Theorem subrgrcl 20808

Description: Reverse closure for a subring predicate. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
subrgrcl	⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑅 ∈ Ring)

Proof of Theorem subrgrcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
3	1, 2	issubrg 20803	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ↔ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑅 ↾s 𝐴) ∈ Ring) ∧ (𝐴 ⊆ (Base‘𝑅) ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝐴)))
4	3	simplbi 502	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑅 ↾s 𝐴) ∈ Ring))
5	4	simpld 500	1 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑅 ∈ Ring)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3899  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412  Basecbs 17367   ↾_s cress 17388  1_rcur 20387  Ringcrg 20439  SubRingcsubrg 20801

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fv 6539  df-ov 7415  df-subrg 20802

This theorem is used by:  subrgsubg  20809  subrg1  20814  subrgsubm  20817  subrginv  20820  subrgunit  20822  subrgugrp  20823  opprsubrg  20825  subrgint  20827  subsubrg  20830  resrhm2b  20834  sralmod  21442  subrgpsr  22265  subrgmpl  22320  subrgmvr  22322  subrgmvrf  22323  subrgascl  22355  subrgasclcl  22356  asclply1subcl  22672  subrdom  33828  idlinsubrg  33963  ressply10g  34081  ressply1invg  34083