Theorem subrgsubg 19945

Description: A subring is a subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
subrgsubg	⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐴 ∈ (SubGrp‘𝑅))

Proof of Theorem subrgsubg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subrgrcl 19944	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑅 ∈ Ring)
2		ringgrp 19703	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑅 ∈ Grp)
4		eqid 2738	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
5	4	subrgss 19940	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐴 ⊆ (Base‘𝑅))
6		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (𝑅 ↾s 𝐴) = (𝑅 ↾s 𝐴)
7	6	subrgring 19942	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → (𝑅 ↾s 𝐴) ∈ Ring)
8		ringgrp 19703	. . 3 ⊢ ((𝑅 ↾s 𝐴) ∈ Ring → (𝑅 ↾s 𝐴) ∈ Grp)
9	7, 8	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → (𝑅 ↾s 𝐴) ∈ Grp)
10	4	issubg 18670	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (SubGrp‘𝑅) ↔ (𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐴 ⊆ (Base‘𝑅) ∧ (𝑅 ↾s 𝐴) ∈ Grp))
11	3, 5, 9, 10	syl3anbrc 1341	1 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐴 ∈ (SubGrp‘𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108   ⊆ wss 3883  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  Basecbs 16840   ↾_s cress 16867  Grpcgrp 18492  SubGrpcsubg 18664  Ringcrg 19698  SubRingcsubrg 19935

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fv 6426  df-ov 7258  df-subg 18667  df-ring 19700  df-subrg 19937

This theorem is referenced by:  subrg0  19946  subrgbas  19948  subrgacl  19950  issubrg2  19959  subrgint  19961  resrhm  19968  rhmima  19970  subdrgint  19986  primefld0cl  19989  abvres  20014  zsssubrg  20568  gzrngunitlem  20575  zringlpirlem1  20596  zringcyg  20603  zringsubgval  20604  prmirred  20608  zndvds  20669  resubgval  20726  rzgrp  20740  issubassa2  21006  resspsrmul  21096  subrgpsr  21098  mplbas2  21153  gsumply1subr  21315  subrgnrg  23743  sranlm  23754  clmsub  24149  clmneg  24150  clmabs  24152  clmsubcl  24155  isncvsngp  24218  cphsqrtcl3  24256  tcphcph  24306  plypf1  25278  dvply2g  25350  taylply2  25432  circgrp  25613  circsubm  25614  jensenlem2  26042  amgmlem  26044  lgseisenlem4  26431  qrng0  26674  qrngneg  26676  subrgchr  31393  nn0archi  31449  idlinsubrg  31510  drgext0gsca  31581  fedgmullem1  31612  fedgmullem2  31613  rezh  31821  qqhcn  31841  qqhucn  31842  selvval2lem4  40154  fsumcnsrcl  40907  cnsrplycl  40908  rngunsnply  40914  amgmwlem  46392