MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subrgpsr Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem subrgpsr 21928
Description: A subring of the base ring induces a subring of power series. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
subrgpsr.s 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
subrgpsr.h 𝐻 = (𝑅 β†Ύs 𝑇)
subrgpsr.u π‘ˆ = (𝐼 mPwSer 𝐻)
subrgpsr.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
subrgpsr ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ (SubRingβ€˜π‘…)) β†’ 𝐡 ∈ (SubRingβ€˜π‘†))
Proof of Theorem subrgpsr
Dummy variables π‘₯ 𝑦 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 subrgpsr.s . . 3 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2 simpl 481 . . 3 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ (SubRingβ€˜π‘…)) β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
3 subrgrcl 20522 . . . 4 (𝑇 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
43adantl 480 . . 3 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ (SubRingβ€˜π‘…)) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
51, 2, 4psrring 21920 . 2 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ (SubRingβ€˜π‘…)) β†’ 𝑆 ∈ Ring)
6 subrgpsr.u . . . 4 π‘ˆ = (𝐼 mPwSer 𝐻)
7 subrgpsr.h . . . . . 6 𝐻 = (𝑅 β†Ύs 𝑇)
87subrgring 20520 . . . . 5 (𝑇 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ 𝐻 ∈ Ring)
98adantl 480 . . . 4 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ (SubRingβ€˜π‘…)) β†’ 𝐻 ∈ Ring)
106, 2, 9psrring 21920 . . 3 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ (SubRingβ€˜π‘…)) β†’ π‘ˆ ∈ Ring)
11 subrgpsr.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
1211a1i 11 . . . 4 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ (SubRingβ€˜π‘…)) β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ˆ))
13 eqid 2728 . . . . 5 (𝑆 β†Ύs 𝐡) = (𝑆 β†Ύs 𝐡)
14 simpr 483 . . . . 5 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ (SubRingβ€˜π‘…)) β†’ 𝑇 ∈ (SubRingβ€˜π‘…))
151, 7, 6, 11, 13, 14resspsrbas 21924 . . . 4 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ (SubRingβ€˜π‘…)) β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜(𝑆 β†Ύs 𝐡)))
161, 7, 6, 11, 13, 14resspsradd 21925 . . . 4 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ (SubRingβ€˜π‘…)) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘₯(+gβ€˜π‘ˆ)𝑦) = (π‘₯(+gβ€˜(𝑆 β†Ύs 𝐡))𝑦))
171, 7, 6, 11, 13, 14resspsrmul 21926 . . . 4 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ (SubRingβ€˜π‘…)) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘ˆ)𝑦) = (π‘₯(.rβ€˜(𝑆 β†Ύs 𝐡))𝑦))
1812, 15, 16, 17ringpropd 20231 . . 3 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ (SubRingβ€˜π‘…)) β†’ (π‘ˆ ∈ Ring ↔ (𝑆 β†Ύs 𝐡) ∈ Ring))
1910, 18mpbid 231 . 2 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ (SubRingβ€˜π‘…)) β†’ (𝑆 β†Ύs 𝐡) ∈ Ring)
20 eqid 2728 . . . . 5 (Baseβ€˜π‘†) = (Baseβ€˜π‘†)
2113, 20ressbasss 17226 . . . 4 (Baseβ€˜(𝑆 β†Ύs 𝐡)) βŠ† (Baseβ€˜π‘†)
2215, 21eqsstrdi 4036 . . 3 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ (SubRingβ€˜π‘…)) β†’ 𝐡 βŠ† (Baseβ€˜π‘†))
23 eqid 2728 . . . . . . 7 {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} = {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}
24 eqid 2728 . . . . . . 7 (0gβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…)
25 eqid 2728 . . . . . . 7 (1rβ€˜π‘…) = (1rβ€˜π‘…)
26 eqid 2728 . . . . . . 7 (1rβ€˜π‘†) = (1rβ€˜π‘†)
271, 2, 4, 23, 24, 25, 26psr1 21921 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ (SubRingβ€˜π‘…)) β†’ (1rβ€˜π‘†) = (π‘₯ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ if(π‘₯ = (𝐼 Γ— {0}), (1rβ€˜π‘…), (0gβ€˜π‘…))))
2825subrg1cl 20526 . . . . . . . . . 10 (𝑇 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ (1rβ€˜π‘…) ∈ 𝑇)
29 subrgsubg 20523 . . . . . . . . . . 11 (𝑇 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ 𝑇 ∈ (SubGrpβ€˜π‘…))
3024subg0cl 19096 . . . . . . . . . . 11 (𝑇 ∈ (SubGrpβ€˜π‘…) β†’ (0gβ€˜π‘…) ∈ 𝑇)
3129, 30syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑇 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ (0gβ€˜π‘…) ∈ 𝑇)
