Theorem ressply1invg 33594

Description: An element of a restricted polynomial algebra has the same group inverse. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Jan-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ressply.1	⊢ 𝑆 = (Poly1‘𝑅)
ressply.2	⊢ 𝐻 = (𝑅 ↾s 𝑇)
ressply.3	⊢ 𝑈 = (Poly1‘𝐻)
ressply.4	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑈)
ressply.5	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅))
ressply1.1	⊢ 𝑃 = (𝑆 ↾s 𝐵)
ressply1invg.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ressply1invg	⊢ (𝜑 → ((invg‘𝑈)‘𝑋) = ((invg‘𝑃)‘𝑋))

Proof of Theorem ressply1invg

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ressply.1	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (Poly1‘𝑅)
2		ressply.2	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (𝑅 ↾s 𝑇)
3		ressply.3	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (Poly1‘𝐻)
4		ressply.4	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑈)
5		ressply.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅))
6		ressply1.1	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (𝑆 ↾s 𝐵)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	ressply1bas 22230	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑃))
8		ressply1invg.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
9	1, 2, 3, 4, 5, 6	ressply1add 22231	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → (𝑦(+g‘𝑈)𝑋) = (𝑦(+g‘𝑃)𝑋))
10	9	anassrs 467	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑦(+g‘𝑈)𝑋) = (𝑦(+g‘𝑃)𝑋))
11	8, 10	mpidan 689	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑦(+g‘𝑈)𝑋) = (𝑦(+g‘𝑃)𝑋))
12		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑆) = (0g‘𝑆)
13	1, 2, 3, 4, 5, 12	ressply10g 33592	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑆) = (0g‘𝑈))
14	1, 2, 3, 4	subrgply1 22234	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆))
15		subrgrcl 20576	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝑆 ∈ Ring)
16		ringmnd 20240	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ Ring → 𝑆 ∈ Mnd)
17	5, 14, 15, 16	4syl 19	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Mnd)
18		subrgsubg 20577	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝐵 ∈ (SubGrp‘𝑆))
19	12	subg0cl 19152	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ (SubGrp‘𝑆) → (0g‘𝑆) ∈ 𝐵)
20	5, 14, 18, 19	4syl 19	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑆) ∈ 𝐵)
21		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (PwSer1‘𝐻) = (PwSer1‘𝐻)
22		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘(PwSer1‘𝐻)) = (Base‘(PwSer1‘𝐻))
23		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
24	1, 2, 3, 4, 5, 21, 22, 23	ressply1bas2 22229	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = ((Base‘(PwSer1‘𝐻)) ∩ (Base‘𝑆)))
25		inss2 4238	. . . . . . . 8 ⊢ ((Base‘(PwSer1‘𝐻)) ∩ (Base‘𝑆)) ⊆ (Base‘𝑆)
26	24, 25	eqsstrdi 4028	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ (Base‘𝑆))
27	6, 23, 12	ress0g 18775	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ Mnd ∧ (0g‘𝑆) ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ (Base‘𝑆)) → (0g‘𝑆) = (0g‘𝑃))
28	17, 20, 26, 27	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑆) = (0g‘𝑃))
29	13, 28	eqtr3d 2779	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑈) = (0g‘𝑃))
30	29	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (0g‘𝑈) = (0g‘𝑃))
31	11, 30	eqeq12d 2753	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝑦(+g‘𝑈)𝑋) = (0g‘𝑈) ↔ (𝑦(+g‘𝑃)𝑋) = (0g‘𝑃)))
32	7, 31	riotaeqbidva 32515	. 2 ⊢ (𝜑 → (℩𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦(+g‘𝑈)𝑋) = (0g‘𝑈)) = (℩𝑦 ∈ (Base‘𝑃)(𝑦(+g‘𝑃)𝑋) = (0g‘𝑃)))
33		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑈) = (+g‘𝑈)
34		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑈) = (0g‘𝑈)
35		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (invg‘𝑈) = (invg‘𝑈)
36	4, 33, 34, 35	grpinvval 18998	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → ((invg‘𝑈)‘𝑋) = (℩𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦(+g‘𝑈)𝑋) = (0g‘𝑈)))
37	8, 36	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝑈)‘𝑋) = (℩𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦(+g‘𝑈)𝑋) = (0g‘𝑈)))
38	8, 7	eleqtrd 2843	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
39		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
40		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑃) = (+g‘𝑃)
41		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑃) = (0g‘𝑃)
42		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (invg‘𝑃) = (invg‘𝑃)
43	39, 40, 41, 42	grpinvval 18998	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ (Base‘𝑃) → ((invg‘𝑃)‘𝑋) = (℩𝑦 ∈ (Base‘𝑃)(𝑦(+g‘𝑃)𝑋) = (0g‘𝑃)))
44	38, 43	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝑃)‘𝑋) = (℩𝑦 ∈ (Base‘𝑃)(𝑦(+g‘𝑃)𝑋) = (0g‘𝑃)))
45	32, 37, 44	3eqtr4d 2787	1 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝑈)‘𝑋) = ((invg‘𝑃)‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ∩ cin 3950   ⊆ wss 3951  ‘cfv 6561  ℩crio 7387  (class class class)co 7431  Basecbs 17247   ↾_s cress 17274  +_gcplusg 17297  0_gc0g 17484  Mndcmnd 18747  inv_gcminusg 18952  SubGrpcsubg 19138  Ringcrg 20230  SubRingcsubrg 20569  PwSer₁cps1 22176  Poly₁cpl1 22178

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-ofr 7698  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-sup 9482  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-hash 14370  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-hom 17321  df-cco 17322  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-prds 17492  df-pws 17494  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-mhm 18796  df-submnd 18797  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-mulg 19086  df-subg 19141  df-ghm 19231  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-subrng 20546  df-subrg 20570  df-lmod 20860  df-lss 20930  df-ascl 21875  df-psr 21929  df-mpl 21931  df-opsr 21933  df-psr1 22181  df-ply1 22183

This theorem is referenced by:  ressply1sub  33595