MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subrgmvrf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem subrgmvrf 20845
Description: The variables in a polynomial algebra are contained in every subring algebra. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
subrgmvr.v 𝑉 = (𝐼 mVar 𝑅)
subrgmvr.i (𝜑𝐼𝑊)
subrgmvr.r (𝜑𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅))
subrgmvr.h 𝐻 = (𝑅s 𝑇)
subrgmvrf.u 𝑈 = (𝐼 mPoly 𝐻)
subrgmvrf.b 𝐵 = (Base‘𝑈)
Assertion
Ref Expression
subrgmvrf (𝜑𝑉:𝐼𝐵)

Proof of Theorem subrgmvrf
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2738 . . . 4 (𝐼 mPwSer 𝑅) = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2 subrgmvr.v . . . 4 𝑉 = (𝐼 mVar 𝑅)
3 eqid 2738 . . . 4 (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))
4 subrgmvr.i . . . 4 (𝜑𝐼𝑊)
5 subrgmvr.r . . . . 5 (𝜑𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅))
6 subrgrcl 19659 . . . . 5 (𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑅 ∈ Ring)
75, 6syl 17 . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
81, 2, 3, 4, 7mvrf 20803 . . 3 (𝜑𝑉:𝐼⟶(Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
98ffnd 6505 . 2 (𝜑𝑉 Fn 𝐼)
10 subrgmvr.h . . . . . . 7 𝐻 = (𝑅s 𝑇)
112, 4, 5, 10subrgmvr 20844 . . . . . 6 (𝜑𝑉 = (𝐼 mVar 𝐻))
1211fveq1d 6676 . . . . 5 (𝜑 → (𝑉𝑥) = ((𝐼 mVar 𝐻)‘𝑥))
1312adantr 484 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝑉𝑥) = ((𝐼 mVar 𝐻)‘𝑥))
14 subrgmvrf.u . . . . 5 𝑈 = (𝐼 mPoly 𝐻)
15 eqid 2738 . . . . 5 (𝐼 mVar 𝐻) = (𝐼 mVar 𝐻)
16 subrgmvrf.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑈)
174adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝐼𝑊)
1810subrgring 19657 . . . . . . 7 (𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐻 ∈ Ring)
195, 18syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐻 ∈ Ring)
2019adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝐻 ∈ Ring)
21 simpr 488 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝑥𝐼)
2214, 15, 16, 17, 20, 21mvrcl 20831 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐼) → ((𝐼 mVar 𝐻)‘𝑥) ∈ 𝐵)
2313, 22eqeltrd 2833 . . 3 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝑉𝑥) ∈ 𝐵)
2423ralrimiva 3096 . 2 (𝜑 → ∀𝑥𝐼 (𝑉𝑥) ∈ 𝐵)
25 ffnfv 6892 . 2 (𝑉:𝐼𝐵 ↔ (𝑉 Fn 𝐼 ∧ ∀𝑥𝐼 (𝑉𝑥) ∈ 𝐵))
269, 24, 25sylanbrc 586 1 (𝜑𝑉:𝐼𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1542  wcel 2114  wral 3053   Fn wfn 6334  wf 6335  cfv 6339  (class class class)co 7170  Basecbs 16586  s cress 16587  Ringcrg 19416  SubRingcsubrg 19650   mPwSer cmps 20717   mVar cmvr 20718   mPoly cmpl 20719
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7479  ax-cnex 10671  ax-resscn 10672  ax-1cn 10673  ax-icn 10674  ax-addcl 10675  ax-addrcl 10676  ax-mulcl 10677  ax-mulrcl 10678  ax-mulcom 10679  ax-addass 10680  ax-mulass 10681  ax-distr 10682  ax-i2m1 10683  ax-1ne0 10684  ax-1rid 10685  ax-rnegex 10686  ax-rrecex 10687  ax-cnre 10688  ax-pre-lttri 10689  ax-pre-lttrn 10690  ax-pre-ltadd 10691  ax-pre-mulgt0 10692
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-pss 3862  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-tp 4521  df-op 4523  df-uni 4797  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-riota 7127  df-ov 7173  df-oprab 7174  df-mpo 7175  df-of 7425  df-om 7600  df-1st 7714  df-2nd 7715  df-supp 7857  df-wrecs 7976  df-recs 8037  df-rdg 8075  df-1o 8131  df-er 8320  df-map 8439  df-en 8556  df-dom 8557  df-sdom 8558  df-fin 8559  df-fsupp 8907  df-pnf 10755  df-mnf 10756  df-xr 10757  df-ltxr 10758  df-le 10759  df-sub 10950  df-neg 10951  df-nn 11717  df-2 11779  df-3 11780  df-4 11781  df-5 11782  df-6 11783  df-7 11784  df-8 11785  df-9 11786  df-n0 11977  df-z 12063  df-uz 12325  df-fz 12982  df-struct 16588  df-ndx 16589  df-slot 16590  df-base 16592  df-sets 16593  df-ress 16594  df-plusg 16681  df-mulr 16682  df-sca 16684  df-vsca 16685  df-tset 16687  df-0g 16818  df-mgm 17968  df-sgrp 18017  df-mnd 18028  df-grp 18222  df-subg 18394  df-mgp 19359  df-ur 19371  df-ring 19418  df-subrg 19652  df-psr 20722  df-mvr 20723  df-mpl 20724
This theorem is referenced by:  subrgvr1cl  21037
  Copyright terms: Public domain W3C validator