MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subrgpsr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem subrgpsr 21850
Description: A subring of the base ring induces a subring of power series. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
subrgpsr.s 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
subrgpsr.h 𝐻 = (𝑅s 𝑇)
subrgpsr.u 𝑈 = (𝐼 mPwSer 𝐻)
subrgpsr.b 𝐵 = (Base‘𝑈)
Assertion
Ref Expression
subrgpsr ((𝐼𝑉𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅)) → 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆))

Proof of Theorem subrgpsr
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 subrgpsr.s . . 3 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2 simpl 482 . . 3 ((𝐼𝑉𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅)) → 𝐼𝑉)
3 subrgrcl 20474 . . . 4 (𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑅 ∈ Ring)
43adantl 481 . . 3 ((𝐼𝑉𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅)) → 𝑅 ∈ Ring)
51, 2, 4psrring 21842 . 2 ((𝐼𝑉𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅)) → 𝑆 ∈ Ring)
6 subrgpsr.u . . . 4 𝑈 = (𝐼 mPwSer 𝐻)
7 subrgpsr.h . . . . . 6 𝐻 = (𝑅s 𝑇)
87subrgring 20472 . . . . 5 (𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐻 ∈ Ring)
98adantl 481 . . . 4 ((𝐼𝑉𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅)) → 𝐻 ∈ Ring)
106, 2, 9psrring 21842 . . 3 ((𝐼𝑉𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅)) → 𝑈 ∈ Ring)
11 subrgpsr.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑈)
1211a1i 11 . . . 4 ((𝐼𝑉𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅)) → 𝐵 = (Base‘𝑈))
13 eqid 2731 . . . . 5 (𝑆s 𝐵) = (𝑆s 𝐵)
14 simpr 484 . . . . 5 ((𝐼𝑉𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅)) → 𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅))
151, 7, 6, 11, 13, 14resspsrbas 21846 . . . 4 ((𝐼𝑉𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅)) → 𝐵 = (Base‘(𝑆s 𝐵)))
161, 7, 6, 11, 13, 14resspsradd 21847 . . . 4 (((𝐼𝑉𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥(+g𝑈)𝑦) = (𝑥(+g‘(𝑆s 𝐵))𝑦))
171, 7, 6, 11, 13, 14resspsrmul 21848 . . . 4 (((𝐼𝑉𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥(.r𝑈)𝑦) = (𝑥(.r‘(𝑆s 𝐵))𝑦))
1812, 15, 16, 17ringpropd 20183 . . 3 ((𝐼𝑉𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅)) → (𝑈 ∈ Ring ↔ (𝑆s 𝐵) ∈ Ring))
1910, 18mpbid 231 . 2 ((𝐼𝑉𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅)) → (𝑆s 𝐵) ∈ Ring)
20 eqid 2731 . . . . 5 (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
2113, 20ressbasss 17190 . . . 4 (Base‘(𝑆s 𝐵)) ⊆ (Base‘𝑆)
2215, 21eqsstrdi 4036 . . 3 ((𝐼𝑉𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅)) → 𝐵 ⊆ (Base‘𝑆))
23 eqid 2731 . . . . . . 7 {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} = {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
24 eqid 2731 . . . . . . 7 (0g𝑅) = (0g𝑅)
25 eqid 2731 . . . . . . 7 (1r𝑅) = (1r𝑅)
26 eqid 2731 . . . . . . 7 (1r𝑆) = (1r𝑆)
271, 2, 4, 23, 24, 25, 26psr1 21843 . . . . . 6 ((𝐼𝑉𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅)) → (1r𝑆) = (𝑥 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), (1r𝑅), (0g𝑅))))
2825subrg1cl 20478 . . . . . . . . . 10 (𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) → (1r𝑅) ∈ 𝑇)
29 subrgsubg 20475 . . . . . . . . . . 11 (𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑅))
3024subg0cl 19057 . . . . . . . . . . 11 (𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑅) → (0g𝑅) ∈ 𝑇)
3129, 30syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) → (0g𝑅) ∈ 𝑇)
3228, 31ifcld 4574 . . . . . . . . 9 (𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) → if(𝑥 = (𝐼 × {0}), (1r𝑅), (0g𝑅)) ∈ 𝑇)
