MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subrgcrng Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem subrgcrng 20466
Description: A subring of a commutative ring is a commutative ring. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jan-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
subrgring.1 𝑆 = (𝑅 β†Ύs 𝐴)
Assertion
Ref Expression
subrgcrng ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…)) β†’ 𝑆 ∈ CRing)
Proof of Theorem subrgcrng
StepHypRef Expression
1 subrgring.1 . . . 4 𝑆 = (𝑅 β†Ύs 𝐴)
21subrgring 20465 . . 3 (𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ 𝑆 ∈ Ring)
32adantl 481 . 2 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…)) β†’ 𝑆 ∈ Ring)
4 eqid 2731 . . . 4 (mulGrpβ€˜π‘…) = (mulGrpβ€˜π‘…)
51, 4mgpress 20044 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…)) β†’ ((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs 𝐴) = (mulGrpβ€˜π‘†))
64crngmgp 20136 . . . 4 (𝑅 ∈ CRing β†’ (mulGrpβ€˜π‘…) ∈ CMnd)
7 eqid 2731 . . . . . . 7 (mulGrpβ€˜π‘†) = (mulGrpβ€˜π‘†)
87ringmgp 20134 . . . . . 6 (𝑆 ∈ Ring β†’ (mulGrpβ€˜π‘†) ∈ Mnd)
93, 8syl 17 . . . . 5 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…)) β†’ (mulGrpβ€˜π‘†) ∈ Mnd)
105, 9eqeltrd 2832 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…)) β†’ ((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs 𝐴) ∈ Mnd)
11 eqid 2731 . . . . 5 ((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs 𝐴) = ((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs 𝐴)
1211subcmn 19747 . . . 4 (((mulGrpβ€˜π‘…) ∈ CMnd ∧ ((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs 𝐴) ∈ Mnd) β†’ ((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs 𝐴) ∈ CMnd)
136, 10, 12syl2an2r 682 . . 3 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…)) β†’ ((mulGrpβ€˜π‘…) β†Ύs 𝐴) ∈ CMnd)
145, 13eqeltrrd 2833 . 2 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…)) β†’ (mulGrpβ€˜π‘†) ∈ CMnd)
157iscrng 20135 . 2 (𝑆 ∈ CRing ↔ (𝑆 ∈ Ring ∧ (mulGrpβ€˜π‘†) ∈ CMnd))
163, 14, 15sylanbrc 582 1 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…)) β†’ 𝑆 ∈ CRing)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7412   β†Ύs cress 17178  Mndcmnd 18660  CMndccmn 19690  mulGrpcmgp 20029  Ringcrg 20128  CRingccrg 20129  SubRingcsubrg 20458
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7859  df-2nd 7979  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-er 8706  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-0g 17392  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-cmn 19692  df-mgp 20030  df-ring 20130  df-cring 20131  df-subrg 20460
This theorem is referenced by:  fldsdrgfld  20558  zringcrng  21220  refld  21392  mplcrng  21800  evlsval2  21870  evlsgsummul  21875  mpfind  21890  ply1crng  21942  evls1gsummul  22065  gzcrng  32725  evls1fpws  32917  evls1vsca  32921  irngss  33037  evls1maprhm  33045  algextdeglem4  33062  evlsval3  41434
  Copyright terms: Public domain W3C validator