MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subrgugrp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem subrgugrp 20283
Description: The units of a subring form a subgroup of the unit group of the original ring. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
subrgugrp.1 𝑆 = (𝑅 β†Ύs 𝐴)
subrgugrp.2 π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘…)
subrgugrp.3 𝑉 = (Unitβ€˜π‘†)
subrgugrp.4 𝐺 = ((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
subrgugrp (𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ 𝑉 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))

Proof of Theorem subrgugrp
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 subrgugrp.1 . . 3 𝑆 = (𝑅 β†Ύs 𝐴)
2 subrgugrp.2 . . 3 π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘…)
3 subrgugrp.3 . . 3 𝑉 = (Unitβ€˜π‘†)
41, 2, 3subrguss 20279 . 2 (𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ 𝑉 βŠ† π‘ˆ)
51subrgring 20267 . . 3 (𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ 𝑆 ∈ Ring)
6 eqid 2733 . . . 4 (1rβ€˜π‘†) = (1rβ€˜π‘†)
73, 61unit 20095 . . 3 (𝑆 ∈ Ring β†’ (1rβ€˜π‘†) ∈ 𝑉)
8 ne0i 4298 . . 3 ((1rβ€˜π‘†) ∈ 𝑉 β†’ 𝑉 β‰  βˆ…)
95, 7, 83syl 18 . 2 (𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ 𝑉 β‰  βˆ…)
10 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…)
111, 10ressmulr 17196 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘†))
12113ad2ant1 1134 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) β†’ (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘†))
1312oveqd 7378 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) = (π‘₯(.rβ€˜π‘†)𝑦))
14 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (.rβ€˜π‘†) = (.rβ€˜π‘†)
153, 14unitmulcl 20101 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ Ring ∧ π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘†)𝑦) ∈ 𝑉)
165, 15syl3an1 1164 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘†)𝑦) ∈ 𝑉)
1713, 16eqeltrd 2834 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ 𝑉)
18173expa 1119 . . . . 5 (((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ 𝑉)
1918ralrimiva 3140 . . . 4 ((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 (π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ 𝑉)
20 eqid 2733 . . . . . 6 (invrβ€˜π‘…) = (invrβ€˜π‘…)
21 eqid 2733 . . . . . 6 (invrβ€˜π‘†) = (invrβ€˜π‘†)
221, 20, 3, 21subrginv 20280 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯) = ((invrβ€˜π‘†)β€˜π‘₯))
233, 21unitinvcl 20111 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ Ring ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ ((invrβ€˜π‘†)β€˜π‘₯) ∈ 𝑉)
245, 23sylan 581 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ ((invrβ€˜π‘†)β€˜π‘₯) ∈ 𝑉)
2522, 24eqeltrd 2834 . . . 4 ((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯) ∈ 𝑉)
2619, 25jca 513 . . 3 ((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 (π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ 𝑉 ∧ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯) ∈ 𝑉))
2726ralrimiva 3140 . 2 (𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 (π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ 𝑉 ∧ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯) ∈ 𝑉))
28 subrgrcl 20269 . . 3 (𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
29 subrgugrp.4 . . . 4 𝐺 = ((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ)
302, 29unitgrp 20104 . . 3 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝐺 ∈ Grp)
312, 29unitgrpbas 20103 . . . 4 π‘ˆ = (Baseβ€˜πΊ)
322fvexi 6860 . . . . 5 π‘ˆ ∈ V
33 eqid 2733 . . . . . . 7 (mulGrpβ€˜π‘…) = (mulGrpβ€˜π‘…)
3433, 10mgpplusg 19908 . . . . . 6 (.rβ€˜π‘…) = (+gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))
3529, 34ressplusg 17179 . . . . 5 (π‘ˆ ∈ V β†’ (.rβ€˜π‘…) = (+gβ€˜πΊ))
3632, 35ax-mp 5 . . . 4 (.rβ€˜π‘…) = (+gβ€˜πΊ)
372, 29, 20invrfval 20110 . . . 4 (invrβ€˜π‘…) = (invgβ€˜πΊ)
3831, 36, 37issubg2 18951 . . 3 (𝐺 ∈ Grp β†’ (𝑉 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) ↔ (𝑉 βŠ† π‘ˆ ∧ 𝑉 β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 (π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ 𝑉 ∧ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯) ∈ 𝑉))))
3928, 30, 383syl 18 . 2 (𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ (𝑉 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) ↔ (𝑉 βŠ† π‘ˆ ∧ 𝑉 β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 (π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ 𝑉 ∧ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯) ∈ 𝑉))))
404, 9, 27, 39mpbir3and 1343 1 (𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ 𝑉 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  Vcvv 3447   βŠ† wss 3914  βˆ…c0 4286  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361   β†Ύs cress 17120  +gcplusg 17141  .rcmulr 17142  Grpcgrp 18756  SubGrpcsubg 18930  mulGrpcmgp 19904  1rcur 19921  Ringcrg 19972  Unitcui 20076  invrcinvr 20108  SubRingcsubrg 20260
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-2nd 7926  df-tpos 8161  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-ress 17121  df-plusg 17154  df-mulr 17155  df-0g 17331  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-grp 18759  df-minusg 18760  df-subg 18933  df-mgp 19905  df-ur 19922  df-ring 19974  df-oppr 20057  df-dvdsr 20078  df-unit 20079  df-invr 20109  df-subrg 20262
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator