β€˜π‘“)))))
9998ralbidva 3169 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ Cat) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (((π‘₯𝐺π‘₯)β€˜((Idβ€˜πΆ)β€˜π‘₯)) = ((Idβ€˜π·)β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 βˆ€π‘“ ∈ (π‘₯𝐻𝑦)βˆ€π‘” ∈ (𝑦𝐻𝑧)((π‘₯𝐺𝑧)β€˜(𝑔(⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧)𝑓)) = (((𝑦𝐺𝑧)β€˜π‘”)(⟨(πΉβ€˜π‘₯), (πΉβ€˜π‘¦)⟩(compβ€˜π·)(πΉβ€˜π‘§))((π‘₯𝐺𝑦)β€˜π‘“))) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (((π‘₯𝐺π‘₯)β€˜((Idβ€˜πΆ)β€˜π‘₯)) = ((Idβ€˜(𝐷 β†Ύcat 𝑅))β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 βˆ€π‘“ ∈ (π‘₯𝐻𝑦)βˆ€π‘” ∈ (𝑦𝐻𝑧)((π‘₯𝐺𝑧)β€˜(𝑔(⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧)𝑓)) = (((𝑦𝐺𝑧)β€˜π‘”)(⟨(πΉβ€˜π‘₯), (πΉβ€˜π‘¦)⟩(compβ€˜(𝐷 β†Ύcat 𝑅))(πΉβ€˜π‘§))((π‘₯𝐺𝑦)β€˜π‘“)))))
10024, 82, 993anbi123d 1437 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ Cat) β†’ ((𝐹:𝐴⟢(Baseβ€˜π·) ∧ 𝐺 ∈ X𝑧 ∈ (𝐴 Γ— 𝐴)(((πΉβ€˜(1st β€˜π‘§))(Hom β€˜π·)(πΉβ€˜(2nd β€˜π‘§))) ↑m (π»β€˜π‘§)) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (((π‘₯𝐺π‘₯)β€˜((Idβ€˜πΆ)β€˜π‘₯)) = ((Idβ€˜π·)β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 βˆ€π‘“ ∈ (π‘₯𝐻𝑦)βˆ€π‘” ∈ (𝑦𝐻𝑧)((π‘₯𝐺𝑧)β€˜(𝑔(⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧)𝑓)) = (((𝑦𝐺𝑧)β€˜π‘”)(⟨(πΉβ€˜π‘₯), (πΉβ€˜π‘¦)⟩(compβ€˜π·)(πΉβ€˜π‘§))((π‘₯𝐺𝑦)β€˜π‘“)))) ↔ (𝐹:𝐴⟢(Baseβ€˜(𝐷 β†Ύcat 𝑅)) ∧ 𝐺 ∈ X𝑧 ∈ (𝐴 Γ— 𝐴)(((πΉβ€˜(1st β€˜π‘§))(Hom β€˜(𝐷 β†Ύcat 𝑅))(πΉβ€˜(2nd β€˜π‘§))) ↑m (π»β€˜π‘§)) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (((π‘₯𝐺π‘₯)β€˜((Idβ€˜πΆ)β€˜π‘₯)) = ((Idβ€˜(𝐷 β†Ύcat 𝑅))β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 βˆ€π‘“ ∈ (π‘₯𝐻𝑦)βˆ€π‘” ∈ (𝑦𝐻𝑧)((π‘₯𝐺𝑧)β€˜(𝑔(⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧)𝑓)) = (((𝑦𝐺𝑧)β€˜π‘”)(⟨(πΉβ€˜π‘₯), (πΉβ€˜π‘¦)⟩(compβ€˜(𝐷 β†Ύcat 𝑅))(πΉβ€˜π‘§))((π‘₯𝐺𝑦)β€˜π‘“))))))
101 funcres2b.a . . . . 5 𝐴 = (Baseβ€˜πΆ)
102 funcres2b.h . . . . 5 𝐻 = (Hom β€˜πΆ)
103 eqid 2733 . . . . 5 (Idβ€˜πΆ) = (Idβ€˜πΆ)
104 eqid 2733 . . . . 5 (compβ€˜πΆ) = (compβ€˜πΆ)
105 simpr 486 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ Cat) β†’ 𝐢 ∈ Cat)
10619adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ Cat) β†’ 𝐷 ∈ Cat)
107101, 14, 102, 30, 103, 85, 104, 90, 105, 106isfunc 17755 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ Cat) β†’ (𝐹(𝐢 Func 𝐷)𝐺 ↔ (𝐹:𝐴⟢(Baseβ€˜π·) ∧ 𝐺 ∈ X𝑧 ∈ (𝐴 Γ— 𝐴)(((πΉβ€˜(1st β€˜π‘§))(Hom β€˜π·)(πΉβ€˜(2nd β€˜π‘§))) ↑m (π»β€˜π‘§)) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (((π‘₯𝐺π‘₯)β€˜((Idβ€˜πΆ)β€˜π‘₯)) = ((Idβ€˜π·)β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 βˆ€π‘“ ∈ (π‘₯𝐻𝑦)βˆ€π‘” ∈ (𝑦𝐻𝑧)((π‘₯𝐺𝑧)β€˜(𝑔(⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧)𝑓)) = (((𝑦𝐺𝑧)β€˜π‘”)(⟨(πΉβ€˜π‘₯), (πΉβ€˜π‘¦)⟩(compβ€˜π·)(πΉβ€˜π‘§))((π‘₯𝐺𝑦)β€˜π‘“))))))
