MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subrgpsr Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem subrgpsr 21876
Description: A subring of the base ring induces a subring of power series. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
subrgpsr.s 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
subrgpsr.h 𝐻 = (𝑅 β†Ύs 𝑇)
subrgpsr.u π‘ˆ = (𝐼 mPwSer 𝐻)
subrgpsr.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
subrgpsr ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ (SubRingβ€˜π‘…)) β†’ 𝐡 ∈ (SubRingβ€˜π‘†))
Proof of Theorem subrgpsr
Dummy variables π‘₯ 𝑦 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 subrgpsr.s . . 3 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2 simpl 482 . . 3 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ (SubRingβ€˜π‘…)) β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
3 subrgrcl 20475 . . . 4 (𝑇 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
43adantl 481 . . 3 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ (SubRingβ€˜π‘…)) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
51, 2, 4psrring 21868 . 2 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ (SubRingβ€˜π‘…)) β†’ 𝑆 ∈ Ring)
6 subrgpsr.u . . . 4 π‘ˆ = (𝐼 mPwSer 𝐻)
7 subrgpsr.h . . . . . 6 𝐻 = (𝑅 β†Ύs 𝑇)
87subrgring 20473 . . . . 5 (𝑇 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ 𝐻 ∈ Ring)
98adantl 481 . . . 4 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ (SubRingβ€˜π‘…)) β†’ 𝐻 ∈ Ring)
106, 2, 9psrring 21868 . . 3 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ (SubRingβ€˜π‘…)) β†’ π‘ˆ ∈ Ring)
11 subrgpsr.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
1211a1i 11 . . . 4 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ (SubRingβ€˜π‘…)) β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ˆ))
13 eqid 2726 . . . . 5 (𝑆 β†Ύs 𝐡) = (𝑆 β†Ύs 𝐡)
14 simpr 484 . . . . 5 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ (SubRingβ€˜π‘…)) β†’ 𝑇 ∈ (SubRingβ€˜π‘…))
151, 7, 6, 11, 13, 14resspsrbas 21872 . . . 4 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ (SubRingβ€˜π‘…)) β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜(𝑆 β†Ύs 𝐡)))
161, 7, 6, 11, 13, 14resspsradd 21873 . . . 4 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ (SubRingβ€˜π‘…)) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘₯(+gβ€˜π‘ˆ)𝑦) = (π‘₯(+gβ€˜(𝑆 β†Ύs 𝐡))𝑦))
171, 7, 6, 11, 13, 14resspsrmul 21874 . . . 4 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ (SubRingβ€˜π‘…)) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘ˆ)𝑦) = (π‘₯(.rβ€˜(𝑆 β†Ύs 𝐡))𝑦))
1812, 15, 16, 17ringpropd 20184 . . 3 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ (SubRingβ€˜π‘…)) β†’ (π‘ˆ ∈ Ring ↔ (𝑆 β†Ύs 𝐡) ∈ Ring))
1910, 18mpbid 231 . 2 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ (SubRingβ€˜π‘…)) β†’ (𝑆 β†Ύs 𝐡) ∈ Ring)
20 eqid 2726 . . . . 5 (Baseβ€˜π‘†) = (Baseβ€˜π‘†)
2113, 20ressbasss 17189 . . . 4 (Baseβ€˜(𝑆 β†Ύs 𝐡)) βŠ† (Baseβ€˜π‘†)
2215, 21eqsstrdi 4031 . . 3 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ (SubRingβ€˜π‘…)) β†’ 𝐡 βŠ† (Baseβ€˜π‘†))
23 eqid 2726 . . . . . . 7 {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} = {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}
24 eqid 2726 . . . . . . 7 (0gβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…)
25 eqid 2726 . . . . . . 7 (1rβ€˜π‘…) = (1rβ€˜π‘…)
26 eqid 2726 . . . . . . 7 (1rβ€˜π‘†) = (1rβ€˜π‘†)
271, 2, 4, 23, 24, 25, 26psr1 21869 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ (SubRingβ€˜π‘…)) β†’ (1rβ€˜π‘†) = (π‘₯ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ if(π‘₯ = (𝐼 Γ— {0}), (1rβ€˜π‘…), (0gβ€˜π‘…))))
2825subrg1cl 20479 . . . . . . . . . 10 (𝑇 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ (1rβ€˜π‘…) ∈ 𝑇)
29 subrgsubg 20476 . . . . . . . . . . 11 (𝑇 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ 𝑇 ∈ (SubGrpβ€˜π‘…))
3024subg0cl 19058 . . . . . . . . . . 11 (𝑇 ∈ (SubGrpβ€˜π‘…) β†’ (0gβ€˜π‘…) ∈ 𝑇)
