MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subrginv Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem subrginv 20490
Description: A subring always has the same inversion function, for elements that are invertible. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
subrginv.1 𝑆 = (𝑅 β†Ύs 𝐴)
subrginv.2 𝐼 = (invrβ€˜π‘…)
subrginv.3 π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘†)
subrginv.4 𝐽 = (invrβ€˜π‘†)
Assertion
Ref Expression
subrginv ((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ (πΌβ€˜π‘‹) = (π½β€˜π‘‹))
Proof of Theorem subrginv
StepHypRef Expression
1 subrgrcl 20478 . . . . 5 (𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
21adantr 480 . . . 4 ((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
3 subrginv.1 . . . . . . . 8 𝑆 = (𝑅 β†Ύs 𝐴)
43subrgbas 20483 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ 𝐴 = (Baseβ€˜π‘†))
5 eqid 2726 . . . . . . . 8 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
65subrgss 20474 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ 𝐴 βŠ† (Baseβ€˜π‘…))
74, 6eqsstrrd 4016 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ (Baseβ€˜π‘†) βŠ† (Baseβ€˜π‘…))
87adantr 480 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ (Baseβ€˜π‘†) βŠ† (Baseβ€˜π‘…))
93subrgring 20476 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ 𝑆 ∈ Ring)
10 subrginv.3 . . . . . . 7 π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘†)
11 subrginv.4 . . . . . . 7 𝐽 = (invrβ€˜π‘†)
12 eqid 2726 . . . . . . 7 (Baseβ€˜π‘†) = (Baseβ€˜π‘†)
1310, 11, 12ringinvcl 20294 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ (π½β€˜π‘‹) ∈ (Baseβ€˜π‘†))
149, 13sylan 579 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ (π½β€˜π‘‹) ∈ (Baseβ€˜π‘†))
158, 14sseldd 3978 . . . 4 ((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ (π½β€˜π‘‹) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
1612, 10unitcl 20277 . . . . . 6 (𝑋 ∈ π‘ˆ β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘†))
1716adantl 481 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘†))
188, 17sseldd 3978 . . . 4 ((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘…))
19 eqid 2726 . . . . . . 7 (Unitβ€˜π‘…) = (Unitβ€˜π‘…)
203, 19, 10subrguss 20489 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ π‘ˆ βŠ† (Unitβ€˜π‘…))
2120sselda 3977 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑋 ∈ (Unitβ€˜π‘…))
22 subrginv.2 . . . . . 6 𝐼 = (invrβ€˜π‘…)
2319, 22, 5ringinvcl 20294 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Unitβ€˜π‘…)) β†’ (πΌβ€˜π‘‹) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
241, 21, 23syl2an2r 682 . . . 4 ((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ (πΌβ€˜π‘‹) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
25 eqid 2726 . . . . 5 (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…)
265, 25ringass 20158 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((π½β€˜π‘‹) ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ (πΌβ€˜π‘‹) ∈ (Baseβ€˜π‘…))) β†’ (((π½β€˜π‘‹)(.rβ€˜π‘…)𝑋)(.rβ€˜π‘…)(πΌβ€˜π‘‹)) = ((π½β€˜π‘‹)(.rβ€˜π‘…)(𝑋(.rβ€˜π‘…)(πΌβ€˜π‘‹))))
272, 15, 18, 24, 26syl13anc 1369 . . 3 ((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ (((π½β€˜π‘‹)(.rβ€˜π‘…)𝑋)(.rβ€˜π‘…)(πΌβ€˜π‘‹)) = ((π½β€˜π‘‹)(.rβ€˜π‘…)(𝑋(.rβ€˜π‘…)(πΌβ€˜π‘‹))))
