Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  idlinsubrg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem idlinsubrg 32253
Description: The intersection between an ideal and a subring is an ideal of the subring. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Jul-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
idlinsubrg.s 𝑆 = (𝑅 β†Ύs 𝐴)
idlinsubrg.u π‘ˆ = (LIdealβ€˜π‘…)
idlinsubrg.v 𝑉 = (LIdealβ€˜π‘†)
Assertion
Ref Expression
idlinsubrg ((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) β†’ (𝐼 ∩ 𝐴) ∈ 𝑉)

Proof of Theorem idlinsubrg
Dummy variables π‘Ž 𝑏 π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 inss2 4190 . . . 4 (𝐼 ∩ 𝐴) βŠ† 𝐴
2 idlinsubrg.s . . . . 5 𝑆 = (𝑅 β†Ύs 𝐴)
32subrgbas 20245 . . . 4 (𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ 𝐴 = (Baseβ€˜π‘†))
41, 3sseqtrid 3997 . . 3 (𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ (𝐼 ∩ 𝐴) βŠ† (Baseβ€˜π‘†))
54adantr 482 . 2 ((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) β†’ (𝐼 ∩ 𝐴) βŠ† (Baseβ€˜π‘†))
6 subrgrcl 20241 . . . . 5 (𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
7 idlinsubrg.u . . . . . 6 π‘ˆ = (LIdealβ€˜π‘…)
8 eqid 2733 . . . . . 6 (0gβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…)
97, 8lidl0cl 20698 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) β†’ (0gβ€˜π‘…) ∈ 𝐼)
106, 9sylan 581 . . . 4 ((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) β†’ (0gβ€˜π‘…) ∈ 𝐼)
11 subrgsubg 20242 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ 𝐴 ∈ (SubGrpβ€˜π‘…))
12 subgsubm 18955 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (SubGrpβ€˜π‘…) β†’ 𝐴 ∈ (SubMndβ€˜π‘…))
138subm0cl 18627 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (SubMndβ€˜π‘…) β†’ (0gβ€˜π‘…) ∈ 𝐴)
1411, 12, 133syl 18 . . . . 5 (𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ (0gβ€˜π‘…) ∈ 𝐴)
1514adantr 482 . . . 4 ((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) β†’ (0gβ€˜π‘…) ∈ 𝐴)
1610, 15elind 4155 . . 3 ((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) β†’ (0gβ€˜π‘…) ∈ (𝐼 ∩ 𝐴))
1716ne0d 4296 . 2 ((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) β†’ (𝐼 ∩ 𝐴) β‰  βˆ…)
18 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (+gβ€˜π‘…) = (+gβ€˜π‘…)
192, 18ressplusg 17176 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ (+gβ€˜π‘…) = (+gβ€˜π‘†))
20 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…)
212, 20ressmulr 17193 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘†))
2221oveqd 7375 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘…)π‘Ž) = (π‘₯(.rβ€˜π‘†)π‘Ž))
23 eqidd 2734 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ 𝑏 = 𝑏)
2419, 22, 23oveq123d 7379 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ ((π‘₯(.rβ€˜π‘…)π‘Ž)(+gβ€˜π‘…)𝑏) = ((π‘₯(.rβ€˜π‘†)π‘Ž)(+gβ€˜π‘†)𝑏))
2524ad4antr 731 . . . . . 6 (((((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†)) ∧ π‘Ž ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) β†’ ((π‘₯(.rβ€˜π‘…)π‘Ž)(+gβ€˜π‘…)𝑏) = ((π‘₯(.rβ€˜π‘†)π‘Ž)(+gβ€˜π‘†)𝑏))
266ad4antr 731 . . . . . . . 8 (((((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†)) ∧ π‘Ž ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
27 simp-4r 783 . . . . . . . 8 (((((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†)) ∧ π‘Ž ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) β†’ 𝐼 ∈ π‘ˆ)
28 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . 14 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
2928subrgss 20237 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ 𝐴 βŠ† (Baseβ€˜π‘…))
303, 29eqsstrrd 3984 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ (Baseβ€˜π‘†) βŠ† (Baseβ€˜π‘…))
3130adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) β†’ (Baseβ€˜π‘†) βŠ† (Baseβ€˜π‘…))
3231sselda 3945 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†)) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…))
3332ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 (((((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†)) ∧ π‘Ž ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…))
34 inss1 4189 . . . . . . . . . . . 12 (𝐼 ∩ 𝐴) βŠ† 𝐼
3534a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†)) β†’ (𝐼 ∩ 𝐴) βŠ† 𝐼)
3635sselda 3945 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†)) ∧ π‘Ž ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) β†’ π‘Ž ∈ 𝐼)
3736adantr 482 . . . . . . . . 9 (((((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†)) ∧ π‘Ž ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) β†’ π‘Ž ∈ 𝐼)
387, 28, 20lidlmcl 20703 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ π‘Ž ∈ 𝐼)) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘…)π‘Ž) ∈ 𝐼)
3926, 27, 33, 37, 38syl22anc 838 . . . . . . . 8 (((((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†)) ∧ π‘Ž ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘…)π‘Ž) ∈ 𝐼)
4034a1i 11 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†)) ∧ π‘Ž ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) β†’ (𝐼 ∩ 𝐴) βŠ† 𝐼)
4140sselda 3945 . . . . . . . 8 (((((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†)) ∧ π‘Ž ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) β†’ 𝑏 ∈ 𝐼)
