MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subrgint Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem subrgint 20346
Description: The intersection of a nonempty collection of subrings is a subring. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Dec-2014.)
Assertion
Ref Expression
subrgint ((𝑆 βŠ† (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) β†’ ∩ 𝑆 ∈ (SubRingβ€˜π‘…))
Proof of Theorem subrgint
Dummy variables π‘₯ π‘Ÿ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 subrgsubg 20329 . . . . 5 (π‘Ÿ ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ π‘Ÿ ∈ (SubGrpβ€˜π‘…))
21ssriv 3986 . . . 4 (SubRingβ€˜π‘…) βŠ† (SubGrpβ€˜π‘…)
3 sstr 3990 . . . 4 ((𝑆 βŠ† (SubRingβ€˜π‘…) ∧ (SubRingβ€˜π‘…) βŠ† (SubGrpβ€˜π‘…)) β†’ 𝑆 βŠ† (SubGrpβ€˜π‘…))
42, 3mpan2 689 . . 3 (𝑆 βŠ† (SubRingβ€˜π‘…) β†’ 𝑆 βŠ† (SubGrpβ€˜π‘…))
5 subgint 19032 . . 3 ((𝑆 βŠ† (SubGrpβ€˜π‘…) ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) β†’ ∩ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜π‘…))
64, 5sylan 580 . 2 ((𝑆 βŠ† (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) β†’ ∩ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜π‘…))
7 ssel2 3977 . . . . . 6 ((𝑆 βŠ† (SubRingβ€˜π‘…) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑆) β†’ π‘Ÿ ∈ (SubRingβ€˜π‘…))
87adantlr 713 . . . . 5 (((𝑆 βŠ† (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑆) β†’ π‘Ÿ ∈ (SubRingβ€˜π‘…))
9 eqid 2732 . . . . . 6 (1rβ€˜π‘…) = (1rβ€˜π‘…)
109subrg1cl 20331 . . . . 5 (π‘Ÿ ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ (1rβ€˜π‘…) ∈ π‘Ÿ)
118, 10syl 17 . . . 4 (((𝑆 βŠ† (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑆) β†’ (1rβ€˜π‘…) ∈ π‘Ÿ)
1211ralrimiva 3146 . . 3 ((𝑆 βŠ† (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) β†’ βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝑆 (1rβ€˜π‘…) ∈ π‘Ÿ)
13 fvex 6904 . . . 4 (1rβ€˜π‘…) ∈ V
1413elint2 4957 . . 3 ((1rβ€˜π‘…) ∈ ∩ 𝑆 ↔ βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝑆 (1rβ€˜π‘…) ∈ π‘Ÿ)
1512, 14sylibr 233 . 2 ((𝑆 βŠ† (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) β†’ (1rβ€˜π‘…) ∈ ∩ 𝑆)
168adantlr 713 . . . . . 6 ((((𝑆 βŠ† (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) ∧ (π‘₯ ∈ ∩ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝑆)) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑆) β†’ π‘Ÿ ∈ (SubRingβ€˜π‘…))
17 simprl 769 . . . . . . 7 (((𝑆 βŠ† (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) ∧ (π‘₯ ∈ ∩ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝑆)) β†’ π‘₯ ∈ ∩ 𝑆)
18 elinti 4959 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ ∩ 𝑆 β†’ (π‘Ÿ ∈ 𝑆 β†’ π‘₯ ∈ π‘Ÿ))
1918imp 407 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ ∩ 𝑆 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑆) β†’ π‘₯ ∈ π‘Ÿ)
2017, 19sylan 580 . . . . . 6 ((((𝑆 βŠ† (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) ∧ (π‘₯ ∈ ∩ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝑆)) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑆) β†’ π‘₯ ∈ π‘Ÿ)
21 simprr 771 . . . . . . 7 (((𝑆 βŠ† (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) ∧ (π‘₯ ∈ ∩ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝑆)) β†’ 𝑦 ∈ ∩ 𝑆)
22 elinti 4959 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ∩ 𝑆 β†’ (π‘Ÿ ∈ 𝑆 β†’ 𝑦 ∈ π‘Ÿ))
2322imp 407 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ ∩ 𝑆 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑆) β†’ 𝑦 ∈ π‘Ÿ)
2421, 23sylan 580 . . . . . 6 ((((𝑆 βŠ† (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) ∧ (π‘₯ ∈ ∩ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝑆)) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑆) β†’ 𝑦 ∈ π‘Ÿ)