3228, 31ifcld 4578 . . . . . . . . 9 (𝑇 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ if(π‘₯ = (𝐼 Γ— {0}), (1rβ€˜π‘…), (0gβ€˜π‘…)) ∈ 𝑇)
3332adantl 480 . . . . . . . 8 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ (SubRingβ€˜π‘…)) β†’ if(π‘₯ = (𝐼 Γ— {0}), (1rβ€˜π‘…), (0gβ€˜π‘…)) ∈ 𝑇)
347subrgbas 20527 . . . . . . . . 9 (𝑇 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ 𝑇 = (Baseβ€˜π»))
3534adantl 480 . . . . . . . 8 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ (SubRingβ€˜π‘…)) β†’ 𝑇 = (Baseβ€˜π»))
3633, 35eleqtrd 2831 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ (SubRingβ€˜π‘…)) β†’ if(π‘₯ = (𝐼 Γ— {0}), (1rβ€˜π‘…), (0gβ€˜π‘…)) ∈ (Baseβ€˜π»))
3736adantr 479 . . . . . 6 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ (SubRingβ€˜π‘…)) ∧ π‘₯ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ if(π‘₯ = (𝐼 Γ— {0}), (1rβ€˜π‘…), (0gβ€˜π‘…)) ∈ (Baseβ€˜π»))
3827, 37fmpt3d 7131 . . . . 5 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ (SubRingβ€˜π‘…)) β†’ (1rβ€˜π‘†):{𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}⟢(Baseβ€˜π»))
39 fvex 6915 . . . . . 6 (Baseβ€˜π») ∈ V
40 ovex 7459 . . . . . . 7 (β„•0 ↑m 𝐼) ∈ V
4140rabex 5338 . . . . . 6 {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ∈ V
4239, 41elmap 8896 . . . . 5 ((1rβ€˜π‘†) ∈ ((Baseβ€˜π») ↑m {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ↔ (1rβ€˜π‘†):{𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}⟢(Baseβ€˜π»))
4338, 42sylibr 233 . . . 4 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ (SubRingβ€˜π‘…)) β†’ (1rβ€˜π‘†) ∈ ((Baseβ€˜π») ↑m {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}))
44 eqid 2728 . . . . 5 (Baseβ€˜π») = (Baseβ€˜π»)
456, 44, 23, 11, 2psrbas 21885 . . . 4 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ (SubRingβ€˜π‘…)) β†’ 𝐡 = ((Baseβ€˜π») ↑m {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}))
4643, 45eleqtrrd 2832 . . 3 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ (SubRingβ€˜π‘…)) β†’ (1rβ€˜π‘†) ∈ 𝐡)
4722, 46jca 510 . 2 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ (SubRingβ€˜π‘…)) β†’ (𝐡 βŠ† (Baseβ€˜π‘†) ∧ (1rβ€˜π‘†) ∈ 𝐡))
4820, 26issubrg 20517 . 2 (𝐡 ∈ (SubRingβ€˜π‘†) ↔ ((𝑆 ∈ Ring ∧ (𝑆 β†Ύs 𝐡) ∈ Ring) ∧ (𝐡 βŠ† (Baseβ€˜π‘†) ∧ (1rβ€˜π‘†) ∈ 𝐡)))
495, 19, 47, 48syl21anbrc 1341 1 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ (SubRingβ€˜π‘…)) β†’ 𝐡 ∈ (SubRingβ€˜π‘†))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {crab 3430   βŠ† wss 3949  ifcif 4532  {csn 4632   Γ— cxp 5680  β—‘ccnv 5681   β€œ cima 5685  βŸΆwf 6549  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426   ↑m cmap 8851  Fincfn 8970  0cc0 11146  β„•cn 12250  β„•0cn0 12510  Basecbs 17187   β†Ύs cress 17216  0gc0g 17428  SubGrpcsubg 19082  1rcur 20128  Ringcrg 20180  SubRingcsubrg 20513   mPwSer cmps 21844
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-iin 5003  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-of 7691  df-ofr 7692  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-supp 8172  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-er 8731  df-map 8853  df-pm 8854  df-ixp 8923  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-fsupp 9394  df-sup 9473  df-oi 9541  df-card 9970  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-n0 12511  df-z 12597  df-dec 12716  df-uz 12861  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-seq 14007  df-hash 14330  df-struct 17123  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-ress 17217  df-plusg 17253  df-mulr 17254  df-sca 17256  df-vsca 17257  df-ip 17258  df-tset 17259  df-ple 17260  df-ds 17262  df-hom 17264  df-cco 17265  df-0g 17430  df-gsum 17431  df-prds 17436  df-pws 17438  df-mre 17573  df-mrc 17574  df-acs 17576  df-mgm 18607  df-sgrp 18686  df-mnd 18702  df-mhm 18747  df-submnd 18748  df-grp 18900  df-minusg 18901  df-mulg 19031  df-subg 19085  df-ghm 19175  df-cntz 19275  df-cmn 19744  df-abl 19745  df-mgp 20082  df-rng 20100  df-ur 20129  df-ring 20182  df-subrng 20490  df-subrg 20515  df-psr 21849
This theorem is referenced by:  ressmplbas2  21972  subrgmpl  21977
  Copyright terms: Public domain W3C validator