MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subrgasclcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem subrgasclcl 22109
Description: The scalars in a polynomial algebra are in the subring algebra iff the scalar value is in the subring. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
subrgascl.p 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
subrgascl.a 𝐴 = (algSc‘𝑃)
subrgascl.h 𝐻 = (𝑅s 𝑇)
subrgascl.u 𝑈 = (𝐼 mPoly 𝐻)
subrgascl.i (𝜑𝐼𝑊)
subrgascl.r (𝜑𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅))
subrgasclcl.b 𝐵 = (Base‘𝑈)
subrgasclcl.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
subrgasclcl.x (𝜑𝑋𝐾)
Assertion
Ref Expression
subrgasclcl (𝜑 → ((𝐴𝑋) ∈ 𝐵𝑋𝑇))

Proof of Theorem subrgasclcl
Dummy variables 𝑥 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iftrue 4537 . . . . 5 (𝑥 = (𝐼 × {0}) → if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 𝑋, (0g𝑅)) = 𝑋)
21eleq1d 2824 . . . 4 (𝑥 = (𝐼 × {0}) → (if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 𝑋, (0g𝑅)) ∈ (Base‘𝐻) ↔ 𝑋 ∈ (Base‘𝐻)))
3 eqid 2735 . . . . . 6 (𝐼 mPwSer 𝐻) = (𝐼 mPwSer 𝐻)
4 eqid 2735 . . . . . 6 (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
5 eqid 2735 . . . . . 6 {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} = {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
6 eqid 2735 . . . . . 6 (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻)) = (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻))
7 subrgascl.p . . . . . . . . 9 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
8 eqid 2735 . . . . . . . . 9 (0g𝑅) = (0g𝑅)
9 subrgasclcl.k . . . . . . . . 9 𝐾 = (Base‘𝑅)
10 subrgascl.a . . . . . . . . 9 𝐴 = (algSc‘𝑃)
11 subrgascl.i . . . . . . . . 9 (𝜑𝐼𝑊)
12 subrgascl.r . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅))
13 subrgrcl 20593 . . . . . . . . . 10 (𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑅 ∈ Ring)
1412, 13syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
15 subrgasclcl.x . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋𝐾)
167, 5, 8, 9, 10, 11, 14, 15mplascl 22106 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴𝑋) = (𝑥 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 𝑋, (0g𝑅))))
1716adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑋) ∈ 𝐵) → (𝐴𝑋) = (𝑥 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 𝑋, (0g𝑅))))
18 subrgascl.u . . . . . . . . . 10 𝑈 = (𝐼 mPoly 𝐻)
19 subrgasclcl.b . . . . . . . . . 10 𝐵 = (Base‘𝑈)
20 subrgascl.h . . . . . . . . . . . 12 𝐻 = (𝑅s 𝑇)
2120subrgring 20591 . . . . . . . . . . 11 (𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐻 ∈ Ring)
2212, 21syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐻 ∈ Ring)
233, 18, 19, 11, 22mplsubrg 22043 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵 ∈ (SubRing‘(𝐼 mPwSer 𝐻)))
246subrgss 20589 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ (SubRing‘(𝐼 mPwSer 𝐻)) → 𝐵 ⊆ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻)))
2523, 24syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ⊆ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻)))
2625sselda 3995 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑋) ∈ 𝐵) → (𝐴𝑋) ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻)))
2717, 26eqeltrrd 2840 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑋) ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 𝑋, (0g𝑅))) ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻)))
283, 4, 5, 6, 27psrelbas 21972 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑋) ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 𝑋, (0g𝑅))):{𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝐻))
29 eqid 2735 . . . . . 6 (𝑥 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 𝑋, (0g𝑅))) = (𝑥 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 𝑋, (0g𝑅)))
