MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subrgasclcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem subrgasclcl 20207
Description: The scalars in a polynomial algebra are in the subring algebra iff the scalar value is in the subring. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
subrgascl.p 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
subrgascl.a 𝐴 = (algSc‘𝑃)
subrgascl.h 𝐻 = (𝑅s 𝑇)
subrgascl.u 𝑈 = (𝐼 mPoly 𝐻)
subrgascl.i (𝜑𝐼𝑊)
subrgascl.r (𝜑𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅))
subrgasclcl.b 𝐵 = (Base‘𝑈)
subrgasclcl.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
subrgasclcl.x (𝜑𝑋𝐾)
Assertion
Ref Expression
subrgasclcl (𝜑 → ((𝐴𝑋) ∈ 𝐵𝑋𝑇))

Proof of Theorem subrgasclcl
Dummy variables 𝑥 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iftrue 4469 . . . . 5 (𝑥 = (𝐼 × {0}) → if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 𝑋, (0g𝑅)) = 𝑋)
21eleq1d 2894 . . . 4 (𝑥 = (𝐼 × {0}) → (if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 𝑋, (0g𝑅)) ∈ (Base‘𝐻) ↔ 𝑋 ∈ (Base‘𝐻)))
3 eqid 2818 . . . . . 6 (𝐼 mPwSer 𝐻) = (𝐼 mPwSer 𝐻)
4 eqid 2818 . . . . . 6 (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
5 eqid 2818 . . . . . 6 {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} = {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
6 eqid 2818 . . . . . 6 (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻)) = (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻))
7 subrgascl.p . . . . . . . . 9 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
8 eqid 2818 . . . . . . . . 9 (0g𝑅) = (0g𝑅)
9 subrgasclcl.k . . . . . . . . 9 𝐾 = (Base‘𝑅)
10 subrgascl.a . . . . . . . . 9 𝐴 = (algSc‘𝑃)
11 subrgascl.i . . . . . . . . 9 (𝜑𝐼𝑊)
12 subrgascl.r . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅))
13 subrgrcl 19469 . . . . . . . . . 10 (𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑅 ∈ Ring)
1412, 13syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
15 subrgasclcl.x . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋𝐾)
167, 5, 8, 9, 10, 11, 14, 15mplascl 20204 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴𝑋) = (𝑥 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 𝑋, (0g𝑅))))
1716adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑋) ∈ 𝐵) → (𝐴𝑋) = (𝑥 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 𝑋, (0g𝑅))))
18 subrgascl.u . . . . . . . . . 10 𝑈 = (𝐼 mPoly 𝐻)
19 subrgasclcl.b . . . . . . . . . 10 𝐵 = (Base‘𝑈)
20 subrgascl.h . . . . . . . . . . . 12 𝐻 = (𝑅s 𝑇)
2120subrgring 19467 . . . . . . . . . . 11 (𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐻 ∈ Ring)
2212, 21syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐻 ∈ Ring)
233, 18, 19, 11, 22mplsubrg 20148 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵 ∈ (SubRing‘(𝐼 mPwSer 𝐻)))
246subrgss 19465 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ (SubRing‘(𝐼 mPwSer 𝐻)) → 𝐵 ⊆ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻)))
2523, 24syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ⊆ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻)))
2625sselda 3964 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑋) ∈ 𝐵) → (𝐴𝑋) ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻)))
2717, 26eqeltrrd 2911 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑋) ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 𝑋, (0g𝑅))) ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻)))
283, 4, 5, 6, 27psrelbas 20087 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑋) ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 𝑋, (0g𝑅))):{𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝐻))
29 eqid 2818 . . . . . 6 (𝑥 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 𝑋, (0g𝑅))) = (𝑥 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 𝑋, (0g𝑅)))
3029fmpt 6866 . . . . 5 (∀𝑥 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 𝑋, (0g𝑅)) ∈ (Base‘𝐻) ↔ (𝑥 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 𝑋, (0g𝑅))):{𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝐻))
