MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  opprsubrg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem opprsubrg 19678
Description: Being a subring is a symmetric property. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Dec-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
opprsubrg.o 𝑂 = (oppr𝑅)
Assertion
Ref Expression
opprsubrg (SubRing‘𝑅) = (SubRing‘𝑂)

Proof of Theorem opprsubrg
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 subrgrcl 19662 . . 3 (𝑥 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑅 ∈ Ring)
2 subrgrcl 19662 . . . 4 (𝑥 ∈ (SubRing‘𝑂) → 𝑂 ∈ Ring)
3 opprsubrg.o . . . . 5 𝑂 = (oppr𝑅)
43opprringb 19507 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring ↔ 𝑂 ∈ Ring)
52, 4sylibr 237 . . 3 (𝑥 ∈ (SubRing‘𝑂) → 𝑅 ∈ Ring)
63opprsubg 19511 . . . . . . 7 (SubGrp‘𝑅) = (SubGrp‘𝑂)
76a1i 11 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → (SubGrp‘𝑅) = (SubGrp‘𝑂))
87eleq2d 2819 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝑅) ↔ 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝑂)))
9 ralcom 3259 . . . . . . 7 (∀𝑦𝑥𝑧𝑥 (𝑦(.r𝑅)𝑧) ∈ 𝑥 ↔ ∀𝑧𝑥𝑦𝑥 (𝑦(.r𝑅)𝑧) ∈ 𝑥)
10 eqid 2739 . . . . . . . . . 10 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
11 eqid 2739 . . . . . . . . . 10 (.r𝑅) = (.r𝑅)
12 eqid 2739 . . . . . . . . . 10 (.r𝑂) = (.r𝑂)
1310, 11, 3, 12opprmul 19501 . . . . . . . . 9 (𝑧(.r𝑂)𝑦) = (𝑦(.r𝑅)𝑧)
1413eleq1i 2824 . . . . . . . 8 ((𝑧(.r𝑂)𝑦) ∈ 𝑥 ↔ (𝑦(.r𝑅)𝑧) ∈ 𝑥)
15142ralbii 3082 . . . . . . 7 (∀𝑧𝑥𝑦𝑥 (𝑧(.r𝑂)𝑦) ∈ 𝑥 ↔ ∀𝑧𝑥𝑦𝑥 (𝑦(.r𝑅)𝑧) ∈ 𝑥)
169, 15bitr4i 281 . . . . . 6 (∀𝑦𝑥𝑧𝑥 (𝑦(.r𝑅)𝑧) ∈ 𝑥 ↔ ∀𝑧𝑥𝑦𝑥 (𝑧(.r𝑂)𝑦) ∈ 𝑥)
1716a1i 11 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → (∀𝑦𝑥𝑧𝑥 (𝑦(.r𝑅)𝑧) ∈ 𝑥 ↔ ∀𝑧𝑥𝑦𝑥 (𝑧(.r𝑂)𝑦) ∈ 𝑥))
188, 173anbi13d 1439 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → ((𝑥 ∈ (SubGrp‘𝑅) ∧ (1r𝑅) ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥𝑧𝑥 (𝑦(.r𝑅)𝑧) ∈ 𝑥) ↔ (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝑂) ∧ (1r𝑅) ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑧𝑥𝑦𝑥 (𝑧(.r𝑂)𝑦) ∈ 𝑥)))
19 eqid 2739 . . . . 5 (1r𝑅) = (1r𝑅)
2010, 19, 11issubrg2 19677 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → (𝑥 ∈ (SubRing‘𝑅) ↔ (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝑅) ∧ (1r𝑅) ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥𝑧𝑥 (𝑦(.r𝑅)𝑧) ∈ 𝑥)))
213, 10opprbas 19504 . . . . . 6 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑂)
223, 19oppr1 19509 . . . . . 6 (1r𝑅) = (1r𝑂)
2321, 22, 12issubrg2 19677 . . . . 5 (𝑂 ∈ Ring → (𝑥 ∈ (SubRing‘𝑂) ↔ (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝑂) ∧ (1r𝑅) ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑧𝑥𝑦𝑥 (𝑧(.r𝑂)𝑦) ∈ 𝑥)))
244, 23sylbi 220 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → (𝑥 ∈ (SubRing‘𝑂) ↔ (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝑂) ∧ (1r𝑅) ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑧𝑥𝑦𝑥 (𝑧(.r𝑂)𝑦) ∈ 𝑥)))
2518, 20, 243bitr4d 314 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → (𝑥 ∈ (SubRing‘𝑅) ↔ 𝑥 ∈ (SubRing‘𝑂)))
261, 5, 25pm5.21nii 383 . 2 (𝑥 ∈ (SubRing‘𝑅) ↔ 𝑥 ∈ (SubRing‘𝑂))
2726eqriv 2736 1 (SubRing‘𝑅) = (SubRing‘𝑂)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 209  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2114  wral 3054  cfv 6340  (class class class)co 7173  Basecbs 16589  .rcmulr 16672  SubGrpcsubg 18394  1rcur 19373  Ringcrg 19419  opprcoppr 19497  SubRingcsubrg 19653
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2711  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5233  ax-pr 5297  ax-un 7482  ax-cnex 10674  ax-resscn 10675  ax-1cn 10676  ax-icn 10677  ax-addcl 10678  ax-addrcl 10679  ax-mulcl 10680  ax-mulrcl 10681  ax-mulcom 10682  ax-addass 10683  ax-mulass 10684  ax-distr 10685  ax-i2m1 10686  ax-1ne0 10687  ax-1rid 10688  ax-rnegex 10689  ax-rrecex 10690  ax-cnre 10691  ax-pre-lttri 10692  ax-pre-lttrn 10693  ax-pre-ltadd 10694  ax-pre-mulgt0 10695
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2541  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rmo 3062  df-rab 3063  df-v 3401  df-sbc 3682  df-csb 3792  df-dif 3847  df-un 3849  df-in 3851  df-ss 3861  df-pss 3863  df-nul 4213  df-if 4416  df-pw 4491  df-sn 4518  df-pr 4520  df-tp 4522  df-op 4524  df-uni 4798  df-iun 4884  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-tr 5138  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5484  df-we 5486  df-xp 5532  df-rel 5533  df-cnv 5534  df-co 5535  df-dm 5536  df-rn 5537  df-res 5538  df-ima 5539  df-pred 6130  df-ord 6176  df-on 6177  df-lim 6178  df-suc 6179  df-iota 6298  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-riota 7130  df-ov 7176  df-oprab 7177  df-mpo 7178  df-om 7603  df-tpos 7924  df-wrecs 7979  df-recs 8040  df-rdg 8078  df-er 8323  df-en 8559  df-dom 8560  df-sdom 8561  df-pnf 10758  df-mnf 10759  df-xr 10760  df-ltxr 10761  df-le 10762  df-sub 10953  df-neg 10954  df-nn 11720  df-2 11782  df-3 11783  df-ndx 16592  df-slot 16593  df-base 16595  df-sets 16596  df-ress 16597  df-plusg 16684  df-mulr 16685  df-0g 16821  df-mgm 17971  df-sgrp 18020  df-mnd 18031  df-grp 18225  df-subg 18397  df-mgp 19362  df-ur 19374  df-ring 19421  df-oppr 19498  df-subrg 19655
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator