MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subrgugrp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem subrgugrp 20493
Description: The units of a subring form a subgroup of the unit group of the original ring. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
subrgugrp.1 𝑆 = (𝑅 β†Ύs 𝐴)
subrgugrp.2 π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘…)
subrgugrp.3 𝑉 = (Unitβ€˜π‘†)
subrgugrp.4 𝐺 = ((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
subrgugrp (𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ 𝑉 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))

Proof of Theorem subrgugrp
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 subrgugrp.1 . . 3 𝑆 = (𝑅 β†Ύs 𝐴)
2 subrgugrp.2 . . 3 π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘…)
3 subrgugrp.3 . . 3 𝑉 = (Unitβ€˜π‘†)
41, 2, 3subrguss 20489 . 2 (𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ 𝑉 βŠ† π‘ˆ)
51subrgring 20476 . . 3 (𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ 𝑆 ∈ Ring)
6 eqid 2726 . . . 4 (1rβ€˜π‘†) = (1rβ€˜π‘†)
73, 61unit 20276 . . 3 (𝑆 ∈ Ring β†’ (1rβ€˜π‘†) ∈ 𝑉)
8 ne0i 4329 . . 3 ((1rβ€˜π‘†) ∈ 𝑉 β†’ 𝑉 β‰  βˆ…)
95, 7, 83syl 18 . 2 (𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ 𝑉 β‰  βˆ…)
10 eqid 2726 . . . . . . . . . 10 (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…)
111, 10ressmulr 17261 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘†))
12113ad2ant1 1130 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) β†’ (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘†))
1312oveqd 7422 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) = (π‘₯(.rβ€˜π‘†)𝑦))
14 eqid 2726 . . . . . . . . 9 (.rβ€˜π‘†) = (.rβ€˜π‘†)
153, 14unitmulcl 20282 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ Ring ∧ π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘†)𝑦) ∈ 𝑉)
165, 15syl3an1 1160 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘†)𝑦) ∈ 𝑉)
1713, 16eqeltrd 2827 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ 𝑉)
18173expa 1115 . . . . 5 (((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ 𝑉)
1918ralrimiva 3140 . . . 4 ((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 (π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ 𝑉)
20 eqid 2726 . . . . . 6 (invrβ€˜π‘…) = (invrβ€˜π‘…)
21 eqid 2726 . . . . . 6 (invrβ€˜π‘†) = (invrβ€˜π‘†)
221, 20, 3, 21subrginv 20490 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯) = ((invrβ€˜π‘†)β€˜π‘₯))
233, 21unitinvcl 20292 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ Ring ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ ((invrβ€˜π‘†)β€˜π‘₯) ∈ 𝑉)
245, 23sylan 579 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ ((invrβ€˜π‘†)β€˜π‘₯) ∈ 𝑉)
2522, 24eqeltrd 2827 . . . 4 ((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯) ∈ 𝑉)
2619, 25jca 511 . . 3 ((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 (π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ 𝑉 ∧ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯) ∈ 𝑉))
2726ralrimiva 3140 . 2 (𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 (π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ 𝑉 ∧ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯) ∈ 𝑉))
28 subrgrcl 20478 . . 3 (𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
29 subrgugrp.4 . . . 4 𝐺 = ((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs π‘ˆ)
302, 29unitgrp 20285 . . 3 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝐺 ∈ Grp)
312, 29unitgrpbas 20284 . . . 4 π‘ˆ = (Baseβ€˜πΊ)
322fvexi 6899 . . . . 5 π‘ˆ ∈ V
33 eqid 2726 . . . . . . 7 (mulGrpβ€˜π‘…) = (mulGrpβ€˜π‘…)
3433, 10mgpplusg 20043 . . . . . 6 (.rβ€˜π‘…) = (+gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))
3529, 34ressplusg 17244 . . . . 5 (π‘ˆ ∈ V β†’ (.rβ€˜π‘…) = (+gβ€˜πΊ))
3632, 35ax-mp 5 . . . 4 (.rβ€˜π‘…) = (+gβ€˜πΊ)
372, 29, 20invrfval 20291 . . . 4 (invrβ€˜π‘…) = (invgβ€˜πΊ)
3831, 36, 37issubg2 19068 . . 3 (𝐺 ∈ Grp β†’ (𝑉 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) ↔ (𝑉 βŠ† π‘ˆ ∧ 𝑉 β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 (π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ 𝑉 ∧ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯) ∈ 𝑉))))
3928, 30, 383syl 18 . 2 (𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ (𝑉 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) ↔ (𝑉 βŠ† π‘ˆ ∧ 𝑉 β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑉 (π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ 𝑉 ∧ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘₯) ∈ 𝑉))))
404, 9, 27, 39mpbir3and 1339 1 (𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ 𝑉 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934  βˆ€wral 3055  Vcvv 3468   βŠ† wss 3943  βˆ…c0 4317  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405   β†Ύs cress 17182  +gcplusg 17206  .rcmulr 17207  Grpcgrp 18863  SubGrpcsubg 19047  mulGrpcmgp 20039  1rcur 20086  Ringcrg 20138  Unitcui 20257  invrcinvr 20289  SubRingcsubrg 20469
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-2nd 7975  df-tpos 8212  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-0g 17396  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-subg 19050  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20040  df-rng 20058  df-ur 20087  df-ring 20140  df-oppr 20236  df-dvdsr 20259  df-unit 20260  df-invr 20290  df-subrg 20471
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator