Theorem subrgsubg 19231

Description: A subring is a subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
subrgsubg	⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐴 ∈ (SubGrp‘𝑅))

Proof of Theorem subrgsubg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subrgrcl 19230	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑅 ∈ Ring)
2		ringgrp 18992	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑅 ∈ Grp)
4		eqid 2795	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
5	4	subrgss 19226	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐴 ⊆ (Base‘𝑅))
6		eqid 2795	. . . 4 ⊢ (𝑅 ↾s 𝐴) = (𝑅 ↾s 𝐴)
7	6	subrgring 19228	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → (𝑅 ↾s 𝐴) ∈ Ring)
8		ringgrp 18992	. . 3 ⊢ ((𝑅 ↾s 𝐴) ∈ Ring → (𝑅 ↾s 𝐴) ∈ Grp)
9	7, 8	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → (𝑅 ↾s 𝐴) ∈ Grp)
10	4	issubg 18033	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (SubGrp‘𝑅) ↔ (𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐴 ⊆ (Base‘𝑅) ∧ (𝑅 ↾s 𝐴) ∈ Grp))
11	3, 5, 9, 10	syl3anbrc 1336	1 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐴 ∈ (SubGrp‘𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2081   ⊆ wss 3859  ‘cfv 6225  (class class class)co 7016  Basecbs 16312   ↾_s cress 16313  Grpcgrp 17861  SubGrpcsubg 18027  Ringcrg 18987  SubRingcsubrg 19221

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ral 3110  df-rex 3111  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-op 4479  df-uni 4746  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-id 5348  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fv 6233  df-ov 7019  df-subg 18030  df-ring 18989  df-subrg 19223

This theorem is referenced by:  subrg0  19232  subrgbas  19234  subrgacl  19236  issubrg2  19245  subrgint  19247  resrhm  19254  rhmima  19256  subdrgint  19272  primefld0cl  19275  abvres  19300  issubassa2  19813  resspsrmul  19885  subrgpsr  19887  mplbas2  19938  gsumply1subr  20085  zsssubrg  20285  gzrngunitlem  20292  zringlpirlem1  20313  zringcyg  20320  prmirred  20324  zndvds  20378  resubgval  20435  rzgrp  20449  subrgnrg  22965  sranlm  22976  clmsub  23367  clmneg  23368  clmabs  23370  clmsubcl  23373  isncvsngp  23436  cphsqrtcl3  23474  tcphcph  23523  plypf1  24485  dvply2g  24557  taylply2  24639  circgrp  24817  circsubm  24818  jensenlem2  25247  amgmlem  25249  lgseisenlem4  25636  qrng0  25879  qrngneg  25881  subrgchr  30519  nn0archi  30570  drgext0gsca  30598  fedgmullem1  30629  fedgmullem2  30630  rezh  30829  qqhcn  30849  qqhucn  30850  selvval2lem4  38665  fsumcnsrcl  39251  cnsrplycl  39252  rngunsnply  39258  zringsubgval  43929  amgmwlem  44383