Theorem subrgugrp 20551

Description: The units of a subring form a subgroup of the unit group of the original ring. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
subrgugrp.1	⊢ 𝑆 = (𝑅 ↾s 𝐴)
subrgugrp.2	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
subrgugrp.3	⊢ 𝑉 = (Unit‘𝑆)
subrgugrp.4	⊢ 𝐺 = ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
subrgugrp	⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑉 ∈ (SubGrp‘𝐺))

Proof of Theorem subrgugrp

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subrgugrp.1	. . 3 ⊢ 𝑆 = (𝑅 ↾s 𝐴)
2		subrgugrp.2	. . 3 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
3		subrgugrp.3	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Unit‘𝑆)
4	1, 2, 3	subrguss 20547	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑉 ⊆ 𝑈)
5	1	subrgring 20534	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑆 ∈ Ring)
6		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑆) = (1r‘𝑆)
7	3, 6	1unit 20334	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ Ring → (1r‘𝑆) ∈ 𝑉)
8		ne0i 4316	. . 3 ⊢ ((1r‘𝑆) ∈ 𝑉 → 𝑉 ≠ ∅)
9	5, 7, 8	3syl 18	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑉 ≠ ∅)
10		eqid 2735	. . . . . . . . . 10 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
11	1, 10	ressmulr 17321	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → (.r‘𝑅) = (.r‘𝑆))
12	11	3ad2ant1 1133	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → (.r‘𝑅) = (.r‘𝑆))
13	12	oveqd 7422	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = (𝑥(.r‘𝑆)𝑦))
14		eqid 2735	. . . . . . . . 9 ⊢ (.r‘𝑆) = (.r‘𝑆)
15	3, 14	unitmulcl 20340	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → (𝑥(.r‘𝑆)𝑦) ∈ 𝑉)
16	5, 15	syl3an1 1163	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → (𝑥(.r‘𝑆)𝑦) ∈ 𝑉)
17	13, 16	eqeltrd 2834	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝑉)
18	17	3expa 1118	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝑉)
19	18	ralrimiva 3132	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → ∀𝑦 ∈ 𝑉 (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝑉)
20		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ (invr‘𝑅) = (invr‘𝑅)
21		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ (invr‘𝑆) = (invr‘𝑆)
22	1, 20, 3, 21	subrginv 20548	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → ((invr‘𝑅)‘𝑥) = ((invr‘𝑆)‘𝑥))
23	3, 21	unitinvcl 20350	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → ((invr‘𝑆)‘𝑥) ∈ 𝑉)
24	5, 23	sylan 580	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → ((invr‘𝑆)‘𝑥) ∈ 𝑉)
25	22, 24	eqeltrd 2834	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → ((invr‘𝑅)‘𝑥) ∈ 𝑉)
26	19, 25	jca 511	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → (∀𝑦 ∈ 𝑉 (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝑉 ∧ ((invr‘𝑅)‘𝑥) ∈ 𝑉))
27	26	ralrimiva 3132	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → ∀𝑥 ∈ 𝑉 (∀𝑦 ∈ 𝑉 (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝑉 ∧ ((invr‘𝑅)‘𝑥) ∈ 𝑉))
28		subrgrcl 20536	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑅 ∈ Ring)
29		subrgugrp.4	. . . 4 ⊢ 𝐺 = ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝑈)
30	2, 29	unitgrp 20343	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐺 ∈ Grp)
31	2, 29	unitgrpbas 20342	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (Base‘𝐺)
32	2	fvexi 6890	. . . . 5 ⊢ 𝑈 ∈ V
33		eqid 2735	. . . . . . 7 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
34	33, 10	mgpplusg 20104	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑅) = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
35	29, 34	ressplusg 17305	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ V → (.r‘𝑅) = (+g‘𝐺))
36	32, 35	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑅) = (+g‘𝐺)
37	2, 29, 20	invrfval 20349	. . . 4 ⊢ (invr‘𝑅) = (invg‘𝐺)
38	31, 36, 37	issubg2 19124	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝑉 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝑉 ⊆ 𝑈 ∧ 𝑉 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 (∀𝑦 ∈ 𝑉 (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝑉 ∧ ((invr‘𝑅)‘𝑥) ∈ 𝑉))))
39	28, 30, 38	3syl 18	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → (𝑉 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝑉 ⊆ 𝑈 ∧ 𝑉 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑉 (∀𝑦 ∈ 𝑉 (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝑉 ∧ ((invr‘𝑅)‘𝑥) ∈ 𝑉))))
40	4, 9, 27, 39	mpbir3and 1343	1 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑉 ∈ (SubGrp‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2932  ∀wral 3051  Vcvv 3459   ⊆ wss 3926  ∅c0 4308  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405   ↾_s cress 17251  +_gcplusg 17271  ._rcmulr 17272  Grpcgrp 18916  SubGrpcsubg 19103  mulGrpcmgp 20100  1_rcur 20141  Ringcrg 20193  Unitcui 20315  inv_rcinvr 20347  SubRingcsubrg 20529

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-2nd 7989  df-tpos 8225  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-ress 17252  df-plusg 17284  df-mulr 17285  df-0g 17455  df-mgm 18618  df-sgrp 18697  df-mnd 18713  df-grp 18919  df-minusg 18920  df-subg 19106  df-cmn 19763  df-abl 19764  df-mgp 20101  df-rng 20113  df-ur 20142  df-ring 20195  df-oppr 20297  df-dvdsr 20317  df-unit 20318  df-invr 20348  df-subrg 20530

This theorem is referenced by: (None)