MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subrgascl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem subrgascl 19770
Description: The scalar injection function in a subring algebra is the same up to a restriction to the subring. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
subrgascl.p 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
subrgascl.a 𝐴 = (algSc‘𝑃)
subrgascl.h 𝐻 = (𝑅s 𝑇)
subrgascl.u 𝑈 = (𝐼 mPoly 𝐻)
subrgascl.i (𝜑𝐼𝑊)
subrgascl.r (𝜑𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅))
subrgascl.c 𝐶 = (algSc‘𝑈)
Assertion
Ref Expression
subrgascl (𝜑𝐶 = (𝐴𝑇))

Proof of Theorem subrgascl
Dummy variables 𝑥 𝑓 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 subrgascl.c . . . 4 𝐶 = (algSc‘𝑈)
2 eqid 2764 . . . 4 (Scalar‘𝑈) = (Scalar‘𝑈)
3 eqid 2764 . . . 4 (Base‘(Scalar‘𝑈)) = (Base‘(Scalar‘𝑈))
41, 2, 3asclfn 19609 . . 3 𝐶 Fn (Base‘(Scalar‘𝑈))
5 subrgascl.r . . . . . 6 (𝜑𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅))
6 subrgascl.h . . . . . . 7 𝐻 = (𝑅s 𝑇)
76subrgbas 19057 . . . . . 6 (𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑇 = (Base‘𝐻))
85, 7syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑇 = (Base‘𝐻))
9 subrgascl.u . . . . . . 7 𝑈 = (𝐼 mPoly 𝐻)
10 subrgascl.i . . . . . . 7 (𝜑𝐼𝑊)
11 ovex 6873 . . . . . . . . 9 (𝑅s 𝑇) ∈ V
126, 11eqeltri 2839 . . . . . . . 8 𝐻 ∈ V
1312a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑𝐻 ∈ V)
149, 10, 13mplsca 19718 . . . . . 6 (𝜑𝐻 = (Scalar‘𝑈))
1514fveq2d 6378 . . . . 5 (𝜑 → (Base‘𝐻) = (Base‘(Scalar‘𝑈)))
168, 15eqtrd 2798 . . . 4 (𝜑𝑇 = (Base‘(Scalar‘𝑈)))
1716fneq2d 6159 . . 3 (𝜑 → (𝐶 Fn 𝑇𝐶 Fn (Base‘(Scalar‘𝑈))))
184, 17mpbiri 249 . 2 (𝜑𝐶 Fn 𝑇)
19 subrgascl.a . . . . 5 𝐴 = (algSc‘𝑃)
20 eqid 2764 . . . . 5 (Scalar‘𝑃) = (Scalar‘𝑃)
21 eqid 2764 . . . . 5 (Base‘(Scalar‘𝑃)) = (Base‘(Scalar‘𝑃))
2219, 20, 21asclfn 19609 . . . 4 𝐴 Fn (Base‘(Scalar‘𝑃))
23 subrgascl.p . . . . . . 7 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
24 subrgrcl 19053 . . . . . . . 8 (𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑅 ∈ Ring)
255, 24syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
2623, 10, 25mplsca 19718 . . . . . 6 (𝜑𝑅 = (Scalar‘𝑃))
2726fveq2d 6378 . . . . 5 (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑃)))
2827fneq2d 6159 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 Fn (Base‘𝑅) ↔ 𝐴 Fn (Base‘(Scalar‘𝑃))))
2922, 28mpbiri 249 . . 3 (𝜑𝐴 Fn (Base‘𝑅))
30 eqid 2764 . . . . 5 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3130subrgss 19049 . . . 4 (𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑇 ⊆ (Base‘𝑅))
325, 31syl 17 . . 3 (𝜑𝑇 ⊆ (Base‘𝑅))
33 fnssres 6181 . . 3 ((𝐴 Fn (Base‘𝑅) ∧ 𝑇 ⊆ (Base‘𝑅)) → (𝐴𝑇) Fn 𝑇)
3429, 32, 33syl2anc 579 . 2 (𝜑 → (𝐴𝑇) Fn 𝑇)
35 fvres 6393 . . . 4 (𝑥𝑇 → ((𝐴𝑇)‘𝑥) = (𝐴𝑥))
3635adantl 473 . . 3 ((𝜑𝑥𝑇) → ((𝐴𝑇)‘𝑥) = (𝐴𝑥))
37 eqid 2764 . . . . . . . . 9 (0g𝑅) = (0g𝑅)
386, 37subrg0 19055 . . . . . . . 8 (𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) → (0g𝑅) = (0g𝐻))
395, 38syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (0g𝑅) = (0g𝐻))
4039ifeq2d 4261 . . . . . 6 (𝜑 → if(𝑦 = (𝐼 × {0}), 𝑥, (0g𝑅)) = if(𝑦 = (𝐼 × {0}), 𝑥, (0g𝐻)))
4140adantr 472 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑇) → if(𝑦 = (𝐼 × {0}), 𝑥, (0g𝑅)) = if(𝑦 = (𝐼 × {0}), 𝑥, (0g𝐻)))
4241mpteq2dv 4903 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑇) → (𝑦 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑦 = (𝐼 × {0}), 𝑥, (0g𝑅))) = (𝑦 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑦 = (𝐼 × {0}), 𝑥, (0g𝐻))))
43 eqid 2764 . . . . 5 {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} = {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
4410adantr 472 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑇) → 𝐼𝑊)
4525adantr 472 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑇) → 𝑅 ∈ Ring)
4632sselda 3760 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑇) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
4723, 43, 37, 30, 19, 44, 45, 46mplascl 19768 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑇) → (𝐴𝑥) = (𝑦 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑦 = (𝐼 × {0}), 𝑥, (0g𝑅))))
