Theorem subrgmvr 21969

Description: The variables in a subring polynomial algebra are the same as the original ring. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jul-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
subrgmvr.v	⊢ 𝑉 = (𝐼 mVar 𝑅)
subrgmvr.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
subrgmvr.r	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅))
subrgmvr.h	⊢ 𝐻 = (𝑅 ↾s 𝑇)

Assertion

Ref	Expression
subrgmvr	⊢ (𝜑 → 𝑉 = (𝐼 mVar 𝐻))

Proof of Theorem subrgmvr

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑓 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subrgmvr.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅))
2		subrgmvr.h	. . . . . . 7 ⊢ 𝐻 = (𝑅 ↾s 𝑇)
3		eqid 2731	. . . . . . 7 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
4	2, 3	subrg1 20498	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) → (1r‘𝑅) = (1r‘𝐻))
5	1, 4	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) = (1r‘𝐻))
6		eqid 2731	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
7	2, 6	subrg0 20495	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) → (0g‘𝑅) = (0g‘𝐻))
8	1, 7	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑅) = (0g‘𝐻))
9	5, 8	ifeq12d 4497	. . . 4 ⊢ (𝜑 → if(𝑦 = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)) = if(𝑦 = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)), (1r‘𝐻), (0g‘𝐻)))
10	9	mpteq2dv 5185	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑦 = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))) = (𝑦 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑦 = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)), (1r‘𝐻), (0g‘𝐻))))
11	10	mpteq2dv 5185	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑦 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑦 = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑦 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑦 = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)), (1r‘𝐻), (0g‘𝐻)))))
12		subrgmvr.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (𝐼 mVar 𝑅)
13		eqid 2731	. . 3 ⊢ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
14		subrgmvr.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
15		subrgrcl 20492	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑅 ∈ Ring)
16	1, 15	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
17	12, 13, 6, 3, 14, 16	mvrfval 21919	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑉 = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑦 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑦 = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))))
18		eqid 2731	. . 3 ⊢ (𝐼 mVar 𝐻) = (𝐼 mVar 𝐻)
19		eqid 2731	. . 3 ⊢ (0g‘𝐻) = (0g‘𝐻)
20		eqid 2731	. . 3 ⊢ (1r‘𝐻) = (1r‘𝐻)
21	2	ovexi 7380	. . . 4 ⊢ 𝐻 ∈ V
22	21	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ V)
23	18, 13, 19, 20, 14, 22	mvrfval 21919	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼 mVar 𝐻) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑦 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑦 = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)), (1r‘𝐻), (0g‘𝐻)))))
24	11, 17, 23	3eqtr4d 2776	1 ⊢ (𝜑 → 𝑉 = (𝐼 mVar 𝐻))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  {crab 3395  Vcvv 3436  ifcif 4475   ↦ cmpt 5172  ^◡ccnv 5615   “ cima 5619  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346   ↑_m cmap 8750  Fincfn 8869  0cc0 11006  1c1 11007  ℕcn 12125  ℕ₀cn0 12381   ↾_s cress 17141  0_gc0g 17343  1_rcur 20100  Ringcrg 20152  SubRingcsubrg 20485   mVar cmvr 21843

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5217  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-0g 17345  df-mgm 18548  df-sgrp 18627  df-mnd 18643  df-grp 18849  df-subg 19036  df-mgp 20060  df-ur 20101  df-ring 20154  df-subrg 20486  df-mvr 21848

This theorem is referenced by:  subrgmvrf  21970  evlsvarsrng  22035  evlvar  22036  subrgvr1  22176  evls1var  22254