Theorem subrgascl 22288

Description: The scalar injection function in a subring algebra is the same up to a restriction to the subring. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jul-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
subrgascl.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
subrgascl.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)
subrgascl.h	⊢ 𝐻 = (𝑅 ↾s 𝑇)
subrgascl.u	⊢ 𝑈 = (𝐼 mPoly 𝐻)
subrgascl.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
subrgascl.r	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅))
subrgascl.c	⊢ 𝐶 = (algSc‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
subrgascl	⊢ (𝜑 → 𝐶 = (𝐴 ↾ 𝑇))

Proof of Theorem subrgascl

Dummy variables 𝑥 𝑓 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subrgascl.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (algSc‘𝑈)
2		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝑈) = (Scalar‘𝑈)
3		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑈)) = (Base‘(Scalar‘𝑈))
4	1, 2, 3	asclfn 22101	. . 3 ⊢ 𝐶 Fn (Base‘(Scalar‘𝑈))
5		subrgascl.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅))
6		subrgascl.h	. . . . . . 7 ⊢ 𝐻 = (𝑅 ↾s 𝑇)
7	6	subrgbas 20749	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑇 = (Base‘𝐻))
8	5, 7	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑇 = (Base‘𝐻))
9		subrgascl.u	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 = (𝐼 mPoly 𝐻)
10		subrgascl.i	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
11	6	ovexi 7451	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐻 ∈ V
12	11	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ V)
13	9, 10, 12	mplsca 22233	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = (Scalar‘𝑈))
14	13	fveq2d 6886	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐻) = (Base‘(Scalar‘𝑈)))
15	8, 14	eqtrd 2797	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 = (Base‘(Scalar‘𝑈)))
16	15	fneq2d 6630	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 Fn 𝑇 ↔ 𝐶 Fn (Base‘(Scalar‘𝑈))))
17	4, 16	mpbiri 261	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 Fn 𝑇)
18		subrgascl.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)
19		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘𝑃) = (Scalar‘𝑃)
20		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑃)) = (Base‘(Scalar‘𝑃))
21	18, 19, 20	asclfn 22101	. . . 4 ⊢ 𝐴 Fn (Base‘(Scalar‘𝑃))
22		subrgascl.p	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
23		subrgrcl 20744	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑅 ∈ Ring)
24	5, 23	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
25	22, 10, 24	mplsca 22233	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
26	25	fveq2d 6886	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑃)))
27	26	fneq2d 6630	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 Fn (Base‘𝑅) ↔ 𝐴 Fn (Base‘(Scalar‘𝑃))))
28	21, 27	mpbiri 261	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 Fn (Base‘𝑅))
29		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
30	29	subrgss 20740	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑇 ⊆ (Base‘𝑅))
31	5, 30	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ (Base‘𝑅))
32		fnssres 6659	. . 3 ⊢ ((𝐴 Fn (Base‘𝑅) ∧ 𝑇 ⊆ (Base‘𝑅)) → (𝐴 ↾ 𝑇) Fn 𝑇)
33	28, 31, 32	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ↾ 𝑇) Fn 𝑇)
34		fvres 6901	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑇 → ((𝐴 ↾ 𝑇)‘𝑥) = (𝐴‘𝑥))
35	34	adantl 487	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → ((𝐴 ↾ 𝑇)‘𝑥) = (𝐴‘𝑥))
36		eqid 2762	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
37	6, 36	subrg0 20747	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) → (0g‘𝑅) = (0g‘𝐻))
38	5, 37	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑅) = (0g‘𝐻))
39	38	ifeq2d 4506	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → if(𝑦 = (𝐼 × {0}), 𝑥, (0g‘𝑅)) = if(𝑦 = (𝐼 × {0}), 𝑥, (0g‘𝐻)))
40	39	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → if(𝑦 = (𝐼 × {0}), 𝑥, (0g‘𝑅)) = if(𝑦 = (𝐼 × {0}), 𝑥, (0g‘𝐻)))
41	40	mpteq2dv 5203	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → (𝑦 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑦 = (𝐼 × {0}), 𝑥, (0g‘𝑅))) = (𝑦 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑦 = (𝐼 × {0}), 𝑥, (0g‘𝐻))))
42		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
43	10	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → 𝐼 ∈ 𝑊)
44	24	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → 𝑅 ∈ Ring)
45	31	sselda 3934	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
46	22, 42, 36, 29, 18, 43, 44, 45	mplascl 22286	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → (𝐴‘𝑥) = (𝑦 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑦 = (𝐼 × {0}), 𝑥, (0g‘𝑅))))
47		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝐻) = (0g‘𝐻)
48		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
49	6	subrgring 20742	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐻 ∈ Ring)
50	5, 49	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ Ring)
51	50	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → 𝐻 ∈ Ring)
52	8	eleq2d 2848	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑇 ↔ 𝑥 ∈ (Base‘𝐻)))
53	52	biimpa 482	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐻))
54	9, 42, 47, 48, 1, 43, 51, 53	mplascl 22286	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → (𝐶‘𝑥) = (𝑦 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑦 = (𝐼 × {0}), 𝑥, (0g‘𝐻))))
55	41, 46, 54	3eqtr4d 2807	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → (𝐴‘𝑥) = (𝐶‘𝑥))
56	35, 55	eqtr2d 2798	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → (𝐶‘𝑥) = ((𝐴 ↾ 𝑇)‘𝑥))
57	17, 33, 56	eqfnfvd 7029	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = (𝐴 ↾ 𝑇))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {crab 3414  Vcvv 3453   ⊆ wss 3902  ifcif 4485  {csn 4587   ↦ cmpt 5190   × cxp 5657  ^◡ccnv 5658   ↾ cres 5661   “ cima 5662   Fn wfn 6532  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417   ↑_m cmap 8830  Fincfn 8956  0cc0 11128  ℕcn 12261  ℕ₀cn0 12532  Basecbs 17307   ↾_s cress 17328  Scalarcsca 17351  0_gc0g 17530  Ringcrg 20378  SubRingcsubrg 20737  algSccascl 22073   mPoly cmpl 22127

