Theorem subrgmpl 22019

Description: A subring of the base ring induces a subring of polynomials. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jul-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
subrgmpl.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPoly 𝑅)
subrgmpl.h	⊢ 𝐻 = (𝑅 ↾s 𝑇)
subrgmpl.u	⊢ 𝑈 = (𝐼 mPoly 𝐻)
subrgmpl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
subrgmpl	⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅)) → 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆))

Proof of Theorem subrgmpl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subrgmpl.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPoly 𝑅)
2		subrgmpl.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (𝑅 ↾s 𝑇)
3		subrgmpl.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (𝐼 mPoly 𝐻)
4		subrgmpl.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑈)
5		simpl 482	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅)) → 𝐼 ∈ 𝑉)
6		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅)) → 𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅))
7		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (𝐼 mPwSer 𝐻) = (𝐼 mPwSer 𝐻)
8		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻)) = (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻))
9		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	ressmplbas2 22014	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅)) → 𝐵 = ((Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻)) ∩ (Base‘𝑆)))
11		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (𝐼 mPwSer 𝑅) = (𝐼 mPwSer 𝑅)
12	11, 2, 7, 8	subrgpsr 21965	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅)) → (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻)) ∈ (SubRing‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
13		subrgrcl 20542	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑅 ∈ Ring)
14	13	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅)) → 𝑅 ∈ Ring)
15	11, 1, 9, 5, 14	mplsubrg 21992	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅)) → (Base‘𝑆) ∈ (SubRing‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
16		subrgin 20562	. . . 4 ⊢ (((Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻)) ∈ (SubRing‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ (Base‘𝑆) ∈ (SubRing‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) → ((Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻)) ∩ (Base‘𝑆)) ∈ (SubRing‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
17	12, 15, 16	syl2anc 585	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅)) → ((Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻)) ∩ (Base‘𝑆)) ∈ (SubRing‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
18	10, 17	eqeltrd 2837	. 2 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅)) → 𝐵 ∈ (SubRing‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
19		inss2 4179	. . 3 ⊢ ((Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻)) ∩ (Base‘𝑆)) ⊆ (Base‘𝑆)
20	10, 19	eqsstrdi 3967	. 2 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅)) → 𝐵 ⊆ (Base‘𝑆))
21	1, 11, 9	mplval2 21983	. . . 4 ⊢ 𝑆 = ((𝐼 mPwSer 𝑅) ↾s (Base‘𝑆))
22	21	subsubrg 20564	. . 3 ⊢ ((Base‘𝑆) ∈ (SubRing‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) → (𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆) ↔ (𝐵 ∈ (SubRing‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ 𝐵 ⊆ (Base‘𝑆))))
23	15, 22	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅)) → (𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆) ↔ (𝐵 ∈ (SubRing‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ 𝐵 ⊆ (Base‘𝑆))))
24	18, 20, 23	mpbir2and 714	1 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅)) → 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ∩ cin 3889   ⊆ wss 3890  ‘cfv 6490  (class class class)co 7358  Basecbs 17168   ↾_s cress 17189  Ringcrg 20203  SubRingcsubrg 20535   mPwSer cmps 21892   mPoly cmpl 21894

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-se 5576  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-isom 6499  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7622  df-ofr 7623  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-supp 8102  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-1o 8396  df-2o 8397  df-er 8634  df-map 8766  df-pm 8767  df-ixp 8837  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-fsupp 9266  df-sup 9346  df-oi 9416  df-card 9852  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12164  df-2 12233  df-3 12234  df-4 12235  df-5 12236  df-6 12237  df-7 12238  df-8 12239  df-9 12240  df-n0 12427  df-z 12514  df-dec 12634  df-uz 12778  df-fz 13451  df-fzo 13598  df-seq 13953  df-hash 14282  df-struct 17106  df-sets 17123  df-slot 17141  df-ndx 17153  df-base 17169  df-ress 17190  df-plusg 17222  df-mulr 17223  df-sca 17225  df-vsca 17226  df-ip 17227  df-tset 17228  df-ple 17229  df-ds 17231  df-hom 17233  df-cco 17234  df-0g 17393  df-gsum 17394  df-prds 17399  df-pws 17401  df-mre 17537  df-mrc 17538  df-acs 17540  df-mgm 18597  df-sgrp 18676  df-mnd 18692  df-mhm 18740  df-submnd 18741  df-grp 18901  df-minusg 18902  df-mulg 19033  df-subg 19088  df-ghm 19177  df-cntz 19281  df-cmn 19746  df-abl 19747  df-mgp 20111  df-rng 20123  df-ur 20152  df-ring 20205  df-subrng 20512  df-subrg 20536  df-psr 21897  df-mpl 21899

This theorem is referenced by:  subrgply1  22205