MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subrginv Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem subrginv 20541
Description: A subring always has the same inversion function, for elements that are invertible. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
subrginv.1 𝑆 = (𝑅 β†Ύs 𝐴)
subrginv.2 𝐼 = (invrβ€˜π‘…)
subrginv.3 π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘†)
subrginv.4 𝐽 = (invrβ€˜π‘†)
Assertion
Ref Expression
subrginv ((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ (πΌβ€˜π‘‹) = (π½β€˜π‘‹))
Proof of Theorem subrginv
StepHypRef Expression
1 subrgrcl 20529 . . . . 5 (𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
21adantr 479 . . . 4 ((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
3 subrginv.1 . . . . . . . 8 𝑆 = (𝑅 β†Ύs 𝐴)
43subrgbas 20534 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ 𝐴 = (Baseβ€˜π‘†))
5 eqid 2728 . . . . . . . 8 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
65subrgss 20525 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ 𝐴 βŠ† (Baseβ€˜π‘…))
74, 6eqsstrrd 4021 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ (Baseβ€˜π‘†) βŠ† (Baseβ€˜π‘…))
87adantr 479 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ (Baseβ€˜π‘†) βŠ† (Baseβ€˜π‘…))
93subrgring 20527 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ 𝑆 ∈ Ring)
10 subrginv.3 . . . . . . 7 π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘†)
11 subrginv.4 . . . . . . 7 𝐽 = (invrβ€˜π‘†)
12 eqid 2728 . . . . . . 7 (Baseβ€˜π‘†) = (Baseβ€˜π‘†)
1310, 11, 12ringinvcl 20345 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ (π½β€˜π‘‹) ∈ (Baseβ€˜π‘†))
149, 13sylan 578 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ (π½β€˜π‘‹) ∈ (Baseβ€˜π‘†))
158, 14sseldd 3983 . . . 4 ((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ (π½β€˜π‘‹) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
1612, 10unitcl 20328 . . . . . 6 (𝑋 ∈ π‘ˆ β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘†))
1716adantl 480 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘†))
188, 17sseldd 3983 . . . 4 ((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘…))
19 eqid 2728 . . . . . . 7 (Unitβ€˜π‘…) = (Unitβ€˜π‘…)
203, 19, 10subrguss 20540 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ π‘ˆ βŠ† (Unitβ€˜π‘…))
2120sselda 3982 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑋 ∈ (Unitβ€˜π‘…))
22 subrginv.2 . . . . . 6 𝐼 = (invrβ€˜π‘…)
2319, 22, 5ringinvcl 20345 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Unitβ€˜π‘…)) β†’ (πΌβ€˜π‘‹) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
241, 21, 23syl2an2r 683 . . . 4 ((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ (πΌβ€˜π‘‹) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
25 eqid 2728 . . . . 5 (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…)
265, 25ringass 20207 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((π½β€˜π‘‹) ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ (πΌβ€˜π‘‹) ∈ (Baseβ€˜π‘…))) β†’ (((π½β€˜π‘‹)(.rβ€˜π‘…)𝑋)(.rβ€˜π‘…)(πΌβ€˜π‘‹)) = ((π½β€˜π‘‹)(.rβ€˜π‘…)(𝑋(.rβ€˜π‘…)(πΌβ€˜π‘‹))))
272, 15, 18, 24, 26syl13anc 1369 . . 3 ((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ (((π½β€˜π‘‹)(.rβ€˜π‘…)𝑋)(.rβ€˜π‘…)(πΌβ€˜π‘‹)) = ((π½β€˜π‘‹)(.rβ€˜π‘…)(𝑋(.rβ€˜π‘…)(πΌβ€˜π‘‹))))
28 eqid 2728 . . . . . . 7 (.rβ€˜π‘†) = (.rβ€˜π‘†)
29 eqid 2728 . . . . . . 7 (1rβ€˜π‘†) = (1rβ€˜π‘†)