427, 18lidlacl 20699 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) ∧ ((π‘₯(.rβ€˜π‘…)π‘Ž) ∈ 𝐼 ∧ 𝑏 ∈ 𝐼)) β†’ ((π‘₯(.rβ€˜π‘…)π‘Ž)(+gβ€˜π‘…)𝑏) ∈ 𝐼)
4326, 27, 39, 41, 42syl22anc 838 . . . . . . 7 (((((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†)) ∧ π‘Ž ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) β†’ ((π‘₯(.rβ€˜π‘…)π‘Ž)(+gβ€˜π‘…)𝑏) ∈ 𝐼)
44 simp-4l 782 . . . . . . . 8 (((((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†)) ∧ π‘Ž ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) β†’ 𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…))
45 simpr 486 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†)) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†))
463ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†)) β†’ 𝐴 = (Baseβ€˜π‘†))
4745, 46eleqtrrd 2837 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐴)
4847ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 (((((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†)) ∧ π‘Ž ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐴)
491a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†)) β†’ (𝐼 ∩ 𝐴) βŠ† 𝐴)
5049sselda 3945 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†)) ∧ π‘Ž ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) β†’ π‘Ž ∈ 𝐴)
5150adantr 482 . . . . . . . . 9 (((((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†)) ∧ π‘Ž ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) β†’ π‘Ž ∈ 𝐴)
5220subrgmcl 20248 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘Ž ∈ 𝐴) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘…)π‘Ž) ∈ 𝐴)
5344, 48, 51, 52syl3anc 1372 . . . . . . . 8 (((((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†)) ∧ π‘Ž ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘…)π‘Ž) ∈ 𝐴)
541a1i 11 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†)) ∧ π‘Ž ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) β†’ (𝐼 ∩ 𝐴) βŠ† 𝐴)
5554sselda 3945 . . . . . . . 8 (((((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†)) ∧ π‘Ž ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) β†’ 𝑏 ∈ 𝐴)
5618subrgacl 20247 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ (π‘₯(.rβ€˜π‘…)π‘Ž) ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) β†’ ((π‘₯(.rβ€˜π‘…)π‘Ž)(+gβ€˜π‘…)𝑏) ∈ 𝐴)
5744, 53, 55, 56syl3anc 1372 . . . . . . 7 (((((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†)) ∧ π‘Ž ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) β†’ ((π‘₯(.rβ€˜π‘…)π‘Ž)(+gβ€˜π‘…)𝑏) ∈ 𝐴)
5843, 57elind 4155 . . . . . 6 (((((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†)) ∧ π‘Ž ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) β†’ ((π‘₯(.rβ€˜π‘…)π‘Ž)(+gβ€˜π‘…)𝑏) ∈ (𝐼 ∩ 𝐴))
5925, 58eqeltrrd 2835 . . . . 5 (((((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†)) ∧ π‘Ž ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)) β†’ ((π‘₯(.rβ€˜π‘†)π‘Ž)(+gβ€˜π‘†)𝑏) ∈ (𝐼 ∩ 𝐴))
6059anasss 468 . . . 4 ((((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†)) ∧ (π‘Ž ∈ (𝐼 ∩ 𝐴) ∧ 𝑏 ∈ (𝐼 ∩ 𝐴))) β†’ ((π‘₯(.rβ€˜π‘†)π‘Ž)(+gβ€˜π‘†)𝑏) ∈ (𝐼 ∩ 𝐴))
6160ralrimivva 3194 . . 3 (((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†)) β†’ βˆ€π‘Ž ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)βˆ€π‘ ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)((π‘₯(.rβ€˜π‘†)π‘Ž)(+gβ€˜π‘†)𝑏) ∈ (𝐼 ∩ 𝐴))
6261ralrimiva 3140 . 2 ((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†)βˆ€π‘Ž ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)βˆ€π‘ ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)((π‘₯(.rβ€˜π‘†)π‘Ž)(+gβ€˜π‘†)𝑏) ∈ (𝐼 ∩ 𝐴))
63 idlinsubrg.v . . 3 𝑉 = (LIdealβ€˜π‘†)
64 eqid 2733 . . 3 (Baseβ€˜π‘†) = (Baseβ€˜π‘†)
65 eqid 2733 . . 3 (+gβ€˜π‘†) = (+gβ€˜π‘†)
66 eqid 2733 . . 3 (.rβ€˜π‘†) = (.rβ€˜π‘†)
6763, 64, 65, 66islidl 20697 . 2 ((𝐼 ∩ 𝐴) ∈ 𝑉 ↔ ((𝐼 ∩ 𝐴) βŠ† (Baseβ€˜π‘†) ∧ (𝐼 ∩ 𝐴) β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†)βˆ€π‘Ž ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)βˆ€π‘ ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)((π‘₯(.rβ€˜π‘†)π‘Ž)(+gβ€˜π‘†)𝑏) ∈ (𝐼 ∩ 𝐴)))
685, 17, 62, 67syl3anbrc 1344 1 ((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝐼 ∈ π‘ˆ) β†’ (𝐼 ∩ 𝐴) ∈ 𝑉)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061   ∩ cin 3910   βŠ† wss 3911  βˆ…c0 4283  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  Basecbs 17088   β†Ύs cress 17117  +gcplusg 17138  .rcmulr 17139  0gc0g 17326  SubMndcsubmnd 18605  SubGrpcsubg 18927  Ringcrg 19969  SubRingcsubrg 20232  LIdealclidl 20647
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-5 12224  df-6 12225  df-7 12226  df-8 12227  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-ress 17118  df-plusg 17151  df-mulr 17152  df-sca 17154  df-vsca 17155  df-ip 17156  df-0g 17328  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-submnd 18607  df-grp 18756  df-minusg 18757  df-sbg 18758  df-subg 18930  df-mgp 19902  df-ur 19919  df-ring 19971  df-subrg 20234  df-lmod 20338  df-lss 20408  df-sra 20649  df-rgmod 20650  df-lidl 20651
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator