MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subccatid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem subccatid 17823
Description: A subcategory is a category. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
subccat.1 𝐷 = (𝐶cat 𝐽)
subccat.j (𝜑𝐽 ∈ (Subcat‘𝐶))
subccatid.1 (𝜑𝐽 Fn (𝑆 × 𝑆))
subccatid.2 1 = (Id‘𝐶)
Assertion
Ref Expression
subccatid (𝜑 → (𝐷 ∈ Cat ∧ (Id‘𝐷) = (𝑥𝑆 ↦ ( 1𝑥))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐶   𝑥,𝐷   𝜑,𝑥   𝑥, 1   𝑥,𝐽   𝑥,𝑆

Proof of Theorem subccatid
Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 subccat.1 . . 3 𝐷 = (𝐶cat 𝐽)
2 eqid 2727 . . 3 (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
3 subccat.j . . . 4 (𝜑𝐽 ∈ (Subcat‘𝐶))
4 subcrcl 17790 . . . 4 (𝐽 ∈ (Subcat‘𝐶) → 𝐶 ∈ Cat)
53, 4syl 17 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ Cat)
6 subccatid.1 . . 3 (𝜑𝐽 Fn (𝑆 × 𝑆))
73, 6, 2subcss1 17819 . . 3 (𝜑𝑆 ⊆ (Base‘𝐶))
81, 2, 5, 6, 7rescbas 17803 . 2 (𝜑𝑆 = (Base‘𝐷))
91, 2, 5, 6, 7reschom 17805 . 2 (𝜑𝐽 = (Hom ‘𝐷))
10 eqid 2727 . . 3 (comp‘𝐶) = (comp‘𝐶)
111, 2, 5, 6, 7, 10rescco 17807 . 2 (𝜑 → (comp‘𝐶) = (comp‘𝐷))
121ovexi 7448 . . 3 𝐷 ∈ V
1312a1i 11 . 2 (𝜑𝐷 ∈ V)
14 biid 261 . 2 (((𝑤𝑆𝑥𝑆) ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑤𝐽𝑥) ∧ 𝑔 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∧ ∈ (𝑦𝐽𝑧))) ↔ ((𝑤𝑆𝑥𝑆) ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑤𝐽𝑥) ∧ 𝑔 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∧ ∈ (𝑦𝐽𝑧))))
153adantr 480 . . 3 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝐽 ∈ (Subcat‘𝐶))
166adantr 480 . . 3 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝐽 Fn (𝑆 × 𝑆))
17 simpr 484 . . 3 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝑥𝑆)
18 subccatid.2 . . 3 1 = (Id‘𝐶)
1915, 16, 17, 18subcidcl 17821 . 2 ((𝜑𝑥𝑆) → ( 1𝑥) ∈ (𝑥𝐽𝑥))
20 eqid 2727 . . 3 (Hom ‘𝐶) = (Hom ‘𝐶)
215adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ ((𝑤𝑆𝑥𝑆) ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑤𝐽𝑥) ∧ 𝑔 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∧ ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) → 𝐶 ∈ Cat)
227adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((𝑤𝑆𝑥𝑆) ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑤𝐽𝑥) ∧ 𝑔 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∧ ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐶))
23 simpr1l 1228 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((𝑤𝑆𝑥𝑆) ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑤𝐽𝑥) ∧ 𝑔 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∧ ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) → 𝑤𝑆)
2422, 23sseldd 3979 . . 3 ((𝜑 ∧ ((𝑤𝑆𝑥𝑆) ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑤𝐽𝑥) ∧ 𝑔 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∧ ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) → 𝑤 ∈ (Base‘𝐶))
25 simpr1r 1229 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((𝑤𝑆𝑥𝑆) ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑤𝐽𝑥) ∧ 𝑔 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∧ ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) → 𝑥𝑆)
2622, 25sseldd 3979 . . 3 ((𝜑 ∧ ((𝑤𝑆𝑥𝑆) ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑤𝐽𝑥) ∧ 𝑔 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∧ ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐶))
273adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝑤𝑆𝑥𝑆) ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑤𝐽𝑥) ∧ 𝑔 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∧ ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) → 𝐽 ∈ (Subcat‘𝐶))
286adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝑤𝑆𝑥𝑆) ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑤𝐽𝑥) ∧ 𝑔 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∧ ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) → 𝐽 Fn (𝑆 × 𝑆))
2927, 28, 20, 23, 25subcss2 17820 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((𝑤𝑆𝑥𝑆) ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑤𝐽𝑥) ∧ 𝑔 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∧ ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) → (𝑤𝐽𝑥) ⊆ (𝑤(Hom ‘𝐶)𝑥))
30 simpr31 1261 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((𝑤𝑆𝑥𝑆) ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑤𝐽𝑥) ∧ 𝑔 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∧ ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) → 𝑓 ∈ (𝑤𝐽𝑥))
3129, 30sseldd 3979 . . 3 ((𝜑 ∧ ((𝑤𝑆𝑥𝑆) ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑤𝐽𝑥) ∧ 𝑔 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∧ ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) → 𝑓 ∈ (𝑤(Hom ‘𝐶)𝑥))
