MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subrginv Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem subrginv 20335
Description: A subring always has the same inversion function, for elements that are invertible. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
subrginv.1 𝑆 = (𝑅 β†Ύs 𝐴)
subrginv.2 𝐼 = (invrβ€˜π‘…)
subrginv.3 π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘†)
subrginv.4 𝐽 = (invrβ€˜π‘†)
Assertion
Ref Expression
subrginv ((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ (πΌβ€˜π‘‹) = (π½β€˜π‘‹))
Proof of Theorem subrginv
StepHypRef Expression
1 subrgrcl 20324 . . . . 5 (𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
21adantr 482 . . . 4 ((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
3 subrginv.1 . . . . . . . 8 𝑆 = (𝑅 β†Ύs 𝐴)
43subrgbas 20328 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ 𝐴 = (Baseβ€˜π‘†))
5 eqid 2733 . . . . . . . 8 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
65subrgss 20320 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ 𝐴 βŠ† (Baseβ€˜π‘…))
74, 6eqsstrrd 4022 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ (Baseβ€˜π‘†) βŠ† (Baseβ€˜π‘…))
87adantr 482 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ (Baseβ€˜π‘†) βŠ† (Baseβ€˜π‘…))
93subrgring 20322 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ 𝑆 ∈ Ring)
10 subrginv.3 . . . . . . 7 π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘†)
11 subrginv.4 . . . . . . 7 𝐽 = (invrβ€˜π‘†)
12 eqid 2733 . . . . . . 7 (Baseβ€˜π‘†) = (Baseβ€˜π‘†)
1310, 11, 12ringinvcl 20206 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ (π½β€˜π‘‹) ∈ (Baseβ€˜π‘†))
149, 13sylan 581 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ (π½β€˜π‘‹) ∈ (Baseβ€˜π‘†))
158, 14sseldd 3984 . . . 4 ((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ (π½β€˜π‘‹) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
1612, 10unitcl 20189 . . . . . 6 (𝑋 ∈ π‘ˆ β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘†))
1716adantl 483 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘†))
188, 17sseldd 3984 . . . 4 ((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘…))
19 eqid 2733 . . . . . . 7 (Unitβ€˜π‘…) = (Unitβ€˜π‘…)
203, 19, 10subrguss 20334 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ π‘ˆ βŠ† (Unitβ€˜π‘…))
2120sselda 3983 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑋 ∈ (Unitβ€˜π‘…))
22 subrginv.2 . . . . . 6 𝐼 = (invrβ€˜π‘…)
2319, 22, 5ringinvcl 20206 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Unitβ€˜π‘…)) β†’ (πΌβ€˜π‘‹) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
241, 21, 23syl2an2r 684 . . . 4 ((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ (πΌβ€˜π‘‹) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
25 eqid 2733 . . . . 5 (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…)
265, 25ringass 20076 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((π½β€˜π‘‹) ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ (πΌβ€˜π‘‹) ∈ (Baseβ€˜π‘…))) β†’ (((π½β€˜π‘‹)(.rβ€˜π‘…)𝑋)(.rβ€˜π‘…)(πΌβ€˜π‘‹)) = ((π½β€˜π‘‹)(.rβ€˜π‘…)(𝑋(.rβ€˜π‘…)(πΌβ€˜π‘‹))))
272, 15, 18, 24, 26syl13anc 1373 . . 3 ((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ (((π½β€˜π‘‹)(.rβ€˜π‘…)𝑋)(.rβ€˜π‘…)(πΌβ€˜π‘‹)) = ((π½β€˜π‘‹)(.rβ€˜π‘…)(𝑋(.rβ€˜π‘…)(πΌβ€˜π‘‹))))
