Theorem subrgsubg 18996

Description: A subring is a subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
subrgsubg	⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐴 ∈ (SubGrp‘𝑅))

Proof of Theorem subrgsubg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subrgrcl 18995	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑅 ∈ Ring)
2		ringgrp 18760	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑅 ∈ Grp)
4		eqid 2771	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
5	4	subrgss 18991	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐴 ⊆ (Base‘𝑅))
6		eqid 2771	. . . 4 ⊢ (𝑅 ↾s 𝐴) = (𝑅 ↾s 𝐴)
7	6	subrgring 18993	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → (𝑅 ↾s 𝐴) ∈ Ring)
8		ringgrp 18760	. . 3 ⊢ ((𝑅 ↾s 𝐴) ∈ Ring → (𝑅 ↾s 𝐴) ∈ Grp)
9	7, 8	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → (𝑅 ↾s 𝐴) ∈ Grp)
10	4	issubg 17802	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (SubGrp‘𝑅) ↔ (𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐴 ⊆ (Base‘𝑅) ∧ (𝑅 ↾s 𝐴) ∈ Grp))
11	3, 5, 9, 10	syl3anbrc 1428	1 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐴 ∈ (SubGrp‘𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3723  ‘cfv 6031  (class class class)co 6793  Basecbs 16064   ↾_s cress 16065  Grpcgrp 17630  SubGrpcsubg 17796  Ringcrg 18755  SubRingcsubrg 18986

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-op 4323  df-uni 4575  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-id 5157  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fv 6039  df-ov 6796  df-subg 17799  df-ring 18757  df-subrg 18988

This theorem is referenced by:  subrg0  18997  subrgbas  18999  subrgacl  19001  issubrg2  19010  subrgint  19012  resrhm  19019  rhmima  19021  abvres  19049  issubassa2  19560  resspsrmul  19632  subrgpsr  19634  mplbas2  19685  gsumply1subr  19819  zsssubrg  20019  gzrngunitlem  20026  zringlpirlem1  20047  zringcyg  20054  prmirred  20058  zndvds  20113  resubgval  20172  subrgnrg  22697  sranlm  22708  clmsub  23099  clmneg  23100  clmabs  23102  clmsubcl  23105  isncvsngp  23168  cphsqrtcl3  23206  tchcph  23255  plypf1  24188  dvply2g  24260  taylply2  24342  circgrp  24519  circsubm  24520  rzgrp  24521  jensenlem2  24935  amgmlem  24937  lgseisenlem4  25324  qrng0  25531  qrngneg  25533  subrgchr  30134  nn0archi  30183  rezh  30355  qqhcn  30375  qqhucn  30376  fsumcnsrcl  38262  cnsrplycl  38263  rngunsnply  38269  zringsubgval  42711  amgmwlem  43079