Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  idlinsubrg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem idlinsubrg 33195
Description: The intersection between an ideal and a subring is an ideal of the subring. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Jul-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
idlinsubrg.s 𝑆 = (𝑅 β†Ύs 𝐴)
idlinsubrg.u π‘ˆ = (LIdealβ€˜π‘…)
idlinsubrg.v 𝑉 = (LIdealβ€˜π‘†)
Assertion
Ref Expression
idlinsubrg ((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) β†’ (𝐼 ∩ 𝐴) ∈ 𝑉)

Proof of Theorem idlinsubrg
Dummy variables π‘Ž 𝑏 π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 inss2 4224 . . . 4 (𝐼 ∩ 𝐴) βŠ† 𝐴
2 idlinsubrg.s . . . . 5 𝑆 = (𝑅 β†Ύs 𝐴)
32subrgbas 20522 . . . 4 (𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ 𝐴 = (Baseβ€˜π‘†))
41, 3sseqtrid 4025 . . 3 (𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ (𝐼 ∩ 𝐴) βŠ† (Baseβ€˜π‘†))
54adantr 479 . 2 ((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) β†’ (𝐼 ∩ 𝐴) βŠ† (Baseβ€˜π‘†))
6 subrgrcl 20517 . . . . 5 (𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
7 idlinsubrg.u . . . . . 6 π‘ˆ = (LIdealβ€˜π‘…)
8 eqid 2725 . . . . . 6 (0gβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…)
97, 8lidl0cl 21118 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) β†’ (0gβ€˜π‘…) ∈ 𝐼)
106, 9sylan 578 . . . 4 ((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) β†’ (0gβ€˜π‘…) ∈ 𝐼)
11 subrgsubg 20518 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ 𝐴 ∈ (SubGrpβ€˜π‘…))
12 subgsubm 19105 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (SubGrpβ€˜π‘…) β†’ 𝐴 ∈ (SubMndβ€˜π‘…))
138subm0cl 18765 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (SubMndβ€˜π‘…) β†’ (0gβ€˜π‘…) ∈ 𝐴)
1411, 12, 133syl 18 . . . . 5 (𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ (0gβ€˜π‘…) ∈ 𝐴)
1514adantr 479 . . . 4 ((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) β†’ (0gβ€˜π‘…) ∈ 𝐴)
1610, 15elind 4188 . . 3 ((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) β†’ (0gβ€˜π‘…) ∈ (𝐼 ∩ 𝐴))
1716ne0d 4331 . 2 ((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) β†’ (𝐼 ∩ 𝐴) β‰  βˆ…)
18 eqid 2725 . . . . . . . . 9 (+gβ€˜π‘…) = (+gβ€˜π‘…)
192, 18ressplusg 17268 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ (+gβ€˜π‘…) = (+gβ€˜π‘†))
20 eqid 2725 . . . . . . . . . 10 (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…)
212, 20ressmulr 17285 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘†))
2221oveqd 7432 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘…)π‘Ž) = (π‘₯(.rβ€˜π‘†)π‘Ž))
23 eqidd 2726 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ 𝑏 = 𝑏)
2419, 22, 23oveq123d 7436 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ ((π‘₯(.rβ€˜π‘…)π‘Ž)(+gβ€˜π‘…)𝑏) = ((π‘₯(.rβ€˜π‘†)π‘Ž)(+gβ€˜π‘†)𝑏))
2524ad4antr 730 . . . . . 6 (((((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†)) ∧ π‘Ž ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) β†’ ((π‘₯(.rβ€˜π‘…)π‘Ž)(+gβ€˜π‘…)𝑏) = ((π‘₯(.rβ€˜π‘†)π‘Ž)(+gβ€˜π‘†)𝑏))
266ad4antr 730 . . . . . . . 8 (((((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†)) ∧ π‘Ž ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
27 simp-4r 782 . . . . . . . 8 (((((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†)) ∧ π‘Ž ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) β†’ 𝐼 ∈ π‘ˆ)
28 eqid 2725 . . . . . . . . . . . . . 14 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
