Theorem opprsubrg 20567

Description: Being a subring is a symmetric property. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Dec-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
opprsubrg.o	⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
opprsubrg	⊢ (SubRing‘𝑅) = (SubRing‘𝑂)

Proof of Theorem opprsubrg

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subrgrcl 20550	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑅 ∈ Ring)
2		subrgrcl 20550	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (SubRing‘𝑂) → 𝑂 ∈ Ring)
3		opprsubrg.o	. . . . 5 ⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)
4	3	opprringb 20325	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring ↔ 𝑂 ∈ Ring)
5	2, 4	sylibr 234	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (SubRing‘𝑂) → 𝑅 ∈ Ring)
6	3	opprsubg 20329	. . . . . . 7 ⊢ (SubGrp‘𝑅) = (SubGrp‘𝑂)
7	6	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (SubGrp‘𝑅) = (SubGrp‘𝑂))
8	7	eleq2d 2823	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝑅) ↔ 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝑂)))
9		ralcom 3266	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝑥 ∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑦(.r‘𝑅)𝑧) ∈ 𝑥 ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑥 ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦(.r‘𝑅)𝑧) ∈ 𝑥)
10		eqid 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
11		eqid 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
12		eqid 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (.r‘𝑂) = (.r‘𝑂)
13	10, 11, 3, 12	opprmul 20317	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧(.r‘𝑂)𝑦) = (𝑦(.r‘𝑅)𝑧)
14	13	eleq1i 2828	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧(.r‘𝑂)𝑦) ∈ 𝑥 ↔ (𝑦(.r‘𝑅)𝑧) ∈ 𝑥)
15	14	2ralbii 3113	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝑥 ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑧(.r‘𝑂)𝑦) ∈ 𝑥 ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑥 ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦(.r‘𝑅)𝑧) ∈ 𝑥)
16	9, 15	bitr4i 278	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝑥 ∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑦(.r‘𝑅)𝑧) ∈ 𝑥 ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑥 ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑧(.r‘𝑂)𝑦) ∈ 𝑥)
17	16	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (∀𝑦 ∈ 𝑥 ∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑦(.r‘𝑅)𝑧) ∈ 𝑥 ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑥 ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑧(.r‘𝑂)𝑦) ∈ 𝑥))
18	8, 17	3anbi13d 1441	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((𝑥 ∈ (SubGrp‘𝑅) ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 ∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑦(.r‘𝑅)𝑧) ∈ 𝑥) ↔ (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝑂) ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑥 ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑧(.r‘𝑂)𝑦) ∈ 𝑥)))
19		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
20	10, 19, 11	issubrg2 20566	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑥 ∈ (SubRing‘𝑅) ↔ (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝑅) ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 ∀𝑧 ∈ 𝑥 (𝑦(.r‘𝑅)𝑧) ∈ 𝑥)))
21	3, 10	opprbas 20320	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑂)
22	3, 19	oppr1 20327	. . . . . 6 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑂)
23	21, 22, 12	issubrg2 20566	. . . . 5 ⊢ (𝑂 ∈ Ring → (𝑥 ∈ (SubRing‘𝑂) ↔ (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝑂) ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑥 ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑧(.r‘𝑂)𝑦) ∈ 𝑥)))
24	4, 23	sylbi 217	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑥 ∈ (SubRing‘𝑂) ↔ (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝑂) ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑥 ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑧(.r‘𝑂)𝑦) ∈ 𝑥)))
25	18, 20, 24	3bitr4d 311	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑥 ∈ (SubRing‘𝑅) ↔ 𝑥 ∈ (SubRing‘𝑂)))
26	1, 5, 25	pm5.21nii 378	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ (SubRing‘𝑅) ↔ 𝑥 ∈ (SubRing‘𝑂))
27	26	eqriv 2734	1 ⊢ (SubRing‘𝑅) = (SubRing‘𝑂)

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  ‘cfv 6496  (class class class)co 7364  Basecbs 17176  ._rcmulr 17218  SubGrpcsubg 19093  1_rcur 20159  Ringcrg 20211  opp_rcoppr 20313  SubRingcsubrg 20543

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5306  ax-pr 5374  ax-un 7686  ax-cnex 11091  ax-resscn 11092  ax-1cn 11093  ax-icn 11094  ax-addcl 11095  ax-addrcl 11096  ax-mulcl 11097  ax-mulrcl 11098  ax-mulcom 11099  ax-addass 11100  ax-mulass 11101  ax-distr 11102  ax-i2m1 11103  ax-1ne0 11104  ax-1rid 11105  ax-rnegex 11106  ax-rrecex 11107  ax-cnre 11108  ax-pre-lttri 11109  ax-pre-lttrn 11110  ax-pre-ltadd 11111  ax-pre-mulgt0 11112

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5523  df-eprel 5528  df-po 5536  df-so 5537  df-fr 5581  df-we 5583  df-xp 5634  df-rel 5635  df-cnv 5636  df-co 5637  df-dm 5638  df-rn 5639  df-res 5640  df-ima 5641  df-pred 6263  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7321  df-ov 7367  df-oprab 7368  df-mpo 7369  df-om 7815  df-2nd 7940  df-tpos 8173  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11178  df-mnf 11179  df-xr 11180  df-ltxr 11181  df-le 11182  df-sub 11376  df-neg 11377  df-nn 12172  df-2 12241  df-3 12242  df-sets 17131  df-slot 17149  df-ndx 17161  df-base 17177  df-ress 17198  df-plusg 17230  df-mulr 17231  df-0g 17401  df-mgm 18605  df-sgrp 18684  df-mnd 18700  df-grp 18909  df-minusg 18910  df-subg 19096  df-cmn 19754  df-abl 19755  df-mgp 20119  df-rng 20131  df-ur 20160  df-ring 20213  df-oppr 20314  df-subrng 20520  df-subrg 20544

This theorem is referenced by: (None)