Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  idlinsubrg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem idlinsubrg 33055
Description: The intersection between an ideal and a subring is an ideal of the subring. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Jul-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
idlinsubrg.s 𝑆 = (𝑅 β†Ύs 𝐴)
idlinsubrg.u π‘ˆ = (LIdealβ€˜π‘…)
idlinsubrg.v 𝑉 = (LIdealβ€˜π‘†)
Assertion
Ref Expression
idlinsubrg ((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) β†’ (𝐼 ∩ 𝐴) ∈ 𝑉)

Proof of Theorem idlinsubrg
Dummy variables π‘Ž 𝑏 π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 inss2 4224 . . . 4 (𝐼 ∩ 𝐴) βŠ† 𝐴
2 idlinsubrg.s . . . . 5 𝑆 = (𝑅 β†Ύs 𝐴)
32subrgbas 20483 . . . 4 (𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ 𝐴 = (Baseβ€˜π‘†))
41, 3sseqtrid 4029 . . 3 (𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ (𝐼 ∩ 𝐴) βŠ† (Baseβ€˜π‘†))
54adantr 480 . 2 ((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) β†’ (𝐼 ∩ 𝐴) βŠ† (Baseβ€˜π‘†))
6 subrgrcl 20478 . . . . 5 (𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
7 idlinsubrg.u . . . . . 6 π‘ˆ = (LIdealβ€˜π‘…)
8 eqid 2726 . . . . . 6 (0gβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…)
97, 8lidl0cl 21079 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) β†’ (0gβ€˜π‘…) ∈ 𝐼)
106, 9sylan 579 . . . 4 ((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) β†’ (0gβ€˜π‘…) ∈ 𝐼)
11 subrgsubg 20479 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ 𝐴 ∈ (SubGrpβ€˜π‘…))
12 subgsubm 19075 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (SubGrpβ€˜π‘…) β†’ 𝐴 ∈ (SubMndβ€˜π‘…))
138subm0cl 18736 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (SubMndβ€˜π‘…) β†’ (0gβ€˜π‘…) ∈ 𝐴)
1411, 12, 133syl 18 . . . . 5 (𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ (0gβ€˜π‘…) ∈ 𝐴)
1514adantr 480 . . . 4 ((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) β†’ (0gβ€˜π‘…) ∈ 𝐴)
1610, 15elind 4189 . . 3 ((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) β†’ (0gβ€˜π‘…) ∈ (𝐼 ∩ 𝐴))
1716ne0d 4330 . 2 ((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) β†’ (𝐼 ∩ 𝐴) β‰  βˆ…)
18 eqid 2726 . . . . . . . . 9 (+gβ€˜π‘…) = (+gβ€˜π‘…)
192, 18ressplusg 17244 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ (+gβ€˜π‘…) = (+gβ€˜π‘†))
20 eqid 2726 . . . . . . . . . 10 (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…)
212, 20ressmulr 17261 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘†))
2221oveqd 7422 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘…)π‘Ž) = (π‘₯(.rβ€˜π‘†)π‘Ž))
23 eqidd 2727 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ 𝑏 = 𝑏)
2419, 22, 23oveq123d 7426 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ ((π‘₯(.rβ€˜π‘…)π‘Ž)(+gβ€˜π‘…)𝑏) = ((π‘₯(.rβ€˜π‘†)π‘Ž)(+gβ€˜π‘†)𝑏))
2524ad4antr 729 . . . . . 6 (((((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†)) ∧ π‘Ž ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) β†’ ((π‘₯(.rβ€˜π‘…)π‘Ž)(+gβ€˜π‘…)𝑏) = ((π‘₯(.rβ€˜π‘†)π‘Ž)(+gβ€˜π‘†)𝑏))
266ad4antr 729 . . . . . . . 8 (((((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†)) ∧ π‘Ž ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
27 simp-4r 781 . . . . . . . 8 (((((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†)) ∧ π‘Ž ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) β†’ 𝐼 ∈ π‘ˆ)
28 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . . 14 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
2928subrgss 20474 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ 𝐴 βŠ† (Baseβ€˜π‘…))
303, 29eqsstrrd 4016 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ (Baseβ€˜π‘†) βŠ† (Baseβ€˜π‘…))
3130adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) β†’ (Baseβ€˜π‘†) βŠ† (Baseβ€˜π‘…))
3231sselda 3977 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†)) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…))
3332ad2antrr 723 . . . . . . . . 9 (((((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†)) ∧ π‘Ž ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…))
34 inss1 4223 . . . . . . . . . . . 12 (𝐼 ∩ 𝐴) βŠ† 𝐼
3534a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†)) β†’ (𝐼 ∩ 𝐴) βŠ† 𝐼)
3635sselda 3977 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†)) ∧ π‘Ž ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) β†’ π‘Ž ∈ 𝐼)
3736adantr 480 . . . . . . . . 9 (((((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†)) ∧ π‘Ž ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) β†’ π‘Ž ∈ 𝐼)
387, 28, 20lidlmcl 21084 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ π‘Ž ∈ 𝐼)) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘…)π‘Ž) ∈ 𝐼)
3926, 27, 33, 37, 38syl22anc 836 . . . . . . . 8 (((((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†)) ∧ π‘Ž ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘…)π‘Ž) ∈ 𝐼)
4034a1i 11 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†)) ∧ π‘Ž ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) β†’ (𝐼 ∩ 𝐴) βŠ† 𝐼)
4140sselda 3977 . . . . . . . 8 (((((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†)) ∧ π‘Ž ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) β†’ 𝑏 ∈ 𝐼)
