MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subccatid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem subccatid 17831
Description: A subcategory is a category. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
subccat.1 𝐷 = (𝐢 β†Ύcat 𝐽)
subccat.j (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (Subcatβ€˜πΆ))
subccatid.1 (πœ‘ β†’ 𝐽 Fn (𝑆 Γ— 𝑆))
subccatid.2 1 = (Idβ€˜πΆ)
Assertion
Ref Expression
subccatid (πœ‘ β†’ (𝐷 ∈ Cat ∧ (Idβ€˜π·) = (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ ( 1 β€˜π‘₯))))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐢   π‘₯,𝐷   πœ‘,π‘₯   π‘₯, 1   π‘₯,𝐽   π‘₯,𝑆

Proof of Theorem subccatid
Dummy variables 𝑓 𝑔 β„Ž 𝑀 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 subccat.1 . . 3 𝐷 = (𝐢 β†Ύcat 𝐽)
2 eqid 2725 . . 3 (Baseβ€˜πΆ) = (Baseβ€˜πΆ)
3 subccat.j . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (Subcatβ€˜πΆ))
4 subcrcl 17798 . . . 4 (𝐽 ∈ (Subcatβ€˜πΆ) β†’ 𝐢 ∈ Cat)
53, 4syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ Cat)
6 subccatid.1 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐽 Fn (𝑆 Γ— 𝑆))
73, 6, 2subcss1 17827 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜πΆ))
81, 2, 5, 6, 7rescbas 17811 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑆 = (Baseβ€˜π·))
91, 2, 5, 6, 7reschom 17813 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐽 = (Hom β€˜π·))
10 eqid 2725 . . 3 (compβ€˜πΆ) = (compβ€˜πΆ)
111, 2, 5, 6, 7, 10rescco 17815 . 2 (πœ‘ β†’ (compβ€˜πΆ) = (compβ€˜π·))
121ovexi 7450 . . 3 𝐷 ∈ V
1312a1i 11 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ V)
14 biid 260 . 2 (((𝑀 ∈ 𝑆 ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀𝐽π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯𝐽𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦𝐽𝑧))) ↔ ((𝑀 ∈ 𝑆 ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀𝐽π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯𝐽𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦𝐽𝑧))))
153adantr 479 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ 𝐽 ∈ (Subcatβ€˜πΆ))
166adantr 479 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ 𝐽 Fn (𝑆 Γ— 𝑆))
17 simpr 483 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ π‘₯ ∈ 𝑆)
18 subccatid.2 . . 3 1 = (Idβ€˜πΆ)
1915, 16, 17, 18subcidcl 17829 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ ( 1 β€˜π‘₯) ∈ (π‘₯𝐽π‘₯))
20 eqid 2725 . . 3 (Hom β€˜πΆ) = (Hom β€˜πΆ)
215adantr 479 . . 3 ((πœ‘ ∧ ((𝑀 ∈ 𝑆 ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀𝐽π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯𝐽𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) β†’ 𝐢 ∈ Cat)
227adantr 479 . . . 4 ((πœ‘ ∧ ((𝑀 ∈ 𝑆 ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀𝐽π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯𝐽𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) β†’ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜πΆ))
23 simpr1l 1227 . . . 4 ((πœ‘ ∧ ((𝑀 ∈ 𝑆 ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀𝐽π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯𝐽𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) β†’ 𝑀 ∈ 𝑆)
2422, 23sseldd 3973 . . 3 ((πœ‘ ∧ ((𝑀 ∈ 𝑆 ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀𝐽π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯𝐽𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) β†’ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜πΆ))
25 simpr1r 1228 . . . 4 ((πœ‘ ∧ ((𝑀 ∈ 𝑆 ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀𝐽π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯𝐽𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) β†’ π‘₯ ∈ 𝑆)
2622, 25sseldd 3973 . . 3 ((πœ‘ ∧ ((𝑀 ∈ 𝑆 ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀𝐽π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯𝐽𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΆ))
273adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ ((𝑀 ∈ 𝑆 ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀𝐽π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯𝐽𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) β†’ 𝐽 ∈ (Subcatβ€˜πΆ))
286adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ ((𝑀 ∈ 𝑆 ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀𝐽π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯𝐽𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) β†’ 𝐽 Fn (𝑆 Γ— 𝑆))
2927, 28, 20, 23, 25subcss2 17828 . . . 4 ((πœ‘ ∧ ((𝑀 ∈ 𝑆 ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀𝐽π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯𝐽𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) β†’ (𝑀𝐽π‘₯) βŠ† (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯))
30 simpr31 1260 . . . 4 ((πœ‘ ∧ ((𝑀 ∈ 𝑆 ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀𝐽π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯𝐽𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) β†’ 𝑓 ∈ (𝑀𝐽π‘₯))
