Theorem subrgasclcl 22045

Description: The scalars in a polynomial algebra are in the subring algebra iff the scalar value is in the subring. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jul-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
subrgascl.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
subrgascl.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)
subrgascl.h	⊢ 𝐻 = (𝑅 ↾s 𝑇)
subrgascl.u	⊢ 𝑈 = (𝐼 mPoly 𝐻)
subrgascl.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
subrgascl.r	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅))
subrgasclcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑈)
subrgasclcl.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
subrgasclcl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐾)

Assertion

Ref	Expression
subrgasclcl	⊢ (𝜑 → ((𝐴‘𝑋) ∈ 𝐵 ↔ 𝑋 ∈ 𝑇))

Proof of Theorem subrgasclcl

Dummy variables 𝑥 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iftrue 4472	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝐼 × {0}) → if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 𝑋, (0g‘𝑅)) = 𝑋)
2	1	eleq1d 2821	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝐼 × {0}) → (if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 𝑋, (0g‘𝑅)) ∈ (Base‘𝐻) ↔ 𝑋 ∈ (Base‘𝐻)))
3		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 mPwSer 𝐻) = (𝐼 mPwSer 𝐻)
4		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
5		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
6		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻)) = (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻))
7		subrgascl.p	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
8		eqid 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
9		subrgasclcl.k	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
10		subrgascl.a	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)
11		subrgascl.i	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
12		subrgascl.r	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅))
13		subrgrcl 20553	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑅 ∈ Ring)
14	12, 13	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
15		subrgasclcl.x	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐾)
16	7, 5, 8, 9, 10, 11, 14, 15	mplascl 22042	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝑋) = (𝑥 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 𝑋, (0g‘𝑅))))
17	16	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴‘𝑋) ∈ 𝐵) → (𝐴‘𝑋) = (𝑥 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 𝑋, (0g‘𝑅))))
18		subrgascl.u	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑈 = (𝐼 mPoly 𝐻)
19		subrgasclcl.b	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑈)
20		subrgascl.h	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐻 = (𝑅 ↾s 𝑇)
21	20	subrgring 20551	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐻 ∈ Ring)
22	12, 21	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ Ring)
23	3, 18, 19, 11, 22	mplsubrg 21983	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (SubRing‘(𝐼 mPwSer 𝐻)))
24	6	subrgss 20549	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ (SubRing‘(𝐼 mPwSer 𝐻)) → 𝐵 ⊆ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻)))
25	23, 24	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻)))
26	25	sselda 3921	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴‘𝑋) ∈ 𝐵) → (𝐴‘𝑋) ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻)))
27	17, 26	eqeltrrd 2837	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴‘𝑋) ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 𝑋, (0g‘𝑅))) ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻)))
28	3, 4, 5, 6, 27	psrelbas 21914	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴‘𝑋) ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 𝑋, (0g‘𝑅))):{𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝐻))
29		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 𝑋, (0g‘𝑅))) = (𝑥 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 𝑋, (0g‘𝑅)))
30	29	fmpt 7062	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 𝑋, (0g‘𝑅)) ∈ (Base‘𝐻) ↔ (𝑥 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 𝑋, (0g‘𝑅))):{𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝐻))
31	28, 30	sylibr 234	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴‘𝑋) ∈ 𝐵) → ∀𝑥 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 𝑋, (0g‘𝑅)) ∈ (Base‘𝐻))
32	11	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴‘𝑋) ∈ 𝐵) → 𝐼 ∈ 𝑊)
33	5	psrbag0 22040	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑊 → (𝐼 × {0}) ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin})