28 eqid 2726 . . . . . . 7 (.rβ€˜π‘†) = (.rβ€˜π‘†)
29 eqid 2726 . . . . . . 7 (1rβ€˜π‘†) = (1rβ€˜π‘†)
3010, 11, 28, 29unitlinv 20295 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ ((π½β€˜π‘‹)(.rβ€˜π‘†)𝑋) = (1rβ€˜π‘†))
319, 30sylan 579 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ ((π½β€˜π‘‹)(.rβ€˜π‘†)𝑋) = (1rβ€˜π‘†))
323, 25ressmulr 17261 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘†))
3332adantr 480 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘†))
3433oveqd 7422 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ ((π½β€˜π‘‹)(.rβ€˜π‘…)𝑋) = ((π½β€˜π‘‹)(.rβ€˜π‘†)𝑋))
35 eqid 2726 . . . . . . 7 (1rβ€˜π‘…) = (1rβ€˜π‘…)
363, 35subrg1 20484 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ (1rβ€˜π‘…) = (1rβ€˜π‘†))
3736adantr 480 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ (1rβ€˜π‘…) = (1rβ€˜π‘†))
3831, 34, 373eqtr4d 2776 . . . 4 ((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ ((π½β€˜π‘‹)(.rβ€˜π‘…)𝑋) = (1rβ€˜π‘…))
3938oveq1d 7420 . . 3 ((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ (((π½β€˜π‘‹)(.rβ€˜π‘…)𝑋)(.rβ€˜π‘…)(πΌβ€˜π‘‹)) = ((1rβ€˜π‘…)(.rβ€˜π‘…)(πΌβ€˜π‘‹)))
4019, 22, 25, 35unitrinv 20296 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Unitβ€˜π‘…)) β†’ (𝑋(.rβ€˜π‘…)(πΌβ€˜π‘‹)) = (1rβ€˜π‘…))
411, 21, 40syl2an2r 682 . . . 4 ((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ (𝑋(.rβ€˜π‘…)(πΌβ€˜π‘‹)) = (1rβ€˜π‘…))
4241oveq2d 7421 . . 3 ((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ ((π½β€˜π‘‹)(.rβ€˜π‘…)(𝑋(.rβ€˜π‘…)(πΌβ€˜π‘‹))) = ((π½β€˜π‘‹)(.rβ€˜π‘…)(1rβ€˜π‘…)))
4327, 39, 423eqtr3d 2774 . 2 ((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ ((1rβ€˜π‘…)(.rβ€˜π‘…)(πΌβ€˜π‘‹)) = ((π½β€˜π‘‹)(.rβ€˜π‘…)(1rβ€˜π‘…)))
445, 25, 35ringlidm 20168 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (πΌβ€˜π‘‹) ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ ((1rβ€˜π‘…)(.rβ€˜π‘…)(πΌβ€˜π‘‹)) = (πΌβ€˜π‘‹))
451, 24, 44syl2an2r 682 . 2 ((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ ((1rβ€˜π‘…)(.rβ€˜π‘…)(πΌβ€˜π‘‹)) = (πΌβ€˜π‘‹))
465, 25, 35ringridm 20169 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (π½β€˜π‘‹) ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ ((π½β€˜π‘‹)(.rβ€˜π‘…)(1rβ€˜π‘…)) = (π½β€˜π‘‹))
471, 15, 46syl2an2r 682 . 2 ((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ ((π½β€˜π‘‹)(.rβ€˜π‘…)(1rβ€˜π‘…)) = (π½β€˜π‘‹))
4843, 45, 473eqtr3d 2774 1 ((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ (πΌβ€˜π‘‹) = (π½β€˜π‘‹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   βŠ† wss 3943  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  Basecbs 17153   β†Ύs cress 17182  .rcmulr 17207  1rcur 20086  Ringcrg 20138  Unitcui 20257  invrcinvr 20289  SubRingcsubrg 20469
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-2nd 7975  df-tpos 8212  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-0g 17396  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-subg 19050  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20040  df-rng 20058  df-ur 20087  df-ring 20140  df-oppr 20236  df-dvdsr 20259  df-unit 20260  df-invr 20290  df-subrg 20471
This theorem is referenced by:  subrgdv  20491  subrgunit  20492  subrgugrp  20493  issubdrg  20631  gzrngunit  21327  sdrginvcl  32901
  Copyright terms: Public domain W3C validator