Theorem subccatid 17921

Description: A subcategory is a category. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
subccat.1	⊢ 𝐷 = (𝐶 ↾cat 𝐽)
subccat.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (Subcat‘𝐶))
subccatid.1	⊢ (𝜑 → 𝐽 Fn (𝑆 × 𝑆))
subccatid.2	⊢ 1 = (Id‘𝐶)

Assertion

Ref	Expression
subccatid	⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ Cat ∧ (Id‘𝐷) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ( 1 ‘𝑥))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐶   𝑥,𝐷   𝜑,𝑥   𝑥, 1   𝑥,𝐽   𝑥,𝑆

Proof of Theorem subccatid

Dummy variables 𝑓 𝑔 ℎ 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subccat.1	. . 3 ⊢ 𝐷 = (𝐶 ↾cat 𝐽)
2		eqid 2765	. . 3 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
3		subccat.j	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (Subcat‘𝐶))
4		subcrcl 17891	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ (Subcat‘𝐶) → 𝐶 ∈ Cat)
5	3, 4	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
6		subccatid.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 Fn (𝑆 × 𝑆))
7	3, 6, 2	subcss1 17917	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐶))
8	1, 2, 5, 6, 7	rescbas 17904	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = (Base‘𝐷))
9	1, 2, 5, 6, 7	reschom 17905	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐽 = (Hom ‘𝐷))
10		eqid 2765	. . 3 ⊢ (comp‘𝐶) = (comp‘𝐶)
11	1, 2, 5, 6, 7, 10	rescco 17907	. 2 ⊢ (𝜑 → (comp‘𝐶) = (comp‘𝐷))
12	1	ovexi 7450	. . 3 ⊢ 𝐷 ∈ V
13	12	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ V)
14		biid 264	. 2 ⊢ (((𝑤 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑤𝐽𝑥) ∧ 𝑔 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∧ ℎ ∈ (𝑦𝐽𝑧))) ↔ ((𝑤 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑤𝐽𝑥) ∧ 𝑔 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∧ ℎ ∈ (𝑦𝐽𝑧))))
15	3	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐽 ∈ (Subcat‘𝐶))
16	6	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐽 Fn (𝑆 × 𝑆))
17		simpr 490	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ 𝑆)
18		subccatid.2	. . 3 ⊢ 1 = (Id‘𝐶)
19	15, 16, 17, 18	subcidcl 17919	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ( 1 ‘𝑥) ∈ (𝑥𝐽𝑥))
20		eqid 2765	. . 3 ⊢ (Hom ‘𝐶) = (Hom ‘𝐶)
21	5	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑤 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑤𝐽𝑥) ∧ 𝑔 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∧ ℎ ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) → 𝐶 ∈ Cat)
22	7	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑤 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑤𝐽𝑥) ∧ 𝑔 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∧ ℎ ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐶))
23		simpr1l 1249	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑤 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑤𝐽𝑥) ∧ 𝑔 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∧ ℎ ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) → 𝑤 ∈ 𝑆)
24	22, 23	sseldd 3939	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑤 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑤𝐽𝑥) ∧ 𝑔 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∧ ℎ ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) → 𝑤 ∈ (Base‘𝐶))
25		simpr1r 1250	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑤 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑤𝐽𝑥) ∧ 𝑔 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∧ ℎ ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) → 𝑥 ∈ 𝑆)
26	22, 25	sseldd 3939	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑤 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑤𝐽𝑥) ∧ 𝑔 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∧ ℎ ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐶))
27	3	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑤 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑤𝐽𝑥) ∧ 𝑔 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∧ ℎ ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) → 𝐽 ∈ (Subcat‘𝐶))
28	6	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑤 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑤𝐽𝑥) ∧ 𝑔 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∧ ℎ ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) → 𝐽 Fn (𝑆 × 𝑆))
29	27, 28, 20, 23, 25	subcss2 17918	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑤 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑤𝐽𝑥) ∧ 𝑔 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∧ ℎ ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) → (𝑤𝐽𝑥) ⊆ (𝑤(Hom ‘𝐶)𝑥))
30		simpr31 1282	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑤 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑤𝐽𝑥) ∧ 𝑔 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∧ ℎ ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) → 𝑓 ∈ (𝑤𝐽𝑥))
31	29, 30	sseldd 3939	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑤 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑤𝐽𝑥) ∧ 𝑔 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∧ ℎ ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) → 𝑓 ∈ (𝑤(Hom ‘𝐶)𝑥))
