MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subrgint Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem subrgint 20342
Description: The intersection of a nonempty collection of subrings is a subring. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Dec-2014.)
Assertion
Ref Expression
subrgint ((𝑆 βŠ† (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) β†’ ∩ 𝑆 ∈ (SubRingβ€˜π‘…))
Proof of Theorem subrgint
Dummy variables π‘₯ π‘Ÿ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 subrgsubg 20325 . . . . 5 (π‘Ÿ ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ π‘Ÿ ∈ (SubGrpβ€˜π‘…))
21ssriv 3987 . . . 4 (SubRingβ€˜π‘…) βŠ† (SubGrpβ€˜π‘…)
3 sstr 3991 . . . 4 ((𝑆 βŠ† (SubRingβ€˜π‘…) ∧ (SubRingβ€˜π‘…) βŠ† (SubGrpβ€˜π‘…)) β†’ 𝑆 βŠ† (SubGrpβ€˜π‘…))
42, 3mpan2 690 . . 3 (𝑆 βŠ† (SubRingβ€˜π‘…) β†’ 𝑆 βŠ† (SubGrpβ€˜π‘…))
5 subgint 19030 . . 3 ((𝑆 βŠ† (SubGrpβ€˜π‘…) ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) β†’ ∩ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜π‘…))
64, 5sylan 581 . 2 ((𝑆 βŠ† (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) β†’ ∩ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜π‘…))
7 ssel2 3978 . . . . . 6 ((𝑆 βŠ† (SubRingβ€˜π‘…) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑆) β†’ π‘Ÿ ∈ (SubRingβ€˜π‘…))
87adantlr 714 . . . . 5 (((𝑆 βŠ† (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑆) β†’ π‘Ÿ ∈ (SubRingβ€˜π‘…))
9 eqid 2733 . . . . . 6 (1rβ€˜π‘…) = (1rβ€˜π‘…)
109subrg1cl 20327 . . . . 5 (π‘Ÿ ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ (1rβ€˜π‘…) ∈ π‘Ÿ)
118, 10syl 17 . . . 4 (((𝑆 βŠ† (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑆) β†’ (1rβ€˜π‘…) ∈ π‘Ÿ)
1211ralrimiva 3147 . . 3 ((𝑆 βŠ† (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) β†’ βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝑆 (1rβ€˜π‘…) ∈ π‘Ÿ)
13 fvex 6905 . . . 4 (1rβ€˜π‘…) ∈ V
1413elint2 4958 . . 3 ((1rβ€˜π‘…) ∈ ∩ 𝑆 ↔ βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝑆 (1rβ€˜π‘…) ∈ π‘Ÿ)
1512, 14sylibr 233 . 2 ((𝑆 βŠ† (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) β†’ (1rβ€˜π‘…) ∈ ∩ 𝑆)
168adantlr 714 . . . . . 6 ((((𝑆 βŠ† (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) ∧ (π‘₯ ∈ ∩ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝑆)) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑆) β†’ π‘Ÿ ∈ (SubRingβ€˜π‘…))
17 simprl 770 . . . . . . 7 (((𝑆 βŠ† (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) ∧ (π‘₯ ∈ ∩ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝑆)) β†’ π‘₯ ∈ ∩ 𝑆)
18 elinti 4960 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ ∩ 𝑆 β†’ (π‘Ÿ ∈ 𝑆 β†’ π‘₯ ∈ π‘Ÿ))
1918imp 408 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ ∩ 𝑆 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑆) β†’ π‘₯ ∈ π‘Ÿ)
2017, 19sylan 581 . . . . . 6 ((((𝑆 βŠ† (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) ∧ (π‘₯ ∈ ∩ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝑆)) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑆) β†’ π‘₯ ∈ π‘Ÿ)
21 simprr 772 . . . . . . 7 (((𝑆 βŠ† (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) ∧ (π‘₯ ∈ ∩ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝑆)) β†’ 𝑦 ∈ ∩ 𝑆)
22 elinti 4960 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ∩ 𝑆 β†’ (π‘Ÿ ∈ 𝑆 β†’ 𝑦 ∈ π‘Ÿ))
2322imp 408 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ ∩ 𝑆 ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑆) β†’ 𝑦 ∈ π‘Ÿ)
2421, 23sylan 581 . . . . . 6 ((((𝑆 βŠ† (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) ∧ (π‘₯ ∈ ∩ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝑆)) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑆) β†’ 𝑦 ∈ π‘Ÿ)
