Theorem subrgsubm 20748

Description: A subring is a submonoid of the multiplicative monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
subrgsubm.1	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
subrgsubm	⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐴 ∈ (SubMnd‘𝑀))

Proof of Theorem subrgsubm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2760	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2	1	subrgss 20735	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐴 ⊆ (Base‘𝑅))
3		eqid 2760	. . 3 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
4	3	subrg1cl 20743	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → (1r‘𝑅) ∈ 𝐴)
5		subrgrcl 20739	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑅 ∈ Ring)
6		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ↾s 𝐴) = (𝑅 ↾s 𝐴)
7		subrgsubm.1	. . . . 5 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
8	6, 7	mgpress 20284	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅)) → (𝑀 ↾s 𝐴) = (mulGrp‘(𝑅 ↾s 𝐴)))
9	5, 8	mpancom 701	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → (𝑀 ↾s 𝐴) = (mulGrp‘(𝑅 ↾s 𝐴)))
10	6	subrgring 20737	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → (𝑅 ↾s 𝐴) ∈ Ring)
11		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (mulGrp‘(𝑅 ↾s 𝐴)) = (mulGrp‘(𝑅 ↾s 𝐴))
12	11	ringmgp 20379	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ↾s 𝐴) ∈ Ring → (mulGrp‘(𝑅 ↾s 𝐴)) ∈ Mnd)
13	10, 12	syl 18	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → (mulGrp‘(𝑅 ↾s 𝐴)) ∈ Mnd)
14	9, 13	eqeltrd 2860	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → (𝑀 ↾s 𝐴) ∈ Mnd)
15	7	ringmgp 20379	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑀 ∈ Mnd)
16	7, 1	mgpbas 20279	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑀)
17	7, 3	ringidval 20323	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑀)
18		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (𝑀 ↾s 𝐴) = (𝑀 ↾s 𝐴)
19	16, 17, 18	issubm2 18913	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ Mnd → (𝐴 ∈ (SubMnd‘𝑀) ↔ (𝐴 ⊆ (Base‘𝑅) ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝐴 ∧ (𝑀 ↾s 𝐴) ∈ Mnd)))
20	5, 15, 19	3syl 19	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → (𝐴 ∈ (SubMnd‘𝑀) ↔ (𝐴 ⊆ (Base‘𝑅) ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝐴 ∧ (𝑀 ↾s 𝐴) ∈ Mnd)))
21	2, 4, 14, 20	mpbir3and 1361	1 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐴 ∈ (SubMnd‘𝑀))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3899  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414  Basecbs 17302   ↾_s cress 17323  Mndcmnd 18837  SubMndcsubmnd 18891  mulGrpcmgp 20274  1_rcur 20321  Ringcrg 20373  SubRingcsubrg 20732

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11181  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-pre-mulgt0 11202

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-er 8697  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12259  df-2 12328  df-3 12329  df-sets 17257  df-slot 17275  df-ndx 17287  df-base 17303  df-ress 17324  df-plusg 17356  df-mulr 17357  df-0g 17527  df-mgm 18731  df-sgrp 18822  df-mnd 18838  df-submnd 18893  df-mgp 20275  df-ur 20322  df-ring 20375  df-subrg 20733

This theorem is used by:  resrhm  20764  resrhm2b  20765  rhmima  20767  zrhpsgnmhm  21798  mplbas2  22259  m2cpmmhm  22971  cmodscexp  25350  plypf1  26439  wilthlem2  27306  wilthlem3  27307  lgsqrlem1  27583  lgseisenlem4  27615  dchrisum0flblem1  27745  elrgspnlem4  33686  elrgspnsubrunlem2  33689