Theorem subrgmvrf 22349

Description: The variables in a polynomial algebra are contained in every subring algebra. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jul-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
subrgmvr.v	⊢ 𝑉 = (𝐼 mVar 𝑅)
subrgmvr.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
subrgmvr.r	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅))
subrgmvr.h	⊢ 𝐻 = (𝑅 ↾s 𝑇)
subrgmvrf.u	⊢ 𝑈 = (𝐼 mPoly 𝐻)
subrgmvrf.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
subrgmvrf	⊢ (𝜑 → 𝑉:𝐼⟶𝐵)

Proof of Theorem subrgmvrf

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (𝐼 mPwSer 𝑅) = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2		subrgmvr.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (𝐼 mVar 𝑅)
3		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))
4		subrgmvr.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
5		subrgmvr.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅))
6		subrgrcl 20834	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑅 ∈ Ring)
7	5, 6	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
8	1, 2, 3, 4, 7	mvrf 22298	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑉:𝐼⟶(Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
9	8	ffnd 6711	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑉 Fn 𝐼)
10		subrgmvr.h	. . . . . . 7 ⊢ 𝐻 = (𝑅 ↾s 𝑇)
11	2, 4, 5, 10	subrgmvr 22348	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑉 = (𝐼 mVar 𝐻))
12	11	fveq1d 6888	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑉‘𝑥) = ((𝐼 mVar 𝐻)‘𝑥))
13	12	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑉‘𝑥) = ((𝐼 mVar 𝐻)‘𝑥))
14		subrgmvrf.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (𝐼 mPoly 𝐻)
15		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (𝐼 mVar 𝐻) = (𝐼 mVar 𝐻)
16		subrgmvrf.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑈)
17	4	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝐼 ∈ 𝑊)
18	10	subrgring 20832	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐻 ∈ Ring)
19	5, 18	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ Ring)
20	19	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝐻 ∈ Ring)
21		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑥 ∈ 𝐼)
22	14, 15, 16, 17, 20, 21	mvrcl 22305	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝐼 mVar 𝐻)‘𝑥) ∈ 𝐵)
23	13, 22	eqeltrd 2860	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑉‘𝑥) ∈ 𝐵)
24	23	ralrimiva 3154	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝑉‘𝑥) ∈ 𝐵)
25		ffnfv 7120	. 2 ⊢ (𝑉:𝐼⟶𝐵 ↔ (𝑉 Fn 𝐼 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝑉‘𝑥) ∈ 𝐵))
26	9, 24, 25	sylanbrc 595	1 ⊢ (𝜑 → 𝑉:𝐼⟶𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∀wral 3076   Fn wfn 6534  ⟶wf 6535  ‘cfv 6539  (class class class)co 7421  Basecbs 17393   ↾_s cress 17414  Ringcrg 20465  SubRingcsubrg 20827   mPwSer cmps 22218   mVar cmvr 22219   mPoly cmpl 22220

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-cnex 11260  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280  ax-pre-mulgt0 11281

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-of 7694  df-om 7879  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-supp 8181  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8480  df-er 8721  df-map 8853  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-fin 8981  df-fsupp 9358  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353  df-sub 11547  df-neg 11548  df-nn 12340  df-2 12409  df-3 12410  df-4 12411  df-5 12412  df-6 12413  df-7 12414  df-8 12415  df-9 12416  df-n0 12611  df-z 12698  df-uz 12970  df-fz 13644  df-struct 17331  df-sets 17348  df-slot 17366  df-ndx 17378  df-base 17394  df-ress 17415  df-plusg 17447  df-mulr 17448  df-sca 17450  df-vsca 17451  df-tset 17453  df-0g 17618  df-mgm 18822  df-sgrp 18914  df-mnd 18930  df-grp 19153  df-subg 19339  df-mgp 20367  df-ur 20414  df-ring 20467  df-subrg 20828  df-psr 22223  df-mvr 22224  df-mpl 22225

This theorem is used by:  subrgvr1cl  22587