Theorem ressply1invg 34168

Description: An element of a restricted polynomial algebra has the same group inverse. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Jan-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ressply.1	⊢ 𝑆 = (Poly1‘𝑅)
ressply.2	⊢ 𝐻 = (𝑅 ↾s 𝑇)
ressply.3	⊢ 𝑈 = (Poly1‘𝐻)
ressply.4	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑈)
ressply.5	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅))
ressply1.1	⊢ 𝑃 = (𝑆 ↾s 𝐵)
ressply1invg.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ressply1invg	⊢ (𝜑 → ((invg‘𝑈)‘𝑋) = ((invg‘𝑃)‘𝑋))

Proof of Theorem ressply1invg

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ressply.1	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (Poly1‘𝑅)
2		ressply.2	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (𝑅 ↾s 𝑇)
3		ressply.3	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (Poly1‘𝐻)
4		ressply.4	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑈)
5		ressply.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅))
6		ressply1.1	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (𝑆 ↾s 𝐵)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	ressply1bas 22573	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑃))
8		ressply1invg.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
9	1, 2, 3, 4, 5, 6	ressply1add 22574	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → (𝑦(+g‘𝑈)𝑋) = (𝑦(+g‘𝑃)𝑋))
10	9	anassrs 473	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑦(+g‘𝑈)𝑋) = (𝑦(+g‘𝑃)𝑋))
11	8, 10	mpidan 702	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑦(+g‘𝑈)𝑋) = (𝑦(+g‘𝑃)𝑋))
12		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑆) = (0g‘𝑆)
13	1, 2, 3, 4, 5, 12	ressply10g 34166	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑆) = (0g‘𝑈))
14	1, 2, 3, 4	subrgply1 22577	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆))
15		subrgrcl 20855	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝑆 ∈ Ring)
16		ringmnd 20497	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ Ring → 𝑆 ∈ Mnd)
17	5, 14, 15, 16	4syl 20	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Mnd)
18		subrgsubg 20856	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝐵 ∈ (SubGrp‘𝑆))
19	12	subg0cl 19370	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ (SubGrp‘𝑆) → (0g‘𝑆) ∈ 𝐵)
20	5, 14, 18, 19	4syl 20	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑆) ∈ 𝐵)
21		eqid 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ (PwSer1‘𝐻) = (PwSer1‘𝐻)
22		eqid 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘(PwSer1‘𝐻)) = (Base‘(PwSer1‘𝐻))
23		eqid 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
24	1, 2, 3, 4, 5, 21, 22, 23	ressply1bas2 22572	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = ((Base‘(PwSer1‘𝐻)) ∩ (Base‘𝑆)))
25		inss2 4137	. . . . . . . 8 ⊢ ((Base‘(PwSer1‘𝐻)) ∩ (Base‘𝑆)) ⊆ (Base‘𝑆)
26	24, 25	eqsstrdi 3957	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ (Base‘𝑆))
27	6, 23, 12	ress0g 18980	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ Mnd ∧ (0g‘𝑆) ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ (Base‘𝑆)) → (0g‘𝑆) = (0g‘𝑃))
28	17, 20, 26, 27	syl3anc 1399	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑆) = (0g‘𝑃))
29	13, 28	eqtr3d 2800	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑈) = (0g‘𝑃))
30	29	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (0g‘𝑈) = (0g‘𝑃))
31	11, 30	eqeq12d 2779	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝑦(+g‘𝑈)𝑋) = (0g‘𝑈) ↔ (𝑦(+g‘𝑃)𝑋) = (0g‘𝑃)))
32	7, 31	riotaeqbidva 33161	. 2 ⊢ (𝜑 → (℩𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦(+g‘𝑈)𝑋) = (0g‘𝑈)) = (℩𝑦 ∈ (Base‘𝑃)(𝑦(+g‘𝑃)𝑋) = (0g‘𝑃)))
33		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑈) = (+g‘𝑈)
34		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑈) = (0g‘𝑈)
35		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (invg‘𝑈) = (invg‘𝑈)
36	4, 33, 34, 35	grpinvval 19217	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → ((invg‘𝑈)‘𝑋) = (℩𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦(+g‘𝑈)𝑋) = (0g‘𝑈)))
37	8, 36	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝑈)‘𝑋) = (℩𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦(+g‘𝑈)𝑋) = (0g‘𝑈)))
38	8, 7	eleqtrd 2866	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
39		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
40		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑃) = (+g‘𝑃)
41		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑃) = (0g‘𝑃)
42		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (invg‘𝑃) = (invg‘𝑃)
43	39, 40, 41, 42	grpinvval 19217	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ (Base‘𝑃) → ((invg‘𝑃)‘𝑋) = (℩𝑦 ∈ (Base‘𝑃)(𝑦(+g‘𝑃)𝑋) = (0g‘𝑃)))
44	38, 43	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝑃)‘𝑋) = (℩𝑦 ∈ (Base‘𝑃)(𝑦(+g‘𝑃)𝑋) = (0g‘𝑃)))
45	32, 37, 44	3eqtr4d 2808	1 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝑈)‘𝑋) = ((invg‘𝑃)‘𝑋))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ⊆ wss 3900   ∩ cin 4092  ‘cfv 6555  ℩crio 7396  (class class class)co 7440  Basecbs 17413   ↾_s cress 17434  +_gcplusg 17454  0_gc0g 17636  Mndcmnd 18949  inv_gcminusg 19171  SubGrpcsubg 19356  Ringcrg 20486  SubRingcsubrg 20848  PwSer₁cps1 22520  Poly₁cpl1 22522

