MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subrgint Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem subrgint 20229
Description: The intersection of a nonempty collection of subrings is a subring. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Dec-2014.)
Assertion
Ref Expression
subrgint ((𝑆 βŠ† (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) β†’ ∩ 𝑆 ∈ (SubRingβ€˜π‘…))

Proof of Theorem subrgint
Dummy variables π‘₯ π‘Ÿ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 subrgsubg 20213 . . . . 5 (π‘Ÿ ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ π‘Ÿ ∈ (SubGrpβ€˜π‘…))
21ssriv 3946 . . . 4 (SubRingβ€˜π‘…) βŠ† (SubGrpβ€˜π‘…)
3 sstr 3950 . . . 4 ((𝑆 βŠ† (SubRingβ€˜π‘…) ∧ (SubRingβ€˜π‘…) βŠ† (SubGrpβ€˜π‘…)) β†’ 𝑆 βŠ† (SubGrpβ€˜π‘…))
42, 3mpan2 689 . . 3 (𝑆 βŠ† (SubRingβ€˜π‘…) β†’ 𝑆 βŠ† (SubGrpβ€˜π‘…))
5 subgint 18943 . . 3 ((𝑆 βŠ† (SubGrpβ€˜π‘…) ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) β†’ ∩ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜π‘…))
64, 5sylan 580 . 2 ((𝑆 βŠ† (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) β†’ ∩ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜π‘…))
7 ssel2 3937 . . . . . 6 ((𝑆 βŠ† (SubRingβ€˜π‘…) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑆) β†’ π‘Ÿ ∈ (SubRingβ€˜π‘…))
87adantlr 713 . . . . 5 (((𝑆 βŠ† (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑆) β†’ π‘Ÿ ∈ (SubRingβ€˜π‘…))
9 eqid 2736 . . . . . 6 (1rβ€˜π‘…) = (1rβ€˜π‘…)
109subrg1cl 20215 . . . . 5 (π‘Ÿ ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ (1rβ€˜π‘…) ∈ π‘Ÿ)
118, 10syl 17 . . . 4 (((𝑆 βŠ† (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑆) β†’ (1rβ€˜π‘…) ∈ π‘Ÿ)
1211ralrimiva 3141 . . 3 ((𝑆 βŠ† (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) β†’ βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝑆 (1rβ€˜π‘…) ∈ π‘Ÿ)
13 fvex 6852 . . . 4 (1rβ€˜π‘…) ∈ V
1413elint2 4912 . . 3 ((1rβ€˜π‘…) ∈ ∩ 𝑆 ↔ βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝑆 (1rβ€˜π‘…) ∈ π‘Ÿ)
1512, 14sylibr 233 . 2 ((𝑆 βŠ† (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) β†’ (1rβ€˜π‘…) ∈ ∩ 𝑆)
168adantlr 713 . . . . . 6 ((((𝑆 βŠ† (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) ∧ (π‘₯ ∈ ∩ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝑆)) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑆) β†’ π‘Ÿ ∈ (SubRingβ€˜π‘…))
17 simprl 769 . . . . . . 7 (((𝑆 βŠ† (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) ∧ (π‘₯ ∈ ∩ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝑆)) β†’ π‘₯ ∈ ∩ 𝑆)
18 elinti 4914 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ ∩ 𝑆 β†’ (π‘Ÿ ∈ 𝑆 β†’ π‘₯ ∈ π‘Ÿ))
1918imp 407 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ ∩ 𝑆 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑆) β†’ π‘₯ ∈ π‘Ÿ)
2017, 19sylan 580 . . . . . 6 ((((𝑆 βŠ† (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) ∧ (π‘₯ ∈ ∩ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝑆)) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑆) β†’ π‘₯ ∈ π‘Ÿ)
21 simprr 771 . . . . . . 7 (((𝑆 βŠ† (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) ∧ (π‘₯ ∈ ∩ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝑆)) β†’ 𝑦 ∈ ∩ 𝑆)
22 elinti 4914 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ∩ 𝑆 β†’ (π‘Ÿ ∈ 𝑆 β†’ 𝑦 ∈ π‘Ÿ))
2322imp 407 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ ∩ 𝑆 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑆) β†’ 𝑦 ∈ π‘Ÿ)
2421, 23sylan 580 . . . . . 6 ((((𝑆 βŠ† (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) ∧ (π‘₯ ∈ ∩ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝑆)) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑆) β†’ 𝑦 ∈ π‘Ÿ)
25 eqid 2736 . . . . . . 7 (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…)
2625subrgmcl 20219 . . . . . 6 ((π‘Ÿ ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ π‘₯ ∈ π‘Ÿ ∧ 𝑦 ∈ π‘Ÿ) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ π‘Ÿ)
2716, 20, 24, 26syl3anc 1371 . . . . 5 ((((𝑆 βŠ† (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) ∧ (π‘₯ ∈ ∩ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝑆)) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑆) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ π‘Ÿ)
