Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dicvscacl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dicvscacl 39459
Description: Membership in value of the partial isomorphism C is closed under scalar product. (Contributed by NM, 16-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dicvscacl.l = (le‘𝐾)
dicvscacl.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
dicvscacl.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dicvscacl.e 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
dicvscacl.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dicvscacl.i 𝐼 = ((DIsoC‘𝐾)‘𝑊)
dicvscacl.s · = ( ·𝑠𝑈)
Assertion
Ref Expression
dicvscacl (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑋𝐸𝑌 ∈ (𝐼𝑄))) → (𝑋 · 𝑌) ∈ (𝐼𝑄))

Proof of Theorem dicvscacl
Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 1135 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑋𝐸𝑌 ∈ (𝐼𝑄))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
2 simp3l 1200 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑋𝐸𝑌 ∈ (𝐼𝑄))) → 𝑋𝐸)
3 dicvscacl.l . . . . . . . 8 = (le‘𝐾)
4 dicvscacl.a . . . . . . . 8 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
5 dicvscacl.h . . . . . . . 8 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
6 dicvscacl.i . . . . . . . 8 𝐼 = ((DIsoC‘𝐾)‘𝑊)
7 dicvscacl.u . . . . . . . 8 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
8 eqid 2736 . . . . . . . 8 (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
93, 4, 5, 6, 7, 8dicssdvh 39454 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) → (𝐼𝑄) ⊆ (Base‘𝑈))
10 eqid 2736 . . . . . . . . . 10 ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
11 dicvscacl.e . . . . . . . . . 10 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
125, 10, 11, 7, 8dvhvbase 39355 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (Base‘𝑈) = (((LTrn‘𝐾)‘𝑊) × 𝐸))
1312eqcomd 2742 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (((LTrn‘𝐾)‘𝑊) × 𝐸) = (Base‘𝑈))
1413adantr 481 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) → (((LTrn‘𝐾)‘𝑊) × 𝐸) = (Base‘𝑈))
159, 14sseqtrrd 3973 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) → (𝐼𝑄) ⊆ (((LTrn‘𝐾)‘𝑊) × 𝐸))
16153adant3 1131 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑋𝐸𝑌 ∈ (𝐼𝑄))) → (𝐼𝑄) ⊆ (((LTrn‘𝐾)‘𝑊) × 𝐸))
17 simp3r 1201 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑋𝐸𝑌 ∈ (𝐼𝑄))) → 𝑌 ∈ (𝐼𝑄))
1816, 17sseldd 3933 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑋𝐸𝑌 ∈ (𝐼𝑄))) → 𝑌 ∈ (((LTrn‘𝐾)‘𝑊) × 𝐸))
19 dicvscacl.s . . . . 5 · = ( ·𝑠𝑈)
205, 10, 11, 7, 19dvhvsca 39369 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑋𝐸𝑌 ∈ (((LTrn‘𝐾)‘𝑊) × 𝐸))) → (𝑋 · 𝑌) = ⟨(𝑋‘(1st𝑌)), (𝑋 ∘ (2nd𝑌))⟩)
211, 2, 18, 20syl12anc 834 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑋𝐸𝑌 ∈ (𝐼𝑄))) → (𝑋 · 𝑌) = ⟨(𝑋‘(1st𝑌)), (𝑋 ∘ (2nd𝑌))⟩)
22 fvi 6900 . . . . . 6 (𝑋𝐸 → ( I ‘𝑋) = 𝑋)
232, 22syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑋𝐸𝑌 ∈ (𝐼𝑄))) → ( I ‘𝑋) = 𝑋)
2423coeq1d 5803 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑋𝐸𝑌 ∈ (𝐼𝑄))) → (( I ‘𝑋) ∘ (2nd𝑌)) = (𝑋 ∘ (2nd𝑌)))
2524opeq2d 4824 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑋𝐸𝑌 ∈ (𝐼𝑄))) → ⟨(𝑋‘(1st𝑌)), (( I ‘𝑋) ∘ (2nd𝑌))⟩ = ⟨(𝑋‘(1st𝑌)), (𝑋 ∘ (2nd𝑌))⟩)
2621, 25eqtr4d 2779 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑋𝐸𝑌 ∈ (𝐼𝑄))) → (𝑋 · 𝑌) = ⟨(𝑋‘(1st𝑌)), (( I ‘𝑋) ∘ (2nd𝑌))⟩)
27 eqid 2736 . . . . . . . 8 ((oc‘𝐾)‘𝑊) = ((oc‘𝐾)‘𝑊)
283, 4, 5, 27, 10, 6dicelval1sta 39455 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑌 ∈ (𝐼𝑄)) → (1st𝑌) = ((2nd𝑌)‘(𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄)))
