Theorem asclply1subcl 22545

Description: Closure of the algebra scalar injection function in a polynomial on a subring. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
asclply1subcl.1	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑉)
asclply1subcl.2	⊢ 𝑈 = (𝑅 ↾s 𝑆)
asclply1subcl.3	⊢ 𝑉 = (Poly1‘𝑅)
asclply1subcl.4	⊢ 𝑊 = (Poly1‘𝑈)
asclply1subcl.5	⊢ 𝑃 = (Base‘𝑊)
asclply1subcl.6	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅))
asclply1subcl.7	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
asclply1subcl	⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝑍) ∈ 𝑃)

Proof of Theorem asclply1subcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		asclply1subcl.6	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅))
2		eqid 2762	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3	2	subrgss 20682	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝑅))
4	1, 3	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (Base‘𝑅))
5		asclply1subcl.7	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑆)
6	4, 5	sseldd 3937	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (Base‘𝑅))
7		subrgrcl 20686	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑅 ∈ Ring)
8		asclply1subcl.3	. . . . . . 7 ⊢ 𝑉 = (Poly1‘𝑅)
9	8	ply1sca 22423	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 = (Scalar‘𝑉))
10	1, 7, 9	3syl 19	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Scalar‘𝑉))
11	10	fveq2d 6885	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑉)))
12	6, 11	eleqtrd 2864	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑉)))
13		asclply1subcl.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑉)
14		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝑉) = (Scalar‘𝑉)
15		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑉)) = (Base‘(Scalar‘𝑉))
16		eqid 2762	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑉) = ( ·𝑠 ‘𝑉)
17		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑉) = (1r‘𝑉)
18	13, 14, 15, 16, 17	asclval 22040	. . 3 ⊢ (𝑍 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑉)) → (𝐴‘𝑍) = (𝑍( ·𝑠 ‘𝑉)(1r‘𝑉)))
19	12, 18	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝑍) = (𝑍( ·𝑠 ‘𝑉)(1r‘𝑉)))
20		asclply1subcl.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 = (𝑅 ↾s 𝑆)
21		asclply1subcl.4	. . . . . . 7 ⊢ 𝑊 = (Poly1‘𝑈)
22		asclply1subcl.5	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝑊)
23	8, 20, 21, 22	subrgply1 22403	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑃 ∈ (SubRing‘𝑉))
24		eqid 2762	. . . . . . 7 ⊢ (𝑉 ↾s 𝑃) = (𝑉 ↾s 𝑃)
25	24, 16	ressvsca 17403	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ (SubRing‘𝑉) → ( ·𝑠 ‘𝑉) = ( ·𝑠 ‘(𝑉 ↾s 𝑃)))
26	1, 23, 25	3syl 19	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ( ·𝑠 ‘𝑉) = ( ·𝑠 ‘(𝑉 ↾s 𝑃)))
27	26	oveqd 7429	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑍( ·𝑠 ‘𝑉)(1r‘𝑉)) = (𝑍( ·𝑠 ‘(𝑉 ↾s 𝑃))(1r‘𝑉)))
28		id 23	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝜑)
29	17	subrg1cl 20690	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ (SubRing‘𝑉) → (1r‘𝑉) ∈ 𝑃)
30	1, 23, 29	3syl 19	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑉) ∈ 𝑃)
31	8, 20, 21, 22, 1, 24	ressply1vsca 22402	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑍 ∈ 𝑆 ∧ (1r‘𝑉) ∈ 𝑃)) → (𝑍( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑉)) = (𝑍( ·𝑠 ‘(𝑉 ↾s 𝑃))(1r‘𝑉)))
32	28, 5, 30, 31	syl12anc 849	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑍( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑉)) = (𝑍( ·𝑠 ‘(𝑉 ↾s 𝑃))(1r‘𝑉)))
33	27, 32	eqtr4d 2800	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑍( ·𝑠 ‘𝑉)(1r‘𝑉)) = (𝑍( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑉)))
34	20	subrgring 20684	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑈 ∈ Ring)
35	21	ply1lmod 22422	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ Ring → 𝑊 ∈ LMod)
36	1, 34, 35	3syl 19	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
37	20, 2	ressbas2 17304	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ⊆ (Base‘𝑅) → 𝑆 = (Base‘𝑈))
38	1, 3, 37	3syl 19	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = (Base‘𝑈))
39	5, 38	eleqtrd 2864	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (Base‘𝑈))
40	20	ovexi 7446	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 ∈ V
41	21	ply1sca 22423	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ V → 𝑈 = (Scalar‘𝑊))
42	40, 41	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (Scalar‘𝑊)
43		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
44		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
45	22, 42, 43, 44	lmodvscl 21010	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ (Base‘𝑈) ∧ (1r‘𝑉) ∈ 𝑃) → (𝑍( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑉)) ∈ 𝑃)
46	36, 39, 30, 45	syl3anc 1397	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑍( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑉)) ∈ 𝑃)
47	33, 46	eqeltrd 2862	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑍( ·𝑠 ‘𝑉)(1r‘𝑉)) ∈ 𝑃)
48	19, 47	eqeltrd 2862	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝑍) ∈ 𝑃)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2142  Vcvv 3454   ⊆ wss 3904  ‘cfv 6536  (class class class)co 7412  Basecbs 17275   ↾_s cress 17296  Scalarcsca 17319   ·_𝑠 cvsca 17320  1_rcur 20269  Ringcrg 20321  SubRingcsubrg 20679  LModclmod 20992  algSccascl 22013  Poly₁cpl1 22348

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-se 5614  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7676  df-ofr 7677  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-supp 8155  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-1o 8451  df-2o 8452  df-er 8692  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9320  df-sup 9400  df-oi 9470  df-card 9932  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-nn 12240  df-2 12309  df-3 12310  df-4 12311  df-5 12312  df-6 12313  df-7 12314  df-8 12315  df-9 12316  df-n0 12511  df-z 12598  df-dec 12718  df-uz 12869  df-fz 13542  df-fzo 13690  df-seq 14045  df-hash 14374  df-struct 17213  df-sets 17230  df-slot 17248  df-ndx 17260  df-base 17276  df-ress 17297  df-plusg 17329  df-mulr 17330  df-sca 17332  df-vsca 17333  df-ip 17334  df-tset 17335  df-ple 17336  df-ds 17338  df-hom 17340  df-cco 17341  df-0g 17500  df-gsum 17501  df-prds 17506  df-pws 17508  df-mre 17644  df-mrc 17645  df-acs 17647  df-mgm 18704  df-sgrp 18783  df-mnd 18799  df-mhm 18847  df-submnd 18848  df-grp 19009  df-minusg 19010  df-sbg 19011  df-mulg 19140  df-subg 19195  df-ghm 19290  df-cntz 19393  df-cmn 19858  df-abl 19859  df-mgp 20223  df-rng 20237  df-ur 20270  df-ring 20323  df-subrng 20656  df-subrg 20680  df-lmod 20994  df-lss 21064  df-ascl 22016  df-psr 22070  df-mpl 22072  df-opsr 22074  df-psr1 22351  df-ply1 22353

This theorem is used by:  evls1maprnss  22549  irngss  34086