3029fmpt 7130 . . . . 5 (∀𝑥 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 𝑋, (0g𝑅)) ∈ (Base‘𝐻) ↔ (𝑥 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 𝑋, (0g𝑅))):{𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝐻))
3128, 30sylibr 234 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑋) ∈ 𝐵) → ∀𝑥 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 𝑋, (0g𝑅)) ∈ (Base‘𝐻))
3211adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑋) ∈ 𝐵) → 𝐼𝑊)
335psrbag0 22104 . . . . 5 (𝐼𝑊 → (𝐼 × {0}) ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin})
3432, 33syl 17 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑋) ∈ 𝐵) → (𝐼 × {0}) ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin})
352, 31, 34rspcdva 3623 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑋) ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐻))
3620subrgbas 20598 . . . . 5 (𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑇 = (Base‘𝐻))
3712, 36syl 17 . . . 4 (𝜑𝑇 = (Base‘𝐻))
3837adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑋) ∈ 𝐵) → 𝑇 = (Base‘𝐻))
3935, 38eleqtrrd 2842 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑋) ∈ 𝐵) → 𝑋𝑇)
40 eqid 2735 . . . . . 6 (algSc‘𝑈) = (algSc‘𝑈)
417, 10, 20, 18, 11, 12, 40subrgascl 22108 . . . . 5 (𝜑 → (algSc‘𝑈) = (𝐴𝑇))
4241fveq1d 6909 . . . 4 (𝜑 → ((algSc‘𝑈)‘𝑋) = ((𝐴𝑇)‘𝑋))
43 fvres 6926 . . . 4 (𝑋𝑇 → ((𝐴𝑇)‘𝑋) = (𝐴𝑋))
4442, 43sylan9eq 2795 . . 3 ((𝜑𝑋𝑇) → ((algSc‘𝑈)‘𝑋) = (𝐴𝑋))
45 eqid 2735 . . . . . . 7 (Scalar‘𝑈) = (Scalar‘𝑈)
4618mplring 22057 . . . . . . 7 ((𝐼𝑊𝐻 ∈ Ring) → 𝑈 ∈ Ring)
4718mpllmod 22056 . . . . . . 7 ((𝐼𝑊𝐻 ∈ Ring) → 𝑈 ∈ LMod)
48 eqid 2735 . . . . . . 7 (Base‘(Scalar‘𝑈)) = (Base‘(Scalar‘𝑈))
4940, 45, 46, 47, 48, 19asclf 21920 . . . . . 6 ((𝐼𝑊𝐻 ∈ Ring) → (algSc‘𝑈):(Base‘(Scalar‘𝑈))⟶𝐵)
5011, 22, 49syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑 → (algSc‘𝑈):(Base‘(Scalar‘𝑈))⟶𝐵)
5150adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑋𝑇) → (algSc‘𝑈):(Base‘(Scalar‘𝑈))⟶𝐵)
5218, 11, 22mplsca 22051 . . . . . . . 8 (𝜑𝐻 = (Scalar‘𝑈))
5352fveq2d 6911 . . . . . . 7 (𝜑 → (Base‘𝐻) = (Base‘(Scalar‘𝑈)))
5437, 53eqtrd 2775 . . . . . 6 (𝜑𝑇 = (Base‘(Scalar‘𝑈)))
5554eleq2d 2825 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋𝑇𝑋 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))))
5655biimpa 476 . . . 4 ((𝜑𝑋𝑇) → 𝑋 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈)))
5751, 56ffvelcdmd 7105 . . 3 ((𝜑𝑋𝑇) → ((algSc‘𝑈)‘𝑋) ∈ 𝐵)
5844, 57eqeltrrd 2840 . 2 ((𝜑𝑋𝑇) → (𝐴𝑋) ∈ 𝐵)
5939, 58impbida 801 1 (𝜑 → ((𝐴𝑋) ∈ 𝐵𝑋𝑇))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wral 3059  {crab 3433  wss 3963  ifcif 4531  {csn 4631  cmpt 5231   × cxp 5687  ccnv 5688  cres 5691  cima 5692  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  m cmap 8865  Fincfn 8984  0cc0 11153  cn 12264  0cn0 12524  Basecbs 17245  s cress 17274  Scalarcsca 17301  0gc0g 17486  Ringcrg 20251  SubRingcsubrg 20586  algSccascl 21890   mPwSer cmps 21942   mPoly cmpl 21944
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-ofr 7698  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-sup 9480  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-hash 14367  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-hom 17322  df-cco 17323  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-prds 17494  df-pws 17496  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-mhm 18809  df-submnd 18810  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-sbg 18969  df-mulg 19099  df-subg 19154  df-ghm 19244  df-cntz 19348  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-ring 20253  df-subrng 20563  df-subrg 20587  df-lmod 20877  df-lss 20948  df-ascl 21893  df-psr 21947  df-mpl 21949
This theorem is referenced by:  subrg1asclcl  22279
  Copyright terms: Public domain W3C validator