Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  opprsubrg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem opprsubrg 19478
 Description: Being a subring is a symmetric property. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Dec-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
opprsubrg.o 𝑂 = (oppr𝑅)
Assertion
Ref Expression
opprsubrg (SubRing‘𝑅) = (SubRing‘𝑂)

Proof of Theorem opprsubrg
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 subrgrcl 19462 . . 3 (𝑥 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑅 ∈ Ring)
2 subrgrcl 19462 . . . 4 (𝑥 ∈ (SubRing‘𝑂) → 𝑂 ∈ Ring)
3 opprsubrg.o . . . . 5 𝑂 = (oppr𝑅)
43opprringb 19304 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring ↔ 𝑂 ∈ Ring)
52, 4sylibr 235 . . 3 (𝑥 ∈ (SubRing‘𝑂) → 𝑅 ∈ Ring)
63opprsubg 19308 . . . . . . 7 (SubGrp‘𝑅) = (SubGrp‘𝑂)
76a1i 11 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → (SubGrp‘𝑅) = (SubGrp‘𝑂))
87eleq2d 2902 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝑅) ↔ 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝑂)))
9 ralcom 3358 . . . . . . 7 (∀𝑦𝑥𝑧𝑥 (𝑦(.r𝑅)𝑧) ∈ 𝑥 ↔ ∀𝑧𝑥𝑦𝑥 (𝑦(.r𝑅)𝑧) ∈ 𝑥)
10 eqid 2825 . . . . . . . . . 10 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
11 eqid 2825 . . . . . . . . . 10 (.r𝑅) = (.r𝑅)
12 eqid 2825 . . . . . . . . . 10 (.r𝑂) = (.r𝑂)
1310, 11, 3, 12opprmul 19298 . . . . . . . . 9 (𝑧(.r𝑂)𝑦) = (𝑦(.r𝑅)𝑧)
1413eleq1i 2907 . . . . . . . 8 ((𝑧(.r𝑂)𝑦) ∈ 𝑥 ↔ (𝑦(.r𝑅)𝑧) ∈ 𝑥)
15142ralbii 3170 . . . . . . 7 (∀𝑧𝑥𝑦𝑥 (𝑧(.r𝑂)𝑦) ∈ 𝑥 ↔ ∀𝑧𝑥𝑦𝑥 (𝑦(.r𝑅)𝑧) ∈ 𝑥)
169, 15bitr4i 279 . . . . . 6 (∀𝑦𝑥𝑧𝑥 (𝑦(.r𝑅)𝑧) ∈ 𝑥 ↔ ∀𝑧𝑥𝑦𝑥 (𝑧(.r𝑂)𝑦) ∈ 𝑥)
1716a1i 11 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → (∀𝑦𝑥𝑧𝑥 (𝑦(.r𝑅)𝑧) ∈ 𝑥 ↔ ∀𝑧𝑥𝑦𝑥 (𝑧(.r𝑂)𝑦) ∈ 𝑥))
188, 173anbi13d 1431 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → ((𝑥 ∈ (SubGrp‘𝑅) ∧ (1r𝑅) ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥𝑧𝑥 (𝑦(.r𝑅)𝑧) ∈ 𝑥) ↔ (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝑂) ∧ (1r𝑅) ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑧𝑥𝑦𝑥 (𝑧(.r𝑂)𝑦) ∈ 𝑥)))
19 eqid 2825 . . . . 5 (1r𝑅) = (1r𝑅)
2010, 19, 11issubrg2 19477 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → (𝑥 ∈ (SubRing‘𝑅) ↔ (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝑅) ∧ (1r𝑅) ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥𝑧𝑥 (𝑦(.r𝑅)𝑧) ∈ 𝑥)))
213, 10opprbas 19301 . . . . . 6 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑂)
223, 19oppr1 19306 . . . . . 6 (1r𝑅) = (1r𝑂)
2321, 22, 12issubrg2 19477 . . . . 5 (𝑂 ∈ Ring → (𝑥 ∈ (SubRing‘𝑂) ↔ (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝑂) ∧ (1r𝑅) ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑧𝑥𝑦𝑥 (𝑧(.r𝑂)𝑦) ∈ 𝑥)))
244, 23sylbi 218 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → (𝑥 ∈ (SubRing‘𝑂) ↔ (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝑂) ∧ (1r𝑅) ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑧𝑥𝑦𝑥 (𝑧(.r𝑂)𝑦) ∈ 𝑥)))
2518, 20, 243bitr4d 312 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → (𝑥 ∈ (SubRing‘𝑅) ↔ 𝑥 ∈ (SubRing‘𝑂)))
261, 5, 25pm5.21nii 380 . 2 (𝑥 ∈ (SubRing‘𝑅) ↔ 𝑥 ∈ (SubRing‘𝑂))
2726eqriv 2822 1 (SubRing‘𝑅) = (SubRing‘𝑂)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ↔ wb 207   ∧ w3a 1081   = wceq 1530   ∈ wcel 2107  ∀wral 3142  ‘cfv 6351  (class class class)co 7151  Basecbs 16475  .rcmulr 16558  SubGrpcsubg 18205  1rcur 19173  Ringcrg 19219  opprcoppr 19294  SubRingcsubrg 19453 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2797  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pow 5262  ax-pr 5325  ax-un 7454  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606 This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2619  df-eu 2651  df-clab 2804  df-cleq 2818  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-nel 3128  df-ral 3147  df-rex 3148  df-reu 3149  df-rmo 3150  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-tp 4568  df-op 4570  df-uni 4837  df-iun 4918  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5143  df-tr 5169  df-id 5458  df-eprel 5463  df-po 5472  df-so 5473  df-fr 5512  df-we 5514  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-rn 5564  df-res 5565  df-ima 5566  df-pred 6145  df-ord 6191  df-on 6192  df-lim 6193  df-suc 6194  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fn 6354  df-f 6355  df-f1 6356  df-fo 6357  df-f1o 6358  df-fv 6359  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7572  df-tpos 7886  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-er 8282  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-0g 16707  df-mgm 17844  df-sgrp 17892  df-mnd 17903  df-grp 18038  df-subg 18208  df-mgp 19162  df-ur 19174  df-ring 19221  df-oppr 19295  df-subrg 19455 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator