Theorem subrgsubg 20462

Description: A subring is a subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
subrgsubg	⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐴 ∈ (SubGrp‘𝑅))

Proof of Theorem subrgsubg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subrgrcl 20461	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑅 ∈ Ring)
2		ringgrp 20123	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑅 ∈ Grp)
4		eqid 2729	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
5	4	subrgss 20457	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐴 ⊆ (Base‘𝑅))
6		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (𝑅 ↾s 𝐴) = (𝑅 ↾s 𝐴)
7	6	subrgring 20459	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → (𝑅 ↾s 𝐴) ∈ Ring)
8		ringgrp 20123	. . 3 ⊢ ((𝑅 ↾s 𝐴) ∈ Ring → (𝑅 ↾s 𝐴) ∈ Grp)
9	7, 8	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → (𝑅 ↾s 𝐴) ∈ Grp)
10	4	issubg 19005	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (SubGrp‘𝑅) ↔ (𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐴 ⊆ (Base‘𝑅) ∧ (𝑅 ↾s 𝐴) ∈ Grp))
11	3, 5, 9, 10	syl3anbrc 1344	1 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐴 ∈ (SubGrp‘𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3903  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349  Basecbs 17120   ↾_s cress 17141  Grpcgrp 18812  SubGrpcsubg 18999  Ringcrg 20118  SubRingcsubrg 20454

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-id 5514  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fv 6490  df-ov 7352  df-subg 19002  df-ring 20120  df-subrg 20455

This theorem is referenced by:  subrg0  20464  subrgbas  20466  subrgacl  20468  issubrg2  20477  subrgint  20480  resrhm  20486  resrhm2b  20487  rhmima  20489  subdrgint  20688  primefld0cl  20691  abvres  20716  zsssubrg  21332  gzrngunitlem  21339  zringlpirlem1  21369  zringcyg  21376  zringsubgval  21377  prmirred  21381  zndvds  21456  resubgval  21516  rzgrp  21530  issubassa2  21799  resspsrmul  21883  subrgpsr  21885  mplbas2  21947  gsumply1subr  22116  subrgnrg  24559  sranlm  24570  clmsub  24978  clmneg  24979  clmabs  24981  clmsubcl  24984  isncvsngp  25047  cphsqrtcl3  25085  tcphcph  25135  plypf1  26115  dvply2g  26190  dvply2gOLD  26191  taylply2  26273  taylply2OLD  26274  circgrp  26459  circsubm  26460  jensenlem2  26896  amgmlem  26898  lgseisenlem4  27287  qrng0  27530  qrngneg  27532  subrgchr  33178  elrgspnlem4  33186  elrgspnsubrunlem2  33189  subrdom  33225  1fldgenq  33262  nn0archi  33285  idlinsubrg  33369  ressply1evls1  33501  ressply10g  33503  ressply1invg  33505  ressply1sub  33506  evls1subd  33508  vr1nz  33527  drgext0gsca  33564  fedgmullem1  33602  fedgmullem2  33603  evls1fldgencl  33643  fldextrspunlsplem  33646  fldextrspunlsp  33647  irngss  33660  extdgfialglem1  33665  extdgfialglem2  33666  algextdeglem1  33690  algextdeglem2  33691  algextdeglem3  33692  algextdeglem4  33693  algextdeglem5  33694  rtelextdg2lem  33699  constrelextdg2  33720  2sqr3minply  33753  rezh  33942  qqhcn  33964  qqhucn  33965  fsumcnsrcl  43149  cnsrplycl  43150  rngunsnply  43152  amgmwlem  49797