Proof of Theorem subsubrg
| Step | Hyp | Ref
| Expression |
| 1 | | subrgrcl 20576 |
. . . . 5
⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑅 ∈ Ring) |
| 2 | 1 | adantr 480 |
. . . 4
⊢ ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆)) → 𝑅 ∈ Ring) |
| 3 | | eqid 2737 |
. . . . . . . . 9
⊢
(Base‘𝑆) =
(Base‘𝑆) |
| 4 | 3 | subrgss 20572 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝐵 ⊆ (Base‘𝑆)) |
| 5 | 4 | adantl 481 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆)) → 𝐵 ⊆ (Base‘𝑆)) |
| 6 | | subsubrg.s |
. . . . . . . . 9
⊢ 𝑆 = (𝑅 ↾s 𝐴) |
| 7 | 6 | subrgbas 20581 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐴 = (Base‘𝑆)) |
| 8 | 7 | adantr 480 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆)) → 𝐴 = (Base‘𝑆)) |
| 9 | 5, 8 | sseqtrrd 4021 |
. . . . . 6
⊢ ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆)) → 𝐵 ⊆ 𝐴) |
| 10 | 6 | oveq1i 7441 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑆 ↾s 𝐵) = ((𝑅 ↾s 𝐴) ↾s 𝐵) |
| 11 | | ressabs 17294 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → ((𝑅 ↾s 𝐴) ↾s 𝐵) = (𝑅 ↾s 𝐵)) |
| 12 | 10, 11 | eqtrid 2789 |
. . . . . 6
⊢ ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (𝑆 ↾s 𝐵) = (𝑅 ↾s 𝐵)) |
| 13 | 9, 12 | syldan 591 |
. . . . 5
⊢ ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆)) → (𝑆 ↾s 𝐵) = (𝑅 ↾s 𝐵)) |
| 14 | | eqid 2737 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑆 ↾s 𝐵) = (𝑆 ↾s 𝐵) |
| 15 | 14 | subrgring 20574 |
. . . . . 6
⊢ (𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆) → (𝑆 ↾s 𝐵) ∈ Ring) |
| 16 | 15 | adantl 481 |
. . . . 5
⊢ ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆)) → (𝑆 ↾s 𝐵) ∈ Ring) |
| 17 | 13, 16 | eqeltrrd 2842 |
. . . 4
⊢ ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆)) → (𝑅 ↾s 𝐵) ∈ Ring) |
| 18 | | eqid 2737 |
. . . . . . . 8
⊢
(Base‘𝑅) =
(Base‘𝑅) |
| 19 | 18 | subrgss 20572 |
. . . . . . 7
⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐴 ⊆ (Base‘𝑅)) |
| 20 | 19 | adantr 480 |
. . . . . 6
⊢ ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆)) → 𝐴 ⊆ (Base‘𝑅)) |
| 21 | 9, 20 | sstrd 3994 |
. . . . 5
⊢ ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆)) → 𝐵 ⊆ (Base‘𝑅)) |
| 22 | | eqid 2737 |
. . . . . . . 8
⊢
(1r‘𝑅) = (1r‘𝑅) |
| 23 | 6, 22 | subrg1 20582 |
. . . . . . 7
⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) →
(1r‘𝑅) =
(1r‘𝑆)) |
| 24 | 23 | adantr 480 |
. . . . . 6
⊢ ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆)) → (1r‘𝑅) = (1r‘𝑆)) |
| 25 | | eqid 2737 |
. . . . . . . 8
⊢
(1r‘𝑆) = (1r‘𝑆) |
| 26 | 25 | subrg1cl 20580 |
. . . . . . 7
⊢ (𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆) →
(1r‘𝑆)
∈ 𝐵) |
| 27 | 26 | adantl 481 |
. . . . . 6
⊢ ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆)) → (1r‘𝑆) ∈ 𝐵) |
| 28 | 24, 27 | eqeltrd 2841 |
. . . . 5
⊢ ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆)) → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵) |
| 29 | 21, 28 | jca 511 |
. . . 4
⊢ ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆)) → (𝐵 ⊆ (Base‘𝑅) ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)) |
| 30 | 18, 22 | issubrg 20571 |
. . . 4
⊢ (𝐵 ∈ (SubRing‘𝑅) ↔ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑅 ↾s 𝐵) ∈ Ring) ∧ (𝐵 ⊆ (Base‘𝑅) ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝐵))) |
