Theorem ressply1invg 32562

Description: An element of a restricted polynomial algebra has the same group inverse. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Jan-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ressply.1	⊢ 𝑆 = (Poly1‘𝑅)
ressply.2	⊢ 𝐻 = (𝑅 ↾s 𝑇)
ressply.3	⊢ 𝑈 = (Poly1‘𝐻)
ressply.4	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑈)
ressply.5	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅))
ressply1.1	⊢ 𝑃 = (𝑆 ↾s 𝐵)
ressply1invg.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ressply1invg	⊢ (𝜑 → ((invg‘𝑈)‘𝑋) = ((invg‘𝑃)‘𝑋))

Proof of Theorem ressply1invg

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ressply.1	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (Poly1‘𝑅)
2		ressply.2	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (𝑅 ↾s 𝑇)
3		ressply.3	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (Poly1‘𝐻)
4		ressply.4	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑈)
5		ressply.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅))
6		ressply1.1	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (𝑆 ↾s 𝐵)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	ressply1bas 21684	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑃))
8		ressply1invg.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
9	1, 2, 3, 4, 5, 6	ressply1add 21685	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → (𝑦(+g‘𝑈)𝑋) = (𝑦(+g‘𝑃)𝑋))
10	9	anassrs 468	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑦(+g‘𝑈)𝑋) = (𝑦(+g‘𝑃)𝑋))
11	8, 10	mpidan 687	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑦(+g‘𝑈)𝑋) = (𝑦(+g‘𝑃)𝑋))
12		eqid 2732	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑆) = (0g‘𝑆)
13	1, 2, 3, 4, 5, 12	ressply10g 32560	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑆) = (0g‘𝑈))
14	1, 2, 3, 4	subrgply1 21688	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆))
15	5, 14	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆))
16		subrgrcl 20319	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝑆 ∈ Ring)
17		ringmnd 20026	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ Ring → 𝑆 ∈ Mnd)
18	15, 16, 17	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Mnd)
19		subrgsubg 20320	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝐵 ∈ (SubGrp‘𝑆))
20	12	subg0cl 18988	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ (SubGrp‘𝑆) → (0g‘𝑆) ∈ 𝐵)
21	15, 19, 20	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑆) ∈ 𝐵)
22		eqid 2732	. . . . . . . . 9 ⊢ (PwSer1‘𝐻) = (PwSer1‘𝐻)
23		eqid 2732	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘(PwSer1‘𝐻)) = (Base‘(PwSer1‘𝐻))
24		eqid 2732	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
25	1, 2, 3, 4, 5, 22, 23, 24	ressply1bas2 21683	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = ((Base‘(PwSer1‘𝐻)) ∩ (Base‘𝑆)))
26		inss2 4226	. . . . . . . 8 ⊢ ((Base‘(PwSer1‘𝐻)) ∩ (Base‘𝑆)) ⊆ (Base‘𝑆)
27	25, 26	eqsstrdi 4033	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ (Base‘𝑆))
28	6, 24, 12	ress0g 18632	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ Mnd ∧ (0g‘𝑆) ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ (Base‘𝑆)) → (0g‘𝑆) = (0g‘𝑃))
29	18, 21, 27, 28	syl3anc 1371	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑆) = (0g‘𝑃))
30	13, 29	eqtr3d 2774	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑈) = (0g‘𝑃))
31	30	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (0g‘𝑈) = (0g‘𝑃))
32	11, 31	eqeq12d 2748	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝑦(+g‘𝑈)𝑋) = (0g‘𝑈) ↔ (𝑦(+g‘𝑃)𝑋) = (0g‘𝑃)))
33	7, 32	riotaeqbidva 31663	. 2 ⊢ (𝜑 → (℩𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦(+g‘𝑈)𝑋) = (0g‘𝑈)) = (℩𝑦 ∈ (Base‘𝑃)(𝑦(+g‘𝑃)𝑋) = (0g‘𝑃)))
34		eqid 2732	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑈) = (+g‘𝑈)
35		eqid 2732	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑈) = (0g‘𝑈)
36		eqid 2732	. . . 4 ⊢ (invg‘𝑈) = (invg‘𝑈)
37	4, 34, 35, 36	grpinvval 18842	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → ((invg‘𝑈)‘𝑋) = (℩𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦(+g‘𝑈)𝑋) = (0g‘𝑈)))
38	8, 37	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝑈)‘𝑋) = (℩𝑦 ∈ 𝐵 (𝑦(+g‘𝑈)𝑋) = (0g‘𝑈)))
39	8, 7	eleqtrd 2835	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
40		eqid 2732	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
41		eqid 2732	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑃) = (+g‘𝑃)
42		eqid 2732	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑃) = (0g‘𝑃)
43		eqid 2732	. . . 4 ⊢ (invg‘𝑃) = (invg‘𝑃)
44	40, 41, 42, 43	grpinvval 18842	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ (Base‘𝑃) → ((invg‘𝑃)‘𝑋) = (℩𝑦 ∈ (Base‘𝑃)(𝑦(+g‘𝑃)𝑋) = (0g‘𝑃)))
45	39, 44	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝑃)‘𝑋) = (℩𝑦 ∈ (Base‘𝑃)(𝑦(+g‘𝑃)𝑋) = (0g‘𝑃)))
46	33, 38, 45	3eqtr4d 2782	1 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝑈)‘𝑋) = ((invg‘𝑃)‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ∩ cin 3944   ⊆ wss 3945  ‘cfv 6533  ℩crio 7349  (class class class)co 7394  Basecbs 17128   ↾_s cress 17157  +_gcplusg 17181  0_gc0g 17369  Mndcmnd 18604  inv_gcminusg 18797  SubGrpcsubg 18974  Ringcrg 20016  SubRingcsubrg 20310  PwSer₁cps1 21630  Poly₁cpl1 21632