427, 18lidlacl 21080 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) ∧ ((π‘₯(.rβ€˜π‘…)π‘Ž) ∈ 𝐼 ∧ 𝑏 ∈ 𝐼)) β†’ ((π‘₯(.rβ€˜π‘…)π‘Ž)(+gβ€˜π‘…)𝑏) ∈ 𝐼)
4326, 27, 39, 41, 42syl22anc 836 . . . . . . 7 (((((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†)) ∧ π‘Ž ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) β†’ ((π‘₯(.rβ€˜π‘…)π‘Ž)(+gβ€˜π‘…)𝑏) ∈ 𝐼)
44 simp-4l 780 . . . . . . . 8 (((((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†)) ∧ π‘Ž ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) β†’ 𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…))
45 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†)) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†))
463ad2antrr 723 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†)) β†’ 𝐴 = (Baseβ€˜π‘†))
4745, 46eleqtrrd 2830 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐴)
4847ad2antrr 723 . . . . . . . . 9 (((((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†)) ∧ π‘Ž ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐴)
491a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†)) β†’ (𝐼 ∩ 𝐴) βŠ† 𝐴)
5049sselda 3977 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†)) ∧ π‘Ž ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) β†’ π‘Ž ∈ 𝐴)
5150adantr 480 . . . . . . . . 9 (((((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†)) ∧ π‘Ž ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) β†’ π‘Ž ∈ 𝐴)
5220subrgmcl 20486 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘Ž ∈ 𝐴) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘…)π‘Ž) ∈ 𝐴)
5344, 48, 51, 52syl3anc 1368 . . . . . . . 8 (((((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†)) ∧ π‘Ž ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘…)π‘Ž) ∈ 𝐴)
541a1i 11 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†)) ∧ π‘Ž ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) β†’ (𝐼 ∩ 𝐴) βŠ† 𝐴)
5554sselda 3977 . . . . . . . 8 (((((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†)) ∧ π‘Ž ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) β†’ 𝑏 ∈ 𝐴)
5618subrgacl 20485 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ (π‘₯(.rβ€˜π‘…)π‘Ž) ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) β†’ ((π‘₯(.rβ€˜π‘…)π‘Ž)(+gβ€˜π‘…)𝑏) ∈ 𝐴)
5744, 53, 55, 56syl3anc 1368 . . . . . . 7 (((((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†)) ∧ π‘Ž ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) β†’ ((π‘₯(.rβ€˜π‘…)π‘Ž)(+gβ€˜π‘…)𝑏) ∈ 𝐴)
5843, 57elind 4189 . . . . . 6 (((((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†)) ∧ π‘Ž ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) β†’ ((π‘₯(.rβ€˜π‘…)π‘Ž)(+gβ€˜π‘…)𝑏) ∈ (𝐼 ∩ 𝐴))
5925, 58eqeltrrd 2828 . . . . 5 (((((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†)) ∧ π‘Ž ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) β†’ ((π‘₯(.rβ€˜π‘†)π‘Ž)(+gβ€˜π‘†)𝑏) ∈ (𝐼 ∩ 𝐴))
6059anasss 466 . . . 4 ((((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†)) ∧ (π‘Ž ∈ (𝐼 ∩ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴))) β†’ ((π‘₯(.rβ€˜π‘†)π‘Ž)(+gβ€˜π‘†)𝑏) ∈ (𝐼 ∩ 𝐴))
6160ralrimivva 3194 . . 3 (((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†)) β†’ βˆ€π‘Ž ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)βˆ€π‘ ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)((π‘₯(.rβ€˜π‘†)π‘Ž)(+gβ€˜π‘†)𝑏) ∈ (𝐼 ∩ 𝐴))
6261ralrimiva 3140 . 2 ((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†)βˆ€π‘Ž ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)βˆ€π‘ ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)((π‘₯(.rβ€˜π‘†)π‘Ž)(+gβ€˜π‘†)𝑏) ∈ (𝐼 ∩ 𝐴))
63 idlinsubrg.v . . 3 𝑉 = (LIdealβ€˜π‘†)
64 eqid 2726 . . 3 (Baseβ€˜π‘†) = (Baseβ€˜π‘†)
65 eqid 2726 . . 3 (+gβ€˜π‘†) = (+gβ€˜π‘†)
66 eqid 2726 . . 3 (.rβ€˜π‘†) = (.rβ€˜π‘†)
6763, 64, 65, 66islidl 21074 . 2 ((𝐼 ∩ 𝐴) ∈ 𝑉 ↔ ((𝐼 ∩ 𝐴) βŠ† (Baseβ€˜π‘†) ∧ (𝐼 ∩ 𝐴) β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†)βˆ€π‘Ž ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)βˆ€π‘ ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)((π‘₯(.rβ€˜π‘†)π‘Ž)(+gβ€˜π‘†)𝑏) ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)))
685, 17, 62, 67syl3anbrc 1340 1 ((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) β†’ (𝐼 ∩ 𝐴) ∈ 𝑉)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934  βˆ€wral 3055   ∩ cin 3942   βŠ† wss 3943  βˆ…c0 4317  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  Basecbs 17153   β†Ύs cress 17182  +gcplusg 17206  .rcmulr 17207  0gc0g 17394  SubMndcsubmnd 18712  SubGrpcsubg 19047  Ringcrg 20138  SubRingcsubrg 20469  LIdealclidl 21065
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-ip 17224  df-0g 17396  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-submnd 18714  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-subg 19050  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20040  df-rng 20058  df-ur 20087  df-ring 20140  df-subrng 20446  df-subrg 20471  df-lmod 20708  df-lss 20779  df-sra 21021  df-rgmod 21022  df-lidl 21067
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator