MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subccatid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem subccatid 17805
Description: A subcategory is a category. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
subccat.1 𝐷 = (𝐢 β†Ύcat 𝐽)
subccat.j (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (Subcatβ€˜πΆ))
subccatid.1 (πœ‘ β†’ 𝐽 Fn (𝑆 Γ— 𝑆))
subccatid.2 1 = (Idβ€˜πΆ)
Assertion
Ref Expression
subccatid (πœ‘ β†’ (𝐷 ∈ Cat ∧ (Idβ€˜π·) = (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ ( 1 β€˜π‘₯))))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐢   π‘₯,𝐷   πœ‘,π‘₯   π‘₯, 1   π‘₯,𝐽   π‘₯,𝑆

Proof of Theorem subccatid
Dummy variables 𝑓 𝑔 β„Ž 𝑀 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 subccat.1 . . 3 𝐷 = (𝐢 β†Ύcat 𝐽)
2 eqid 2726 . . 3 (Baseβ€˜πΆ) = (Baseβ€˜πΆ)
3 subccat.j . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (Subcatβ€˜πΆ))
4 subcrcl 17772 . . . 4 (𝐽 ∈ (Subcatβ€˜πΆ) β†’ 𝐢 ∈ Cat)
53, 4syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ Cat)
6 subccatid.1 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐽 Fn (𝑆 Γ— 𝑆))
73, 6, 2subcss1 17801 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜πΆ))
81, 2, 5, 6, 7rescbas 17785 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑆 = (Baseβ€˜π·))
91, 2, 5, 6, 7reschom 17787 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐽 = (Hom β€˜π·))
10 eqid 2726 . . 3 (compβ€˜πΆ) = (compβ€˜πΆ)
111, 2, 5, 6, 7, 10rescco 17789 . 2 (πœ‘ β†’ (compβ€˜πΆ) = (compβ€˜π·))
121ovexi 7439 . . 3 𝐷 ∈ V
1312a1i 11 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ V)
14 biid 261 . 2 (((𝑀 ∈ 𝑆 ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀𝐽π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯𝐽𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦𝐽𝑧))) ↔ ((𝑀 ∈ 𝑆 ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀𝐽π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯𝐽𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦𝐽𝑧))))
153adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ 𝐽 ∈ (Subcatβ€˜πΆ))
166adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ 𝐽 Fn (𝑆 Γ— 𝑆))
17 simpr 484 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ π‘₯ ∈ 𝑆)
18 subccatid.2 . . 3 1 = (Idβ€˜πΆ)
1915, 16, 17, 18subcidcl 17803 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ ( 1 β€˜π‘₯) ∈ (π‘₯𝐽π‘₯))
20 eqid 2726 . . 3 (Hom β€˜πΆ) = (Hom β€˜πΆ)
215adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ ((𝑀 ∈ 𝑆 ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀𝐽π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯𝐽𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) β†’ 𝐢 ∈ Cat)
227adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ ((𝑀 ∈ 𝑆 ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀𝐽π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯𝐽𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) β†’ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜πΆ))
23 simpr1l 1227 . . . 4 ((πœ‘ ∧ ((𝑀 ∈ 𝑆 ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀𝐽π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯𝐽𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) β†’ 𝑀 ∈ 𝑆)
2422, 23sseldd 3978 . . 3 ((πœ‘ ∧ ((𝑀 ∈ 𝑆 ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀𝐽π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯𝐽𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) β†’ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜πΆ))
25 simpr1r 1228 . . . 4 ((πœ‘ ∧ ((𝑀 ∈ 𝑆 ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀𝐽π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯𝐽𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) β†’ π‘₯ ∈ 𝑆)
2622, 25sseldd 3978 . . 3 ((πœ‘ ∧ ((𝑀 ∈ 𝑆 ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀𝐽π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯𝐽𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΆ))
273adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ ((𝑀 ∈ 𝑆 ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀𝐽π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯𝐽𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) β†’ 𝐽 ∈ (Subcatβ€˜πΆ))
286adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ ((𝑀 ∈ 𝑆 ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀𝐽π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯𝐽𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) β†’ 𝐽 Fn (𝑆 Γ— 𝑆))
2927, 28, 20, 23, 25subcss2 17802 . . . 4 ((πœ‘ ∧ ((𝑀 ∈ 𝑆 ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀𝐽π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯𝐽𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) β†’ (𝑀𝐽π‘₯) βŠ† (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯))
