Theorem subccatid 18028

Description: A subcategory is a category. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
subccat.1	⊢ 𝐷 = (𝐶 ↾cat 𝐽)
subccat.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (Subcat‘𝐶))
subccatid.1	⊢ (𝜑 → 𝐽 Fn (𝑆 × 𝑆))
subccatid.2	⊢ 1 = (Id‘𝐶)

Assertion

Ref	Expression
subccatid	⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ Cat ∧ (Id‘𝐷) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ( 1 ‘𝑥))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐶   𝑥,𝐷   𝜑,𝑥   𝑥, 1   𝑥,𝐽   𝑥,𝑆

Proof of Theorem subccatid

Dummy variables 𝑓 𝑔 ℎ 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subccat.1	. . 3 ⊢ 𝐷 = (𝐶 ↾cat 𝐽)
2		eqid 2760	. . 3 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
3		subccat.j	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (Subcat‘𝐶))
4		subcrcl 17998	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ (Subcat‘𝐶) → 𝐶 ∈ Cat)
5	3, 4	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
6		subccatid.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 Fn (𝑆 × 𝑆))
7	3, 6, 2	subcss1 18024	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐶))
8	1, 2, 5, 6, 7	rescbas 18011	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = (Base‘𝐷))
9	1, 2, 5, 6, 7	reschom 18012	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐽 = (Hom ‘𝐷))
10		eqid 2760	. . 3 ⊢ (comp‘𝐶) = (comp‘𝐶)
11	1, 2, 5, 6, 7, 10	rescco 18014	. 2 ⊢ (𝜑 → (comp‘𝐶) = (comp‘𝐷))
12	1	ovexi 7456	. . 3 ⊢ 𝐷 ∈ V
13	12	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ V)
14		biid 264	. 2 ⊢ (((𝑤 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑤𝐽𝑥) ∧ 𝑔 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∧ ℎ ∈ (𝑦𝐽𝑧))) ↔ ((𝑤 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑤𝐽𝑥) ∧ 𝑔 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∧ ℎ ∈ (𝑦𝐽𝑧))))
15	3	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐽 ∈ (Subcat‘𝐶))
16	6	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐽 Fn (𝑆 × 𝑆))
17		simpr 490	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ 𝑆)
18		subccatid.2	. . 3 ⊢ 1 = (Id‘𝐶)
19	15, 16, 17, 18	subcidcl 18026	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ( 1 ‘𝑥) ∈ (𝑥𝐽𝑥))
20		eqid 2760	. . 3 ⊢ (Hom ‘𝐶) = (Hom ‘𝐶)
21	5	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑤 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑤𝐽𝑥) ∧ 𝑔 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∧ ℎ ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) → 𝐶 ∈ Cat)
22	7	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑤 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑤𝐽𝑥) ∧ 𝑔 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∧ ℎ ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐶))
23		simpr1l 1249	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑤 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑤𝐽𝑥) ∧ 𝑔 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∧ ℎ ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) → 𝑤 ∈ 𝑆)
24	22, 23	sseldd 3910	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑤 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑤𝐽𝑥) ∧ 𝑔 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∧ ℎ ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) → 𝑤 ∈ (Base‘𝐶))
25		simpr1r 1250	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑤 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑤𝐽𝑥) ∧ 𝑔 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∧ ℎ ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) → 𝑥 ∈ 𝑆)
26	22, 25	sseldd 3910	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑤 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑤𝐽𝑥) ∧ 𝑔 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∧ ℎ ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐶))
27	3	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑤 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑤𝐽𝑥) ∧ 𝑔 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∧ ℎ ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) → 𝐽 ∈ (Subcat‘𝐶))
28	6	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑤 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑤𝐽𝑥) ∧ 𝑔 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∧ ℎ ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) → 𝐽 Fn (𝑆 × 𝑆))
29	27, 28, 20, 23, 25	subcss2 18025	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑤 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑤𝐽𝑥) ∧ 𝑔 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∧ ℎ ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) → (𝑤𝐽𝑥) ⊆ (𝑤(Hom ‘𝐶)𝑥))
30		simpr31 1282	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑤 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑤𝐽𝑥) ∧ 𝑔 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∧ ℎ ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) → 𝑓 ∈ (𝑤𝐽𝑥))
31	29, 30	sseldd 3910	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑤 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑤𝐽𝑥) ∧ 𝑔 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∧ ℎ ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) → 𝑓 ∈ (𝑤(Hom ‘𝐶)𝑥))
32	2, 20, 18, 21, 24, 10, 26, 31	catlid 17864	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑤 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑤𝐽𝑥) ∧ 𝑔 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∧ ℎ ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) → (( 1 ‘𝑥)(⟨𝑤, 𝑥⟩(comp‘𝐶)𝑥)𝑓) = 𝑓)
33		simpr2l 1251	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑤 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑤𝐽𝑥) ∧ 𝑔 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∧ ℎ ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) → 𝑦 ∈ 𝑆)
34	22, 33	sseldd 3910	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑤 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑤𝐽𝑥) ∧ 𝑔 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∧ ℎ ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐶))
35	27, 28, 20, 25, 33	subcss2 18025	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑤 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑤𝐽𝑥) ∧ 𝑔 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∧ ℎ ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) → (𝑥𝐽𝑦) ⊆ (𝑥(Hom ‘𝐶)𝑦))
36		simpr32 1283	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑤 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑤𝐽𝑥) ∧ 𝑔 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∧ ℎ ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) → 𝑔 ∈ (𝑥𝐽𝑦))
37	35, 36	sseldd 3910	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑤 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑤𝐽𝑥) ∧ 𝑔 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∧ ℎ ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) → 𝑔 ∈ (𝑥(Hom ‘𝐶)𝑦))
38	2, 20, 18, 21, 26, 10, 34, 37	catrid 17865	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑤 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑤𝐽𝑥) ∧ 𝑔 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∧ ℎ ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) → (𝑔(⟨𝑥, 𝑥⟩(comp‘𝐶)𝑦)( 1 ‘𝑥)) = 𝑔)
39	27, 28, 23, 10, 25, 33, 30, 36	subccocl 18027	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑤 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑤𝐽𝑥) ∧ 𝑔 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∧ ℎ ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) → (𝑔(⟨𝑤, 𝑥⟩(comp‘𝐶)𝑦)𝑓) ∈ (𝑤𝐽𝑦))
40		simpr2r 1252	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑤 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑤𝐽𝑥) ∧ 𝑔 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∧ ℎ ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) → 𝑧 ∈ 𝑆)
41	22, 40	sseldd 3910	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑤 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑤𝐽𝑥) ∧ 𝑔 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∧ ℎ ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) → 𝑧 ∈ (Base‘𝐶))
42	27, 28, 20, 33, 40	subcss2 18025	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑤 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑤𝐽𝑥) ∧ 𝑔 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∧ ℎ ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) → (𝑦𝐽𝑧) ⊆ (𝑦(Hom ‘𝐶)𝑧))
43		simpr33 1284	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑤 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑤𝐽𝑥) ∧ 𝑔 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∧ ℎ ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) → ℎ ∈ (𝑦𝐽𝑧))
44	42, 43	sseldd 3910	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑤 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑤𝐽𝑥) ∧ 𝑔 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∧ ℎ ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) → ℎ ∈ (𝑦(Hom ‘𝐶)𝑧))
45	2, 20, 10, 21, 24, 26, 34, 31, 37, 41, 44	catass 17867	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑤 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑤𝐽𝑥) ∧ 𝑔 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∧ ℎ ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) → ((ℎ(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘𝐶)𝑧)𝑔)(⟨𝑤, 𝑥⟩(comp‘𝐶)𝑧)𝑓) = (ℎ(⟨𝑤, 𝑦⟩(comp‘𝐶)𝑧)(𝑔(⟨𝑤, 𝑥⟩(comp‘𝐶)𝑦)𝑓)))
46	8, 9, 11, 13, 14, 19, 32, 38, 39, 45	iscatd2 17862	1 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ Cat ∧ (Id‘𝐷) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ( 1 ‘𝑥))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  Vcvv 3450   ⊆ wss 3896   ↦ cmpt 5185   × cxp 5648   Fn wfn 6536  ‘cfv 6541  (class class class)co 7422  Basecbs 17394  Hom chom 17446  compcco 17447  Catccat 17845  Idccid 17846   ↾_cat cresc 17990  Subcatcsubc 17991

