Theorem subccatid 17761

Description: A subcategory is a category. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
subccat.1	⊢ 𝐷 = (𝐶 ↾cat 𝐽)
subccat.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (Subcat‘𝐶))
subccatid.1	⊢ (𝜑 → 𝐽 Fn (𝑆 × 𝑆))
subccatid.2	⊢ 1 = (Id‘𝐶)

Assertion

Ref	Expression
subccatid	⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ Cat ∧ (Id‘𝐷) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ( 1 ‘𝑥))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐶   𝑥,𝐷   𝜑,𝑥   𝑥, 1   𝑥,𝐽   𝑥,𝑆

Proof of Theorem subccatid

Dummy variables 𝑓 𝑔 ℎ 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subccat.1	. . 3 ⊢ 𝐷 = (𝐶 ↾cat 𝐽)
2		eqid 2733	. . 3 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
3		subccat.j	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (Subcat‘𝐶))
4		subcrcl 17731	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ (Subcat‘𝐶) → 𝐶 ∈ Cat)
5	3, 4	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
6		subccatid.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 Fn (𝑆 × 𝑆))
7	3, 6, 2	subcss1 17757	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐶))
8	1, 2, 5, 6, 7	rescbas 17744	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = (Base‘𝐷))
9	1, 2, 5, 6, 7	reschom 17745	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐽 = (Hom ‘𝐷))
10		eqid 2733	. . 3 ⊢ (comp‘𝐶) = (comp‘𝐶)
11	1, 2, 5, 6, 7, 10	rescco 17747	. 2 ⊢ (𝜑 → (comp‘𝐶) = (comp‘𝐷))
12	1	ovexi 7389	. . 3 ⊢ 𝐷 ∈ V
13	12	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ V)
14		biid 261	. 2 ⊢ (((𝑤 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑤𝐽𝑥) ∧ 𝑔 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∧ ℎ ∈ (𝑦𝐽𝑧))) ↔ ((𝑤 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑤𝐽𝑥) ∧ 𝑔 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∧ ℎ ∈ (𝑦𝐽𝑧))))
15	3	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐽 ∈ (Subcat‘𝐶))
16	6	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐽 Fn (𝑆 × 𝑆))
17		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ 𝑆)
18		subccatid.2	. . 3 ⊢ 1 = (Id‘𝐶)
19	15, 16, 17, 18	subcidcl 17759	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ( 1 ‘𝑥) ∈ (𝑥𝐽𝑥))
20		eqid 2733	. . 3 ⊢ (Hom ‘𝐶) = (Hom ‘𝐶)
21	5	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑤 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑤𝐽𝑥) ∧ 𝑔 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∧ ℎ ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) → 𝐶 ∈ Cat)
22	7	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑤 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑤𝐽𝑥) ∧ 𝑔 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∧ ℎ ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐶))
23		simpr1l 1231	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑤 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑤𝐽𝑥) ∧ 𝑔 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∧ ℎ ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) → 𝑤 ∈ 𝑆)
24	22, 23	sseldd 3931	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑤 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑤𝐽𝑥) ∧ 𝑔 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∧ ℎ ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) → 𝑤 ∈ (Base‘𝐶))
25		simpr1r 1232	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑤 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑤𝐽𝑥) ∧ 𝑔 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∧ ℎ ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) → 𝑥 ∈ 𝑆)
26	22, 25	sseldd 3931	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑤 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑤𝐽𝑥) ∧ 𝑔 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∧ ℎ ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐶))
27	3	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑤 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑤𝐽𝑥) ∧ 𝑔 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∧ ℎ ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) → 𝐽 ∈ (Subcat‘𝐶))
28	6	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑤 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑤𝐽𝑥) ∧ 𝑔 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∧ ℎ ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) → 𝐽 Fn (𝑆 × 𝑆))
29	27, 28, 20, 23, 25	subcss2 17758	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑤 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑤𝐽𝑥) ∧ 𝑔 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∧ ℎ ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) → (𝑤𝐽𝑥) ⊆ (𝑤(Hom ‘𝐶)𝑥))
30		simpr31 1264	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑤 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑤𝐽𝑥) ∧ 𝑔 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∧ ℎ ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) → 𝑓 ∈ (𝑤𝐽𝑥))
31	29, 30	sseldd 3931	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑤 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑤𝐽𝑥) ∧ 𝑔 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∧ ℎ ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) → 𝑓 ∈ (𝑤(Hom ‘𝐶)𝑥))
32	2, 20, 18, 21, 24, 10, 26, 31	catlid 17597	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑤 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑤𝐽𝑥) ∧ 𝑔 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∧ ℎ ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) → (( 1 ‘𝑥)(⟨𝑤, 𝑥⟩(comp‘𝐶)𝑥)𝑓) = 𝑓)
33		simpr2l 1233	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑤 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑤𝐽𝑥) ∧ 𝑔 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∧ ℎ ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) → 𝑦 ∈ 𝑆)
34	22, 33	sseldd 3931	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑤 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑤𝐽𝑥) ∧ 𝑔 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∧ ℎ ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐶))
35	27, 28, 20, 25, 33	subcss2 17758	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑤 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑤𝐽𝑥) ∧ 𝑔 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∧ ℎ ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) → (𝑥𝐽𝑦) ⊆ (𝑥(Hom ‘𝐶)𝑦))
36		simpr32 1265	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑤 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑤𝐽𝑥) ∧ 𝑔 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∧ ℎ ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) → 𝑔 ∈ (𝑥𝐽𝑦))
37	35, 36	sseldd 3931	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑤 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑤𝐽𝑥) ∧ 𝑔 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∧ ℎ ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) → 𝑔 ∈ (𝑥(Hom ‘𝐶)𝑦))
38	2, 20, 18, 21, 26, 10, 34, 37	catrid 17598	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑤 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑤𝐽𝑥) ∧ 𝑔 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∧ ℎ ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) → (𝑔(⟨𝑥, 𝑥⟩(comp‘𝐶)𝑦)( 1 ‘𝑥)) = 𝑔)
39	27, 28, 23, 10, 25, 33, 30, 36	subccocl 17760	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑤 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑤𝐽𝑥) ∧ 𝑔 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∧ ℎ ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) → (𝑔(⟨𝑤, 𝑥⟩(comp‘𝐶)𝑦)𝑓) ∈ (𝑤𝐽𝑦))
40		simpr2r 1234	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑤 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑤𝐽𝑥) ∧ 𝑔 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∧ ℎ ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) → 𝑧 ∈ 𝑆)
41	22, 40	sseldd 3931	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑤 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑤𝐽𝑥) ∧ 𝑔 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∧ ℎ ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) → 𝑧 ∈ (Base‘𝐶))
42	27, 28, 20, 33, 40	subcss2 17758	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑤 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑤𝐽𝑥) ∧ 𝑔 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∧ ℎ ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) → (𝑦𝐽𝑧) ⊆ (𝑦(Hom ‘𝐶)𝑧))
43		simpr33 1266	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑤 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑤𝐽𝑥) ∧ 𝑔 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∧ ℎ ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) → ℎ ∈ (𝑦𝐽𝑧))
44	42, 43	sseldd 3931	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑤 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑤𝐽𝑥) ∧ 𝑔 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∧ ℎ ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) → ℎ ∈ (𝑦(Hom ‘𝐶)𝑧))
45	2, 20, 10, 21, 24, 26, 34, 31, 37, 41, 44	catass 17600	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑤 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑤𝐽𝑥) ∧ 𝑔 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∧ ℎ ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) → ((ℎ(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘𝐶)𝑧)𝑔)(⟨𝑤, 𝑥⟩(comp‘𝐶)𝑧)𝑓) = (ℎ(⟨𝑤, 𝑦⟩(comp‘𝐶)𝑧)(𝑔(⟨𝑤, 𝑥⟩(comp‘𝐶)𝑦)𝑓)))
46	8, 9, 11, 13, 14, 19, 32, 38, 39, 45	iscatd2 17595	1 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ Cat ∧ (Id‘𝐷) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ( 1 ‘𝑥))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  Vcvv 3437   ⊆ wss 3898   ↦ cmpt 5176   × cxp 5619   Fn wfn 6484  ‘cfv 6489  (class class class)co 7355  Basecbs 17127  Hom chom 17179  compcco 17180  Catccat 17578  Idccid 17579   ↾_cat cresc 17723  Subcatcsubc 17724