3010, 11, 28, 29unitlinv 20346 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ ((π½β€˜π‘‹)(.rβ€˜π‘†)𝑋) = (1rβ€˜π‘†))
319, 30sylan 578 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ ((π½β€˜π‘‹)(.rβ€˜π‘†)𝑋) = (1rβ€˜π‘†))
323, 25ressmulr 17297 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘†))
3332adantr 479 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘†))
3433oveqd 7443 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ ((π½β€˜π‘‹)(.rβ€˜π‘…)𝑋) = ((π½β€˜π‘‹)(.rβ€˜π‘†)𝑋))
35 eqid 2728 . . . . . . 7 (1rβ€˜π‘…) = (1rβ€˜π‘…)
363, 35subrg1 20535 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ (1rβ€˜π‘…) = (1rβ€˜π‘†))
3736adantr 479 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ (1rβ€˜π‘…) = (1rβ€˜π‘†))
3831, 34, 373eqtr4d 2778 . . . 4 ((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ ((π½β€˜π‘‹)(.rβ€˜π‘…)𝑋) = (1rβ€˜π‘…))
3938oveq1d 7441 . . 3 ((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ (((π½β€˜π‘‹)(.rβ€˜π‘…)𝑋)(.rβ€˜π‘…)(πΌβ€˜π‘‹)) = ((1rβ€˜π‘…)(.rβ€˜π‘…)(πΌβ€˜π‘‹)))
4019, 22, 25, 35unitrinv 20347 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Unitβ€˜π‘…)) β†’ (𝑋(.rβ€˜π‘…)(πΌβ€˜π‘‹)) = (1rβ€˜π‘…))
411, 21, 40syl2an2r 683 . . . 4 ((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ (𝑋(.rβ€˜π‘…)(πΌβ€˜π‘‹)) = (1rβ€˜π‘…))
4241oveq2d 7442 . . 3 ((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ ((π½β€˜π‘‹)(.rβ€˜π‘…)(𝑋(.rβ€˜π‘…)(πΌβ€˜π‘‹))) = ((π½β€˜π‘‹)(.rβ€˜π‘…)(1rβ€˜π‘…)))
4327, 39, 423eqtr3d 2776 . 2 ((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ ((1rβ€˜π‘…)(.rβ€˜π‘…)(πΌβ€˜π‘‹)) = ((π½β€˜π‘‹)(.rβ€˜π‘…)(1rβ€˜π‘…)))
445, 25, 35ringlidm 20219 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (πΌβ€˜π‘‹) ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ ((1rβ€˜π‘…)(.rβ€˜π‘…)(πΌβ€˜π‘‹)) = (πΌβ€˜π‘‹))
451, 24, 44syl2an2r 683 . 2 ((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ ((1rβ€˜π‘…)(.rβ€˜π‘…)(πΌβ€˜π‘‹)) = (πΌβ€˜π‘‹))
465, 25, 35ringridm 20220 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (π½β€˜π‘‹) ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ ((π½β€˜π‘‹)(.rβ€˜π‘…)(1rβ€˜π‘…)) = (π½β€˜π‘‹))
471, 15, 46syl2an2r 683 . 2 ((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ ((π½β€˜π‘‹)(.rβ€˜π‘…)(1rβ€˜π‘…)) = (π½β€˜π‘‹))
4843, 45, 473eqtr3d 2776 1 ((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ (πΌβ€˜π‘‹) = (π½β€˜π‘‹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   βŠ† wss 3949  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  Basecbs 17189   β†Ύs cress 17218  .rcmulr 17243  1rcur 20135  Ringcrg 20187  Unitcui 20308  invrcinvr 20340  SubRingcsubrg 20520
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7879  df-2nd 8002  df-tpos 8240  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-er 8733  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-nn 12253  df-2 12315  df-3 12316  df-sets 17142  df-slot 17160  df-ndx 17172  df-base 17190  df-ress 17219  df-plusg 17255  df-mulr 17256  df-0g 17432  df-mgm 18609  df-sgrp 18688  df-mnd 18704  df-grp 18907  df-minusg 18908  df-subg 19092  df-cmn 19751  df-abl 19752  df-mgp 20089  df-rng 20107  df-ur 20136  df-ring 20189  df-oppr 20287  df-dvdsr 20310  df-unit 20311  df-invr 20341  df-subrg 20522
This theorem is referenced by:  subrgdv  20542  subrgunit  20543  subrgugrp  20544  issubdrg  20682  gzrngunit  21380  sdrginvcl  32998
  Copyright terms: Public domain W3C validator