Theorem subrg1 20480

Description: A subring always has the same multiplicative identity. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
subrg1.1	⊢ 𝑆 = (𝑅 ↾s 𝐴)
subrg1.2	⊢ 1 = (1r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
subrg1	⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 1 = (1r‘𝑆))

Proof of Theorem subrg1

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subrg1.2	. 2 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
2		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
3	2	subrg1cl 20478	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → (1r‘𝑅) ∈ 𝐴)
4		subrg1.1	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (𝑅 ↾s 𝐴)
5	4	subrgbas 20479	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐴 = (Base‘𝑆))
6	3, 5	eleqtrd 2834	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑆))
7		eqid 2731	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
8	7	subrgss 20470	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐴 ⊆ (Base‘𝑅))
9	5, 8	eqsstrrd 4021	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → (Base‘𝑆) ⊆ (Base‘𝑅))
10	9	sselda 3982	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑆)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
11		subrgrcl 20474	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑅 ∈ Ring)
12		eqid 2731	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
13	7, 12, 2	ringidmlem 20163	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)) = 𝑥))
14	11, 13	sylan 579	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)) = 𝑥))
15	4, 12	ressmulr 17259	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → (.r‘𝑅) = (.r‘𝑆))
16	15	oveqd 7429	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑥) = ((1r‘𝑅)(.r‘𝑆)𝑥))
17	16	eqeq1d 2733	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → (((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑥) = 𝑥 ↔ ((1r‘𝑅)(.r‘𝑆)𝑥) = 𝑥))
18	15	oveqd 7429	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → (𝑥(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)) = (𝑥(.r‘𝑆)(1r‘𝑅)))
19	18	eqeq1d 2733	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → ((𝑥(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)) = 𝑥 ↔ (𝑥(.r‘𝑆)(1r‘𝑅)) = 𝑥))
20	17, 19	anbi12d 630	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → ((((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)) = 𝑥) ↔ (((1r‘𝑅)(.r‘𝑆)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝑆)(1r‘𝑅)) = 𝑥)))
21	20	biimpa 476	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ (((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)) = 𝑥)) → (((1r‘𝑅)(.r‘𝑆)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝑆)(1r‘𝑅)) = 𝑥))
22	14, 21	syldan 590	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (((1r‘𝑅)(.r‘𝑆)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝑆)(1r‘𝑅)) = 𝑥))
23	10, 22	syldan 590	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑆)) → (((1r‘𝑅)(.r‘𝑆)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝑆)(1r‘𝑅)) = 𝑥))
24	23	ralrimiva 3145	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑆)(((1r‘𝑅)(.r‘𝑆)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝑆)(1r‘𝑅)) = 𝑥))
25	4	subrgring 20472	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑆 ∈ Ring)
26		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
27		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝑆) = (.r‘𝑆)
28		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (1r‘𝑆) = (1r‘𝑆)
29	26, 27, 28	isringid 20166	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ Ring → (((1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑆)(((1r‘𝑅)(.r‘𝑆)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝑆)(1r‘𝑅)) = 𝑥)) ↔ (1r‘𝑆) = (1r‘𝑅)))
30	25, 29	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → (((1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑆)(((1r‘𝑅)(.r‘𝑆)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝑆)(1r‘𝑅)) = 𝑥)) ↔ (1r‘𝑆) = (1r‘𝑅)))
31	6, 24, 30	mpbi2and 709	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → (1r‘𝑆) = (1r‘𝑅))
32	1, 31	eqtr4id 2790	1 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 1 = (1r‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  ∀wral 3060  ‘cfv 6543  (class class class)co 7412  Basecbs 17151   ↾_s cress 17180  ._rcmulr 17205  1_rcur 20082  Ringcrg 20134  SubRingcsubrg 20465

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-er 8709  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-0g 17394  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-subg 19046  df-mgp 20036  df-ur 20083  df-ring 20136  df-subrg 20467

This theorem is referenced by:  subrguss  20485  subrginv  20486  subrgunit  20488  subrgnzr  20492  subsubrg  20496  imadrhmcl  20644  sralmod  21042  gzrngunitlem  21298  zring1  21318  re1r  21475  ressascl  21759  mpl1  21881  subrgmvr  21898  scmatsrng1  22344  scmatmhm  22355  clm1  24919  isclmp  24943  qrng1  27467  subrgchr  32821  ressply1mon1p  33096  evls1maprhm  33213  algextdeglem4  33230  evlsbagval  41600  evlsmaprhm  41604