108 eqid 2733 . . . . 5 (Baseβ€˜(𝐷 β†Ύcat 𝑅)) = (Baseβ€˜(𝐷 β†Ύcat 𝑅))
109 eqid 2733 . . . . 5 (Hom β€˜(𝐷 β†Ύcat 𝑅)) = (Hom β€˜(𝐷 β†Ύcat 𝑅))
110 eqid 2733 . . . . 5 (Idβ€˜(𝐷 β†Ύcat 𝑅)) = (Idβ€˜(𝐷 β†Ύcat 𝑅))
111 eqid 2733 . . . . 5 (compβ€˜(𝐷 β†Ύcat 𝑅)) = (compβ€˜(𝐷 β†Ύcat 𝑅))
11217, 12subccat 17739 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐷 β†Ύcat 𝑅) ∈ Cat)
113112adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ Cat) β†’ (𝐷 β†Ύcat 𝑅) ∈ Cat)
114101, 108, 102, 109, 103, 110, 104, 111, 105, 113isfunc 17755 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ Cat) β†’ (𝐹(𝐢 Func (𝐷 β†Ύcat 𝑅))𝐺 ↔ (𝐹:𝐴⟢(Baseβ€˜(𝐷 β†Ύcat 𝑅)) ∧ 𝐺 ∈ X𝑧 ∈ (𝐴 Γ— 𝐴)(((πΉβ€˜(1st β€˜π‘§))(Hom β€˜(𝐷 β†Ύcat 𝑅))(πΉβ€˜(2nd β€˜π‘§))) ↑m (π»β€˜π‘§)) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (((π‘₯𝐺π‘₯)β€˜((Idβ€˜πΆ)β€˜π‘₯)) = ((Idβ€˜(𝐷 β†Ύcat 𝑅))β€˜(πΉβ€˜π‘₯)) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 βˆ€π‘“ ∈ (π‘₯𝐻𝑦)βˆ€π‘” ∈ (𝑦𝐻𝑧)((π‘₯𝐺𝑧)β€˜(𝑔(⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧)𝑓)) = (((𝑦𝐺𝑧)β€˜π‘”)(⟨(πΉβ€˜π‘₯), (πΉβ€˜π‘¦)⟩(compβ€˜(𝐷 β†Ύcat 𝑅))(πΉβ€˜π‘§))((π‘₯𝐺𝑦)β€˜π‘“))))))
115100, 107, 1143bitr4d 311 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ Cat) β†’ (𝐹(𝐢 Func 𝐷)𝐺 ↔ 𝐹(𝐢 Func (𝐷 β†Ύcat 𝑅))𝐺))
116115ex 414 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐢 ∈ Cat β†’ (𝐹(𝐢 Func 𝐷)𝐺 ↔ 𝐹(𝐢 Func (𝐷 β†Ύcat 𝑅))𝐺)))
1175, 10, 116pm5.21ndd 381 1 (πœ‘ β†’ (𝐹(𝐢 Func 𝐷)𝐺 ↔ 𝐹(𝐢 Func (𝐷 β†Ύcat 𝑅))𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061  Vcvv 3444   βŠ† wss 3911  βŸ¨cop 4593   class class class wbr 5106   Γ— cxp 5632  ran crn 5635   Fn wfn 6492  βŸΆwf 6493  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  1st c1st 7920  2nd c2nd 7921   ↑m cmap 8768  Xcixp 8838  Basecbs 17088  Hom chom 17149  compcco 17150  Catccat 17549  Idccid 17550   β†Ύcat cresc 17696  Subcatcsubc 17697   Func cfunc 17745
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8651  df-map 8770  df-pm 8771  df-ixp 8839  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-5 12224  df-6 12225  df-7 12226  df-8 12227  df-9 12228  df-n0 12419  df-z 12505  df-dec 12624  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-ress 17118  df-hom 17162  df-cco 17163  df-cat 17553  df-cid 17554  df-homf 17555  df-ssc 17698  df-resc 17699  df-subc 17700  df-func 17749
This theorem is referenced by:  funcres2  17789  funcres2c  17793  fthres2b  17822
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