Theorem subrg1 20526

Description: A subring always has the same multiplicative identity. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
subrg1.1	⊢ 𝑆 = (𝑅 ↾s 𝐴)
subrg1.2	⊢ 1 = (1r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
subrg1	⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 1 = (1r‘𝑆))

Proof of Theorem subrg1

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subrg1.2	. 2 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
2		eqid 2727	. . . . 5 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
3	2	subrg1cl 20524	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → (1r‘𝑅) ∈ 𝐴)
4		subrg1.1	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (𝑅 ↾s 𝐴)
5	4	subrgbas 20525	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐴 = (Base‘𝑆))
6	3, 5	eleqtrd 2830	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑆))
7		eqid 2727	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
8	7	subrgss 20516	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐴 ⊆ (Base‘𝑅))
9	5, 8	eqsstrrd 4019	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → (Base‘𝑆) ⊆ (Base‘𝑅))
10	9	sselda 3980	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑆)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
11		subrgrcl 20520	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑅 ∈ Ring)
12		eqid 2727	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
13	7, 12, 2	ringidmlem 20209	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)) = 𝑥))
14	11, 13	sylan 578	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)) = 𝑥))
15	4, 12	ressmulr 17293	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → (.r‘𝑅) = (.r‘𝑆))
16	15	oveqd 7441	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑥) = ((1r‘𝑅)(.r‘𝑆)𝑥))
17	16	eqeq1d 2729	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → (((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑥) = 𝑥 ↔ ((1r‘𝑅)(.r‘𝑆)𝑥) = 𝑥))
18	15	oveqd 7441	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → (𝑥(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)) = (𝑥(.r‘𝑆)(1r‘𝑅)))
19	18	eqeq1d 2729	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → ((𝑥(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)) = 𝑥 ↔ (𝑥(.r‘𝑆)(1r‘𝑅)) = 𝑥))
20	17, 19	anbi12d 630	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → ((((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)) = 𝑥) ↔ (((1r‘𝑅)(.r‘𝑆)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝑆)(1r‘𝑅)) = 𝑥)))
21	20	biimpa 475	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ (((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)) = 𝑥)) → (((1r‘𝑅)(.r‘𝑆)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝑆)(1r‘𝑅)) = 𝑥))
22	14, 21	syldan 589	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (((1r‘𝑅)(.r‘𝑆)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝑆)(1r‘𝑅)) = 𝑥))
23	10, 22	syldan 589	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑆)) → (((1r‘𝑅)(.r‘𝑆)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝑆)(1r‘𝑅)) = 𝑥))
24	23	ralrimiva 3142	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑆)(((1r‘𝑅)(.r‘𝑆)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝑆)(1r‘𝑅)) = 𝑥))
25	4	subrgring 20518	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑆 ∈ Ring)
26		eqid 2727	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
27		eqid 2727	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝑆) = (.r‘𝑆)
28		eqid 2727	. . . . 5 ⊢ (1r‘𝑆) = (1r‘𝑆)
29	26, 27, 28	isringid 20212	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ Ring → (((1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑆)(((1r‘𝑅)(.r‘𝑆)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝑆)(1r‘𝑅)) = 𝑥)) ↔ (1r‘𝑆) = (1r‘𝑅)))
30	25, 29	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → (((1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑆)(((1r‘𝑅)(.r‘𝑆)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝑆)(1r‘𝑅)) = 𝑥)) ↔ (1r‘𝑆) = (1r‘𝑅)))
31	6, 24, 30	mpbi2and 710	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → (1r‘𝑆) = (1r‘𝑅))
32	1, 31	eqtr4id 2786	1 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 1 = (1r‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∀wral 3057  ‘cfv 6551  (class class class)co 7424  Basecbs 17185   ↾_s cress 17214  ._rcmulr 17239  1_rcur 20126  Ringcrg 20178  SubRingcsubrg 20511

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431  ax-un 7744  ax-cnex 11200  ax-resscn 11201  ax-1cn 11202  ax-icn 11203  ax-addcl 11204  ax-addrcl 11205  ax-mulcl 11206  ax-mulrcl 11207  ax-mulcom 11208  ax-addass 11209  ax-mulass 11210  ax-distr 11211  ax-i2m1 11212  ax-1ne0 11213  ax-1rid 11214  ax-rnegex 11215  ax-rrecex 11216  ax-cnre 11217  ax-pre-lttri 11218  ax-pre-lttrn 11219  ax-pre-ltadd 11220  ax-pre-mulgt0 11221

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4911  df-iun 5000  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-tr 5268  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5635  df-we 5637  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-pred 6308  df-ord 6375  df-on 6376  df-lim 6377  df-suc 6378  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7875  df-2nd 7998  df-frecs 8291  df-wrecs 8322  df-recs 8396  df-rdg 8435  df-er 8729  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-pnf 11286  df-mnf 11287  df-xr 11288  df-ltxr 11289  df-le 11290  df-sub 11482  df-neg 11483  df-nn 12249  df-2 12311  df-3 12312  df-sets 17138  df-slot 17156  df-ndx 17168  df-base 17186  df-ress 17215  df-plusg 17251  df-mulr 17252  df-0g 17428  df-mgm 18605  df-sgrp 18684  df-mnd 18700  df-subg 19083  df-mgp 20080  df-ur 20127  df-ring 20180  df-subrg 20513

This theorem is referenced by:  subrguss  20531  subrginv  20532  subrgunit  20534  subrgnzr  20538  subsubrg  20542  imadrhmcl  20690  sralmod  21085  gzrngunitlem  21370  zring1  21390  re1r  21550  ressascl  21834  mpl1  21959  subrgmvr  21976  evls1maprhm  22300  scmatsrng1  22443  scmatmhm  22454  clm1  25018  isclmp  25042  qrng1  27573  subrgchr  32963  ressply1mon1p  33258  algextdeglem4  33393  evlsbagval  41802  evlsmaprhm  41806