MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subrgpsr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem subrgpsr 20127
Description: A subring of the base ring induces a subring of power series. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
subrgpsr.s 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
subrgpsr.h 𝐻 = (𝑅s 𝑇)
subrgpsr.u 𝑈 = (𝐼 mPwSer 𝐻)
subrgpsr.b 𝐵 = (Base‘𝑈)
Assertion
Ref Expression
subrgpsr ((𝐼𝑉𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅)) → 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆))

Proof of Theorem subrgpsr
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 subrgpsr.s . . 3 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2 simpl 483 . . 3 ((𝐼𝑉𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅)) → 𝐼𝑉)
3 subrgrcl 19469 . . . 4 (𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑅 ∈ Ring)
43adantl 482 . . 3 ((𝐼𝑉𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅)) → 𝑅 ∈ Ring)
51, 2, 4psrring 20119 . 2 ((𝐼𝑉𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅)) → 𝑆 ∈ Ring)
6 subrgpsr.u . . . 4 𝑈 = (𝐼 mPwSer 𝐻)
7 subrgpsr.h . . . . . 6 𝐻 = (𝑅s 𝑇)
87subrgring 19467 . . . . 5 (𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐻 ∈ Ring)
98adantl 482 . . . 4 ((𝐼𝑉𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅)) → 𝐻 ∈ Ring)
106, 2, 9psrring 20119 . . 3 ((𝐼𝑉𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅)) → 𝑈 ∈ Ring)
11 subrgpsr.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑈)
1211a1i 11 . . . 4 ((𝐼𝑉𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅)) → 𝐵 = (Base‘𝑈))
13 eqid 2818 . . . . 5 (𝑆s 𝐵) = (𝑆s 𝐵)
14 simpr 485 . . . . 5 ((𝐼𝑉𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅)) → 𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅))
151, 7, 6, 11, 13, 14resspsrbas 20123 . . . 4 ((𝐼𝑉𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅)) → 𝐵 = (Base‘(𝑆s 𝐵)))
161, 7, 6, 11, 13, 14resspsradd 20124 . . . 4 (((𝐼𝑉𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥(+g𝑈)𝑦) = (𝑥(+g‘(𝑆s 𝐵))𝑦))
171, 7, 6, 11, 13, 14resspsrmul 20125 . . . 4 (((𝐼𝑉𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥(.r𝑈)𝑦) = (𝑥(.r‘(𝑆s 𝐵))𝑦))
1812, 15, 16, 17ringpropd 19261 . . 3 ((𝐼𝑉𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅)) → (𝑈 ∈ Ring ↔ (𝑆s 𝐵) ∈ Ring))
1910, 18mpbid 233 . 2 ((𝐼𝑉𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅)) → (𝑆s 𝐵) ∈ Ring)
20 eqid 2818 . . . . 5 (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
2113, 20ressbasss 16544 . . . 4 (Base‘(𝑆s 𝐵)) ⊆ (Base‘𝑆)
2215, 21eqsstrdi 4018 . . 3 ((𝐼𝑉𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅)) → 𝐵 ⊆ (Base‘𝑆))
23 eqid 2818 . . . . . . 7 {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} = {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
24 eqid 2818 . . . . . . 7 (0g𝑅) = (0g𝑅)
25 eqid 2818 . . . . . . 7 (1r𝑅) = (1r𝑅)
26 eqid 2818 . . . . . . 7 (1r𝑆) = (1r𝑆)
271, 2, 4, 23, 24, 25, 26psr1 20120 . . . . . 6 ((𝐼𝑉𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅)) → (1r𝑆) = (𝑥 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), (1r𝑅), (0g𝑅))))
2825subrg1cl 19472 . . . . . . . . . 10 (𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) → (1r𝑅) ∈ 𝑇)
29 subrgsubg 19470 . . . . . . . . . . 11 (𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑅))
3024subg0cl 18225 . . . . . . . . . . 11 (𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑅) → (0g𝑅) ∈ 𝑇)
3129, 30syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) → (0g𝑅) ∈ 𝑇)
3228, 31ifcld 4508 . . . . . . . . 9 (𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) → if(𝑥 = (𝐼 × {0}), (1r𝑅), (0g𝑅)) ∈ 𝑇)
