MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subrgasclcl Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem subrgasclcl 21989
Description: The scalars in a polynomial algebra are in the subring algebra iff the scalar value is in the subring. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
subrgascl.p 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
subrgascl.a 𝐴 = (algScβ€˜π‘ƒ)
subrgascl.h 𝐻 = (𝑅 β†Ύs 𝑇)
subrgascl.u π‘ˆ = (𝐼 mPoly 𝐻)
subrgascl.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ π‘Š)
subrgascl.r (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ (SubRingβ€˜π‘…))
subrgasclcl.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
subrgasclcl.k 𝐾 = (Baseβ€˜π‘…)
subrgasclcl.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐾)
Assertion
Ref Expression
subrgasclcl (πœ‘ β†’ ((π΄β€˜π‘‹) ∈ 𝐡 ↔ 𝑋 ∈ 𝑇))
Proof of Theorem subrgasclcl
Dummy variables π‘₯ 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iftrue 4530 . . . . 5 (π‘₯ = (𝐼 Γ— {0}) β†’ if(π‘₯ = (𝐼 Γ— {0}), 𝑋, (0gβ€˜π‘…)) = 𝑋)
21eleq1d 2813 . . . 4 (π‘₯ = (𝐼 Γ— {0}) β†’ (if(π‘₯ = (𝐼 Γ— {0}), 𝑋, (0gβ€˜π‘…)) ∈ (Baseβ€˜π») ↔ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π»)))
3 eqid 2727 . . . . . 6 (𝐼 mPwSer 𝐻) = (𝐼 mPwSer 𝐻)
4 eqid 2727 . . . . . 6 (Baseβ€˜π») = (Baseβ€˜π»)
5 eqid 2727 . . . . . 6 {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} = {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}
6 eqid 2727 . . . . . 6 (Baseβ€˜(𝐼 mPwSer 𝐻)) = (Baseβ€˜(𝐼 mPwSer 𝐻))
7 subrgascl.p . . . . . . . . 9 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
8 eqid 2727 . . . . . . . . 9 (0gβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…)
9 subrgasclcl.k . . . . . . . . 9 𝐾 = (Baseβ€˜π‘…)
10 subrgascl.a . . . . . . . . 9 𝐴 = (algScβ€˜π‘ƒ)
11 subrgascl.i . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ π‘Š)
12 subrgascl.r . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ (SubRingβ€˜π‘…))
13 subrgrcl 20497 . . . . . . . . . 10 (𝑇 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
1412, 13syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
15 subrgasclcl.x . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐾)
167, 5, 8, 9, 10, 11, 14, 15mplascl 21986 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π΄β€˜π‘‹) = (π‘₯ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ if(π‘₯ = (𝐼 Γ— {0}), 𝑋, (0gβ€˜π‘…))))
1716adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π΄β€˜π‘‹) ∈ 𝐡) β†’ (π΄β€˜π‘‹) = (π‘₯ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ if(π‘₯ = (𝐼 Γ— {0}), 𝑋, (0gβ€˜π‘…))))
18 subrgascl.u . . . . . . . . . 10 π‘ˆ = (𝐼 mPoly 𝐻)
19 subrgasclcl.b . . . . . . . . . 10 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
20 subrgascl.h . . . . . . . . . . . 12 𝐻 = (𝑅 β†Ύs 𝑇)
2120subrgring 20495 . . . . . . . . . . 11 (𝑇 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ 𝐻 ∈ Ring)
2212, 21syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ Ring)
233, 18, 19, 11, 22mplsubrg 21925 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ (SubRingβ€˜(𝐼 mPwSer 𝐻)))
246subrgss 20493 . . . . . . . . 9 (𝐡 ∈ (SubRingβ€˜(𝐼 mPwSer 𝐻)) β†’ 𝐡 βŠ† (Baseβ€˜(𝐼 mPwSer 𝐻)))
2523, 24syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† (Baseβ€˜(𝐼 mPwSer 𝐻)))
2625sselda 3978 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π΄β€˜π‘‹) ∈ 𝐡) β†’ (π΄β€˜π‘‹) ∈ (Baseβ€˜(𝐼 mPwSer 𝐻)))
2717, 26eqeltrrd 2829 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π΄β€˜π‘‹) ∈ 𝐡) β†’ (π‘₯ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ if(π‘₯ = (𝐼 Γ— {0}), 𝑋, (0gβ€˜π‘…))) ∈ (Baseβ€˜(𝐼 mPwSer 𝐻)))
283, 4, 5, 6, 27psrelbas 21858 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π΄β€˜π‘‹) ∈ 𝐡) β†’ (π‘₯ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ if(π‘₯ = (𝐼 Γ— {0}), 𝑋, (0gβ€˜π‘…))):{𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}⟢(Baseβ€˜π»))
29 eqid 2727 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ if(π‘₯ = (𝐼 Γ— {0}), 𝑋, (0gβ€˜π‘…))) = (π‘₯ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ if(π‘₯ = (𝐼 Γ— {0}), 𝑋, (0gβ€˜π‘…)))
3029fmpt 7114 . . . . 5 (βˆ€π‘₯ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}if(π‘₯ = (𝐼 Γ— {0}), 𝑋, (0gβ€˜π‘…)) ∈ (Baseβ€˜π») ↔ (π‘₯ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ if(π‘₯ = (𝐼 Γ— {0}), 𝑋, (0gβ€˜π‘…))):{𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}⟢(Baseβ€˜π»))
3128, 30sylibr 233 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π΄β€˜π‘‹) ∈ 𝐡) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}if(π‘₯ = (𝐼 Γ— {0}), 𝑋, (0gβ€˜π‘…)) ∈ (Baseβ€˜π»))
3211adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π΄β€˜π‘‹) ∈ 𝐡) β†’ 𝐼 ∈ π‘Š)
335psrbag0 21984 . . . . 5 (𝐼 ∈ π‘Š β†’ (𝐼 Γ— {0}) ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin})
