Theorem subrgasclcl 21475

Description: The scalars in a polynomial algebra are in the subring algebra iff the scalar value is in the subring. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jul-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
subrgascl.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
subrgascl.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)
subrgascl.h	⊢ 𝐻 = (𝑅 ↾s 𝑇)
subrgascl.u	⊢ 𝑈 = (𝐼 mPoly 𝐻)
subrgascl.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
subrgascl.r	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅))
subrgasclcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑈)
subrgasclcl.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
subrgasclcl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐾)

Assertion

Ref	Expression
subrgasclcl	⊢ (𝜑 → ((𝐴‘𝑋) ∈ 𝐵 ↔ 𝑋 ∈ 𝑇))

Proof of Theorem subrgasclcl

Dummy variables 𝑥 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iftrue 4492	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝐼 × {0}) → if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 𝑋, (0g‘𝑅)) = 𝑋)
2	1	eleq1d 2822	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝐼 × {0}) → (if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 𝑋, (0g‘𝑅)) ∈ (Base‘𝐻) ↔ 𝑋 ∈ (Base‘𝐻)))
3		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 mPwSer 𝐻) = (𝐼 mPwSer 𝐻)
4		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
5		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
6		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻)) = (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻))
7		subrgascl.p	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
8		eqid 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
9		subrgasclcl.k	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
10		subrgascl.a	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)
11		subrgascl.i	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
12		subrgascl.r	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅))
13		subrgrcl 20227	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑅 ∈ Ring)
14	12, 13	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
15		subrgasclcl.x	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐾)
16	7, 5, 8, 9, 10, 11, 14, 15	mplascl 21472	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝑋) = (𝑥 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 𝑋, (0g‘𝑅))))
17	16	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴‘𝑋) ∈ 𝐵) → (𝐴‘𝑋) = (𝑥 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 𝑋, (0g‘𝑅))))
18		subrgascl.u	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑈 = (𝐼 mPoly 𝐻)
19		subrgasclcl.b	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑈)
20		subrgascl.h	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐻 = (𝑅 ↾s 𝑇)
21	20	subrgring 20225	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐻 ∈ Ring)
22	12, 21	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ Ring)
23	3, 18, 19, 11, 22	mplsubrg 21411	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (SubRing‘(𝐼 mPwSer 𝐻)))
24	6	subrgss 20223	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ (SubRing‘(𝐼 mPwSer 𝐻)) → 𝐵 ⊆ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻)))
25	23, 24	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻)))
26	25	sselda 3944	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴‘𝑋) ∈ 𝐵) → (𝐴‘𝑋) ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻)))
27	17, 26	eqeltrrd 2839	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴‘𝑋) ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 𝑋, (0g‘𝑅))) ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻)))
28	3, 4, 5, 6, 27	psrelbas 21347	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴‘𝑋) ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 𝑋, (0g‘𝑅))):{𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝐻))
29		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 𝑋, (0g‘𝑅))) = (𝑥 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 𝑋, (0g‘𝑅)))
30	29	fmpt 7058	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 𝑋, (0g‘𝑅)) ∈ (Base‘𝐻) ↔ (𝑥 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 𝑋, (0g‘𝑅))):{𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝐻))
31	28, 30	sylibr 233	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴‘𝑋) ∈ 𝐵) → ∀𝑥 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 𝑋, (0g‘𝑅)) ∈ (Base‘𝐻))
32	11	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴‘𝑋) ∈ 𝐵) → 𝐼 ∈ 𝑊)
33	5	psrbag0 21470	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑊 → (𝐼 × {0}) ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin})
34	32, 33	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴‘𝑋) ∈ 𝐵) → (𝐼 × {0}) ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin})
35	2, 31, 34	rspcdva 3582	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴‘𝑋) ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐻))
36	20	subrgbas 20231	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑇 = (Base‘𝐻))
37	12, 36	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 = (Base‘𝐻))
38	37	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴‘𝑋) ∈ 𝐵) → 𝑇 = (Base‘𝐻))
39	35, 38	eleqtrrd 2841	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴‘𝑋) ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝑇)
40		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (algSc‘𝑈) = (algSc‘𝑈)
41	7, 10, 20, 18, 11, 12, 40	subrgascl 21474	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (algSc‘𝑈) = (𝐴 ↾ 𝑇))
42	41	fveq1d 6844	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((algSc‘𝑈)‘𝑋) = ((𝐴 ↾ 𝑇)‘𝑋))
43		fvres 6861	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑇 → ((𝐴 ↾ 𝑇)‘𝑋) = (𝐴‘𝑋))
44	42, 43	sylan9eq 2796	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) → ((algSc‘𝑈)‘𝑋) = (𝐴‘𝑋))
45		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (Scalar‘𝑈) = (Scalar‘𝑈)
46	18	mplring 21424	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝐻 ∈ Ring) → 𝑈 ∈ Ring)
47	18	mpllmod 21423	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝐻 ∈ Ring) → 𝑈 ∈ LMod)
48		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑈)) = (Base‘(Scalar‘𝑈))
49	40, 45, 46, 47, 48, 19	asclf 21285	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝐻 ∈ Ring) → (algSc‘𝑈):(Base‘(Scalar‘𝑈))⟶𝐵)
50	11, 22, 49	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (algSc‘𝑈):(Base‘(Scalar‘𝑈))⟶𝐵)
51	50	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) → (algSc‘𝑈):(Base‘(Scalar‘𝑈))⟶𝐵)
52	18, 11, 22	mplsca 21417	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = (Scalar‘𝑈))
53	52	fveq2d 6846	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐻) = (Base‘(Scalar‘𝑈)))
54	37, 53	eqtrd 2776	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑇 = (Base‘(Scalar‘𝑈)))
55	54	eleq2d 2823	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝑇 ↔ 𝑋 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))))
56	55	biimpa 477	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) → 𝑋 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈)))
57	51, 56	ffvelcdmd 7036	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) → ((algSc‘𝑈)‘𝑋) ∈ 𝐵)
58	44, 57	eqeltrrd 2839	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) → (𝐴‘𝑋) ∈ 𝐵)
59	39, 58	impbida 799	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴‘𝑋) ∈ 𝐵 ↔ 𝑋 ∈ 𝑇))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064  {crab 3407   ⊆ wss 3910  ifcif 4486  {csn 4586   ↦ cmpt 5188   × cxp 5631  ^◡ccnv 5632   ↾ cres 5635   “ cima 5636  ⟶wf 6492  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357   ↑_m cmap 8765  Fincfn 8883  0cc0 11051  ℕcn 12153  ℕ₀cn0 12413  Basecbs 17083   ↾_s cress 17112  Scalarcsca 17136  0_gc0g 17321  Ringcrg 19964  SubRingcsubrg 20218  algSccascl 21258   mPwSer cmps 21306   mPoly cmpl 21308

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-ofr 7618  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-sup 9378  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-seq 13907  df-hash 14231  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-hom 17157  df-cco 17158  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-prds 17329  df-pws 17331  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-mhm 18601  df-submnd 18602  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-sbg 18753  df-mulg 18873  df-subg 18925  df-ghm 19006  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-abl 19565  df-mgp 19897  df-ur 19914  df-ring 19966  df-subrg 20220  df-lmod 20324  df-lss 20393  df-ascl 21261  df-psr 21311  df-mpl 21313

This theorem is referenced by:  subrg1asclcl  21631