Theorem subrgasclcl 22199

Description: The scalars in a polynomial algebra are in the subring algebra iff the scalar value is in the subring. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jul-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
subrgascl.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
subrgascl.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)
subrgascl.h	⊢ 𝐻 = (𝑅 ↾s 𝑇)
subrgascl.u	⊢ 𝑈 = (𝐼 mPoly 𝐻)
subrgascl.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
subrgascl.r	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅))
subrgasclcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑈)
subrgasclcl.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
subrgasclcl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐾)

Assertion

Ref	Expression
subrgasclcl	⊢ (𝜑 → ((𝐴‘𝑋) ∈ 𝐵 ↔ 𝑋 ∈ 𝑇))

Proof of Theorem subrgasclcl

Dummy variables 𝑥 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iftrue 4494	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝐼 × {0}) → if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 𝑋, (0g‘𝑅)) = 𝑋)
2	1	eleq1d 2848	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝐼 × {0}) → (if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 𝑋, (0g‘𝑅)) ∈ (Base‘𝐻) ↔ 𝑋 ∈ (Base‘𝐻)))
3		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 mPwSer 𝐻) = (𝐼 mPwSer 𝐻)
4		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
5		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
6		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻)) = (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻))
7		subrgascl.p	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
8		eqid 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
9		subrgasclcl.k	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
10		subrgascl.a	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)
11		subrgascl.i	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
12		subrgascl.r	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅))
13		subrgrcl 20662	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑅 ∈ Ring)
14	12, 13	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
15		subrgasclcl.x	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐾)
16	7, 5, 8, 9, 10, 11, 14, 15	mplascl 22196	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝑋) = (𝑥 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 𝑋, (0g‘𝑅))))
17	16	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴‘𝑋) ∈ 𝐵) → (𝐴‘𝑋) = (𝑥 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 𝑋, (0g‘𝑅))))
18		subrgascl.u	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑈 = (𝐼 mPoly 𝐻)
19		subrgasclcl.b	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑈)
20		subrgascl.h	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐻 = (𝑅 ↾s 𝑇)
21	20	subrgring 20660	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐻 ∈ Ring)
22	12, 21	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ Ring)
23	3, 18, 19, 11, 22	mplsubrg 22135	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (SubRing‘(𝐼 mPwSer 𝐻)))
24	6	subrgss 20658	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ (SubRing‘(𝐼 mPwSer 𝐻)) → 𝐵 ⊆ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻)))
25	23, 24	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻)))
26	25	sselda 3938	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴‘𝑋) ∈ 𝐵) → (𝐴‘𝑋) ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻)))
27	17, 26	eqeltrrd 2864	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴‘𝑋) ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 𝑋, (0g‘𝑅))) ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻)))
28	3, 4, 5, 6, 27	psrelbas 22066	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴‘𝑋) ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 𝑋, (0g‘𝑅))):{𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝐻))
29		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 𝑋, (0g‘𝑅))) = (𝑥 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 𝑋, (0g‘𝑅)))
30	29	fmpt 7107	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 𝑋, (0g‘𝑅)) ∈ (Base‘𝐻) ↔ (𝑥 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 𝑋, (0g‘𝑅))):{𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝐻))
31	28, 30	sylibr 237	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴‘𝑋) ∈ 𝐵) → ∀𝑥 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 𝑋, (0g‘𝑅)) ∈ (Base‘𝐻))
32	11	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴‘𝑋) ∈ 𝐵) → 𝐼 ∈ 𝑊)
33	5	psrbag0 22194	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑊 → (𝐼 × {0}) ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin})
34	32, 33	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴‘𝑋) ∈ 𝐵) → (𝐼 × {0}) ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin})
35	2, 31, 34	rspcdva 3583	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴‘𝑋) ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐻))
36	20	subrgbas 20667	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑇 = (Base‘𝐻))
37	12, 36	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 = (Base‘𝐻))
38	37	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴‘𝑋) ∈ 𝐵) → 𝑇 = (Base‘𝐻))
39	35, 38	eleqtrrd 2866	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴‘𝑋) ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝑇)
40		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (algSc‘𝑈) = (algSc‘𝑈)
41	7, 10, 20, 18, 11, 12, 40	subrgascl 22198	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (algSc‘𝑈) = (𝐴 ↾ 𝑇))
42	41	fveq1d 6885	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((algSc‘𝑈)‘𝑋) = ((𝐴 ↾ 𝑇)‘𝑋))
43		fvres 6902	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑇 → ((𝐴 ↾ 𝑇)‘𝑋) = (𝐴‘𝑋))
44	42, 43	sylan9eq 2818	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) → ((algSc‘𝑈)‘𝑋) = (𝐴‘𝑋))
45		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (Scalar‘𝑈) = (Scalar‘𝑈)
46	18	mplring 22149	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝐻 ∈ Ring) → 𝑈 ∈ Ring)
47	18	mpllmod 22148	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝐻 ∈ Ring) → 𝑈 ∈ LMod)
48		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑈)) = (Base‘(Scalar‘𝑈))
49	40, 45, 46, 47, 48, 19	asclf 22012	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝐻 ∈ Ring) → (algSc‘𝑈):(Base‘(Scalar‘𝑈))⟶𝐵)
50	11, 22, 49	syl2anc 595	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (algSc‘𝑈):(Base‘(Scalar‘𝑈))⟶𝐵)
51	50	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) → (algSc‘𝑈):(Base‘(Scalar‘𝑈))⟶𝐵)
52	18, 11, 22	mplsca 22143	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = (Scalar‘𝑈))
53	52	fveq2d 6887	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐻) = (Base‘(Scalar‘𝑈)))
54	37, 53	eqtrd 2798	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑇 = (Base‘(Scalar‘𝑈)))
55	54	eleq2d 2849	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝑇 ↔ 𝑋 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))))
56	55	biimpa 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) → 𝑋 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈)))
57	51, 56	ffvelcdmd 7082	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) → ((algSc‘𝑈)‘𝑋) ∈ 𝐵)
58	44, 57	eqeltrrd 2864	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) → (𝐴‘𝑋) ∈ 𝐵)
59	39, 58	impbida 812	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴‘𝑋) ∈ 𝐵 ↔ 𝑋 ∈ 𝑇))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ∀wral 3079  {crab 3416   ⊆ wss 3906  ifcif 4488  {csn 4590   ↦ cmpt 5193   × cxp 5661  ^◡ccnv 5662   ↾ cres 5665   “ cima 5666  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412   ↑_m cmap 8825  Fincfn 8944  0cc0 11101  ℕcn 12234  ℕ₀cn0 12505  Basecbs 17270   ↾_s cress 17291  Scalarcsca 17314  0_gc0g 17493  Ringcrg 20316  SubRingcsubrg 20655  algSccascl 21983   mPwSer cmps 22035   mPoly cmpl 22037