3432, 33syl 17 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π΄β€˜π‘‹) ∈ 𝐡) β†’ (𝐼 Γ— {0}) ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin})
352, 31, 34rspcdva 3608 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π΄β€˜π‘‹) ∈ 𝐡) β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π»))
3620subrgbas 20502 . . . . 5 (𝑇 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ 𝑇 = (Baseβ€˜π»))
3712, 36syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑇 = (Baseβ€˜π»))
3837adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π΄β€˜π‘‹) ∈ 𝐡) β†’ 𝑇 = (Baseβ€˜π»))
3935, 38eleqtrrd 2831 . 2 ((πœ‘ ∧ (π΄β€˜π‘‹) ∈ 𝐡) β†’ 𝑋 ∈ 𝑇)
40 eqid 2727 . . . . . 6 (algScβ€˜π‘ˆ) = (algScβ€˜π‘ˆ)
417, 10, 20, 18, 11, 12, 40subrgascl 21988 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (algScβ€˜π‘ˆ) = (𝐴 β†Ύ 𝑇))
4241fveq1d 6893 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((algScβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘‹) = ((𝐴 β†Ύ 𝑇)β€˜π‘‹))
43 fvres 6910 . . . 4 (𝑋 ∈ 𝑇 β†’ ((𝐴 β†Ύ 𝑇)β€˜π‘‹) = (π΄β€˜π‘‹))
4442, 43sylan9eq 2787 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) β†’ ((algScβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘‹) = (π΄β€˜π‘‹))
45 eqid 2727 . . . . . . 7 (Scalarβ€˜π‘ˆ) = (Scalarβ€˜π‘ˆ)
4618mplring 21939 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝐻 ∈ Ring) β†’ π‘ˆ ∈ Ring)
4718mpllmod 21938 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝐻 ∈ Ring) β†’ π‘ˆ ∈ LMod)
48 eqid 2727 . . . . . . 7 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ))
4940, 45, 46, 47, 48, 19asclf 21795 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝐻 ∈ Ring) β†’ (algScβ€˜π‘ˆ):(Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ))⟢𝐡)
5011, 22, 49syl2anc 583 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (algScβ€˜π‘ˆ):(Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ))⟢𝐡)
5150adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) β†’ (algScβ€˜π‘ˆ):(Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ))⟢𝐡)
5218, 11, 22mplsca 21933 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐻 = (Scalarβ€˜π‘ˆ))
5352fveq2d 6895 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜π») = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ)))
5437, 53eqtrd 2767 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑇 = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ)))
5554eleq2d 2814 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∈ 𝑇 ↔ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ))))
5655biimpa 476 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ˆ)))
5751, 56ffvelcdmd 7089 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) β†’ ((algScβ€˜π‘ˆ)β€˜π‘‹) ∈ 𝐡)
5844, 57eqeltrrd 2829 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) β†’ (π΄β€˜π‘‹) ∈ 𝐡)
5939, 58impbida 800 1 (πœ‘ β†’ ((π΄β€˜π‘‹) ∈ 𝐡 ↔ 𝑋 ∈ 𝑇))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  βˆ€wral 3056  {crab 3427   βŠ† wss 3944  ifcif 4524  {csn 4624   ↦ cmpt 5225   Γ— cxp 5670  β—‘ccnv 5671   β†Ύ cres 5674   β€œ cima 5675  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414   ↑m cmap 8834  Fincfn 8953  0cc0 11124  β„•cn 12228  β„•0cn0 12488  Basecbs 17165   β†Ύs cress 17194  Scalarcsca 17221  0gc0g 17406  Ringcrg 20157  SubRingcsubrg 20488  algSccascl 21766   mPwSer cmps 21817   mPoly cmpl 21819
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7677  df-ofr 7678  df-om 7863  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-supp 8158  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-er 8716  df-map 8836  df-pm 8837  df-ixp 8906  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-fsupp 9376  df-sup 9451  df-oi 9519  df-card 9948  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-nn 12229  df-2 12291  df-3 12292  df-4 12293  df-5 12294  df-6 12295  df-7 12296  df-8 12297  df-9 12298  df-n0 12489  df-z 12575  df-dec 12694  df-uz 12839  df-fz 13503  df-fzo 13646  df-seq 13985  df-hash 14308  df-struct 17101  df-sets 17118  df-slot 17136  df-ndx 17148  df-base 17166  df-ress 17195  df-plusg 17231  df-mulr 17232  df-sca 17234  df-vsca 17235  df-ip 17236  df-tset 17237  df-ple 17238  df-ds 17240  df-hom 17242  df-cco 17243  df-0g 17408  df-gsum 17409  df-prds 17414  df-pws 17416  df-mre 17551  df-mrc 17552  df-acs 17554  df-mgm 18585  df-sgrp 18664  df-mnd 18680  df-mhm 18725  df-submnd 18726  df-grp 18878  df-minusg 18879  df-sbg 18880  df-mulg 19008  df-subg 19062  df-ghm 19152  df-cntz 19252  df-cmn 19721  df-abl 19722  df-mgp 20059  df-rng 20077  df-ur 20106  df-ring 20159  df-subrng 20465  df-subrg 20490  df-lmod 20727  df-lss 20798  df-ascl 21769  df-psr 21822  df-mpl 21824
This theorem is referenced by:  subrg1asclcl  22153
  Copyright terms: Public domain W3C validator