MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subrgugrp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem subrgugrp 20591
Description: The units of a subring form a subgroup of the unit group of the original ring. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
subrgugrp.1 𝑆 = (𝑅s 𝐴)
subrgugrp.2 𝑈 = (Unit‘𝑅)
subrgugrp.3 𝑉 = (Unit‘𝑆)
subrgugrp.4 𝐺 = ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)
Assertion
Ref Expression
subrgugrp (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑉 ∈ (SubGrp‘𝐺))

Proof of Theorem subrgugrp
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 subrgugrp.1 . . 3 𝑆 = (𝑅s 𝐴)
2 subrgugrp.2 . . 3 𝑈 = (Unit‘𝑅)
3 subrgugrp.3 . . 3 𝑉 = (Unit‘𝑆)
41, 2, 3subrguss 20587 . 2 (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑉𝑈)
51subrgring 20574 . . 3 (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑆 ∈ Ring)
6 eqid 2737 . . . 4 (1r𝑆) = (1r𝑆)
73, 61unit 20374 . . 3 (𝑆 ∈ Ring → (1r𝑆) ∈ 𝑉)
8 ne0i 4341 . . 3 ((1r𝑆) ∈ 𝑉𝑉 ≠ ∅)
95, 7, 83syl 18 . 2 (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑉 ≠ ∅)
10 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 (.r𝑅) = (.r𝑅)
111, 10ressmulr 17351 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → (.r𝑅) = (.r𝑆))
12113ad2ant1 1134 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑥𝑉𝑦𝑉) → (.r𝑅) = (.r𝑆))
1312oveqd 7448 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑥𝑉𝑦𝑉) → (𝑥(.r𝑅)𝑦) = (𝑥(.r𝑆)𝑦))
14 eqid 2737 . . . . . . . . 9 (.r𝑆) = (.r𝑆)
153, 14unitmulcl 20380 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ Ring ∧ 𝑥𝑉𝑦𝑉) → (𝑥(.r𝑆)𝑦) ∈ 𝑉)
165, 15syl3an1 1164 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑥𝑉𝑦𝑉) → (𝑥(.r𝑆)𝑦) ∈ 𝑉)
1713, 16eqeltrd 2841 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑥𝑉𝑦𝑉) → (𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ 𝑉)
18173expa 1119 . . . . 5 (((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑥𝑉) ∧ 𝑦𝑉) → (𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ 𝑉)
1918ralrimiva 3146 . . . 4 ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑥𝑉) → ∀𝑦𝑉 (𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ 𝑉)
20 eqid 2737 . . . . . 6 (invr𝑅) = (invr𝑅)
21 eqid 2737 . . . . . 6 (invr𝑆) = (invr𝑆)
221, 20, 3, 21subrginv 20588 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑥𝑉) → ((invr𝑅)‘𝑥) = ((invr𝑆)‘𝑥))
233, 21unitinvcl 20390 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ Ring ∧ 𝑥𝑉) → ((invr𝑆)‘𝑥) ∈ 𝑉)
245, 23sylan 580 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑥𝑉) → ((invr𝑆)‘𝑥) ∈ 𝑉)
2522, 24eqeltrd 2841 . . . 4 ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑥𝑉) → ((invr𝑅)‘𝑥) ∈ 𝑉)
2619, 25jca 511 . . 3 ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑥𝑉) → (∀𝑦𝑉 (𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ 𝑉 ∧ ((invr𝑅)‘𝑥) ∈ 𝑉))
2726ralrimiva 3146 . 2 (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → ∀𝑥𝑉 (∀𝑦𝑉 (𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ 𝑉 ∧ ((invr𝑅)‘𝑥) ∈ 𝑉))
28 subrgrcl 20576 . . 3 (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑅 ∈ Ring)
29 subrgugrp.4 . . . 4 𝐺 = ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)
302, 29unitgrp 20383 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → 𝐺 ∈ Grp)
312, 29unitgrpbas 20382 . . . 4 𝑈 = (Base‘𝐺)
322fvexi 6920 . . . . 5 𝑈 ∈ V
33 eqid 2737 . . . . . . 7 (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
3433, 10mgpplusg 20141 . . . . . 6 (.r𝑅) = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
3529, 34ressplusg 17334 . . . . 5 (𝑈 ∈ V → (.r𝑅) = (+g𝐺))
3632, 35ax-mp 5 . . . 4 (.r𝑅) = (+g𝐺)
372, 29, 20invrfval 20389 . . . 4 (invr𝑅) = (invg𝐺)
3831, 36, 37issubg2 19159 . . 3 (𝐺 ∈ Grp → (𝑉 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝑉𝑈𝑉 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝑉 (∀𝑦𝑉 (𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ 𝑉 ∧ ((invr𝑅)‘𝑥) ∈ 𝑉))))
3928, 30, 383syl 18 . 2 (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → (𝑉 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝑉𝑈𝑉 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝑉 (∀𝑦𝑉 (𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ 𝑉 ∧ ((invr𝑅)‘𝑥) ∈ 𝑉))))
404, 9, 27, 39mpbir3and 1343 1 (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑉 ∈ (SubGrp‘𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  wral 3061  Vcvv 3480  wss 3951  c0 4333  cfv 6561  (class class class)co 7431  s cress 17274  +gcplusg 17297  .rcmulr 17298  Grpcgrp 18951  SubGrpcsubg 19138  mulGrpcmgp 20137  1rcur 20178  Ringcrg 20230  Unitcui 20355  invrcinvr 20387  SubRingcsubrg 20569
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-tpos 8251  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-0g 17486  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-subg 19141  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-oppr 20334  df-dvdsr 20357  df-unit 20358  df-invr 20388  df-subrg 20570
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator