Theorem subrgrcl 20493

Description: Reverse closure for a subring predicate. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
subrgrcl	⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑅 ∈ Ring)

Proof of Theorem subrgrcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2733	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2		eqid 2733	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
3	1, 2	issubrg 20488	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ↔ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑅 ↾s 𝐴) ∈ Ring) ∧ (𝐴 ⊆ (Base‘𝑅) ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝐴)))
4	3	simplbi 497	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑅 ↾s 𝐴) ∈ Ring))
5	4	simpld 494	1 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑅 ∈ Ring)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2113   ⊆ wss 3898  ‘cfv 6486  (class class class)co 7352  Basecbs 17122   ↾_s cress 17143  1_rcur 20101  Ringcrg 20153  SubRingcsubrg 20486

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rab 3397  df-v 3439  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-id 5514  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fv 6494  df-ov 7355  df-subrg 20487

This theorem is referenced by:  subrgsubg  20494  subrg1  20499  subrgsubm  20502  subrginv  20505  subrgunit  20507  subrgugrp  20508  opprsubrg  20510  subrgint  20512  subsubrg  20515  resrhm2b  20519  sralmod  21123  subrgpsr  21916  subrgmpl  21968  subrgmvr  21969  subrgmvrf  21970  subrgascl  22002  subrgasclcl  22003  asclply1subcl  22290  subrdom  33258  idlinsubrg  33403  ressply10g  33537  ressply1invg  33539