Theorem subrgmvr 22073

Description: The variables in a subring polynomial algebra are the same as the original ring. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jul-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
subrgmvr.v	⊢ 𝑉 = (𝐼 mVar 𝑅)
subrgmvr.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
subrgmvr.r	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅))
subrgmvr.h	⊢ 𝐻 = (𝑅 ↾s 𝑇)

Assertion

Ref	Expression
subrgmvr	⊢ (𝜑 → 𝑉 = (𝐼 mVar 𝐻))

Proof of Theorem subrgmvr

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑓 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subrgmvr.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅))
2		subrgmvr.h	. . . . . . 7 ⊢ 𝐻 = (𝑅 ↾s 𝑇)
3		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
4	2, 3	subrg1 20618	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) → (1r‘𝑅) = (1r‘𝐻))
5	1, 4	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) = (1r‘𝐻))
6		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
7	2, 6	subrg0 20615	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) → (0g‘𝑅) = (0g‘𝐻))
8	1, 7	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑅) = (0g‘𝐻))
9	5, 8	ifeq12d 4499	. . . 4 ⊢ (𝜑 → if(𝑦 = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)) = if(𝑦 = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)), (1r‘𝐻), (0g‘𝐻)))
10	9	mpteq2dv 5191	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑦 = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))) = (𝑦 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑦 = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)), (1r‘𝐻), (0g‘𝐻))))
11	10	mpteq2dv 5191	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑦 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑦 = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑦 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑦 = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)), (1r‘𝐻), (0g‘𝐻)))))
12		subrgmvr.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (𝐼 mVar 𝑅)
13		eqid 2761	. . 3 ⊢ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
14		subrgmvr.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
15		subrgrcl 20612	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑅 ∈ Ring)
16	1, 15	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
17	12, 13, 6, 3, 14, 16	mvrfval 22019	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑉 = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑦 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑦 = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))))
18		eqid 2761	. . 3 ⊢ (𝐼 mVar 𝐻) = (𝐼 mVar 𝐻)
19		eqid 2761	. . 3 ⊢ (0g‘𝐻) = (0g‘𝐻)
20		eqid 2761	. . 3 ⊢ (1r‘𝐻) = (1r‘𝐻)
21	2	ovexi 7424	. . . 4 ⊢ 𝐻 ∈ V
22	21	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ V)
23	18, 13, 19, 20, 14, 22	mvrfval 22019	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼 mVar 𝐻) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑦 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑦 = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)), (1r‘𝐻), (0g‘𝐻)))))
24	11, 17, 23	3eqtr4d 2806	1 ⊢ (𝜑 → 𝑉 = (𝐼 mVar 𝐻))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  {crab 3413  Vcvv 3453  ifcif 4477   ↦ cmpt 5178  ^◡ccnv 5642   “ cima 5646  ‘cfv 6515  (class class class)co 7390   ↑_m cmap 8801  Fincfn 8920  0cc0 11066  1c1 11067  ℕcn 12203  ℕ₀cn0 12474   ↾_s cress 17256  0_gc0g 17458  1_rcur 20217  Ringcrg 20269  SubRingcsubrg 20605   mVar cmvr 21944

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5224  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7712  ax-cnex 11122  ax-resscn 11123  ax-1cn 11124  ax-icn 11125  ax-addcl 11126  ax-addrcl 11127  ax-mulcl 11128  ax-mulrcl 11129  ax-mulcom 11130  ax-addass 11131  ax-mulass 11132  ax-distr 11133  ax-i2m1 11134  ax-1ne0 11135  ax-1rid 11136  ax-rnegex 11137  ax-rrecex 11138  ax-cnre 11139  ax-pre-lttri 11140  ax-pre-lttrn 11141  ax-pre-ltadd 11142  ax-pre-mulgt0 11143

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6282  df-ord 6343  df-on 6344  df-lim 6345  df-suc 6346  df-iota 6471  df-fun 6517  df-fn 6518  df-f 6519  df-f1 6520  df-fo 6521  df-f1o 6522  df-fv 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7841  df-2nd 7965  df-frecs 8255  df-wrecs 8286  df-recs 8335  df-rdg 8374  df-er 8671  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-pnf 11211  df-mnf 11212  df-xr 11213  df-ltxr 11214  df-le 11215  df-sub 11409  df-neg 11410  df-nn 12204  df-2 12273  df-3 12274  df-sets 17190  df-slot 17208  df-ndx 17220  df-base 17236  df-ress 17257  df-plusg 17289  df-mulr 17290  df-0g 17460  df-mgm 18664  df-sgrp 18743  df-mnd 18759  df-grp 18968  df-subg 19155  df-mgp 20177  df-ur 20218  df-ring 20271  df-subrg 20606  df-mvr 21949

This theorem is referenced by:  subrgmvrf  22074  evlsvarsrng  22147  evlvar  22148  subrgvr1  22311  evls1var  22388