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5357  ax-pr 5421  ax-un 7709  ax-cnex 11150  ax-resscn 11151  ax-1cn 11152  ax-icn 11153  ax-addcl 11154  ax-addrcl 11155  ax-mulcl 11156  ax-mulrcl 11157  ax-mulcom 11158  ax-addass 11159  ax-mulass 11160  ax-distr 11161  ax-i2m1 11162  ax-1ne0 11163  ax-1rid 11164  ax-rnegex 11165  ax-rrecex 11166  ax-cnre 11167  ax-pre-lttri 11168  ax-pre-lttrn 11169  ax-pre-ltadd 11170  ax-pre-mulgt0 11171

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3775  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4320  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5568  df-eprel 5574  df-po 5582  df-so 5583  df-fr 5625  df-se 5626  df-we 5627  df-xp 5676  df-rel 5677  df-cnv 5678  df-co 5679  df-dm 5680  df-rn 5681  df-res 5682  df-ima 5683  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7350  df-ov 7397  df-oprab 7398  df-mpo 7399  df-of 7654  df-ofr 7655  df-om 7840  df-1st 7959  df-2nd 7960  df-supp 8131  df-frecs 8250  df-wrecs 8281  df-recs 8355  df-rdg 8394  df-1o 8450  df-er 8688  df-map 8807  df-pm 8808  df-ixp 8877  df-en 8925  df-dom 8926  df-sdom 8927  df-fin 8928  df-fsupp 9347  df-sup 9421  df-oi 9489  df-card 9918  df-pnf 11234  df-mnf 11235  df-xr 11236  df-ltxr 11237  df-le 11238  df-sub 11430  df-neg 11431  df-nn 12197  df-2 12259  df-3 12260  df-4 12261  df-5 12262  df-6 12263  df-7 12264  df-8 12265  df-9 12266  df-n0 12457  df-z 12543  df-dec 12662  df-uz 12807  df-fz 13469  df-fzo 13612  df-seq 13951  df-hash 14275  df-struct 17064  df-sets 17081  df-slot 17099  df-ndx 17111  df-base 17129  df-ress 17158  df-plusg 17194  df-mulr 17195  df-sca 17197  df-vsca 17198  df-ip 17199  df-tset 17200  df-ple 17201  df-ds 17203  df-hom 17205  df-cco 17206  df-0g 17371  df-gsum 17372  df-prds 17377  df-pws 17379  df-mre 17514  df-mrc 17515  df-acs 17517  df-mgm 18545  df-sgrp 18594  df-mnd 18605  df-mhm 18649  df-submnd 18650  df-grp 18799  df-minusg 18800  df-sbg 18801  df-mulg 18925  df-subg 18977  df-ghm 19058  df-cntz 19149  df-cmn 19616  df-abl 19617  df-mgp 19949  df-ur 19966  df-ring 20018  df-subrg 20312  df-lmod 20424  df-lss 20494  df-ascl 21345  df-psr 21395  df-mpl 21397  df-opsr 21399  df-psr1 21635  df-ply1 21637

This theorem is referenced by:  ressply1sub  32563