30 simpr31 1260 . . . 4 ((πœ‘ ∧ ((𝑀 ∈ 𝑆 ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀𝐽π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯𝐽𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) β†’ 𝑓 ∈ (𝑀𝐽π‘₯))
3129, 30sseldd 3978 . . 3 ((πœ‘ ∧ ((𝑀 ∈ 𝑆 ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀𝐽π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯𝐽𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) β†’ 𝑓 ∈ (𝑀(Hom β€˜πΆ)π‘₯))
322, 20, 18, 21, 24, 10, 26, 31catlid 17636 . 2 ((πœ‘ ∧ ((𝑀 ∈ 𝑆 ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀𝐽π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯𝐽𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) β†’ (( 1 β€˜π‘₯)(βŸ¨π‘€, π‘₯⟩(compβ€˜πΆ)π‘₯)𝑓) = 𝑓)
33 simpr2l 1229 . . . 4 ((πœ‘ ∧ ((𝑀 ∈ 𝑆 ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀𝐽π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯𝐽𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) β†’ 𝑦 ∈ 𝑆)
3422, 33sseldd 3978 . . 3 ((πœ‘ ∧ ((𝑀 ∈ 𝑆 ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀𝐽π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯𝐽𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) β†’ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΆ))
3527, 28, 20, 25, 33subcss2 17802 . . . 4 ((πœ‘ ∧ ((𝑀 ∈ 𝑆 ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀𝐽π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯𝐽𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) β†’ (π‘₯𝐽𝑦) βŠ† (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦))
36 simpr32 1261 . . . 4 ((πœ‘ ∧ ((𝑀 ∈ 𝑆 ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀𝐽π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯𝐽𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) β†’ 𝑔 ∈ (π‘₯𝐽𝑦))
3735, 36sseldd 3978 . . 3 ((πœ‘ ∧ ((𝑀 ∈ 𝑆 ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀𝐽π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯𝐽𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) β†’ 𝑔 ∈ (π‘₯(Hom β€˜πΆ)𝑦))
382, 20, 18, 21, 26, 10, 34, 37catrid 17637 . 2 ((πœ‘ ∧ ((𝑀 ∈ 𝑆 ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀𝐽π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯𝐽𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) β†’ (𝑔(⟨π‘₯, π‘₯⟩(compβ€˜πΆ)𝑦)( 1 β€˜π‘₯)) = 𝑔)
3927, 28, 23, 10, 25, 33, 30, 36subccocl 17804 . 2 ((πœ‘ ∧ ((𝑀 ∈ 𝑆 ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀𝐽π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯𝐽𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) β†’ (𝑔(βŸ¨π‘€, π‘₯⟩(compβ€˜πΆ)𝑦)𝑓) ∈ (𝑀𝐽𝑦))
40 simpr2r 1230 . . . 4 ((πœ‘ ∧ ((𝑀 ∈ 𝑆 ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀𝐽π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯𝐽𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) β†’ 𝑧 ∈ 𝑆)
4122, 40sseldd 3978 . . 3 ((πœ‘ ∧ ((𝑀 ∈ 𝑆 ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀𝐽π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯𝐽𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) β†’ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΆ))
4227, 28, 20, 33, 40subcss2 17802 . . . 4 ((πœ‘ ∧ ((𝑀 ∈ 𝑆 ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀𝐽π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯𝐽𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) β†’ (𝑦𝐽𝑧) βŠ† (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧))
43 simpr33 1262 . . . 4 ((πœ‘ ∧ ((𝑀 ∈ 𝑆 ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀𝐽π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯𝐽𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) β†’ β„Ž ∈ (𝑦𝐽𝑧))
4442, 43sseldd 3978 . . 3 ((πœ‘ ∧ ((𝑀 ∈ 𝑆 ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀𝐽π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯𝐽𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) β†’ β„Ž ∈ (𝑦(Hom β€˜πΆ)𝑧))
452, 20, 10, 21, 24, 26, 34, 31, 37, 41, 44catass 17639 . 2 ((πœ‘ ∧ ((𝑀 ∈ 𝑆 ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑀𝐽π‘₯) ∧ 𝑔 ∈ (π‘₯𝐽𝑦) ∧ β„Ž ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) β†’ ((β„Ž(⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧)𝑔)(βŸ¨π‘€, π‘₯⟩(compβ€˜πΆ)𝑧)𝑓) = (β„Ž(βŸ¨π‘€, π‘¦βŸ©(compβ€˜πΆ)𝑧)(𝑔(βŸ¨π‘€, π‘₯⟩(compβ€˜πΆ)𝑦)𝑓)))
468, 9, 11, 13, 14, 19, 32, 38, 39, 45iscatd2 17634 1 (πœ‘ β†’ (𝐷 ∈ Cat ∧ (Idβ€˜π·) = (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ ( 1 β€˜π‘₯))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3468   βŠ† wss 3943   ↦ cmpt 5224   Γ— cxp 5667   Fn wfn 6532  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  Basecbs 17153  Hom chom 17217  compcco 17218  Catccat 17617  Idccid 17618   β†Ύcat cresc 17764  Subcatcsubc 17765
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-hom 17230  df-cco 17231  df-cat 17621  df-cid 17622  df-homf 17623  df-ssc 17766  df-resc 17767  df-subc 17768
This theorem is referenced by:  subcid  17806  subccat  17807
  Copyright terms: Public domain W3C validator