2928subrgss 20513 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ 𝐴 βŠ† (Baseβ€˜π‘…))
303, 29eqsstrrd 4012 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ (Baseβ€˜π‘†) βŠ† (Baseβ€˜π‘…))
3130adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) β†’ (Baseβ€˜π‘†) βŠ† (Baseβ€˜π‘…))
3231sselda 3972 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†)) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…))
3332ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 (((((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†)) ∧ π‘Ž ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…))
34 inss1 4223 . . . . . . . . . . . 12 (𝐼 ∩ 𝐴) βŠ† 𝐼
3534a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†)) β†’ (𝐼 ∩ 𝐴) βŠ† 𝐼)
3635sselda 3972 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†)) ∧ π‘Ž ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) β†’ π‘Ž ∈ 𝐼)
3736adantr 479 . . . . . . . . 9 (((((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†)) ∧ π‘Ž ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) β†’ π‘Ž ∈ 𝐼)
387, 28, 20lidlmcl 21123 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ π‘Ž ∈ 𝐼)) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘…)π‘Ž) ∈ 𝐼)
3926, 27, 33, 37, 38syl22anc 837 . . . . . . . 8 (((((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†)) ∧ π‘Ž ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘…)π‘Ž) ∈ 𝐼)
4034a1i 11 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†)) ∧ π‘Ž ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) β†’ (𝐼 ∩ 𝐴) βŠ† 𝐼)
4140sselda 3972 . . . . . . . 8 (((((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†)) ∧ π‘Ž ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) β†’ 𝑏 ∈ 𝐼)
427, 18lidlacl 21119 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) ∧ ((π‘₯(.rβ€˜π‘…)π‘Ž) ∈ 𝐼 ∧ 𝑏 ∈ 𝐼)) β†’ ((π‘₯(.rβ€˜π‘…)π‘Ž)(+gβ€˜π‘…)𝑏) ∈ 𝐼)
4326, 27, 39, 41, 42syl22anc 837 . . . . . . 7 (((((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†)) ∧ π‘Ž ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) β†’ ((π‘₯(.rβ€˜π‘…)π‘Ž)(+gβ€˜π‘…)𝑏) ∈ 𝐼)
44 simp-4l 781 . . . . . . . 8 (((((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†)) ∧ π‘Ž ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) β†’ 𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…))
45 simpr 483 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†)) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†))
463ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†)) β†’ 𝐴 = (Baseβ€˜π‘†))
4745, 46eleqtrrd 2828 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐴)
4847ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 (((((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†)) ∧ π‘Ž ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐴)
491a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†)) β†’ (𝐼 ∩ 𝐴) βŠ† 𝐴)
5049sselda 3972 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†)) ∧ π‘Ž ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) β†’ π‘Ž ∈ 𝐴)
5150adantr 479 . . . . . . . . 9 (((((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†)) ∧ π‘Ž ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) β†’ π‘Ž ∈ 𝐴)
5220subrgmcl 20525 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘Ž ∈ 𝐴) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘…)π‘Ž) ∈ 𝐴)
5344, 48, 51, 52syl3anc 1368 . . . . . . . 8 (((((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†)) ∧ π‘Ž ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘…)π‘Ž) ∈ 𝐴)