34	32, 33	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴‘𝑋) ∈ 𝐵) → (𝐼 × {0}) ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin})
35	2, 31, 34	rspcdva 3565	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴‘𝑋) ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐻))
36	20	subrgbas 20558	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑇 = (Base‘𝐻))
37	12, 36	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 = (Base‘𝐻))
38	37	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴‘𝑋) ∈ 𝐵) → 𝑇 = (Base‘𝐻))
39	35, 38	eleqtrrd 2839	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴‘𝑋) ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝑇)
40		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (algSc‘𝑈) = (algSc‘𝑈)
41	7, 10, 20, 18, 11, 12, 40	subrgascl 22044	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (algSc‘𝑈) = (𝐴 ↾ 𝑇))
42	41	fveq1d 6842	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((algSc‘𝑈)‘𝑋) = ((𝐴 ↾ 𝑇)‘𝑋))
43		fvres 6859	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑇 → ((𝐴 ↾ 𝑇)‘𝑋) = (𝐴‘𝑋))
44	42, 43	sylan9eq 2791	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) → ((algSc‘𝑈)‘𝑋) = (𝐴‘𝑋))
45		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (Scalar‘𝑈) = (Scalar‘𝑈)
46	18	mplring 21997	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝐻 ∈ Ring) → 𝑈 ∈ Ring)
47	18	mpllmod 21996	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝐻 ∈ Ring) → 𝑈 ∈ LMod)
48		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑈)) = (Base‘(Scalar‘𝑈))
49	40, 45, 46, 47, 48, 19	asclf 21861	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝐻 ∈ Ring) → (algSc‘𝑈):(Base‘(Scalar‘𝑈))⟶𝐵)
50	11, 22, 49	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (algSc‘𝑈):(Base‘(Scalar‘𝑈))⟶𝐵)
51	50	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) → (algSc‘𝑈):(Base‘(Scalar‘𝑈))⟶𝐵)
52	18, 11, 22	mplsca 21991	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = (Scalar‘𝑈))
53	52	fveq2d 6844	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐻) = (Base‘(Scalar‘𝑈)))
54	37, 53	eqtrd 2771	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑇 = (Base‘(Scalar‘𝑈)))
55	54	eleq2d 2822	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝑇 ↔ 𝑋 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))))
56	55	biimpa 476	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) → 𝑋 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈)))
57	51, 56	ffvelcdmd 7037	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) → ((algSc‘𝑈)‘𝑋) ∈ 𝐵)
58	44, 57	eqeltrrd 2837	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) → (𝐴‘𝑋) ∈ 𝐵)
59	39, 58	impbida 801	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴‘𝑋) ∈ 𝐵 ↔ 𝑋 ∈ 𝑇))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3051  {crab 3389   ⊆ wss 3889  ifcif 4466  {csn 4567   ↦ cmpt 5166   × cxp 5629  ^◡ccnv 5630   ↾ cres 5633   “ cima 5634  ⟶wf 6494  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367   ↑_m cmap 8773  Fincfn 8893  0cc0 11038  ℕcn 12174  ℕ₀cn0 12437  Basecbs 17179   ↾_s cress 17200  Scalarcsca 17223  0_gc0g 17402  Ringcrg 20214  SubRingcsubrg 20546  algSccascl 21832   mPwSer cmps 21884   mPoly cmpl 21886

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-iin 4936  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-isom 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-of 7631  df-ofr 7632  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-supp 8111  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-2o 8406  df-er 8643  df-map 8775  df-pm 8776  df-ixp 8846  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-fsupp 9275  df-sup 9355  df-oi 9425  df-card 9863  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-7 12249  df-8 12250  df-9 12251  df-n0 12438  df-z 12525  df-dec 12645  df-uz 12789  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-seq 13964  df-hash 14293  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-ip 17238  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-hom 17244  df-cco 17245  df-0g 17404  df-gsum 17405  df-prds 17410  df-pws 17412  df-mre 17548  df-mrc 17549  df-acs 17551  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-mhm 18751  df-submnd 18752  df-grp 18912  df-minusg 18913  df-sbg 18914  df-mulg 19044  df-subg 19099  df-ghm 19188  df-cntz 19292  df-cmn 19757  df-abl 19758  df-mgp 20122  df-rng 20134  df-ur 20163  df-ring 20216  df-subrng 20523  df-subrg 20547  df-lmod 20857  df-lss 20927  df-ascl 21835  df-psr 21889  df-mpl 21891

This theorem is referenced by:  subrg1asclcl  22225