MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subrgint Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem subrgint 20486
Description: The intersection of a nonempty collection of subrings is a subring. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Dec-2014.)
Assertion
Ref Expression
subrgint ((𝑆 βŠ† (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) β†’ ∩ 𝑆 ∈ (SubRingβ€˜π‘…))
Proof of Theorem subrgint
Dummy variables π‘₯ π‘Ÿ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 subrgsubg 20468 . . . . 5 (π‘Ÿ ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ π‘Ÿ ∈ (SubGrpβ€˜π‘…))
21ssriv 3987 . . . 4 (SubRingβ€˜π‘…) βŠ† (SubGrpβ€˜π‘…)
3 sstr 3991 . . . 4 ((𝑆 βŠ† (SubRingβ€˜π‘…) ∧ (SubRingβ€˜π‘…) βŠ† (SubGrpβ€˜π‘…)) β†’ 𝑆 βŠ† (SubGrpβ€˜π‘…))
42, 3mpan2 688 . . 3 (𝑆 βŠ† (SubRingβ€˜π‘…) β†’ 𝑆 βŠ† (SubGrpβ€˜π‘…))
5 subgint 19067 . . 3 ((𝑆 βŠ† (SubGrpβ€˜π‘…) ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) β†’ ∩ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜π‘…))
64, 5sylan 579 . 2 ((𝑆 βŠ† (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) β†’ ∩ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜π‘…))
7 ssel2 3978 . . . . . 6 ((𝑆 βŠ† (SubRingβ€˜π‘…) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑆) β†’ π‘Ÿ ∈ (SubRingβ€˜π‘…))
87adantlr 712 . . . . 5 (((𝑆 βŠ† (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑆) β†’ π‘Ÿ ∈ (SubRingβ€˜π‘…))
9 eqid 2731 . . . . . 6 (1rβ€˜π‘…) = (1rβ€˜π‘…)
109subrg1cl 20471 . . . . 5 (π‘Ÿ ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ (1rβ€˜π‘…) ∈ π‘Ÿ)
118, 10syl 17 . . . 4 (((𝑆 βŠ† (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑆) β†’ (1rβ€˜π‘…) ∈ π‘Ÿ)
1211ralrimiva 3145 . . 3 ((𝑆 βŠ† (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) β†’ βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝑆 (1rβ€˜π‘…) ∈ π‘Ÿ)
13 fvex 6905 . . . 4 (1rβ€˜π‘…) ∈ V
1413elint2 4958 . . 3 ((1rβ€˜π‘…) ∈ ∩ 𝑆 ↔ βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝑆 (1rβ€˜π‘…) ∈ π‘Ÿ)
1512, 14sylibr 233 . 2 ((𝑆 βŠ† (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) β†’ (1rβ€˜π‘…) ∈ ∩ 𝑆)
168adantlr 712 . . . . . 6 ((((𝑆 βŠ† (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) ∧ (π‘₯ ∈ ∩ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝑆)) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑆) β†’ π‘Ÿ ∈ (SubRingβ€˜π‘…))
17 simprl 768 . . . . . . 7 (((𝑆 βŠ† (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) ∧ (π‘₯ ∈ ∩ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝑆)) β†’ π‘₯ ∈ ∩ 𝑆)
18 elinti 4960 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ ∩ 𝑆 β†’ (π‘Ÿ ∈ 𝑆 β†’ π‘₯ ∈ π‘Ÿ))
1918imp 406 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ ∩ 𝑆 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑆) β†’ π‘₯ ∈ π‘Ÿ)
2017, 19sylan 579 . . . . . 6 ((((𝑆 βŠ† (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) ∧ (π‘₯ ∈ ∩ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝑆)) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑆) β†’ π‘₯ ∈ π‘Ÿ)
21 simprr 770 . . . . . . 7 (((𝑆 βŠ† (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) ∧ (π‘₯ ∈ ∩ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝑆)) β†’ 𝑦 ∈ ∩ 𝑆)
22 elinti 4960 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ∩ 𝑆 β†’ (π‘Ÿ ∈ 𝑆 β†’ 𝑦 ∈ π‘Ÿ))
2322imp 406 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ ∩ 𝑆 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑆) β†’ 𝑦 ∈ π‘Ÿ)
2421, 23sylan 579 . . . . . 6 ((((𝑆 βŠ† (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) ∧ (π‘₯ ∈ ∩ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝑆)) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑆) β†’ 𝑦 ∈ π‘Ÿ)
25 eqid 2731 . . . . . . 7 (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…)