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-iin 4960  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7676  df-ofr 7677  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8158  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-1o 8454  df-2o 8455  df-er 8695  df-map 8827  df-pm 8828  df-ixp 8897  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-fin 8948  df-fsupp 9323  df-sup 9403  df-oi 9473  df-card 9926  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-nn 12235  df-2 12304  df-3 12305  df-4 12306  df-5 12307  df-6 12308  df-7 12309  df-8 12310  df-9 12311  df-n0 12506  df-z 12593  df-dec 12713  df-uz 12864  df-fz 13537  df-fzo 13685  df-seq 14040  df-hash 14369  df-struct 17208  df-sets 17225  df-slot 17243  df-ndx 17255  df-base 17271  df-ress 17292  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-ip 17329  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ds 17333  df-hom 17335  df-cco 17336  df-0g 17495  df-gsum 17496  df-prds 17501  df-pws 17503  df-mre 17639  df-mrc 17640  df-acs 17642  df-mgm 18699  df-sgrp 18778  df-mnd 18794  df-mhm 18842  df-submnd 18843  df-grp 19004  df-minusg 19005  df-sbg 19006  df-mulg 19135  df-subg 19190  df-ghm 19285  df-cntz 19388  df-cmn 19853  df-abl 19854  df-mgp 20218  df-rng 20232  df-ur 20265  df-ring 20318  df-subrng 20632  df-subrg 20656  df-lmod 20964  df-lss 21034  df-ascl 21986  df-psr 22040  df-mpl 22042

This theorem is referenced by:  subrg1asclcl  22402