48 eqid 2764 . . . . 5 (0g𝐻) = (0g𝐻)
49 eqid 2764 . . . . 5 (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
506subrgring 19051 . . . . . . 7 (𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐻 ∈ Ring)
515, 50syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐻 ∈ Ring)
5251adantr 472 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑇) → 𝐻 ∈ Ring)
538eleq2d 2829 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥𝑇𝑥 ∈ (Base‘𝐻)))
5453biimpa 468 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑇) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐻))
559, 43, 48, 49, 1, 44, 52, 54mplascl 19768 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑇) → (𝐶𝑥) = (𝑦 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑦 = (𝐼 × {0}), 𝑥, (0g𝐻))))
5642, 47, 553eqtr4d 2808 . . 3 ((𝜑𝑥𝑇) → (𝐴𝑥) = (𝐶𝑥))
5736, 56eqtr2d 2799 . 2 ((𝜑𝑥𝑇) → (𝐶𝑥) = ((𝐴𝑇)‘𝑥))
5818, 34, 57eqfnfvd 6503 1 (𝜑𝐶 = (𝐴𝑇))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1652  wcel 2155  {crab 3058  Vcvv 3349  wss 3731  ifcif 4242  {csn 4333  cmpt 4887   × cxp 5274  ccnv 5275  cres 5278  cima 5279   Fn wfn 6062  cfv 6067  (class class class)co 6841  𝑚 cmap 8059  Fincfn 8159  0cc0 10188  cn 11273  0cn0 11537  Basecbs 16131  s cress 16132  Scalarcsca 16218  0gc0g 16367  Ringcrg 18813  SubRingcsubrg 19044  algSccascl 19584   mPoly cmpl 19626
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2349  ax-ext 2742  ax-rep 4929  ax-sep 4940  ax-nul 4948  ax-pow 5000  ax-pr 5061  ax-un 7146  ax-inf2 8752  ax-cnex 10244  ax-resscn 10245  ax-1cn 10246  ax-icn 10247  ax-addcl 10248  ax-addrcl 10249  ax-mulcl 10250  ax-mulrcl 10251  ax-mulcom 10252  ax-addass 10253  ax-mulass 10254  ax-distr 10255  ax-i2m1 10256  ax-1ne0 10257  ax-1rid 10258  ax-rnegex 10259  ax-rrecex 10260  ax-cnre 10261  ax-pre-lttri 10262  ax-pre-lttrn 10263  ax-pre-ltadd 10264  ax-pre-mulgt0 10265
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2062  df-mo 2564  df-eu 2581  df-clab 2751  df-cleq 2757  df-clel 2760  df-nfc 2895  df-ne 2937  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rmo 3062  df-rab 3063  df-v 3351  df-sbc 3596  df-csb 3691  df-dif 3734  df-un 3736  df-in 3738  df-ss 3745  df-pss 3747  df-nul 4079  df-if 4243  df-pw 4316  df-sn 4334  df-pr 4336  df-tp 4338  df-op 4340  df-uni 4594  df-int 4633  df-iun 4677  df-iin 4678  df-br 4809  df-opab 4871  df-mpt 4888  df-tr 4911  df-id 5184  df-eprel 5189  df-po 5197  df-so 5198  df-fr 5235  df-se 5236  df-we 5237  df-xp 5282  df-rel 5283  df-cnv 5284  df-co 5285  df-dm 5286  df-rn 5287  df-res 5288  df-ima 5289  df-pred 5864  df-ord 5910  df-on 5911  df-lim 5912  df-suc 5913  df-iota 6030  df-fun 6069  df-fn 6070  df-f 6071  df-f1 6072  df-fo 6073  df-f1o 6074  df-fv 6075  df-isom 6076  df-riota 6802  df-ov 6844  df-oprab 6845  df-mpt2 6846  df-of 7094  df-ofr 7095  df-om 7263  df-1st 7365  df-2nd 7366  df-supp 7497  df-wrecs 7609  df-recs 7671  df-rdg 7709  df-1o 7763  df-2o 7764  df-oadd 7767  df-er 7946  df-map 8061  df-pm 8062  df-ixp 8113  df-en 8160  df-dom 8161  df-sdom 8162  df-fin 8163  df-fsupp 8482  df-oi 8621  df-card 9015  df-pnf 10329  df-mnf 10330  df-xr 10331  df-ltxr 10332  df-le 10333  df-sub 10521  df-neg 10522  df-nn 11274  df-2 11334  df-3 11335  df-4 11336  df-5 11337  df-6 11338  df-7 11339  df-8 11340  df-9 11341  df-n0 11538  df-z 11624  df-uz 11886  df-fz 12533  df-fzo 12673  df-seq 13008  df-hash 13321  df-struct 16133  df-ndx 16134  df-slot 16135  df-base 16137  df-sets 16138  df-ress 16139  df-plusg 16228  df-mulr 16229  df-sca 16231  df-vsca 16232  df-tset 16234  df-0g 16369  df-gsum 16370  df-mre 16513  df-mrc 16514  df-acs 16516  df-mgm 17509  df-sgrp 17551  df-mnd 17562  df-mhm 17602  df-submnd 17603  df-grp 17693  df-minusg 17694  df-mulg 17809  df-subg 17856  df-ghm 17923  df-cntz 18014  df-cmn 18460  df-abl 18461  df-mgp 18756  df-ur 18768  df-ring 18815  df-subrg 19046  df-ascl 19587  df-psr 19629  df-mpl 19631
This theorem is referenced by:  subrgasclcl  19771  subrg1ascl  19901
  Copyright terms: Public domain W3C validator