Theorem subrgrcl 20861

Description: Reverse closure for a subring predicate. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
subrgrcl	⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑅 ∈ Ring)

Proof of Theorem subrgrcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
3	1, 2	issubrg 20856	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ↔ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑅 ↾s 𝐴) ∈ Ring) ∧ (𝐴 ⊆ (Base‘𝑅) ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝐴)))
4	3	simplbi 502	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑅 ↾s 𝐴) ∈ Ring))
5	4	simpld 500	1 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑅 ∈ Ring)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2147   ⊆ wss 3900  ‘cfv 6561  (class class class)co 7446  Basecbs 17419   ↾_s cress 17440  1_rcur 20440  Ringcrg 20492  SubRingcsubrg 20854

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5551  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fv 6569  df-ov 7449  df-subrg 20855

This theorem is used by:  subrgsubg  20862  subrg1  20867  subrgsubm  20870  subrginv  20873  subrgunit  20875  subrgugrp  20876  opprsubrg  20878  subrgint  20880  subsubrg  20883  resrhm2b  20887  sralmod  21495  subrgpsr  22318  subrgmpl  22373  subrgmvr  22375  subrgmvrf  22376  subrgascl  22408  subrgasclcl  22409  asclply1subcl  22725  subrdom  33922  idlinsubrg  34065  ressply10g  34182  ressply1invg  34184