Theorem subrgpsr 22087

Description: A subring of the base ring induces a subring of power series. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jul-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
subrgpsr.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
subrgpsr.h	⊢ 𝐻 = (𝑅 ↾s 𝑇)
subrgpsr.u	⊢ 𝑈 = (𝐼 mPwSer 𝐻)
subrgpsr.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
subrgpsr	⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅)) → 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆))

Proof of Theorem subrgpsr

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subrgpsr.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2		simpl 487	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅)) → 𝐼 ∈ 𝑉)
3		subrgrcl 20652	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑅 ∈ Ring)
4	3	adantl 486	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅)) → 𝑅 ∈ Ring)
5	1, 2, 4	psrring 22079	. 2 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅)) → 𝑆 ∈ Ring)
6		subrgpsr.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (𝐼 mPwSer 𝐻)
7		subrgpsr.h	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (𝑅 ↾s 𝑇)
8	7	subrgring 20650	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐻 ∈ Ring)
9	8	adantl 486	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅)) → 𝐻 ∈ Ring)
10	6, 2, 9	psrring 22079	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅)) → 𝑈 ∈ Ring)
11		subrgpsr.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑈)
12	11	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅)) → 𝐵 = (Base‘𝑈))
13		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ↾s 𝐵) = (𝑆 ↾s 𝐵)
14		simpr 489	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅)) → 𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅))
15	1, 7, 6, 11, 13, 14	resspsrbas 22083	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅)) → 𝐵 = (Base‘(𝑆 ↾s 𝐵)))
16	1, 7, 6, 11, 13, 14	resspsradd 22084	. . . 4 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘𝑈)𝑦) = (𝑥(+g‘(𝑆 ↾s 𝐵))𝑦))
17	1, 7, 6, 11, 13, 14	resspsrmul 22085	. . . 4 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(.r‘𝑈)𝑦) = (𝑥(.r‘(𝑆 ↾s 𝐵))𝑦))
18	12, 15, 16, 17	ringpropd 20362	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅)) → (𝑈 ∈ Ring ↔ (𝑆 ↾s 𝐵) ∈ Ring))
19	10, 18	mpbid 235	. 2 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅)) → (𝑆 ↾s 𝐵) ∈ Ring)
20		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
21	13, 20	ressbasss 17289	. . . 4 ⊢ (Base‘(𝑆 ↾s 𝐵)) ⊆ (Base‘𝑆)
22	15, 21	eqsstrdi 3983	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅)) → 𝐵 ⊆ (Base‘𝑆))
23		eqid 2765	. . . . . . 7 ⊢ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
24		eqid 2765	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
25		eqid 2765	. . . . . . 7 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
26		eqid 2765	. . . . . . 7 ⊢ (1r‘𝑆) = (1r‘𝑆)
27	1, 2, 4, 23, 24, 25, 26	psr1 22080	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅)) → (1r‘𝑆) = (𝑥 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))))
28	25	subrg1cl 20656	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) → (1r‘𝑅) ∈ 𝑇)
29		subrgsubg 20653	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑅))
30	24	subg0cl 19191	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑅) → (0g‘𝑅) ∈ 𝑇)
31	29, 30	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) → (0g‘𝑅) ∈ 𝑇)
32	28, 31	ifcld 4530	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) → if(𝑥 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)) ∈ 𝑇)
33	32	adantl 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅)) → if(𝑥 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)) ∈ 𝑇)
34	7	subrgbas 20657	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑇 = (Base‘𝐻))
35	34	adantl 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅)) → 𝑇 = (Base‘𝐻))
36	33, 35	eleqtrd 2867	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅)) → if(𝑥 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)) ∈ (Base‘𝐻))
37	36	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) → if(𝑥 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)) ∈ (Base‘𝐻))
38	27, 37	fmpt3d 7101	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅)) → (1r‘𝑆):{𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝐻))
39		fvex 6884	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐻) ∈ V
40		ovex 7433	. . . . . . 7 ⊢ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∈ V
41	40	rabex 5300	. . . . . 6 ⊢ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∈ V
42	39, 41	elmap 8857	. . . . 5 ⊢ ((1r‘𝑆) ∈ ((Base‘𝐻) ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) ↔ (1r‘𝑆):{𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝐻))
43	38, 42	sylibr 237	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅)) → (1r‘𝑆) ∈ ((Base‘𝐻) ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}))
44		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
45	6, 44, 23, 11, 2	psrbas 22044	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅)) → 𝐵 = ((Base‘𝐻) ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}))
46	43, 45	eleqtrrd 2868	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅)) → (1r‘𝑆) ∈ 𝐵)
47	22, 46	jca 520	. 2 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅)) → (𝐵 ⊆ (Base‘𝑆) ∧ (1r‘𝑆) ∈ 𝐵))
48	20, 26	issubrg 20647	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆) ↔ ((𝑆 ∈ Ring ∧ (𝑆 ↾s 𝐵) ∈ Ring) ∧ (𝐵 ⊆ (Base‘𝑆) ∧ (1r‘𝑆) ∈ 𝐵)))
49	5, 19, 47, 48	syl21anbrc 1361	1 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅)) → 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  {crab 3417   ⊆ wss 3907  ifcif 4483  {csn 4585   × cxp 5650  ^◡ccnv 5651   “ cima 5655  ⟶wf 6521  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400   ↑_m cmap 8812  Fincfn 8931  0cc0 11088  ℕcn 12224  ℕ₀cn0 12495  Basecbs 17259   ↾_s cress 17280  0_gc0g 17482  SubGrpcsubg 19177  1_rcur 20254  Ringcrg 20306  SubRingcsubrg 20645   mPwSer cmps 22014

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4869  df-int 4909  df-iun 4954  df-iin 4955  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-se 5606  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-isom 6534  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-of 7664  df-ofr 7665  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8145  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-2o 8442  df-er 8682  df-map 8814  df-pm 8815  df-ixp 8884  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-fsupp 9310  df-sup 9390  df-oi 9460  df-card 9913  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-nn 12225  df-2 12294  df-3 12295  df-4 12296  df-5 12297  df-6 12298  df-7 12299  df-8 12300  df-9 12301  df-n0 12496  df-z 12583  df-dec 12703  df-uz 12854  df-fz 13527  df-fzo 13674  df-seq 14029  df-hash 14358  df-struct 17197  df-sets 17214  df-slot 17232  df-ndx 17244  df-base 17260  df-ress 17281  df-plusg 17313  df-mulr 17314  df-sca 17316  df-vsca 17317  df-ip 17318  df-tset 17319  df-ple 17320  df-ds 17322  df-hom 17324  df-cco 17325  df-0g 17484  df-gsum 17485  df-prds 17490  df-pws 17492  df-mre 17628  df-mrc 17629  df-acs 17631  df-mgm 18688  df-sgrp 18767  df-mnd 18783  df-mhm 18831  df-submnd 18832  df-grp 18993  df-minusg 18994  df-mulg 19125  df-subg 19180  df-ghm 19275  df-cntz 19378  df-cmn 19843  df-abl 19844  df-mgp 20208  df-rng 20222  df-ur 20255  df-ring 20308  df-subrng 20622  df-subrg 20646  df-psr 22019

This theorem is referenced by:  ressmplbas2  22137  subrgmpl  22142