Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subrgugrp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem subrgugrp 19551
 Description: The units of a subring form a subgroup of the unit group of the original ring. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
subrgugrp.1 𝑆 = (𝑅s 𝐴)
subrgugrp.2 𝑈 = (Unit‘𝑅)
subrgugrp.3 𝑉 = (Unit‘𝑆)
subrgugrp.4 𝐺 = ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)
Assertion
Ref Expression
subrgugrp (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑉 ∈ (SubGrp‘𝐺))

Proof of Theorem subrgugrp
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 subrgugrp.1 . . 3 𝑆 = (𝑅s 𝐴)
2 subrgugrp.2 . . 3 𝑈 = (Unit‘𝑅)
3 subrgugrp.3 . . 3 𝑉 = (Unit‘𝑆)
41, 2, 3subrguss 19547 . 2 (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑉𝑈)
51subrgring 19535 . . 3 (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑆 ∈ Ring)
6 eqid 2798 . . . 4 (1r𝑆) = (1r𝑆)
73, 61unit 19408 . . 3 (𝑆 ∈ Ring → (1r𝑆) ∈ 𝑉)
8 ne0i 4250 . . 3 ((1r𝑆) ∈ 𝑉𝑉 ≠ ∅)
95, 7, 83syl 18 . 2 (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑉 ≠ ∅)
10 eqid 2798 . . . . . . . . . 10 (.r𝑅) = (.r𝑅)
111, 10ressmulr 16620 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → (.r𝑅) = (.r𝑆))
12113ad2ant1 1130 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑥𝑉𝑦𝑉) → (.r𝑅) = (.r𝑆))
1312oveqd 7153 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑥𝑉𝑦𝑉) → (𝑥(.r𝑅)𝑦) = (𝑥(.r𝑆)𝑦))
14 eqid 2798 . . . . . . . . 9 (.r𝑆) = (.r𝑆)
153, 14unitmulcl 19414 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ Ring ∧ 𝑥𝑉𝑦𝑉) → (𝑥(.r𝑆)𝑦) ∈ 𝑉)
165, 15syl3an1 1160 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑥𝑉𝑦𝑉) → (𝑥(.r𝑆)𝑦) ∈ 𝑉)
1713, 16eqeltrd 2890 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑥𝑉𝑦𝑉) → (𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ 𝑉)
18173expa 1115 . . . . 5 (((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑥𝑉) ∧ 𝑦𝑉) → (𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ 𝑉)
1918ralrimiva 3149 . . . 4 ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑥𝑉) → ∀𝑦𝑉 (𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ 𝑉)
20 eqid 2798 . . . . . 6 (invr𝑅) = (invr𝑅)
21 eqid 2798 . . . . . 6 (invr𝑆) = (invr𝑆)
221, 20, 3, 21subrginv 19548 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑥𝑉) → ((invr𝑅)‘𝑥) = ((invr𝑆)‘𝑥))
233, 21unitinvcl 19424 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ Ring ∧ 𝑥𝑉) → ((invr𝑆)‘𝑥) ∈ 𝑉)
245, 23sylan 583 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑥𝑉) → ((invr𝑆)‘𝑥) ∈ 𝑉)
2522, 24eqeltrd 2890 . . . 4 ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑥𝑉) → ((invr𝑅)‘𝑥) ∈ 𝑉)
2619, 25jca 515 . . 3 ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑥𝑉) → (∀𝑦𝑉 (𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ 𝑉 ∧ ((invr𝑅)‘𝑥) ∈ 𝑉))
2726ralrimiva 3149 . 2 (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → ∀𝑥𝑉 (∀𝑦𝑉 (𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ 𝑉 ∧ ((invr𝑅)‘𝑥) ∈ 𝑉))
28 subrgrcl 19537 . . 3 (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑅 ∈ Ring)
29 subrgugrp.4 . . . 4 𝐺 = ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)
302, 29unitgrp 19417 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → 𝐺 ∈ Grp)
312, 29unitgrpbas 19416 . . . 4 𝑈 = (Base‘𝐺)
322fvexi 6660 . . . . 5 𝑈 ∈ V
33 eqid 2798 . . . . . . 7 (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
3433, 10mgpplusg 19240 . . . . . 6 (.r𝑅) = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
3529, 34ressplusg 16607 . . . . 5 (𝑈 ∈ V → (.r𝑅) = (+g𝐺))
3632, 35ax-mp 5 . . . 4 (.r𝑅) = (+g𝐺)
372, 29, 20invrfval 19423 . . . 4 (invr𝑅) = (invg𝐺)
3831, 36, 37issubg2 18290 . . 3 (𝐺 ∈ Grp → (𝑉 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝑉𝑈𝑉 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝑉 (∀𝑦𝑉 (𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ 𝑉 ∧ ((invr𝑅)‘𝑥) ∈ 𝑉))))
3928, 30, 383syl 18 . 2 (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → (𝑉 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝑉𝑈𝑉 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝑉 (∀𝑦𝑉 (𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ 𝑉 ∧ ((invr𝑅)‘𝑥) ∈ 𝑉))))
404, 9, 27, 39mpbir3and 1339 1 (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑉 ∈ (SubGrp‘𝐺))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987  ∀wral 3106  Vcvv 3441   ⊆ wss 3881  ∅c0 4243  ‘cfv 6325  (class class class)co 7136   ↾s cress 16479  +gcplusg 16560  .rcmulr 16561  Grpcgrp 18098  SubGrpcsubg 18269  mulGrpcmgp 19236  1rcur 19248  Ringcrg 19294  Unitcui 19389  invrcinvr 19421  SubRingcsubrg 19528 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5155  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7444  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-iun 4884  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-tr 5138  df-id 5426  df-eprel 5431  df-po 5439  df-so 5440  df-fr 5479  df-we 5481  df-xp 5526  df-rel 5527  df-cnv 5528  df-co 5529  df-dm 5530  df-rn 5531  df-res 5532  df-ima 5533  df-pred 6117  df-ord 6163  df-on 6164  df-lim 6165  df-suc 6166  df-iota 6284  df-fun 6327  df-fn 6328  df-f 6329  df-f1 6330  df-fo 6331  df-f1o 6332  df-fv 6333  df-riota 7094  df-ov 7139  df-oprab 7140  df-mpo 7141  df-om 7564  df-tpos 7878  df-wrecs 7933  df-recs 7994  df-rdg 8032  df-er 8275  df-en 8496  df-dom 8497  df-sdom 8498  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11629  df-2 11691  df-3 11692  df-ndx 16481  df-slot 16482  df-base 16484  df-sets 16485  df-ress 16486  df-plusg 16573  df-mulr 16574  df-0g 16710  df-mgm 17847  df-sgrp 17896  df-mnd 17907  df-grp 18101  df-minusg 18102  df-subg 18272  df-mgp 19237  df-ur 19249  df-ring 19296  df-oppr 19373  df-dvdsr 19391  df-unit 19392  df-invr 19422  df-subrg 19530 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator