Theorem subrgint 20852

Description: The intersection of a nonempty collection of subrings is a subring. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
subrgint	⊢ ((𝑆 ⊆ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → ∩ 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅))

Proof of Theorem subrgint

Dummy variables 𝑥 𝑟 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subrgsubg 20834	. . . . 5 ⊢ (𝑟 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑟 ∈ (SubGrp‘𝑅))
2	1	ssriv 3912	. . . 4 ⊢ (SubRing‘𝑅) ⊆ (SubGrp‘𝑅)
3		sstr 3916	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ⊆ (SubRing‘𝑅) ∧ (SubRing‘𝑅) ⊆ (SubGrp‘𝑅)) → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑅))
4	2, 3	mpan2 704	. . 3 ⊢ (𝑆 ⊆ (SubRing‘𝑅) → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑅))
5		subgint 19366	. . 3 ⊢ ((𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑅) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → ∩ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅))
6	4, 5	sylan 592	. 2 ⊢ ((𝑆 ⊆ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → ∩ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅))
7		ssel2 3903	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ⊆ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑟 ∈ 𝑆) → 𝑟 ∈ (SubRing‘𝑅))
8	7	adantlr 728	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ⊆ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ 𝑆) → 𝑟 ∈ (SubRing‘𝑅))
9		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
10	9	subrg1cl 20837	. . . . 5 ⊢ (𝑟 ∈ (SubRing‘𝑅) → (1r‘𝑅) ∈ 𝑟)
11	8, 10	syl 18	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ⊆ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ 𝑆) → (1r‘𝑅) ∈ 𝑟)
12	11	ralrimiva 3154	. . 3 ⊢ ((𝑆 ⊆ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → ∀𝑟 ∈ 𝑆 (1r‘𝑅) ∈ 𝑟)
13		fvex 6898	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑅) ∈ V
14	13	elint2 4913	. . 3 ⊢ ((1r‘𝑅) ∈ ∩ 𝑆 ↔ ∀𝑟 ∈ 𝑆 (1r‘𝑅) ∈ 𝑟)
15	12, 14	sylibr 237	. 2 ⊢ ((𝑆 ⊆ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → (1r‘𝑅) ∈ ∩ 𝑆)
16	8	adantlr 728	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑆 ⊆ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝑥 ∈ ∩ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝑆)) ∧ 𝑟 ∈ 𝑆) → 𝑟 ∈ (SubRing‘𝑅))
17		simprl 783	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ⊆ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝑥 ∈ ∩ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝑆)) → 𝑥 ∈ ∩ 𝑆)
18		elinti 4915	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ∩ 𝑆 → (𝑟 ∈ 𝑆 → 𝑥 ∈ 𝑟))
19	18	imp 412	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ∩ 𝑆 ∧ 𝑟 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ 𝑟)
20	17, 19	sylan 592	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑆 ⊆ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝑥 ∈ ∩ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝑆)) ∧ 𝑟 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ 𝑟)
21		simprr 785	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ⊆ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝑥 ∈ ∩ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝑆)) → 𝑦 ∈ ∩ 𝑆)
22		elinti 4915	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ∩ 𝑆 → (𝑟 ∈ 𝑆 → 𝑦 ∈ 𝑟))
23	22	imp 412	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ∩ 𝑆 ∧ 𝑟 ∈ 𝑆) → 𝑦 ∈ 𝑟)
24	21, 23	sylan 592	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑆 ⊆ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝑥 ∈ ∩ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝑆)) ∧ 𝑟 ∈ 𝑆) → 𝑦 ∈ 𝑟)
25		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
26	25	subrgmcl 20841	. . . . . 6 ⊢ ((𝑟 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑥 ∈ 𝑟 ∧ 𝑦 ∈ 𝑟) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝑟)
27	16, 20, 24, 26	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ ((((𝑆 ⊆ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝑥 ∈ ∩ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝑆)) ∧ 𝑟 ∈ 𝑆) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝑟)
28	27	ralrimiva 3154	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ⊆ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝑥 ∈ ∩ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝑆)) → ∀𝑟 ∈ 𝑆 (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝑟)
29		ovex 7453	. . . . 5 ⊢ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ V
30	29	elint2 4913	. . . 4 ⊢ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ ∩ 𝑆 ↔ ∀𝑟 ∈ 𝑆 (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝑟)
31	28, 30	sylibr 237	. . 3 ⊢ (((𝑆 ⊆ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑆 ≠ ∅) ∧ (𝑥 ∈ ∩ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝑆)) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ ∩ 𝑆)
32	31	ralrimivva 3205	. 2 ⊢ ((𝑆 ⊆ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → ∀𝑥 ∈ ∩ 𝑆∀𝑦 ∈ ∩ 𝑆(𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ ∩ 𝑆)
33		ssn0 4354	. . 3 ⊢ ((𝑆 ⊆ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → (SubRing‘𝑅) ≠ ∅)
34		n0 4299	. . . 4 ⊢ ((SubRing‘𝑅) ≠ ∅ ↔ ∃𝑟 𝑟 ∈ (SubRing‘𝑅))
35		subrgrcl 20833	. . . . 5 ⊢ (𝑟 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑅 ∈ Ring)
36	35	exlimiv 1962	. . . 4 ⊢ (∃𝑟 𝑟 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑅 ∈ Ring)
37	34, 36	sylbi 220	. . 3 ⊢ ((SubRing‘𝑅) ≠ ∅ → 𝑅 ∈ Ring)
38		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
39	38, 9, 25	issubrg2 20849	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (∩ 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅) ↔ (∩ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅) ∧ (1r‘𝑅) ∈ ∩ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ ∩ 𝑆∀𝑦 ∈ ∩ 𝑆(𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ ∩ 𝑆)))
40	33, 37, 39	3syl 19	. 2 ⊢ ((𝑆 ⊆ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → (∩ 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅) ↔ (∩ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅) ∧ (1r‘𝑅) ∈ ∩ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ ∩ 𝑆∀𝑦 ∈ ∩ 𝑆(𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ ∩ 𝑆)))
41	6, 15, 32, 40	mpbir3and 1361	1 ⊢ ((𝑆 ⊆ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → ∩ 𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103  ∃wex 1811   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ∀wral 3076   ⊆ wss 3895  ∅c0 4278  ∩ cint 4906  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  Basecbs 17392  ._rcmulr 17434  SubGrpcsubg 19335  1_rcur 20412  Ringcrg 20464  SubRingcsubrg 20826

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-2nd 8002  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-er 8720  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547  df-nn 12339  df-2 12408  df-3 12409  df-sets 17347  df-slot 17365  df-ndx 17377  df-base 17393  df-ress 17414  df-plusg 17446  df-mulr 17447  df-0g 17617  df-mgm 18821  df-sgrp 18913  df-mnd 18929  df-grp 19152  df-minusg 19153  df-subg 19338  df-cmn 20001  df-abl 20002  df-mgp 20366  df-rng 20380  df-ur 20413  df-ring 20466  df-subrng 20803  df-subrg 20827

This theorem is used by:  subrgin  20853  subrgmre  20854  rgspncl  20870  subdrgint  21065  sdrgint  21066  primefld1cl  21069  aspsubrg  22188  primefldchr  33909