Theorem subrgascl 22198

Description: The scalar injection function in a subring algebra is the same up to a restriction to the subring. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jul-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
subrgascl.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
subrgascl.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)
subrgascl.h	⊢ 𝐻 = (𝑅 ↾s 𝑇)
subrgascl.u	⊢ 𝑈 = (𝐼 mPoly 𝐻)
subrgascl.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
subrgascl.r	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅))
subrgascl.c	⊢ 𝐶 = (algSc‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
subrgascl	⊢ (𝜑 → 𝐶 = (𝐴 ↾ 𝑇))

Proof of Theorem subrgascl

Dummy variables 𝑥 𝑓 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subrgascl.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (algSc‘𝑈)
2		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝑈) = (Scalar‘𝑈)
3		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑈)) = (Base‘(Scalar‘𝑈))
4	1, 2, 3	asclfn 22011	. . 3 ⊢ 𝐶 Fn (Base‘(Scalar‘𝑈))
5		subrgascl.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅))
6		subrgascl.h	. . . . . . 7 ⊢ 𝐻 = (𝑅 ↾s 𝑇)
7	6	subrgbas 20667	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑇 = (Base‘𝐻))
8	5, 7	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑇 = (Base‘𝐻))
9		subrgascl.u	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 = (𝐼 mPoly 𝐻)
10		subrgascl.i	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
11	6	ovexi 7446	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐻 ∈ V
12	11	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ V)
13	9, 10, 12	mplsca 22143	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = (Scalar‘𝑈))
14	13	fveq2d 6887	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐻) = (Base‘(Scalar‘𝑈)))
15	8, 14	eqtrd 2798	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 = (Base‘(Scalar‘𝑈)))
16	15	fneq2d 6631	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 Fn 𝑇 ↔ 𝐶 Fn (Base‘(Scalar‘𝑈))))
17	4, 16	mpbiri 261	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 Fn 𝑇)
18		subrgascl.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)
19		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘𝑃) = (Scalar‘𝑃)
20		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑃)) = (Base‘(Scalar‘𝑃))
21	18, 19, 20	asclfn 22011	. . . 4 ⊢ 𝐴 Fn (Base‘(Scalar‘𝑃))
22		subrgascl.p	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
23		subrgrcl 20662	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑅 ∈ Ring)
24	5, 23	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
25	22, 10, 24	mplsca 22143	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
26	25	fveq2d 6887	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑃)))
27	26	fneq2d 6631	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 Fn (Base‘𝑅) ↔ 𝐴 Fn (Base‘(Scalar‘𝑃))))
28	21, 27	mpbiri 261	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 Fn (Base‘𝑅))
29		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
30	29	subrgss 20658	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑇 ⊆ (Base‘𝑅))
31	5, 30	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ (Base‘𝑅))
32		fnssres 6660	. . 3 ⊢ ((𝐴 Fn (Base‘𝑅) ∧ 𝑇 ⊆ (Base‘𝑅)) → (𝐴 ↾ 𝑇) Fn 𝑇)
33	28, 31, 32	syl2anc 595	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ↾ 𝑇) Fn 𝑇)
34		fvres 6902	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑇 → ((𝐴 ↾ 𝑇)‘𝑥) = (𝐴‘𝑥))
35	34	adantl 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → ((𝐴 ↾ 𝑇)‘𝑥) = (𝐴‘𝑥))
36		eqid 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
37	6, 36	subrg0 20665	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) → (0g‘𝑅) = (0g‘𝐻))
38	5, 37	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑅) = (0g‘𝐻))
39	38	ifeq2d 4509	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → if(𝑦 = (𝐼 × {0}), 𝑥, (0g‘𝑅)) = if(𝑦 = (𝐼 × {0}), 𝑥, (0g‘𝐻)))
40	39	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → if(𝑦 = (𝐼 × {0}), 𝑥, (0g‘𝑅)) = if(𝑦 = (𝐼 × {0}), 𝑥, (0g‘𝐻)))
41	40	mpteq2dv 5206	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → (𝑦 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑦 = (𝐼 × {0}), 𝑥, (0g‘𝑅))) = (𝑦 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑦 = (𝐼 × {0}), 𝑥, (0g‘𝐻))))
42		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
43	10	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → 𝐼 ∈ 𝑊)
44	24	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → 𝑅 ∈ Ring)
45	31	sselda 3938	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
46	22, 42, 36, 29, 18, 43, 44, 45	mplascl 22196	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → (𝐴‘𝑥) = (𝑦 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑦 = (𝐼 × {0}), 𝑥, (0g‘𝑅))))
47		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝐻) = (0g‘𝐻)
48		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
49	6	subrgring 20660	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐻 ∈ Ring)
50	5, 49	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ Ring)
51	50	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → 𝐻 ∈ Ring)
52	8	eleq2d 2849	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑇 ↔ 𝑥 ∈ (Base‘𝐻)))
53	52	biimpa 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐻))
54	9, 42, 47, 48, 1, 43, 51, 53	mplascl 22196	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → (𝐶‘𝑥) = (𝑦 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑦 = (𝐼 × {0}), 𝑥, (0g‘𝐻))))
55	41, 46, 54	3eqtr4d 2808	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → (𝐴‘𝑥) = (𝐶‘𝑥))
56	35, 55	eqtr2d 2799	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → (𝐶‘𝑥) = ((𝐴 ↾ 𝑇)‘𝑥))
57	17, 33, 56	eqfnfvd 7030	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = (𝐴 ↾ 𝑇))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  {crab 3416  Vcvv 3455   ⊆ wss 3906  ifcif 4488  {csn 4590   ↦ cmpt 5193   × cxp 5661  ^◡ccnv 5662   ↾ cres 5665   “ cima 5666   Fn wfn 6533  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412   ↑_m cmap 8825  Fincfn 8944  0cc0 11101  ℕcn 12234  ℕ₀cn0 12505  Basecbs 17270   ↾_s cress 17291  Scalarcsca 17314  0_gc0g 17493  Ringcrg 20316  SubRingcsubrg 20655  algSccascl 21983   mPoly cmpl 22037

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-iin 4960  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7676  df-ofr 7677  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8158  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-1o 8454  df-2o 8455  df-er 8695  df-map 8827  df-pm 8828  df-ixp 8897  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-fin 8948  df-fsupp 9323  df-sup 9403  df-oi 9473  df-card 9926  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-nn 12235  df-2 12304  df-3 12305  df-4 12306  df-5 12307  df-6 12308  df-7 12309  df-8 12310  df-9 12311  df-n0 12506  df-z 12593  df-dec 12713  df-uz 12864  df-fz 13537  df-fzo 13685  df-seq 14040  df-hash 14369  df-struct 17208  df-sets 17225  df-slot 17243  df-ndx 17255  df-base 17271  df-ress 17292  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-ip 17329  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ds 17333  df-hom 17335  df-cco 17336  df-0g 17495  df-gsum 17496  df-prds 17501  df-pws 17503  df-mre 17639  df-mrc 17640  df-acs 17642  df-mgm 18699  df-sgrp 18778  df-mnd 18794  df-mhm 18842  df-submnd 18843  df-grp 19004  df-minusg 19005  df-mulg 19135  df-subg 19190  df-ghm 19285  df-cntz 19388  df-cmn 19853  df-abl 19854  df-mgp 20218  df-rng 20232  df-ur 20265  df-ring 20318  df-subrng 20632  df-subrg 20656  df-ascl 21986  df-psr 22040  df-mpl 22042

This theorem is referenced by:  subrgasclcl  22199  subrg1ascl  22401