2827ralrimiva 3141 . . . 4 (((𝑆 βŠ† (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) ∧ (π‘₯ ∈ ∩ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝑆)) β†’ βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝑆 (π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ π‘Ÿ)
29 ovex 7386 . . . . 5 (π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ V
3029elint2 4912 . . . 4 ((π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ ∩ 𝑆 ↔ βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝑆 (π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ π‘Ÿ)
3128, 30sylibr 233 . . 3 (((𝑆 βŠ† (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) ∧ (π‘₯ ∈ ∩ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝑆)) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ ∩ 𝑆)
3231ralrimivva 3195 . 2 ((𝑆 βŠ† (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ∩ π‘†βˆ€π‘¦ ∈ ∩ 𝑆(π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ ∩ 𝑆)
33 ssn0 4358 . . 3 ((𝑆 βŠ† (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) β†’ (SubRingβ€˜π‘…) β‰  βˆ…)
34 n0 4304 . . . 4 ((SubRingβ€˜π‘…) β‰  βˆ… ↔ βˆƒπ‘Ÿ π‘Ÿ ∈ (SubRingβ€˜π‘…))
35 subrgrcl 20212 . . . . 5 (π‘Ÿ ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
3635exlimiv 1933 . . . 4 (βˆƒπ‘Ÿ π‘Ÿ ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
3734, 36sylbi 216 . . 3 ((SubRingβ€˜π‘…) β‰  βˆ… β†’ 𝑅 ∈ Ring)
38 eqid 2736 . . . 4 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
3938, 9, 25issubrg2 20227 . . 3 (𝑅 ∈ Ring β†’ (∩ 𝑆 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ↔ (∩ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜π‘…) ∧ (1rβ€˜π‘…) ∈ ∩ 𝑆 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ∩ π‘†βˆ€π‘¦ ∈ ∩ 𝑆(π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ ∩ 𝑆)))
4033, 37, 393syl 18 . 2 ((𝑆 βŠ† (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) β†’ (∩ 𝑆 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ↔ (∩ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜π‘…) ∧ (1rβ€˜π‘…) ∈ ∩ 𝑆 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ∩ π‘†βˆ€π‘¦ ∈ ∩ 𝑆(π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ ∩ 𝑆)))
416, 15, 32, 40mpbir3and 1342 1 ((𝑆 βŠ† (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) β†’ ∩ 𝑆 ∈ (SubRingβ€˜π‘…))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087  βˆƒwex 1781   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2941  βˆ€wral 3062   βŠ† wss 3908  βˆ…c0 4280  βˆ© cint 4905  β€˜cfv 6493  (class class class)co 7353  Basecbs 17075  .rcmulr 17126  SubGrpcsubg 18913  1rcur 19904  Ringcrg 19950  SubRingcsubrg 20203
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7668  ax-cnex 11103  ax-resscn 11104  ax-1cn 11105  ax-icn 11106  ax-addcl 11107  ax-addrcl 11108  ax-mulcl 11109  ax-mulrcl 11110  ax-mulcom 11111  ax-addass 11112  ax-mulass 11113  ax-distr 11114  ax-i2m1 11115  ax-1ne0 11116  ax-1rid 11117  ax-rnegex 11118  ax-rrecex 11119  ax-cnre 11120  ax-pre-lttri 11121  ax-pre-lttrn 11122  ax-pre-ltadd 11123  ax-pre-mulgt0 11124
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-int 4906  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7309  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7799  df-2nd 7918  df-frecs 8208  df-wrecs 8239  df-recs 8313  df-rdg 8352  df-er 8644  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11187  df-mnf 11188  df-xr 11189  df-ltxr 11190  df-le 11191  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12150  df-2 12212  df-3 12213  df-sets 17028  df-slot 17046  df-ndx 17058  df-base 17076  df-ress 17105  df-plusg 17138  df-mulr 17139  df-0g 17315  df-mgm 18489  df-sgrp 18538  df-mnd 18549  df-grp 18743  df-minusg 18744  df-subg 18916  df-mgp 19888  df-ur 19905  df-ring 19952  df-subrg 20205
This theorem is referenced by:  subrgin  20230  subrgmre  20231  subdrgint  20255  sdrgint  20256  primefld1cl  20259  aspsubrg  21264  primefldchr  31961  rgspncl  41434
  Copyright terms: Public domain W3C validator