2625subrgmcl 20475 . . . . . 6 ((π‘Ÿ ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ π‘₯ ∈ π‘Ÿ ∧ 𝑦 ∈ π‘Ÿ) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ π‘Ÿ)
2716, 20, 24, 26syl3anc 1370 . . . . 5 ((((𝑆 βŠ† (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) ∧ (π‘₯ ∈ ∩ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝑆)) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑆) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ π‘Ÿ)
2827ralrimiva 3145 . . . 4 (((𝑆 βŠ† (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) ∧ (π‘₯ ∈ ∩ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝑆)) β†’ βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝑆 (π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ π‘Ÿ)
29 ovex 7445 . . . . 5 (π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ V
3029elint2 4958 . . . 4 ((π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ ∩ 𝑆 ↔ βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝑆 (π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ π‘Ÿ)
3128, 30sylibr 233 . . 3 (((𝑆 βŠ† (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) ∧ (π‘₯ ∈ ∩ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝑆)) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ ∩ 𝑆)
3231ralrimivva 3199 . 2 ((𝑆 βŠ† (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ∩ π‘†βˆ€π‘¦ ∈ ∩ 𝑆(π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ ∩ 𝑆)
33 ssn0 4401 . . 3 ((𝑆 βŠ† (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) β†’ (SubRingβ€˜π‘…) β‰  βˆ…)
34 n0 4347 . . . 4 ((SubRingβ€˜π‘…) β‰  βˆ… ↔ βˆƒπ‘Ÿ π‘Ÿ ∈ (SubRingβ€˜π‘…))
35 subrgrcl 20467 . . . . 5 (π‘Ÿ ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
3635exlimiv 1932 . . . 4 (βˆƒπ‘Ÿ π‘Ÿ ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
3734, 36sylbi 216 . . 3 ((SubRingβ€˜π‘…) β‰  βˆ… β†’ 𝑅 ∈ Ring)
38 eqid 2731 . . . 4 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
3938, 9, 25issubrg2 20483 . . 3 (𝑅 ∈ Ring β†’ (∩ 𝑆 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ↔ (∩ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜π‘…) ∧ (1rβ€˜π‘…) ∈ ∩ 𝑆 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ∩ π‘†βˆ€π‘¦ ∈ ∩ 𝑆(π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ ∩ 𝑆)))
4033, 37, 393syl 18 . 2 ((𝑆 βŠ† (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) β†’ (∩ 𝑆 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ↔ (∩ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜π‘…) ∧ (1rβ€˜π‘…) ∈ ∩ 𝑆 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ∩ π‘†βˆ€π‘¦ ∈ ∩ 𝑆(π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ ∩ 𝑆)))
416, 15, 32, 40mpbir3and 1341 1 ((𝑆 βŠ† (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) β†’ ∩ 𝑆 ∈ (SubRingβ€˜π‘…))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086  βˆƒwex 1780   ∈ wcel 2105   β‰  wne 2939  βˆ€wral 3060   βŠ† wss 3949  βˆ…c0 4323  βˆ© cint 4951  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7412  Basecbs 17149  .rcmulr 17203  SubGrpcsubg 19037  1rcur 20076  Ringcrg 20128  SubRingcsubrg 20458
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7859  df-2nd 7979  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-er 8706  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-0g 17392  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-grp 18859  df-minusg 18860  df-subg 19040  df-cmn 19692  df-abl 19693  df-mgp 20030  df-rng 20048  df-ur 20077  df-ring 20130  df-subrng 20435  df-subrg 20460
This theorem is referenced by:  subrgin  20487  subrgmre  20488  subdrgint  20563  sdrgint  20564  primefld1cl  20567  aspsubrg  21650  primefldchr  32666  rgspncl  42214
  Copyright terms: Public domain W3C validator