Theorem subrgasclcl 22248

Description: The scalars in a polynomial algebra are in the subring algebra iff the scalar value is in the subring. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jul-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
subrgascl.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
subrgascl.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)
subrgascl.h	⊢ 𝐻 = (𝑅 ↾s 𝑇)
subrgascl.u	⊢ 𝑈 = (𝐼 mPoly 𝐻)
subrgascl.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
subrgascl.r	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅))
subrgasclcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑈)
subrgasclcl.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
subrgasclcl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐾)

Assertion

Ref	Expression
subrgasclcl	⊢ (𝜑 → ((𝐴‘𝑋) ∈ 𝐵 ↔ 𝑋 ∈ 𝑇))

Proof of Theorem subrgasclcl

Dummy variables 𝑥 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iftrue 4495	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝐼 × {0}) → if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 𝑋, (0g‘𝑅)) = 𝑋)
2	1	eleq1d 2850	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝐼 × {0}) → (if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 𝑋, (0g‘𝑅)) ∈ (Base‘𝐻) ↔ 𝑋 ∈ (Base‘𝐻)))
3		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 mPwSer 𝐻) = (𝐼 mPwSer 𝐻)
4		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
5		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
6		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻)) = (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻))
7		subrgascl.p	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
8		eqid 2765	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
9		subrgasclcl.k	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
10		subrgascl.a	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)
11		subrgascl.i	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
12		subrgascl.r	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅))
13		subrgrcl 20705	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑅 ∈ Ring)
14	12, 13	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
15		subrgasclcl.x	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐾)
16	7, 5, 8, 9, 10, 11, 14, 15	mplascl 22245	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝑋) = (𝑥 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 𝑋, (0g‘𝑅))))
17	16	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴‘𝑋) ∈ 𝐵) → (𝐴‘𝑋) = (𝑥 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 𝑋, (0g‘𝑅))))
18		subrgascl.u	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑈 = (𝐼 mPoly 𝐻)
19		subrgasclcl.b	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑈)
20		subrgascl.h	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐻 = (𝑅 ↾s 𝑇)
21	20	subrgring 20703	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐻 ∈ Ring)
22	12, 21	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ Ring)
23	3, 18, 19, 11, 22	mplsubrg 22184	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (SubRing‘(𝐼 mPwSer 𝐻)))
24	6	subrgss 20701	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ (SubRing‘(𝐼 mPwSer 𝐻)) → 𝐵 ⊆ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻)))
25	23, 24	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻)))
26	25	sselda 3938	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴‘𝑋) ∈ 𝐵) → (𝐴‘𝑋) ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻)))
27	17, 26	eqeltrrd 2866	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴‘𝑋) ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 𝑋, (0g‘𝑅))) ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻)))
28	3, 4, 5, 6, 27	psrelbas 22115	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴‘𝑋) ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 𝑋, (0g‘𝑅))):{𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝐻))
29		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 𝑋, (0g‘𝑅))) = (𝑥 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 𝑋, (0g‘𝑅)))
30	29	fmpt 7109	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 𝑋, (0g‘𝑅)) ∈ (Base‘𝐻) ↔ (𝑥 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 𝑋, (0g‘𝑅))):{𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝐻))
31	28, 30	sylibr 237	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴‘𝑋) ∈ 𝐵) → ∀𝑥 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 𝑋, (0g‘𝑅)) ∈ (Base‘𝐻))
32	11	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴‘𝑋) ∈ 𝐵) → 𝐼 ∈ 𝑊)
33	5	psrbag0 22243	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑊 → (𝐼 × {0}) ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin})
34	32, 33	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴‘𝑋) ∈ 𝐵) → (𝐼 × {0}) ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin})
35	2, 31, 34	rspcdva 3584	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴‘𝑋) ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐻))
36	20	subrgbas 20710	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑇 = (Base‘𝐻))
37	12, 36	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 = (Base‘𝐻))
38	37	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴‘𝑋) ∈ 𝐵) → 𝑇 = (Base‘𝐻))
39	35, 38	eleqtrrd 2868	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴‘𝑋) ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝑇)
40		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ (algSc‘𝑈) = (algSc‘𝑈)
41	7, 10, 20, 18, 11, 12, 40	subrgascl 22247	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (algSc‘𝑈) = (𝐴 ↾ 𝑇))
42	41	fveq1d 6887	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((algSc‘𝑈)‘𝑋) = ((𝐴 ↾ 𝑇)‘𝑋))
43		fvres 6904	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑇 → ((𝐴 ↾ 𝑇)‘𝑋) = (𝐴‘𝑋))
44	42, 43	sylan9eq 2820	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) → ((algSc‘𝑈)‘𝑋) = (𝐴‘𝑋))
45		eqid 2765	. . . . . . 7 ⊢ (Scalar‘𝑈) = (Scalar‘𝑈)
46	18	mplring 22198	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝐻 ∈ Ring) → 𝑈 ∈ Ring)
47	18	mpllmod 22197	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝐻 ∈ Ring) → 𝑈 ∈ LMod)
48		eqid 2765	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑈)) = (Base‘(Scalar‘𝑈))
49	40, 45, 46, 47, 48, 19	asclf 22061	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝐻 ∈ Ring) → (algSc‘𝑈):(Base‘(Scalar‘𝑈))⟶𝐵)
50	11, 22, 49	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (algSc‘𝑈):(Base‘(Scalar‘𝑈))⟶𝐵)
51	50	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) → (algSc‘𝑈):(Base‘(Scalar‘𝑈))⟶𝐵)
52	18, 11, 22	mplsca 22192	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = (Scalar‘𝑈))
53	52	fveq2d 6889	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐻) = (Base‘(Scalar‘𝑈)))
54	37, 53	eqtrd 2800	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑇 = (Base‘(Scalar‘𝑈)))
55	54	eleq2d 2851	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝑇 ↔ 𝑋 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))))
56	55	biimpa 482	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) → 𝑋 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈)))
57	51, 56	ffvelcdmd 7084	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) → ((algSc‘𝑈)‘𝑋) ∈ 𝐵)
58	44, 57	eqeltrrd 2866	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑇) → (𝐴‘𝑋) ∈ 𝐵)
59	39, 58	impbida 813	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴‘𝑋) ∈ 𝐵 ↔ 𝑋 ∈ 𝑇))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∀wral 3081  {crab 3418   ⊆ wss 3906  ifcif 4489  {csn 4591   ↦ cmpt 5194   × cxp 5661  ^◡ccnv 5662   ↾ cres 5665   “ cima 5666  ⟶wf 6536  ‘cfv 6540  (class class class)co 7416   ↑_m cmap 8826  Fincfn 8945  0cc0 11111  ℕcn 12244  ℕ₀cn0 12515  Basecbs 17287   ↾_s cress 17308  Scalarcsca 17331  0_gc0g 17510  Ringcrg 20339  SubRingcsubrg 20698  algSccascl 22032   mPwSer cmps 22084   mPoly cmpl 22086

