Theorem subrgsubg 20658

Description: A subring is a subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
subrgsubg	⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐴 ∈ (SubGrp‘𝑅))

Proof of Theorem subrgsubg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subrgrcl 20657	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑅 ∈ Ring)
2		ringgrp 20316	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
3	1, 2	syl 18	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑅 ∈ Grp)
4		eqid 2769	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
5	4	subrgss 20653	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐴 ⊆ (Base‘𝑅))
6		eqid 2769	. . . 4 ⊢ (𝑅 ↾s 𝐴) = (𝑅 ↾s 𝐴)
7	6	subrgring 20655	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → (𝑅 ↾s 𝐴) ∈ Ring)
8		ringgrp 20316	. . 3 ⊢ ((𝑅 ↾s 𝐴) ∈ Ring → (𝑅 ↾s 𝐴) ∈ Grp)
9	7, 8	syl 18	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → (𝑅 ↾s 𝐴) ∈ Grp)
10	4	issubg 19188	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (SubGrp‘𝑅) ↔ (𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐴 ⊆ (Base‘𝑅) ∧ (𝑅 ↾s 𝐴) ∈ Grp))
11	3, 5, 9, 10	syl3anbrc 1360	1 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐴 ∈ (SubGrp‘𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2149   ⊆ wss 3913  ‘cfv 6533  (class class class)co 7408  Basecbs 17265   ↾_s cress 17286  Grpcgrp 18996  SubGrpcsubg 19182  Ringcrg 20311  SubRingcsubrg 20650

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-id 5554  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fv 6541  df-ov 7411  df-subg 19185  df-ring 20313  df-subrg 20651

This theorem is referenced by:  subrg0  20660  subrgbas  20662  subrgacl  20664  issubrg2  20673  subrgint  20676  resrhm  20682  resrhm2b  20683  rhmima  20685  subdrgint  20880  primefld0cl  20883  abvres  20908  zsssubrg  21540  gzrngunitlem  21547  zringlpirlem1  21577  zringcyg  21584  zringsubgval  21585  prmirred  21589  zndvds  21664  resubgval  21724  rzgrp  21738  issubassa2  22007  resspsrmul  22090  subrgpsr  22092  mplbas2  22158  gsumply1subr  22358  subrgnrg  24795  sranlm  24806  clmsub  25204  clmneg  25205  clmabs  25207  clmsubcl  25210  isncvsngp  25273  cphsqrtcl3  25311  tcphcph  25361  plypf1  26334  dvply2g  26411  taylply2  26493  circgrp  26679  circsubm  26680  jensenlem2  27114  amgmlem  27116  lgseisenlem4  27504  qrng0  27747  qrngneg  27749  subrgchr  33493  elrgspnlem4  33502  elrgspnsubrunlem2  33505  subrdom  33542  1fldgenq  33582  nn0archi  33606  idlinsubrg  33679  ressply1evls1  33796  ressply10g  33798  ressply1invg  33800  ressply1sub  33801  evls1subd  33803  vr1nz  33824  drgext0gsca  33923  fedgmullem1  33960  fedgmullem2  33961  evls1fldgencl  34001  fldextrspunlsplem  34004  fldextrspunlsp  34005  irngss  34018  extdgfialglem1  34023  extdgfialglem2  34024  algextdeglem1  34048  algextdeglem2  34049  algextdeglem3  34050  algextdeglem4  34051  algextdeglem5  34052  rtelextdg2lem  34057  constrelextdg2  34078  2sqr3minply  34111  rezh  34300  qqhcn  34322  qqhucn  34323  fsumcnsrcl  43778  cnsrplycl  43779  rngunsnply  43781  amgmwlem  50458