Theorem subrgsubg 19806

Description: A subring is a subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
subrgsubg	⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐴 ∈ (SubGrp‘𝑅))

Proof of Theorem subrgsubg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subrgrcl 19805	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑅 ∈ Ring)
2		ringgrp 19567	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑅 ∈ Grp)
4		eqid 2737	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
5	4	subrgss 19801	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐴 ⊆ (Base‘𝑅))
6		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (𝑅 ↾s 𝐴) = (𝑅 ↾s 𝐴)
7	6	subrgring 19803	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → (𝑅 ↾s 𝐴) ∈ Ring)
8		ringgrp 19567	. . 3 ⊢ ((𝑅 ↾s 𝐴) ∈ Ring → (𝑅 ↾s 𝐴) ∈ Grp)
9	7, 8	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → (𝑅 ↾s 𝐴) ∈ Grp)
10	4	issubg 18543	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (SubGrp‘𝑅) ↔ (𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐴 ⊆ (Base‘𝑅) ∧ (𝑅 ↾s 𝐴) ∈ Grp))
11	3, 5, 9, 10	syl3anbrc 1345	1 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐴 ∈ (SubGrp‘𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2110   ⊆ wss 3866  ‘cfv 6380  (class class class)co 7213  Basecbs 16760   ↾_s cress 16784  Grpcgrp 18365  SubGrpcsubg 18537  Ringcrg 19562  SubRingcsubrg 19796

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3066  df-rex 3067  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-op 4548  df-uni 4820  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-id 5455  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fv 6388  df-ov 7216  df-subg 18540  df-ring 19564  df-subrg 19798

This theorem is referenced by:  subrg0  19807  subrgbas  19809  subrgacl  19811  issubrg2  19820  subrgint  19822  resrhm  19829  rhmima  19831  subdrgint  19847  primefld0cl  19850  abvres  19875  zsssubrg  20421  gzrngunitlem  20428  zringlpirlem1  20449  zringcyg  20456  zringsubgval  20457  prmirred  20461  zndvds  20514  resubgval  20571  rzgrp  20585  issubassa2  20852  resspsrmul  20942  subrgpsr  20944  mplbas2  20999  gsumply1subr  21155  subrgnrg  23571  sranlm  23582  clmsub  23977  clmneg  23978  clmabs  23980  clmsubcl  23983  isncvsngp  24046  cphsqrtcl3  24084  tcphcph  24134  plypf1  25106  dvply2g  25178  taylply2  25260  circgrp  25441  circsubm  25442  jensenlem2  25870  amgmlem  25872  lgseisenlem4  26259  qrng0  26502  qrngneg  26504  subrgchr  31210  nn0archi  31261  idlinsubrg  31322  drgext0gsca  31393  fedgmullem1  31424  fedgmullem2  31425  rezh  31633  qqhcn  31653  qqhucn  31654  selvval2lem4  39941  fsumcnsrcl  40694  cnsrplycl  40695  rngunsnply  40701  amgmwlem  46177