3128, 30sylibr 235 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑋) ∈ 𝐵) → ∀𝑥 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 𝑋, (0g𝑅)) ∈ (Base‘𝐻))
3211adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑋) ∈ 𝐵) → 𝐼𝑊)
335psrbag0 20202 . . . . 5 (𝐼𝑊 → (𝐼 × {0}) ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin})
3432, 33syl 17 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑋) ∈ 𝐵) → (𝐼 × {0}) ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin})
352, 31, 34rspcdva 3622 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑋) ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐻))
3620subrgbas 19473 . . . . 5 (𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑇 = (Base‘𝐻))
3712, 36syl 17 . . . 4 (𝜑𝑇 = (Base‘𝐻))
3837adantr 481 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑋) ∈ 𝐵) → 𝑇 = (Base‘𝐻))
3935, 38eleqtrrd 2913 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑋) ∈ 𝐵) → 𝑋𝑇)
40 eqid 2818 . . . . . 6 (algSc‘𝑈) = (algSc‘𝑈)
417, 10, 20, 18, 11, 12, 40subrgascl 20206 . . . . 5 (𝜑 → (algSc‘𝑈) = (𝐴𝑇))
4241fveq1d 6665 . . . 4 (𝜑 → ((algSc‘𝑈)‘𝑋) = ((𝐴𝑇)‘𝑋))
43 fvres 6682 . . . 4 (𝑋𝑇 → ((𝐴𝑇)‘𝑋) = (𝐴𝑋))
4442, 43sylan9eq 2873 . . 3 ((𝜑𝑋𝑇) → ((algSc‘𝑈)‘𝑋) = (𝐴𝑋))
45 eqid 2818 . . . . . . 7 (Scalar‘𝑈) = (Scalar‘𝑈)
4618mplring 20160 . . . . . . 7 ((𝐼𝑊𝐻 ∈ Ring) → 𝑈 ∈ Ring)
4718mpllmod 20159 . . . . . . 7 ((𝐼𝑊𝐻 ∈ Ring) → 𝑈 ∈ LMod)
48 eqid 2818 . . . . . . 7 (Base‘(Scalar‘𝑈)) = (Base‘(Scalar‘𝑈))
4940, 45, 46, 47, 48, 19asclf 20039 . . . . . 6 ((𝐼𝑊𝐻 ∈ Ring) → (algSc‘𝑈):(Base‘(Scalar‘𝑈))⟶𝐵)
5011, 22, 49syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑 → (algSc‘𝑈):(Base‘(Scalar‘𝑈))⟶𝐵)
5150adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑋𝑇) → (algSc‘𝑈):(Base‘(Scalar‘𝑈))⟶𝐵)
5218, 11, 22mplsca 20153 . . . . . . . 8 (𝜑𝐻 = (Scalar‘𝑈))
5352fveq2d 6667 . . . . . . 7 (𝜑 → (Base‘𝐻) = (Base‘(Scalar‘𝑈)))
5437, 53eqtrd 2853 . . . . . 6 (𝜑𝑇 = (Base‘(Scalar‘𝑈)))
5554eleq2d 2895 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋𝑇𝑋 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))))
5655biimpa 477 . . . 4 ((𝜑𝑋𝑇) → 𝑋 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈)))
5751, 56ffvelrnd 6844 . . 3 ((𝜑𝑋𝑇) → ((algSc‘𝑈)‘𝑋) ∈ 𝐵)
5844, 57eqeltrrd 2911 . 2 ((𝜑𝑋𝑇) → (𝐴𝑋) ∈ 𝐵)
5939, 58impbida 797 1 (𝜑 → ((𝐴𝑋) ∈ 𝐵𝑋𝑇))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  wral 3135  {crab 3139  wss 3933  ifcif 4463  {csn 4557  cmpt 5137   × cxp 5546  ccnv 5547  cres 5550  cima 5551  wf 6344  cfv 6348  (class class class)co 7145  m cmap 8395  Fincfn 8497  0cc0 10525  cn 11626  0cn0 11885  Basecbs 16471  s cress 16472  Scalarcsca 16556  0gc0g 16701  Ringcrg 19226  SubRingcsubrg 19460  algSccascl 20012   mPwSer cmps 20059   mPoly cmpl 20061
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-iin 4913  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-of 7398  df-ofr 7399  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-supp 7820  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-2o 8092  df-oadd 8095  df-er 8278  df-map 8397  df-pm 8398  df-ixp 8450  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-fsupp 8822  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12881  df-fzo 13022  df-seq 13358  df-hash 13679  df-struct 16473  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-sets 16478  df-ress 16479  df-plusg 16566  df-mulr 16567  df-sca 16569  df-vsca 16570  df-tset 16572  df-0g 16703  df-gsum 16704  df-mre 16845  df-mrc 16846  df-acs 16848  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-mhm 17944  df-submnd 17945  df-grp 18044  df-minusg 18045  df-sbg 18046  df-mulg 18163  df-subg 18214  df-ghm 18294  df-cntz 18385  df-cmn 18837  df-abl 18838  df-mgp 19169  df-ur 19181  df-ring 19228  df-subrg 19462  df-lmod 19565  df-lss 19633  df-ascl 20015  df-psr 20064  df-mpl 20066
This theorem is referenced by:  subrg1asclcl  20356
  Copyright terms: Public domain W3C validator