MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subrgint Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem subrgint 20378
Description: The intersection of a nonempty collection of subrings is a subring. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Dec-2014.)
Assertion
Ref Expression
subrgint ((𝑆 βŠ† (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) β†’ ∩ 𝑆 ∈ (SubRingβ€˜π‘…))
Proof of Theorem subrgint
Dummy variables π‘₯ π‘Ÿ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 subrgsubg 20361 . . . . 5 (π‘Ÿ ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ π‘Ÿ ∈ (SubGrpβ€˜π‘…))
21ssriv 3985 . . . 4 (SubRingβ€˜π‘…) βŠ† (SubGrpβ€˜π‘…)
3 sstr 3989 . . . 4 ((𝑆 βŠ† (SubRingβ€˜π‘…) ∧ (SubRingβ€˜π‘…) βŠ† (SubGrpβ€˜π‘…)) β†’ 𝑆 βŠ† (SubGrpβ€˜π‘…))
42, 3mpan2 689 . . 3 (𝑆 βŠ† (SubRingβ€˜π‘…) β†’ 𝑆 βŠ† (SubGrpβ€˜π‘…))
5 subgint 19024 . . 3 ((𝑆 βŠ† (SubGrpβ€˜π‘…) ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) β†’ ∩ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜π‘…))
64, 5sylan 580 . 2 ((𝑆 βŠ† (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) β†’ ∩ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜π‘…))
7 ssel2 3976 . . . . . 6 ((𝑆 βŠ† (SubRingβ€˜π‘…) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑆) β†’ π‘Ÿ ∈ (SubRingβ€˜π‘…))
87adantlr 713 . . . . 5 (((𝑆 βŠ† (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑆) β†’ π‘Ÿ ∈ (SubRingβ€˜π‘…))
9 eqid 2732 . . . . . 6 (1rβ€˜π‘…) = (1rβ€˜π‘…)
109subrg1cl 20363 . . . . 5 (π‘Ÿ ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ (1rβ€˜π‘…) ∈ π‘Ÿ)
118, 10syl 17 . . . 4 (((𝑆 βŠ† (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑆) β†’ (1rβ€˜π‘…) ∈ π‘Ÿ)
1211ralrimiva 3146 . . 3 ((𝑆 βŠ† (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) β†’ βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝑆 (1rβ€˜π‘…) ∈ π‘Ÿ)
13 fvex 6901 . . . 4 (1rβ€˜π‘…) ∈ V
1413elint2 4956 . . 3 ((1rβ€˜π‘…) ∈ ∩ 𝑆 ↔ βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝑆 (1rβ€˜π‘…) ∈ π‘Ÿ)
1512, 14sylibr 233 . 2 ((𝑆 βŠ† (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) β†’ (1rβ€˜π‘…) ∈ ∩ 𝑆)
168adantlr 713 . . . . . 6 ((((𝑆 βŠ† (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) ∧ (π‘₯ ∈ ∩ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝑆)) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑆) β†’ π‘Ÿ ∈ (SubRingβ€˜π‘…))
17 simprl 769 . . . . . . 7 (((𝑆 βŠ† (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) ∧ (π‘₯ ∈ ∩ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝑆)) β†’ π‘₯ ∈ ∩ 𝑆)
18 elinti 4958 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ ∩ 𝑆 β†’ (π‘Ÿ ∈ 𝑆 β†’ π‘₯ ∈ π‘Ÿ))
1918imp 407 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ ∩ 𝑆 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑆) β†’ π‘₯ ∈ π‘Ÿ)
2017, 19sylan 580 . . . . . 6 ((((𝑆 βŠ† (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) ∧ (π‘₯ ∈ ∩ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝑆)) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑆) β†’ π‘₯ ∈ π‘Ÿ)
21 simprr 771 . . . . . . 7 (((𝑆 βŠ† (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) ∧ (π‘₯ ∈ ∩ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝑆)) β†’ 𝑦 ∈ ∩ 𝑆)
22 elinti 4958 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ∩ 𝑆 β†’ (π‘Ÿ ∈ 𝑆 β†’ 𝑦 ∈ π‘Ÿ))
2322imp 407 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ ∩ 𝑆 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑆) β†’ 𝑦 ∈ π‘Ÿ)
2421, 23sylan 580 . . . . . 6 ((((𝑆 βŠ† (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) ∧ (π‘₯ ∈ ∩ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝑆)) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑆) β†’ 𝑦 ∈ π‘Ÿ)