3129, 30syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑇 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ (0gβ€˜π‘…) ∈ 𝑇)
3228, 31ifcld 4569 . . . . . . . . 9 (𝑇 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ if(π‘₯ = (𝐼 Γ— {0}), (1rβ€˜π‘…), (0gβ€˜π‘…)) ∈ 𝑇)
3332adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ (SubRingβ€˜π‘…)) β†’ if(π‘₯ = (𝐼 Γ— {0}), (1rβ€˜π‘…), (0gβ€˜π‘…)) ∈ 𝑇)
347subrgbas 20480 . . . . . . . . 9 (𝑇 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ 𝑇 = (Baseβ€˜π»))
3534adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ (SubRingβ€˜π‘…)) β†’ 𝑇 = (Baseβ€˜π»))
3633, 35eleqtrd 2829 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ (SubRingβ€˜π‘…)) β†’ if(π‘₯ = (𝐼 Γ— {0}), (1rβ€˜π‘…), (0gβ€˜π‘…)) ∈ (Baseβ€˜π»))
3736adantr 480 . . . . . 6 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ (SubRingβ€˜π‘…)) ∧ π‘₯ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ if(π‘₯ = (𝐼 Γ— {0}), (1rβ€˜π‘…), (0gβ€˜π‘…)) ∈ (Baseβ€˜π»))
3827, 37fmpt3d 7110 . . . . 5 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ (SubRingβ€˜π‘…)) β†’ (1rβ€˜π‘†):{𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}⟢(Baseβ€˜π»))
39 fvex 6897 . . . . . 6 (Baseβ€˜π») ∈ V
40 ovex 7437 . . . . . . 7 (β„•0 ↑m 𝐼) ∈ V
4140rabex 5325 . . . . . 6 {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ∈ V
4239, 41elmap 8864 . . . . 5 ((1rβ€˜π‘†) ∈ ((Baseβ€˜π») ↑m {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ↔ (1rβ€˜π‘†):{𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}⟢(Baseβ€˜π»))
4338, 42sylibr 233 . . . 4 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ (SubRingβ€˜π‘…)) β†’ (1rβ€˜π‘†) ∈ ((Baseβ€˜π») ↑m {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}))
44 eqid 2726 . . . . 5 (Baseβ€˜π») = (Baseβ€˜π»)
456, 44, 23, 11, 2psrbas 21833 . . . 4 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ (SubRingβ€˜π‘…)) β†’ 𝐡 = ((Baseβ€˜π») ↑m {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}))
4643, 45eleqtrrd 2830 . . 3 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ (SubRingβ€˜π‘…)) β†’ (1rβ€˜π‘†) ∈ 𝐡)
4722, 46jca 511 . 2 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ (SubRingβ€˜π‘…)) β†’ (𝐡 βŠ† (Baseβ€˜π‘†) ∧ (1rβ€˜π‘†) ∈ 𝐡))
4820, 26issubrg 20470 . 2 (𝐡 ∈ (SubRingβ€˜π‘†) ↔ ((𝑆 ∈ Ring ∧ (𝑆 β†Ύs 𝐡) ∈ Ring) ∧ (𝐡 βŠ† (Baseβ€˜π‘†) ∧ (1rβ€˜π‘†) ∈ 𝐡)))
495, 19, 47, 48syl21anbrc 1341 1 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ (SubRingβ€˜π‘…)) β†’ 𝐡 ∈ (SubRingβ€˜π‘†))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {crab 3426   βŠ† wss 3943  ifcif 4523  {csn 4623   Γ— cxp 5667  β—‘ccnv 5668   β€œ cima 5672  βŸΆwf 6532  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404   ↑m cmap 8819  Fincfn 8938  0cc0 11109  β„•cn 12213  β„•0cn0 12473  Basecbs 17150   β†Ύs cress 17179  0gc0g 17391  SubGrpcsubg 19044  1rcur 20083  Ringcrg 20135  SubRingcsubrg 20466   mPwSer cmps 21793
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-of 7666  df-ofr 7667  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8144  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-sup 9436  df-oi 9504  df-card 9933  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-7 12281  df-8 12282  df-9 12283  df-n0 12474  df-z 12560  df-dec 12679  df-uz 12824  df-fz 13488  df-fzo 13631  df-seq 13970  df-hash 14293  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17151  df-ress 17180  df-plusg 17216  df-mulr 17217  df-sca 17219  df-vsca 17220  df-ip 17221  df-tset 17222  df-ple 17223  df-ds 17225  df-hom 17227  df-cco 17228  df-0g 17393  df-gsum 17394  df-prds 17399  df-pws 17401  df-mre 17536  df-mrc 17537  df-acs 17539  df-mgm 18570  df-sgrp 18649  df-mnd 18665  df-mhm 18710  df-submnd 18711  df-grp 18863  df-minusg 18864  df-mulg 18993  df-subg 19047  df-ghm 19136  df-cntz 19230  df-cmn 19699  df-abl 19700  df-mgp 20037  df-rng 20055  df-ur 20084  df-ring 20137  df-subrng 20443  df-subrg 20468  df-psr 21798
This theorem is referenced by:  ressmplbas2  21919  subrgmpl  21924
  Copyright terms: Public domain W3C validator