Theorem subrgugrp 20536

Description: The units of a subring form a subgroup of the unit group of the original ring. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
subrgugrp.1	⊢ 𝑆 = (𝑅 ↾s 𝐴)
subrgugrp.2	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
subrgugrp.3	⊢ 𝑉 = (Unit‘𝑆)
subrgugrp.4	⊢ 𝐺 = ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
subrgugrp	⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑉 ∈ (SubGrp‘𝐺))

Proof of Theorem subrgugrp

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subrgugrp.1	. . 3 ⊢ 𝑆 = (𝑅 ↾s 𝐴)
2		subrgugrp.2	. . 3 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
3		subrgugrp.3	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Unit‘𝑆)
4	1, 2, 3	subrguss 20532	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑉 ⊆ 𝑈)
5	1	subrgring 20519	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑆 ∈ Ring)
6		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑆) = (1r‘𝑆)
7	3, 6	1unit 20322	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ Ring → (1r‘𝑆) ∈ 𝑉)
8		ne0i 4295	. . 3 ⊢ ((1r‘𝑆) ∈ 𝑉 → 𝑉 ≠ ∅)
9	5, 7, 8	3syl 18	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑉 ≠ ∅)
10		eqid 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
11	1, 10	ressmulr 17239	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → (.r‘𝑅) = (.r‘𝑆))
12	11	3ad2ant1 1134	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → (.r‘𝑅) = (.r‘𝑆))
13	12	oveqd 7385	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = (𝑥(.r‘𝑆)𝑦))
14		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (.r‘𝑆) = (.r‘𝑆)
15	3, 14	unitmulcl 20328	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → (𝑥(.r‘𝑆)𝑦) ∈ 𝑉)
16	5, 15	syl3an1 1164	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → (𝑥(.r‘𝑆)𝑦) ∈ 𝑉)
17	13, 16	eqeltrd 2837	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝑉)
18	17	3expa 1119	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝑉)
19	18	ralrimiva 3130	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → ∀𝑦 ∈ 𝑉 (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝑉)
20		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (invr‘𝑅) = (invr‘𝑅)
21		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (invr‘𝑆) = (invr‘𝑆)
22	1, 20, 3, 21	subrginv 20533	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → ((invr‘𝑅)‘𝑥) = ((invr‘𝑆)‘𝑥))
23	3, 21	unitinvcl 20338	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → ((invr‘𝑆)‘𝑥) ∈ 𝑉)
24	5, 23	sylan 581	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → ((invr‘𝑆)‘𝑥) ∈ 𝑉)
25	22, 24	eqeltrd 2837	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → ((invr‘𝑅)‘𝑥) ∈ 𝑉)
26	19, 25	jca 511	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → (∀𝑦 ∈ 𝑉 (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝑉 ∧ ((invr‘𝑅)‘𝑥) ∈ 𝑉))
27	26	ralrimiva 3130	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → ∀𝑥 ∈ 𝑉 (∀𝑦 ∈ 𝑉 (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝑉 ∧ ((invr‘𝑅)‘𝑥) ∈ 𝑉))
28		subrgrcl 20521	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑅 ∈ Ring)
29		subrgugrp.4	. . . 4 ⊢ 𝐺 = ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)
30	2, 29	unitgrp 20331	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐺 ∈ Grp)
31	2, 29	unitgrpbas 20330	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (Base‘𝐺)
32	2	fvexi 6856	. . . . 5 ⊢ 𝑈 ∈ V
33		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
34	33, 10	mgpplusg 20091	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑅) = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
35	29, 34	ressplusg 17223	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ V → (.r‘𝑅) = (+g‘𝐺))
36	32, 35	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑅) = (+g‘𝐺)
37	2, 29, 20	invrfval 20337	. . . 4 ⊢ (invr‘𝑅) = (invg‘𝐺)
38	31, 36, 37	issubg2 19083	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝑉 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝑉 ⊆ 𝑈 ∧ 𝑉 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 (∀𝑦 ∈ 𝑉 (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝑉 ∧ ((invr‘𝑅)‘𝑥) ∈ 𝑉))))
39	28, 30, 38	3syl 18	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → (𝑉 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝑉 ⊆ 𝑈 ∧ 𝑉 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 (∀𝑦 ∈ 𝑉 (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝑉 ∧ ((invr‘𝑅)‘𝑥) ∈ 𝑉))))
40	4, 9, 27, 39	mpbir3and 1344	1 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑉 ∈ (SubGrp‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∀wral 3052  Vcvv 3442   ⊆ wss 3903  ∅c0 4287  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368   ↾_s cress 17169  +_gcplusg 17189  ._rcmulr 17190  Grpcgrp 18875  SubGrpcsubg 19062  mulGrpcmgp 20087  1_rcur 20128  Ringcrg 20180  Unitcui 20303  inv_rcinvr 20335  SubRingcsubrg 20514

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-2nd 7944  df-tpos 8178  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17149  df-ress 17170  df-plusg 17202  df-mulr 17203  df-0g 17373  df-mgm 18577  df-sgrp 18656  df-mnd 18672  df-grp 18878  df-minusg 18879  df-subg 19065  df-cmn 19723  df-abl 19724  df-mgp 20088  df-rng 20100  df-ur 20129  df-ring 20182  df-oppr 20285  df-dvdsr 20305  df-unit 20306  df-invr 20336  df-subrg 20515

This theorem is referenced by: (None)