Theorem tendocoval 37906

Description: Value of composition of endomorphisms in a trace-preserving endomorphism. (Contributed by NM, 9-Jun-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
tendof.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
tendof.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
tendof.e	⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
tendocoval	⊢ (((𝐾 ∈ 𝑋 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → ((𝑈 ∘ 𝑉)‘𝐹) = (𝑈‘(𝑉‘𝐹)))

Proof of Theorem tendocoval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1132	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑋 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝐾 ∈ 𝑋 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
2		simp2r 1196	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑋 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → 𝑉 ∈ 𝐸)
3		tendof.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4		tendof.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
5		tendof.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
6	3, 4, 5	tendof 37903	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑋 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) → 𝑉:𝑇⟶𝑇)
7	1, 2, 6	syl2anc 586	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑋 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → 𝑉:𝑇⟶𝑇)
8		simp3 1134	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑋 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → 𝐹 ∈ 𝑇)
9		fvco3 6763	. 2 ⊢ ((𝑉:𝑇⟶𝑇 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → ((𝑈 ∘ 𝑉)‘𝐹) = (𝑈‘(𝑉‘𝐹)))
10	7, 8, 9	syl2anc 586	1 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑋 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → ((𝑈 ∘ 𝑉)‘𝐹) = (𝑈‘(𝑉‘𝐹)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1536   ∈ wcel 2113   ∘ ccom 5562  ⟶wf 6354  ‘cfv 6358  LHypclh 37124  LTrncltrn 37241  TEndoctendo 37892

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-rep 5193  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333  ax-un 7464

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-ral 3146  df-rex 3147  df-reu 3148  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-nul 4295  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-op 4577  df-uni 4842  df-iun 4924  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-id 5463  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-res 5570  df-ima 5571  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-ov 7162  df-oprab 7163  df-mpo 7164  df-map 8411  df-tendo 37895

This theorem is referenced by:  tendococl  37912  tendodi1  37924  tendodi2  37925  tendo0mul  37966  tendo0mulr  37967  cdleml3N  38118  cdleml7  38122  dvhlveclem  38248  dih1dimatlem0  38468