3332adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝐼𝑉𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅)) → if(𝑥 = (𝐼 × {0}), (1r𝑅), (0g𝑅)) ∈ 𝑇)
347subrgbas 20479 . . . . . . . . 9 (𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑇 = (Base‘𝐻))
3534adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝐼𝑉𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅)) → 𝑇 = (Base‘𝐻))
3633, 35eleqtrd 2834 . . . . . . 7 ((𝐼𝑉𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅)) → if(𝑥 = (𝐼 × {0}), (1r𝑅), (0g𝑅)) ∈ (Base‘𝐻))
3736adantr 480 . . . . . 6 (((𝐼𝑉𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) → if(𝑥 = (𝐼 × {0}), (1r𝑅), (0g𝑅)) ∈ (Base‘𝐻))
3827, 37fmpt3d 7117 . . . . 5 ((𝐼𝑉𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅)) → (1r𝑆):{𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝐻))
39 fvex 6904 . . . . . 6 (Base‘𝐻) ∈ V
40 ovex 7445 . . . . . . 7 (ℕ0m 𝐼) ∈ V
4140rabex 5332 . . . . . 6 {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∈ V
4239, 41elmap 8871 . . . . 5 ((1r𝑆) ∈ ((Base‘𝐻) ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) ↔ (1r𝑆):{𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝐻))
4338, 42sylibr 233 . . . 4 ((𝐼𝑉𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅)) → (1r𝑆) ∈ ((Base‘𝐻) ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}))
44 eqid 2731 . . . . 5 (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
456, 44, 23, 11, 2psrbas 21807 . . . 4 ((𝐼𝑉𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅)) → 𝐵 = ((Base‘𝐻) ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}))
4643, 45eleqtrrd 2835 . . 3 ((𝐼𝑉𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅)) → (1r𝑆) ∈ 𝐵)
4722, 46jca 511 . 2 ((𝐼𝑉𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅)) → (𝐵 ⊆ (Base‘𝑆) ∧ (1r𝑆) ∈ 𝐵))
4820, 26issubrg 20469 . 2 (𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆) ↔ ((𝑆 ∈ Ring ∧ (𝑆s 𝐵) ∈ Ring) ∧ (𝐵 ⊆ (Base‘𝑆) ∧ (1r𝑆) ∈ 𝐵)))
495, 19, 47, 48syl21anbrc 1343 1 ((𝐼𝑉𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅)) → 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2105  {crab 3431  wss 3948  ifcif 4528  {csn 4628   × cxp 5674  ccnv 5675  cima 5679  wf 6539  cfv 6543  (class class class)co 7412  m cmap 8826  Fincfn 8945  0cc0 11116  cn 12219  0cn0 12479  Basecbs 17151  s cress 17180  0gc0g 17392  SubGrpcsubg 19043  1rcur 20082  Ringcrg 20134  SubRingcsubrg 20465   mPwSer cmps 21767
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7674  df-ofr 7675  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-supp 8152  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-er 8709  df-map 8828  df-pm 8829  df-ixp 8898  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-fsupp 9368  df-sup 9443  df-oi 9511  df-card 9940  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-5 12285  df-6 12286  df-7 12287  df-8 12288  df-9 12289  df-n0 12480  df-z 12566  df-dec 12685  df-uz 12830  df-fz 13492  df-fzo 13635  df-seq 13974  df-hash 14298  df-struct 17087  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-sca 17220  df-vsca 17221  df-ip 17222  df-tset 17223  df-ple 17224  df-ds 17226  df-hom 17228  df-cco 17229  df-0g 17394  df-gsum 17395  df-prds 17400  df-pws 17402  df-mre 17537  df-mrc 17538  df-acs 17540  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-mhm 18711  df-submnd 18712  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-mulg 18994  df-subg 19046  df-ghm 19135  df-cntz 19229  df-cmn 19698  df-abl 19699  df-mgp 20036  df-rng 20054  df-ur 20083  df-ring 20136  df-subrng 20442  df-subrg 20467  df-psr 21772
This theorem is referenced by:  ressmplbas2  21893  subrgmpl  21898
  Copyright terms: Public domain W3C validator