Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ressply1invg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ressply1invg 33307
Description: An element of a restricted polynomial algebra has the same group inverse. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Jan-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
ressply.1 𝑆 = (Poly1β€˜π‘…)
ressply.2 𝐻 = (𝑅 β†Ύs 𝑇)
ressply.3 π‘ˆ = (Poly1β€˜π»)
ressply.4 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
ressply.5 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ (SubRingβ€˜π‘…))
ressply1.1 𝑃 = (𝑆 β†Ύs 𝐡)
ressply1invg.1 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
Assertion
Ref Expression
ressply1invg (πœ‘ β†’ ((invgβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘‹) = ((invgβ€˜π‘ƒ)β€˜π‘‹))

Proof of Theorem ressply1invg
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ressply.1 . . . 4 𝑆 = (Poly1β€˜π‘…)
2 ressply.2 . . . 4 𝐻 = (𝑅 β†Ύs 𝑇)
3 ressply.3 . . . 4 π‘ˆ = (Poly1β€˜π»)
4 ressply.4 . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
5 ressply.5 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ (SubRingβ€˜π‘…))
6 ressply1.1 . . . 4 𝑃 = (𝑆 β†Ύs 𝐡)
71, 2, 3, 4, 5, 6ressply1bas 22151 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ƒ))
8 ressply1invg.1 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
91, 2, 3, 4, 5, 6ressply1add 22152 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑦(+gβ€˜π‘ˆ)𝑋) = (𝑦(+gβ€˜π‘ƒ)𝑋))
109anassrs 466 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (𝑦(+gβ€˜π‘ˆ)𝑋) = (𝑦(+gβ€˜π‘ƒ)𝑋))
118, 10mpidan 687 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ (𝑦(+gβ€˜π‘ˆ)𝑋) = (𝑦(+gβ€˜π‘ƒ)𝑋))
12 eqid 2725 . . . . . . 7 (0gβ€˜π‘†) = (0gβ€˜π‘†)
131, 2, 3, 4, 5, 12ressply10g 33305 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (0gβ€˜π‘†) = (0gβ€˜π‘ˆ))
141, 2, 3, 4subrgply1 22155 . . . . . . . . 9 (𝑇 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ 𝐡 ∈ (SubRingβ€˜π‘†))
155, 14syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ (SubRingβ€˜π‘†))
16 subrgrcl 20514 . . . . . . . 8 (𝐡 ∈ (SubRingβ€˜π‘†) β†’ 𝑆 ∈ Ring)
17 ringmnd 20182 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ Ring β†’ 𝑆 ∈ Mnd)
1815, 16, 173syl 18 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ Mnd)
19 subrgsubg 20515 . . . . . . . 8 (𝐡 ∈ (SubRingβ€˜π‘†) β†’ 𝐡 ∈ (SubGrpβ€˜π‘†))
2012subg0cl 19088 . . . . . . . 8 (𝐡 ∈ (SubGrpβ€˜π‘†) β†’ (0gβ€˜π‘†) ∈ 𝐡)
2115, 19, 203syl 18 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (0gβ€˜π‘†) ∈ 𝐡)
22 eqid 2725 . . . . . . . . 9 (PwSer1β€˜π») = (PwSer1β€˜π»)
23 eqid 2725 . . . . . . . . 9 (Baseβ€˜(PwSer1β€˜π»)) = (Baseβ€˜(PwSer1β€˜π»))
24 eqid 2725 . . . . . . . . 9 (Baseβ€˜π‘†) = (Baseβ€˜π‘†)
251, 2, 3, 4, 5, 22, 23, 24ressply1bas2 22150 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐡 = ((Baseβ€˜(PwSer1β€˜π»)) ∩ (Baseβ€˜π‘†)))
26 inss2 4225 . . . . . . . 8 ((Baseβ€˜(PwSer1β€˜π»)) ∩ (Baseβ€˜π‘†)) βŠ† (Baseβ€˜π‘†)
2725, 26eqsstrdi 4028 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† (Baseβ€˜π‘†))
286, 24, 12ress0g 18716 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ Mnd ∧ (0gβ€˜π‘†) ∈ 𝐡 ∧ 𝐡 βŠ† (Baseβ€˜π‘†)) β†’ (0gβ€˜π‘†) = (0gβ€˜π‘ƒ))
2918, 21, 27, 28syl3anc 1368 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (0gβ€˜π‘†) = (0gβ€˜π‘ƒ))
3013, 29eqtr3d 2767 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (0gβ€˜π‘ˆ) = (0gβ€˜π‘ƒ))
3130adantr 479 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ (0gβ€˜π‘ˆ) = (0gβ€˜π‘ƒ))
