Theorem asclply1subcl 33127

Description: Closure of the algebra scalar injection function in a polynomial on a subring. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
asclply1subcl.1	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑉)
asclply1subcl.2	⊢ 𝑈 = (𝑅 ↾s 𝑆)
asclply1subcl.3	⊢ 𝑉 = (Poly1‘𝑅)
asclply1subcl.4	⊢ 𝑊 = (Poly1‘𝑈)
asclply1subcl.5	⊢ 𝑃 = (Base‘𝑊)
asclply1subcl.6	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅))
asclply1subcl.7	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
asclply1subcl	⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝑍) ∈ 𝑃)

Proof of Theorem asclply1subcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		asclply1subcl.6	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅))
2		eqid 2724	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3	2	subrgss 20464	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝑅))
4	1, 3	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (Base‘𝑅))
5		asclply1subcl.7	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑆)
6	4, 5	sseldd 3975	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (Base‘𝑅))
7		subrgrcl 20468	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑅 ∈ Ring)
8		asclply1subcl.3	. . . . . . 7 ⊢ 𝑉 = (Poly1‘𝑅)
9	8	ply1sca 22094	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 = (Scalar‘𝑉))
10	1, 7, 9	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Scalar‘𝑉))
11	10	fveq2d 6885	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑉)))
12	6, 11	eleqtrd 2827	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑉)))
13		asclply1subcl.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑉)
14		eqid 2724	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝑉) = (Scalar‘𝑉)
15		eqid 2724	. . . 4 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑉)) = (Base‘(Scalar‘𝑉))
16		eqid 2724	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑉) = ( ·𝑠 ‘𝑉)
17		eqid 2724	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑉) = (1r‘𝑉)
18	13, 14, 15, 16, 17	asclval 21742	. . 3 ⊢ (𝑍 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑉)) → (𝐴‘𝑍) = (𝑍( ·𝑠 ‘𝑉)(1r‘𝑉)))
19	12, 18	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝑍) = (𝑍( ·𝑠 ‘𝑉)(1r‘𝑉)))
20		asclply1subcl.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 = (𝑅 ↾s 𝑆)
21		asclply1subcl.4	. . . . . . 7 ⊢ 𝑊 = (Poly1‘𝑈)
22		asclply1subcl.5	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝑊)
23	8, 20, 21, 22	subrgply1 22074	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑃 ∈ (SubRing‘𝑉))
24		eqid 2724	. . . . . . 7 ⊢ (𝑉 ↾s 𝑃) = (𝑉 ↾s 𝑃)
25	24, 16	ressvsca 17288	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ (SubRing‘𝑉) → ( ·𝑠 ‘𝑉) = ( ·𝑠 ‘(𝑉 ↾s 𝑃)))
26	1, 23, 25	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ( ·𝑠 ‘𝑉) = ( ·𝑠 ‘(𝑉 ↾s 𝑃)))
27	26	oveqd 7418	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑍( ·𝑠 ‘𝑉)(1r‘𝑉)) = (𝑍( ·𝑠 ‘(𝑉 ↾s 𝑃))(1r‘𝑉)))
28		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝜑)
29	17	subrg1cl 20472	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ (SubRing‘𝑉) → (1r‘𝑉) ∈ 𝑃)
30	1, 23, 29	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑉) ∈ 𝑃)
31	8, 20, 21, 22, 1, 24	ressply1vsca 22073	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑍 ∈ 𝑆 ∧ (1r‘𝑉) ∈ 𝑃)) → (𝑍( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑉)) = (𝑍( ·𝑠 ‘(𝑉 ↾s 𝑃))(1r‘𝑉)))
32	28, 5, 30, 31	syl12anc 834	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑍( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑉)) = (𝑍( ·𝑠 ‘(𝑉 ↾s 𝑃))(1r‘𝑉)))
33	27, 32	eqtr4d 2767	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑍( ·𝑠 ‘𝑉)(1r‘𝑉)) = (𝑍( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑉)))
34	20	subrgring 20466	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑈 ∈ Ring)
35	21	ply1lmod 22093	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ Ring → 𝑊 ∈ LMod)
36	1, 34, 35	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
37	20, 2	ressbas2 17181	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ⊆ (Base‘𝑅) → 𝑆 = (Base‘𝑈))
38	1, 3, 37	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = (Base‘𝑈))
39	5, 38	eleqtrd 2827	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (Base‘𝑈))
40	20	ovexi 7435	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 ∈ V
41	21	ply1sca 22094	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ V → 𝑈 = (Scalar‘𝑊))
42	40, 41	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (Scalar‘𝑊)
43		eqid 2724	. . . . 5 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
44		eqid 2724	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
45	22, 42, 43, 44	lmodvscl 20714	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ (Base‘𝑈) ∧ (1r‘𝑉) ∈ 𝑃) → (𝑍( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑉)) ∈ 𝑃)
46	36, 39, 30, 45	syl3anc 1368	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑍( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑉)) ∈ 𝑃)
47	33, 46	eqeltrd 2825	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑍( ·𝑠 ‘𝑉)(1r‘𝑉)) ∈ 𝑃)
48	19, 47	eqeltrd 2825	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝑍) ∈ 𝑃)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3466   ⊆ wss 3940  ‘cfv 6533  (class class class)co 7401  Basecbs 17143   ↾_s cress 17172  Scalarcsca 17199   ·_𝑠 cvsca 17200  1_rcur 20076  Ringcrg 20128  SubRingcsubrg 20459  LModclmod 20696  algSccascl 21715  Poly₁cpl1 22019

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-tp 4625  df-op 4627  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-iin 4990  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-se 5622  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-of 7663  df-ofr 7664  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-supp 8141  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-sup 9433  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-5 12275  df-6 12276  df-7 12277  df-8 12278  df-9 12279  df-n0 12470  df-z 12556  df-dec 12675  df-uz 12820  df-fz 13482  df-fzo 13625  df-seq 13964  df-hash 14288  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-hom 17220  df-cco 17221  df-0g 17386  df-gsum 17387  df-prds 17392  df-pws 17394  df-mre 17529  df-mrc 17530  df-acs 17532  df-mgm 18563  df-sgrp 18642  df-mnd 18658  df-mhm 18703  df-submnd 18704  df-grp 18856  df-minusg 18857  df-sbg 18858  df-mulg 18986  df-subg 19040  df-ghm 19129  df-cntz 19223  df-cmn 19692  df-abl 19693  df-mgp 20030  df-rng 20048  df-ur 20077  df-ring 20130  df-subrng 20436  df-subrg 20461  df-lmod 20698  df-lss 20769  df-ascl 21718  df-psr 21771  df-mpl 21773  df-opsr 21775  df-psr1 22022  df-ply1 22024

This theorem is referenced by:  irngss  33231  evls1maprnss  33241