MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subccatid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem subccatid 16865
Description: A subcategory is a category. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
subccat.1 𝐷 = (𝐶cat 𝐽)
subccat.j (𝜑𝐽 ∈ (Subcat‘𝐶))
subccatid.1 (𝜑𝐽 Fn (𝑆 × 𝑆))
subccatid.2 1 = (Id‘𝐶)
Assertion
Ref Expression
subccatid (𝜑 → (𝐷 ∈ Cat ∧ (Id‘𝐷) = (𝑥𝑆 ↦ ( 1𝑥))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐶   𝑥,𝐷   𝜑,𝑥   𝑥, 1   𝑥,𝐽   𝑥,𝑆

Proof of Theorem subccatid
Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 subccat.1 . . 3 𝐷 = (𝐶cat 𝐽)
2 eqid 2825 . . 3 (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
3 subccat.j . . . 4 (𝜑𝐽 ∈ (Subcat‘𝐶))
4 subcrcl 16835 . . . 4 (𝐽 ∈ (Subcat‘𝐶) → 𝐶 ∈ Cat)
53, 4syl 17 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ Cat)
6 subccatid.1 . . 3 (𝜑𝐽 Fn (𝑆 × 𝑆))
73, 6, 2subcss1 16861 . . 3 (𝜑𝑆 ⊆ (Base‘𝐶))
81, 2, 5, 6, 7rescbas 16848 . 2 (𝜑𝑆 = (Base‘𝐷))
91, 2, 5, 6, 7reschom 16849 . 2 (𝜑𝐽 = (Hom ‘𝐷))
10 eqid 2825 . . 3 (comp‘𝐶) = (comp‘𝐶)
111, 2, 5, 6, 7, 10rescco 16851 . 2 (𝜑 → (comp‘𝐶) = (comp‘𝐷))
12 ovex 6942 . . . 4 (𝐶cat 𝐽) ∈ V
131, 12eqeltri 2902 . . 3 𝐷 ∈ V
1413a1i 11 . 2 (𝜑𝐷 ∈ V)
15 biid 253 . 2 (((𝑤𝑆𝑥𝑆) ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑤𝐽𝑥) ∧ 𝑔 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∧ ∈ (𝑦𝐽𝑧))) ↔ ((𝑤𝑆𝑥𝑆) ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑤𝐽𝑥) ∧ 𝑔 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∧ ∈ (𝑦𝐽𝑧))))
163adantr 474 . . 3 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝐽 ∈ (Subcat‘𝐶))
176adantr 474 . . 3 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝐽 Fn (𝑆 × 𝑆))
18 simpr 479 . . 3 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝑥𝑆)
19 subccatid.2 . . 3 1 = (Id‘𝐶)
2016, 17, 18, 19subcidcl 16863 . 2 ((𝜑𝑥𝑆) → ( 1𝑥) ∈ (𝑥𝐽𝑥))
21 eqid 2825 . . 3 (Hom ‘𝐶) = (Hom ‘𝐶)
225adantr 474 . . 3 ((𝜑 ∧ ((𝑤𝑆𝑥𝑆) ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑤𝐽𝑥) ∧ 𝑔 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∧ ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) → 𝐶 ∈ Cat)
237adantr 474 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((𝑤𝑆𝑥𝑆) ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑤𝐽𝑥) ∧ 𝑔 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∧ ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐶))
24 simpr1l 1309 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((𝑤𝑆𝑥𝑆) ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑤𝐽𝑥) ∧ 𝑔 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∧ ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) → 𝑤𝑆)
2523, 24sseldd 3828 . . 3 ((𝜑 ∧ ((𝑤𝑆𝑥𝑆) ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑤𝐽𝑥) ∧ 𝑔 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∧ ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) → 𝑤 ∈ (Base‘𝐶))
26 simpr1r 1311 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((𝑤𝑆𝑥𝑆) ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑤𝐽𝑥) ∧ 𝑔 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∧ ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) → 𝑥𝑆)
2723, 26sseldd 3828 . . 3 ((𝜑 ∧ ((𝑤𝑆𝑥𝑆) ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑤𝐽𝑥) ∧ 𝑔 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∧ ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐶))
283adantr 474 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝑤𝑆𝑥𝑆) ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑤𝐽𝑥) ∧ 𝑔 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∧ ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) → 𝐽 ∈ (Subcat‘𝐶))