541a1i 11 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†)) ∧ π‘Ž ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) β†’ (𝐼 ∩ 𝐴) βŠ† 𝐴)
5554sselda 3972 . . . . . . . 8 (((((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†)) ∧ π‘Ž ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) β†’ 𝑏 ∈ 𝐴)
5618subrgacl 20524 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ (π‘₯(.rβ€˜π‘…)π‘Ž) ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) β†’ ((π‘₯(.rβ€˜π‘…)π‘Ž)(+gβ€˜π‘…)𝑏) ∈ 𝐴)
5744, 53, 55, 56syl3anc 1368 . . . . . . 7 (((((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†)) ∧ π‘Ž ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) β†’ ((π‘₯(.rβ€˜π‘…)π‘Ž)(+gβ€˜π‘…)𝑏) ∈ 𝐴)
5843, 57elind 4188 . . . . . 6 (((((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†)) ∧ π‘Ž ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) β†’ ((π‘₯(.rβ€˜π‘…)π‘Ž)(+gβ€˜π‘…)𝑏) ∈ (𝐼 ∩ 𝐴))
5925, 58eqeltrrd 2826 . . . . 5 (((((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†)) ∧ π‘Ž ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) β†’ ((π‘₯(.rβ€˜π‘†)π‘Ž)(+gβ€˜π‘†)𝑏) ∈ (𝐼 ∩ 𝐴))
6059anasss 465 . . . 4 ((((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†)) ∧ (π‘Ž ∈ (𝐼 ∩ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴))) β†’ ((π‘₯(.rβ€˜π‘†)π‘Ž)(+gβ€˜π‘†)𝑏) ∈ (𝐼 ∩ 𝐴))
6160ralrimivva 3191 . . 3 (((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†)) β†’ βˆ€π‘Ž ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)βˆ€π‘ ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)((π‘₯(.rβ€˜π‘†)π‘Ž)(+gβ€˜π‘†)𝑏) ∈ (𝐼 ∩ 𝐴))
6261ralrimiva 3136 . 2 ((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†)βˆ€π‘Ž ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)βˆ€π‘ ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)((π‘₯(.rβ€˜π‘†)π‘Ž)(+gβ€˜π‘†)𝑏) ∈ (𝐼 ∩ 𝐴))
63 idlinsubrg.v . . 3 𝑉 = (LIdealβ€˜π‘†)
64 eqid 2725 . . 3 (Baseβ€˜π‘†) = (Baseβ€˜π‘†)
65 eqid 2725 . . 3 (+gβ€˜π‘†) = (+gβ€˜π‘†)
66 eqid 2725 . . 3 (.rβ€˜π‘†) = (.rβ€˜π‘†)
6763, 64, 65, 66islidl 21113 . 2 ((𝐼 ∩ 𝐴) ∈ 𝑉 ↔ ((𝐼 ∩ 𝐴) βŠ† (Baseβ€˜π‘†) ∧ (𝐼 ∩ 𝐴) β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†)βˆ€π‘Ž ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)βˆ€π‘ ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)((π‘₯(.rβ€˜π‘†)π‘Ž)(+gβ€˜π‘†)𝑏) ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)))
685, 17, 62, 67syl3anbrc 1340 1 ((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) β†’ (𝐼 ∩ 𝐴) ∈ 𝑉)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2930  βˆ€wral 3051   ∩ cin 3939   βŠ† wss 3940  βˆ…c0 4318  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7415  Basecbs 17177   β†Ύs cress 17206  +gcplusg 17230  .rcmulr 17231  0gc0g 17418  SubMndcsubmnd 18736  SubGrpcsubg 19077  Ringcrg 20175  SubRingcsubrg 20508  LIdealclidl 21104
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7868  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-er 8721  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-sets 17130  df-slot 17148  df-ndx 17160  df-base 17178  df-ress 17207  df-plusg 17243  df-mulr 17244  df-sca 17246  df-vsca 17247  df-ip 17248  df-0g 17420  df-mgm 18597  df-sgrp 18676  df-mnd 18692  df-submnd 18738  df-grp 18895  df-minusg 18896  df-sbg 18897  df-subg 19080  df-cmn 19739  df-abl 19740  df-mgp 20077  df-rng 20095  df-ur 20124  df-ring 20177  df-subrng 20485  df-subrg 20510  df-lmod 20747  df-lss 20818  df-sra 21060  df-rgmod 21061  df-lidl 21106
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator