MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subrgpsr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem subrgpsr 21411
Description: A subring of the base ring induces a subring of power series. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
subrgpsr.s 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
subrgpsr.h 𝐻 = (𝑅 β†Ύs 𝑇)
subrgpsr.u π‘ˆ = (𝐼 mPwSer 𝐻)
subrgpsr.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
subrgpsr ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ (SubRingβ€˜π‘…)) β†’ 𝐡 ∈ (SubRingβ€˜π‘†))

Proof of Theorem subrgpsr
Dummy variables π‘₯ 𝑦 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 subrgpsr.s . . 3 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2 simpl 484 . . 3 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ (SubRingβ€˜π‘…)) β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
3 subrgrcl 20269 . . . 4 (𝑇 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
43adantl 483 . . 3 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ (SubRingβ€˜π‘…)) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
51, 2, 4psrring 21403 . 2 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ (SubRingβ€˜π‘…)) β†’ 𝑆 ∈ Ring)
6 subrgpsr.u . . . 4 π‘ˆ = (𝐼 mPwSer 𝐻)
7 subrgpsr.h . . . . . 6 𝐻 = (𝑅 β†Ύs 𝑇)
87subrgring 20267 . . . . 5 (𝑇 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ 𝐻 ∈ Ring)
98adantl 483 . . . 4 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ (SubRingβ€˜π‘…)) β†’ 𝐻 ∈ Ring)
106, 2, 9psrring 21403 . . 3 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ (SubRingβ€˜π‘…)) β†’ π‘ˆ ∈ Ring)
11 subrgpsr.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
1211a1i 11 . . . 4 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ (SubRingβ€˜π‘…)) β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ˆ))
13 eqid 2733 . . . . 5 (𝑆 β†Ύs 𝐡) = (𝑆 β†Ύs 𝐡)
14 simpr 486 . . . . 5 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ (SubRingβ€˜π‘…)) β†’ 𝑇 ∈ (SubRingβ€˜π‘…))
151, 7, 6, 11, 13, 14resspsrbas 21407 . . . 4 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ (SubRingβ€˜π‘…)) β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜(𝑆 β†Ύs 𝐡)))
161, 7, 6, 11, 13, 14resspsradd 21408 . . . 4 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ (SubRingβ€˜π‘…)) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘₯(+gβ€˜π‘ˆ)𝑦) = (π‘₯(+gβ€˜(𝑆 β†Ύs 𝐡))𝑦))
171, 7, 6, 11, 13, 14resspsrmul 21409 . . . 4 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ (SubRingβ€˜π‘…)) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘ˆ)𝑦) = (π‘₯(.rβ€˜(𝑆 β†Ύs 𝐡))𝑦))
1812, 15, 16, 17ringpropd 20014 . . 3 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ (SubRingβ€˜π‘…)) β†’ (π‘ˆ ∈ Ring ↔ (𝑆 β†Ύs 𝐡) ∈ Ring))
1910, 18mpbid 231 . 2 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ (SubRingβ€˜π‘…)) β†’ (𝑆 β†Ύs 𝐡) ∈ Ring)
20 eqid 2733 . . . . 5 (Baseβ€˜π‘†) = (Baseβ€˜π‘†)
2113, 20ressbasss 17129 . . . 4 (Baseβ€˜(𝑆 β†Ύs 𝐡)) βŠ† (Baseβ€˜π‘†)
2215, 21eqsstrdi 4002 . . 3 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ (SubRingβ€˜π‘…)) β†’ 𝐡 βŠ† (Baseβ€˜π‘†))
23 eqid 2733 . . . . . . 7 {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} = {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}
24 eqid 2733 . . . . . . 7 (0gβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…)
25 eqid 2733 . . . . . . 7 (1rβ€˜π‘…) = (1rβ€˜π‘…)
26 eqid 2733 . . . . . . 7 (1rβ€˜π‘†) = (1rβ€˜π‘†)
271, 2, 4, 23, 24, 25, 26psr1 21404 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ (SubRingβ€˜π‘…)) β†’ (1rβ€˜π‘†) = (π‘₯ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ if(π‘₯ = (𝐼 Γ— {0}), (1rβ€˜π‘…), (0gβ€˜π‘…))))
2825subrg1cl 20272 . . . . . . . . . 10 (𝑇 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ (1rβ€˜π‘…) ∈ 𝑇)
29 subrgsubg 20270 . . . . . . . . . . 11 (𝑇 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ 𝑇 ∈ (SubGrpβ€˜π‘…))
3024subg0cl 18944 . . . . . . . . . . 11 (𝑇 ∈ (SubGrpβ€˜π‘…) β†’ (0gβ€˜π‘…) ∈ 𝑇)
3129, 30syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑇 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ (0gβ€˜π‘…) ∈ 𝑇)
3228, 31ifcld 4536 . . . . . . . . 9 (𝑇 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ if(π‘₯ = (𝐼 Γ— {0}), (1rβ€˜π‘…), (0gβ€˜π‘…)) ∈ 𝑇)
3332adantl 483 . . . . . . . 8 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ (SubRingβ€˜π‘…)) β†’ if(π‘₯ = (𝐼 Γ— {0}), (1rβ€˜π‘…), (0gβ€˜π‘…)) ∈ 𝑇)
347subrgbas 20273 . . . . . . . . 9 (𝑇 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ 𝑇 = (Baseβ€˜π»))
3534adantl 483 . . . . . . . 8 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ (SubRingβ€˜π‘…)) β†’ 𝑇 = (Baseβ€˜π»))
3633, 35eleqtrd 2836 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ (SubRingβ€˜π‘…)) β†’ if(π‘₯ = (𝐼 Γ— {0}), (1rβ€˜π‘…), (0gβ€˜π‘…)) ∈ (Baseβ€˜π»))
3736adantr 482 . . . . . 6 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ (SubRingβ€˜π‘…)) ∧ π‘₯ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ if(π‘₯ = (𝐼 Γ— {0}), (1rβ€˜π‘…), (0gβ€˜π‘…)) ∈ (Baseβ€˜π»))
3827, 37fmpt3d 7068 . . . . 5 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ (SubRingβ€˜π‘…)) β†’ (1rβ€˜π‘†):{𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}⟢(Baseβ€˜π»))
39 fvex 6859 . . . . . 6 (Baseβ€˜π») ∈ V
40 ovex 7394 . . . . . . 7 (β„•0 ↑m 𝐼) ∈ V
4140rabex 5293 . . . . . 6 {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ∈ V
4239, 41elmap 8815 . . . . 5 ((1rβ€˜π‘†) ∈ ((Baseβ€˜π») ↑m {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ↔ (1rβ€˜π‘†):{𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}⟢(Baseβ€˜π»))
4338, 42sylibr 233 . . . 4 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ (SubRingβ€˜π‘…)) β†’ (1rβ€˜π‘†) ∈ ((Baseβ€˜π») ↑m {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}))
44 eqid 2733 . . . . 5 (Baseβ€˜π») = (Baseβ€˜π»)
456, 44, 23, 11, 2psrbas 21369 . . . 4 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ (SubRingβ€˜π‘…)) β†’ 𝐡 = ((Baseβ€˜π») ↑m {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}))
4643, 45eleqtrrd 2837 . . 3 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ (SubRingβ€˜π‘…)) β†’ (1rβ€˜π‘†) ∈ 𝐡)
4722, 46jca 513 . 2 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ (SubRingβ€˜π‘…)) β†’ (𝐡 βŠ† (Baseβ€˜π‘†) ∧ (1rβ€˜π‘†) ∈ 𝐡))
4820, 26issubrg 20264 . 2 (𝐡 ∈ (SubRingβ€˜π‘†) ↔ ((𝑆 ∈ Ring ∧ (𝑆 β†Ύs 𝐡) ∈ Ring) ∧ (𝐡 βŠ† (Baseβ€˜π‘†) ∧ (1rβ€˜π‘†) ∈ 𝐡)))
495, 19, 47, 48syl21anbrc 1345 1 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ (SubRingβ€˜π‘…)) β†’ 𝐡 ∈ (SubRingβ€˜π‘†))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  {crab 3406   βŠ† wss 3914  ifcif 4490  {csn 4590   Γ— cxp 5635  β—‘ccnv 5636   β€œ cima 5640  βŸΆwf 6496  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361   ↑m cmap 8771  Fincfn 8889  0cc0 11059  β„•cn 12161  β„•0cn0 12421  Basecbs 17091   β†Ύs cress 17120  0gc0g 17329  SubGrpcsubg 18930  1rcur 19921  Ringcrg 19972  SubRingcsubrg 20260   mPwSer cmps 21329
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-se 5593  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-of 7621  df-ofr 7622  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-supp 8097  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-er 8654  df-map 8773  df-pm 8774  df-ixp 8842  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-fsupp 9312  df-sup 9386  df-oi 9454  df-card 9883  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-5 12227  df-6 12228  df-7 12229  df-8 12230  df-9 12231  df-n0 12422  df-z 12508  df-dec 12627  df-uz 12772  df-fz 13434  df-fzo 13577  df-seq 13916  df-hash 14240  df-struct 17027  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-ress 17121  df-plusg 17154  df-mulr 17155  df-sca 17157  df-vsca 17158  df-ip 17159  df-tset 17160  df-ple 17161  df-ds 17163  df-hom 17165  df-cco 17166  df-0g 17331  df-gsum 17332  df-prds 17337  df-pws 17339  df-mre 17474  df-mrc 17475  df-acs 17477  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-mhm 18609  df-submnd 18610  df-grp 18759  df-minusg 18760  df-mulg 18881  df-subg 18933  df-ghm 19014  df-cntz 19105  df-cmn 19572  df-abl 19573  df-mgp 19905  df-ur 19922  df-ring 19974  df-subrg 20262  df-psr 21334
This theorem is referenced by:  ressmplbas2  21451  subrgmpl  21456
  Copyright terms: Public domain W3C validator