Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  tendocoval Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem tendocoval 39941
Description: Value of composition of endomorphisms in a trace-preserving endomorphism. (Contributed by NM, 9-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
tendof.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
tendof.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
tendof.e 𝐸 = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
tendocoval (((𝐾 ∈ 𝑋 ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ ((π‘ˆ ∘ 𝑉)β€˜πΉ) = (π‘ˆβ€˜(π‘‰β€˜πΉ)))
Proof of Theorem tendocoval
StepHypRef Expression
1 simp1 1135 . . 3 (((𝐾 ∈ 𝑋 ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ (𝐾 ∈ 𝑋 ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
2 simp2r 1199 . . 3 (((𝐾 ∈ 𝑋 ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ 𝑉 ∈ 𝐸)
3 tendof.h . . . 4 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
4 tendof.t . . . 4 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
5 tendof.e . . . 4 𝐸 = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
63, 4, 5tendof 39938 . . 3 (((𝐾 ∈ 𝑋 ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) β†’ 𝑉:π‘‡βŸΆπ‘‡)
71, 2, 6syl2anc 583 . 2 (((𝐾 ∈ 𝑋 ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ 𝑉:π‘‡βŸΆπ‘‡)
8 simp3 1137 . 2 (((𝐾 ∈ 𝑋 ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ 𝐹 ∈ 𝑇)
9 fvco3 6990 . 2 ((𝑉:π‘‡βŸΆπ‘‡ ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ ((π‘ˆ ∘ 𝑉)β€˜πΉ) = (π‘ˆβ€˜(π‘‰β€˜πΉ)))
107, 8, 9syl2anc 583 1 (((𝐾 ∈ 𝑋 ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ ((π‘ˆ ∘ 𝑉)β€˜πΉ) = (π‘ˆβ€˜(π‘‰β€˜πΉ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   ∘ ccom 5680  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  LHypclh 39159  LTrncltrn 39276  TEndoctendo 39927
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-map 8826  df-tendo 39930
This theorem is referenced by:  tendococl  39947  tendodi1  39959  tendodi2  39960  tendo0mul  40001  tendo0mulr  40002  cdleml3N  40153  cdleml7  40157  dvhlveclem  40283  dih1dimatlem0  40503
  Copyright terms: Public domain W3C validator