Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dicvscacl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dicvscacl 37720
Description: Membership in value of the partial isomorphism C is closed under scalar product. (Contributed by NM, 16-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dicvscacl.l = (le‘𝐾)
dicvscacl.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
dicvscacl.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dicvscacl.e 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
dicvscacl.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dicvscacl.i 𝐼 = ((DIsoC‘𝐾)‘𝑊)
dicvscacl.s · = ( ·𝑠𝑈)
Assertion
Ref Expression
dicvscacl (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑋𝐸𝑌 ∈ (𝐼𝑄))) → (𝑋 · 𝑌) ∈ (𝐼𝑄))

Proof of Theorem dicvscacl
Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 1116 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑋𝐸𝑌 ∈ (𝐼𝑄))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
2 simp3l 1181 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑋𝐸𝑌 ∈ (𝐼𝑄))) → 𝑋𝐸)
3 dicvscacl.l . . . . . . . 8 = (le‘𝐾)
4 dicvscacl.a . . . . . . . 8 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
5 dicvscacl.h . . . . . . . 8 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
6 dicvscacl.i . . . . . . . 8 𝐼 = ((DIsoC‘𝐾)‘𝑊)
7 dicvscacl.u . . . . . . . 8 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
8 eqid 2772 . . . . . . . 8 (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
93, 4, 5, 6, 7, 8dicssdvh 37715 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) → (𝐼𝑄) ⊆ (Base‘𝑈))
10 eqid 2772 . . . . . . . . . 10 ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
11 dicvscacl.e . . . . . . . . . 10 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
125, 10, 11, 7, 8dvhvbase 37616 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (Base‘𝑈) = (((LTrn‘𝐾)‘𝑊) × 𝐸))
1312eqcomd 2778 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (((LTrn‘𝐾)‘𝑊) × 𝐸) = (Base‘𝑈))
1413adantr 473 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) → (((LTrn‘𝐾)‘𝑊) × 𝐸) = (Base‘𝑈))
159, 14sseqtr4d 3894 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) → (𝐼𝑄) ⊆ (((LTrn‘𝐾)‘𝑊) × 𝐸))
16153adant3 1112 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑋𝐸𝑌 ∈ (𝐼𝑄))) → (𝐼𝑄) ⊆ (((LTrn‘𝐾)‘𝑊) × 𝐸))
17 simp3r 1182 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑋𝐸𝑌 ∈ (𝐼𝑄))) → 𝑌 ∈ (𝐼𝑄))
1816, 17sseldd 3855 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑋𝐸𝑌 ∈ (𝐼𝑄))) → 𝑌 ∈ (((LTrn‘𝐾)‘𝑊) × 𝐸))
19 dicvscacl.s . . . . 5 · = ( ·𝑠𝑈)
205, 10, 11, 7, 19dvhvsca 37630 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐸𝑌 ∈ (((LTrn‘𝐾)‘𝑊) × 𝐸))) → (𝑋 · 𝑌) = ⟨(𝑋‘(1st𝑌)), (𝑋 ∘ (2nd𝑌))⟩)
211, 2, 18, 20syl12anc 824 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑋𝐸𝑌 ∈ (𝐼𝑄))) → (𝑋 · 𝑌) = ⟨(𝑋‘(1st𝑌)), (𝑋 ∘ (2nd𝑌))⟩)
22 fvi 6562 . . . . . 6 (𝑋𝐸 → ( I ‘𝑋) = 𝑋)
232, 22syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑋𝐸𝑌 ∈ (𝐼𝑄))) → ( I ‘𝑋) = 𝑋)
2423coeq1d 5575 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑋𝐸𝑌 ∈ (𝐼𝑄))) → (( I ‘𝑋) ∘ (2nd𝑌)) = (𝑋 ∘ (2nd𝑌)))
2524opeq2d 4678 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑋𝐸𝑌 ∈ (𝐼𝑄))) → ⟨(𝑋‘(1st𝑌)), (( I ‘𝑋) ∘ (2nd𝑌))⟩ = ⟨(𝑋‘(1st𝑌)), (𝑋 ∘ (2nd𝑌))⟩)
2621, 25eqtr4d 2811 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑋𝐸𝑌 ∈ (𝐼𝑄))) → (𝑋 · 𝑌) = ⟨(𝑋‘(1st𝑌)), (( I ‘𝑋) ∘ (2nd𝑌))⟩)
27 eqid 2772 . . . . . . . 8 ((oc‘𝐾)‘𝑊) = ((oc‘𝐾)‘𝑊)
283, 4, 5, 27, 10, 6dicelval1sta 37716 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑌 ∈ (𝐼𝑄)) → (1st𝑌) = ((2nd𝑌)‘(𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄)))