296adantr 474 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝑤𝑆𝑥𝑆) ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑤𝐽𝑥) ∧ 𝑔 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∧ ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) → 𝐽 Fn (𝑆 × 𝑆))
3028, 29, 21, 24, 26subcss2 16862 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((𝑤𝑆𝑥𝑆) ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑤𝐽𝑥) ∧ 𝑔 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∧ ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) → (𝑤𝐽𝑥) ⊆ (𝑤(Hom ‘𝐶)𝑥))
31 simpr31 1363 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((𝑤𝑆𝑥𝑆) ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑤𝐽𝑥) ∧ 𝑔 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∧ ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) → 𝑓 ∈ (𝑤𝐽𝑥))
3230, 31sseldd 3828 . . 3 ((𝜑 ∧ ((𝑤𝑆𝑥𝑆) ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑤𝐽𝑥) ∧ 𝑔 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∧ ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) → 𝑓 ∈ (𝑤(Hom ‘𝐶)𝑥))
332, 21, 19, 22, 25, 10, 27, 32catlid 16703 . 2 ((𝜑 ∧ ((𝑤𝑆𝑥𝑆) ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑤𝐽𝑥) ∧ 𝑔 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∧ ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) → (( 1𝑥)(⟨𝑤, 𝑥⟩(comp‘𝐶)𝑥)𝑓) = 𝑓)
34 simpr2l 1313 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((𝑤𝑆𝑥𝑆) ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑤𝐽𝑥) ∧ 𝑔 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∧ ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) → 𝑦𝑆)
3523, 34sseldd 3828 . . 3 ((𝜑 ∧ ((𝑤𝑆𝑥𝑆) ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑤𝐽𝑥) ∧ 𝑔 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∧ ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐶))
3628, 29, 21, 26, 34subcss2 16862 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((𝑤𝑆𝑥𝑆) ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑤𝐽𝑥) ∧ 𝑔 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∧ ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) → (𝑥𝐽𝑦) ⊆ (𝑥(Hom ‘𝐶)𝑦))
37 simpr32 1365 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((𝑤𝑆𝑥𝑆) ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑤𝐽𝑥) ∧ 𝑔 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∧ ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) → 𝑔 ∈ (𝑥𝐽𝑦))
3836, 37sseldd 3828 . . 3 ((𝜑 ∧ ((𝑤𝑆𝑥𝑆) ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑤𝐽𝑥) ∧ 𝑔 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∧ ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) → 𝑔 ∈ (𝑥(Hom ‘𝐶)𝑦))
392, 21, 19, 22, 27, 10, 35, 38catrid 16704 . 2 ((𝜑 ∧ ((𝑤𝑆𝑥𝑆) ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑤𝐽𝑥) ∧ 𝑔 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∧ ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) → (𝑔(⟨𝑥, 𝑥⟩(comp‘𝐶)𝑦)( 1𝑥)) = 𝑔)
4028, 29, 24, 10, 26, 34, 31, 37subccocl 16864 . 2 ((𝜑 ∧ ((𝑤𝑆𝑥𝑆) ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑤𝐽𝑥) ∧ 𝑔 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∧ ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) → (𝑔(⟨𝑤, 𝑥⟩(comp‘𝐶)𝑦)𝑓) ∈ (𝑤𝐽𝑦))
41 simpr2r 1315 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((𝑤𝑆𝑥𝑆) ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑤𝐽𝑥) ∧ 𝑔 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∧ ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) → 𝑧𝑆)
