Theorem subrgmvr 21144

Description: The variables in a subring polynomial algebra are the same as the original ring. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jul-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
subrgmvr.v	⊢ 𝑉 = (𝐼 mVar 𝑅)
subrgmvr.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
subrgmvr.r	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅))
subrgmvr.h	⊢ 𝐻 = (𝑅 ↾s 𝑇)

Assertion

Ref	Expression
subrgmvr	⊢ (𝜑 → 𝑉 = (𝐼 mVar 𝐻))

Proof of Theorem subrgmvr

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑓 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subrgmvr.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅))
2		subrgmvr.h	. . . . . . 7 ⊢ 𝐻 = (𝑅 ↾s 𝑇)
3		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
4	2, 3	subrg1 19949	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) → (1r‘𝑅) = (1r‘𝐻))
5	1, 4	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) = (1r‘𝐻))
6		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
7	2, 6	subrg0 19946	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) → (0g‘𝑅) = (0g‘𝐻))
8	1, 7	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑅) = (0g‘𝐻))
9	5, 8	ifeq12d 4477	. . . 4 ⊢ (𝜑 → if(𝑦 = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)) = if(𝑦 = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)), (1r‘𝐻), (0g‘𝐻)))
10	9	mpteq2dv 5172	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑦 = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))) = (𝑦 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑦 = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)), (1r‘𝐻), (0g‘𝐻))))
11	10	mpteq2dv 5172	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑦 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑦 = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑦 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑦 = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)), (1r‘𝐻), (0g‘𝐻)))))
12		subrgmvr.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (𝐼 mVar 𝑅)
13		eqid 2738	. . 3 ⊢ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
14		subrgmvr.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
15		subrgrcl 19944	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑅 ∈ Ring)
16	1, 15	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
17	12, 13, 6, 3, 14, 16	mvrfval 21099	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑉 = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑦 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑦 = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))))
18		eqid 2738	. . 3 ⊢ (𝐼 mVar 𝐻) = (𝐼 mVar 𝐻)
19		eqid 2738	. . 3 ⊢ (0g‘𝐻) = (0g‘𝐻)
20		eqid 2738	. . 3 ⊢ (1r‘𝐻) = (1r‘𝐻)
21	2	ovexi 7289	. . . 4 ⊢ 𝐻 ∈ V
22	21	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ V)
23	18, 13, 19, 20, 14, 22	mvrfval 21099	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼 mVar 𝐻) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑦 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑦 = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)), (1r‘𝐻), (0g‘𝐻)))))
24	11, 17, 23	3eqtr4d 2788	1 ⊢ (𝜑 → 𝑉 = (𝐼 mVar 𝐻))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  {crab 3067  Vcvv 3422  ifcif 4456   ↦ cmpt 5153  ^◡ccnv 5579   “ cima 5583  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255   ↑_m cmap 8573  Fincfn 8691  0cc0 10802  1c1 10803  ℕcn 11903  ℕ₀cn0 12163   ↾_s cress 16867  0_gc0g 17067  1_rcur 19652  Ringcrg 19698  SubRingcsubrg 19935   mVar cmvr 21018

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-0g 17069  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-grp 18495  df-subg 18667  df-mgp 19636  df-ur 19653  df-ring 19700  df-subrg 19937  df-mvr 21023

This theorem is referenced by:  subrgmvrf  21145  evlsvarsrng  21219  evlvar  21220  subrgvr1  21342  evls1var  21414