28 eqid 2733 . . . . . . 7 (.rβ€˜π‘†) = (.rβ€˜π‘†)
29 eqid 2733 . . . . . . 7 (1rβ€˜π‘†) = (1rβ€˜π‘†)
3010, 11, 28, 29unitlinv 20207 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ ((π½β€˜π‘‹)(.rβ€˜π‘†)𝑋) = (1rβ€˜π‘†))
319, 30sylan 581 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ ((π½β€˜π‘‹)(.rβ€˜π‘†)𝑋) = (1rβ€˜π‘†))
323, 25ressmulr 17252 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘†))
3332adantr 482 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘†))
3433oveqd 7426 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ ((π½β€˜π‘‹)(.rβ€˜π‘…)𝑋) = ((π½β€˜π‘‹)(.rβ€˜π‘†)𝑋))
35 eqid 2733 . . . . . . 7 (1rβ€˜π‘…) = (1rβ€˜π‘…)
363, 35subrg1 20329 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ (1rβ€˜π‘…) = (1rβ€˜π‘†))
3736adantr 482 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ (1rβ€˜π‘…) = (1rβ€˜π‘†))
3831, 34, 373eqtr4d 2783 . . . 4 ((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ ((π½β€˜π‘‹)(.rβ€˜π‘…)𝑋) = (1rβ€˜π‘…))
3938oveq1d 7424 . . 3 ((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ (((π½β€˜π‘‹)(.rβ€˜π‘…)𝑋)(.rβ€˜π‘…)(πΌβ€˜π‘‹)) = ((1rβ€˜π‘…)(.rβ€˜π‘…)(πΌβ€˜π‘‹)))
4019, 22, 25, 35unitrinv 20208 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Unitβ€˜π‘…)) β†’ (𝑋(.rβ€˜π‘…)(πΌβ€˜π‘‹)) = (1rβ€˜π‘…))
411, 21, 40syl2an2r 684 . . . 4 ((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ (𝑋(.rβ€˜π‘…)(πΌβ€˜π‘‹)) = (1rβ€˜π‘…))
4241oveq2d 7425 . . 3 ((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ ((π½β€˜π‘‹)(.rβ€˜π‘…)(𝑋(.rβ€˜π‘…)(πΌβ€˜π‘‹))) = ((π½β€˜π‘‹)(.rβ€˜π‘…)(1rβ€˜π‘…)))
4327, 39, 423eqtr3d 2781 . 2 ((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ ((1rβ€˜π‘…)(.rβ€˜π‘…)(πΌβ€˜π‘‹)) = ((π½β€˜π‘‹)(.rβ€˜π‘…)(1rβ€˜π‘…)))
445, 25, 35ringlidm 20086 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (πΌβ€˜π‘‹) ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ ((1rβ€˜π‘…)(.rβ€˜π‘…)(πΌβ€˜π‘‹)) = (πΌβ€˜π‘‹))
451, 24, 44syl2an2r 684 . 2 ((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ ((1rβ€˜π‘…)(.rβ€˜π‘…)(πΌβ€˜π‘‹)) = (πΌβ€˜π‘‹))
465, 25, 35ringridm 20087 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (π½β€˜π‘‹) ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ ((π½β€˜π‘‹)(.rβ€˜π‘…)(1rβ€˜π‘…)) = (π½β€˜π‘‹))
471, 15, 46syl2an2r 684 . 2 ((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ ((π½β€˜π‘‹)(.rβ€˜π‘…)(1rβ€˜π‘…)) = (π½β€˜π‘‹))
4843, 45, 473eqtr3d 2781 1 ((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ (πΌβ€˜π‘‹) = (π½β€˜π‘‹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   βŠ† wss 3949  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  Basecbs 17144   β†Ύs cress 17173  .rcmulr 17198  1rcur 20004  Ringcrg 20056  Unitcui 20169  invrcinvr 20201  SubRingcsubrg 20315
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-2nd 7976  df-tpos 8211  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-0g 17387  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-grp 18822  df-minusg 18823  df-subg 19003  df-mgp 19988  df-ur 20005  df-ring 20058  df-oppr 20150  df-dvdsr 20171  df-unit 20172  df-invr 20202  df-subrg 20317
This theorem is referenced by:  subrgdv  20336  subrgunit  20337  subrgugrp  20338  issubdrg  20401  gzrngunit  21011  sdrginvcl  32398
  Copyright terms: Public domain W3C validator