Theorem ressply1invg 32646

Description: An element of a restricted polynomial algebra has the same group inverse. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Jan-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ressply.1	⊢ 𝑆 = (Poly1‘𝑅)
ressply.2	⊢ 𝐻 = (𝑅 ↾s 𝑇)
ressply.3	⊢ 𝑈 = (Poly1‘𝐻)
ressply.4	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑈)
ressply.5	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅))
ressply1.1	⊢ 𝑃 = (𝑆 ↾s 𝐵)
ressply1invg.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ressply1invg	⊢ (𝜑 → ((invg‘𝑈)‘𝑋) = ((invg‘𝑃)‘𝑋))

Proof of Theorem ressply1invg

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ressply.1	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (Poly1‘𝑅)
2		ressply.2	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (𝑅 ↾s 𝑇)
3		ressply.3	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (Poly1‘𝐻)
4		ressply.4	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑈)
5		ressply.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅))
6		ressply1.1	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (𝑆 ↾s 𝐵)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	ressply1bas 21742	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑃))
8		ressply1invg.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
9	1, 2, 3, 4, 5, 6	ressply1add 21743	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → (𝑦(+g‘𝑈)𝑋) = (𝑦(+g‘𝑃)𝑋))
10	9	anassrs 468	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑦(+g‘𝑈)𝑋) = (𝑦(+g‘𝑃)𝑋))
11	8, 10	mpidan 687	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑦(+g‘𝑈)𝑋) = (𝑦(+g‘𝑃)𝑋))
12		eqid 2732	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑆) = (0g‘𝑆)
13	1, 2, 3, 4, 5, 12	ressply10g 32644	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑆) = (0g‘𝑈))
14	1, 2, 3, 4	subrgply1 21746	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆))
15	5, 14	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆))
16		subrgrcl 20360	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝑆 ∈ Ring)
17		ringmnd 20059	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ Ring → 𝑆 ∈ Mnd)
18	15, 16, 17	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Mnd)
19		subrgsubg 20361	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝐵 ∈ (SubGrp‘𝑆))
20	12	subg0cl 19008	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ (SubGrp‘𝑆) → (0g‘𝑆) ∈ 𝐵)
21	15, 19, 20	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑆) ∈ 𝐵)
22		eqid 2732	. . . . . . . . 9 ⊢ (PwSer1‘𝐻) = (PwSer1‘𝐻)
23		eqid 2732	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘(PwSer1‘𝐻)) = (Base‘(PwSer1‘𝐻))
24		eqid 2732	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
25	1, 2, 3, 4, 5, 22, 23, 24	ressply1bas2 21741	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = ((Base‘(PwSer1‘𝐻)) ∩ (Base‘𝑆)))
26		inss2 4228	. . . . . . . 8 ⊢ ((Base‘(PwSer1‘𝐻)) ∩ (Base‘𝑆)) ⊆ (Base‘𝑆)
27	25, 26	eqsstrdi 4035	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ (Base‘𝑆))
28	6, 24, 12	ress0g 18649	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ Mnd ∧ (0g‘𝑆) ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ (Base‘𝑆)) → (0g‘𝑆) = (0g‘𝑃))
29	18, 21, 27, 28	syl3anc 1371	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑆) = (0g‘𝑃))
30	13, 29	eqtr3d 2774	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑈) = (0g‘𝑃))
31	30	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (0g‘𝑈) = (0g‘𝑃))
32	11, 31	eqeq12d 2748	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝑦(+g‘𝑈)𝑋) = (0g‘𝑈) ↔ (𝑦(+g‘𝑃)𝑋) = (0g‘𝑃)))
33	7, 32	riotaeqbidva 31723	. 2 ⊢ (𝜑 → (℩𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦(+g‘𝑈)𝑋) = (0g‘𝑈)) = (℩𝑦 ∈ (Base‘𝑃)(𝑦(+g‘𝑃)𝑋) = (0g‘𝑃)))
34		eqid 2732	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑈) = (+g‘𝑈)
35		eqid 2732	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑈) = (0g‘𝑈)
36		eqid 2732	. . . 4 ⊢ (invg‘𝑈) = (invg‘𝑈)
37	4, 34, 35, 36	grpinvval 18861	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → ((invg‘𝑈)‘𝑋) = (℩𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦(+g‘𝑈)𝑋) = (0g‘𝑈)))
38	8, 37	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝑈)‘𝑋) = (℩𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦(+g‘𝑈)𝑋) = (0g‘𝑈)))
39	8, 7	eleqtrd 2835	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
40		eqid 2732	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
41		eqid 2732	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑃) = (+g‘𝑃)
42		eqid 2732	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑃) = (0g‘𝑃)
43		eqid 2732	. . . 4 ⊢ (invg‘𝑃) = (invg‘𝑃)
44	40, 41, 42, 43	grpinvval 18861	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ (Base‘𝑃) → ((invg‘𝑃)‘𝑋) = (℩𝑦 ∈ (Base‘𝑃)(𝑦(+g‘𝑃)𝑋) = (0g‘𝑃)))
45	39, 44	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝑃)‘𝑋) = (℩𝑦 ∈ (Base‘𝑃)(𝑦(+g‘𝑃)𝑋) = (0g‘𝑃)))
46	33, 38, 45	3eqtr4d 2782	1 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝑈)‘𝑋) = ((invg‘𝑃)‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ∩ cin 3946   ⊆ wss 3947  ‘cfv 6540  ℩crio 7360  (class class class)co 7405  Basecbs 17140   ↾_s cress 17169  +_gcplusg 17193  0_gc0g 17381  Mndcmnd 18621  inv_gcminusg 18816  SubGrpcsubg 18994  Ringcrg 20049  SubRingcsubrg 20351  PwSer₁cps1 21690  Poly₁cpl1 21692

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-ofr 7667  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-sup 9433  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-seq 13963  df-hash 14287  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-hom 17217  df-cco 17218  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-prds 17389  df-pws 17391  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-mhm 18667  df-submnd 18668  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-sbg 18820  df-mulg 18945  df-subg 18997  df-ghm 19084  df-cntz 19175  df-cmn 19644  df-abl 19645  df-mgp 19982  df-ur 19999  df-ring 20051  df-subrg 20353  df-lmod 20465  df-lss 20535  df-ascl 21401  df-psr 21453  df-mpl 21455  df-opsr 21457  df-psr1 21695  df-ply1 21697

This theorem is referenced by:  ressply1sub  32647