322, 20, 18, 21, 24, 10, 26, 31catlid 17654 . 2 ((𝜑 ∧ ((𝑤𝑆𝑥𝑆) ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑤𝐽𝑥) ∧ 𝑔 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∧ ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) → (( 1𝑥)(⟨𝑤, 𝑥⟩(comp‘𝐶)𝑥)𝑓) = 𝑓)
33 simpr2l 1230 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((𝑤𝑆𝑥𝑆) ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑤𝐽𝑥) ∧ 𝑔 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∧ ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) → 𝑦𝑆)
3422, 33sseldd 3979 . . 3 ((𝜑 ∧ ((𝑤𝑆𝑥𝑆) ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑤𝐽𝑥) ∧ 𝑔 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∧ ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐶))
3527, 28, 20, 25, 33subcss2 17820 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((𝑤𝑆𝑥𝑆) ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑤𝐽𝑥) ∧ 𝑔 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∧ ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) → (𝑥𝐽𝑦) ⊆ (𝑥(Hom ‘𝐶)𝑦))
36 simpr32 1262 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((𝑤𝑆𝑥𝑆) ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑤𝐽𝑥) ∧ 𝑔 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∧ ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) → 𝑔 ∈ (𝑥𝐽𝑦))
3735, 36sseldd 3979 . . 3 ((𝜑 ∧ ((𝑤𝑆𝑥𝑆) ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑤𝐽𝑥) ∧ 𝑔 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∧ ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) → 𝑔 ∈ (𝑥(Hom ‘𝐶)𝑦))
382, 20, 18, 21, 26, 10, 34, 37catrid 17655 . 2 ((𝜑 ∧ ((𝑤𝑆𝑥𝑆) ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑤𝐽𝑥) ∧ 𝑔 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∧ ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) → (𝑔(⟨𝑥, 𝑥⟩(comp‘𝐶)𝑦)( 1𝑥)) = 𝑔)
3927, 28, 23, 10, 25, 33, 30, 36subccocl 17822 . 2 ((𝜑 ∧ ((𝑤𝑆𝑥𝑆) ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑤𝐽𝑥) ∧ 𝑔 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∧ ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) → (𝑔(⟨𝑤, 𝑥⟩(comp‘𝐶)𝑦)𝑓) ∈ (𝑤𝐽𝑦))
40 simpr2r 1231 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((𝑤𝑆𝑥𝑆) ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑤𝐽𝑥) ∧ 𝑔 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∧ ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) → 𝑧𝑆)
4122, 40sseldd 3979 . . 3 ((𝜑 ∧ ((𝑤𝑆𝑥𝑆) ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑤𝐽𝑥) ∧ 𝑔 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∧ ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) → 𝑧 ∈ (Base‘𝐶))
4227, 28, 20, 33, 40subcss2 17820 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((𝑤𝑆𝑥𝑆) ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑤𝐽𝑥) ∧ 𝑔 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∧ ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) → (𝑦𝐽𝑧) ⊆ (𝑦(Hom ‘𝐶)𝑧))
43 simpr33 1263 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((𝑤𝑆𝑥𝑆) ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑤𝐽𝑥) ∧ 𝑔 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∧ ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) → ∈ (𝑦𝐽𝑧))
4442, 43sseldd 3979 . . 3 ((𝜑 ∧ ((𝑤𝑆𝑥𝑆) ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑤𝐽𝑥) ∧ 𝑔 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∧ ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) → ∈ (𝑦(Hom ‘𝐶)𝑧))
452, 20, 10, 21, 24, 26, 34, 31, 37, 41, 44catass 17657 . 2 ((𝜑 ∧ ((𝑤𝑆𝑥𝑆) ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑤𝐽𝑥) ∧ 𝑔 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∧ ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) → (((⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘𝐶)𝑧)𝑔)(⟨𝑤, 𝑥⟩(comp‘𝐶)𝑧)𝑓) = ((⟨𝑤, 𝑦⟩(comp‘𝐶)𝑧)(𝑔(⟨𝑤, 𝑥⟩(comp‘𝐶)𝑦)𝑓)))
468, 9, 11, 13, 14, 19, 32, 38, 39, 45iscatd2 17652 1 (𝜑 → (𝐷 ∈ Cat ∧ (Id‘𝐷) = (𝑥𝑆 ↦ ( 1𝑥))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1085   = wceq 1534  wcel 2099  Vcvv 3469  wss 3944  cmpt 5225   × cxp 5670   Fn wfn 6537  cfv 6542  (class class class)co 7414  Basecbs 17171  Hom chom 17235  compcco 17236  Catccat 17635  Idccid 17636  cat cresc 17782  Subcatcsubc 17783
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-pm 8839  df-ixp 8908  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-4 12299  df-5 12300  df-6 12301  df-7 12302  df-8 12303  df-9 12304  df-n0 12495  df-z 12581  df-dec 12700  df-sets 17124  df-slot 17142  df-ndx 17154  df-base 17172  df-ress 17201  df-hom 17248  df-cco 17249  df-cat 17639  df-cid 17640  df-homf 17641  df-ssc 17784  df-resc 17785  df-subc 17786
This theorem is referenced by:  subcid  17824  subccat  17825
  Copyright terms: Public domain W3C validator