Theorem subccatid 17859

Description: A subcategory is a category. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
subccat.1	⊢ 𝐷 = (𝐶 ↾cat 𝐽)
subccat.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (Subcat‘𝐶))
subccatid.1	⊢ (𝜑 → 𝐽 Fn (𝑆 × 𝑆))
subccatid.2	⊢ 1 = (Id‘𝐶)

Assertion

Ref	Expression
subccatid	⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ Cat ∧ (Id‘𝐷) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ( 1 ‘𝑥))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐶   𝑥,𝐷   𝜑,𝑥   𝑥, 1   𝑥,𝐽   𝑥,𝑆

Proof of Theorem subccatid

Dummy variables 𝑓 𝑔 ℎ 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subccat.1	. . 3 ⊢ 𝐷 = (𝐶 ↾cat 𝐽)
2		eqid 2735	. . 3 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
3		subccat.j	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (Subcat‘𝐶))
4		subcrcl 17829	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ (Subcat‘𝐶) → 𝐶 ∈ Cat)
5	3, 4	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
6		subccatid.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 Fn (𝑆 × 𝑆))
7	3, 6, 2	subcss1 17855	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐶))
8	1, 2, 5, 6, 7	rescbas 17842	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = (Base‘𝐷))
9	1, 2, 5, 6, 7	reschom 17843	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐽 = (Hom ‘𝐷))
10		eqid 2735	. . 3 ⊢ (comp‘𝐶) = (comp‘𝐶)
11	1, 2, 5, 6, 7, 10	rescco 17845	. 2 ⊢ (𝜑 → (comp‘𝐶) = (comp‘𝐷))
12	1	ovexi 7439	. . 3 ⊢ 𝐷 ∈ V
13	12	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ V)
14		biid 261	. 2 ⊢ (((𝑤 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑤𝐽𝑥) ∧ 𝑔 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∧ ℎ ∈ (𝑦𝐽𝑧))) ↔ ((𝑤 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑤𝐽𝑥) ∧ 𝑔 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∧ ℎ ∈ (𝑦𝐽𝑧))))
15	3	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐽 ∈ (Subcat‘𝐶))
16	6	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐽 Fn (𝑆 × 𝑆))
17		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ 𝑆)
18		subccatid.2	. . 3 ⊢ 1 = (Id‘𝐶)
19	15, 16, 17, 18	subcidcl 17857	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ( 1 ‘𝑥) ∈ (𝑥𝐽𝑥))
20		eqid 2735	. . 3 ⊢ (Hom ‘𝐶) = (Hom ‘𝐶)
21	5	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑤 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑤𝐽𝑥) ∧ 𝑔 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∧ ℎ ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) → 𝐶 ∈ Cat)
22	7	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑤 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑤𝐽𝑥) ∧ 𝑔 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∧ ℎ ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐶))
23		simpr1l 1231	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑤 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑤𝐽𝑥) ∧ 𝑔 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∧ ℎ ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) → 𝑤 ∈ 𝑆)
24	22, 23	sseldd 3959	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑤 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑤𝐽𝑥) ∧ 𝑔 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∧ ℎ ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) → 𝑤 ∈ (Base‘𝐶))
25		simpr1r 1232	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑤 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑤𝐽𝑥) ∧ 𝑔 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∧ ℎ ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) → 𝑥 ∈ 𝑆)
26	22, 25	sseldd 3959	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑤 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑤𝐽𝑥) ∧ 𝑔 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∧ ℎ ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐶))
27	3	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑤 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑤𝐽𝑥) ∧ 𝑔 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∧ ℎ ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) → 𝐽 ∈ (Subcat‘𝐶))
28	6	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑤 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑤𝐽𝑥) ∧ 𝑔 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∧ ℎ ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) → 𝐽 Fn (𝑆 × 𝑆))
29	27, 28, 20, 23, 25	subcss2 17856	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑤 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑤𝐽𝑥) ∧ 𝑔 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∧ ℎ ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) → (𝑤𝐽𝑥) ⊆ (𝑤(Hom ‘𝐶)𝑥))
30		simpr31 1264	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑤 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑤𝐽𝑥) ∧ 𝑔 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∧ ℎ ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) → 𝑓 ∈ (𝑤𝐽𝑥))
31	29, 30	sseldd 3959	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑤 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑤𝐽𝑥) ∧ 𝑔 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∧ ℎ ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) → 𝑓 ∈ (𝑤(Hom ‘𝐶)𝑥))
