Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ressply1invg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ressply1invg 33594
Description: An element of a restricted polynomial algebra has the same group inverse. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Jan-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
ressply.1 𝑆 = (Poly1𝑅)
ressply.2 𝐻 = (𝑅s 𝑇)
ressply.3 𝑈 = (Poly1𝐻)
ressply.4 𝐵 = (Base‘𝑈)
ressply.5 (𝜑𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅))
ressply1.1 𝑃 = (𝑆s 𝐵)
ressply1invg.1 (𝜑𝑋𝐵)
Assertion
Ref Expression
ressply1invg (𝜑 → ((invg𝑈)‘𝑋) = ((invg𝑃)‘𝑋))

Proof of Theorem ressply1invg
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ressply.1 . . . 4 𝑆 = (Poly1𝑅)
2 ressply.2 . . . 4 𝐻 = (𝑅s 𝑇)
3 ressply.3 . . . 4 𝑈 = (Poly1𝐻)
4 ressply.4 . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑈)
5 ressply.5 . . . 4 (𝜑𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅))
6 ressply1.1 . . . 4 𝑃 = (𝑆s 𝐵)
71, 2, 3, 4, 5, 6ressply1bas 22230 . . 3 (𝜑𝐵 = (Base‘𝑃))
8 ressply1invg.1 . . . . 5 (𝜑𝑋𝐵)
91, 2, 3, 4, 5, 6ressply1add 22231 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑋𝐵)) → (𝑦(+g𝑈)𝑋) = (𝑦(+g𝑃)𝑋))
109anassrs 467 . . . . 5 (((𝜑𝑦𝐵) ∧ 𝑋𝐵) → (𝑦(+g𝑈)𝑋) = (𝑦(+g𝑃)𝑋))
118, 10mpidan 689 . . . 4 ((𝜑𝑦𝐵) → (𝑦(+g𝑈)𝑋) = (𝑦(+g𝑃)𝑋))
12 eqid 2737 . . . . . . 7 (0g𝑆) = (0g𝑆)
131, 2, 3, 4, 5, 12ressply10g 33592 . . . . . 6 (𝜑 → (0g𝑆) = (0g𝑈))
141, 2, 3, 4subrgply1 22234 . . . . . . . 8 (𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆))
15 subrgrcl 20576 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝑆 ∈ Ring)
16 ringmnd 20240 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ Ring → 𝑆 ∈ Mnd)
175, 14, 15, 164syl 19 . . . . . . 7 (𝜑𝑆 ∈ Mnd)
18 subrgsubg 20577 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝐵 ∈ (SubGrp‘𝑆))
1912subg0cl 19152 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ (SubGrp‘𝑆) → (0g𝑆) ∈ 𝐵)
205, 14, 18, 194syl 19 . . . . . . 7 (𝜑 → (0g𝑆) ∈ 𝐵)
21 eqid 2737 . . . . . . . . 9 (PwSer1𝐻) = (PwSer1𝐻)
22 eqid 2737 . . . . . . . . 9 (Base‘(PwSer1𝐻)) = (Base‘(PwSer1𝐻))
23 eqid 2737 . . . . . . . . 9 (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
241, 2, 3, 4, 5, 21, 22, 23ressply1bas2 22229 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 = ((Base‘(PwSer1𝐻)) ∩ (Base‘𝑆)))
25 inss2 4238 . . . . . . . 8 ((Base‘(PwSer1𝐻)) ∩ (Base‘𝑆)) ⊆ (Base‘𝑆)
2624, 25eqsstrdi 4028 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ⊆ (Base‘𝑆))
276, 23, 12ress0g 18775 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ Mnd ∧ (0g𝑆) ∈ 𝐵𝐵 ⊆ (Base‘𝑆)) → (0g𝑆) = (0g𝑃))
2817, 20, 26, 27syl3anc 1373 . . . . . 6 (𝜑 → (0g𝑆) = (0g𝑃))
2913, 28eqtr3d 2779 . . . . 5 (𝜑 → (0g𝑈) = (0g𝑃))
3029adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑦𝐵) → (0g𝑈) = (0g𝑃))
3111, 30eqeq12d 2753 . . 3 ((𝜑𝑦𝐵) → ((𝑦(+g𝑈)𝑋) = (0g𝑈) ↔ (𝑦(+g𝑃)𝑋) = (0g𝑃)))
327, 31riotaeqbidva 32515 . 2 (𝜑 → (𝑦𝐵 (𝑦(+g𝑈)𝑋) = (0g𝑈)) = (𝑦 ∈ (Base‘𝑃)(𝑦(+g𝑃)𝑋) = (0g𝑃)))
33 eqid 2737 . . . 4 (+g𝑈) = (+g𝑈)
34 eqid 2737 . . . 4 (0g𝑈) = (0g𝑈)
35 eqid 2737 . . . 4 (invg𝑈) = (invg𝑈)
364, 33, 34, 35grpinvval 18998 . . 3 (𝑋𝐵 → ((invg𝑈)‘𝑋) = (𝑦𝐵 (𝑦(+g𝑈)𝑋) = (0g𝑈)))
378, 36syl 17 . 2 (𝜑 → ((invg𝑈)‘𝑋) = (𝑦𝐵 (𝑦(+g𝑈)𝑋) = (0g𝑈)))
388, 7eleqtrd 2843 . . 3 (𝜑𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
39 eqid 2737 . . . 4 (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
40 eqid 2737 . . . 4 (+g𝑃) = (+g𝑃)
41 eqid 2737 . . . 4 (0g𝑃) = (0g𝑃)
42 eqid 2737 . . . 4 (invg𝑃) = (invg𝑃)
4339, 40, 41, 42grpinvval 18998 . . 3 (𝑋 ∈ (Base‘𝑃) → ((invg𝑃)‘𝑋) = (𝑦 ∈ (Base‘𝑃)(𝑦(+g𝑃)𝑋) = (0g𝑃)))
4438, 43syl 17 . 2 (𝜑 → ((invg𝑃)‘𝑋) = (𝑦 ∈ (Base‘𝑃)(𝑦(+g𝑃)𝑋) = (0g𝑃)))
4532, 37, 443eqtr4d 2787 1 (𝜑 → ((invg𝑈)‘𝑋) = ((invg𝑃)‘𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  cin 3950  wss 3951  cfv 6561  crio 7387  (class class class)co 7431  Basecbs 17247  s cress 17274  +gcplusg 17297  0gc0g 17484  Mndcmnd 18747  invgcminusg 18952  SubGrpcsubg 19138  Ringcrg 20230  SubRingcsubrg 20569  PwSer1cps1 22176  Poly1cpl1 22178
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-ofr 7698  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-sup 9482  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-hash 14370  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-hom 17321  df-cco 17322  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-prds 17492  df-pws 17494  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-mhm 18796  df-submnd 18797  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-mulg 19086  df-subg 19141  df-ghm 19231  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-subrng 20546  df-subrg 20570  df-lmod 20860  df-lss 20930  df-ascl 21875  df-psr 21929  df-mpl 21931  df-opsr 21933  df-psr1 22181  df-ply1 22183
This theorem is referenced by:  ressply1sub  33595
  Copyright terms: Public domain W3C validator