| 31 | 2, 17, 29, 30 | syl21anbrc 1345 |
. . 3
⊢ ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆)) → 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑅)) |
| 32 | 31, 9 | jca 511 |
. 2
⊢ ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆)) → (𝐵 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴)) |
| 33 | 6 | subrgring 20574 |
. . . 4
⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑆 ∈ Ring) |
| 34 | 33 | adantr 480 |
. . 3
⊢ ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ (𝐵 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴)) → 𝑆 ∈ Ring) |
| 35 | 12 | adantrl 716 |
. . . 4
⊢ ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ (𝐵 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴)) → (𝑆 ↾s 𝐵) = (𝑅 ↾s 𝐵)) |
| 36 | | eqid 2737 |
. . . . . 6
⊢ (𝑅 ↾s 𝐵) = (𝑅 ↾s 𝐵) |
| 37 | 36 | subrgring 20574 |
. . . . 5
⊢ (𝐵 ∈ (SubRing‘𝑅) → (𝑅 ↾s 𝐵) ∈ Ring) |
| 38 | 37 | ad2antrl 728 |
. . . 4
⊢ ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ (𝐵 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴)) → (𝑅 ↾s 𝐵) ∈ Ring) |
| 39 | 35, 38 | eqeltrd 2841 |
. . 3
⊢ ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ (𝐵 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴)) → (𝑆 ↾s 𝐵) ∈ Ring) |
| 40 | | simprr 773 |
. . . . 5
⊢ ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ (𝐵 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴)) → 𝐵 ⊆ 𝐴) |
| 41 | 7 | adantr 480 |
. . . . 5
⊢ ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ (𝐵 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴)) → 𝐴 = (Base‘𝑆)) |
| 42 | 40, 41 | sseqtrd 4020 |
. . . 4
⊢ ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ (𝐵 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴)) → 𝐵 ⊆ (Base‘𝑆)) |
| 43 | 23 | adantr 480 |
. . . . 5
⊢ ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ (𝐵 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴)) → (1r‘𝑅) = (1r‘𝑆)) |
| 44 | 22 | subrg1cl 20580 |
. . . . . 6
⊢ (𝐵 ∈ (SubRing‘𝑅) →
(1r‘𝑅)
∈ 𝐵) |
| 45 | 44 | ad2antrl 728 |
. . . . 5
⊢ ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ (𝐵 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴)) → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵) |
| 46 | 43, 45 | eqeltrrd 2842 |
. . . 4
⊢ ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ (𝐵 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴)) → (1r‘𝑆) ∈ 𝐵) |
| 47 | 42, 46 | jca 511 |
. . 3
⊢ ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ (𝐵 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴)) → (𝐵 ⊆ (Base‘𝑆) ∧ (1r‘𝑆) ∈ 𝐵)) |
| 48 | 3, 25 | issubrg 20571 |
. . 3
⊢ (𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆) ↔ ((𝑆 ∈ Ring ∧ (𝑆 ↾s 𝐵) ∈ Ring) ∧ (𝐵 ⊆ (Base‘𝑆) ∧ (1r‘𝑆) ∈ 𝐵))) |
| 49 | 34, 39, 47, 48 | syl21anbrc 1345 |
. 2
⊢ ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ (𝐵 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴)) → 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆)) |
| 50 | 32, 49 | impbida 801 |
1
⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → (𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆) ↔ (𝐵 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴))) |