32	2, 20, 18, 21, 24, 10, 26, 31	catlid 17695	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑤 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑤𝐽𝑥) ∧ 𝑔 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∧ ℎ ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) → (( 1 ‘𝑥)(⟨𝑤, 𝑥⟩(comp‘𝐶)𝑥)𝑓) = 𝑓)
33		simpr2l 1233	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑤 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑤𝐽𝑥) ∧ 𝑔 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∧ ℎ ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) → 𝑦 ∈ 𝑆)
34	22, 33	sseldd 3959	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑤 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑤𝐽𝑥) ∧ 𝑔 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∧ ℎ ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐶))
35	27, 28, 20, 25, 33	subcss2 17856	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑤 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑤𝐽𝑥) ∧ 𝑔 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∧ ℎ ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) → (𝑥𝐽𝑦) ⊆ (𝑥(Hom ‘𝐶)𝑦))
36		simpr32 1265	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑤 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑤𝐽𝑥) ∧ 𝑔 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∧ ℎ ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) → 𝑔 ∈ (𝑥𝐽𝑦))
37	35, 36	sseldd 3959	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑤 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑤𝐽𝑥) ∧ 𝑔 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∧ ℎ ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) → 𝑔 ∈ (𝑥(Hom ‘𝐶)𝑦))
38	2, 20, 18, 21, 26, 10, 34, 37	catrid 17696	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑤 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑤𝐽𝑥) ∧ 𝑔 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∧ ℎ ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) → (𝑔(⟨𝑥, 𝑥⟩(comp‘𝐶)𝑦)( 1 ‘𝑥)) = 𝑔)
39	27, 28, 23, 10, 25, 33, 30, 36	subccocl 17858	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑤 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑤𝐽𝑥) ∧ 𝑔 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∧ ℎ ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) → (𝑔(⟨𝑤, 𝑥⟩(comp‘𝐶)𝑦)𝑓) ∈ (𝑤𝐽𝑦))
40		simpr2r 1234	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑤 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑤𝐽𝑥) ∧ 𝑔 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∧ ℎ ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) → 𝑧 ∈ 𝑆)
41	22, 40	sseldd 3959	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑤 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑤𝐽𝑥) ∧ 𝑔 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∧ ℎ ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) → 𝑧 ∈ (Base‘𝐶))
42	27, 28, 20, 33, 40	subcss2 17856	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑤 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑤𝐽𝑥) ∧ 𝑔 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∧ ℎ ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) → (𝑦𝐽𝑧) ⊆ (𝑦(Hom ‘𝐶)𝑧))
43		simpr33 1266	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑤 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑤𝐽𝑥) ∧ 𝑔 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∧ ℎ ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) → ℎ ∈ (𝑦𝐽𝑧))
44	42, 43	sseldd 3959	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑤 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑤𝐽𝑥) ∧ 𝑔 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∧ ℎ ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) → ℎ ∈ (𝑦(Hom ‘𝐶)𝑧))
45	2, 20, 10, 21, 24, 26, 34, 31, 37, 41, 44	catass 17698	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑤 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑤𝐽𝑥) ∧ 𝑔 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∧ ℎ ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) → ((ℎ(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘𝐶)𝑧)𝑔)(⟨𝑤, 𝑥⟩(comp‘𝐶)𝑧)𝑓) = (ℎ(⟨𝑤, 𝑦⟩(comp‘𝐶)𝑧)(𝑔(⟨𝑤, 𝑥⟩(comp‘𝐶)𝑦)𝑓)))
46	8, 9, 11, 13, 14, 19, 32, 38, 39, 45	iscatd2 17693	1 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ Cat ∧ (Id‘𝐷) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ( 1 ‘𝑥))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  Vcvv 3459   ⊆ wss 3926   ↦ cmpt 5201   × cxp 5652   Fn wfn 6526  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  Basecbs 17228  Hom chom 17282  compcco 17283  Catccat 17676  Idccid 17677   ↾_cat cresc 17821  Subcatcsubc 17822

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8719  df-pm 8843  df-ixp 8912  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12502  df-z 12589  df-dec 12709  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-ress 17252  df-hom 17295  df-cco 17296  df-cat 17680  df-cid 17681  df-homf 17682  df-ssc 17823  df-resc 17824  df-subc 17825

This theorem is referenced by:  subcid  17860  subccat  17861