3129, 30sseldd 3973 . . 3 ((πœ‘ ∧ ((𝑀 ∈ 𝑆 ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀𝐽π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯𝐽𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) β†’ 𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯))
322, 20, 18, 21, 24, 10, 26, 31catlid 17662 . 2 ((πœ‘ ∧ ((𝑀 ∈ 𝑆 ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀𝐽π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯𝐽𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) β†’ (( 1 β€˜π‘₯)(βŸ¨π‘€, π‘₯⟩(compβ€˜πΆ)π‘₯)𝑓) = 𝑓)
33 simpr2l 1229 . . . 4 ((πœ‘ ∧ ((𝑀 ∈ 𝑆 ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀𝐽π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯𝐽𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) β†’ 𝑦 ∈ 𝑆)
3422, 33sseldd 3973 . . 3 ((πœ‘ ∧ ((𝑀 ∈ 𝑆 ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀𝐽π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯𝐽𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) β†’ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΆ))
3527, 28, 20, 25, 33subcss2 17828 . . . 4 ((πœ‘ ∧ ((𝑀 ∈ 𝑆 ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀𝐽π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯𝐽𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) β†’ (π‘₯𝐽𝑦) βŠ† (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦))
36 simpr32 1261 . . . 4 ((πœ‘ ∧ ((𝑀 ∈ 𝑆 ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀𝐽π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯𝐽𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) β†’ 𝑔 ∈ (π‘₯𝐽𝑦))
3735, 36sseldd 3973 . . 3 ((πœ‘ ∧ ((𝑀 ∈ 𝑆 ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀𝐽π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯𝐽𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) β†’ 𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦))
382, 20, 18, 21, 26, 10, 34, 37catrid 17663 . 2 ((πœ‘ ∧ ((𝑀 ∈ 𝑆 ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀𝐽π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯𝐽𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) β†’ (𝑔(⟨π‘₯, π‘₯⟩(compβ€˜πΆ)𝑦)( 1 β€˜π‘₯)) = 𝑔)
3927, 28, 23, 10, 25, 33, 30, 36subccocl 17830 . 2 ((πœ‘ ∧ ((𝑀 ∈ 𝑆 ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀𝐽π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯𝐽𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) β†’ (𝑔(βŸ¨π‘€, π‘₯⟩(compβ€˜πΆ)𝑦)𝑓) ∈ (𝑀𝐽𝑦))
40 simpr2r 1230 . . . 4 ((πœ‘ ∧ ((𝑀 ∈ 𝑆 ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀𝐽π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯𝐽𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) β†’ 𝑧 ∈ 𝑆)
4122, 40sseldd 3973 . . 3 ((πœ‘ ∧ ((𝑀 ∈ 𝑆 ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀𝐽π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯𝐽𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) β†’ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΆ))
4227, 28, 20, 33, 40subcss2 17828 . . . 4 ((πœ‘ ∧ ((𝑀 ∈ 𝑆 ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀𝐽π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯𝐽𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) β†’ (𝑦𝐽𝑧) βŠ† (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧))
43 simpr33 1262 . . . 4 ((πœ‘ ∧ ((𝑀 ∈ 𝑆 ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀𝐽π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯𝐽𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) β†’ β„Ž ∈ (𝑦𝐽𝑧))
4442, 43sseldd 3973 . . 3 ((πœ‘ ∧ ((𝑀 ∈ 𝑆 ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀𝐽π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯𝐽𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) β†’ β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧))
452, 20, 10, 21, 24, 26, 34, 31, 37, 41, 44catass 17665 . 2 ((πœ‘ ∧ ((𝑀 ∈ 𝑆 ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀𝐽π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯𝐽𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) β†’ ((β„Ž(⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧)𝑔)(βŸ¨π‘€, π‘₯⟩(compβ€˜πΆ)𝑧)𝑓) = (β„Ž(βŸ¨π‘€, π‘¦βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧)(𝑔(βŸ¨π‘€, π‘₯⟩(compβ€˜πΆ)𝑦)𝑓)))
468, 9, 11, 13, 14, 19, 32, 38, 39, 45iscatd2 17660 1 (πœ‘ β†’ (𝐷 ∈ Cat ∧ (Idβ€˜π·) = (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ ( 1 β€˜π‘₯))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3463   βŠ† wss 3939   ↦ cmpt 5226   Γ— cxp 5670   Fn wfn 6538  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7416  Basecbs 17179  Hom chom 17243  compcco 17244  Catccat 17643  Idccid 17644   β†Ύcat cresc 17790  Subcatcsubc 17791
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8723  df-pm 8846  df-ixp 8915  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12503  df-z 12589  df-dec 12708  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-hom 17256  df-cco 17257  df-cat 17647  df-cid 17648  df-homf 17649  df-ssc 17792  df-resc 17793  df-subc 17794
This theorem is referenced by:  subcid  17832  subccat  17833
  Copyright terms: Public domain W3C validator