Theorem ressply10g 34099

Description: A restricted polynomial algebra has the same group identity (zero polynomial). (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Jan-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ressply.1	⊢ 𝑆 = (Poly1‘𝑅)
ressply.2	⊢ 𝐻 = (𝑅 ↾s 𝑇)
ressply.3	⊢ 𝑈 = (Poly1‘𝐻)
ressply.4	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑈)
ressply.5	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅))
ressply10g.6	⊢ 𝑍 = (0g‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
ressply10g	⊢ (𝜑 → 𝑍 = (0g‘𝑈))

Proof of Theorem ressply10g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ressply.1	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (Poly1‘𝑅)
2		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (algSc‘𝑆) = (algSc‘𝑆)
3		ressply.2	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (𝑅 ↾s 𝑇)
4		ressply.3	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (Poly1‘𝐻)
5		ressply.5	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅))
6		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (algSc‘𝑈) = (algSc‘𝑈)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	subrg1ascl 22578	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (algSc‘𝑈) = ((algSc‘𝑆) ↾ 𝑇))
8	7	fveq1d 6887	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((algSc‘𝑈)‘(0g‘𝐻)) = (((algSc‘𝑆) ↾ 𝑇)‘(0g‘𝐻)))
9		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (0g‘𝐻) = (0g‘𝐻)
10		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑈) = (0g‘𝑈)
11	3	subrgring 20826	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐻 ∈ Ring)
12	5, 11	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ Ring)
13	4, 6, 9, 10, 12	ply1ascl0 22572	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((algSc‘𝑈)‘(0g‘𝐻)) = (0g‘𝑈))
14		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
15	3, 14	subrg0 20831	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) → (0g‘𝑅) = (0g‘𝐻))
16	5, 15	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑅) = (0g‘𝐻))
17		subrgsubg 20829	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑅))
18	14	subg0cl 19344	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑅) → (0g‘𝑅) ∈ 𝑇)
19	5, 17, 18	3syl 19	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑅) ∈ 𝑇)
20	16, 19	eqeltrrd 2861	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝐻) ∈ 𝑇)
21	20	fvresd 6905	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((algSc‘𝑆) ↾ 𝑇)‘(0g‘𝐻)) = ((algSc‘𝑆)‘(0g‘𝐻)))
22	8, 13, 21	3eqtr3d 2803	. 2 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑈) = ((algSc‘𝑆)‘(0g‘𝐻)))
23	16	fveq2d 6889	. 2 ⊢ (𝜑 → ((algSc‘𝑆)‘(0g‘𝑅)) = ((algSc‘𝑆)‘(0g‘𝐻)))
24		ressply10g.6	. . 3 ⊢ 𝑍 = (0g‘𝑆)
25		subrgrcl 20828	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑅 ∈ Ring)
26	5, 25	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
27	1, 2, 14, 24, 26	ply1ascl0 22572	. 2 ⊢ (𝜑 → ((algSc‘𝑆)‘(0g‘𝑅)) = 𝑍)
28	22, 23, 27	3eqtr2rd 2802	1 ⊢ (𝜑 → 𝑍 = (0g‘𝑈))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ↾ cres 5652  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  Basecbs 17387   ↾_s cress 17408  0_gc0g 17610  SubGrpcsubg 19330  Ringcrg 20459  SubRingcsubrg 20821  algSccascl 22160  Poly₁cpl1 22495

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7693  df-ofr 7694  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8178  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-2o 8477  df-er 8717  df-map 8849  df-pm 8850  df-ixp 8926  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-fsupp 9354  df-sup 9434  df-oi 9504  df-card 10020  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-5 12408  df-6 12409  df-7 12410  df-8 12411  df-9 12412  df-n0 12607  df-z 12694  df-dec 12815  df-uz 12966  df-fz 13640  df-fzo 13789  df-seq 14145  df-hash 14475  df-struct 17325  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-ress 17409  df-plusg 17441  df-mulr 17442  df-sca 17444  df-vsca 17445  df-ip 17446  df-tset 17447  df-ple 17448  df-ds 17450  df-hom 17452  df-cco 17453  df-0g 17612  df-gsum 17613  df-prds 17618  df-pws 17620  df-mre 17756  df-mrc 17757  df-acs 17759  df-mgm 18816  df-sgrp 18908  df-mnd 18924  df-mhm 18978  df-submnd 18979  df-grp 19147  df-minusg 19148  df-sbg 19149  df-mulg 19278  df-subg 19333  df-ghm 19428  df-cntz 19531  df-cmn 19996  df-abl 19997  df-mgp 20361  df-rng 20375  df-ur 20408  df-ring 20461  df-subrng 20798  df-subrg 20822  df-lmod 21137  df-lss 21207  df-ascl 22163  df-psr 22217  df-mpl 22219  df-opsr 22221  df-psr1 22498  df-ply1 22500

This theorem is used by:  ressply1mon1p  34100  ressply1invg  34101  irngnzply1lem  34322  irngnzply1  34323  extdgfialglem2  34325  irngnminplynz  34344  minplym1p  34345  minplynzm1p  34346  minplyelirng  34347  irredminply  34348  algextdeglem4  34352