MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subrgmpl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem subrgmpl 21456
Description: A subring of the base ring induces a subring of polynomials. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
subrgmpl.s 𝑆 = (𝐼 mPoly 𝑅)
subrgmpl.h 𝐻 = (𝑅 β†Ύs 𝑇)
subrgmpl.u π‘ˆ = (𝐼 mPoly 𝐻)
subrgmpl.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
subrgmpl ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ (SubRingβ€˜π‘…)) β†’ 𝐡 ∈ (SubRingβ€˜π‘†))

Proof of Theorem subrgmpl
StepHypRef Expression
1 subrgmpl.s . . . 4 𝑆 = (𝐼 mPoly 𝑅)
2 subrgmpl.h . . . 4 𝐻 = (𝑅 β†Ύs 𝑇)
3 subrgmpl.u . . . 4 π‘ˆ = (𝐼 mPoly 𝐻)
4 subrgmpl.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
5 simpl 484 . . . 4 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ (SubRingβ€˜π‘…)) β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
6 simpr 486 . . . 4 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ (SubRingβ€˜π‘…)) β†’ 𝑇 ∈ (SubRingβ€˜π‘…))
7 eqid 2733 . . . 4 (𝐼 mPwSer 𝐻) = (𝐼 mPwSer 𝐻)
8 eqid 2733 . . . 4 (Baseβ€˜(𝐼 mPwSer 𝐻)) = (Baseβ€˜(𝐼 mPwSer 𝐻))
9 eqid 2733 . . . 4 (Baseβ€˜π‘†) = (Baseβ€˜π‘†)
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9ressmplbas2 21451 . . 3 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ (SubRingβ€˜π‘…)) β†’ 𝐡 = ((Baseβ€˜(𝐼 mPwSer 𝐻)) ∩ (Baseβ€˜π‘†)))
11 eqid 2733 . . . . 5 (𝐼 mPwSer 𝑅) = (𝐼 mPwSer 𝑅)
1211, 2, 7, 8subrgpsr 21411 . . . 4 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ (SubRingβ€˜π‘…)) β†’ (Baseβ€˜(𝐼 mPwSer 𝐻)) ∈ (SubRingβ€˜(𝐼 mPwSer 𝑅)))
13 subrgrcl 20269 . . . . . 6 (𝑇 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
1413adantl 483 . . . . 5 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ (SubRingβ€˜π‘…)) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
1511, 1, 9, 5, 14mplsubrg 21434 . . . 4 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ (SubRingβ€˜π‘…)) β†’ (Baseβ€˜π‘†) ∈ (SubRingβ€˜(𝐼 mPwSer 𝑅)))
16 subrgin 20288 . . . 4 (((Baseβ€˜(𝐼 mPwSer 𝐻)) ∈ (SubRingβ€˜(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ (Baseβ€˜π‘†) ∈ (SubRingβ€˜(𝐼 mPwSer 𝑅))) β†’ ((Baseβ€˜(𝐼 mPwSer 𝐻)) ∩ (Baseβ€˜π‘†)) ∈ (SubRingβ€˜(𝐼 mPwSer 𝑅)))
1712, 15, 16syl2anc 585 . . 3 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ (SubRingβ€˜π‘…)) β†’ ((Baseβ€˜(𝐼 mPwSer 𝐻)) ∩ (Baseβ€˜π‘†)) ∈ (SubRingβ€˜(𝐼 mPwSer 𝑅)))
1810, 17eqeltrd 2834 . 2 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ (SubRingβ€˜π‘…)) β†’ 𝐡 ∈ (SubRingβ€˜(𝐼 mPwSer 𝑅)))
19 inss2 4193 . . 3 ((Baseβ€˜(𝐼 mPwSer 𝐻)) ∩ (Baseβ€˜π‘†)) βŠ† (Baseβ€˜π‘†)
2010, 19eqsstrdi 4002 . 2 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ (SubRingβ€˜π‘…)) β†’ 𝐡 βŠ† (Baseβ€˜π‘†))
211, 11, 9mplval2 21425 . . . 4 𝑆 = ((𝐼 mPwSer 𝑅) β†Ύs (Baseβ€˜π‘†))
2221subsubrg 20291 . . 3 ((Baseβ€˜π‘†) ∈ (SubRingβ€˜(𝐼 mPwSer 𝑅)) β†’ (𝐡 ∈ (SubRingβ€˜π‘†) ↔ (𝐡 ∈ (SubRingβ€˜(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ 𝐡 βŠ† (Baseβ€˜π‘†))))
2315, 22syl 17 . 2 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ (SubRingβ€˜π‘…)) β†’ (𝐡 ∈ (SubRingβ€˜π‘†) ↔ (𝐡 ∈ (SubRingβ€˜(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ 𝐡 βŠ† (Baseβ€˜π‘†))))
2418, 20, 23mpbir2and 712 1 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ (SubRingβ€˜π‘…)) β†’ 𝐡 ∈ (SubRingβ€˜π‘†))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ∩ cin 3913   βŠ† wss 3914  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  Basecbs 17091   β†Ύs cress 17120  Ringcrg 19972  SubRingcsubrg 20260   mPwSer cmps 21329   mPoly cmpl 21331
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-se 5593  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-of 7621  df-ofr 7622  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-supp 8097  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-er 8654  df-map 8773  df-pm 8774  df-ixp 8842  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-fsupp 9312  df-sup 9386  df-oi 9454  df-card 9883  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-5 12227  df-6 12228  df-7 12229  df-8 12230  df-9 12231  df-n0 12422  df-z 12508  df-dec 12627  df-uz 12772  df-fz 13434  df-fzo 13577  df-seq 13916  df-hash 14240  df-struct 17027  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-ress 17121  df-plusg 17154  df-mulr 17155  df-sca 17157  df-vsca 17158  df-ip 17159  df-tset 17160  df-ple 17161  df-ds 17163  df-hom 17165  df-cco 17166  df-0g 17331  df-gsum 17332  df-prds 17337  df-pws 17339  df-mre 17474  df-mrc 17475  df-acs 17477  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-mhm 18609  df-submnd 18610  df-grp 18759  df-minusg 18760  df-mulg 18881  df-subg 18933  df-ghm 19014  df-cntz 19105  df-cmn 19572  df-abl 19573  df-mgp 19905  df-ur 19922  df-ring 19974  df-subrg 20262  df-psr 21334  df-mpl 21336
This theorem is referenced by:  subrgply1  21627
  Copyright terms: Public domain W3C validator