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-cnex 11167  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187  ax-pre-mulgt0 11188

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7680  df-ofr 7681  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-supp 8159  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-2o 8456  df-er 8696  df-map 8828  df-pm 8829  df-ixp 8898  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-fsupp 9325  df-sup 9405  df-oi 9475  df-card 9937  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11454  df-neg 11455  df-nn 12245  df-2 12314  df-3 12315  df-4 12316  df-5 12317  df-6 12318  df-7 12319  df-8 12320  df-9 12321  df-n0 12516  df-z 12603  df-dec 12724  df-uz 12875  df-fz 13548  df-fzo 13696  df-seq 14052  df-hash 14381  df-struct 17225  df-sets 17242  df-slot 17260  df-ndx 17272  df-base 17288  df-ress 17309  df-plusg 17341  df-mulr 17342  df-sca 17344  df-vsca 17345  df-ip 17346  df-tset 17347  df-ple 17348  df-ds 17350  df-hom 17352  df-cco 17353  df-0g 17512  df-gsum 17513  df-prds 17518  df-pws 17520  df-mre 17656  df-mrc 17657  df-acs 17659  df-mgm 18716  df-sgrp 18799  df-mnd 18815  df-mhm 18865  df-submnd 18866  df-grp 19027  df-minusg 19028  df-sbg 19029  df-mulg 19158  df-subg 19213  df-ghm 19308  df-cntz 19411  df-cmn 19876  df-abl 19877  df-mgp 20241  df-rng 20255  df-ur 20288  df-ring 20341  df-subrng 20675  df-subrg 20699  df-lmod 21013  df-lss 21083  df-ascl 22035  df-psr 22089  df-mpl 22091

This theorem is used by:  subrg1asclcl  22451