Theorem asclply1subcl 22294

Description: Closure of the algebra scalar injection function in a polynomial on a subring. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
asclply1subcl.1	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑉)
asclply1subcl.2	⊢ 𝑈 = (𝑅 ↾s 𝑆)
asclply1subcl.3	⊢ 𝑉 = (Poly1‘𝑅)
asclply1subcl.4	⊢ 𝑊 = (Poly1‘𝑈)
asclply1subcl.5	⊢ 𝑃 = (Base‘𝑊)
asclply1subcl.6	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅))
asclply1subcl.7	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
asclply1subcl	⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝑍) ∈ 𝑃)

Proof of Theorem asclply1subcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		asclply1subcl.6	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅))
2		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3	2	subrgss 20492	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝑅))
4	1, 3	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (Base‘𝑅))
5		asclply1subcl.7	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑆)
6	4, 5	sseldd 3944	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (Base‘𝑅))
7		subrgrcl 20496	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑅 ∈ Ring)
8		asclply1subcl.3	. . . . . . 7 ⊢ 𝑉 = (Poly1‘𝑅)
9	8	ply1sca 22170	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 = (Scalar‘𝑉))
10	1, 7, 9	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Scalar‘𝑉))
11	10	fveq2d 6844	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑉)))
12	6, 11	eleqtrd 2830	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑉)))
13		asclply1subcl.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑉)
14		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝑉) = (Scalar‘𝑉)
15		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑉)) = (Base‘(Scalar‘𝑉))
16		eqid 2729	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑉) = ( ·𝑠 ‘𝑉)
17		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑉) = (1r‘𝑉)
18	13, 14, 15, 16, 17	asclval 21822	. . 3 ⊢ (𝑍 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑉)) → (𝐴‘𝑍) = (𝑍( ·𝑠 ‘𝑉)(1r‘𝑉)))
19	12, 18	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝑍) = (𝑍( ·𝑠 ‘𝑉)(1r‘𝑉)))
20		asclply1subcl.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 = (𝑅 ↾s 𝑆)
21		asclply1subcl.4	. . . . . . 7 ⊢ 𝑊 = (Poly1‘𝑈)
22		asclply1subcl.5	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝑊)
23	8, 20, 21, 22	subrgply1 22150	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑃 ∈ (SubRing‘𝑉))
24		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (𝑉 ↾s 𝑃) = (𝑉 ↾s 𝑃)
25	24, 16	ressvsca 17283	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ (SubRing‘𝑉) → ( ·𝑠 ‘𝑉) = ( ·𝑠 ‘(𝑉 ↾s 𝑃)))
26	1, 23, 25	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ( ·𝑠 ‘𝑉) = ( ·𝑠 ‘(𝑉 ↾s 𝑃)))
27	26	oveqd 7386	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑍( ·𝑠 ‘𝑉)(1r‘𝑉)) = (𝑍( ·𝑠 ‘(𝑉 ↾s 𝑃))(1r‘𝑉)))
28		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝜑)
29	17	subrg1cl 20500	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ (SubRing‘𝑉) → (1r‘𝑉) ∈ 𝑃)
30	1, 23, 29	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑉) ∈ 𝑃)
31	8, 20, 21, 22, 1, 24	ressply1vsca 22149	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑍 ∈ 𝑆 ∧ (1r‘𝑉) ∈ 𝑃)) → (𝑍( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑉)) = (𝑍( ·𝑠 ‘(𝑉 ↾s 𝑃))(1r‘𝑉)))
32	28, 5, 30, 31	syl12anc 836	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑍( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑉)) = (𝑍( ·𝑠 ‘(𝑉 ↾s 𝑃))(1r‘𝑉)))
33	27, 32	eqtr4d 2767	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑍( ·𝑠 ‘𝑉)(1r‘𝑉)) = (𝑍( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑉)))
34	20	subrgring 20494	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑈 ∈ Ring)
35	21	ply1lmod 22169	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ Ring → 𝑊 ∈ LMod)
36	1, 34, 35	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
37	20, 2	ressbas2 17184	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ⊆ (Base‘𝑅) → 𝑆 = (Base‘𝑈))
38	1, 3, 37	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = (Base‘𝑈))
39	5, 38	eleqtrd 2830	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (Base‘𝑈))
40	20	ovexi 7403	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 ∈ V
41	21	ply1sca 22170	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ V → 𝑈 = (Scalar‘𝑊))
42	40, 41	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (Scalar‘𝑊)
43		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
44		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
45	22, 42, 43, 44	lmodvscl 20816	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ (Base‘𝑈) ∧ (1r‘𝑉) ∈ 𝑃) → (𝑍( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑉)) ∈ 𝑃)
46	36, 39, 30, 45	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑍( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑉)) ∈ 𝑃)
47	33, 46	eqeltrd 2828	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑍( ·𝑠 ‘𝑉)(1r‘𝑉)) ∈ 𝑃)
48	19, 47	eqeltrd 2828	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝑍) ∈ 𝑃)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3444   ⊆ wss 3911  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  Basecbs 17155   ↾_s cress 17176  Scalarcsca 17199   ·_𝑠 cvsca 17200  1_rcur 20101  Ringcrg 20153  SubRingcsubrg 20489  LModclmod 20798  algSccascl 21794  Poly₁cpl1 22094

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-isom 6508  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-of 7633  df-ofr 7634  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-supp 8117  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-2o 8412  df-er 8648  df-map 8778  df-pm 8779  df-ixp 8848  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-fsupp 9289  df-sup 9369  df-oi 9439  df-card 9868  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227  df-5 12228  df-6 12229  df-7 12230  df-8 12231  df-9 12232  df-n0 12419  df-z 12506  df-dec 12626  df-uz 12770  df-fz 13445  df-fzo 13592  df-seq 13943  df-hash 14272  df-struct 17093  df-sets 17110  df-slot 17128  df-ndx 17140  df-base 17156  df-ress 17177  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-hom 17220  df-cco 17221  df-0g 17380  df-gsum 17381  df-prds 17386  df-pws 17388  df-mre 17523  df-mrc 17524  df-acs 17526  df-mgm 18549  df-sgrp 18628  df-mnd 18644  df-mhm 18692  df-submnd 18693  df-grp 18850  df-minusg 18851  df-sbg 18852  df-mulg 18982  df-subg 19037  df-ghm 19127  df-cntz 19231  df-cmn 19696  df-abl 19697  df-mgp 20061  df-rng 20073  df-ur 20102  df-ring 20155  df-subrng 20466  df-subrg 20490  df-lmod 20800  df-lss 20870  df-ascl 21797  df-psr 21851  df-mpl 21853  df-opsr 21855  df-psr1 22097  df-ply1 22099

This theorem is referenced by:  evls1maprnss  22298  irngss  33675