MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subrgsubm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem subrgsubm 19003
Description: A subring is a submonoid of the multiplicative monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
subrgsubm.1 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
Assertion
Ref Expression
subrgsubm (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐴 ∈ (SubMnd‘𝑀))

Proof of Theorem subrgsubm
StepHypRef Expression
1 eqid 2771 . . 3 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
21subrgss 18991 . 2 (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐴 ⊆ (Base‘𝑅))
3 eqid 2771 . . 3 (1r𝑅) = (1r𝑅)
43subrg1cl 18998 . 2 (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → (1r𝑅) ∈ 𝐴)
5 subrgrcl 18995 . . . 4 (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑅 ∈ Ring)
6 eqid 2771 . . . . 5 (𝑅s 𝐴) = (𝑅s 𝐴)
7 subrgsubm.1 . . . . 5 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
86, 7mgpress 18708 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅)) → (𝑀s 𝐴) = (mulGrp‘(𝑅s 𝐴)))
95, 8mpancom 668 . . 3 (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → (𝑀s 𝐴) = (mulGrp‘(𝑅s 𝐴)))
106subrgring 18993 . . . 4 (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → (𝑅s 𝐴) ∈ Ring)
11 eqid 2771 . . . . 5 (mulGrp‘(𝑅s 𝐴)) = (mulGrp‘(𝑅s 𝐴))
1211ringmgp 18761 . . . 4 ((𝑅s 𝐴) ∈ Ring → (mulGrp‘(𝑅s 𝐴)) ∈ Mnd)
1310, 12syl 17 . . 3 (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → (mulGrp‘(𝑅s 𝐴)) ∈ Mnd)
149, 13eqeltrd 2850 . 2 (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → (𝑀s 𝐴) ∈ Mnd)
157ringmgp 18761 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → 𝑀 ∈ Mnd)
167, 1mgpbas 18703 . . . 4 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑀)
177, 3ringidval 18711 . . . 4 (1r𝑅) = (0g𝑀)
18 eqid 2771 . . . 4 (𝑀s 𝐴) = (𝑀s 𝐴)
1916, 17, 18issubm2 17556 . . 3 (𝑀 ∈ Mnd → (𝐴 ∈ (SubMnd‘𝑀) ↔ (𝐴 ⊆ (Base‘𝑅) ∧ (1r𝑅) ∈ 𝐴 ∧ (𝑀s 𝐴) ∈ Mnd)))
205, 15, 193syl 18 . 2 (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → (𝐴 ∈ (SubMnd‘𝑀) ↔ (𝐴 ⊆ (Base‘𝑅) ∧ (1r𝑅) ∈ 𝐴 ∧ (𝑀s 𝐴) ∈ Mnd)))
212, 4, 14, 20mpbir3and 1427 1 (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐴 ∈ (SubMnd‘𝑀))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145  wss 3723  cfv 6030  (class class class)co 6796  Basecbs 16064  s cress 16065  Mndcmnd 17502  SubMndcsubmnd 17542  mulGrpcmgp 18697  1rcur 18709  Ringcrg 18755  SubRingcsubrg 18986
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-om 7217  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-er 7900  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-nn 11227  df-2 11285  df-3 11286  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-ress 16072  df-plusg 16162  df-mulr 16163  df-0g 16310  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-submnd 17544  df-mgp 18698  df-ur 18710  df-ring 18757  df-subrg 18988
This theorem is referenced by:  resrhm  19019  rhmima  19021  mplbas2  19685  zrhpsgnmhm  20145  m2cpmmhm  20770  cmodscexp  23140  plypf1  24188  wilthlem2  25016  wilthlem3  25017  lgsqrlem1  25292  lgseisenlem4  25324  dchrisum0flblem1  25418
  Copyright terms: Public domain W3C validator