29283adant3l 1160 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑋𝐸𝑌 ∈ (𝐼𝑄))) → (1st𝑌) = ((2nd𝑌)‘(𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄)))
3029fveq2d 6497 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑋𝐸𝑌 ∈ (𝐼𝑄))) → (𝑋‘(1st𝑌)) = (𝑋‘((2nd𝑌)‘(𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄))))
313, 4, 5, 11, 6dicelval2nd 37718 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑌 ∈ (𝐼𝑄)) → (2nd𝑌) ∈ 𝐸)
32313adant3l 1160 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑋𝐸𝑌 ∈ (𝐼𝑄))) → (2nd𝑌) ∈ 𝐸)
335, 10, 11tendof 37292 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (2nd𝑌) ∈ 𝐸) → (2nd𝑌):((LTrn‘𝐾)‘𝑊)⟶((LTrn‘𝐾)‘𝑊))
341, 32, 33syl2anc 576 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑋𝐸𝑌 ∈ (𝐼𝑄))) → (2nd𝑌):((LTrn‘𝐾)‘𝑊)⟶((LTrn‘𝐾)‘𝑊))
35 eqid 2772 . . . . . . . . 9 (oc‘𝐾) = (oc‘𝐾)
363, 35, 4, 5lhpocnel 36547 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (((oc‘𝐾)‘𝑊) ∈ 𝐴 ∧ ¬ ((oc‘𝐾)‘𝑊) 𝑊))
37363ad2ant1 1113 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑋𝐸𝑌 ∈ (𝐼𝑄))) → (((oc‘𝐾)‘𝑊) ∈ 𝐴 ∧ ¬ ((oc‘𝐾)‘𝑊) 𝑊))
38 simp2 1117 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑋𝐸𝑌 ∈ (𝐼𝑄))) → (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊))
39 eqid 2772 . . . . . . . 8 (𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄) = (𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄)
403, 4, 5, 10, 39ltrniotacl 37108 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑊) ∈ 𝐴 ∧ ¬ ((oc‘𝐾)‘𝑊) 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) → (𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄) ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))
411, 37, 38, 40syl3anc 1351 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑋𝐸𝑌 ∈ (𝐼𝑄))) → (𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄) ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))
42 fvco3 6582 . . . . . 6 (((2nd𝑌):((LTrn‘𝐾)‘𝑊)⟶((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ (𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄) ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)) → ((𝑋 ∘ (2nd𝑌))‘(𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄)) = (𝑋‘((2nd𝑌)‘(𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄))))
4334, 41, 42syl2anc 576 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑋𝐸𝑌 ∈ (𝐼𝑄))) → ((𝑋 ∘ (2nd𝑌))‘(𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄)) = (𝑋‘((2nd𝑌)‘(𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄))))
4430, 43eqtr4d 2811 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑋𝐸𝑌 ∈ (𝐼𝑄))) → (𝑋‘(1st𝑌)) = ((𝑋 ∘ (2nd𝑌))‘(𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄)))
4524fveq1d 6495 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑋𝐸𝑌 ∈ (𝐼𝑄))) → ((( I ‘𝑋) ∘ (2nd𝑌))‘(𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄)) = ((𝑋 ∘ (2nd𝑌))‘(𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄)))
4644, 45eqtr4d 2811 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑋𝐸𝑌 ∈ (𝐼𝑄))) → (𝑋‘(1st𝑌)) = ((( I ‘𝑋) ∘ (2nd𝑌))‘(𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄)))
475, 11tendococl 37301 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝐸 ∧ (2nd𝑌) ∈ 𝐸) → (𝑋 ∘ (2nd𝑌)) ∈ 𝐸)
481, 2, 32, 47syl3anc 1351 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑋𝐸𝑌 ∈ (𝐼𝑄))) → (𝑋 ∘ (2nd𝑌)) ∈ 𝐸)
4924, 48eqeltrd 2860 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑋𝐸𝑌 ∈ (𝐼𝑄))) → (( I ‘𝑋) ∘ (2nd𝑌)) ∈ 𝐸)
50 fvex 6506 . . . . 5 (𝑋‘(1st𝑌)) ∈ V
51 fvex 6506 . . . . . 6 ( I ‘𝑋) ∈ V
52 fvex 6506 . . . . . 6 (2nd𝑌) ∈ V
5351, 52coex 7444 . . . . 5 (( I ‘𝑋) ∘ (2nd𝑌)) ∈ V
543, 4, 5, 27, 10, 11, 6, 50, 53dicopelval 37706 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) → (⟨(𝑋‘(1st𝑌)), (( I ‘𝑋) ∘ (2nd𝑌))⟩ ∈ (𝐼𝑄) ↔ ((𝑋‘(1st𝑌)) = ((( I ‘𝑋) ∘ (2nd𝑌))‘(𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄)) ∧ (( I ‘𝑋) ∘ (2nd𝑌)) ∈ 𝐸)))
