Theorem subrgmvrf 21235

Description: The variables in a polynomial algebra are contained in every subring algebra. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jul-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
subrgmvr.v	⊢ 𝑉 = (𝐼 mVar 𝑅)
subrgmvr.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
subrgmvr.r	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅))
subrgmvr.h	⊢ 𝐻 = (𝑅 ↾s 𝑇)
subrgmvrf.u	⊢ 𝑈 = (𝐼 mPoly 𝐻)
subrgmvrf.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
subrgmvrf	⊢ (𝜑 → 𝑉:𝐼⟶𝐵)

Proof of Theorem subrgmvrf

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (𝐼 mPwSer 𝑅) = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2		subrgmvr.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (𝐼 mVar 𝑅)
3		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))
4		subrgmvr.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
5		subrgmvr.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅))
6		subrgrcl 20029	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑅 ∈ Ring)
7	5, 6	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
8	1, 2, 3, 4, 7	mvrf 21193	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑉:𝐼⟶(Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
9	8	ffnd 6601	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑉 Fn 𝐼)
10		subrgmvr.h	. . . . . . 7 ⊢ 𝐻 = (𝑅 ↾s 𝑇)
11	2, 4, 5, 10	subrgmvr 21234	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑉 = (𝐼 mVar 𝐻))
12	11	fveq1d 6776	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑉‘𝑥) = ((𝐼 mVar 𝐻)‘𝑥))
13	12	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑉‘𝑥) = ((𝐼 mVar 𝐻)‘𝑥))
14		subrgmvrf.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (𝐼 mPoly 𝐻)
15		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (𝐼 mVar 𝐻) = (𝐼 mVar 𝐻)
16		subrgmvrf.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑈)
17	4	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝐼 ∈ 𝑊)
18	10	subrgring 20027	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐻 ∈ Ring)
19	5, 18	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ Ring)
20	19	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝐻 ∈ Ring)
21		simpr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑥 ∈ 𝐼)
22	14, 15, 16, 17, 20, 21	mvrcl 21221	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝐼 mVar 𝐻)‘𝑥) ∈ 𝐵)
23	13, 22	eqeltrd 2839	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑉‘𝑥) ∈ 𝐵)
24	23	ralrimiva 3103	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝑉‘𝑥) ∈ 𝐵)
25		ffnfv 6992	. 2 ⊢ (𝑉:𝐼⟶𝐵 ↔ (𝑉 Fn 𝐼 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝑉‘𝑥) ∈ 𝐵))
26	9, 24, 25	sylanbrc 583	1 ⊢ (𝜑 → 𝑉:𝐼⟶𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064   Fn wfn 6428  ⟶wf 6429  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  Basecbs 16912   ↾_s cress 16941  Ringcrg 19783  SubRingcsubrg 20020   mPwSer cmps 21107   mVar cmvr 21108   mPoly cmpl 21109

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-of 7533  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-supp 7978  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-map 8617  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-fsupp 9129  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-fz 13240  df-struct 16848  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-sca 16978  df-vsca 16979  df-tset 16981  df-0g 17152  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-grp 18580  df-subg 18752  df-mgp 19721  df-ur 19738  df-ring 19785  df-subrg 20022  df-psr 21112  df-mvr 21113  df-mpl 21114

This theorem is referenced by:  subrgvr1cl  21433