4223, 41sseldd 3828 . . 3 ((𝜑 ∧ ((𝑤𝑆𝑥𝑆) ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑤𝐽𝑥) ∧ 𝑔 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∧ ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) → 𝑧 ∈ (Base‘𝐶))
4328, 29, 21, 34, 41subcss2 16862 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((𝑤𝑆𝑥𝑆) ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑤𝐽𝑥) ∧ 𝑔 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∧ ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) → (𝑦𝐽𝑧) ⊆ (𝑦(Hom ‘𝐶)𝑧))
44 simpr33 1367 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((𝑤𝑆𝑥𝑆) ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑤𝐽𝑥) ∧ 𝑔 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∧ ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) → ∈ (𝑦𝐽𝑧))
4543, 44sseldd 3828 . . 3 ((𝜑 ∧ ((𝑤𝑆𝑥𝑆) ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑤𝐽𝑥) ∧ 𝑔 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∧ ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) → ∈ (𝑦(Hom ‘𝐶)𝑧))
462, 21, 10, 22, 25, 27, 35, 32, 38, 42, 45catass 16706 . 2 ((𝜑 ∧ ((𝑤𝑆𝑥𝑆) ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑤𝐽𝑥) ∧ 𝑔 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∧ ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) → (((⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘𝐶)𝑧)𝑔)(⟨𝑤, 𝑥⟩(comp‘𝐶)𝑧)𝑓) = ((⟨𝑤, 𝑦⟩(comp‘𝐶)𝑧)(𝑔(⟨𝑤, 𝑥⟩(comp‘𝐶)𝑦)𝑓)))
478, 9, 11, 14, 15, 20, 33, 39, 40, 46iscatd2 16701 1 (𝜑 → (𝐷 ∈ Cat ∧ (Id‘𝐷) = (𝑥𝑆 ↦ ( 1𝑥))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 386  w3a 1111   = wceq 1656  wcel 2164  Vcvv 3414  wss 3798  cmpt 4954   × cxp 5344   Fn wfn 6122  cfv 6127  (class class class)co 6910  Basecbs 16229  Hom chom 16323  compcco 16324  Catccat 16684  Idccid 16685  cat cresc 16827  Subcatcsubc 16828
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4996  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214  ax-cnex 10315  ax-resscn 10316  ax-1cn 10317  ax-icn 10318  ax-addcl 10319  ax-addrcl 10320  ax-mulcl 10321  ax-mulrcl 10322  ax-mulcom 10323  ax-addass 10324  ax-mulass 10325  ax-distr 10326  ax-i2m1 10327  ax-1ne0 10328  ax-1rid 10329  ax-rnegex 10330  ax-rrecex 10331  ax-cnre 10332  ax-pre-lttri 10333  ax-pre-lttrn 10334  ax-pre-ltadd 10335  ax-pre-mulgt0 10336
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-fal 1670  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-tp 4404  df-op 4406  df-uni 4661  df-iun 4744  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-tr 4978  df-id 5252  df-eprel 5257  df-po 5265  df-so 5266  df-fr 5305  df-we 5307  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-pred 5924  df-ord 5970  df-on 5971  df-lim 5972  df-suc 5973  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-riota 6871  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-om 7332  df-1st 7433  df-2nd 7434  df-wrecs 7677  df-recs 7739  df-rdg 7777  df-er 8014  df-pm 8130  df-ixp 8182  df-en 8229  df-dom 8230  df-sdom 8231  df-pnf 10400  df-mnf 10401  df-xr 10402  df-ltxr 10403  df-le 10404  df-sub 10594  df-neg 10595  df-nn 11358  df-2 11421  df-3 11422  df-4 11423  df-5 11424  df-6 11425  df-7 11426  df-8 11427  df-9 11428  df-n0 11626  df-z 11712  df-dec 11829  df-ndx 16232  df-slot 16233  df-base 16235  df-sets 16236  df-ress 16237  df-hom 16336  df-cco 16337  df-cat 16688  df-cid 16689  df-homf 16690  df-ssc 16829  df-resc 16830  df-subc 16831
This theorem is referenced by:  subcid  16866  subccat  16867
  Copyright terms: Public domain W3C validator