Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subrgmvr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem subrgmvr 20699
 Description: The variables in a subring polynomial algebra are the same as the original ring. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
subrgmvr.v 𝑉 = (𝐼 mVar 𝑅)
subrgmvr.i (𝜑𝐼𝑊)
subrgmvr.r (𝜑𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅))
subrgmvr.h 𝐻 = (𝑅s 𝑇)
Assertion
Ref Expression
subrgmvr (𝜑𝑉 = (𝐼 mVar 𝐻))

Proof of Theorem subrgmvr
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑓 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 subrgmvr.r . . . . . 6 (𝜑𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅))
2 subrgmvr.h . . . . . . 7 𝐻 = (𝑅s 𝑇)
3 eqid 2822 . . . . . . 7 (1r𝑅) = (1r𝑅)
42, 3subrg1 19536 . . . . . 6 (𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) → (1r𝑅) = (1r𝐻))
51, 4syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (1r𝑅) = (1r𝐻))
6 eqid 2822 . . . . . . 7 (0g𝑅) = (0g𝑅)
72, 6subrg0 19533 . . . . . 6 (𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) → (0g𝑅) = (0g𝐻))
81, 7syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (0g𝑅) = (0g𝐻))
95, 8ifeq12d 4459 . . . 4 (𝜑 → if(𝑦 = (𝑧𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)), (1r𝑅), (0g𝑅)) = if(𝑦 = (𝑧𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)), (1r𝐻), (0g𝐻)))
109mpteq2dv 5138 . . 3 (𝜑 → (𝑦 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑦 = (𝑧𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)), (1r𝑅), (0g𝑅))) = (𝑦 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑦 = (𝑧𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)), (1r𝐻), (0g𝐻))))
1110mpteq2dv 5138 . 2 (𝜑 → (𝑥𝐼 ↦ (𝑦 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑦 = (𝑧𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)), (1r𝑅), (0g𝑅)))) = (𝑥𝐼 ↦ (𝑦 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑦 = (𝑧𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)), (1r𝐻), (0g𝐻)))))
12 subrgmvr.v . . 3 𝑉 = (𝐼 mVar 𝑅)
13 eqid 2822 . . 3 {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} = {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
14 subrgmvr.i . . 3 (𝜑𝐼𝑊)
15 subrgrcl 19531 . . . 4 (𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑅 ∈ Ring)
161, 15syl 17 . . 3 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
1712, 13, 6, 3, 14, 16mvrfval 20656 . 2 (𝜑𝑉 = (𝑥𝐼 ↦ (𝑦 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑦 = (𝑧𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)), (1r𝑅), (0g𝑅)))))
18 eqid 2822 . . 3 (𝐼 mVar 𝐻) = (𝐼 mVar 𝐻)
19 eqid 2822 . . 3 (0g𝐻) = (0g𝐻)
20 eqid 2822 . . 3 (1r𝐻) = (1r𝐻)
212ovexi 7174 . . . 4 𝐻 ∈ V
2221a1i 11 . . 3 (𝜑𝐻 ∈ V)
2318, 13, 19, 20, 14, 22mvrfval 20656 . 2 (𝜑 → (𝐼 mVar 𝐻) = (𝑥𝐼 ↦ (𝑦 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑦 = (𝑧𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)), (1r𝐻), (0g𝐻)))))
2411, 17, 233eqtr4d 2867 1 (𝜑𝑉 = (𝐼 mVar 𝐻))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1538   ∈ wcel 2114  {crab 3134  Vcvv 3469  ifcif 4439   ↦ cmpt 5122  ◡ccnv 5531   “ cima 5535  ‘cfv 6334  (class class class)co 7140   ↑m cmap 8393  Fincfn 8496  0cc0 10526  1c1 10527  ℕcn 11625  ℕ0cn0 11885   ↾s cress 16475  0gc0g 16704  1rcur 19242  Ringcrg 19288  SubRingcsubrg 19522   mVar cmvr 20588 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rmo 3138  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-iun 4896  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-om 7566  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-ndx 16477  df-slot 16478  df-base 16480  df-sets 16481  df-ress 16482  df-plusg 16569  df-mulr 16570  df-0g 16706  df-mgm 17843  df-sgrp 17892  df-mnd 17903  df-grp 18097  df-subg 18267  df-mgp 19231  df-ur 19243  df-ring 19290  df-subrg 19524  df-mvr 20593 This theorem is referenced by:  subrgmvrf  20700  evlsvarsrng  20769  evlvar  20770  subrgvr1  20888  evls1var  20960
 Copyright terms: Public domain W3C validator