29283adant3l 1179 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑋𝐸𝑌 ∈ (𝐼𝑄))) → (1st𝑌) = ((2nd𝑌)‘(𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄)))
3029fveq2d 6829 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑋𝐸𝑌 ∈ (𝐼𝑄))) → (𝑋‘(1st𝑌)) = (𝑋‘((2nd𝑌)‘(𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄))))
313, 4, 5, 11, 6dicelval2nd 39457 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑌 ∈ (𝐼𝑄)) → (2nd𝑌) ∈ 𝐸)
32313adant3l 1179 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑋𝐸𝑌 ∈ (𝐼𝑄))) → (2nd𝑌) ∈ 𝐸)
335, 10, 11tendof 39031 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (2nd𝑌) ∈ 𝐸) → (2nd𝑌):((LTrn‘𝐾)‘𝑊)⟶((LTrn‘𝐾)‘𝑊))
341, 32, 33syl2anc 584 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑋𝐸𝑌 ∈ (𝐼𝑄))) → (2nd𝑌):((LTrn‘𝐾)‘𝑊)⟶((LTrn‘𝐾)‘𝑊))
35 eqid 2736 . . . . . . . . 9 (oc‘𝐾) = (oc‘𝐾)
363, 35, 4, 5lhpocnel 38286 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (((oc‘𝐾)‘𝑊) ∈ 𝐴 ∧ ¬ ((oc‘𝐾)‘𝑊) 𝑊))
37363ad2ant1 1132 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑋𝐸𝑌 ∈ (𝐼𝑄))) → (((oc‘𝐾)‘𝑊) ∈ 𝐴 ∧ ¬ ((oc‘𝐾)‘𝑊) 𝑊))
38 simp2 1136 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑋𝐸𝑌 ∈ (𝐼𝑄))) → (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊))
39 eqid 2736 . . . . . . . 8 (𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄) = (𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄)
403, 4, 5, 10, 39ltrniotacl 38847 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑊) ∈ 𝐴 ∧ ¬ ((oc‘𝐾)‘𝑊) 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) → (𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄) ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))
411, 37, 38, 40syl3anc 1370 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑋𝐸𝑌 ∈ (𝐼𝑄))) → (𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄) ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))
42 fvco3 6923 . . . . . 6 (((2nd𝑌):((LTrn‘𝐾)‘𝑊)⟶((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ (𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄) ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)) → ((𝑋 ∘ (2nd𝑌))‘(𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄)) = (𝑋‘((2nd𝑌)‘(𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄))))
4334, 41, 42syl2anc 584 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑋𝐸𝑌 ∈ (𝐼𝑄))) → ((𝑋 ∘ (2nd𝑌))‘(𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄)) = (𝑋‘((2nd𝑌)‘(𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄))))
4430, 43eqtr4d 2779 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑋𝐸𝑌 ∈ (𝐼𝑄))) → (𝑋‘(1st𝑌)) = ((𝑋 ∘ (2nd𝑌))‘(𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄)))
4524fveq1d 6827 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑋𝐸𝑌 ∈ (𝐼𝑄))) → ((( I ‘𝑋) ∘ (2nd𝑌))‘(𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄)) = ((𝑋 ∘ (2nd𝑌))‘(𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄)))
4644, 45eqtr4d 2779 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑋𝐸𝑌 ∈ (𝐼𝑄))) → (𝑋‘(1st𝑌)) = ((( I ‘𝑋) ∘ (2nd𝑌))‘(𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄)))
475, 11tendococl 39040 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝐸 ∧ (2nd𝑌) ∈ 𝐸) → (𝑋 ∘ (2nd𝑌)) ∈ 𝐸)
481, 2, 32, 47syl3anc 1370 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑋𝐸𝑌 ∈ (𝐼𝑄))) → (𝑋 ∘ (2nd𝑌)) ∈ 𝐸)
4924, 48eqeltrd 2837 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑋𝐸𝑌 ∈ (𝐼𝑄))) → (( I ‘𝑋) ∘ (2nd𝑌)) ∈ 𝐸)
