Theorem asclply1subcl 22364

Description: Closure of the algebra scalar injection function in a polynomial on a subring. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
asclply1subcl.1	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑉)
asclply1subcl.2	⊢ 𝑈 = (𝑅 ↾s 𝑆)
asclply1subcl.3	⊢ 𝑉 = (Poly1‘𝑅)
asclply1subcl.4	⊢ 𝑊 = (Poly1‘𝑈)
asclply1subcl.5	⊢ 𝑃 = (Base‘𝑊)
asclply1subcl.6	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅))
asclply1subcl.7	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
asclply1subcl	⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝑍) ∈ 𝑃)

Proof of Theorem asclply1subcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		asclply1subcl.6	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅))
2		eqid 2741	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3	2	subrgss 20548	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝑅))
4	1, 3	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (Base‘𝑅))
5		asclply1subcl.7	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑆)
6	4, 5	sseldd 3918	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (Base‘𝑅))
7		subrgrcl 20552	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑅 ∈ Ring)
8		asclply1subcl.3	. . . . . . 7 ⊢ 𝑉 = (Poly1‘𝑅)
9	8	ply1sca 22241	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 = (Scalar‘𝑉))
10	1, 7, 9	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Scalar‘𝑉))
11	10	fveq2d 6835	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑉)))
12	6, 11	eleqtrd 2843	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑉)))
13		asclply1subcl.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑉)
14		eqid 2741	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝑉) = (Scalar‘𝑉)
15		eqid 2741	. . . 4 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑉)) = (Base‘(Scalar‘𝑉))
16		eqid 2741	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑉) = ( ·𝑠 ‘𝑉)
17		eqid 2741	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑉) = (1r‘𝑉)
18	13, 14, 15, 16, 17	asclval 21858	. . 3 ⊢ (𝑍 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑉)) → (𝐴‘𝑍) = (𝑍( ·𝑠 ‘𝑉)(1r‘𝑉)))
19	12, 18	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝑍) = (𝑍( ·𝑠 ‘𝑉)(1r‘𝑉)))
20		asclply1subcl.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 = (𝑅 ↾s 𝑆)
21		asclply1subcl.4	. . . . . . 7 ⊢ 𝑊 = (Poly1‘𝑈)
22		asclply1subcl.5	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝑊)
23	8, 20, 21, 22	subrgply1 22221	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑃 ∈ (SubRing‘𝑉))
24		eqid 2741	. . . . . . 7 ⊢ (𝑉 ↾s 𝑃) = (𝑉 ↾s 𝑃)
25	24, 16	ressvsca 17302	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ (SubRing‘𝑉) → ( ·𝑠 ‘𝑉) = ( ·𝑠 ‘(𝑉 ↾s 𝑃)))
26	1, 23, 25	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ( ·𝑠 ‘𝑉) = ( ·𝑠 ‘(𝑉 ↾s 𝑃)))
27	26	oveqd 7377	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑍( ·𝑠 ‘𝑉)(1r‘𝑉)) = (𝑍( ·𝑠 ‘(𝑉 ↾s 𝑃))(1r‘𝑉)))
28		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝜑)
29	17	subrg1cl 20556	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ (SubRing‘𝑉) → (1r‘𝑉) ∈ 𝑃)
30	1, 23, 29	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑉) ∈ 𝑃)
31	8, 20, 21, 22, 1, 24	ressply1vsca 22220	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑍 ∈ 𝑆 ∧ (1r‘𝑉) ∈ 𝑃)) → (𝑍( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑉)) = (𝑍( ·𝑠 ‘(𝑉 ↾s 𝑃))(1r‘𝑉)))
32	28, 5, 30, 31	syl12anc 843	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑍( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑉)) = (𝑍( ·𝑠 ‘(𝑉 ↾s 𝑃))(1r‘𝑉)))
33	27, 32	eqtr4d 2779	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑍( ·𝑠 ‘𝑉)(1r‘𝑉)) = (𝑍( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑉)))
34	20	subrgring 20550	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑈 ∈ Ring)
35	21	ply1lmod 22240	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ Ring → 𝑊 ∈ LMod)
36	1, 34, 35	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
37	20, 2	ressbas2 17203	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ⊆ (Base‘𝑅) → 𝑆 = (Base‘𝑈))
38	1, 3, 37	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = (Base‘𝑈))
39	5, 38	eleqtrd 2843	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (Base‘𝑈))
40	20	ovexi 7394	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 ∈ V
41	21	ply1sca 22241	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ V → 𝑈 = (Scalar‘𝑊))
42	40, 41	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (Scalar‘𝑊)
43		eqid 2741	. . . . 5 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
44		eqid 2741	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
45	22, 42, 43, 44	lmodvscl 20872	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ (Base‘𝑈) ∧ (1r‘𝑉) ∈ 𝑃) → (𝑍( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑉)) ∈ 𝑃)
46	36, 39, 30, 45	syl3anc 1380	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑍( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑉)) ∈ 𝑃)
47	33, 46	eqeltrd 2841	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑍( ·𝑠 ‘𝑉)(1r‘𝑉)) ∈ 𝑃)
48	19, 47	eqeltrd 2841	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝑍) ∈ 𝑃)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1548   ∈ wcel 2121  Vcvv 3433   ⊆ wss 3885  ‘cfv 6489  (class class class)co 7360  Basecbs 17174   ↾_s cress 17195  Scalarcsca 17218   ·_𝑠 cvsca 17219  1_rcur 20157  Ringcrg 20209  SubRingcsubrg 20545  LModclmod 20854  algSccascl 21831  Poly₁cpl1 22166

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-rep 5202  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4842  df-int 4881  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-tr 5183  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-se 5575  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-isom 6498  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-of 7624  df-ofr 7625  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-supp 8105  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-2o 8400  df-er 8637  df-map 8769  df-pm 8770  df-ixp 8840  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-fsupp 9269  df-sup 9349  df-oi 9419  df-card 9858  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-4 12241  df-5 12242  df-6 12243  df-7 12244  df-8 12245  df-9 12246  df-n0 12433  df-z 12520  df-dec 12640  df-uz 12784  df-fz 13457  df-fzo 13604  df-seq 13959  df-hash 14288  df-struct 17112  df-sets 17129  df-slot 17147  df-ndx 17159  df-base 17175  df-ress 17196  df-plusg 17228  df-mulr 17229  df-sca 17231  df-vsca 17232  df-ip 17233  df-tset 17234  df-ple 17235  df-ds 17237  df-hom 17239  df-cco 17240  df-0g 17399  df-gsum 17400  df-prds 17405  df-pws 17407  df-mre 17543  df-mrc 17544  df-acs 17546  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-mhm 18746  df-submnd 18747  df-grp 18907  df-minusg 18908  df-sbg 18909  df-mulg 19039  df-subg 19094  df-ghm 19183  df-cntz 19287  df-cmn 19752  df-abl 19753  df-mgp 20117  df-rng 20129  df-ur 20158  df-ring 20211  df-subrng 20522  df-subrg 20546  df-lmod 20856  df-lss 20926  df-ascl 21834  df-psr 21888  df-mpl 21890  df-opsr 21892  df-psr1 22169  df-ply1 22171

This theorem is referenced by:  evls1maprnss  22368  irngss  33883