Theorem opprsubrg 20484

Description: Being a subring is a symmetric property. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Dec-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
opprsubrg.o	⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
opprsubrg	⊢ (SubRing‘𝑅) = (SubRing‘𝑂)

Proof of Theorem opprsubrg

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subrgrcl 20467	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑅 ∈ Ring)
2		subrgrcl 20467	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (SubRing‘𝑂) → 𝑂 ∈ Ring)
3		opprsubrg.o	. . . . 5 ⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)
4	3	opprringb 20240	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring ↔ 𝑂 ∈ Ring)
5	2, 4	sylibr 233	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (SubRing‘𝑂) → 𝑅 ∈ Ring)
6	3	opprsubg 20244	. . . . . . 7 ⊢ (SubGrp‘𝑅) = (SubGrp‘𝑂)
7	6	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (SubGrp‘𝑅) = (SubGrp‘𝑂))
8	7	eleq2d 2818	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝑅) ↔ 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝑂)))
9		ralcom 3285	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝑥 ∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑦(.r‘𝑅)𝑧) ∈ 𝑥 ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑥 ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦(.r‘𝑅)𝑧) ∈ 𝑥)
10		eqid 2731	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
11		eqid 2731	. . . . . . . . . 10 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
12		eqid 2731	. . . . . . . . . 10 ⊢ (.r‘𝑂) = (.r‘𝑂)
13	10, 11, 3, 12	opprmul 20229	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧(.r‘𝑂)𝑦) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑧)
14	13	eleq1i 2823	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧(.r‘𝑂)𝑦) ∈ 𝑥 ↔ (𝑦(.r‘𝑅)𝑧) ∈ 𝑥)
15	14	2ralbii 3127	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝑥 ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑧(.r‘𝑂)𝑦) ∈ 𝑥 ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑥 ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦(.r‘𝑅)𝑧) ∈ 𝑥)
16	9, 15	bitr4i 277	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝑥 ∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑦(.r‘𝑅)𝑧) ∈ 𝑥 ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑥 ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑧(.r‘𝑂)𝑦) ∈ 𝑥)
17	16	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (∀𝑦 ∈ 𝑥 ∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑦(.r‘𝑅)𝑧) ∈ 𝑥 ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑥 ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑧(.r‘𝑂)𝑦) ∈ 𝑥))
18	8, 17	3anbi13d 1437	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((𝑥 ∈ (SubGrp‘𝑅) ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 ∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑦(.r‘𝑅)𝑧) ∈ 𝑥) ↔ (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝑂) ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑥 ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑧(.r‘𝑂)𝑦) ∈ 𝑥)))
19		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
20	10, 19, 11	issubrg2 20483	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑥 ∈ (SubRing‘𝑅) ↔ (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝑅) ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 ∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑦(.r‘𝑅)𝑧) ∈ 𝑥)))
21	3, 10	opprbas 20233	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑂)
22	3, 19	oppr1 20242	. . . . . 6 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑂)
23	21, 22, 12	issubrg2 20483	. . . . 5 ⊢ (𝑂 ∈ Ring → (𝑥 ∈ (SubRing‘𝑂) ↔ (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝑂) ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑥 ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑧(.r‘𝑂)𝑦) ∈ 𝑥)))
24	4, 23	sylbi 216	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑥 ∈ (SubRing‘𝑂) ↔ (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝑂) ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑥 ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑧(.r‘𝑂)𝑦) ∈ 𝑥)))
25	18, 20, 24	3bitr4d 310	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑥 ∈ (SubRing‘𝑅) ↔ 𝑥 ∈ (SubRing‘𝑂)))
26	1, 5, 25	pm5.21nii 378	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ (SubRing‘𝑅) ↔ 𝑥 ∈ (SubRing‘𝑂))
27	26	eqriv 2728	1 ⊢ (SubRing‘𝑅) = (SubRing‘𝑂)

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  ∀wral 3060  ‘cfv 6544  (class class class)co 7412  Basecbs 17149  ._rcmulr 17203  SubGrpcsubg 19037  1_rcur 20076  Ringcrg 20128  opp_rcoppr 20225  SubRingcsubrg 20458

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7859  df-2nd 7979  df-tpos 8214  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-er 8706  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-0g 17392  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-grp 18859  df-minusg 18860  df-subg 19040  df-cmn 19692  df-abl 19693  df-mgp 20030  df-rng 20048  df-ur 20077  df-ring 20130  df-oppr 20226  df-subrng 20435  df-subrg 20460

This theorem is referenced by: (None)