MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subccatid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem subccatid 16713
Description: A subcategory is a category. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
subccat.1 𝐷 = (𝐶cat 𝐽)
subccat.j (𝜑𝐽 ∈ (Subcat‘𝐶))
subccatid.1 (𝜑𝐽 Fn (𝑆 × 𝑆))
subccatid.2 1 = (Id‘𝐶)
Assertion
Ref Expression
subccatid (𝜑 → (𝐷 ∈ Cat ∧ (Id‘𝐷) = (𝑥𝑆 ↦ ( 1𝑥))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐶   𝑥,𝐷   𝜑,𝑥   𝑥, 1   𝑥,𝐽   𝑥,𝑆

Proof of Theorem subccatid
Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 subccat.1 . . 3 𝐷 = (𝐶cat 𝐽)
2 eqid 2771 . . 3 (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
3 subccat.j . . . 4 (𝜑𝐽 ∈ (Subcat‘𝐶))
4 subcrcl 16683 . . . 4 (𝐽 ∈ (Subcat‘𝐶) → 𝐶 ∈ Cat)
53, 4syl 17 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ Cat)
6 subccatid.1 . . 3 (𝜑𝐽 Fn (𝑆 × 𝑆))
73, 6, 2subcss1 16709 . . 3 (𝜑𝑆 ⊆ (Base‘𝐶))
81, 2, 5, 6, 7rescbas 16696 . 2 (𝜑𝑆 = (Base‘𝐷))
91, 2, 5, 6, 7reschom 16697 . 2 (𝜑𝐽 = (Hom ‘𝐷))
10 eqid 2771 . . 3 (comp‘𝐶) = (comp‘𝐶)
111, 2, 5, 6, 7, 10rescco 16699 . 2 (𝜑 → (comp‘𝐶) = (comp‘𝐷))
12 ovex 6823 . . . 4 (𝐶cat 𝐽) ∈ V
131, 12eqeltri 2846 . . 3 𝐷 ∈ V
1413a1i 11 . 2 (𝜑𝐷 ∈ V)
15 biid 251 . 2 (((𝑤𝑆𝑥𝑆) ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑤𝐽𝑥) ∧ 𝑔 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∧ ∈ (𝑦𝐽𝑧))) ↔ ((𝑤𝑆𝑥𝑆) ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑤𝐽𝑥) ∧ 𝑔 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∧ ∈ (𝑦𝐽𝑧))))
163adantr 466 . . 3 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝐽 ∈ (Subcat‘𝐶))
176adantr 466 . . 3 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝐽 Fn (𝑆 × 𝑆))
18 simpr 471 . . 3 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝑥𝑆)
19 subccatid.2 . . 3 1 = (Id‘𝐶)
2016, 17, 18, 19subcidcl 16711 . 2 ((𝜑𝑥𝑆) → ( 1𝑥) ∈ (𝑥𝐽𝑥))
21 eqid 2771 . . 3 (Hom ‘𝐶) = (Hom ‘𝐶)
225adantr 466 . . 3 ((𝜑 ∧ ((𝑤𝑆𝑥𝑆) ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑤𝐽𝑥) ∧ 𝑔 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∧ ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) → 𝐶 ∈ Cat)
237adantr 466 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((𝑤𝑆𝑥𝑆) ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑤𝐽𝑥) ∧ 𝑔 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∧ ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐶))
24 simpr1l 1290 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((𝑤𝑆𝑥𝑆) ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑤𝐽𝑥) ∧ 𝑔 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∧ ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) → 𝑤𝑆)
2523, 24sseldd 3753 . . 3 ((𝜑 ∧ ((𝑤𝑆𝑥𝑆) ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑤𝐽𝑥) ∧ 𝑔 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∧ ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) → 𝑤 ∈ (Base‘𝐶))
26 simpr1r 1292 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((𝑤𝑆𝑥𝑆) ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑤𝐽𝑥) ∧ 𝑔 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∧ ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) → 𝑥𝑆)
2723, 26sseldd 3753 . . 3 ((𝜑 ∧ ((𝑤𝑆𝑥𝑆) ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑤𝐽𝑥) ∧ 𝑔 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∧ ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐶))
283adantr 466 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝑤𝑆𝑥𝑆) ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑤𝐽𝑥) ∧ 𝑔 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∧ ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) → 𝐽 ∈ (Subcat‘𝐶))
296adantr 466 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝑤𝑆𝑥𝑆) ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑤𝐽𝑥) ∧ 𝑔 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∧ ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) → 𝐽 Fn (𝑆 × 𝑆))
3028, 29, 21, 24, 26subcss2 16710 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((𝑤𝑆𝑥𝑆) ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑤𝐽𝑥) ∧ 𝑔 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∧ ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) → (𝑤𝐽𝑥) ⊆ (𝑤(Hom ‘𝐶)𝑥))
31 simpr31 1344 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((𝑤𝑆𝑥𝑆) ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑤𝐽𝑥) ∧ 𝑔 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∧ ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) → 𝑓 ∈ (𝑤𝐽𝑥))
3230, 31sseldd 3753 . . 3 ((𝜑 ∧ ((𝑤𝑆𝑥𝑆) ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑤𝐽𝑥) ∧ 𝑔 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∧ ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) → 𝑓 ∈ (𝑤(Hom ‘𝐶)𝑥))
