Theorem subrgugrp 20495

Description: The units of a subring form a subgroup of the unit group of the original ring. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
subrgugrp.1	⊢ 𝑆 = (𝑅 ↾s 𝐴)
subrgugrp.2	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
subrgugrp.3	⊢ 𝑉 = (Unit‘𝑆)
subrgugrp.4	⊢ 𝐺 = ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
subrgugrp	⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑉 ∈ (SubGrp‘𝐺))

Proof of Theorem subrgugrp

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subrgugrp.1	. . 3 ⊢ 𝑆 = (𝑅 ↾s 𝐴)
2		subrgugrp.2	. . 3 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
3		subrgugrp.3	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Unit‘𝑆)
4	1, 2, 3	subrguss 20491	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑉 ⊆ 𝑈)
5	1	subrgring 20478	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑆 ∈ Ring)
6		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑆) = (1r‘𝑆)
7	3, 6	1unit 20278	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ Ring → (1r‘𝑆) ∈ 𝑉)
8		ne0i 4294	. . 3 ⊢ ((1r‘𝑆) ∈ 𝑉 → 𝑉 ≠ ∅)
9	5, 7, 8	3syl 18	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑉 ≠ ∅)
10		eqid 2729	. . . . . . . . . 10 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
11	1, 10	ressmulr 17230	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → (.r‘𝑅) = (.r‘𝑆))
12	11	3ad2ant1 1133	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → (.r‘𝑅) = (.r‘𝑆))
13	12	oveqd 7370	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = (𝑥(.r‘𝑆)𝑦))
14		eqid 2729	. . . . . . . . 9 ⊢ (.r‘𝑆) = (.r‘𝑆)
15	3, 14	unitmulcl 20284	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → (𝑥(.r‘𝑆)𝑦) ∈ 𝑉)
16	5, 15	syl3an1 1163	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → (𝑥(.r‘𝑆)𝑦) ∈ 𝑉)
17	13, 16	eqeltrd 2828	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝑉)
18	17	3expa 1118	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝑉)
19	18	ralrimiva 3121	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → ∀𝑦 ∈ 𝑉 (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝑉)
20		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (invr‘𝑅) = (invr‘𝑅)
21		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (invr‘𝑆) = (invr‘𝑆)
22	1, 20, 3, 21	subrginv 20492	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → ((invr‘𝑅)‘𝑥) = ((invr‘𝑆)‘𝑥))
23	3, 21	unitinvcl 20294	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → ((invr‘𝑆)‘𝑥) ∈ 𝑉)
24	5, 23	sylan 580	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → ((invr‘𝑆)‘𝑥) ∈ 𝑉)
25	22, 24	eqeltrd 2828	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → ((invr‘𝑅)‘𝑥) ∈ 𝑉)
26	19, 25	jca 511	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → (∀𝑦 ∈ 𝑉 (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝑉 ∧ ((invr‘𝑅)‘𝑥) ∈ 𝑉))
27	26	ralrimiva 3121	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → ∀𝑥 ∈ 𝑉 (∀𝑦 ∈ 𝑉 (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝑉 ∧ ((invr‘𝑅)‘𝑥) ∈ 𝑉))
28		subrgrcl 20480	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑅 ∈ Ring)
29		subrgugrp.4	. . . 4 ⊢ 𝐺 = ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)
30	2, 29	unitgrp 20287	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐺 ∈ Grp)
31	2, 29	unitgrpbas 20286	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (Base‘𝐺)
32	2	fvexi 6840	. . . . 5 ⊢ 𝑈 ∈ V
33		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
34	33, 10	mgpplusg 20048	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑅) = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
35	29, 34	ressplusg 17214	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ V → (.r‘𝑅) = (+g‘𝐺))
36	32, 35	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑅) = (+g‘𝐺)
37	2, 29, 20	invrfval 20293	. . . 4 ⊢ (invr‘𝑅) = (invg‘𝐺)
38	31, 36, 37	issubg2 19039	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝑉 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝑉 ⊆ 𝑈 ∧ 𝑉 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 (∀𝑦 ∈ 𝑉 (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝑉 ∧ ((invr‘𝑅)‘𝑥) ∈ 𝑉))))
39	28, 30, 38	3syl 18	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → (𝑉 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝑉 ⊆ 𝑈 ∧ 𝑉 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 (∀𝑦 ∈ 𝑉 (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝑉 ∧ ((invr‘𝑅)‘𝑥) ∈ 𝑉))))
40	4, 9, 27, 39	mpbir3and 1343	1 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑉 ∈ (SubGrp‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∀wral 3044  Vcvv 3438   ⊆ wss 3905  ∅c0 4286  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353   ↾_s cress 17160  +_gcplusg 17180  ._rcmulr 17181  Grpcgrp 18831  SubGrpcsubg 19018  mulGrpcmgp 20044  1_rcur 20085  Ringcrg 20137  Unitcui 20259  inv_rcinvr 20291  SubRingcsubrg 20473

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-2nd 7932  df-tpos 8166  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12148  df-2 12210  df-3 12211  df-sets 17094  df-slot 17112  df-ndx 17124  df-base 17140  df-ress 17161  df-plusg 17193  df-mulr 17194  df-0g 17364  df-mgm 18533  df-sgrp 18612  df-mnd 18628  df-grp 18834  df-minusg 18835  df-subg 19021  df-cmn 19680  df-abl 19681  df-mgp 20045  df-rng 20057  df-ur 20086  df-ring 20139  df-oppr 20241  df-dvdsr 20261  df-unit 20262  df-invr 20292  df-subrg 20474

This theorem is referenced by: (None)