Theorem idlinsubrg 33375

Description: The intersection between an ideal and a subring is an ideal of the subring. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Jul-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
idlinsubrg.s	⊢ 𝑆 = (𝑅 ↾s 𝐴)
idlinsubrg.u	⊢ 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)
idlinsubrg.v	⊢ 𝑉 = (LIdeal‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
idlinsubrg	⊢ ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → (𝐼 ∩ 𝐴) ∈ 𝑉)

Proof of Theorem idlinsubrg

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		inss2 4197	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∩ 𝐴) ⊆ 𝐴
2		idlinsubrg.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (𝑅 ↾s 𝐴)
3	2	subrgbas 20466	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐴 = (Base‘𝑆))
4	1, 3	sseqtrid 3986	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → (𝐼 ∩ 𝐴) ⊆ (Base‘𝑆))
5	4	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → (𝐼 ∩ 𝐴) ⊆ (Base‘𝑆))
6		subrgrcl 20461	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑅 ∈ Ring)
7		idlinsubrg.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)
8		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
9	7, 8	lidl0cl 21106	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → (0g‘𝑅) ∈ 𝐼)
10	6, 9	sylan 580	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → (0g‘𝑅) ∈ 𝐼)
11		subrgsubg 20462	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐴 ∈ (SubGrp‘𝑅))
12		subgsubm 19056	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (SubGrp‘𝑅) → 𝐴 ∈ (SubMnd‘𝑅))
13	8	subm0cl 18714	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (SubMnd‘𝑅) → (0g‘𝑅) ∈ 𝐴)
14	11, 12, 13	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → (0g‘𝑅) ∈ 𝐴)
15	14	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → (0g‘𝑅) ∈ 𝐴)
16	10, 15	elind 4159	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → (0g‘𝑅) ∈ (𝐼 ∩ 𝐴))
17	16	ne0d 4301	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → (𝐼 ∩ 𝐴) ≠ ∅)
18		eqid 2729	. . . . . . . . 9 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
19	2, 18	ressplusg 17230	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → (+g‘𝑅) = (+g‘𝑆))
20		eqid 2729	. . . . . . . . . 10 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
21	2, 20	ressmulr 17246	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → (.r‘𝑅) = (.r‘𝑆))
22	21	oveqd 7386	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑎) = (𝑥(.r‘𝑆)𝑎))
23		eqidd 2730	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑏 = 𝑏)
24	19, 22, 23	oveq123d 7390	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) = ((𝑥(.r‘𝑆)𝑎)(+g‘𝑆)𝑏))
25	24	ad4antr 732	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑆)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) = ((𝑥(.r‘𝑆)𝑎)(+g‘𝑆)𝑏))
26	6	ad4antr 732	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑆)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → 𝑅 ∈ Ring)
27		simp-4r 783	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑆)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → 𝐼 ∈ 𝑈)
28		eqid 2729	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
29	28	subrgss 20457	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐴 ⊆ (Base‘𝑅))
30	3, 29	eqsstrrd 3979	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → (Base‘𝑆) ⊆ (Base‘𝑅))
31	30	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → (Base‘𝑆) ⊆ (Base‘𝑅))
32	31	sselda 3943	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑆)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
33	32	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑆)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
34		inss1 4196	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐼 ∩ 𝐴) ⊆ 𝐼
35	34	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑆)) → (𝐼 ∩ 𝐴) ⊆ 𝐼)
36	35	sselda 3943	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑆)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → 𝑎 ∈ 𝐼)
37	36	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑆)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → 𝑎 ∈ 𝐼)
38	7, 28, 20	lidlmcl 21111	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑎 ∈ 𝐼)) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑎) ∈ 𝐼)
39	26, 27, 33, 37, 38	syl22anc 838	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑆)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑎) ∈ 𝐼)
40	34	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑆)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → (𝐼 ∩ 𝐴) ⊆ 𝐼)
41	40	sselda 3943	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑆)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → 𝑏 ∈ 𝐼)