332, 21, 19, 22, 25, 10, 27, 32catlid 16551 . 2 ((𝜑 ∧ ((𝑤𝑆𝑥𝑆) ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑤𝐽𝑥) ∧ 𝑔 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∧ ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) → (( 1𝑥)(⟨𝑤, 𝑥⟩(comp‘𝐶)𝑥)𝑓) = 𝑓)
34 simpr2l 1294 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((𝑤𝑆𝑥𝑆) ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑤𝐽𝑥) ∧ 𝑔 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∧ ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) → 𝑦𝑆)
3523, 34sseldd 3753 . . 3 ((𝜑 ∧ ((𝑤𝑆𝑥𝑆) ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑤𝐽𝑥) ∧ 𝑔 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∧ ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐶))
3628, 29, 21, 26, 34subcss2 16710 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((𝑤𝑆𝑥𝑆) ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑤𝐽𝑥) ∧ 𝑔 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∧ ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) → (𝑥𝐽𝑦) ⊆ (𝑥(Hom ‘𝐶)𝑦))
37 simpr32 1346 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((𝑤𝑆𝑥𝑆) ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑤𝐽𝑥) ∧ 𝑔 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∧ ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) → 𝑔 ∈ (𝑥𝐽𝑦))
3836, 37sseldd 3753 . . 3 ((𝜑 ∧ ((𝑤𝑆𝑥𝑆) ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑤𝐽𝑥) ∧ 𝑔 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∧ ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) → 𝑔 ∈ (𝑥(Hom ‘𝐶)𝑦))
392, 21, 19, 22, 27, 10, 35, 38catrid 16552 . 2 ((𝜑 ∧ ((𝑤𝑆𝑥𝑆) ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑤𝐽𝑥) ∧ 𝑔 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∧ ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) → (𝑔(⟨𝑥, 𝑥⟩(comp‘𝐶)𝑦)( 1𝑥)) = 𝑔)
4028, 29, 24, 10, 26, 34, 31, 37subccocl 16712 . 2 ((𝜑 ∧ ((𝑤𝑆𝑥𝑆) ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑤𝐽𝑥) ∧ 𝑔 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∧ ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) → (𝑔(⟨𝑤, 𝑥⟩(comp‘𝐶)𝑦)𝑓) ∈ (𝑤𝐽𝑦))
41 simpr2r 1296 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((𝑤𝑆𝑥𝑆) ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑤𝐽𝑥) ∧ 𝑔 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∧ ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) → 𝑧𝑆)
4223, 41sseldd 3753 . . 3 ((𝜑 ∧ ((𝑤𝑆𝑥𝑆) ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑤𝐽𝑥) ∧ 𝑔 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∧ ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) → 𝑧 ∈ (Base‘𝐶))
4328, 29, 21, 34, 41subcss2 16710 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((𝑤𝑆𝑥𝑆) ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑤𝐽𝑥) ∧ 𝑔 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∧ ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) → (𝑦𝐽𝑧) ⊆ (𝑦(Hom ‘𝐶)𝑧))
44 simpr33 1348 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((𝑤𝑆𝑥𝑆) ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑤𝐽𝑥) ∧ 𝑔 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∧ ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) → ∈ (𝑦𝐽𝑧))
4543, 44sseldd 3753 . . 3 ((𝜑 ∧ ((𝑤𝑆𝑥𝑆) ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑤𝐽𝑥) ∧ 𝑔 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∧ ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) → ∈ (𝑦(Hom ‘𝐶)𝑧))
462, 21, 10, 22, 25, 27, 35, 32, 38, 42, 45catass 16554 . 2 ((𝜑 ∧ ((𝑤𝑆𝑥𝑆) ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝑤𝐽𝑥) ∧ 𝑔 ∈ (𝑥𝐽𝑦) ∧ ∈ (𝑦𝐽𝑧)))) → (((⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘𝐶)𝑧)𝑔)(⟨𝑤, 𝑥⟩(comp‘𝐶)𝑧)𝑓) = ((⟨𝑤, 𝑦⟩(comp‘𝐶)𝑧)(𝑔(⟨𝑤, 𝑥⟩(comp‘𝐶)𝑦)𝑓)))
478, 9, 11, 14, 15, 20, 33, 39, 40, 46iscatd2 16549 1 (𝜑 → (𝐷 ∈ Cat ∧ (Id‘𝐷) = (𝑥𝑆 ↦ ( 1𝑥))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145  Vcvv 3351  wss 3723  cmpt 4863   × cxp 5247   Fn wfn 6026  cfv 6031  (class class class)co 6793  Basecbs 16064  Hom chom 16160  compcco 16161  Catccat 16532  Idccid 16533  cat cresc 16675  Subcatcsubc 16676
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 835  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-er 7896  df-pm 8012  df-ixp 8063  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-4 11283  df-5 11284  df-6 11285  df-7 11286  df-8 11287  df-9 11288  df-n0 11495  df-z 11580  df-dec 11696  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-ress 16072  df-hom 16174  df-cco 16175  df-cat 16536  df-cid 16537  df-homf 16538  df-ssc 16677  df-resc 16678  df-subc 16679
This theorem is referenced by:  subcid  16714  subccat  16715
  Copyright terms: Public domain W3C validator