MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subrgugrp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem subrgugrp 20337
Description: The units of a subring form a subgroup of the unit group of the original ring. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
subrgugrp.1 𝑆 = (𝑅 β†Ύs 𝐴)
subrgugrp.2 π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘…)
subrgugrp.3 𝑉 = (Unitβ€˜π‘†)
subrgugrp.4 𝐺 = ((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
subrgugrp (𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ 𝑉 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))

Proof of Theorem subrgugrp
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 subrgugrp.1 . . 3 𝑆 = (𝑅 β†Ύs 𝐴)
2 subrgugrp.2 . . 3 π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘…)
3 subrgugrp.3 . . 3 𝑉 = (Unitβ€˜π‘†)
41, 2, 3subrguss 20333 . 2 (𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ 𝑉 βŠ† π‘ˆ)
51subrgring 20321 . . 3 (𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ 𝑆 ∈ Ring)
6 eqid 2732 . . . 4 (1rβ€˜π‘†) = (1rβ€˜π‘†)
73, 61unit 20187 . . 3 (𝑆 ∈ Ring β†’ (1rβ€˜π‘†) ∈ 𝑉)
8 ne0i 4334 . . 3 ((1rβ€˜π‘†) ∈ 𝑉 β†’ 𝑉 β‰  βˆ…)
95, 7, 83syl 18 . 2 (𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ 𝑉 β‰  βˆ…)
10 eqid 2732 . . . . . . . . . 10 (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…)
111, 10ressmulr 17251 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘†))
12113ad2ant1 1133 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) β†’ (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘†))
1312oveqd 7425 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) = (π‘₯(.rβ€˜π‘†)𝑦))
14 eqid 2732 . . . . . . . . 9 (.rβ€˜π‘†) = (.rβ€˜π‘†)
153, 14unitmulcl 20193 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ Ring ∧ π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘†)𝑦) ∈ 𝑉)
165, 15syl3an1 1163 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘†)𝑦) ∈ 𝑉)
1713, 16eqeltrd 2833 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ 𝑉)
18173expa 1118 . . . . 5 (((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ 𝑉)
1918ralrimiva 3146 . . . 4 ((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 (π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ 𝑉)
20 eqid 2732 . . . . . 6 (invrβ€˜π‘…) = (invrβ€˜π‘…)
21 eqid 2732 . . . . . 6 (invrβ€˜π‘†) = (invrβ€˜π‘†)
221, 20, 3, 21subrginv 20334 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯) = ((invrβ€˜π‘†)β€˜π‘₯))
233, 21unitinvcl 20203 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ Ring ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ ((invrβ€˜π‘†)β€˜π‘₯) ∈ 𝑉)
245, 23sylan 580 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ ((invrβ€˜π‘†)β€˜π‘₯) ∈ 𝑉)
2522, 24eqeltrd 2833 . . . 4 ((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯) ∈ 𝑉)
2619, 25jca 512 . . 3 ((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 (π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ 𝑉 ∧ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯) ∈ 𝑉))
2726ralrimiva 3146 . 2 (𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 (π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ 𝑉 ∧ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯) ∈ 𝑉))
28 subrgrcl 20323 . . 3 (𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
29 subrgugrp.4 . . . 4 𝐺 = ((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ)
302, 29unitgrp 20196 . . 3 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝐺 ∈ Grp)
312, 29unitgrpbas 20195 . . . 4 π‘ˆ = (Baseβ€˜πΊ)
322fvexi 6905 . . . . 5 π‘ˆ ∈ V
33 eqid 2732 . . . . . . 7 (mulGrpβ€˜π‘…) = (mulGrpβ€˜π‘…)
3433, 10mgpplusg 19990 . . . . . 6 (.rβ€˜π‘…) = (+gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))
3529, 34ressplusg 17234 . . . . 5 (π‘ˆ ∈ V β†’ (.rβ€˜π‘…) = (+gβ€˜πΊ))
3632, 35ax-mp 5 . . . 4 (.rβ€˜π‘…) = (+gβ€˜πΊ)
372, 29, 20invrfval 20202 . . . 4 (invrβ€˜π‘…) = (invgβ€˜πΊ)
3831, 36, 37issubg2 19020 . . 3 (𝐺 ∈ Grp β†’ (𝑉 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) ↔ (𝑉 βŠ† π‘ˆ ∧ 𝑉 β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 (π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ 𝑉 ∧ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯) ∈ 𝑉))))
3928, 30, 383syl 18 . 2 (𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ (𝑉 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) ↔ (𝑉 βŠ† π‘ˆ ∧ 𝑉 β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 (π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ 𝑉 ∧ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯) ∈ 𝑉))))
404, 9, 27, 39mpbir3and 1342 1 (𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ 𝑉 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  Vcvv 3474   βŠ† wss 3948  βˆ…c0 4322  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408   β†Ύs cress 17172  +gcplusg 17196  .rcmulr 17197  Grpcgrp 18818  SubGrpcsubg 18999  mulGrpcmgp 19986  1rcur 20003  Ringcrg 20055  Unitcui 20168  invrcinvr 20200  SubRingcsubrg 20314
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-2nd 7975  df-tpos 8210  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-0g 17386  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-grp 18821  df-minusg 18822  df-subg 19002  df-mgp 19987  df-ur 20004  df-ring 20057  df-oppr 20149  df-dvdsr 20170  df-unit 20171  df-invr 20201  df-subrg 20316
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator