MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subrgint Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem subrgint 19548
Description: The intersection of a nonempty collection of subrings is a subring. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Dec-2014.)
Assertion
Ref Expression
subrgint ((𝑆 ⊆ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅))

Proof of Theorem subrgint
Dummy variables 𝑥 𝑟 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 subrgsubg 19532 . . . . 5 (𝑟 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑟 ∈ (SubGrp‘𝑅))
21ssriv 3946 . . . 4 (SubRing‘𝑅) ⊆ (SubGrp‘𝑅)
3 sstr 3950 . . . 4 ((𝑆 ⊆ (SubRing‘𝑅) ∧ (SubRing‘𝑅) ⊆ (SubGrp‘𝑅)) → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑅))
42, 3mpan2 690 . . 3 (𝑆 ⊆ (SubRing‘𝑅) → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑅))
5 subgint 18294 . . 3 ((𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑅) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅))
64, 5sylan 583 . 2 ((𝑆 ⊆ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅))
7 ssel2 3937 . . . . . 6 ((𝑆 ⊆ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑟𝑆) → 𝑟 ∈ (SubRing‘𝑅))
87adantlr 714 . . . . 5 (((𝑆 ⊆ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ 𝑟𝑆) → 𝑟 ∈ (SubRing‘𝑅))
9 eqid 2822 . . . . . 6 (1r𝑅) = (1r𝑅)
109subrg1cl 19534 . . . . 5 (𝑟 ∈ (SubRing‘𝑅) → (1r𝑅) ∈ 𝑟)
118, 10syl 17 . . . 4 (((𝑆 ⊆ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ 𝑟𝑆) → (1r𝑅) ∈ 𝑟)
1211ralrimiva 3174 . . 3 ((𝑆 ⊆ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → ∀𝑟𝑆 (1r𝑅) ∈ 𝑟)
13 fvex 6665 . . . 4 (1r𝑅) ∈ V
1413elint2 4858 . . 3 ((1r𝑅) ∈ 𝑆 ↔ ∀𝑟𝑆 (1r𝑅) ∈ 𝑟)
1512, 14sylibr 237 . 2 ((𝑆 ⊆ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → (1r𝑅) ∈ 𝑆)
168adantlr 714 . . . . . 6 ((((𝑆 ⊆ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝑥 𝑆𝑦 𝑆)) ∧ 𝑟𝑆) → 𝑟 ∈ (SubRing‘𝑅))
17 simprl 770 . . . . . . 7 (((𝑆 ⊆ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝑥 𝑆𝑦 𝑆)) → 𝑥 𝑆)
18 elinti 4860 . . . . . . . 8 (𝑥 𝑆 → (𝑟𝑆𝑥𝑟))
1918imp 410 . . . . . . 7 ((𝑥 𝑆𝑟𝑆) → 𝑥𝑟)
2017, 19sylan 583 . . . . . 6 ((((𝑆 ⊆ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝑥 𝑆𝑦 𝑆)) ∧ 𝑟𝑆) → 𝑥𝑟)
21 simprr 772 . . . . . . 7 (((𝑆 ⊆ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝑥 𝑆𝑦 𝑆)) → 𝑦 𝑆)
22 elinti 4860 . . . . . . . 8 (𝑦 𝑆 → (𝑟𝑆𝑦𝑟))
2322imp 410 . . . . . . 7 ((𝑦 𝑆𝑟𝑆) → 𝑦𝑟)
2421, 23sylan 583 . . . . . 6 ((((𝑆 ⊆ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝑥 𝑆𝑦 𝑆)) ∧ 𝑟𝑆) → 𝑦𝑟)
25 eqid 2822 . . . . . . 7 (.r𝑅) = (.r𝑅)
2625subrgmcl 19538 . . . . . 6 ((𝑟 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑥𝑟𝑦𝑟) → (𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ 𝑟)
2716, 20, 24, 26syl3anc 1368 . . . . 5 ((((𝑆 ⊆ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝑥 𝑆𝑦 𝑆)) ∧ 𝑟𝑆) → (𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ 𝑟)
2827ralrimiva 3174 . . . 4 (((𝑆 ⊆ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝑥 𝑆𝑦 𝑆)) → ∀𝑟𝑆 (𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ 𝑟)
29 ovex 7173 . . . . 5 (𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ V
3029elint2 4858 . . . 4 ((𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ 𝑆 ↔ ∀𝑟𝑆 (𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ 𝑟)
3128, 30sylibr 237 . . 3 (((𝑆 ⊆ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝑥 𝑆𝑦 𝑆)) → (𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ 𝑆)
3231ralrimivva 3181 . 2 ((𝑆 ⊆ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → ∀𝑥 𝑆𝑦 𝑆(𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ 𝑆)
33 ssn0 4326 . . 3 ((𝑆 ⊆ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → (SubRing‘𝑅) ≠ ∅)
34 n0 4282 . . . 4 ((SubRing‘𝑅) ≠ ∅ ↔ ∃𝑟 𝑟 ∈ (SubRing‘𝑅))
35 subrgrcl 19531 . . . . 5 (𝑟 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑅 ∈ Ring)
3635exlimiv 1931 . . . 4 (∃𝑟 𝑟 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑅 ∈ Ring)
3734, 36sylbi 220 . . 3 ((SubRing‘𝑅) ≠ ∅ → 𝑅 ∈ Ring)
38 eqid 2822 . . . 4 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3938, 9, 25issubrg2 19546 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → ( 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅) ↔ ( 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅) ∧ (1r𝑅) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 𝑆𝑦 𝑆(𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ 𝑆)))
4033, 37, 393syl 18 . 2 ((𝑆 ⊆ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → ( 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅) ↔ ( 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅) ∧ (1r𝑅) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 𝑆𝑦 𝑆(𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ 𝑆)))
416, 15, 32, 40mpbir3and 1339 1 ((𝑆 ⊆ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1084  wex 1781  wcel 2114  wne 3011  wral 3130  wss 3908  c0 4265   cint 4851  cfv 6334  (class class class)co 7140  Basecbs 16474  .rcmulr 16557  SubGrpcsubg 18264  1rcur 19242  Ringcrg 19288  SubRingcsubrg 19522
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rmo 3138  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-int 4852  df-iun 4896  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-om 7566  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-ndx 16477  df-slot 16478  df-base 16480  df-sets 16481  df-ress 16482  df-plusg 16569  df-mulr 16570  df-0g 16706  df-mgm 17843  df-sgrp 17892  df-mnd 17903  df-grp 18097  df-minusg 18098  df-subg 18267  df-mgp 19231  df-ur 19243  df-ring 19290  df-subrg 19524
This theorem is referenced by:  subrgin  19549  subrgmre  19550  subdrgint  19573  sdrgint  19574  primefld1cl  19577  aspsubrg  20560  primefldchr  30899  rgspncl  40043
  Copyright terms: Public domain W3C validator