Theorem subrgcrng 20540

Description: A subring of a commutative ring is a commutative ring. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jan-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
subrgring.1	⊢ 𝑆 = (𝑅 ↾s 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
subrgcrng	⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅)) → 𝑆 ∈ CRing)

Proof of Theorem subrgcrng

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subrgring.1	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (𝑅 ↾s 𝐴)
2	1	subrgring 20539	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑆 ∈ Ring)
3	2	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅)) → 𝑆 ∈ Ring)
4		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
5	1, 4	mgpress 20115	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅)) → ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝐴) = (mulGrp‘𝑆))
6	4	crngmgp 20206	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd)
7		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (mulGrp‘𝑆) = (mulGrp‘𝑆)
8	7	ringmgp 20204	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑆) ∈ Mnd)
9	3, 8	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅)) → (mulGrp‘𝑆) ∈ Mnd)
10	5, 9	eqeltrd 2835	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅)) → ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝐴) ∈ Mnd)
11		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝐴) = ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝐴)
12	11	subcmn 19823	. . . 4 ⊢ (((mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd ∧ ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝐴) ∈ Mnd) → ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝐴) ∈ CMnd)
13	6, 10, 12	syl2an2r 685	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅)) → ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝐴) ∈ CMnd)
14	5, 13	eqeltrrd 2836	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅)) → (mulGrp‘𝑆) ∈ CMnd)
15	7	iscrng 20205	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ CRing ↔ (𝑆 ∈ Ring ∧ (mulGrp‘𝑆) ∈ CMnd))
16	3, 14, 15	sylanbrc 583	1 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅)) → 𝑆 ∈ CRing)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410   ↾_s cress 17256  Mndcmnd 18717  CMndccmn 19766  mulGrpcmgp 20105  Ringcrg 20198  CRingccrg 20199  SubRingcsubrg 20534

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-sets 17188  df-slot 17206  df-ndx 17218  df-base 17234  df-ress 17257  df-plusg 17289  df-mulr 17290  df-0g 17460  df-mgm 18623  df-sgrp 18702  df-mnd 18718  df-cmn 19768  df-mgp 20106  df-ring 20200  df-cring 20201  df-subrg 20535

This theorem is referenced by:  fldsdrgfld  20763  zringcrng  21414  refld  21584  mplcrng  21986  evlsval2  22050  evlsgsummul  22055  mpfind  22070  ply1crng  22139  evls1gsummul  22268  evls1fpws  22312  evls1vsca  22316  evls1maprhm  22319  subridom  33285  qfld  33296  gzcrng  33362  ressply1evls1  33583  ressasclcl  33589  irngss  33733  algextdeglem4  33759  evlsval3  42549