Theorem subrgugrp 20753

Description: The units of a subring form a subgroup of the unit group of the original ring. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
subrgugrp.1	⊢ 𝑆 = (𝑅 ↾s 𝐴)
subrgugrp.2	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
subrgugrp.3	⊢ 𝑉 = (Unit‘𝑆)
subrgugrp.4	⊢ 𝐺 = ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
subrgugrp	⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑉 ∈ (SubGrp‘𝐺))

Proof of Theorem subrgugrp

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subrgugrp.1	. . 3 ⊢ 𝑆 = (𝑅 ↾s 𝐴)
2		subrgugrp.2	. . 3 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
3		subrgugrp.3	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Unit‘𝑆)
4	1, 2, 3	subrguss 20749	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑉 ⊆ 𝑈)
5	1	subrgring 20736	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑆 ∈ Ring)
6		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑆) = (1r‘𝑆)
7	3, 6	1unit 20515	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ Ring → (1r‘𝑆) ∈ 𝑉)
8		ne0i 4287	. . 3 ⊢ ((1r‘𝑆) ∈ 𝑉 → 𝑉 ≠ ∅)
9	5, 7, 8	3syl 19	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑉 ≠ ∅)
10		eqid 2760	. . . . . . . . . 10 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
11	1, 10	ressmulr 17392	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → (.r‘𝑅) = (.r‘𝑆))
12	11	3ad2ant1 1151	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → (.r‘𝑅) = (.r‘𝑆))
13	12	oveqd 7430	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = (𝑥(.r‘𝑆)𝑦))
14		eqid 2760	. . . . . . . . 9 ⊢ (.r‘𝑆) = (.r‘𝑆)
15	3, 14	unitmulcl 20521	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → (𝑥(.r‘𝑆)𝑦) ∈ 𝑉)
16	5, 15	syl3an1 1181	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → (𝑥(.r‘𝑆)𝑦) ∈ 𝑉)
17	13, 16	eqeltrd 2860	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝑉)
18	17	3expa 1136	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝑉)
19	18	ralrimiva 3154	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → ∀𝑦 ∈ 𝑉 (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝑉)
20		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (invr‘𝑅) = (invr‘𝑅)
21		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (invr‘𝑆) = (invr‘𝑆)
22	1, 20, 3, 21	subrginv 20750	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → ((invr‘𝑅)‘𝑥) = ((invr‘𝑆)‘𝑥))
23	3, 21	unitinvcl 20531	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → ((invr‘𝑆)‘𝑥) ∈ 𝑉)
24	5, 23	sylan 592	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → ((invr‘𝑆)‘𝑥) ∈ 𝑉)
25	22, 24	eqeltrd 2860	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → ((invr‘𝑅)‘𝑥) ∈ 𝑉)
26	19, 25	jca 521	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → (∀𝑦 ∈ 𝑉 (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝑉 ∧ ((invr‘𝑅)‘𝑥) ∈ 𝑉))
27	26	ralrimiva 3154	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → ∀𝑥 ∈ 𝑉 (∀𝑦 ∈ 𝑉 (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝑉 ∧ ((invr‘𝑅)‘𝑥) ∈ 𝑉))
28		subrgrcl 20738	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑅 ∈ Ring)
29		subrgugrp.4	. . . 4 ⊢ 𝐺 = ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)
30	2, 29	unitgrp 20524	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐺 ∈ Grp)
31	2, 29	unitgrpbas 20523	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (Base‘𝐺)
32	2	fvexi 6892	. . . . 5 ⊢ 𝑈 ∈ V
33		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
34	33, 10	mgpplusg 20277	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑅) = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
35	29, 34	ressplusg 17376	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ V → (.r‘𝑅) = (+g‘𝐺))
36	32, 35	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑅) = (+g‘𝐺)
37	2, 29, 20	invrfval 20530	. . . 4 ⊢ (invr‘𝑅) = (invg‘𝐺)
38	31, 36, 37	issubg2 19265	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝑉 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝑉 ⊆ 𝑈 ∧ 𝑉 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 (∀𝑦 ∈ 𝑉 (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝑉 ∧ ((invr‘𝑅)‘𝑥) ∈ 𝑉))))
39	28, 30, 38	3syl 19	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → (𝑉 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝑉 ⊆ 𝑈 ∧ 𝑉 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 (∀𝑦 ∈ 𝑉 (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝑉 ∧ ((invr‘𝑅)‘𝑥) ∈ 𝑉))))
40	4, 9, 27, 39	mpbir3and 1361	1 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑉 ∈ (SubGrp‘𝐺))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  ∀wral 3076  Vcvv 3450   ⊆ wss 3899  ∅c0 4279  ‘cfv 6533  (class class class)co 7413   ↾_s cress 17322  +_gcplusg 17342  ._rcmulr 17343  Grpcgrp 19057  SubGrpcsubg 19243  mulGrpcmgp 20273  1_rcur 20320  Ringcrg 20372  Unitcui 20496  inv_rcinvr 20528  SubRingcsubrg 20731

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7863  df-2nd 7987  df-tpos 8224  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-nn 12258  df-2 12327  df-3 12328  df-sets 17256  df-slot 17274  df-ndx 17286  df-base 17302  df-ress 17323  df-plusg 17355  df-mulr 17356  df-0g 17526  df-mgm 18730  df-sgrp 18821  df-mnd 18837  df-grp 19060  df-minusg 19061  df-subg 19246  df-cmn 19909  df-abl 19910  df-mgp 20274  df-rng 20288  df-ur 20321  df-ring 20374  df-oppr 20478  df-dvdsr 20498  df-unit 20499  df-invr 20529  df-subrg 20732

This theorem is used by: (None)