3211, 31eqeq12d 2741 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ ((𝑦(+gβ€˜π‘ˆ)𝑋) = (0gβ€˜π‘ˆ) ↔ (𝑦(+gβ€˜π‘ƒ)𝑋) = (0gβ€˜π‘ƒ)))
337, 32riotaeqbidva 32334 . 2 (πœ‘ β†’ (℩𝑦 ∈ 𝐡 (𝑦(+gβ€˜π‘ˆ)𝑋) = (0gβ€˜π‘ˆ)) = (℩𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)(𝑦(+gβ€˜π‘ƒ)𝑋) = (0gβ€˜π‘ƒ)))
34 eqid 2725 . . . 4 (+gβ€˜π‘ˆ) = (+gβ€˜π‘ˆ)
35 eqid 2725 . . . 4 (0gβ€˜π‘ˆ) = (0gβ€˜π‘ˆ)
36 eqid 2725 . . . 4 (invgβ€˜π‘ˆ) = (invgβ€˜π‘ˆ)
374, 34, 35, 36grpinvval 18936 . . 3 (𝑋 ∈ 𝐡 β†’ ((invgβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘‹) = (℩𝑦 ∈ 𝐡 (𝑦(+gβ€˜π‘ˆ)𝑋) = (0gβ€˜π‘ˆ)))
388, 37syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ ((invgβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘‹) = (℩𝑦 ∈ 𝐡 (𝑦(+gβ€˜π‘ˆ)𝑋) = (0gβ€˜π‘ˆ)))
398, 7eleqtrd 2827 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
40 eqid 2725 . . . 4 (Baseβ€˜π‘ƒ) = (Baseβ€˜π‘ƒ)
41 eqid 2725 . . . 4 (+gβ€˜π‘ƒ) = (+gβ€˜π‘ƒ)
42 eqid 2725 . . . 4 (0gβ€˜π‘ƒ) = (0gβ€˜π‘ƒ)
43 eqid 2725 . . . 4 (invgβ€˜π‘ƒ) = (invgβ€˜π‘ƒ)
4440, 41, 42, 43grpinvval 18936 . . 3 (𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ) β†’ ((invgβ€˜π‘ƒ)β€˜π‘‹) = (℩𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)(𝑦(+gβ€˜π‘ƒ)𝑋) = (0gβ€˜π‘ƒ)))
4539, 44syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ ((invgβ€˜π‘ƒ)β€˜π‘‹) = (℩𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)(𝑦(+gβ€˜π‘ƒ)𝑋) = (0gβ€˜π‘ƒ)))
4633, 38, 453eqtr4d 2775 1 (πœ‘ β†’ ((invgβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘‹) = ((invgβ€˜π‘ƒ)β€˜π‘‹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ∩ cin 3940   βŠ† wss 3941  β€˜cfv 6543  β„©crio 7368  (class class class)co 7413  Basecbs 17174   β†Ύs cress 17203  +gcplusg 17227  0gc0g 17415  Mndcmnd 18688  invgcminusg 18890  SubGrpcsubg 19074  Ringcrg 20172  SubRingcsubrg 20505  PwSer1cps1 22097  Poly1cpl1 22099
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3961  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4905  df-int 4946  df-iun 4994  df-iin 4995  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-se 5629  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-of 7679  df-ofr 7680  df-om 7866  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8159  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-map 8840  df-pm 8841  df-ixp 8910  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-fsupp 9381  df-sup 9460  df-oi 9528  df-card 9957  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12238  df-2 12300  df-3 12301  df-4 12302  df-5 12303  df-6 12304  df-7 12305  df-8 12306  df-9 12307  df-n0 12498  df-z 12584  df-dec 12703  df-uz 12848  df-fz 13512  df-fzo 13655  df-seq 13994  df-hash 14317  df-struct 17110  df-sets 17127  df-slot 17145  df-ndx 17157  df-base 17175  df-ress 17204  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-sca 17243  df-vsca 17244  df-ip 17245  df-tset 17246  df-ple 17247  df-ds 17249  df-hom 17251  df-cco 17252  df-0g 17417  df-gsum 17418  df-prds 17423  df-pws 17425  df-mre 17560  df-mrc 17561  df-acs 17563  df-mgm 18594  df-sgrp 18673  df-mnd 18689  df-mhm 18734  df-submnd 18735  df-grp 18892  df-minusg 18893  df-sbg 18894  df-mulg 19023  df-subg 19077  df-ghm 19167  df-cntz 19267  df-cmn 19736  df-abl 19737  df-mgp 20074  df-rng 20092  df-ur 20121  df-ring 20174  df-subrng 20482  df-subrg 20507  df-lmod 20744  df-lss 20815  df-ascl 21788  df-psr 21841  df-mpl 21843  df-opsr 21845  df-psr1 22102  df-ply1 22104
This theorem is referenced by:  ressply1sub  33308
  Copyright terms: Public domain W3C validator