Theorem subrgcrng 20834

Description: A subring of a commutative ring is a commutative ring. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jan-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
subrgring.1	⊢ 𝑆 = (𝑅 ↾s 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
subrgcrng	⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅)) → 𝑆 ∈ CRing)

Proof of Theorem subrgcrng

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subrgring.1	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (𝑅 ↾s 𝐴)
2	1	subrgring 20833	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑆 ∈ Ring)
3	2	adantl 487	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅)) → 𝑆 ∈ Ring)
4		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
5	1, 4	mgpress 20377	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅)) → ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝐴) = (mulGrp‘𝑆))
6	4	crngmgp 20474	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd)
7		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (mulGrp‘𝑆) = (mulGrp‘𝑆)
8	7	ringmgp 20472	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑆) ∈ Mnd)
9	3, 8	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅)) → (mulGrp‘𝑆) ∈ Mnd)
10	5, 9	eqeltrd 2860	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅)) → ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝐴) ∈ Mnd)
11		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝐴) = ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝐴)
12	11	subcmn 20058	. . . 4 ⊢ (((mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd ∧ ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝐴) ∈ Mnd) → ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝐴) ∈ CMnd)
13	6, 10, 12	syl2an2r 698	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅)) → ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝐴) ∈ CMnd)
14	5, 13	eqeltrrd 2861	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅)) → (mulGrp‘𝑆) ∈ CMnd)
15	7	iscrng 20473	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ CRing ↔ (𝑆 ∈ Ring ∧ (mulGrp‘𝑆) ∈ CMnd))
16	3, 14, 15	sylanbrc 595	1 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅)) → 𝑆 ∈ CRing)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ‘cfv 6541  (class class class)co 7422   ↾_s cress 17415  Mndcmnd 18930  CMndccmn 20001  mulGrpcmgp 20367  Ringcrg 20466  CRingccrg 20467  SubRingcsubrg 20828

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7753  ax-cnex 11261  ax-resscn 11262  ax-1cn 11263  ax-icn 11264  ax-addcl 11265  ax-addrcl 11266  ax-mulcl 11267  ax-mulrcl 11268  ax-mulcom 11269  ax-addass 11270  ax-mulass 11271  ax-distr 11272  ax-i2m1 11273  ax-1ne0 11274  ax-1rid 11275  ax-rnegex 11276  ax-rrecex 11277  ax-cnre 11278  ax-pre-lttri 11279  ax-pre-lttrn 11280  ax-pre-ltadd 11281  ax-pre-mulgt0 11282

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7379  df-ov 7425  df-oprab 7426  df-mpo 7427  df-om 7880  df-2nd 8004  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8384  df-rdg 8423  df-er 8722  df-en 8979  df-dom 8980  df-sdom 8981  df-pnf 11350  df-mnf 11351  df-xr 11352  df-ltxr 11353  df-le 11354  df-sub 11548  df-neg 11549  df-nn 12341  df-2 12410  df-3 12411  df-sets 17349  df-slot 17367  df-ndx 17379  df-base 17395  df-ress 17416  df-plusg 17448  df-mulr 17449  df-0g 17619  df-mgm 18823  df-sgrp 18915  df-mnd 18931  df-cmn 20003  df-mgp 20368  df-ring 20468  df-cring 20469  df-subrg 20829

This theorem is used by:  fldsdrgfld  21062  zringcrng  21761  refld  21932  mplcrng  22335  evlsval2  22403  evlsval3  22405  evlsgsummul  22413  mpfind  22431  ply1crng  22523  evls1gsummul  22650  evls1fpws  22694  evls1vsca  22698  evls1maprhm  22701  subridom  33895  qfld  33907  gzcrng  33950  ressply1evls1  34145  ressasclcl  34151  irngss  34367  algextdeglem4  34400