Theorem subrgcrng 20612

Description: A subring of a commutative ring is a commutative ring. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jan-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
subrgring.1	⊢ 𝑆 = (𝑅 ↾s 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
subrgcrng	⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅)) → 𝑆 ∈ CRing)

Proof of Theorem subrgcrng

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subrgring.1	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (𝑅 ↾s 𝐴)
2	1	subrgring 20611	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑆 ∈ Ring)
3	2	adantl 485	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅)) → 𝑆 ∈ Ring)
4		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
5	1, 4	mgpress 20187	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅)) → ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝐴) = (mulGrp‘𝑆))
6	4	crngmgp 20278	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd)
7		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ (mulGrp‘𝑆) = (mulGrp‘𝑆)
8	7	ringmgp 20276	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑆) ∈ Mnd)
9	3, 8	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅)) → (mulGrp‘𝑆) ∈ Mnd)
10	5, 9	eqeltrd 2861	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅)) → ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝐴) ∈ Mnd)
11		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝐴) = ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝐴)
12	11	subcmn 19868	. . . 4 ⊢ (((mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd ∧ ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝐴) ∈ Mnd) → ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝐴) ∈ CMnd)
13	6, 10, 12	syl2an2r 695	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅)) → ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝐴) ∈ CMnd)
14	5, 13	eqeltrrd 2862	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅)) → (mulGrp‘𝑆) ∈ CMnd)
15	7	iscrng 20277	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ CRing ↔ (𝑆 ∈ Ring ∧ (mulGrp‘𝑆) ∈ CMnd))
16	3, 14, 15	sylanbrc 592	1 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅)) → 𝑆 ∈ CRing)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  ‘cfv 6516  (class class class)co 7391   ↾_s cress 17257  Mndcmnd 18759  CMndccmn 19811  mulGrpcmgp 20177  Ringcrg 20270  CRingccrg 20271  SubRingcsubrg 20606

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7713  ax-cnex 11123  ax-resscn 11124  ax-1cn 11125  ax-icn 11126  ax-addcl 11127  ax-addrcl 11128  ax-mulcl 11129  ax-mulrcl 11130  ax-mulcom 11131  ax-addass 11132  ax-mulass 11133  ax-distr 11134  ax-i2m1 11135  ax-1ne0 11136  ax-1rid 11137  ax-rnegex 11138  ax-rrecex 11139  ax-cnre 11140  ax-pre-lttri 11141  ax-pre-lttrn 11142  ax-pre-ltadd 11143  ax-pre-mulgt0 11144

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6283  df-ord 6344  df-on 6345  df-lim 6346  df-suc 6347  df-iota 6472  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-riota 7348  df-ov 7394  df-oprab 7395  df-mpo 7396  df-om 7842  df-2nd 7966  df-frecs 8256  df-wrecs 8287  df-recs 8336  df-rdg 8375  df-er 8672  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11212  df-mnf 11213  df-xr 11214  df-ltxr 11215  df-le 11216  df-sub 11410  df-neg 11411  df-nn 12205  df-2 12274  df-3 12275  df-sets 17191  df-slot 17209  df-ndx 17221  df-base 17237  df-ress 17258  df-plusg 17290  df-mulr 17291  df-0g 17461  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-cmn 19813  df-mgp 20178  df-ring 20272  df-cring 20273  df-subrg 20607

This theorem is referenced by:  fldsdrgfld  20835  zringcrng  21488  refld  21659  mplcrng  22060  evlsval2  22128  evlsval3  22130  evlsgsummul  22138  mpfind  22156  ply1crng  22248  evls1gsummul  22376  evls1fpws  22420  evls1vsca  22424  evls1maprhm  22427  subridom  33431  qfld  33445  gzcrng  33488  ressply1evls1  33722  ressasclcl  33728  irngss  33945  algextdeglem4  33978