Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subrgascl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem subrgascl 20832
 Description: The scalar injection function in a subring algebra is the same up to a restriction to the subring. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
subrgascl.p 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
subrgascl.a 𝐴 = (algSc‘𝑃)
subrgascl.h 𝐻 = (𝑅s 𝑇)
subrgascl.u 𝑈 = (𝐼 mPoly 𝐻)
subrgascl.i (𝜑𝐼𝑊)
subrgascl.r (𝜑𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅))
subrgascl.c 𝐶 = (algSc‘𝑈)
Assertion
Ref Expression
subrgascl (𝜑𝐶 = (𝐴𝑇))

Proof of Theorem subrgascl
Dummy variables 𝑥 𝑓 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 subrgascl.c . . . 4 𝐶 = (algSc‘𝑈)
2 eqid 2758 . . . 4 (Scalar‘𝑈) = (Scalar‘𝑈)
3 eqid 2758 . . . 4 (Base‘(Scalar‘𝑈)) = (Base‘(Scalar‘𝑈))
41, 2, 3asclfn 20648 . . 3 𝐶 Fn (Base‘(Scalar‘𝑈))
5 subrgascl.r . . . . . 6 (𝜑𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅))
6 subrgascl.h . . . . . . 7 𝐻 = (𝑅s 𝑇)
76subrgbas 19617 . . . . . 6 (𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑇 = (Base‘𝐻))
85, 7syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑇 = (Base‘𝐻))
9 subrgascl.u . . . . . . 7 𝑈 = (𝐼 mPoly 𝐻)
10 subrgascl.i . . . . . . 7 (𝜑𝐼𝑊)
116ovexi 7189 . . . . . . . 8 𝐻 ∈ V
1211a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑𝐻 ∈ V)
139, 10, 12mplsca 20781 . . . . . 6 (𝜑𝐻 = (Scalar‘𝑈))
1413fveq2d 6666 . . . . 5 (𝜑 → (Base‘𝐻) = (Base‘(Scalar‘𝑈)))
158, 14eqtrd 2793 . . . 4 (𝜑𝑇 = (Base‘(Scalar‘𝑈)))
1615fneq2d 6432 . . 3 (𝜑 → (𝐶 Fn 𝑇𝐶 Fn (Base‘(Scalar‘𝑈))))
174, 16mpbiri 261 . 2 (𝜑𝐶 Fn 𝑇)
18 subrgascl.a . . . . 5 𝐴 = (algSc‘𝑃)
19 eqid 2758 . . . . 5 (Scalar‘𝑃) = (Scalar‘𝑃)
20 eqid 2758 . . . . 5 (Base‘(Scalar‘𝑃)) = (Base‘(Scalar‘𝑃))
2118, 19, 20asclfn 20648 . . . 4 𝐴 Fn (Base‘(Scalar‘𝑃))
22 subrgascl.p . . . . . . 7 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
23 subrgrcl 19613 . . . . . . . 8 (𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑅 ∈ Ring)
245, 23syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
2522, 10, 24mplsca 20781 . . . . . 6 (𝜑𝑅 = (Scalar‘𝑃))
2625fveq2d 6666 . . . . 5 (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑃)))
2726fneq2d 6432 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 Fn (Base‘𝑅) ↔ 𝐴 Fn (Base‘(Scalar‘𝑃))))
2821, 27mpbiri 261 . . 3 (𝜑𝐴 Fn (Base‘𝑅))
29 eqid 2758 . . . . 5 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3029subrgss 19609 . . . 4 (𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑇 ⊆ (Base‘𝑅))
315, 30syl 17 . . 3 (𝜑𝑇 ⊆ (Base‘𝑅))
32 fnssres 6457 . . 3 ((𝐴 Fn (Base‘𝑅) ∧ 𝑇 ⊆ (Base‘𝑅)) → (𝐴𝑇) Fn 𝑇)
3328, 31, 32syl2anc 587 . 2 (𝜑 → (𝐴𝑇) Fn 𝑇)
34 fvres 6681 . . . 4 (𝑥𝑇 → ((𝐴𝑇)‘𝑥) = (𝐴𝑥))
3534adantl 485 . . 3 ((𝜑𝑥𝑇) → ((𝐴𝑇)‘𝑥) = (𝐴𝑥))
36 eqid 2758 . . . . . . . . 9 (0g𝑅) = (0g𝑅)
376, 36subrg0 19615 . . . . . . . 8 (𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) → (0g𝑅) = (0g𝐻))
385, 37syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (0g𝑅) = (0g𝐻))
3938ifeq2d 4443 . . . . . 6 (𝜑 → if(𝑦 = (𝐼 × {0}), 𝑥, (0g𝑅)) = if(𝑦 = (𝐼 × {0}), 𝑥, (0g𝐻)))
4039adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑇) → if(𝑦 = (𝐼 × {0}), 𝑥, (0g𝑅)) = if(𝑦 = (𝐼 × {0}), 𝑥, (0g𝐻)))
4140mpteq2dv 5131 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑇) → (𝑦 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑦 = (𝐼 × {0}), 𝑥, (0g𝑅))) = (𝑦 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑦 = (𝐼 × {0}), 𝑥, (0g𝐻))))
42 eqid 2758 . . . . 5 {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} = {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
4310adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑇) → 𝐼𝑊)
4424adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑇) → 𝑅 ∈ Ring)
4531sselda 3894 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑇) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