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7753  ax-cnex 11261  ax-resscn 11262  ax-1cn 11263  ax-icn 11264  ax-addcl 11265  ax-addrcl 11266  ax-mulcl 11267  ax-mulrcl 11268  ax-mulcom 11269  ax-addass 11270  ax-mulass 11271  ax-distr 11272  ax-i2m1 11273  ax-1ne0 11274  ax-1rid 11275  ax-rnegex 11276  ax-rrecex 11277  ax-cnre 11278  ax-pre-lttri 11279  ax-pre-lttrn 11280  ax-pre-ltadd 11281  ax-pre-mulgt0 11282

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7379  df-ov 7425  df-oprab 7426  df-mpo 7427  df-om 7880  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8384  df-rdg 8423  df-er 8722  df-pm 8855  df-ixp 8931  df-en 8979  df-dom 8980  df-sdom 8981  df-pnf 11350  df-mnf 11351  df-xr 11352  df-ltxr 11353  df-le 11354  df-sub 11548  df-neg 11549  df-nn 12341  df-2 12410  df-3 12411  df-4 12412  df-5 12413  df-6 12414  df-7 12415  df-8 12416  df-9 12417  df-n0 12612  df-z 12699  df-dec 12820  df-sets 17349  df-slot 17367  df-ndx 17379  df-base 17395  df-ress 17416  df-hom 17459  df-cco 17460  df-cat 17849  df-cid 17850  df-homf 17851  df-ssc 17992  df-resc 17993  df-subc 17994

This theorem is used by:  subcid  18029  subccat  18030