Theorem subrgmvr 21940

Description: The variables in a subring polynomial algebra are the same as the original ring. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jul-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
subrgmvr.v	⊢ 𝑉 = (𝐼 mVar 𝑅)
subrgmvr.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
subrgmvr.r	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅))
subrgmvr.h	⊢ 𝐻 = (𝑅 ↾s 𝑇)

Assertion

Ref	Expression
subrgmvr	⊢ (𝜑 → 𝑉 = (𝐼 mVar 𝐻))

Proof of Theorem subrgmvr

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑓 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subrgmvr.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅))
2		subrgmvr.h	. . . . . . 7 ⊢ 𝐻 = (𝑅 ↾s 𝑇)
3		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
4	2, 3	subrg1 20491	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) → (1r‘𝑅) = (1r‘𝐻))
5	1, 4	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) = (1r‘𝐻))
6		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
7	2, 6	subrg0 20488	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) → (0g‘𝑅) = (0g‘𝐻))
8	1, 7	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑅) = (0g‘𝐻))
9	5, 8	ifeq12d 4510	. . . 4 ⊢ (𝜑 → if(𝑦 = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)) = if(𝑦 = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)), (1r‘𝐻), (0g‘𝐻)))
10	9	mpteq2dv 5201	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑦 = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))) = (𝑦 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑦 = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)), (1r‘𝐻), (0g‘𝐻))))
11	10	mpteq2dv 5201	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑦 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑦 = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑦 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑦 = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)), (1r‘𝐻), (0g‘𝐻)))))
12		subrgmvr.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (𝐼 mVar 𝑅)
13		eqid 2729	. . 3 ⊢ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
14		subrgmvr.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
15		subrgrcl 20485	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑅 ∈ Ring)
16	1, 15	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
17	12, 13, 6, 3, 14, 16	mvrfval 21890	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑉 = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑦 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑦 = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))))
18		eqid 2729	. . 3 ⊢ (𝐼 mVar 𝐻) = (𝐼 mVar 𝐻)
19		eqid 2729	. . 3 ⊢ (0g‘𝐻) = (0g‘𝐻)
20		eqid 2729	. . 3 ⊢ (1r‘𝐻) = (1r‘𝐻)
21	2	ovexi 7421	. . . 4 ⊢ 𝐻 ∈ V
22	21	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ V)
23	18, 13, 19, 20, 14, 22	mvrfval 21890	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼 mVar 𝐻) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑦 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑦 = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑧 = 𝑥, 1, 0)), (1r‘𝐻), (0g‘𝐻)))))
24	11, 17, 23	3eqtr4d 2774	1 ⊢ (𝜑 → 𝑉 = (𝐼 mVar 𝐻))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {crab 3405  Vcvv 3447  ifcif 4488   ↦ cmpt 5188  ^◡ccnv 5637   “ cima 5641  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387   ↑_m cmap 8799  Fincfn 8918  0cc0 11068  1c1 11069  ℕcn 12186  ℕ₀cn0 12442   ↾_s cress 17200  0_gc0g 17402  1_rcur 20090  Ringcrg 20142  SubRingcsubrg 20478   mVar cmvr 21814

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-0g 17404  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-grp 18868  df-subg 19055  df-mgp 20050  df-ur 20091  df-ring 20144  df-subrg 20479  df-mvr 21819

This theorem is referenced by:  subrgmvrf  21941  evlsvarsrng  22006  evlvar  22007  subrgvr1  22147  evls1var  22225