25 eqid 2732 . . . . . . 7 (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…)
2625subrgmcl 20335 . . . . . 6 ((π‘Ÿ ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ π‘₯ ∈ π‘Ÿ ∧ 𝑦 ∈ π‘Ÿ) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ π‘Ÿ)
2716, 20, 24, 26syl3anc 1371 . . . . 5 ((((𝑆 βŠ† (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) ∧ (π‘₯ ∈ ∩ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝑆)) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑆) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ π‘Ÿ)
2827ralrimiva 3146 . . . 4 (((𝑆 βŠ† (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) ∧ (π‘₯ ∈ ∩ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝑆)) β†’ βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝑆 (π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ π‘Ÿ)
29 ovex 7444 . . . . 5 (π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ V
3029elint2 4957 . . . 4 ((π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ ∩ 𝑆 ↔ βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝑆 (π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ π‘Ÿ)
3128, 30sylibr 233 . . 3 (((𝑆 βŠ† (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) ∧ (π‘₯ ∈ ∩ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝑆)) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ ∩ 𝑆)
3231ralrimivva 3200 . 2 ((𝑆 βŠ† (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ∩ π‘†βˆ€π‘¦ ∈ ∩ 𝑆(π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ ∩ 𝑆)
33 ssn0 4400 . . 3 ((𝑆 βŠ† (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) β†’ (SubRingβ€˜π‘…) β‰  βˆ…)
34 n0 4346 . . . 4 ((SubRingβ€˜π‘…) β‰  βˆ… ↔ βˆƒπ‘Ÿ π‘Ÿ ∈ (SubRingβ€˜π‘…))
35 subrgrcl 20328 . . . . 5 (π‘Ÿ ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
3635exlimiv 1933 . . . 4 (βˆƒπ‘Ÿ π‘Ÿ ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
3734, 36sylbi 216 . . 3 ((SubRingβ€˜π‘…) β‰  βˆ… β†’ 𝑅 ∈ Ring)
38 eqid 2732 . . . 4 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
3938, 9, 25issubrg2 20343 . . 3 (𝑅 ∈ Ring β†’ (∩ 𝑆 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ↔ (∩ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜π‘…) ∧ (1rβ€˜π‘…) ∈ ∩ 𝑆 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ∩ π‘†βˆ€π‘¦ ∈ ∩ 𝑆(π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ ∩ 𝑆)))
4033, 37, 393syl 18 . 2 ((𝑆 βŠ† (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) β†’ (∩ 𝑆 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ↔ (∩ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜π‘…) ∧ (1rβ€˜π‘…) ∈ ∩ 𝑆 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ∩ π‘†βˆ€π‘¦ ∈ ∩ 𝑆(π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ ∩ 𝑆)))
416, 15, 32, 40mpbir3and 1342 1 ((𝑆 βŠ† (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) β†’ ∩ 𝑆 ∈ (SubRingβ€˜π‘…))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087  βˆƒwex 1781   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061   βŠ† wss 3948  βˆ…c0 4322  βˆ© cint 4950  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  Basecbs 17146  .rcmulr 17200  SubGrpcsubg 19002  1rcur 20006  Ringcrg 20058  SubRingcsubrg 20319
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-sets 17099  df-slot 17117  df-ndx 17129  df-base 17147  df-ress 17176  df-plusg 17212  df-mulr 17213  df-0g 17389  df-mgm 18563  df-sgrp 18612  df-mnd 18628  df-grp 18824  df-minusg 18825  df-subg 19005  df-mgp 19990  df-ur 20007  df-ring 20060  df-subrg 20321
This theorem is referenced by:  subrgin  20347  subrgmre  20348  subdrgint  20423  sdrgint  20424  primefld1cl  20427  aspsubrg  21436  primefldchr  32440  rgspncl  41993
  Copyright terms: Public domain W3C validator