Theorem subrgmvrf 22070

Description: The variables in a polynomial algebra are contained in every subring algebra. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jul-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
subrgmvr.v	⊢ 𝑉 = (𝐼 mVar 𝑅)
subrgmvr.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
subrgmvr.r	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅))
subrgmvr.h	⊢ 𝐻 = (𝑅 ↾s 𝑇)
subrgmvrf.u	⊢ 𝑈 = (𝐼 mPoly 𝐻)
subrgmvrf.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
subrgmvrf	⊢ (𝜑 → 𝑉:𝐼⟶𝐵)

Proof of Theorem subrgmvrf

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (𝐼 mPwSer 𝑅) = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2		subrgmvr.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (𝐼 mVar 𝑅)
3		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))
4		subrgmvr.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
5		subrgmvr.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅))
6		subrgrcl 20593	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑅 ∈ Ring)
7	5, 6	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
8	1, 2, 3, 4, 7	mvrf 22023	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑉:𝐼⟶(Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
9	8	ffnd 6738	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑉 Fn 𝐼)
10		subrgmvr.h	. . . . . . 7 ⊢ 𝐻 = (𝑅 ↾s 𝑇)
11	2, 4, 5, 10	subrgmvr 22069	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑉 = (𝐼 mVar 𝐻))
12	11	fveq1d 6909	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑉‘𝑥) = ((𝐼 mVar 𝐻)‘𝑥))
13	12	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑉‘𝑥) = ((𝐼 mVar 𝐻)‘𝑥))
14		subrgmvrf.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (𝐼 mPoly 𝐻)
15		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (𝐼 mVar 𝐻) = (𝐼 mVar 𝐻)
16		subrgmvrf.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑈)
17	4	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝐼 ∈ 𝑊)
18	10	subrgring 20591	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐻 ∈ Ring)
19	5, 18	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ Ring)
20	19	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝐻 ∈ Ring)
21		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑥 ∈ 𝐼)
22	14, 15, 16, 17, 20, 21	mvrcl 22030	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝐼 mVar 𝐻)‘𝑥) ∈ 𝐵)
23	13, 22	eqeltrd 2839	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑉‘𝑥) ∈ 𝐵)
24	23	ralrimiva 3144	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝑉‘𝑥) ∈ 𝐵)
25		ffnfv 7139	. 2 ⊢ (𝑉:𝐼⟶𝐵 ↔ (𝑉 Fn 𝐼 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝑉‘𝑥) ∈ 𝐵))
26	9, 24, 25	sylanbrc 583	1 ⊢ (𝜑 → 𝑉:𝐼⟶𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  ∀wral 3059   Fn wfn 6558  ⟶wf 6559  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  Basecbs 17245   ↾_s cress 17274  Ringcrg 20251  SubRingcsubrg 20586   mPwSer cmps 21942   mVar cmvr 21943   mPoly cmpl 21944

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-tset 17317  df-0g 17488  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-grp 18967  df-subg 19154  df-mgp 20153  df-ur 20200  df-ring 20253  df-subrg 20587  df-psr 21947  df-mvr 21948  df-mpl 21949

This theorem is referenced by:  subrgvr1cl  22281