MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subrgascl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem subrgascl 19969
Description: The scalar injection function in a subring algebra is the same up to a restriction to the subring. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
subrgascl.p 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
subrgascl.a 𝐴 = (algSc‘𝑃)
subrgascl.h 𝐻 = (𝑅s 𝑇)
subrgascl.u 𝑈 = (𝐼 mPoly 𝐻)
subrgascl.i (𝜑𝐼𝑊)
subrgascl.r (𝜑𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅))
subrgascl.c 𝐶 = (algSc‘𝑈)
Assertion
Ref Expression
subrgascl (𝜑𝐶 = (𝐴𝑇))

Proof of Theorem subrgascl
Dummy variables 𝑥 𝑓 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 subrgascl.c . . . 4 𝐶 = (algSc‘𝑈)
2 eqid 2797 . . . 4 (Scalar‘𝑈) = (Scalar‘𝑈)
3 eqid 2797 . . . 4 (Base‘(Scalar‘𝑈)) = (Base‘(Scalar‘𝑈))
41, 2, 3asclfn 19802 . . 3 𝐶 Fn (Base‘(Scalar‘𝑈))
5 subrgascl.r . . . . . 6 (𝜑𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅))
6 subrgascl.h . . . . . . 7 𝐻 = (𝑅s 𝑇)
76subrgbas 19238 . . . . . 6 (𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑇 = (Base‘𝐻))
85, 7syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑇 = (Base‘𝐻))
9 subrgascl.u . . . . . . 7 𝑈 = (𝐼 mPoly 𝐻)
10 subrgascl.i . . . . . . 7 (𝜑𝐼𝑊)
116ovexi 7056 . . . . . . . 8 𝐻 ∈ V
1211a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑𝐻 ∈ V)
139, 10, 12mplsca 19917 . . . . . 6 (𝜑𝐻 = (Scalar‘𝑈))
1413fveq2d 6549 . . . . 5 (𝜑 → (Base‘𝐻) = (Base‘(Scalar‘𝑈)))
158, 14eqtrd 2833 . . . 4 (𝜑𝑇 = (Base‘(Scalar‘𝑈)))
1615fneq2d 6324 . . 3 (𝜑 → (𝐶 Fn 𝑇𝐶 Fn (Base‘(Scalar‘𝑈))))
174, 16mpbiri 259 . 2 (𝜑𝐶 Fn 𝑇)
18 subrgascl.a . . . . 5 𝐴 = (algSc‘𝑃)
19 eqid 2797 . . . . 5 (Scalar‘𝑃) = (Scalar‘𝑃)
20 eqid 2797 . . . . 5 (Base‘(Scalar‘𝑃)) = (Base‘(Scalar‘𝑃))
2118, 19, 20asclfn 19802 . . . 4 𝐴 Fn (Base‘(Scalar‘𝑃))
22 subrgascl.p . . . . . . 7 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
23 subrgrcl 19234 . . . . . . . 8 (𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑅 ∈ Ring)
245, 23syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
2522, 10, 24mplsca 19917 . . . . . 6 (𝜑𝑅 = (Scalar‘𝑃))
2625fveq2d 6549 . . . . 5 (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑃)))
2726fneq2d 6324 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 Fn (Base‘𝑅) ↔ 𝐴 Fn (Base‘(Scalar‘𝑃))))
2821, 27mpbiri 259 . . 3 (𝜑𝐴 Fn (Base‘𝑅))
29 eqid 2797 . . . . 5 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3029subrgss 19230 . . . 4 (𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑇 ⊆ (Base‘𝑅))
315, 30syl 17 . . 3 (𝜑𝑇 ⊆ (Base‘𝑅))
32 fnssres 6347 . . 3 ((𝐴 Fn (Base‘𝑅) ∧ 𝑇 ⊆ (Base‘𝑅)) → (𝐴𝑇) Fn 𝑇)
3328, 31, 32syl2anc 584 . 2 (𝜑 → (𝐴𝑇) Fn 𝑇)
34 fvres 6564 . . . 4 (𝑥𝑇 → ((𝐴𝑇)‘𝑥) = (𝐴𝑥))
3534adantl 482 . . 3 ((𝜑𝑥𝑇) → ((𝐴𝑇)‘𝑥) = (𝐴𝑥))
36 eqid 2797 . . . . . . . . 9 (0g𝑅) = (0g𝑅)
376, 36subrg0 19236 . . . . . . . 8 (𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) → (0g𝑅) = (0g𝐻))
385, 37syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (0g𝑅) = (0g𝐻))
3938ifeq2d 4406 . . . . . 6 (𝜑 → if(𝑦 = (𝐼 × {0}), 𝑥, (0g𝑅)) = if(𝑦 = (𝐼 × {0}), 𝑥, (0g𝐻)))
4039adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑇) → if(𝑦 = (𝐼 × {0}), 𝑥, (0g𝑅)) = if(𝑦 = (𝐼 × {0}), 𝑥, (0g𝐻)))
4140mpteq2dv 5063 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑇) → (𝑦 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑦 = (𝐼 × {0}), 𝑥, (0g𝑅))) = (𝑦 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑦 = (𝐼 × {0}), 𝑥, (0g𝐻))))
42 eqid 2797 . . . . 5 {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} = {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
4310adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑇) → 𝐼𝑊)
4424adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑇) → 𝑅 ∈ Ring)
4531sselda 3895 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑇) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
4622, 42, 36, 29, 18, 43, 44, 45mplascl 19967 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑇) → (𝐴𝑥) = (𝑦 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑦 = (𝐼 × {0}), 𝑥, (0g𝑅))))
47 eqid 2797 . . . . 5 (0g𝐻) = (0g𝐻)