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-cnex 11073  ax-resscn 11074  ax-1cn 11075  ax-icn 11076  ax-addcl 11077  ax-addrcl 11078  ax-mulcl 11079  ax-mulrcl 11080  ax-mulcom 11081  ax-addass 11082  ax-mulass 11083  ax-distr 11084  ax-i2m1 11085  ax-1ne0 11086  ax-1rid 11087  ax-rnegex 11088  ax-rrecex 11089  ax-cnre 11090  ax-pre-lttri 11091  ax-pre-lttrn 11092  ax-pre-ltadd 11093  ax-pre-mulgt0 11094

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-om 7806  df-1st 7930  df-2nd 7931  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-er 8631  df-pm 8762  df-ixp 8832  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11159  df-mnf 11160  df-xr 11161  df-ltxr 11162  df-le 11163  df-sub 11357  df-neg 11358  df-nn 12137  df-2 12199  df-3 12200  df-4 12201  df-5 12202  df-6 12203  df-7 12204  df-8 12205  df-9 12206  df-n0 12393  df-z 12480  df-dec 12599  df-sets 17082  df-slot 17100  df-ndx 17112  df-base 17128  df-ress 17149  df-hom 17192  df-cco 17193  df-cat 17582  df-cid 17583  df-homf 17584  df-ssc 17725  df-resc 17726  df-subc 17727

This theorem is referenced by:  subcid  17762  subccat  17763