55543adant3 1112 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑋𝐸𝑌 ∈ (𝐼𝑄))) → (⟨(𝑋‘(1st𝑌)), (( I ‘𝑋) ∘ (2nd𝑌))⟩ ∈ (𝐼𝑄) ↔ ((𝑋‘(1st𝑌)) = ((( I ‘𝑋) ∘ (2nd𝑌))‘(𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄)) ∧ (( I ‘𝑋) ∘ (2nd𝑌)) ∈ 𝐸)))
5646, 49, 55mpbir2and 700 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑋𝐸𝑌 ∈ (𝐼𝑄))) → ⟨(𝑋‘(1st𝑌)), (( I ‘𝑋) ∘ (2nd𝑌))⟩ ∈ (𝐼𝑄))
5726, 56eqeltrd 2860 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑋𝐸𝑌 ∈ (𝐼𝑄))) → (𝑋 · 𝑌) ∈ (𝐼𝑄))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 198  wa 387  w3a 1068   = wceq 1507  wcel 2048  wss 3825  cop 4441   class class class wbr 4923   I cid 5304   × cxp 5398  ccom 5404  wf 6178  cfv 6182  crio 6930  (class class class)co 6970  1st c1st 7492  2nd c2nd 7493  Basecbs 16329   ·𝑠 cvsca 16415  lecple 16418  occoc 16419  Atomscatm 35792  HLchlt 35879  LHypclh 36513  LTrncltrn 36630  TEndoctendo 37281  DVecHcdvh 37607  DIsoCcdic 37701
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1964  ax-8 2050  ax-9 2057  ax-10 2077  ax-11 2091  ax-12 2104  ax-13 2299  ax-ext 2745  ax-rep 5043  ax-sep 5054  ax-nul 5061  ax-pow 5113  ax-pr 5180  ax-un 7273  ax-cnex 10383  ax-resscn 10384  ax-1cn 10385  ax-icn 10386  ax-addcl 10387  ax-addrcl 10388  ax-mulcl 10389  ax-mulrcl 10390  ax-mulcom 10391  ax-addass 10392  ax-mulass 10393  ax-distr 10394  ax-i2m1 10395  ax-1ne0 10396  ax-1rid 10397  ax-rnegex 10398  ax-rrecex 10399  ax-cnre 10400  ax-pre-lttri 10401  ax-pre-lttrn 10402  ax-pre-ltadd 10403  ax-pre-mulgt0 10404  ax-riotaBAD 35482
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2014  df-mo 2544  df-eu 2580  df-clab 2754  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3087  df-rex 3088  df-reu 3089  df-rmo 3090  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3678  df-csb 3783  df-dif 3828  df-un 3830  df-in 3832  df-ss 3839  df-pss 3841  df-nul 4174  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4707  df-int 4744  df-iun 4788  df-iin 4789  df-br 4924  df-opab 4986  df-mpt 5003  df-tr 5025  df-id 5305  df-eprel 5310  df-po 5319  df-so 5320  df-fr 5359  df-we 5361  df-xp 5406  df-rel 5407  df-cnv 5408  df-co 5409  df-dm 5410  df-rn 5411  df-res 5412  df-ima 5413  df-pred 5980  df-ord 6026  df-on 6027  df-lim 6028  df-suc 6029  df-iota 6146  df-fun 6184  df-fn 6185  df-f 6186  df-f1 6187  df-fo 6188  df-f1o 6189  df-fv 6190  df-riota 6931  df-ov 6973  df-oprab 6974  df-mpo 6975  df-om 7391  df-1st 7494  df-2nd 7495  df-undef 7735  df-wrecs 7743  df-recs 7805  df-rdg 7843  df-1o 7897  df-oadd 7901  df-er 8081  df-map 8200  df-en 8299  df-dom 8300  df-sdom 8301  df-fin 8302  df-pnf 10468  df-mnf 10469  df-xr 10470  df-ltxr 10471  df-le 10472  df-sub 10664  df-neg 10665  df-nn 11432  df-2 11496  df-3 11497  df-4 11498  df-5 11499  df-6 11500  df-n0 11701  df-z 11787  df-uz 12052  df-fz 12702  df-struct 16331  df-ndx 16332  df-slot 16333  df-base 16335  df-plusg 16424  df-sca 16427  df-vsca 16428  df-proset 17386  df-poset 17404  df-plt 17416  df-lub 17432  df-glb 17433  df-join 17434  df-meet 17435  df-p0 17497  df-p1 17498  df-lat 17504  df-clat 17566  df-oposet 35705  df-ol 35707  df-oml 35708  df-covers 35795  df-ats 35796  df-atl 35827  df-cvlat 35851  df-hlat 35880  df-llines 36027  df-lplanes 36028  df-lvols 36029  df-lines 36030  df-psubsp 36032  df-pmap 36033  df-padd 36325  df-lhyp 36517  df-laut 36518  df-ldil 36633  df-ltrn 36634  df-trl 36688  df-tendo 37284  df-dvech 37608  df-dic 37702
This theorem is referenced by:  diclss  37722
  Copyright terms: Public domain W3C validator