48 eqid 2797 . . . . 5 (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
496subrgring 19232 . . . . . . 7 (𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐻 ∈ Ring)
505, 49syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐻 ∈ Ring)
5150adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑇) → 𝐻 ∈ Ring)
528eleq2d 2870 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥𝑇𝑥 ∈ (Base‘𝐻)))
5352biimpa 477 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑇) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐻))
549, 42, 47, 48, 1, 43, 51, 53mplascl 19967 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑇) → (𝐶𝑥) = (𝑦 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑦 = (𝐼 × {0}), 𝑥, (0g𝐻))))
5541, 46, 543eqtr4d 2843 . . 3 ((𝜑𝑥𝑇) → (𝐴𝑥) = (𝐶𝑥))
5635, 55eqtr2d 2834 . 2 ((𝜑𝑥𝑇) → (𝐶𝑥) = ((𝐴𝑇)‘𝑥))
5717, 33, 56eqfnfvd 6677 1 (𝜑𝐶 = (𝐴𝑇))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1525  wcel 2083  {crab 3111  Vcvv 3440  wss 3865  ifcif 4387  {csn 4478  cmpt 5047   × cxp 5448  ccnv 5449  cres 5452  cima 5453   Fn wfn 6227  cfv 6232  (class class class)co 7023  𝑚 cmap 8263  Fincfn 8364  0cc0 10390  cn 11492  0cn0 11751  Basecbs 16316  s cress 16317  Scalarcsca 16401  0gc0g 16546  Ringcrg 18991  SubRingcsubrg 19225  algSccascl 19777   mPoly cmpl 19825
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1781  ax-4 1795  ax-5 1892  ax-6 1951  ax-7 1996  ax-8 2085  ax-9 2093  ax-10 2114  ax-11 2128  ax-12 2143  ax-13 2346  ax-ext 2771  ax-rep 5088  ax-sep 5101  ax-nul 5108  ax-pow 5164  ax-pr 5228  ax-un 7326  ax-cnex 10446  ax-resscn 10447  ax-1cn 10448  ax-icn 10449  ax-addcl 10450  ax-addrcl 10451  ax-mulcl 10452  ax-mulrcl 10453  ax-mulcom 10454  ax-addass 10455  ax-mulass 10456  ax-distr 10457  ax-i2m1 10458  ax-1ne0 10459  ax-1rid 10460  ax-rnegex 10461  ax-rrecex 10462  ax-cnre 10463  ax-pre-lttri 10464  ax-pre-lttrn 10465  ax-pre-ltadd 10466  ax-pre-mulgt0 10467
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1528  df-ex 1766  df-nf 1770  df-sb 2045  df-mo 2578  df-eu 2614  df-clab 2778  df-cleq 2790  df-clel 2865  df-nfc 2937  df-ne 2987  df-nel 3093  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rmo 3115  df-rab 3116  df-v 3442  df-sbc 3712  df-csb 3818  df-dif 3868  df-un 3870  df-in 3872  df-ss 3880  df-pss 3882  df-nul 4218  df-if 4388  df-pw 4461  df-sn 4479  df-pr 4481  df-tp 4483  df-op 4485  df-uni 4752  df-int 4789  df-iun 4833  df-iin 4834  df-br 4969  df-opab 5031  df-mpt 5048  df-tr 5071  df-id 5355  df-eprel 5360  df-po 5369  df-so 5370  df-fr 5409  df-se 5410  df-we 5411  df-xp 5456  df-rel 5457  df-cnv 5458  df-co 5459  df-dm 5460  df-rn 5461  df-res 5462  df-ima 5463  df-pred 6030  df-ord 6076  df-on 6077  df-lim 6078  df-suc 6079  df-iota 6196  df-fun 6234  df-fn 6235  df-f 6236  df-f1 6237  df-fo 6238  df-f1o 6239  df-fv 6240  df-isom 6241  df-riota 6984  df-ov 7026  df-oprab 7027  df-mpo 7028  df-of 7274  df-ofr 7275  df-om 7444  df-1st 7552  df-2nd 7553  df-supp 7689  df-wrecs 7805  df-recs 7867  df-rdg 7905  df-1o 7960  df-2o 7961  df-oadd 7964  df-er 8146  df-map 8265  df-pm 8266  df-ixp 8318  df-en 8365  df-dom 8366  df-sdom 8367  df-fin 8368  df-fsupp 8687  df-oi 8827  df-card 9221  df-pnf 10530  df-mnf 10531  df-xr 10532  df-ltxr 10533  df-le 10534  df-sub 10725  df-neg 10726  df-nn 11493  df-2 11554  df-3 11555  df-4 11556  df-5 11557  df-6 11558  df-7 11559  df-8 11560  df-9 11561  df-n0 11752  df-z 11836  df-uz 12098  df-fz 12747  df-fzo 12888  df-seq 13224  df-hash 13545  df-struct 16318  df-ndx 16319  df-slot 16320  df-base 16322  df-sets 16323  df-ress 16324  df-plusg 16411  df-mulr 16412  df-sca 16414  df-vsca 16415  df-tset 16417  df-0g 16548  df-gsum 16549  df-mre 16690  df-mrc 16691  df-acs 16693  df-mgm 17685  df-sgrp 17727  df-mnd 17738  df-mhm 17778  df-submnd 17779  df-grp 17868  df-minusg 17869  df-mulg 17986  df-subg 18034  df-ghm 18101  df-cntz 18192  df-cmn 18639  df-abl 18640  df-mgp 18934  df-ur 18946  df-ring 18993  df-subrg 19227  df-ascl 19780  df-psr 19828  df-mpl 19830
This theorem is referenced by:  subrgasclcl  19970  subrg1ascl  20114
  Copyright terms: Public domain W3C validator