Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subrgint Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem subrgint 19548
 Description: The intersection of a nonempty collection of subrings is a subring. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Dec-2014.)
Assertion
Ref Expression
subrgint ((𝑆 ⊆ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅))

Proof of Theorem subrgint
Dummy variables 𝑥 𝑟 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 subrgsubg 19532 . . . . 5 (𝑟 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑟 ∈ (SubGrp‘𝑅))
21ssriv 3946 . . . 4 (SubRing‘𝑅) ⊆ (SubGrp‘𝑅)
3 sstr 3950 . . . 4 ((𝑆 ⊆ (SubRing‘𝑅) ∧ (SubRing‘𝑅) ⊆ (SubGrp‘𝑅)) → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑅))
42, 3mpan2 690 . . 3 (𝑆 ⊆ (SubRing‘𝑅) → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑅))
5 subgint 18294 . . 3 ((𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑅) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅))
64, 5sylan 583 . 2 ((𝑆 ⊆ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅))
7 ssel2 3937 . . . . . 6 ((𝑆 ⊆ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑟𝑆) → 𝑟 ∈ (SubRing‘𝑅))
87adantlr 714 . . . . 5 (((𝑆 ⊆ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ 𝑟𝑆) → 𝑟 ∈ (SubRing‘𝑅))
9 eqid 2822 . . . . . 6 (1r𝑅) = (1r𝑅)
109subrg1cl 19534 . . . . 5 (𝑟 ∈ (SubRing‘𝑅) → (1r𝑅) ∈ 𝑟)
118, 10syl 17 . . . 4 (((𝑆 ⊆ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ 𝑟𝑆) → (1r𝑅) ∈ 𝑟)
1211ralrimiva 3174 . . 3 ((𝑆 ⊆ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → ∀𝑟𝑆 (1r𝑅) ∈ 𝑟)
13 fvex 6665 . . . 4 (1r𝑅) ∈ V
1413elint2 4858 . . 3 ((1r𝑅) ∈ 𝑆 ↔ ∀𝑟𝑆 (1r𝑅) ∈ 𝑟)
1512, 14sylibr 237 . 2 ((𝑆 ⊆ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → (1r𝑅) ∈ 𝑆)
168adantlr 714 . . . . . 6 ((((𝑆 ⊆ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝑥 𝑆𝑦 𝑆)) ∧ 𝑟𝑆) → 𝑟 ∈ (SubRing‘𝑅))
17 simprl 770 . . . . . . 7 (((𝑆 ⊆ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝑥 𝑆𝑦 𝑆)) → 𝑥 𝑆)
18 elinti 4860 . . . . . . . 8 (𝑥 𝑆 → (𝑟𝑆𝑥𝑟))
1918imp 410 . . . . . . 7 ((𝑥 𝑆𝑟𝑆) → 𝑥𝑟)
2017, 19sylan 583 . . . . . 6 ((((𝑆 ⊆ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝑥 𝑆𝑦 𝑆)) ∧ 𝑟𝑆) → 𝑥𝑟)
21 simprr 772 . . . . . . 7 (((𝑆 ⊆ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝑥 𝑆𝑦 𝑆)) → 𝑦 𝑆)
22 elinti 4860 . . . . . . . 8 (𝑦 𝑆 → (𝑟𝑆𝑦𝑟))
2322imp 410 . . . . . . 7 ((𝑦 𝑆𝑟𝑆) → 𝑦𝑟)
2421, 23sylan 583 . . . . . 6 ((((𝑆 ⊆ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝑥 𝑆𝑦 𝑆)) ∧ 𝑟𝑆) → 𝑦𝑟)
25 eqid 2822 . . . . . . 7 (.r𝑅) = (.r𝑅)
2625subrgmcl 19538 . . . . . 6 ((𝑟 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑥𝑟𝑦𝑟) → (𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ 𝑟)
2716, 20, 24, 26syl3anc 1368 . . . . 5 ((((𝑆 ⊆ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝑥 𝑆𝑦 𝑆)) ∧ 𝑟𝑆) → (𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ 𝑟)
2827ralrimiva 3174 . . . 4 (((𝑆 ⊆ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝑥 𝑆𝑦 𝑆)) → ∀𝑟𝑆 (𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ 𝑟)
29 ovex 7173 . . . . 5 (𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ V
3029elint2 4858 . . . 4 ((𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ 𝑆 ↔ ∀𝑟𝑆 (𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ 𝑟)
3128, 30sylibr 237 . . 3 (((𝑆 ⊆ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝑥 𝑆𝑦 𝑆)) → (𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ 𝑆)
3231ralrimivva 3181 . 2 ((𝑆 ⊆ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → ∀𝑥 𝑆𝑦 𝑆(𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ 𝑆)
33 ssn0 4326 . . 3 ((𝑆 ⊆ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → (SubRing‘𝑅) ≠ ∅)
34 n0 4282 . . . 4 ((SubRing‘𝑅) ≠ ∅ ↔ ∃𝑟 𝑟 ∈ (SubRing‘𝑅))
35 subrgrcl 19531 . . . . 5 (𝑟 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑅 ∈ Ring)
3635exlimiv 1931 . . . 4 (∃𝑟 𝑟 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑅 ∈ Ring)
3734, 36sylbi 220 . . 3 ((SubRing‘𝑅) ≠ ∅ → 𝑅 ∈ Ring)
38 eqid 2822 . . . 4 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3938, 9, 25issubrg2 19546 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → ( 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅) ↔ ( 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅) ∧ (1r𝑅) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 𝑆𝑦 𝑆(𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ 𝑆)))
4033, 37, 393syl 18 . 2 ((𝑆 ⊆ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → ( 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅) ↔ ( 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅) ∧ (1r𝑅) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 𝑆𝑦 𝑆(𝑥(.r𝑅)𝑦) ∈ 𝑆)))
416, 15, 32, 40mpbir3and 1339 1 ((𝑆 ⊆ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084  ∃wex 1781   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3011  ∀wral 3130   ⊆ wss 3908  ∅c0 4265  ∩ cint 4851  ‘cfv 6334  (class class class)co 7140  Basecbs 16474  .rcmulr 16557  SubGrpcsubg 18264  1rcur 19242  Ringcrg 19288  SubRingcsubrg 19522 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rmo 3138  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-int 4852  df-iun 4896  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-om 7566  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-ndx 16477  df-slot 16478  df-base 16480  df-sets 16481  df-ress 16482  df-plusg 16569  df-mulr 16570  df-0g 16706  df-mgm 17843  df-sgrp 17892  df-mnd 17903  df-grp 18097  df-minusg 18098  df-subg 18267  df-mgp 19231  df-ur 19243  df-ring 19290  df-subrg 19524 This theorem is referenced by:  subrgin  19549  subrgmre  19550  subdrgint  19573  sdrgint  19574  primefld1cl  19577  aspsubrg  20560  primefldchr  30899  rgspncl  40043
 Copyright terms: Public domain W3C validator