4622, 42, 36, 29, 18, 43, 44, 45mplascl 20830 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑇) → (𝐴𝑥) = (𝑦 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑦 = (𝐼 × {0}), 𝑥, (0g𝑅))))
47 eqid 2758 . . . . 5 (0g𝐻) = (0g𝐻)
48 eqid 2758 . . . . 5 (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
496subrgring 19611 . . . . . . 7 (𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐻 ∈ Ring)
505, 49syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐻 ∈ Ring)
5150adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑇) → 𝐻 ∈ Ring)
528eleq2d 2837 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥𝑇𝑥 ∈ (Base‘𝐻)))
5352biimpa 480 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑇) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐻))
549, 42, 47, 48, 1, 43, 51, 53mplascl 20830 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑇) → (𝐶𝑥) = (𝑦 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑦 = (𝐼 × {0}), 𝑥, (0g𝐻))))
5541, 46, 543eqtr4d 2803 . . 3 ((𝜑𝑥𝑇) → (𝐴𝑥) = (𝐶𝑥))
5635, 55eqtr2d 2794 . 2 ((𝜑𝑥𝑇) → (𝐶𝑥) = ((𝐴𝑇)‘𝑥))
5717, 33, 56eqfnfvd 6800 1 (𝜑𝐶 = (𝐴𝑇))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  {crab 3074  Vcvv 3409   ⊆ wss 3860  ifcif 4423  {csn 4525   ↦ cmpt 5115   × cxp 5525  ◡ccnv 5526   ↾ cres 5529   “ cima 5530   Fn wfn 6334  ‘cfv 6339  (class class class)co 7155   ↑m cmap 8421  Fincfn 8532  0cc0 10580  ℕcn 11679  ℕ0cn0 11939  Basecbs 16546   ↾s cress 16547  Scalarcsca 16631  0gc0g 16776  Ringcrg 19370  SubRingcsubrg 19604  algSccascl 20622   mPoly cmpl 20673 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5159  ax-sep 5172  ax-nul 5179  ax-pow 5237  ax-pr 5301  ax-un 7464  ax-cnex 10636  ax-resscn 10637  ax-1cn 10638  ax-icn 10639  ax-addcl 10640  ax-addrcl 10641  ax-mulcl 10642  ax-mulrcl 10643  ax-mulcom 10644  ax-addass 10645  ax-mulass 10646  ax-distr 10647  ax-i2m1 10648  ax-1ne0 10649  ax-1rid 10650  ax-rnegex 10651  ax-rrecex 10652  ax-cnre 10653  ax-pre-lttri 10654  ax-pre-lttrn 10655  ax-pre-ltadd 10656  ax-pre-mulgt0 10657 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-int 4842  df-iun 4888  df-iin 4889  df-br 5036  df-opab 5098  df-mpt 5116  df-tr 5142  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5446  df-so 5447  df-fr 5486  df-se 5487  df-we 5488  df-xp 5533  df-rel 5534  df-cnv 5535  df-co 5536  df-dm 5537  df-rn 5538  df-res 5539  df-ima 5540  df-pred 6130  df-ord 6176  df-on 6177  df-lim 6178  df-suc 6179  df-iota 6298  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-isom 6348  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-of 7410  df-ofr 7411  df-om 7585  df-1st 7698  df-2nd 7699  df-supp 7841  df-wrecs 7962  df-recs 8023  df-rdg 8061  df-1o 8117  df-er 8304  df-map 8423  df-pm 8424  df-ixp 8485  df-en 8533  df-dom 8534  df-sdom 8535  df-fin 8536  df-fsupp 8872  df-oi 9012  df-card 9406  df-pnf 10720  df-mnf 10721  df-xr 10722  df-ltxr 10723  df-le 10724  df-sub 10915  df-neg 10916  df-nn 11680  df-2 11742  df-3 11743  df-4 11744  df-5 11745  df-6 11746  df-7 11747  df-8 11748  df-9 11749  df-n0 11940  df-z 12026  df-uz 12288  df-fz 12945  df-fzo 13088  df-seq 13424  df-hash 13746  df-struct 16548  df-ndx 16549  df-slot 16550  df-base 16552  df-sets 16553  df-ress 16554  df-plusg 16641  df-mulr 16642  df-sca 16644  df-vsca 16645  df-tset 16647  df-0g 16778  df-gsum 16779  df-mre 16920  df-mrc 16921  df-acs 16923  df-mgm 17923  df-sgrp 17972  df-mnd 17983  df-mhm 18027  df-submnd 18028  df-grp 18177  df-minusg 18178  df-mulg 18297  df-subg 18348  df-ghm 18428  df-cntz 18519  df-cmn 18980  df-abl 18981  df-mgp 19313  df-ur 19325  df-ring 19372  df-subrg 19606  df-ascl 20625  df-psr 20676  df-mpl 20678 This theorem is referenced by:  subrgasclcl  20833  subrg1ascl  20988
 Copyright terms: Public domain W3C validator