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-of 7682  df-ofr 7683  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-supp 8163  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-2o 8460  df-er 8700  df-map 8832  df-pm 8833  df-ixp 8909  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-fin 8960  df-fsupp 9336  df-sup 9416  df-oi 9486  df-card 9948  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12262  df-2 12331  df-3 12332  df-4 12333  df-5 12334  df-6 12335  df-7 12336  df-8 12337  df-9 12338  df-n0 12533  df-z 12620  df-dec 12741  df-uz 12892  df-fz 13566  df-fzo 13714  df-seq 14070  df-hash 14399  df-struct 17245  df-sets 17262  df-slot 17280  df-ndx 17292  df-base 17308  df-ress 17329  df-plusg 17361  df-mulr 17362  df-sca 17364  df-vsca 17365  df-ip 17366  df-tset 17367  df-ple 17368  df-ds 17370  df-hom 17372  df-cco 17373  df-0g 17532  df-gsum 17533  df-prds 17538  df-pws 17540  df-mre 17676  df-mrc 17677  df-acs 17679  df-mgm 18736  df-sgrp 18827  df-mnd 18843  df-mhm 18897  df-submnd 18898  df-grp 19066  df-minusg 19067  df-mulg 19197  df-subg 19252  df-ghm 19347  df-cntz 19450  df-cmn 19915  df-abl 19916  df-mgp 20280  df-rng 20294  df-ur 20327  df-ring 20380  df-subrng 20714  df-subrg 20738  df-ascl 22076  df-psr 22130  df-mpl 22132

This theorem is used by:  subrgasclcl  22289  subrg1ascl  22491