Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  tendocoval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tendocoval 40749
Description: Value of composition of endomorphisms in a trace-preserving endomorphism. (Contributed by NM, 9-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
tendof.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
tendof.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
tendof.e 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
tendocoval (((𝐾𝑋𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ 𝐹𝑇) → ((𝑈𝑉)‘𝐹) = (𝑈‘(𝑉𝐹)))

Proof of Theorem tendocoval
StepHypRef Expression
1 simp1 1135 . . 3 (((𝐾𝑋𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ 𝐹𝑇) → (𝐾𝑋𝑊𝐻))
2 simp2r 1199 . . 3 (((𝐾𝑋𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ 𝐹𝑇) → 𝑉𝐸)
3 tendof.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4 tendof.t . . . 4 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
5 tendof.e . . . 4 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
63, 4, 5tendof 40746 . . 3 (((𝐾𝑋𝑊𝐻) ∧ 𝑉𝐸) → 𝑉:𝑇𝑇)
71, 2, 6syl2anc 584 . 2 (((𝐾𝑋𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ 𝐹𝑇) → 𝑉:𝑇𝑇)
8 simp3 1137 . 2 (((𝐾𝑋𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ 𝐹𝑇) → 𝐹𝑇)
9 fvco3 7008 . 2 ((𝑉:𝑇𝑇𝐹𝑇) → ((𝑈𝑉)‘𝐹) = (𝑈‘(𝑉𝐹)))
107, 8, 9syl2anc 584 1 (((𝐾𝑋𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸) ∧ 𝐹𝑇) → ((𝑈𝑉)‘𝐹) = (𝑈‘(𝑉𝐹)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  ccom 5693  wf 6559  cfv 6563  LHypclh 39967  LTrncltrn 40084  TEndoctendo 40735
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-map 8867  df-tendo 40738
This theorem is referenced by:  tendococl  40755  tendodi1  40767  tendodi2  40768  tendo0mul  40809  tendo0mulr  40810  cdleml3N  40961  cdleml7  40965  dvhlveclem  41091  dih1dimatlem0  41311
  Copyright terms: Public domain W3C validator