42	7, 18	lidlacl 21107	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎) ∈ 𝐼 ∧ 𝑏 ∈ 𝐼)) → ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝐼)
43	26, 27, 39, 41, 42	syl22anc 838	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑆)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝐼)
44		simp-4l 782	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑆)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → 𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅))
45		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑆)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑆))
46	3	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑆)) → 𝐴 = (Base‘𝑆))
47	45, 46	eleqtrrd 2831	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑆)) → 𝑥 ∈ 𝐴)
48	47	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑆)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → 𝑥 ∈ 𝐴)
49	1	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑆)) → (𝐼 ∩ 𝐴) ⊆ 𝐴)
50	49	sselda 3943	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑆)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → 𝑎 ∈ 𝐴)
51	50	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑆)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → 𝑎 ∈ 𝐴)
52	20	subrgmcl 20469	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑎) ∈ 𝐴)
53	44, 48, 51, 52	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑆)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑎) ∈ 𝐴)
54	1	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑆)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → (𝐼 ∩ 𝐴) ⊆ 𝐴)
55	54	sselda 3943	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑆)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → 𝑏 ∈ 𝐴)
56	18	subrgacl 20468	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ (𝑥(.r‘𝑅)𝑎) ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) → ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝐴)
57	44, 53, 55, 56	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑆)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝐴)
58	43, 57	elind 4159	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑆)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ (𝐼 ∩ 𝐴))
59	25, 58	eqeltrrd 2829	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑆)) ∧ 𝑎 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) → ((𝑥(.r‘𝑆)𝑎)(+g‘𝑆)𝑏) ∈ (𝐼 ∩ 𝐴))
60	59	anasss 466	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑆)) ∧ (𝑎 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴))) → ((𝑥(.r‘𝑆)𝑎)(+g‘𝑆)𝑏) ∈ (𝐼 ∩ 𝐴))
61	60	ralrimivva 3178	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑆)) → ∀𝑎 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)∀𝑏 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)((𝑥(.r‘𝑆)𝑎)(+g‘𝑆)𝑏) ∈ (𝐼 ∩ 𝐴))
62	61	ralrimiva 3125	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑆)∀𝑎 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)∀𝑏 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)((𝑥(.r‘𝑆)𝑎)(+g‘𝑆)𝑏) ∈ (𝐼 ∩ 𝐴))
63		idlinsubrg.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (LIdeal‘𝑆)
64		eqid 2729	. . 3 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
65		eqid 2729	. . 3 ⊢ (+g‘𝑆) = (+g‘𝑆)
66		eqid 2729	. . 3 ⊢ (.r‘𝑆) = (.r‘𝑆)
67	63, 64, 65, 66	islidl 21101	. 2 ⊢ ((𝐼 ∩ 𝐴) ∈ 𝑉 ↔ ((𝐼 ∩ 𝐴) ⊆ (Base‘𝑆) ∧ (𝐼 ∩ 𝐴) ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑆)∀𝑎 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)∀𝑏 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)((𝑥(.r‘𝑆)𝑎)(+g‘𝑆)𝑏) ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)))
68	5, 17, 62, 67	syl3anbrc 1344	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝐼 ∈ 𝑈) → (𝐼 ∩ 𝐴) ∈ 𝑉)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∀wral 3044   ∩ cin 3910   ⊆ wss 3911  ∅c0 4292  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  Basecbs 17155   ↾_s cress 17176  +_gcplusg 17196  ._rcmulr 17197  0_gc0g 17378  SubMndcsubmnd 18685  SubGrpcsubg 19028  Ringcrg 20118  SubRingcsubrg 20454  LIdealclidl 21092

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227  df-5 12228  df-6 12229  df-7 12230  df-8 12231  df-sets 17110  df-slot 17128  df-ndx 17140  df-base 17156  df-ress 17177  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-0g 17380  df-mgm 18543  df-sgrp 18622  df-mnd 18638  df-submnd 18687  df-grp 18844  df-minusg 18845  df-sbg 18846  df-subg 19031  df-cmn 19688  df-abl 19689  df-mgp 20026  df-rng 20038  df-ur 20067  df-ring 20120  df-subrng 20431  df-subrg 20455  df-lmod 20744  df-lss 20814  df-sra 21056  df-rgmod 21057  df-lidl 21094

This theorem is referenced by: (None)