32	2, 20, 18, 21, 24, 10, 26, 31	catlid 17757	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑤 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑤𝐽𝑥) ∧ 𝑔 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∧ ℎ ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) → (( 1 ‘𝑥)(⟨𝑤, 𝑥⟩(comp‘𝐶)𝑥)𝑓) = 𝑓)
33		simpr2l 1251	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑤 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑤𝐽𝑥) ∧ 𝑔 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∧ ℎ ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) → 𝑦 ∈ 𝑆)
34	22, 33	sseldd 3939	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑤 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑤𝐽𝑥) ∧ 𝑔 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∧ ℎ ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐶))
35	27, 28, 20, 25, 33	subcss2 17918	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑤 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑤𝐽𝑥) ∧ 𝑔 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∧ ℎ ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) → (𝑥𝐽𝑦) ⊆ (𝑥(Hom ‘𝐶)𝑦))
36		simpr32 1283	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑤 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑤𝐽𝑥) ∧ 𝑔 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∧ ℎ ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) → 𝑔 ∈ (𝑥𝐽𝑦))
37	35, 36	sseldd 3939	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑤 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑤𝐽𝑥) ∧ 𝑔 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∧ ℎ ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) → 𝑔 ∈ (𝑥(Hom ‘𝐶)𝑦))
38	2, 20, 18, 21, 26, 10, 34, 37	catrid 17758	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑤 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑤𝐽𝑥) ∧ 𝑔 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∧ ℎ ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) → (𝑔(⟨𝑥, 𝑥⟩(comp‘𝐶)𝑦)( 1 ‘𝑥)) = 𝑔)
39	27, 28, 23, 10, 25, 33, 30, 36	subccocl 17920	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑤 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑤𝐽𝑥) ∧ 𝑔 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∧ ℎ ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) → (𝑔(⟨𝑤, 𝑥⟩(comp‘𝐶)𝑦)𝑓) ∈ (𝑤𝐽𝑦))
40		simpr2r 1252	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑤 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑤𝐽𝑥) ∧ 𝑔 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∧ ℎ ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) → 𝑧 ∈ 𝑆)
41	22, 40	sseldd 3939	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑤 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑤𝐽𝑥) ∧ 𝑔 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∧ ℎ ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) → 𝑧 ∈ (Base‘𝐶))
42	27, 28, 20, 33, 40	subcss2 17918	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑤 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑤𝐽𝑥) ∧ 𝑔 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∧ ℎ ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) → (𝑦𝐽𝑧) ⊆ (𝑦(Hom ‘𝐶)𝑧))
43		simpr33 1284	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑤 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑤𝐽𝑥) ∧ 𝑔 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∧ ℎ ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) → ℎ ∈ (𝑦𝐽𝑧))
44	42, 43	sseldd 3939	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑤 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑤𝐽𝑥) ∧ 𝑔 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∧ ℎ ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) → ℎ ∈ (𝑦(Hom ‘𝐶)𝑧))
45	2, 20, 10, 21, 24, 26, 34, 31, 37, 41, 44	catass 17760	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑤 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑤𝐽𝑥) ∧ 𝑔 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∧ ℎ ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) → ((ℎ(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘𝐶)𝑧)𝑔)(⟨𝑤, 𝑥⟩(comp‘𝐶)𝑧)𝑓) = (ℎ(⟨𝑤, 𝑦⟩(comp‘𝐶)𝑧)(𝑔(⟨𝑤, 𝑥⟩(comp‘𝐶)𝑦)𝑓)))
46	8, 9, 11, 13, 14, 19, 32, 38, 39, 45	iscatd2 17755	1 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ Cat ∧ (Id‘𝐷) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ( 1 ‘𝑥))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  Vcvv 3457   ⊆ wss 3906   ↦ cmpt 5194   × cxp 5661   Fn wfn 6535  ‘cfv 6540  (class class class)co 7416  Basecbs 17287  Hom chom 17339  compcco 17340  Catccat 17738  Idccid 17739   ↾_cat cresc 17883  Subcatcsubc 17884

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-cnex 11167  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187  ax-pre-mulgt0 11188

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-er 8696  df-pm 8829  df-ixp 8898  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11454  df-neg 11455  df-nn 12245  df-2 12314  df-3 12315  df-4 12316  df-5 12317  df-6 12318  df-7 12319  df-8 12320  df-9 12321  df-n0 12516  df-z 12603  df-dec 12724  df-sets 17242  df-slot 17260  df-ndx 17272  df-base 17288  df-ress 17309  df-hom 17352  df-cco 17353  df-cat 17742  df-cid 17743  df-homf 17744  df-ssc 17885  df-resc 17886  df-subc 17887

This theorem is used by:  subcid  17922  subccat  17923