25 eqid 2733 . . . . . . 7 (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…)
2625subrgmcl 20331 . . . . . 6 ((π‘Ÿ ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ π‘₯ ∈ π‘Ÿ ∧ 𝑦 ∈ π‘Ÿ) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ π‘Ÿ)
2716, 20, 24, 26syl3anc 1372 . . . . 5 ((((𝑆 βŠ† (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) ∧ (π‘₯ ∈ ∩ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝑆)) ∧ π‘Ÿ ∈ 𝑆) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ π‘Ÿ)
2827ralrimiva 3147 . . . 4 (((𝑆 βŠ† (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) ∧ (π‘₯ ∈ ∩ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝑆)) β†’ βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝑆 (π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ π‘Ÿ)
29 ovex 7442 . . . . 5 (π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ V
3029elint2 4958 . . . 4 ((π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ ∩ 𝑆 ↔ βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝑆 (π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ π‘Ÿ)
3128, 30sylibr 233 . . 3 (((𝑆 βŠ† (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) ∧ (π‘₯ ∈ ∩ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ ∩ 𝑆)) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ ∩ 𝑆)
3231ralrimivva 3201 . 2 ((𝑆 βŠ† (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ∩ π‘†βˆ€π‘¦ ∈ ∩ 𝑆(π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ ∩ 𝑆)
33 ssn0 4401 . . 3 ((𝑆 βŠ† (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) β†’ (SubRingβ€˜π‘…) β‰  βˆ…)
34 n0 4347 . . . 4 ((SubRingβ€˜π‘…) β‰  βˆ… ↔ βˆƒπ‘Ÿ π‘Ÿ ∈ (SubRingβ€˜π‘…))
35 subrgrcl 20324 . . . . 5 (π‘Ÿ ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
3635exlimiv 1934 . . . 4 (βˆƒπ‘Ÿ π‘Ÿ ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
3734, 36sylbi 216 . . 3 ((SubRingβ€˜π‘…) β‰  βˆ… β†’ 𝑅 ∈ Ring)
38 eqid 2733 . . . 4 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
3938, 9, 25issubrg2 20339 . . 3 (𝑅 ∈ Ring β†’ (∩ 𝑆 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ↔ (∩ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜π‘…) ∧ (1rβ€˜π‘…) ∈ ∩ 𝑆 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ∩ π‘†βˆ€π‘¦ ∈ ∩ 𝑆(π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ ∩ 𝑆)))
4033, 37, 393syl 18 . 2 ((𝑆 βŠ† (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) β†’ (∩ 𝑆 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ↔ (∩ 𝑆 ∈ (SubGrpβ€˜π‘…) ∧ (1rβ€˜π‘…) ∈ ∩ 𝑆 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ∩ π‘†βˆ€π‘¦ ∈ ∩ 𝑆(π‘₯(.rβ€˜π‘…)𝑦) ∈ ∩ 𝑆)))
416, 15, 32, 40mpbir3and 1343 1 ((𝑆 βŠ† (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝑆 β‰  βˆ…) β†’ ∩ 𝑆 ∈ (SubRingβ€˜π‘…))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088  βˆƒwex 1782   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  βˆ€wral 3062   βŠ† wss 3949  βˆ…c0 4323  βˆ© cint 4951  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  Basecbs 17144  .rcmulr 17198  SubGrpcsubg 19000  1rcur 20004  Ringcrg 20056  SubRingcsubrg 20315
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-0g 17387  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-grp 18822  df-minusg 18823  df-subg 19003  df-mgp 19988  df-ur 20005  df-ring 20058  df-subrg 20317
This theorem is referenced by:  subrgin  20343  subrgmre  20344  subdrgint  20419  sdrgint  20420  primefld1cl  20423  aspsubrg  21430  primefldchr  32399  rgspncl  41911
  Copyright terms: Public domain W3C validator