50 fvex 6838 . . . . 5 (𝑋‘(1st𝑌)) ∈ V
51 fvex 6838 . . . . . 6 ( I ‘𝑋) ∈ V
52 fvex 6838 . . . . . 6 (2nd𝑌) ∈ V
5351, 52coex 7845 . . . . 5 (( I ‘𝑋) ∘ (2nd𝑌)) ∈ V
543, 4, 5, 27, 10, 11, 6, 50, 53dicopelval 39445 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) → (⟨(𝑋‘(1st𝑌)), (( I ‘𝑋) ∘ (2nd𝑌))⟩ ∈ (𝐼𝑄) ↔ ((𝑋‘(1st𝑌)) = ((( I ‘𝑋) ∘ (2nd𝑌))‘(𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄)) ∧ (( I ‘𝑋) ∘ (2nd𝑌)) ∈ 𝐸)))
55543adant3 1131 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑋𝐸𝑌 ∈ (𝐼𝑄))) → (⟨(𝑋‘(1st𝑌)), (( I ‘𝑋) ∘ (2nd𝑌))⟩ ∈ (𝐼𝑄) ↔ ((𝑋‘(1st𝑌)) = ((( I ‘𝑋) ∘ (2nd𝑌))‘(𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄)) ∧ (( I ‘𝑋) ∘ (2nd𝑌)) ∈ 𝐸)))
5646, 49, 55mpbir2and 710 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑋𝐸𝑌 ∈ (𝐼𝑄))) → ⟨(𝑋‘(1st𝑌)), (( I ‘𝑋) ∘ (2nd𝑌))⟩ ∈ (𝐼𝑄))
5726, 56eqeltrd 2837 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑋𝐸𝑌 ∈ (𝐼𝑄))) → (𝑋 · 𝑌) ∈ (𝐼𝑄))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1086   = wceq 1540  wcel 2105  wss 3898  cop 4579   class class class wbr 5092   I cid 5517   × cxp 5618  ccom 5624  wf 6475  cfv 6479  crio 7292  (class class class)co 7337  1st c1st 7897  2nd c2nd 7898  Basecbs 17009   ·𝑠 cvsca 17063  lecple 17066  occoc 17067  Atomscatm 37530  HLchlt 37617  LHypclh 38252  LTrncltrn 38369  TEndoctendo 39020  DVecHcdvh 39346  DIsoCcdic 39440
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5229  ax-sep 5243  ax-nul 5250  ax-pow 5308  ax-pr 5372  ax-un 7650  ax-cnex 11028  ax-resscn 11029  ax-1cn 11030  ax-icn 11031  ax-addcl 11032  ax-addrcl 11033  ax-mulcl 11034  ax-mulrcl 11035  ax-mulcom 11036  ax-addass 11037  ax-mulass 11038  ax-distr 11039  ax-i2m1 11040  ax-1ne0 11041  ax-1rid 11042  ax-rnegex 11043  ax-rrecex 11044  ax-cnre 11045  ax-pre-lttri 11046  ax-pre-lttrn 11047  ax-pre-ltadd 11048  ax-pre-mulgt0 11049  ax-riotaBAD 37220
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3917  df-nul 4270  df-if 4474  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-tp 4578  df-op 4580  df-uni 4853  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5176  df-tr 5210  df-id 5518  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6238  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6431  df-fun 6481  df-fn 6482  df-f 6483  df-f1 6484  df-fo 6485  df-f1o 6486  df-fv 6487  df-riota 7293  df-ov 7340  df-oprab 7341  df-mpo 7342  df-om 7781  df-1st 7899  df-2nd 7900  df-undef 8159  df-frecs 8167  df-wrecs 8198  df-recs 8272  df-rdg 8311  df-1o 8367  df-er 8569  df-map 8688  df-en 8805  df-dom 8806  df-sdom 8807  df-fin 8808  df-pnf 11112  df-mnf 11113  df-xr 11114  df-ltxr 11115  df-le 11116  df-sub 11308  df-neg 11309  df-nn 12075  df-2 12137  df-3 12138  df-4 12139  df-5 12140  df-6 12141  df-n0 12335  df-z 12421  df-uz 12684  df-fz 13341  df-struct 16945  df-slot 16980  df-ndx 16992  df-base 17010  df-plusg 17072  df-sca 17075  df-vsca 17076  df-proset 18110  df-poset 18128  df-plt 18145  df-lub 18161  df-glb 18162  df-join 18163  df-meet 18164  df-p0 18240  df-p1 18241  df-lat 18247  df-clat 18314  df-oposet 37443  df-ol 37445  df-oml 37446  df-covers 37533  df-ats 37534  df-atl 37565  df-cvlat 37589  df-hlat 37618  df-llines 37766  df-lplanes 37767  df-lvols 37768  df-lines 37769  df-psubsp 37771  df-pmap 37772  df-padd 38064  df-lhyp 38256  df-laut 38257  df-ldil 38372  df-ltrn 38373  df-trl 38427  df-tendo 39023  df-dvech 39347  df-dic 39441
This theorem is referenced by:  diclss  39461
  Copyright terms: Public domain W3C validator