Theorem ressply1invg 33868

Description: An element of a restricted polynomial algebra has the same group inverse. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Jan-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ressply.1	⊢ 𝑆 = (Poly1‘𝑅)
ressply.2	⊢ 𝐻 = (𝑅 ↾s 𝑇)
ressply.3	⊢ 𝑈 = (Poly1‘𝐻)
ressply.4	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑈)
ressply.5	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅))
ressply1.1	⊢ 𝑃 = (𝑆 ↾s 𝐵)
ressply1invg.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ressply1invg	⊢ (𝜑 → ((invg‘𝑈)‘𝑋) = ((invg‘𝑃)‘𝑋))

Proof of Theorem ressply1invg

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ressply.1	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (Poly1‘𝑅)
2		ressply.2	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (𝑅 ↾s 𝑇)
3		ressply.3	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (Poly1‘𝐻)
4		ressply.4	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑈)
5		ressply.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅))
6		ressply1.1	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (𝑆 ↾s 𝐵)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	ressply1bas 22399	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑃))
8		ressply1invg.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
9	1, 2, 3, 4, 5, 6	ressply1add 22400	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → (𝑦(+g‘𝑈)𝑋) = (𝑦(+g‘𝑃)𝑋))
10	9	anassrs 472	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑦(+g‘𝑈)𝑋) = (𝑦(+g‘𝑃)𝑋))
11	8, 10	mpidan 701	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑦(+g‘𝑈)𝑋) = (𝑦(+g‘𝑃)𝑋))
12		eqid 2762	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑆) = (0g‘𝑆)
13	1, 2, 3, 4, 5, 12	ressply10g 33866	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑆) = (0g‘𝑈))
14	1, 2, 3, 4	subrgply1 22403	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆))
15		subrgrcl 20686	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝑆 ∈ Ring)
16		ringmnd 20331	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ Ring → 𝑆 ∈ Mnd)
17	5, 14, 15, 16	4syl 20	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Mnd)
18		subrgsubg 20687	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝐵 ∈ (SubGrp‘𝑆))
19	12	subg0cl 19206	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ (SubGrp‘𝑆) → (0g‘𝑆) ∈ 𝐵)
20	5, 14, 18, 19	4syl 20	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑆) ∈ 𝐵)
21		eqid 2762	. . . . . . . . 9 ⊢ (PwSer1‘𝐻) = (PwSer1‘𝐻)
22		eqid 2762	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘(PwSer1‘𝐻)) = (Base‘(PwSer1‘𝐻))
23		eqid 2762	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
24	1, 2, 3, 4, 5, 21, 22, 23	ressply1bas2 22398	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = ((Base‘(PwSer1‘𝐻)) ∩ (Base‘𝑆)))
25		inss2 4189	. . . . . . . 8 ⊢ ((Base‘(PwSer1‘𝐻)) ∩ (Base‘𝑆)) ⊆ (Base‘𝑆)
26	24, 25	eqsstrdi 3980	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ (Base‘𝑆))
27	6, 23, 12	ress0g 18826	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ Mnd ∧ (0g‘𝑆) ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ (Base‘𝑆)) → (0g‘𝑆) = (0g‘𝑃))
28	17, 20, 26, 27	syl3anc 1397	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑆) = (0g‘𝑃))
29	13, 28	eqtr3d 2799	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑈) = (0g‘𝑃))
30	29	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (0g‘𝑈) = (0g‘𝑃))
31	11, 30	eqeq12d 2778	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝑦(+g‘𝑈)𝑋) = (0g‘𝑈) ↔ (𝑦(+g‘𝑃)𝑋) = (0g‘𝑃)))
32	7, 31	riotaeqbidva 32853	. 2 ⊢ (𝜑 → (℩𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦(+g‘𝑈)𝑋) = (0g‘𝑈)) = (℩𝑦 ∈ (Base‘𝑃)(𝑦(+g‘𝑃)𝑋) = (0g‘𝑃)))
33		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑈) = (+g‘𝑈)
34		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑈) = (0g‘𝑈)
35		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (invg‘𝑈) = (invg‘𝑈)
36	4, 33, 34, 35	grpinvval 19053	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → ((invg‘𝑈)‘𝑋) = (℩𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦(+g‘𝑈)𝑋) = (0g‘𝑈)))
37	8, 36	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝑈)‘𝑋) = (℩𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦(+g‘𝑈)𝑋) = (0g‘𝑈)))
38	8, 7	eleqtrd 2864	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
39		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
40		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑃) = (+g‘𝑃)
41		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑃) = (0g‘𝑃)
42		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (invg‘𝑃) = (invg‘𝑃)
43	39, 40, 41, 42	grpinvval 19053	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ (Base‘𝑃) → ((invg‘𝑃)‘𝑋) = (℩𝑦 ∈ (Base‘𝑃)(𝑦(+g‘𝑃)𝑋) = (0g‘𝑃)))
44	38, 43	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝑃)‘𝑋) = (℩𝑦 ∈ (Base‘𝑃)(𝑦(+g‘𝑃)𝑋) = (0g‘𝑃)))
45	32, 37, 44	3eqtr4d 2807	1 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝑈)‘𝑋) = ((invg‘𝑃)‘𝑋))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1569   ∈ wcel 2142   ∩ cin 3903   ⊆ wss 3904  ‘cfv 6536  ℩crio 7368  (class class class)co 7412  Basecbs 17275   ↾_s cress 17296  +_gcplusg 17316  0_gc0g 17498  Mndcmnd 18798  inv_gcminusg 19007  SubGrpcsubg 19192  Ringcrg 20321  SubRingcsubrg 20679  PwSer₁cps1 22346  Poly₁cpl1 22348

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-se 5614  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7676  df-ofr 7677  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-supp 8155  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-1o 8451  df-2o 8452  df-er 8692  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9320  df-sup 9400  df-oi 9470  df-card 9932  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-nn 12240  df-2 12309  df-3 12310  df-4 12311  df-5 12312  df-6 12313  df-7 12314  df-8 12315  df-9 12316  df-n0 12511  df-z 12598  df-dec 12718  df-uz 12869  df-fz 13542  df-fzo 13690  df-seq 14045  df-hash 14374  df-struct 17213  df-sets 17230  df-slot 17248  df-ndx 17260  df-base 17276  df-ress 17297  df-plusg 17329  df-mulr 17330  df-sca 17332  df-vsca 17333  df-ip 17334  df-tset 17335  df-ple 17336  df-ds 17338  df-hom 17340  df-cco 17341  df-0g 17500  df-gsum 17501  df-prds 17506  df-pws 17508  df-mre 17644  df-mrc 17645  df-acs 17647  df-mgm 18704  df-sgrp 18783  df-mnd 18799  df-mhm 18847  df-submnd 18848  df-grp 19009  df-minusg 19010  df-sbg 19011  df-mulg 19140  df-subg 19195  df-ghm 19290  df-cntz 19393  df-cmn 19858  df-abl 19859  df-mgp 20223  df-rng 20237  df-ur 20270  df-ring 20323  df-subrng 20656  df-subrg 20680  df-lmod 20994  df-lss 21064  df-ascl 22016  df-psr 22070  df-mpl 22072  df-opsr 22074  df-psr1 22351  df-ply1 22353

This theorem is used by:  ressply1sub  33869