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-cnex 11280  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-icn 11283  ax-addcl 11284  ax-addrcl 11285  ax-mulcl 11286  ax-mulrcl 11287  ax-mulcom 11288  ax-addass 11289  ax-mulass 11290  ax-distr 11291  ax-i2m1 11292  ax-1ne0 11293  ax-1rid 11294  ax-rnegex 11295  ax-rrecex 11296  ax-cnre 11297  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299  ax-pre-ltadd 11300  ax-pre-mulgt0 11301

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-isom 6564  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-of 7714  df-ofr 7715  df-om 7899  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-supp 8202  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-1o 8501  df-2o 8502  df-er 8742  df-map 8874  df-pm 8875  df-ixp 8951  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-fin 9002  df-fsupp 9379  df-sup 9458  df-oi 9528  df-card 10044  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373  df-sub 11567  df-neg 11568  df-nn 12360  df-2 12429  df-3 12430  df-4 12431  df-5 12432  df-6 12433  df-7 12434  df-8 12435  df-9 12436  df-n0 12631  df-z 12718  df-dec 12839  df-uz 12990  df-fz 13664  df-fzo 13813  df-seq 14169  df-hash 14499  df-struct 17351  df-sets 17368  df-slot 17386  df-ndx 17398  df-base 17414  df-ress 17435  df-plusg 17467  df-mulr 17468  df-sca 17470  df-vsca 17471  df-ip 17472  df-tset 17473  df-ple 17474  df-ds 17476  df-hom 17478  df-cco 17479  df-0g 17638  df-gsum 17639  df-prds 17644  df-pws 17646  df-mre 17782  df-mrc 17783  df-acs 17785  df-mgm 18842  df-sgrp 18934  df-mnd 18950  df-mhm 19004  df-submnd 19005  df-grp 19173  df-minusg 19174  df-sbg 19175  df-mulg 19304  df-subg 19359  df-ghm 19454  df-cntz 19558  df-cmn 20023  df-abl 20024  df-mgp 20388  df-rng 20402  df-ur 20435  df-ring 20488  df-subrng 20825  df-subrg 20849  df-lmod 21164  df-lss 21234  df-ascl 22190  df-psr 22244  df-mpl 22246  df-opsr 22248  df-psr1 22525  df-ply1 22527

This theorem is used by:  ressply1sub  34169