Theorem subrgsubg 20468

Description: A subring is a subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
subrgsubg	⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐴 ∈ (SubGrp‘𝑅))

Proof of Theorem subrgsubg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subrgrcl 20467	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑅 ∈ Ring)
2		ringgrp 20133	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑅 ∈ Grp)
4		eqid 2731	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
5	4	subrgss 20463	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐴 ⊆ (Base‘𝑅))
6		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (𝑅 ↾s 𝐴) = (𝑅 ↾s 𝐴)
7	6	subrgring 20465	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → (𝑅 ↾s 𝐴) ∈ Ring)
8		ringgrp 20133	. . 3 ⊢ ((𝑅 ↾s 𝐴) ∈ Ring → (𝑅 ↾s 𝐴) ∈ Grp)
9	7, 8	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → (𝑅 ↾s 𝐴) ∈ Grp)
10	4	issubg 19043	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (SubGrp‘𝑅) ↔ (𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐴 ⊆ (Base‘𝑅) ∧ (𝑅 ↾s 𝐴) ∈ Grp))
11	3, 5, 9, 10	syl3anbrc 1342	1 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐴 ∈ (SubGrp‘𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2105   ⊆ wss 3948  ‘cfv 6543  (class class class)co 7412  Basecbs 17149   ↾_s cress 17178  Grpcgrp 18856  SubGrpcsubg 19037  Ringcrg 20128  SubRingcsubrg 20458

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fv 6551  df-ov 7415  df-subg 19040  df-ring 20130  df-subrg 20460

This theorem is referenced by:  subrg0  20470  subrgbas  20472  subrgacl  20474  issubrg2  20483  subrgint  20486  resrhm  20492  resrhm2b  20493  rhmima  20495  subdrgint  20563  primefld0cl  20566  abvres  20591  zsssubrg  21204  gzrngunitlem  21211  zringlpirlem1  21234  zringcyg  21241  zringsubgval  21242  prmirred  21246  zndvds  21325  resubgval  21382  rzgrp  21396  issubassa2  21666  resspsrmul  21757  subrgpsr  21759  mplbas2  21817  gsumply1subr  21977  subrgnrg  24411  sranlm  24422  clmsub  24828  clmneg  24829  clmabs  24831  clmsubcl  24834  isncvsngp  24898  cphsqrtcl3  24936  tcphcph  24986  plypf1  25962  dvply2g  26035  taylply2  26117  circgrp  26298  circsubm  26299  jensenlem2  26729  amgmlem  26731  lgseisenlem4  27118  qrng0  27361  qrngneg  27363  subrgchr  32657  1fldgenq  32683  nn0archi  32733  idlinsubrg  32824  ressply10g  32931  ressply1invg  32933  ressply1sub  32934  drgext0gsca  32967  fedgmullem1  33003  fedgmullem2  33004  evls1fldgencl  33034  irngss  33041  algextdeglem1  33063  algextdeglem2  33064  algextdeglem3  33065  algextdeglem4  33066  algextdeglem5  33067  rezh  33250  qqhcn  33270  qqhucn  33271  fsumcnsrcl  42211  cnsrplycl  42212  rngunsnply  42218  amgmwlem  47937