25 eqid 2732 . . . . . . 7 (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…)
2625subrgmcl 20367 . . . . . 6 ((π‘Ÿ ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ π‘₯ ∈ π‘Ÿ ∧ 𝑦 ∈ π‘Ÿ) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ π‘Ÿ)
2716, 20, 24, 26syl3anc 1371 . . . . 5 ((((𝑆 βŠ† (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) ∧ (π‘₯ ∈ ∩ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝑆)) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑆) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ π‘Ÿ)
2827ralrimiva 3146 . . . 4 (((𝑆 βŠ† (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) ∧ (π‘₯ ∈ ∩ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝑆)) β†’ βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝑆 (π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ π‘Ÿ)
29 ovex 7438 . . . . 5 (π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ V
3029elint2 4956 . . . 4 ((π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ ∩ 𝑆 ↔ βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝑆 (π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ π‘Ÿ)
3128, 30sylibr 233 . . 3 (((𝑆 βŠ† (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) ∧ (π‘₯ ∈ ∩ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝑆)) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ ∩ 𝑆)
3231ralrimivva 3200 . 2 ((𝑆 βŠ† (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ∩ π‘†βˆ€π‘¦ ∈ ∩ 𝑆(π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ ∩ 𝑆)
33 ssn0 4399 . . 3 ((𝑆 βŠ† (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) β†’ (SubRingβ€˜π‘…) β‰  βˆ…)
34 n0 4345 . . . 4 ((SubRingβ€˜π‘…) β‰  βˆ… ↔ βˆƒπ‘Ÿ π‘Ÿ ∈ (SubRingβ€˜π‘…))
35 subrgrcl 20360 . . . . 5 (π‘Ÿ ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
3635exlimiv 1933 . . . 4 (βˆƒπ‘Ÿ π‘Ÿ ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
3734, 36sylbi 216 . . 3 ((SubRingβ€˜π‘…) β‰  βˆ… β†’ 𝑅 ∈ Ring)
38 eqid 2732 . . . 4 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
3938, 9, 25issubrg2 20375 . . 3 (𝑅 ∈ Ring β†’ (∩ 𝑆 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ↔ (∩ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜π‘…) ∧ (1rβ€˜π‘…) ∈ ∩ 𝑆 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ∩ π‘†βˆ€π‘¦ ∈ ∩ 𝑆(π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ ∩ 𝑆)))
4033, 37, 393syl 18 . 2 ((𝑆 βŠ† (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) β†’ (∩ 𝑆 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ↔ (∩ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜π‘…) ∧ (1rβ€˜π‘…) ∈ ∩ 𝑆 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ∩ π‘†βˆ€π‘¦ ∈ ∩ 𝑆(π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ ∩ 𝑆)))
416, 15, 32, 40mpbir3and 1342 1 ((𝑆 βŠ† (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) β†’ ∩ 𝑆 ∈ (SubRingβ€˜π‘…))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087  βˆƒwex 1781   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061   βŠ† wss 3947  βˆ…c0 4321  βˆ© cint 4949  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  Basecbs 17140  .rcmulr 17194  SubGrpcsubg 18994  1rcur 19998  Ringcrg 20049  SubRingcsubrg 20351
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-0g 17383  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-subg 18997  df-mgp 19982  df-ur 19999  df-ring 20051  df-subrg 20353
This theorem is referenced by:  subrgin  20379  subrgmre  20380  subdrgint  20411  sdrgint  20412  primefld1cl  20415  aspsubrg  21421  primefldchr  32387  rgspncl  41896
  Copyright terms: Public domain W3C validator