Theorem ressply10g 33823

Description: A restricted polynomial algebra has the same group identity (zero polynomial). (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Jan-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ressply.1	⊢ 𝑆 = (Poly1‘𝑅)
ressply.2	⊢ 𝐻 = (𝑅 ↾s 𝑇)
ressply.3	⊢ 𝑈 = (Poly1‘𝐻)
ressply.4	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑈)
ressply.5	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅))
ressply10g.6	⊢ 𝑍 = (0g‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
ressply10g	⊢ (𝜑 → 𝑍 = (0g‘𝑈))

Proof of Theorem ressply10g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ressply.1	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (Poly1‘𝑅)
2		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (algSc‘𝑆) = (algSc‘𝑆)
3		ressply.2	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (𝑅 ↾s 𝑇)
4		ressply.3	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (Poly1‘𝐻)
5		ressply.5	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅))
6		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (algSc‘𝑈) = (algSc‘𝑈)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	subrg1ascl 22399	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (algSc‘𝑈) = ((algSc‘𝑆) ↾ 𝑇))
8	7	fveq1d 6883	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((algSc‘𝑈)‘(0g‘𝐻)) = (((algSc‘𝑆) ↾ 𝑇)‘(0g‘𝐻)))
9		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (0g‘𝐻) = (0g‘𝐻)
10		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑈) = (0g‘𝑈)
11	3	subrgring 20658	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐻 ∈ Ring)
12	5, 11	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ Ring)
13	4, 6, 9, 10, 12	ply1ascl0 22393	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((algSc‘𝑈)‘(0g‘𝐻)) = (0g‘𝑈))
14		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
15	3, 14	subrg0 20663	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) → (0g‘𝑅) = (0g‘𝐻))
16	5, 15	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑅) = (0g‘𝐻))
17		subrgsubg 20661	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑅))
18	14	subg0cl 19199	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑅) → (0g‘𝑅) ∈ 𝑇)
19	5, 17, 18	3syl 19	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑅) ∈ 𝑇)
20	16, 19	eqeltrrd 2862	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝐻) ∈ 𝑇)
21	20	fvresd 6901	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((algSc‘𝑆) ↾ 𝑇)‘(0g‘𝐻)) = ((algSc‘𝑆)‘(0g‘𝐻)))
22	8, 13, 21	3eqtr3d 2804	. 2 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑈) = ((algSc‘𝑆)‘(0g‘𝐻)))
23	16	fveq2d 6885	. 2 ⊢ (𝜑 → ((algSc‘𝑆)‘(0g‘𝑅)) = ((algSc‘𝑆)‘(0g‘𝐻)))
24		ressply10g.6	. . 3 ⊢ 𝑍 = (0g‘𝑆)
25		subrgrcl 20660	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑅 ∈ Ring)
26	5, 25	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
27	1, 2, 14, 24, 26	ply1ascl0 22393	. 2 ⊢ (𝜑 → ((algSc‘𝑆)‘(0g‘𝑅)) = 𝑍)
28	22, 23, 27	3eqtr2rd 2803	1 ⊢ (𝜑 → 𝑍 = (0g‘𝑈))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1568   ∈ wcel 2141   ↾ cres 5663  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  Basecbs 17268   ↾_s cress 17289  0_gc0g 17491  SubGrpcsubg 19185  Ringcrg 20314  SubRingcsubrg 20653  algSccascl 21981  Poly₁cpl1 22316

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-se 5615  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-of 7674  df-ofr 7675  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-supp 8156  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8452  df-2o 8453  df-er 8693  df-map 8825  df-pm 8826  df-ixp 8895  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-fsupp 9321  df-sup 9401  df-oi 9471  df-card 9924  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12233  df-2 12302  df-3 12303  df-4 12304  df-5 12305  df-6 12306  df-7 12307  df-8 12308  df-9 12309  df-n0 12504  df-z 12591  df-dec 12711  df-uz 12862  df-fz 13535  df-fzo 13682  df-seq 14037  df-hash 14366  df-struct 17206  df-sets 17223  df-slot 17241  df-ndx 17253  df-base 17269  df-ress 17290  df-plusg 17322  df-mulr 17323  df-sca 17325  df-vsca 17326  df-ip 17327  df-tset 17328  df-ple 17329  df-ds 17331  df-hom 17333  df-cco 17334  df-0g 17493  df-gsum 17494  df-prds 17499  df-pws 17501  df-mre 17637  df-mrc 17638  df-acs 17640  df-mgm 18697  df-sgrp 18776  df-mnd 18792  df-mhm 18840  df-submnd 18841  df-grp 19002  df-minusg 19003  df-sbg 19004  df-mulg 19133  df-subg 19188  df-ghm 19283  df-cntz 19386  df-cmn 19851  df-abl 19852  df-mgp 20216  df-rng 20230  df-ur 20263  df-ring 20316  df-subrng 20630  df-subrg 20654  df-lmod 20962  df-lss 21032  df-ascl 21984  df-psr 22038  df-mpl 22040  df-opsr 22042  df-psr1 22319  df-ply1 22321

This theorem is referenced by:  ressply1mon1p  33824  ressply1invg  33825  irngnzply1lem  34046  irngnzply1  34047  extdgfialglem2  34049  irngnminplynz  34068  minplym1p  34069  minplynzm1p  34070  minplyelirng  34071  irredminply  34072  algextdeglem4  34076