3332adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝐼𝑉𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅)) → if(𝑥 = (𝐼 × {0}), (1r𝑅), (0g𝑅)) ∈ 𝑇)
347subrgbas 19473 . . . . . . . . 9 (𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑇 = (Base‘𝐻))
3534adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝐼𝑉𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅)) → 𝑇 = (Base‘𝐻))
3633, 35eleqtrd 2912 . . . . . . 7 ((𝐼𝑉𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅)) → if(𝑥 = (𝐼 × {0}), (1r𝑅), (0g𝑅)) ∈ (Base‘𝐻))
3736adantr 481 . . . . . 6 (((𝐼𝑉𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) → if(𝑥 = (𝐼 × {0}), (1r𝑅), (0g𝑅)) ∈ (Base‘𝐻))
3827, 37fmpt3d 6872 . . . . 5 ((𝐼𝑉𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅)) → (1r𝑆):{𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝐻))
39 fvex 6676 . . . . . 6 (Base‘𝐻) ∈ V
40 ovex 7178 . . . . . . 7 (ℕ0m 𝐼) ∈ V
4140rabex 5226 . . . . . 6 {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∈ V
4239, 41elmap 8424 . . . . 5 ((1r𝑆) ∈ ((Base‘𝐻) ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) ↔ (1r𝑆):{𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝐻))
4338, 42sylibr 235 . . . 4 ((𝐼𝑉𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅)) → (1r𝑆) ∈ ((Base‘𝐻) ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}))
44 eqid 2818 . . . . 5 (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
456, 44, 23, 11, 2psrbas 20086 . . . 4 ((𝐼𝑉𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅)) → 𝐵 = ((Base‘𝐻) ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}))
4643, 45eleqtrrd 2913 . . 3 ((𝐼𝑉𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅)) → (1r𝑆) ∈ 𝐵)
4722, 46jca 512 . 2 ((𝐼𝑉𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅)) → (𝐵 ⊆ (Base‘𝑆) ∧ (1r𝑆) ∈ 𝐵))
4820, 26issubrg 19464 . 2 (𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆) ↔ ((𝑆 ∈ Ring ∧ (𝑆s 𝐵) ∈ Ring) ∧ (𝐵 ⊆ (Base‘𝑆) ∧ (1r𝑆) ∈ 𝐵)))
495, 19, 47, 48syl21anbrc 1336 1 ((𝐼𝑉𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅)) → 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  {crab 3139  wss 3933  ifcif 4463  {csn 4557   × cxp 5546  ccnv 5547  cima 5551  wf 6344  cfv 6348  (class class class)co 7145  m cmap 8395  Fincfn 8497  0cc0 10525  cn 11626  0cn0 11885  Basecbs 16471  s cress 16472  0gc0g 16701  SubGrpcsubg 18211  1rcur 19180  Ringcrg 19226  SubRingcsubrg 19460   mPwSer cmps 20059
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-iin 4913  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-of 7398  df-ofr 7399  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-supp 7820  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-2o 8092  df-oadd 8095  df-er 8278  df-map 8397  df-pm 8398  df-ixp 8450  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-fsupp 8822  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12881  df-fzo 13022  df-seq 13358  df-hash 13679  df-struct 16473  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-sets 16478  df-ress 16479  df-plusg 16566  df-mulr 16567  df-sca 16569  df-vsca 16570  df-tset 16572  df-0g 16703  df-gsum 16704  df-mre 16845  df-mrc 16846  df-acs 16848  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-mhm 17944  df-submnd 17945  df-grp 18044  df-minusg 18045  df-mulg 18163  df-subg 18214  df-ghm 18294  df-cntz 18385  df-cmn 18837  df-abl 18838  df-mgp 19169  df-ur 19181  df-ring 19228  df-subrg 19462  df-psr 20064
This theorem is referenced by:  ressmplbas2  20164  subrgmpl  20169
  Copyright terms: Public domain W3C validator