Theorem subrgsubg 20577

Description: A subring is a subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
subrgsubg	⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐴 ∈ (SubGrp‘𝑅))

Proof of Theorem subrgsubg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subrgrcl 20576	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑅 ∈ Ring)
2		ringgrp 20235	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑅 ∈ Grp)
4		eqid 2737	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
5	4	subrgss 20572	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐴 ⊆ (Base‘𝑅))
6		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (𝑅 ↾s 𝐴) = (𝑅 ↾s 𝐴)
7	6	subrgring 20574	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → (𝑅 ↾s 𝐴) ∈ Ring)
8		ringgrp 20235	. . 3 ⊢ ((𝑅 ↾s 𝐴) ∈ Ring → (𝑅 ↾s 𝐴) ∈ Grp)
9	7, 8	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → (𝑅 ↾s 𝐴) ∈ Grp)
10	4	issubg 19144	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (SubGrp‘𝑅) ↔ (𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐴 ⊆ (Base‘𝑅) ∧ (𝑅 ↾s 𝐴) ∈ Grp))
11	3, 5, 9, 10	syl3anbrc 1344	1 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐴 ∈ (SubGrp‘𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108   ⊆ wss 3951  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  Basecbs 17247   ↾_s cress 17274  Grpcgrp 18951  SubGrpcsubg 19138  Ringcrg 20230  SubRingcsubrg 20569

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fv 6569  df-ov 7434  df-subg 19141  df-ring 20232  df-subrg 20570

This theorem is referenced by:  subrg0  20579  subrgbas  20581  subrgacl  20583  issubrg2  20592  subrgint  20595  resrhm  20601  resrhm2b  20602  rhmima  20604  subdrgint  20804  primefld0cl  20807  abvres  20832  zsssubrg  21443  gzrngunitlem  21450  zringlpirlem1  21473  zringcyg  21480  zringsubgval  21481  prmirred  21485  zndvds  21568  resubgval  21627  rzgrp  21641  issubassa2  21912  resspsrmul  21996  subrgpsr  21998  mplbas2  22060  gsumply1subr  22235  subrgnrg  24694  sranlm  24705  clmsub  25113  clmneg  25114  clmabs  25116  clmsubcl  25119  isncvsngp  25183  cphsqrtcl3  25221  tcphcph  25271  plypf1  26251  dvply2g  26326  dvply2gOLD  26327  taylply2  26409  taylply2OLD  26410  circgrp  26594  circsubm  26595  jensenlem2  27031  amgmlem  27033  lgseisenlem4  27422  qrng0  27665  qrngneg  27667  subrgchr  33241  elrgspnlem4  33249  elrgspnsubrunlem2  33252  subrdom  33288  1fldgenq  33324  nn0archi  33375  idlinsubrg  33459  ressply10g  33592  ressply1invg  33594  ressply1sub  33595  evls1subd  33597  drgext0gsca  33642  fedgmullem1  33680  fedgmullem2  33681  evls1fldgencl  33720  fldextrspunlsplem  33723  fldextrspunlsp  33724  irngss  33737  algextdeglem1  33758  algextdeglem2  33759  algextdeglem3  33760  algextdeglem4  33761  algextdeglem5  33762  rtelextdg2lem  33767  constrelextdg2  33788  2sqr3minply  33791  rezh  33970  qqhcn  33992  qqhucn  33993  fsumcnsrcl  43178  cnsrplycl  43179  rngunsnply  43181  amgmwlem  49321