Theorem subsubrg 19554

Description: A subring of a subring is a subring. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Dec-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
subsubrg.s	⊢ 𝑆 = (𝑅 ↾s 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
subsubrg	⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → (𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆) ↔ (𝐵 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴)))

Proof of Theorem subsubrg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subrgrcl 19533	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑅 ∈ Ring)
2	1	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆)) → 𝑅 ∈ Ring)
3		eqid 2798	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
4	3	subrgss 19529	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝐵 ⊆ (Base‘𝑆))
5	4	adantl 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆)) → 𝐵 ⊆ (Base‘𝑆))
6		subsubrg.s	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑆 = (𝑅 ↾s 𝐴)
7	6	subrgbas 19537	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐴 = (Base‘𝑆))
8	7	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆)) → 𝐴 = (Base‘𝑆))
9	5, 8	sseqtrrd 3956	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆)) → 𝐵 ⊆ 𝐴)
10	6	oveq1i 7145	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ↾s 𝐵) = ((𝑅 ↾s 𝐴) ↾s 𝐵)
11		ressabs 16555	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → ((𝑅 ↾s 𝐴) ↾s 𝐵) = (𝑅 ↾s 𝐵))
12	10, 11	syl5eq 2845	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (𝑆 ↾s 𝐵) = (𝑅 ↾s 𝐵))
13	9, 12	syldan 594	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆)) → (𝑆 ↾s 𝐵) = (𝑅 ↾s 𝐵))
14		eqid 2798	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ↾s 𝐵) = (𝑆 ↾s 𝐵)
15	14	subrgring 19531	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆) → (𝑆 ↾s 𝐵) ∈ Ring)
16	15	adantl 485	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆)) → (𝑆 ↾s 𝐵) ∈ Ring)
17	13, 16	eqeltrrd 2891	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆)) → (𝑅 ↾s 𝐵) ∈ Ring)
18		eqid 2798	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
19	18	subrgss 19529	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐴 ⊆ (Base‘𝑅))
20	19	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆)) → 𝐴 ⊆ (Base‘𝑅))
21	9, 20	sstrd 3925	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆)) → 𝐵 ⊆ (Base‘𝑅))
22		eqid 2798	. . . . . . . 8 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
23	6, 22	subrg1 19538	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → (1r‘𝑅) = (1r‘𝑆))
24	23	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆)) → (1r‘𝑅) = (1r‘𝑆))
25		eqid 2798	. . . . . . . 8 ⊢ (1r‘𝑆) = (1r‘𝑆)
26	25	subrg1cl 19536	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆) → (1r‘𝑆) ∈ 𝐵)
27	26	adantl 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆)) → (1r‘𝑆) ∈ 𝐵)
28	24, 27	eqeltrd 2890	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆)) → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
29	21, 28	jca 515	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆)) → (𝐵 ⊆ (Base‘𝑅) ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝐵))
30	18, 22	issubrg 19528	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ (SubRing‘𝑅) ↔ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑅 ↾s 𝐵) ∈ Ring) ∧ (𝐵 ⊆ (Base‘𝑅) ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)))
31	2, 17, 29, 30	syl21anbrc 1341	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆)) → 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑅))
32	31, 9	jca 515	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆)) → (𝐵 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴))
33	6	subrgring 19531	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑆 ∈ Ring)
34	33	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ (𝐵 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴)) → 𝑆 ∈ Ring)
35	12	adantrl 715	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ (𝐵 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴)) → (𝑆 ↾s 𝐵) = (𝑅 ↾s 𝐵))
36		eqid 2798	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ↾s 𝐵) = (𝑅 ↾s 𝐵)
37	36	subrgring 19531	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (SubRing‘𝑅) → (𝑅 ↾s 𝐵) ∈ Ring)
38	37	ad2antrl 727	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ (𝐵 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴)) → (𝑅 ↾s 𝐵) ∈ Ring)
39	35, 38	eqeltrd 2890	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ (𝐵 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴)) → (𝑆 ↾s 𝐵) ∈ Ring)
40		simprr 772	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ (𝐵 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴)) → 𝐵 ⊆ 𝐴)
41	7	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ (𝐵 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴)) → 𝐴 = (Base‘𝑆))
42	40, 41	sseqtrd 3955	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ (𝐵 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴)) → 𝐵 ⊆ (Base‘𝑆))
43	23	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ (𝐵 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴)) → (1r‘𝑅) = (1r‘𝑆))
44	22	subrg1cl 19536	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ (SubRing‘𝑅) → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
45	44	ad2antrl 727	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ (𝐵 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴)) → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
46	43, 45	eqeltrrd 2891	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ (𝐵 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴)) → (1r‘𝑆) ∈ 𝐵)
47	42, 46	jca 515	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ (𝐵 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴)) → (𝐵 ⊆ (Base‘𝑆) ∧ (1r‘𝑆) ∈ 𝐵))
48	3, 25	issubrg 19528	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆) ↔ ((𝑆 ∈ Ring ∧ (𝑆 ↾s 𝐵) ∈ Ring) ∧ (𝐵 ⊆ (Base‘𝑆) ∧ (1r‘𝑆) ∈ 𝐵)))
49	34, 39, 47, 48	syl21anbrc 1341	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ (𝐵 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴)) → 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆))
50	32, 49	impbida 800	1 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → (𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆) ↔ (𝐵 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ⊆ wss 3881  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  Basecbs 16475   ↾_s cress 16476  1_rcur 19244  Ringcrg 19290  SubRingcsubrg 19524

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-0g 16707  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-subg 18268  df-mgp 19233  df-ur 19245  df-ring 19292  df-subrg 19526

This theorem is referenced by:  subsubrg2  19555  zringunit  20181  rzgrp  20312  subrgmpl  20700  mplbas2  20710  mplind  20741  fedgmullem1  31113  fedgmullem2  31114  fedgmul  31115  fldexttr  31136